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高三数学试卷(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}(){}340,log 3A x x B x y x =-≤==-，则 A ．{}03A B x x ⋂=<<B ．{}34A B x x ⋂=<≤C ．{}4A B x x ⋃=≤D ．{}3A B x x ⋃=<2．已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：有一条渐近线与直线2310x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为AB ．3C ．2D ．23．已知直线:10l x y -+=，则“21a =”是“直线l 与圆22210x y ay +--=相切”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若函数()()ln 1x f x e ax =++为偶函数，则a = A ．1B ．12C ．1-D ．12-5．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．已知正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，正二十面体的体积公式为(31512V a +=(其中a 为棱长)，已知一个正二十面体各棱长之和为A B C D 6．全球变暖已经是近在眼前的国际性问题，冰川融化、极端气候的出现、生物多样性减少等等都会给人类的生存环境带来巨大灾难．某大学计划以对于全球变暖及其后果的看法为内容制作一份调查报告，并安排A ，B ，C ，D ，E 五名同学到三个学院开展活动，每个学院至少安排一名同学，且A ，B 两名同学安排在同一学院，C ，D 两名同学不安排在同一个学院，则不同的分配方法总数为A ．86种B ．64种C ．42种D ．30种7．已知lg 2,310ba ==，则5log 6= A.1ab b ab+- B ．1ab a ab+-C ．1ab aab+-D ．1ab bab+- 8．如图，已知抛物线218C y x =：，圆22240C x y x +-=：，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆依次交于点P ，M ，N ，Q ，则PM QN =A ．2B ．4C ．6D ．8二、选择题：本大题共4小题，每小题5分。
专题八函数与导数一、单项选择1.（济宁一模3）已知a=sin2，6=log20.2，c=20.2，则A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a2.（潍坊一模3）在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：x﹣2﹣1123y0.240.51 2.02 3.988.02在以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是A．y a bx=+B．by ax=+C．logby a x=+D．xy a b=+3.（滨州一模4）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），且∀x1，x2∈[0，+∞），x1≠x2时，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则（）A．f（log43）＜＜B．＜f（log43）＜C．＜＜f（log43）D．＜f（log43）＜4.（菏泽一模5）函数的图象大致为（）A．B．C．D．5.（烟台一模5）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为P=P0e−kt，其中P0，k为正常数.如果一定量的废气在前10h的过滤过程污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？（结果四舍五入取整数，参考数据：ln2≈0.693，ln5≈1.609）A.11hB.21hC.31hD.41h6.（泰安一模6）已知定义在R 上的偶函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则（ ） A ．f （2）＜f （log 6）＜f （log 4）B ．f （log 6）＜f （log 4）＜f （2）C ．f （log 6）＜f （2）＜f （log 4）D ．f （2）＜f （log 4）＜f （log 6）7.（青岛一模5）若f(x)={log 3(x +1),x ≥02x ,x <0，则不等式f(x)>12的解集为（ ）A.()()+∞--,130,1B.()()∞+∞，，13-1- C.()()1-300,1-， D.()()∞+∞，，1-31--8.（日照一模6）如图所示，单位圆上一定点A 与坐标原点重合.若单位圆从原点出发沿x 轴正向滚动一周则A 点形成的轨迹为A ．B ．C ．D ．9.（潍坊一模7）已知20202021a =，20212020b =，ln2c =，则A ．log log a b c c >B ．log log c c a b >C ．c c a b <D ．a b c c <10.（烟台一模7）已知f(x)是定义在R 上的奇函数，f(2-x)=f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x 3，则 A.f(2021)=0B.2是f(x)的一个周期C.当x ∈(1,3)时，f(x)=(1-x)3D.f(x)>0的解集为(4k,4k+2)(k ∈Z)11.（济南一模6）函数y=f(x)在［－2π,2π]上的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是A.f(x)=sinx+cosxB.f(x)=|sinx|+cosxC.f(x)=sin|x|+cosxD.f(x)=sin|x|+|cosx|12.（青岛一模7）已知)(x f y =为奇函数，)1(+=x f y 为偶函数，若当[]1,0∈x ，)(log )(2a x x f +=，则=)2021(fA.-1B.0C.1D.213.（德州一模7）设函数f （x ）＝xe x ﹣a （x ﹣1），其中a ＜1，若存在唯一整数x 0，使得f （x 0）＜a ，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣，1）B ．[﹣，）C ．[，）D ．[，1）14.（聊城一模8）已知函数()2,0,ln ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩()2g x x x =-，若方程()()()0f g x g x m +-=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围为 A ．m>1 B ．m ≥1C ．m<1D ．m ≤115.（滨州一模7）定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （2+x ）＝f （2﹣x ），当x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝x +2，设函数h （x ）＝e ﹣|x ﹣2|（﹣2＜x ＜6）（e 为自然对数的底数），则f （x ）与h （x ）的图象所有交点的横坐标之和为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．816．（2021•临沂一模7）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣3.7]＝﹣4，[2.3]＝2．已知f （x ）＝e x e x +1−12，则函数y ＝[f （x ）]的值域为（ ）A ．{0}B ．{﹣1，0}C ．{﹣2，﹣1，0}D ．{﹣1，0，1}17.（济南一模8）设a=20221n2020, b=2021ln2021, c=20201n2022,则A.a>c>bB.c>b>aC.b>a>cD.a>b>c 二、多项选择18．（2021•淄博一模10）已知函数f （x ）＝2x +2﹣x ，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）是偶函数B ．f （x ）是增函数C ．f （x ）最小值是2D ．f （x ）最大值是419.（济南一模10）已知函数f(x)=x 3-ax+1的图象在x=2处切线的斜率为9,则下列说法正确的是A.a=3B.f(x)在x= -1处取得极大值C.当x ∈(-2,1]时，f(x) ∈(-1,3]D.f(x)的图象关于点（0,1)中心对称20.（潍坊一模10）已知函数21, 0()cos , 0x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩，则下列结论正确的是A ．()f x 是偶函数B ．3(())12f f π-=C ．()f x 是增函数D ．()f x 的值域为[﹣1，+∞)21.（菏泽一模10）对于函数，下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）在处取得极大值B ．f （x ）有两个不同的零点C ．D ．若在（0，+∞）上恒成立，则22.（日照一模10）已知x 1+log 3x1=0,x 2+log 2x2=0，则A. 0<x 2<x 1<1B. 0<x 1<x 2<1C. x 2lgx 1-x 1lgx 2<0D. x 2lgx 1-x 1lgx 2>023.（青岛一模11）若实数b a <，则下列不等式关系正确的是（ ） A.(25)b <(25)a <(35)aB.若2log ,1>>ab a a 则C.ba ab a +>+>11,022则若 D.若m >53,a,b ∈(1,3) ，则13（a 3−b 3)−m(a 2−b 2)+a −b >024.（滨州一模11）若0＜x 1＜x 2＜1，e 为自然对数的底数，则下列结论错误的是（ ） A ．＜B ．＞C ．＞lnx 2﹣lnx 1D ．＜lnx 2﹣lnx 125.（泰安一模11）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝．则下列结论正确的是（ ）A ．当x ＜0时，f （x ）＝﹣e x （x +1）B ．函数f （x ）在R 上有且仅有三个零点C ．若关于x 的方程f （x ）＝m 有解，则实数m 的取值范围是f （﹣2）≤m ≤f （2）D ．∀x 1，x 2∈R ，|f （x 2）﹣f （x 1）|＜226.（日照一模11）已知函数f(x)对于任意x ∈R ，均满足f(x)=f(2-x).当x ≤1时f (x )={lnx,0<x ≤1e x ,x ≤0若函数g(x)=m|x|-2-f(x)，下列结论正确的为A. 若m<0，则g(x)恰有两个零点B. 若32<m <e ，则g(x)有三个零点C. 若0<m ≤32，则g(x)恰有四个零点D. 不存在m 使得g(x)恰有四个零点27.（济宁一模12）已知函数f(x)=e sinx -e cosx，其中e 是自然对数的底数，下列说法中正确的是 A.函数f(x)的周期为2π B.f(x)在区间(0,π2)上是减函数C.f (x +π4)是奇函数D.f(x)在区间(π2,π)上有且仅有一个极值点三、填空28．（2021•临沂一模13）若函数f （x ）满足：（1）对于任意实数x 1，x 2，当0＜x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2）； （2）f （x 1x 2）＝f （x 1）﹣f （x 2），则f （x ）＝ .（答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可）29.（潍坊一模14）写出一个存在极值的奇函数()f x ＝ ．30.（日照一模13）若函数f (x )=log a x(a >1)，在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a= . 31.（济宁一模14）已知函数f (x )={e x ，x >0f (x +2)，x ≤0，则f(-5)= .32.（日照一模15）已知函数f (x )=3x+1+a3x +1(a ≥3)，若对任意x 1，x 2，x 3∈R ，总有f(x 1)，f(x 2)，f(x 3)为某一个三角形的边长，则实数a 的取值范围是 .33．（2021•淄博一模16）已知函数f （x ）＝|x 3+2x +a |在[1，2]上的最大值是6，则实数a 的值是 ． 34.（菏泽一模16）已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （0）＝1，g （x ）＝f （x ﹣1）是奇函数，则f （2021）＝ ，．35.（德州一模16）设定义在D 上的函数y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程为l ：y ＝g （x ），当x ≠x 0时，若＜0在D 内恒成立，则称P 点为函数y ＝f （x ）的“类对称中心点”，则函数h（x ）＝+lnx 的“类对称中心点”的坐标为 ．四、解答36.（济南一模18）已知函数f(x)= 2(1),0.1,0.2x a x e x x ax x x ⎧+≤⎪⎨-+>⎪⎩. （1)若a=2,求f(x)的最小值；（2)若f(x)恰好有三个零点，求实数a 的取值范围．37.（潍坊一模21）已知函数2()2sin x af x x-=-(a ∈R)．（1）若曲线()y f x =在点(2π，()2f π)处的切线经过坐标原点，求实数a ； （2）当a ＞0时，判断函数()f x 在x ∈(0，π)上的零点个数，并说明理由．38.（菏泽一模22）已知函数f （x ）＝lnx ﹣kx （k ∈R ），g （x ）＝x （e x ﹣2）． （1）若f （x ）有唯一零点，求k 的取值范围； （2）若g （x ）﹣f （x ）≥1恒成立，求k 的取值范围．39.（日照一模22）已知函数f (x )=e x −ax −1,g (x )=kx 2. （1）当a>0时，求f(x)的值域； （2）令a=1，当x ∈(0,+∞)时，f (x )≥g (x )ln (x+1)−x 恒成立，求k 的取值范围.40.（泰安一模22）已知函数f （x ）＝xlnx ﹣x 2+（2a ﹣1）x （a ∈R ）． （1）讨论函数f （x ）的极值点的个数； （2）已知函数g （x ）＝﹣f ′（x ）有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1＜x 2.证明：x 2﹣x 1＜．41.（2021•淄博一模22）已知数列)()11(*∈+=N n nan n (1)证明:e a n <(n ∈N *,e 是自然对数的底数);(2)若不等式e na n ≤++)11（(n ∈N *,a>0)成立，求实数a 的最大值。
山东省泰安市2021届高三一轮复习质量检测数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合，0，1，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用交集概念求解即可。
【详解】集合A表示到0的所有实数，集合B表示5个整数的集合，，故选：C．【点睛】本题主要考查了交集运算，属于基础题．2.若复数的实部与虚部互为相反数，则实数A. 3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简复数，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可.【详解】因为,且复数的实部与虚部互为相反数，所以，，解得，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲，乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则的值为A. 2B.C. 3D.【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值．【详解】解：根据茎叶图中的数据，得；甲班5名同学成绩的平均数为，解得；又乙班5名同学的中位数为73，则；．故选：D．【点睛】本题考查了平均数与中位数的概念与应用问题，是基础题．4.从抛物线在第一象限内的一点引抛物线准线的垂线，垂足为，从且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先设出P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用斜率公式求得答案．【详解】解：设，依题意可知抛物线准线，，，，．直线PF的斜率为，故选：C．【点睛】本题主要考查了抛物线的应用、直线斜率解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．5.如图是一个算法流程图，若输入的值是13，输出的值是46，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.已知实数满足约束条件，则的最大值是A. 0B. 1C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，直接利用线性规划知识求解即可。
2021届高考高三模拟考试数学试题1、已知集合A={x|-2≤x<4}，B={x|-5<x≤3}，则A∩B=（）A、{x|-5<x<4}B、{x|-5<x≤-2}C、{x|-2≤x≤3}D、{x|3≤x<4}答案：C2、“a>1”是“(a-1)(a-2)<0”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件答案：B3、已知变量x，y之间的一组数据如下表：若y关于x的线性回归方程为ŷ=ax+b，则a=（）x。
y3.2.54.35.46.4.5A、0.1B、0.2C、0.35D、0.45答案：D4、已知a，b为不同直线，α,β为不同平面，则下列结论正确的是（）A、XXX⊥α，b⊥a，则b//αB、若a,b∥α，a//β,b//β，则α//βC、若a//α,b⊥β,a//b，则α⊥βD、若α∩β=b,XXXα,a⊥b，则α⊥β答案：C5、高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（）A、15种B、90种C、120种D、180种答案：B6、已知α∈(π,π)，tanα=-3，则sin(α-π/4)等于（）A、-5/24πB、-3/5C、3/5D、5/24π答案：B7、随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益。
假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N（单位：XXX）与时间t（单位：天）满足函数关系N(t)=P(t)P，其中P为t=0时该放射性同位素的含量。
已知t=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为-10ln2，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为（）A、20天B、30天C、45天D、60天答案：C8、定义运算⊕：①对∀m∈R，m⊕m=m；②对∀m,n,p∈R，(m⊕n)⊕p=p⊕(mn)+m⊕p+n⊕p。
山东省泰安市2021届高三数学一轮检测试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合{|31}M x x =-<<，{|||1}N x x =，则阴影部分表示的集合是（ ）A. [1,1]-B. (3,1]-C. (,3)(1,)-∞--+∞D. (3,1)--【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合N 的补集UN ，再求出集合M 与UN 的交集，即为所求阴影部分表示的集合.【详解】由U =R ，{|||1}N x x =，可得{1UN x x =<-或1}x >，又{|31}M x x =-<< 所以{31}UM N x x ⋂=-<<-.故选：D.【点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题. 2.已知复数21aibi i-=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则a bi +=（ ） A. 12i -+B. 1C. 55【解析】试题分析：由21aibi i-=-,得()21,1,2ai i bi b i a b -=-=+∴=-=,则12,12a bi i a bi i +=-+∴+=-+== D考点：1、复数的运算；2、复数的模.3.已知31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）A. 2B. -2C. -3D. 3【答案】A 【解析】 【分析】先求31(1)x-的展开式，再分类分析(2)mx -中用哪一项与31(1)x-相乘，将所有结果为常数的相加，即为31(2)(1)mx x --展开式的常数项，从而求出m 的值.【详解】31(1)x -展开式的通项为313311()(1)r r r r r rr T C C x x--+=⋅-=⋅-，当(2)mx -取2时，常数项为0322C ⨯=，当(2)mx -取mx -时，常数项为113(1)3m C m -⨯⨯-=由题知238m +=，则2m =. 故选：A.【点睛】本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对(2)mx -所取的项要进行分类讨论，属于基础题.4.已知函数()log (|2|)(0a f x x a a =-->，且1a ≠)，则“()f x 在(3,)+∞上是单调函数”是“01a <<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】先求出复合函数()f x 在(3,)+∞上是单调函数的充要条件，再看其和01a <<的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案. 【详解】()log (|2|)(0a f x x a a =-->，且1a ≠)， 由20x a -->得2x a <-或2x a >+，即()f x 的定义域为{2x x a <-或2}x a >+，（0,a >且1a ≠） 令2t x a =--，其在(,2)a -∞-单调递减，(2,)a ++∞单调递增，()f x 在(3,)+∞上是单调函数，其充要条件为2301a a a +≤⎧⎪>⎨⎪≠⎩即01a <<. 故选：C.【点睛】本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.5.已知定义在R 上的函数()f x 的周期为4，当[2,2)x ∈-时，1()43xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()33log 6log 54f f -+=（ ）A.32B.33log 22- C. 12-D.32log 23+ 【答案】A 【解析】 【分析】因为给出的解析式只适用于[2,2)x ∈-，所以利用周期性，将3(log 54)f 转化为32(log )3f ，再与()3log 6f -一起代入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果. 【详解】定义在R 上的函数()f x 的周期为43332(log 54)(log 544)(log )3f f f ∴=-=，当[2,2)x ∈-时，1()()43xf x x =--，3log 6[2,2)-∈-，32log [2,2)3∈-， ()()33log 6log 54f f ∴-+332log log 6333112()(log 6)4()log 4333-=---+-- 11333log 6log 233112()()(log 6log )8333=++--3336log (6)822=++⨯-32=. 故选：A.【点睛】本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题.6.如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +=（ ）A. 1B.32C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得1()2AO AB AC =+，再将其用AM ，AN 表示.由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和122m n+=，即可求出m n +的值. 【详解】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m nAO AB AC AM AN =+=+，M 、O 、N 三点共线，122m n∴+=， 2m n ∴+=.故选：C.【点睛】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.7.一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 22【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为22，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 即最大水面高度为2，故选B.【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题． 8.抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）A.4B.3C.2【答案】B 【解析】【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M 是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF∆中222AB AF BF=+22cos3AF BF π-22AF BF AF BF=++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF+-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即AF BF AB +≤，所以MN AB ≤B ．考点：抛物线的性质．【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据扇形统计图和条状图，逐一判断选项，得出答案.【详解】选项A ：因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56％， 其中从事技术和运营岗位的人数占的比分别为39.6％和17％， 则“90后”从事技术和运营岗位的人数占总人数的0000000056(39.617)31.7⨯+≈.“80前”和“80后”中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成， 故选项A 正确；选项B ：因为互联网行业从业人员中，“90后”占比为56％， 其中从事技术岗位的人数占的比为39.6％，则“90后”从事技术 岗位的人数占总人数的0000005639.622.2⨯≈.“80前”和“80后” 中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过20％，故选项B 正确； 选项C ：“90后”从事运营岗位的人数占总人数的比为00000056179.5⨯≈， 大于“80前”的总人数所占比3％，故选项C 正确；选项D ：“90后”从事技术岗位的人数占总人数的0000005639.622.2⨯≈， “80后”的总人数所占比为41％，条件中未给出从事技术岗位的占比，故不能判断，所以选项D 错误. 故选：ABC.【点睛】本题考查了扇形统计图和条状图的应用，考查数据处理能力和实际应用能力，属于中档题.10.下列说法正确的是（ ）A. “5c =”是“点(2,1)到直线340x y c ++=的距离为3”的充要条件B. 直线sin 10x y α-+=的倾斜角的取值范围为3[0,][,)44πππ⋃ C. 直线25y x =-+与直线210x y ++=平行，且与圆225x y +=相切D. 的双曲线的渐近线方程为y = 【答案】BC 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式判断选项A 错误；根据直线斜率的定义及正切函数的值域问题判断选项B 正确；根据两直线平行的判定及直线与圆相切的判定，可判断选项C 正确；根据双曲线渐近线的定义可判断选项D 错误.【详解】选项A ：由点(2,1)到直线340x y c ++=的距离为3，可得：6435c++=，解得5c =或25-， “5c =”是“点(2,1)到直线340x y c ++=的距离为3”的充分不必要条件， 故选项A 错误；选项B ：直线sin 10x y α-+=的斜率sin [1,1]k α=∈-， 设直线的倾斜角为θ，则0tan 1θ≤<或1tan 0θ-≤<，3[0,][,)44θπππ∴∈，故选项B 正确；选项C ：直线25y x =-+可化为250x y +-=， 其与直线210x y ++=平行，圆225x y +=的圆心(0,0)O 到直线250x y +-=的距离为：d ==则直线250x y +-=与圆225x y +=相切，故选项C 正确；选项D ：离心率为c a =ba=若焦点在x 轴，则双曲线的渐近线方程为y =，若焦点在y 轴，则双曲线的渐近线方程为2y x =±， 故选项D 错误. 故选：BC.【点睛】本题考查了点到直线的距离，直线的斜率的定义，两直线的平行关系的判断，直线与圆的相切的判断，双曲线的渐近线方程，知识点较繁杂，需要对选项逐一判断.属于中档题. 11.已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若,,//m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ B. 若,//m n αα⊥，则m n ⊥ C. 若//,m αβα⊂，则//m β D. 若//,//m n αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线、面的位置关系，逐一进行判断.【详解】选项A ：若,m n m α⊥⊥，则n ⊂α或//n α， 又//n β，并不能得到αβ⊥这一结论，故选项A 错误； 选项B ：若,//m n αα⊥，则由线面垂直性质定理和线面平行的 性质定理可得m n ⊥，故选项B 正确；选项C ：若//,m αβα⊂，则有面面平行的性质定理可知//m β， 故选项C 正确；选项D ：若//,//m n αβ，则由线面角的定义和等角定理知，m 与α 所成的角和n 与β所成的角相等，故选项D 正确. 故选：BCD.【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理，以及线面角的定义和等角定理等基础知识，需要对每个选项逐一进行判断，属于中档题. 12.已知函数||()sin x f x e x =，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 是周期为2π的奇函数B. ()f x 在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数 C. ()f x 在(10,10)ππ-内有21个极值点 D. ()f x ax 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立的充要条件是1a 【答案】BD 【解析】 【分析】根据周期函数的定义判定选项A 错误；根据导航的符号判断选项B 正确；根据导函数零点判定选项C 错误；根据恒成立以及对应函数最值确定选项D 正确. 【详解】()f x 的定义域为R ，()sin()()x f x e x f x --=-=-，()f x ∴是奇函数，但是22(2)sin(2)sin ()x x f x ex ex f x ππππ+++=+=≠，()f x ∴不是周期为2π的函数，故选项A 错误；当(,0)4x π∈-时，()sin x f x e x -=，(cos ()sin )0x x f x e x -'-=>，()f x 单调递增，当3(0,)4x π∈时，()sin x f x e x =， (sin ))0c (os x x f x e x +'=>，()f x 单调递增，且()f x 在3(,)44ππ-连续，故()f x 在3(,)44ππ-单调递增，故选项B 正确；当[0,10)x π∈时，()sin xf x e x =，(sin c )s ()o xf x e x x +'=，令()0f x '=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k ππ=-+=，当(10,0)x π∈-时，()sin xf x e x -=，(co (s )sin )x x f x e x -=-'，令()0f x '=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x k k ππ=+=----------,因此，()f x 在(10,10)ππ-内有20个极值点，故选项C 错误； 当0x =时，()00f x ax =≥=，则a R ∈，当(0,]4x π∈时，sin ()x e xf x ax a x≥⇔≤，设sin ()x e x g x x =，2(sin cos sin )()x e x x x x x g x x+-'∴=， 令()sin cos sin h x x x x x x =+-，(0,]4x π∈()sin (cos sin )0h x x x x x '∴=+->，()h x 单调递增，()(0)0h x h ∴>=，()0g x '∴>，()g x 在(0,]4π单调递增，又由洛必达法则知：当0x →时，0sin (sin cos )()11x x x e x e x x g x x =+=→=1a ∴≤，故答案D 正确.故选：BD.【点睛】本题考查了奇函数、周期函数定义，三角函数的几何性质，函数的极值，利用导数研究单调性以及利用导数研究恒成立问题，考查综合分析求解与论证能力，属较难题. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知()3312,,,sin ,sin 45413ππαβπαββ⎛⎫⎛⎫∈+=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】5665- 【解析】 ∵3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ∴3,22παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭, ∴()()24cos =1sin 5αβαβ+-+=．又3,424πππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，12sin ,413πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴25cos()=1sin ()4413ππββ----=-． ∴cos()cos[()()]44ππααββ+=+--cos()cos()sin ()sin()44ππαββαββ=+-++-4531256()()51351365=⨯-+-⨯=-． 答案：5665-14.一个房间的地面是由12个正方形所组成，如图所示.今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有_______种.【答案】11 【解析】 【分析】将图形中左侧的两列瓷砖的形状先确定，再由此进行分类，在每一类里面又分按两种形状的瓷砖的数量进行分类，在其中会有相同元素的排列问题，需用到“缩倍法”. 采用分类计数原理，求得总的方法数.【详解】（1）先贴如图这块瓷砖，然后再贴剩下的部分，按如下分类：5个：5!15!=，3个，2个：4!4 3!=，1个，4个：3!3 2!=，（2）左侧两列如图贴砖，然后贴剩下的部分：3个：3!1 3!=，1个，2个：2!2=，综上，一共有1431211++++=（种）. 故答案为：11.【点睛】本题考查了分类计数原理，排列问题，其中涉及到相同元素的排列，用到了“缩倍法”的思想.属于中档题.15.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.【答案】3 14【解析】【分析】观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。
新泰2021级高三高考模拟测试（一）数学试题（答案在最后）2024.04全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知{}n a 是等比数列，3548a a a =，且2a ，6a 是方程2340x x m -+=两根，则m =（）A.8B.8- C.64 D.64-2.已知集合(){}3log 212A x x =+=，集合{}2,B a =，其中R a ∈．若A B B ⋃=，则=a （）A.1B.2C.3D.43.已知向量24πlog 3,sin 3a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()3log 8,b m =，若a b ⊥ ，则m =（）A.-B.C.D.4.函数()f x 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（）x-2-101235()f x 2.31.10.71.12.35.949.1A.()xf x ka b=+B.()e xf x kx b=+C.()f x k x b=+D.()2(1)f x k x b=-+5.在平面直角坐标系xOy 中，已知A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，以OA 为直径的圆与C的一条渐近线交于另一点M ，若12AM b =，则C 的离心率为（）A.B.2C. D.46.已知集合1111,,,,2,32323A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，若,,a b c A ∈且互不相等，则使得指数函数x y a =，对数函数log b y x =，幂函数c y x =中至少有两个函数在(0,)+∞上单调递增的有序数对(,,)a b c 的个数是（）A.16B.24C.32D.487.“ππ()4k k α=+∈Z ”是“22sin 1sin cos αααα+=+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知复数1z ，2z 满足1212222z z z z ==-=，则1212z z +=（）A.1B.C.2D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()()221x f x a a =+∈-R ，则（）A.()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞UB.()f x 的值域为RC.当1a =时，()f x 为奇函数D.当2a =时，()()2f x f x -+=10.下列结论正确的是（）A.一组样本数据的散点图中，若所有样本点(),i i x y 都在直线0.951y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为0.95B.已知随机变量()3,4N ξ ，若21ξη=+，则()1D η=C.在22⨯列联表中，若每个数据a b c d ,,,均变成原来的2倍，则2χ也变成原来的2倍（()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++）D.分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件A =“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，B =“2枚骰子正面向上的点数相同”，则,A B 互为独立事件11.已知圆22:10130C x y x +-+=，抛物线2:4W y x =的焦点为F ，P 为W 上一点（）A.存在点P ，使PFC △为等边三角形B.若Q 为C 上一点，则PQ 最小值为1C.若4PC =，则直线PF 与圆C 相切D.若以PF 为直径的圆与圆C相外切，则22PF =-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.随机变量2~(,)X N μσ，若(70)(90)P X P X ≥=≤且(7280)0.3P X ≤≤=，则随机变量X 的第80百分位数是______.13.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()11,,2,,n n n n n a a n -⎧⎪+=⎨⎪⎩为奇数为偶数则10S =______．14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R ，球冠的高是h ，球冠的表面积公式是2πS Rh =，与之对应的球缺的体积公式是()21π33V h R h =-.如图2，已知,C D 是以AB 为直径的圆上的两点，π,6π3COD AOC BOD S ∠∠===扇形，则扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体的表面积为__________，体积为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且316cos b c a B ===，，.（1）求a 的值：（2）求证：2A B =；（3）πcos 212B ⎛⎫-⎪⎝⎭的值16.某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎游．戏规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步骤，当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束规定：从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败．（1）某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第X 级台阶，求X 的分布列及数学期望()E X ；（2）①求一位同学参加游戏，他不能获得奖品的概率；②若甲、乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率；17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB BC AA ===，点,D E 分别在棱11,AA CC 上，112,2,AD DA C E EC F ==为11B C 的中点.（1）在平面11ABB A 内，过A 作一条直线与平面DEF 平行，并说明理由；（2）当三棱柱111ABC A B C -的体积最大时，求平面DEF 与平面ABC 夹角的余弦值.18.已知函数()()2ln ,f x xx a a =+∈R .（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性；（3）若存在()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，使得()()12f x f x =，求证：21121e a x x +>.19.动圆C 与圆221:(2)50C x y ++=和圆222(2):2C x y -+=都内切，记动圆圆心C 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为222220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，则曲线上一点()00,x y 处的切线方程为：()()()0000000Ax x B x y y x Cy y D x x E y y F ++++++++=，试运用该性质解决以下问题：点P 为直线8x =上一点（P 不在x 轴上），过点P 作E 的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B .（i ）证明：直线AB 过定点；（ii ）点A 关于x 轴的对称点为A '，连接A B '交x 轴于点M ，设22,AC M BC M 的面积分别为12,S S ，求12S S -的最大值.新泰2021级高三高考模拟测试（一）数学试题2024.04全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知{}n a 是等比数列，3548a a a =，且2a ，6a 是方程2340x x m -+=两根，则m =（）A.8B.8- C.64 D.64-【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列下标和性质计算可得.【详解】因为{}n a 是等比数列，所以2354a a a =，2264a a a =，又3548a a a =，所以48a =，又2a ，6a 是方程2340x x m -+=两根，所以226464m a a a ===.故选：C2.已知集合(){}3log 212A x x =+=，集合{}2,B a =，其中R a ∈．若A B B ⋃=，则=a （）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】首先求出集合A ，依题意可得A B ⊆，即可求出a 的值.【详解】由()3log 212x +=，则2213x +=，解得4x =，所以(){}{}3log 2124A x x =+==，又{}2,B a =，A B B ⋃=，即A B ⊆，所以4a =.故选：D3.已知向量24πlog 3,sin 3a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3log 8,b m =，若a b ⊥ ，则m =（）A.-B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示可得答案.【详解】因为a b ⊥ ，所以0a b ⋅= ，即234πlog 3log 8sin 03m ⨯+=，所以2log 802m -=，所以m =故选：C .4.函数()f x 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（）x-2-101235()f x 2.31.10.71.12.35.949.1A.()xf x ka b=+B.()e xf x kx b=+C.()f x k x b =+D.()2(1)f x k x b=-+【答案】A 【解析】【分析】由函数()f x 的数据即可得出答案.【详解】由函数()f x 的数据可知，函数()()()()22,11f f f f -=-=，偶函数满足此性质，可排除B ，D ；当0x >时，由函数()f x 的数据可知，函数()f x 增长越来越快，可排除C .故选：A .5.在平面直角坐标系xOy 中，已知A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，以OA 为直径的圆与C的一条渐近线交于另一点M ，若12AM b =，则C 的离心率为（）A.B.2C. D.4【答案】B 【解析】【分析】由渐近线方程和OM ⊥AM 求出12OM a =，由勾股定理得到223b a =，从而求出离心率.【详解】由题意得，OM ⊥AM ，双曲线的一条渐近线方程为by x a=，故tan bAOM a∠=，即AM b OM a =，又12AM b =，所以12OM a =，由勾股定理得222OM AM OA =+，即2221144a b a +=，解得223b a =，2c e a ===,故选：B.6.已知集合1111,,,,2,32323A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，若,,a b c A ∈且互不相等，则使得指数函数xy a =，对数函数log b y x =，幂函数c y x =中至少有两个函数在(0,)+∞上单调递增的有序数对(,,)a b c 的个数是（）A.16B.24C.32D.48【答案】B 【解析】【分析】分类讨论单调性，结合排列数、组合数运算求解.【详解】若x y a =和log b y x =在(0,)+∞上单调递增，c y x =在(0,)+∞上单调递减，则有2122A C 4⋅=个；若x y a =和c y x =在(0,)+∞上单调递增，log b y x =在(0,)+∞上单调递减，则有111222C C C 8⋅⋅=个；若log b y x =和c y x =在(0,)+∞上单调递增，x y a =在(0,)+∞上单调递减，则有111222C C C 8⋅⋅=个；若x y a =、log b y x =和c y x =在(0,)+∞上单调递增，则有2122A C 4⋅=个；综上所述：共有488424+++=个.故选：B.【点睛】方法点睛：两个计数原理的应用技巧（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．（2）对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．7.“ππ()4k k α=+∈Z ”是“22sin 1sin cos αααα+=+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出tan α，再利用齐次式法求值及充分条件、必要条件的定义判断得解.【详解】由ππ()4k k α=+∈Z ，得tan 1α=，由22sin 1sin cos αααα+=+，得2tan 1tan αα=，解得tan 1α=或tan α=，所以“ππ()4k k α=+∈Z ”是“223cos sin 1sin cos αααα+=+”的充分不必要条件，A 正确.故选：A8.已知复数1z ，2z 满足1212222z z z z ==-=，则1212z z +=（）A.1B.C.2D.【答案】B 【解析】【分析】首先分析题意，设出复数，求出复数的模找变量之间的关系，整体代入求解即可.【详解】设12i,i, z a b z c d =+=+则2===所以221a b +=，224,c d +=484()ac bd -+=，即1ac bd +=，则1212z z +====故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()()221xf x a a =+∈-R ，则（）A.()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞UB.()f x 的值域为RC.当1a =时，()f x 为奇函数D.当2a =时，()()2f x f x -+=【答案】ACD 【解析】【分析】由分母不为零求出函数的定义域，即可判断A ，再分210x ->、1210x -<-<分别求出函数值的取值范围，即可得到函数的值域，从而判断B ，根据奇偶性判断C ，根据指数幂的运算判断D.【详解】对于函数()()221xf x a a =+∈-R ，令210x -≠，解得0x ≠，所以()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，故A 正确；因为20x >，当210x ->时2021>-x，所以221x a a +>-，当1210x -<-<时2221x<--，所以2221x a a +<-+-，综上可得()f x 的值域为()(),2,a a -∞-++∞ ，故B 错误；当1a =时()22112121x x x f x +=+=--，则()()21212121x x x x f x f x --++-==-=---，所以()2121xf x =+-为奇函数，故C 正确；当2a =时()221212121x x x f x +=+=+--，则()()21211122121x x x x f x f x ---+=++-+++=-，故D 正确.故选：ACD10.下列结论正确的是（）A.一组样本数据的散点图中，若所有样本点(),i i x y 都在直线0.951y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为0.95B.已知随机变量()3,4N ξ ，若21ξη=+，则()1D η=C.在22⨯列联表中，若每个数据a b c d ,,,均变成原来的2倍，则2χ也变成原来的2倍（()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++）D.分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件A =“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，B =“2枚骰子正面向上的点数相同”，则,A B 互为独立事件【答案】BCD 【解析】【分析】根据相关系数的概念判断A ，根据正态分布的方差公式及方差的性质判断B ，根据卡方公式判断C ，根据相互独立事件的定义判断D.【详解】对于A ：若所有样本点(),i i x y 都在直线0.951y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为1，故A 错误；对于B ：如()3,4N ξ ，则()4D ξ=，又21ξη=+，即1122ηξ=-则()()2112D D ηξ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ：在22⨯列联表中，若每个数据a b c d ,,,均变成原来的2倍，则()()()()()()()()222(2222)()222222222n a d b c n ad bc a b c d a c b d a b c d a c b d =⨯-⨯-++++++++，即2χ也变成原来的2倍，故C 正确；对于D ：分别抛掷2枚质地均匀的骰子，基本事件总数为6636⨯=个，事件A =“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，则事件A 包含的基本事件数为1863=⨯个，事件B =“2枚骰子正面向上的点数相同”，则事件B 包含的基本事件数为616⨯=个，所以()181362P A ==，()61366P B ==，又AB 包含的基本事件有313⨯=个，所以()313612P AB ==，所以()()()P AB P A P B =⨯，则A 、B 互为独立事件，故D 正确；故选：BCD11.已知圆22:10130C x y x +-+=，抛物线2:4W y x =的焦点为F ，P 为W 上一点（）A.存在点P ，使PFC △为等边三角形B.若Q 为C 上一点，则PQ 最小值为1C.若4PC =，则直线PF 与圆C 相切D.若以PF 为直径的圆与圆C 相外切，则22PF =-【答案】AC 【解析】【分析】选项A ，PFC △为等边三角形需保证4PF PC FC ===，设定点P 坐标用两点间距离公式检验即可；选项B ，设定点2(,)4t P t ，将PQ 转化为PQ PC r =-表示，求最小值即可；选项C ，由||4PC =求得点P 坐标，求得直线PF 所在的直线方程，利用点到直线的距离公式检验即可；选项D ，设定点2(,)4t P t ，以PF 为直径的圆与C 相外切，需保证1||||2CE r PF -=，建立关于||PF 的方程，求之即可.【详解】由已知圆22:10130C x y x +-+=的方程化为22:(5)12C x y -+=，得其圆心(5,0)C ，半径r =，由于抛物线方程为2:4W y x =，其焦点为(1,0)F 对于选项A ，若PFC △为等边三角形，当且仅当4PF PC FC ===；若点P 到点(1,0)F 的距离为4，由抛物线的定义可知14P x +=，即3P x =，代入抛物线方程可得(3,P ±，4PC =，故A 正确；对于选项B ，因为点P 在抛物线上，Q 为C上一点，PQ PC r PC =-=-，由于P 为W 上，设2(,)4t P t ，且(5,0)C ，则||4PC =，当且仅当212t =时，原式取得最小值，PQ的最小值41-≠，故B 不正确；对于选项C ，设2(,)4t P t ，且(5,0)C ，若||4PC =4=，得42241440t t -+=，解得212t =，所以此时(3,P ±，不妨取(3,P ，(1,0)F ，此时直线PF 的方程为：23(1)31y x =--，即0y -=，则圆心(5,0)C到该直线的距离为d r ===，所以此时直线PF 与圆C相切，同理可证明(3,P -的情形也成立，故C 正确；对于选项D ，设PF 的中点为E ，若以PF 为直径的圆与C 相外切时，只需保证1||||2CE r PF -=，设2(,)4t P t ，且(5,0)C ，(1,0)F ，得21(,822t t E +，211)24t =+（*），其中2||14t PF =+，反解得：24||4t PF =-代入上式，化简可得：||6(212PF ==-=-显然2212≠--D 不正确.故选：AC.【点睛】客观题圆锥曲线的综合性问题，多数考查数形结合思想，要善于借助圆锥曲线的定义转化条件和问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.随机变量2~(,)X N μσ，若(70)(90)P X P X ≥=≤且(7280)0.3P X ≤≤=，则随机变量X 的第80百分位数是______.【答案】88【解析】【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出μ，再求出()0.8P X k ≤=时的k 即可.【详解】随机变量2~(,)X N μσ，又(70)(90)P X P X ≥=≤，则80μ=，因此(8088)(7280)0.3P X P X ≤≤=≤≤=，则8(8(88)0.508).80P X P X ≤≤≤=+=，所以随机变量X 的第80百分位数是88.故答案为：8813.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()11,,2,,n n n n n a a n -⎧⎪+=⎨⎪⎩为奇数为偶数则10S =______．【答案】1011【解析】【分析】注意到*221,k k a a k -=∈N ，进一步由裂项相消法即可求解.【详解】由题意*221,k k a a k -=∈N ，所以()1013579111112213355779911S a a a a a ⎛⎫=++++=++++⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭111111111101335577991111=-+-+-+-+-=.故答案为：1011.14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R ，球冠的高是h ，球冠的表面积公式是2πS Rh =，与之对应的球缺的体积公式是()21π33V h R h =-.如图2，已知,C D 是以AB 为直径的圆上的两点，π,6π3COD AOC BOD S ∠∠===扇形，则扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体的表面积为__________，体积为__________.【答案】①.72π+②.144π【解析】【分析】首先求出DOC ∠，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点C 作CE AB ⊥交AB 于点E ，过点D 作DF AB ⊥交AB 于点F ，即可求出CE 、OE 、AE 、OF 、BF 、DF ，将扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体为一个半径6R =的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积与体积.【详解】因为π3AOC BOD ∠=∠=，所以πππ233DOC ∠=-⨯=，设圆的半径为R ，又2π1π236COD S R =⨯=扇形，解得6R =（负值舍去），过点C 作CE AB ⊥交AB 于点E ，过点D 作DF AB ⊥交AB 于点F ，则πsin3CE OC ==，πcos 33OE OC ==，所以3AE R OE =-=，同理可得33DF =，3OF BF ==，将扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体为一个半径6R =的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中球缺的高3h =，圆锥的高13h =，底面半径33r =，则其中一个球冠的表面积12π2π6336πS Rh ==⨯⨯=，球的表面积2224π4π6144πS R ==⨯=，圆锥的侧面积3336π=183πS =⨯，所以几何体的表面积21322144π236π2183π72π363πS S S S =-+=-⨯+⨯=+，又其中一个球缺的体积()()22111π3π336345π33V h R h =-=⨯⨯-=，圆锥的体积()221π33327π3V =⨯⨯=，球的体积33344ππ6288π33V R ==⨯=，所以几何体的体积31222288π245π227π144πV V V V =--=-⨯-⨯=.故答案为：72π363π+；144π【点睛】关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积、体积要合理转化.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且316cos b c a B ===，，.（1）求a 的值：（2）求证：2A B =；（3）πcos 212B ⎛⎫-⎪⎝⎭的值【答案】（1）23（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）根据条件结合余弦定理求解；（2）由6cos a B =可得2cos a b B =，利用正弦定理结合0πA <<，得证；（3）由（1）可求得cos ,sin B B ，根据二倍角公式求得sin 2,cos 2B B ，再利用两角差的余弦公式求得结果；或由余弦定理求得cos ,sin A A ，结合2A B =，利用两角差的余弦公式运算得解.【小问1详解】由6cos a B =及余弦定理，得22262a c b a ac+-=⋅，因为31b c ==，，所以212a a ==，.【小问2详解】由6cos a B =及3b =，得2cos a b B =，由正弦定理得sin 2sin cos sin 2A B B B ==，因为0πA <<，所以2A B =或2πA B +=.若2πA B +=，则B C =，与题设矛盾，因此2A B =.【小问3详解】由（Ⅰ）得cos 663a B ===，因为0πB <<，所以sin 3B ===，所以21sin 22sin cos cos 22cos 133B B B B B ===-=-，所以ππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12666B B B B ⎛⎫⎛⎫-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1132326-⎛⎫=-⨯+=⎪⎝⎭.另解：因为2221cos ,sin 233b c a A A bc +-==-=，所以ππππcos 2cos 2cos cos sin sin 12666B B A A ⎛⎫⎛⎫-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1132326-⎛⎫=-⨯+=⎪⎝⎭.16.某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎游．戏规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步骤，当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束规定：从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败．（1）某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第X 级台阶，求X 的分布列及数学期望()E X ；（2）①求一位同学参加游戏，他不能获得奖品的概率；②若甲、乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率；【答案】（1）分布列见解析；期望为7（2）①427；②184729【解析】【分析】（1）设6Y X =-，根据题意分析可知13,3Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，结合二项分布求分布列，进而可得期望；（2）①结合概率乘法公式求单人不能获奖的概率，②利用独立重复实验概率乘法公式求恰有一人获得奖品的概率.【小问1详解】由题意可知：每次掷骰子上两级台阶的概率为4263=，上三级台阶的概率为2163=，且X 的可能取值为6，7，8，9，设6Y X =-，则13,3Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则有：()()32860327P X P Y ⎛⎫===== ⎪⎝⎭，()()21312471C 339P X P Y ⎛⎫====⨯⨯= ⎪⎝⎭，()()22312282=C 339P X P Y ⎛⎫===⨯⨯= ⎪⎝⎭，()()31193327P X P Y ⎛⎫=====⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：X6789P8274929127X 的数学期望()842167897279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问2详解】①因为位于第10级台阶则认定游戏失败，无法获得奖品，结合题意可知：若学员位于第10级台阶，则投掷3次后，学员位于第7级台阶，投掷第4次上三级台阶，所以不能获得奖品的概率为21131214C 33327P ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，②甲、乙两位学生参加游戏，恰有一人获得奖品的概率1244184C 12727729P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB BC AA ===，点,D E 分别在棱11,AA CC 上，112,2,AD DA C E EC F ==为11B C 的中点.（1）在平面11ABB A 内，过A 作一条直线与平面DEF 平行，并说明理由；（2）当三棱柱111ABC A B C -的体积最大时，求平面DEF 与平面ABC 夹角的余弦值.【答案】（1）作直线1AB 即为所求，理由见解析（2）29【解析】【分析】（1）连接1AC 交DE 于点M ，连接MF 、AE 、1DC 、1AB ，即可证明四边形1ADC E 为平行四边形，从而得到1AM MC =，则1//MF AB ，即可证明1//AB 平面DEF ；（2）由11113ABC ABC ABC A B C V S BB S -=⋅= ，又因为2sin ABC S ABC =∠ ，则当π2ABC ∠=，即当AB BC ⊥时直三棱柱111ABC A B C -的体积最大，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】作直线1AB 即为所求，连接1AC 交DE 于点M ，连接MF 、AE 、1DC 、1AB ，因为12AD DA =，12C E EC =，所以11223AD C E AA ===，又1//AD C E ，所以四边形1ADC E 为平行四边形，所以1AM MC =，又11B F FC =，所以1//MF AB ，又MF ⊂平面DEF ，1AB ⊄平面DEF ，所以1//AB 平面DEF ，所以在平面11ABB A 内，过A 作一条直线与平面DEF 平行的直线为1AB .【小问2详解】因为11113ABC ABC ABC A B C V S BB S -=⋅= ，又因为1sin 2sin 2ABC S AB BC ABC ABC =⋅∠=∠ ，所以当π2ABC ∠=时ABC S 取最大值2，即当AB BC ⊥时直三棱柱111ABC A B C -的体积最大，又1BB ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1BB AB ⊥，1BB BC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()2,0,2D ，()0,2,1E ，()0,1,3F ，所以()2,2,1DE =-- ，()0,1,2EF =-，设平面DEF 的法向量为(),,n x y z = ，则22020n DE x y z n EF y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取3,2,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，又平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =，设平面DEF 与平面ABC 夹角为θ，则229cos 29m n m n θ⋅===⋅ ，所以平面DEF与平面ABC 夹角的余弦值为229 29.18.已知函数()()2ln,f x x x a a=+∈R.（1）若1a=，求曲线()y f x=在点()()1,1f处的切线方程；（2）讨论()f x的单调性；（3）若存在()12,0,x x∈+∞，且12x x<，使得()()12f x f x=，求证：21121e ax x+>.【答案】（1）320x y--=（2）函数()f x在区间12(0,e)a--上单调递减，在区间12(e,)a--+∞上单调递增（3）证明见解析【解析】【分析】（1）分别求出()1f和()1f'的值，求切线方程即可；（2）求原函数()f x的导函数()f x'，构造函数()2ln21x x aϕ=++，借助其导数()xϕ'的符号，研究()ϕx 的单调性及符号，()f x的单调性即可解决；（3）从12()()f x f x=出发，将不等式221122(ln)(ln)x x a x x a+<+同构为122(ln)2(ln)12e2(ln)e2(ln)x a x ax a x a++⋅+<⋅+的形式，设定11222(ln),2(ln)t x a t x a=+=+，只需证122t t+<-成立，构造函数()()(2),(1,0)G t g t g t t=---∈-，用极值点偏移的方法解决问题即可.【小问1详解】当1a=时，()()2ln1f x x x=+，所以()11f=，又()()2ln 3f x x x '=+，所以()13f '=，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为：320x y --=；【小问2详解】因为0x >，且()()2ln (2ln 21)f x x x a x x x a =++=++'，令()2ln 21x x a ϕ=++，2()x xϕ'=，因为0x >，()0x ϕ'>，即函数()ϕx 在(0,)+∞上单调递增，由()2ln 210x x a ϕ=++=，得12e a x --=，所以函数()ϕx 在12(0,e )a --上小于零，在12(e ,)a --+∞上大于零，因为0x >，()f x '的符号和函数()ϕx 的符号一致，所以函数()f x 在区间12(0,e )a --上单调递减，在区间12(e ,)a --+∞上单调递增；【小问3详解】因为2(e )(e )(ln e )0a a a f a ---=+=，所以)0,(e a x -∈时，ln ln e 0a x a a -+<+=，且20x >，则()2ln 0x x a +<，即()0f x <，若()()12f x f x =，且()12,0,x x ∞∈+，12x x <，所以12120e e a a x x ---<<<<，取自然对数得：121ln ln 2x a x a <--<<-，即122(ln )12(ln )0x a x a +<-<+<，由12()()f x f x =得：221122(ln )(ln )x x a x x a +=+，即2212ln ln 2212e (ln )e e (ln )e x x a a x a x a +=+，所以122(ln )2(ln )12e 2(ln )e 2(ln )x a x a x a x a ++⋅+=⋅+，令11222(ln ),2(ln )t x a t x a =+=+，设()e ,0t g t t t =<，所以()(1)e t g t t '=+，所以(,1)t ∈-∞-时，()0g t '<，函数()g t 单调递减；(1,0)t ∈-时，()0g t '>，函数()g t 单调递增；下面证明：122t t +<-，又21t >-，即证1221t t <--<-，即证12()(2)g t g t >--，即证22()(2)g t g t >--，令()()(2),(1,0)G t g t g t t =---∈-，2()()(2)(1)(e e )0t t G t g t g t t --'''=---=+->，所以()G t 在区间(1,0)-上单调递增，所以()(1)0G t G >-=，从而得证；故122(ln )2(ln )2x a x a +++<-，即12ln 21x x a <--，所以21120e a x x --<<，所以21121e a x x +<，得证.【点睛】思路点睛：极值点偏移是一种最常见的考法，其解题步骤大致分为3步，第一步：代根作差找关系，第二步：换元分析化结论，第三步：构造函数证结论.19.动圆C 与圆221:(2)50C x y ++=和圆222(2):2C x y -+=都内切，记动圆圆心C 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为222220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，则曲线上一点()00,x y 处的切线方程为：()()()0000000Ax x B x y y x Cy y D x x E y y F ++++++++=，试运用该性质解决以下问题：点P 为直线8x =上一点（P 不在x 轴上），过点P 作E 的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B .（i ）证明：直线AB 过定点；（ii ）点A 关于x 轴的对称点为A '，连接A B '交x 轴于点M ，设22,AC M BC M 的面积分别为12,S S ，求12S S -的最大值.【答案】（1）22184x y +=（2）（i ）证明见解析，（ii）2【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义求解点的轨迹方程；（2）（i ）根据题意中的性质求解出两条切线方程，代入点P 坐标后，得出直线AB 的方程，从而得出定点坐标；（ii ）联立直线AB 的方程与椭圆E 的方程，由韦达定理得出1212,y y y y +，进而求解出A B '的定点坐标，表示出12S S -，由基本不等式得出结果.【小问1详解】设动圆C 的半径为r ，由题意得圆1C 和圆2C 的半径分别为，因为C 与1C ，2C 都内切，所以1CC r =-，2CC r =所以12CC CC r r +=+-，又()12,0C -，()22,0C ，故214C C =<，所以点C 的轨迹是以1C ，2C 为焦点的椭圆，设E 的方程为：()222210x y a b a b+=>>，则2a =，24c =，所以2224b a c =-=，故E 的方程为：22184x y +=.【小问2详解】（i ）证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，()()8,0P t t ≠，由题意中的性质可得，切线PA 方程为11184xx yy +=，切线PB 方程为22184xx yy +=，因为两条切线都经过点()8,P t ，所以1114ty x +=，2214ty x +=，故直线AB 的方程为：14ty x +=，显然当0y =时，1x =，故直线AB 经过定点()1,0.（ii ）设直线AB 的方程为：()10x my m =+≠，联立22128x my x y =+⎧⎨+=⎩，整理得()222270m y my ++-=，由韦达定理得1221222272m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，又()11,A x y '-，所以直线A B '的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =得，()()()12112211221121212111M y x x y my y my y x y x x x y y y y y y -++++=+==+++2121212212127222211822m my y y y my y m m y y y y m ⎛⎫- ⎪+++⎝⎭==+=+=++-+，所以直线A B '经过定点()8,0M ，又()22,0C ，所以1221212132S S C M y y y y -=-=+26632222mm m m ==≤++，所以12max 322S S -=，当且仅当2m m =时，即m =时取等号.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；(3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。
山东省泰安一中、宁阳一中2021届高三数学上学期段考试题（三）（含解析）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}22|1|log 0A x x B x x =<=<,，则AB =（ ）A. (),1-∞B. (0,1)C. (1,0)-D. ()1,1-【答案】D 【解析】 【分析】分别解一元二次不等式和对数不等式可得集合A ，B ，再根据并集的定义运算即可. 【详解】集合{}()2|11,1A x x =<=-，{}()2|log 00,1B x x =<=，则()1,1A B ⋃=-， 故选：D .【点睛】本题主要考查集合的并集的求法，考查一元二次不等式和对数不等式的解法，属于基础题.2.若实数x y >，则（ ） A. 0.50.5log log x y > B. ||||x y C. 2x xy >D. 22x y >【答案】D 【解析】 【分析】由函数0.5log y x =的单调性可判断A ；举出反例1x =-，2y =-可判断BC ；直接根据不等式的性质即可判断D .【详解】由于函数0.5log y x =在定义域内单调递减，故0.50.5log log x y <，故A 错误； 当1x =-，2y =-时，满足x y >成立，但||||x y 不成立，故B 错误；当1x =-，2y =-时，满足x y >成立，但2x xy >不成立，故C 错误；直接根据不等式的性质可得D 正确，故选：D.【点睛】本题主要考查了通过不等式的性质判断命题的真假，属于基础题. 3.设x ∈R ，则“12x +<”是“lg 0x <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.【详解】由题解12x +<，解得：31x -<<，解lg 0x <可得：01x <<； 则31x -<<不能推出01x <<成立，01x <<能推出31x -<<成立， 所以“12x +<”是“lg 0x <”的必要不充分条件， 故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题.4.已知,αβ是不重合的平面，,m n 是不重合的直线，则m α⊥的一个充分条件是( ) A. m n ⊥，n ⊂αB. //m β，αβ⊥C. n α⊥，n β⊥，m β⊥D. n αβ=，αβ⊥，m n ⊥【答案】C 【解析】 【分析】由题意，分别分析每个答案，容易得出当n α⊥，n β⊥，得出//αβ，再m β⊥得出m α⊥，得出答案.【详解】对于答案A ：m n ⊥，n α⊂，得出m 与α是相交的或是垂直的，故A 错； 答案B ：//m β，αβ⊥，得出m 与α是相交的、平行的都可以，故B 错； 答案C ：n α⊥，n β⊥，得出//αβ，再m β⊥得出m α⊥，故C 正确；答案D: n αβ⋂=，αβ⊥，m n ⊥，得出m 与α是相交的或是垂直的，故D 错 故选C【点睛】本题主要考查了线面位置关系的知识点，熟悉平行以及垂直的判定定理和性质定理是我们解题的关键所在，属于较为基础题.5.已知正实数a ，b ，c 满足236log a log b log c ==，则（ ） A. a bc = B. 2b ac =C. c ab =D. 2c ab =【答案】C 【解析】 【分析】设236log log log a b c k ===，则2k a =，3k b =，6k c =，由此能推导出c ab =． 【详解】解：∵ 正实数a ，b ，c 满足236log log log a b c ==， ∴ 设236log log log a b c k ===， 则2k a =，3k b =，6k c =， ∴ c ab =． 故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.如图Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设AB a =，AC b =，则向量AD =（ ）A. a b +B.12a b + C. 12a b +D. 23a b +【答案】C 【解析】【分析】根据Rt ABC ∆中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+．【详解】解：设圆的半径为r ，在Rt ABC ∆中，2ABC π∠=，2AC AB =，所以3BAC π∠=，6ACB π∠=，BAC ∠平分线交ABC ∆的外接圆于点D ，所以6ACB BAD CAD π∠=∠=∠=，则根据圆的性质BD CD AB ==， 又因为在Rt ABC ∆中，12AB AC r OD ===， 所以四边形ABDO 为菱形，所以12AD AB AO a b =+=+．故选C ．【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题．7.设函数11xf x a e （）=+-，若f x （）为奇函数，则不等式()1f x >的解集为（ ） A. 01（，） B. 13n -∞（，）C. 03ln （，）D. 02（，）【答案】C 【解析】 【分析】由f x （）为奇函数得到12a =，再分析得到函数1112x f x e +-（）＝在()0,+∞上为减函数且()()0f x f x >，在0∞（﹣，）上减函数且0f x （）＜，又由ln31131,12f ln e （）＝+=-则1f 3f x x f ln （）＞得到（）＞（），则有03x ln ＜＜，即不等式的解集为0 3.ln ，【详解】根据题意，函数()11xf x a e =+-，其定义域为{}0x x ≠， 若()f x 为奇函数，则()()0,f x f x -+=即11120,11xx a a a e e -⎛⎫⎛⎫+++=-+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭解可得1,2a =则()1112x f x e =+-. 又由1xy e ＝﹣在0（，）+∞为增函数，其0y ＞，则1112x f x e +-（）＝在()0,+∞上为减函数且()0.f x > 则()f x 在0∞（﹣，）上减函数且0f x （）＜，又由ln31131,12f ln e （）＝+=-则13f x f x f ln ⇒（）＞（）＞（），则有03x ln ＜＜，即不等式的解集为0 3.ln ，故选 C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查函数的单调性及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8.已知0,0,,a b a b >>的等比中项为2，则11a b b a+++的最小值为（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 42【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项得：4ab =，目标式子变形为5()4a b +，再利用基本不等式求最小值. 【详解】11155()()(1)()2544a b a b a b a b a b ab b a ab ab ++++=++=++=+≥⋅=， 等号成立当且仅当2a b ==，∴原式的最小值为5.【点睛】利用基本不等式求最小值时，注意验证等号成立的条件. 9.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2ϕπ<）的图象如图所示，令()()()g x f x f x '=+，则下列关于函数()g x 的说法中正确的是（ ）A. 函数()g x 图象的对称轴方程为512x k π=π+()k ∈Z B. 函数()g x 的最大值为2C. 函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线31y x =-+平行D. 若函数()()2h x g x =+的两个不同零点分别为1x ，2x ，则12x x -最小值为2π 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数f （x ）的图象求出A 、T 、ω和φ的值，写出f （x ）的解析式，求出f ′（x ），写出g （x ）＝f （x ）+f ′（x ）的解析式，再判断题目中的选项是否正确． 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+）的图象知，A ＝2，24362T πππ=-=， ∴T ＝2π，ω2Tπ==1； 根据五点法画图知， 当x 6π=时，ωx +φ6π=+φ0=∴φ6π=-，∴f （x ）＝2cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭∴f ′（x ）＝2sin 6x π⎛⎫--⎪⎝⎭， ∴g （x ）＝f （x ）+f ′（x ） ＝2cos 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭ 2sin 6x π⎛⎫--⎪⎝⎭＝ cos 12x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭令12x k ππ+=，k ∈Z ，解得-12x k ππ= k ∈Z ，∴函数g （x ）的对称轴方程为12x k ππ=-,k ∈Z ，A 错误当+12x π=2k π，即212x k ππ=-时，函数g （x ）取得最大值，B 错误；g ′（x）＝+12x π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 假设函数g （x ）的图象上存在点P （x 0，y 0），使得在P 点处的切线与直线l ：y ＝-3x+1平行 则k ＝g ′（0x）＝0+12x π⎛⎫- ⎪⎝⎭=-3得0sin +112x π⎛⎫=> ⎪⎝⎭,显然不成立，所以假设错误，即C 错误； 方程g （x ）＝-2，则cos +12x π⎛⎫⎪⎝⎭＝2， ∴cos +12x π⎛⎫ ⎪⎝⎭= ∴+12x π=4π+2k π或+12x π= 24k ππ-+ ,k ∈Z ；即x 2k π=+ 6π或x 23k ππ=-,k ∈Z故方程的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12x x -最小值为2π 12x x -的最小值为2π，D 正确． 故选D ．【点睛】本题考查了由()()cos f x A x ωϕ=+的部分图象确定解析式，三角函数的性质，也考查了导数的应用以及命题真假的判断问题，是中档题．10.已知函数22ln ,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩，若方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，则实数k的取值范围是（ ） A. 1(,1)3B. 1(,2)3C. 14(,)25D. 1(,1)2【答案】D 【解析】 【分析】原题等价于函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点，当直线1y kx =+与函数()232f x x x =--相切时，12k =，当直线1y kx =+与函数()2ln f x x x x =-相切时，利用导数的几何意义可得1k =，再结合图象即可得结果.【详解】作出22ln ,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的图象如图所示，方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，等价于函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点， 其临界位置为1y kx =+和两段曲线相切时， 当直线1y kx =+与函数()232f x x x =--相切时， 联立2321y x x y kx ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩得()222320x k x +++=，由241270k k =+-=，解得12k =或72k =-（由图可得舍负） 当直线1y kx =+与函数()2ln f x x x x =-相切时， 设切点坐标为()0000,2ln x x x x -，()1ln f x x '=-，切线的斜率为：01ln k x =-，切线方程为()()000002ln 1ln y x x x x x x -+=--，由于切线1y kx =+恒过()0,1，代入可得01x =，可得：1k =， 即由图知函数()f x 的图象与直线1y kx =+有四个交点时， 实数k 的取值范围是112k <<， 故选：D .【点睛】本题主要考查了方程的根的个数与函数图象交点个数的关系及利用导数求函数图象的切线方程，有一定难度.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 11.在给出的下列命题中，正确的是（ ）A. 设O A B C 、、、是同一平面上的四个点，若(1)()OA m OB m OC m R =⋅+-⋅∈，则点、、A B C 必共线B. 若向量,a b 是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为()c a b R λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的C. 已知平面向量OA OB OC 、、满足,||||AB AC OA OB OA OC AO AB AC λ⎛⎫⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭则ABC ∆为等腰三角形D. 已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆是等边三角形【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A ，根据共线定理判断A 、B 、C 三点共线即可；对于B ，根据平面向量的基本定理，判断命题错误；对于C ，根据向量的运算性质可得OA 为BC 的垂线且OA 在 BAC ∠的角平分线上，从而可判断C ；对于D ，根据平面向量的线性表示与数量积运算得出命题正确； 【详解】对于A ，()1()m OB m OC m R OA =⋅+-⋅∈，∴()OA OC m OB OC -=-，∴ C A mCB =，且有公共点C ， ∴则点A 、B 、C 共线，命题A 正确；对于B ，根据平面向量的基本定理缺少条件,a b 不共线，故B 错误；对于C ，由于 O A OB OA OC ⋅=⋅，即()0OA OB OC ⋅-=， 0OA CB ⋅=，得 O A CB ⊥，即OA 为BC 的垂线， 又由于||||AB AC AO AB AC λ⎛⎫=+⎪⎝⎭，可得OA 在 BAC ∠的角平分线上， 综合得ABC ∆为等腰三角形，故C 正确；对于D ，平面向量OA 、OB 、OC 满足()0OA OB OC r r ===>，且0OA OB OC ++=， ∴ O OA B OC +=-，∴2222OA OA OB OB OC +⋅+=， 即22222cos ,r r OA OB r r +⋅+=，∴1cos ,2OA OB =-， ∴OA 、OB 的夹角为120︒，同理OA 、OC 的夹角也为120︒， ∴ABC 是等边三角形，故D 正确； 故选ACD .【点睛】本题主要考查利用命题真假的判断考查了平面向量的综合应用问题，属于中档题. 12.已知函数()f x 的定义域为[]1,5-，部分对应值如下表：x1-0 4 5()f x12 2 1()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示，关于()f x 的命题正确的是（ ）A. 函数()f x 是周期函数B. 函数()f x 在[]0,2上是减函数C. 函数()y f x a =-的零点个数可能为0，1，2，3，4 D 当12a <<时，函数()y f x a =-有 4个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对五个命题，一一进行验证即可得到答案.【详解】由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图：由图得：A 为假命题，函数()f x 不能断定为是周期函数；B 为真命题，因为在[0]2，上导函数为负，故原函数递减； C 为真命题，动直线y a =与()y f x =图象交点个数可以为0、1、2、3、4个，故函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个；D 为假命题，当a 离1非常接近时，对于第二个图，()y f x =有2个零点，也可以是3个零点， 故选：BC .【点睛】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系,二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减，考查了通过函数图象研究零点的个数，属于中档题. 13.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A. 无论点F 在1BC 上怎么移动，都有11A F B D ⊥B. 当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1B D 相交于一点，记为点E ，且12A EEF= C. 无论点F 在1BC 上怎么移动，异面直线1A F 与CD 所成角都不可能是30 D. 当点F 移动至1BC 中点时，直线1A F 与平面1BDC 所成角最大且为60︒ 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A ，直接证明1B D ⊥面11A BC 即可判断A ；对于B ，设A 1F 和B 1D 相交于点E ，则11A DEFB E ，所以111 A E DA EF B F=，即可判断B ；对于C ，F 为BC 1中点时，最小角的正切值为2323>，最小角大于30，即可判断C ；对于D ，当F 为BC 1中点时，最大角的余弦值为161163262OF A F ==<，最大角大于60︒，可判断D . 【详解】对于A 选项，在正方体中，易知1111AC B D ⊥，由1DD ⊥面1111D C B A 得111AC DD ⊥，而1111B D DD D =，故11A C ⊥面11DD B ，所以111AC B D ⊥，同理可得：11BC B D ⊥，又因为1111BC AC C ⋂=，所以1B D ⊥面11A BC ， 又1A F ⊂面11A BC ，∴11A F B D ⊥，即A 正确；对于B 选项，当点F 为BC 1中点时，也是B 1C 的中点，它们共面于平面11A B CD ，且必相交，设交点为E ，连接A 1D 和B 1F ，如图所示：因为11A DEFB E ，所以111 2A E DAEF B F==，故B 正确； 对于C 选项，当F 从B 移至C 1时，异面直线A 1F 与CD 所成角由大变小再变大，且F 为BC 1中点时，最小角的正切值为2232123=>，最小角大于30，即C 正确；对于D 选项，当点F 在BC 1上移动时，直线A 1F 与平面BDC 1所成角由小变大再变小，如图所示，其中点O 为A 1在平面BDC 1上的投影，当F 为BC 1中点时，最大角的余弦值为16116326OF A F ==<，最大角大于60︒，故D 错误， 故选：ABC .【点睛】本题考查空间立体几何中的综合问题，涉及线面夹角、异面直线夹角、线线垂直等问题，考查学生的空间立体感和推理运算能力，属于中档题. 三.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 14.等比数列{}n a 的各项均为正数，且463718a a a a +=，则31323339log log log log a a a a ++++=__________【答案】9 【解析】 【分析】由等比数列通项公式得53a =，再由931323935log log log log a a a a ++⋯+=，能求出结果.【详解】∵等比数列{}n a 的各项均为正数，且463718a a a a +=， ∴由等比数列通项公式得53a =，∴31323339log log log log a a a a +++⋯+()3129log a a a =⨯⨯⋯⨯9353log 9log 39a ===，故答案为：9.【点睛】本题主要考查对数式求值，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.15.已知向量()()4,2,,1a b λ==，若a 与b 的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______.【答案】()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由a 与b 的夹角为锐角，则0a b ⋅>，列出不等式解出λ，要去掉使a 与b 同向（a 与b 的夹角为0）的λ的取值. 【详解】∵a 与b 的夹角为锐角 ∴0a b ⋅>，即420λ+>，解得12λ>-， 当2λ=时，a 与b 同向，∴实数λ的取值范围是()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭故答案为：()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查的知识点是向量数量积的性质及运算律，将夹角转化为数量积与0的关系是解题的关键，属于中档题.16.已知数列{}n a 中，()*112,1,n n n a n a a a n N +=-=+∈，若对于任意的[]2,2a ∈-，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则t 的取值范围为__________． 【答案】(][),22,-∞-+∞【解析】由题设可得111n n n a a a n n +-=+，即111n n n a a n n++=+，也即111(1)n n a a n n n n +=+++，所以11111n n a a n n n n +=+-++，令1,2,3,n n =⋅⋅⋅可得331212*********,,,,21123223433411n n a a a a a a a a n n n n +=+-=+-=+-⋅⋅⋅=+-++，将以上n 等式两边相加可得11111331111n a a n n n +=+-=-<+++，所以2213t at +-≥，即2240t at +-≥，令2()24,[2,2]F a t at a =+-∈-，则22(2)020{{(2)020F t t F t t -≥--≥⇒≥+-≥，解之得2t ≥或2t ≤-，应填答案(,2][2,)-∞-+∞．点睛：本题将数列的列项求和与不等式恒成立问题有机地加以整合，旨在考查数列通项递推关系，列项法求和，不等式恒成立等有关知识和方法．解答本题的关键是建立不等式组，求解时借助一次函数的图像建立不等式组22(2)020{{(2)020F t t F t t -≥--≥⇒≥+-≥，最后通过解不等式组使得问题巧妙获解．17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，b =ABC ∆面积为222)S b a c =--，则角B = _______ ，ABC ∆面积S 的最大值为_____.【答案】 (1). 56π(2). 4-【分析】用余弦定理代入三角形面积公式化简可得tan 3B =-，同时注意角的取值范围，即可求出B ，利用余弦定理得228a c =+，结合基本不等式可得(82ac ≤，代入三角形面积公式即可得结果.【详解】22231)(2cos )sin 12122S b a c ac B ac B =--=-=（sin tan cos 3B B B ∴==-(0,)B π∈，56B π∴=，1cos 22B B ∴=-=. 由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-，228a c =++（当且仅当a c =时取等号）8(2ac ∴≤=11sin 424S ac B ac ∴==≤-【点睛】本题主要考查通过余弦定理解三角形，三角形面积公式以及基本不等式的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．四.解答题（本大题共6小题，第18题10分，第19-21题14分，第22-23题15分，共82分）18.已知数列{}n a 中，3265,14a a a =+=，且122,2,2n n n a a a++成等比数列，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1(1)n n n b a n +=+-，求数列{}n b 的前2n 项和为2n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）24n n - 【解析】（1）由122,2,2n n n aa a ++成等比数列，化简可得122n n n a a a ++=+，利用等差数列的通项公式可得n a ；（2）根据{}n b 通项公式的特征，采用分组求和、并项求和与等差数列前n 项和公式相结合的形式求和即可. 【详解】（1）∵122,2,2n n n aa a ++成等比数列，∴112(2)22n n n a a a ++=⋅，∴122n n n a a a ++=+，∴数列{}n a 成等差数列， 由3265,14a a a =+=得1a 1,d 2，∴21n a n =-（2）∵1(1)n n n b a n +=+-，∴21221234212342n n n T b b b a a a a a n =+++=++-+++-++-=122()[1234(21)2]n a a a n n ++++-+-++--=[135(41)][(12)(34)(212)]n n n ++++-+-+-++--2(141)(1)2n n n +-+-⨯=24n n -【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和、并项求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 19.设函数()sin()cos()32f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()03f π=. （1）求ω和()y f x =的周期.（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短为原来的14倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值.【答案】（1）12ω=，4T π=；（2）最小值32- 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化函数()f x 为正弦型函数，根据()03f π=求出ω的值，进而可得周期；（2）写出()f x 解析式，利用平移法则写出()g x 的解析式，由,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数可得结果.【详解】（1）因为1()sin()cos()sin sin 322f x x x x x x ππωωωωω=-+-=+3sin )26x x x πωωω==- 由题设知()03f π=，所以,36k k Z ωππ-=π∈，故132k k Z ω=+∈，， 又03ω<<，所以12ω= 周期24T ππω==（2）由（1）得1()sin()26f x x π=-将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短为原来的14倍（纵坐标不变），得π26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，则())3g x x π=+，当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以当233x ππ+=-，即3x π=-时，()g x 取得最小值32-， 当232x ππ+=，即12x π=时，()g x 取得最大值3.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，将函数式化为()sin y A ωx φ=+的形式是解题的关键，属于中档题.20.如图，某公园有三条观光大道,,AB BC AC 围成直角三角形，其中直角边200BC m =，斜边400AB m =.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在,,AB BC AC 大道上嬉戏，（1）若甲、乙都以每分钟100m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后到达E ，甲到达D ，求此时甲、乙两人之间的距离；（2）甲、乙、丙所在位置分别记为点,,D E F .设CEF θ∠=，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且3DEF π∠=，请将甲、乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离.【答案】（1）7（2）5032sin()3y πθπθ=≤≤+；503m【解析】 【分析】（1）由题意300BD =，100BE =，BDE 中，由余弦定理可得甲乙两人之间的距离； （2）BDE 中，由正弦定理可得2002cos si si 0n n 6y yθθ-=︒，可将甲乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离. 【详解】（1）依题意得300,100BD BE ==在△ABC中，1cos2BCBAB==，所以3Bπ=在△BDE中，由余弦定理得2222cosDE BD BE BD BE B=+-⋅=2213001002300100700002+-⨯⨯⨯=，所以1007DE=答：甲、乙两人之间的距离为1007.（2）由题意得22,EF DE y BDE CEFθ==∠=∠=在Rt CEF∆中，cos2cosCE EF CEF yθ=⋅∠=在△BDE中，由正弦定理得sin sinBE DEBDE DBE=∠∠即2002cossi si0n n6y yθθ-=︒所以1003503,023cos sin sin()3yπθπθθθ==≤≤++，所以当6πθ=时，y有最小值503答：甲、乙之间的最小距离为503m.【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.21.如图，在四棱锥P ABCD-中，ABCD为矩形，APB∆是以P∠为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD．(1)证明：平面PAD⊥平面PBC；(2) M为直线PC的中点，且2AP AD==，求二面角A MD B--的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）310. 【解析】【分析】（Ⅰ）由ABCD 为矩形，得AD AB ⊥，再由面面垂直的性质可得AD ⊥平面PAB ，则AD PB ⊥，结合PA PB ⊥，由线面垂直的判定可得PB ⊥平面PAD ，进一步得到平面PAD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）取AB 中点O ，分别以,OP OB 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面MAD 与平面MBD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A MD B --的余弦值，再由平方关系求得二面角A MD B --的正弦值． 【详解】（Ⅰ）证明：ABCD 为矩形，AD AB ∴⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AD ∴⊥平面PAB ，则AD PB ⊥，又PA PB ⊥，PA AD A ⋂=，PB ∴⊥平面PAD ，而PB ⊂平面PBC ， 平面PAD ⊥平面PBC ；（Ⅱ）取AB 中点O ，分别以,OP OB 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系，由2AP AD ==，APB ∆是以P ∠为直角的等腰直角三角形， 得：()()()220,2,0,0,2,2,2,0,,122A D B M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 23223222,,1,,,1,,1222222MA MD MB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设平面MAD 的一个法向量为(),,m x y z =，由232022232022m MA x y z m MD x y z ⎧⋅=---=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩，取1y =，得()3,1,0m =-； 设平面MBD 的一个法向量为(),,n x y z =，由23202222022n MD x y z n MB x y z ⎧⋅=--+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，取1z =，得(),,n x y z =. 210cos ,10102m n m n m n ⋅-∴===-⋅⨯． ∴二面角A MD B --的正弦值为31010． 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．22.已知函数1()ln f x a x x =-，a R ∈． （1）若曲线()y f x =在点处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x -≤-．【答案】（1）1（2）见解析（3）见解析【解析】【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x ，21()a f x x x '=+． 又曲线()y f x =在点处的切线与直线20x y +=垂直，所以(1)12f a '=+=，即1a =．（2）由于21()ax f x x ='+． 当0a ≥时，对于，有()0f x '>在定义域上恒成立， 即()f x 在上是增函数．当0a <时，由()0f x '=，得． 当时，()0f x '>，()f x 单调递增；、 当时，()0f x '<，()f x 单调递减．(3)当1a =时，1(1)ln(1)1f x x x -=---，．、 令1()ln(1)251g x x x x =---+-． 2211(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --=+-=----'． 当2x >时，()0g x '<，()g x 单调递减．又(2)0=g ，所以()g x 在恒为负． 所以当时，()0g x ≤． 即1ln(1)2501x x x ---+≤-． 故当1a =，且2x ≥时，(1)25f x x -≤-成立．23.设函数()3()x f x mx e m R =-+∈. （1）讨论函数()f x 的极值；（2）若a 为整数，0m =，且(0,)x ∀∈+∞，不等式()[()2]2x a f x x --<+成立，求整数a 的最大值.【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，分为0m ≤和0m >两种情形，结合极值的定义即可得结论；（2）原不等式等价于2,01x x a x x e +<+>-，令()2,01x x g x x x e +=+>-，根据导数和函数的最值的关系即可求出a 的最值.【详解】（1）由题意可得()f x 的定义域为R ，()'=-x f x m e当0m ≤时，()0f x '<恒成立，∴()f x 在R 上单调递减，()f x 无极值，当0m >时，令()0f x '=，解得ln x m =，当(ln ,)x m ∈+∞时， ()0,()f x f x '<单调递减， 当(ln )x m ∈-∞，时，()0,()f x f x '>，单调递增， ∴()f x 在ln x m =处取得极大值，且极大值为(ln )ln 3=-+f m m m m ，无极小值， 综上所述，当0m ≤时，无极值，当0m >时，()f x 极大值为ln 3m m m -+，无极小值. （2）把0()3x m f x mx e =⎧⎨=-+⎩代入()[()2]2x a f x x --<+可得()(1)2x a x e x --<+， ∵0x >，则10x e -> ∴21x x a x e +-<-， ∴2,01x x a x x e +<+>-(*) 令2()1x x g x x e +=+-， ∴2(3)()(1)x x x e e x g x e --'=-， 由（1）可知，当1m =时，()3xf x e x =-++在()0,∞+上单调递减， 故函数()3x h x e x =--在(0,)+∞上单调递增，而(1)0(2)0h h <⎧⎨>⎩ ∴()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点0x 且0(1,2)x ∈故()g x '在(0,)+∞上也存在唯一的零点且为0x当0)(0x x ∈，时，()0g x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，∴min 0()()g x g x =由0()0g x '=，可得003x e x =+，∴00()1g x x =+，∴0()(2,3)g x ∈，由(*)式等价于0()a g x ，∴整数a 的最大值为2.【点睛】本题考查了导数和函数的单调性极值最值得关系，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于难题.。
山东省泰安市2021届高三第|一轮复习质量检测 (一模 )数学 (文科 )试题一、选择题：本大题共12个小题 ,每题5分 ,共60分.在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的 .{}{}1,1,124x A B x =-=≤< ,那么A B ⋂等于A.{}1,0,1-B.{}1C.{}1,1-D.{}0,1【答案】B{}124{02}x B x x x =≤<=≤< ,所以{1}A B ⋂= ,选B.311i i-+ (i 为虚数单位 )的模是B.【答案】A31(31)(1)24121(1)(1)2i i i i i i i i ---+===+++- ,所以31121i i i-=+=+ ,选A. 3.以下命题中 ,是真命题的是 A.00,0xx R e ∃∈≤B.2,2x x R x ∀∈>C.0a b +=的充要条件是1ab=-D.a >1,1b >是1ab >的充分条件【答案】DA 因为0x e > ,所以A 错误 .B 当1x =-时 ,1212,(1)12-=-= ,所以B 错误 .C 当0a b ==时 ,1ab=-不成立 ,所以C 错误 ,选D. {}1,2,3,4,5中随机选取一个数为a 从{}2,3,4中随机选取一个数b ,那么b a >的概率是A.45B.35C.25D.15【答案】C从两个集合中各选1个数有15种 ,满足b a >的数有 ,(1,2),(1,3),(2,3),(1,4),(2,4),(3,4)共有6个 ,所以b a >的概率是62155= ,选C.5.假设程序框图如下列图 ,那么该程序运行后输出k 的值是C.6D.7【答案】B第|一次35116,1n k =⨯+==；第二次168,22n k ===；第三次84,32n k ===；第四次42,42n k ===；第五次21,52n k ===此时满足条件输出5k = ,选B. 4x π=时 ,函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最||小值 ,那么函数34y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是 ,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 (),0π对称2x π=对称,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 当4x π=时 ,函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最||小值 ,即2,42k k Z ππϕπ+=-+∈ ,即32,4k k Z πϕπ=-+∈ ,所以()()3sin()04f x A x A π=-> ,所以333()sin()sin 444y f x A x A x πππ=-=--=- ,所以函数为奇函数且图像关于直线2x π=对称 ,选C.,2ABC AB ∆∠=中,A=60 ,且ABC ∆的面积为2,那么BC 的长为B.3D.7【答案】A11sin 60222S AB AC AC =⨯⋅=⨯=,所以1AC = ,所以2222cos603BC AB AC AB AC =+-⋅=, ,所以BC =,选A.8.()1,6,2a b a b a ==⋅-=那么向量a b 与的夹角为 A.2π B.3π C.4π D.6π 【答案】B2()2a b a a b a ⋅-=⋅-= ,所以3a b ⋅= ,所以31cos ,162a b a b a b⋅<>===⨯ ,所以,3a b π<>= ,选B.,,0,a b R ab ∈>且那么以下不等式中 ,恒成立的是A.a b +≥B.11a b +> C.2b a a b +≥ D.222a b ab +>【答案】C因为0ab > ,所以0,0b a a b >> ,即2b a a b +≥= ,所以选C. ()()3402f x x x a a =-+<<有三个零点1x 、x 2、x 3 ,且123,x x x <<那么以下结论正确的选项是A.11x >-B.20x <C.32x >D.201x <<【答案】D∵函数()()3402f x x x a a =-+<< ,∴f ′ (x ) =3x 2﹣4．令f ′ (x ) =0 ,得 x =±．∵当233x <-时 ,'()0f x >；在2323(,)33-上 ,'()0f x <；在23(,)3+∞上 ,'()0f x >．故函数在23(,)3-∞-)上是增函数 ,在2323(,)33-上是减函数 ,在23(,)3+∞上是增函数．故23()3f -是极大值 ,23()3f 是极小值．再由f (x )的三个零点为x 1 ,x 2 ,x 3 ,且123,x x x <<得 x 1＜﹣,﹣＜x 2,x 3＞．根据f (0 ) =a ＞0 ,且f () =a ﹣＜0 ,得＞x 2＞0．∴0＜x 2＜1．选D.()2110x a y +++=的倾斜角的取值范围是A.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 3[,)4ππ C.0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭D.3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B直线的斜截式方程为221111y x a a =--++ ,所以斜率为211k a =-+ ,即21tan 1a α=-+ ,所以1tan 0α-≤< ,解得34παπ≤< ,即倾斜角的取值范围是3[,)4ππ ,选B.()[]1,1f x -在上是增函数 ,且()11f -=- ,假设函数 ,()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-都成立 ,那么当[]1,1a ∈-时t 的取值范围是 A.22t -≤≤B.1122t -≤≤ C.202t t t ≤-=≥或或D.11022t t t ≤-=≥或或【答案】C因为奇函数()[]1,1f x -在上是增函数 ,且()11f -=- ,所以最||大值为(1)1f = ,要使()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-都成立 ,那么2121t at ≤-+ ,即220t at -≥ ,即(2)0t t a -≥ ,当0t =时 ,不等式成立 .当01a ≤≤时 ,不等式的解为22t a ≥≥ .当10a -≤≤时 ,不等式的解为22t a ≤≤- .综上选C.二、填空题：本大题共4个小题 ,每题4分 ,共16分.请把答案填在答题纸的相应位置.13.某个年级||有男生560人 ,女生420人 ,用分层抽样的方法从该年级||全体学生中抽取一个容量为280的样本 ,那么此样本中男生人数为 ▲ . 【答案】160设样本中男生人数为n ,那么有280560560420n =+ ,解得160n = . {}n a 满足：()222*121171,2,2,2,n n n a a a a a n N n a +-===+∈≥=则 ▲ .因为()222*112,2n n n a a a n N n +-=+∈≥ ,所以数列2{}n a 是以211a =为首||项 ,以2221413d a a =-=-=为公差的等差数列 ,所以213(1)32n a n n =+-=- ,所以1n a n ≥ ,所以7a ==.15.矩形ABCD 的顶点都在半径为5的球O 的球面上 ,且8,AB BC ==,那么棱锥O -ABCD 的体积为 ▲ .【答案】球心在矩形的射影为矩形对角线的交点上 . ,所以棱锥的高=,所以棱锥的体积为183⨯= .221x y m n+=的离心率为 2 ,且一个焦点与抛物线28x y =的焦点相同 ,那么此双曲线的方程为 ▲ .【答案】2213x y -= 抛物线的焦点坐标为(0,2) ,所以双曲线的焦点在y 轴上且2c = ,所以双曲线的方程为221y xn m -=- ,即220,0a n b m =>=-> ,所以a =,又2c e a === ,解得1n = ,所以222413b c a =-=-= ,即3,3m m -==- ,所以双曲线的方程为2213x y -= . 三、解答题：17. (本小题总分值12分 )设等比数列{}n a 的前n 项和为,415349,,,n S a a a a a =-成等差数列. (I )求数列{}n a 的通项公式；(II )证明：对任意21,,,k k k R N S S S +++∈成等差数列.18. (本小题总分值12分 )()sin ,,3,cos ,, 2.334x x m A A n f x m n fπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且 (1 )求A 的值； (II )设α、()()30780,,3,3,cos 21725f f πβαπβπαβ⎡⎤⎛⎫∈+=-=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭求的值.19. (本小题总分值12分 )如图 ,在四棱锥P -ABCD 中 ,平面PAB ⊥平面ABCD ,AB =AD ,60BAD ∠= ,E ,F 分别是AP ,AB 的中点.求证： (I )直线EF//平面PBC ；(II )平面DEF ⊥平面PAB.20. (本小题总分值12分 )电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况 ,随机抽取了100名观众进行调查 ,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时的间频率分布表 (时间单位为：分 )：将日将收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为 "体育迷〞 , "体育迷〞中有10名女性. (I )根据条件完成下面的2×2列联表 ,并据此资料你是否认为 "体育迷〞与性别有关 ?(II )将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为 "超级||体育迷〞 , "超级||体育迷〞中有2名女性 ,假设从 "超级||体育迷〞中任意选取2人 ,求至||少有1名女性观众的概率.21. (本小题总分值13分 )椭圆221:1164y x C += ,椭圆C 2以C 1的短轴为长轴 ,且与C 1有相同的离心率. (I )求椭圆C 2的方程；(II )设直线l 与椭圆C 2相交于不同的两点A 、B ,A 点的坐标为()2,0- ,点()00,Q y 在线段AB 的垂直平分线上 ,且4QA QB ⋅= ,求直线l 的方程.22. (本小题总分值13分 )函数()()21.xf x ax x e =++(I )假设曲线()1y f x x ==在处的切线与x 轴平行 ,求a 的值 ,并讨论()f x 的单调性；(2 )当0a =时 ,是否存在实数m 使不等式()214121mx x x f x mx +≥-++≥+和对任意[)0,x ∈+∞恒成立 ?假设存在 ,求出m 的值 ,假设不存在 ,请说明理由公众号：惟微小筑。
山东省泰安市宁阳一中2021届高三第一学期模块考试数学试题【含答案】2020．10一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R ，集合{}2|20A x R x x =∈->，集合{}|ln 10B x x =-≤，则(C R A) B=（ ） A. []0,2B. (]0,2C. []0,eD. (]0,e2. 已知2333211,,log 32a b c π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >> 3．命题为“[]21,2,20x x a ∀∈-≥”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A. 1a ≤B. 2a ≤C. 3a ≤D. 4a ≤4. 若先将函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再保持图象上所有点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则3g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 1B. 3-C. 3D. 25. ．如图Rt △ABC 中，∠ABC=，AC=2AB ，∠BAC 平分线交△ABC 的外接圆于点D ，设，则向量( ) A ．B ．C ．D ．6.函数()()23ln 44(2)x x f x x -+=-的图象可能是下面的图象( )A. B. C. D.7. 在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin3°的近似值为(π取近似值3.14) （ ） A.0.012B.0.052C.0.125D.0.2358.已知点O 是ABC ∆内一点，且满足420,7AOB ABC S OA OB mOC S ∆∆++==，则实数m 的值为（ ） A. 4-B. 2-C. 2D. 4二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分。
