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一维逆平均曲率流的对称群及 不变解

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一维不定常流笔记

一维不定常流笔记

b
p
0
t
ｆ
ｅ and f int o d :
2 t 2
c022
g 波动 Eq.
2、求解一维平面的波动方程，给出波的形式：
2 t 2
c02
2 x2
,
F1 x c0t F2 x c0t ,
u
x
f1 x c0t
f2 x c0t
f
p
0
t
0c0
f1 x c0t
4、局部热动平衡：考虑的系统在每一个宏观小、微观大的局部区域中都达到热 动平衡。 理想气体：是指粒子之间的相互作用很微弱，可以忽略不计。
多方气体：当理想气体的比定容热容 cV 为常数时，
5、动量和能量方程：能量=动能+内能+势能；
A-动量方程：
u uu F
t
动量密度： u 动量密度的源： F
2、简单波的一般形式：
两类方法求解：特征线法、流体动力学方程；
(1)-特征线法：
=const
dx dt
u
c
,
,
0
，
x , 0 t ,
=u
dp c
u
l
c
0,
c c u,
u c , u,
x u ct u u c u t u, u u x,t
进而可以求出压强、密度、声速等的信息；反之，亦可以求出。
p p0 p 0
int
o
t
u t
u 0 uu
p
u
t 0 u 0 a t 1 p 0 b
0
p , S
p
0
,
S
p
S
0
2

离散曲面曲率流 曲率

离散曲面曲率流 曲率

离散曲面曲率流曲率离散曲面曲率流是一种曲面重建方法，主要用于处理分割或几何复杂的曲面。

曲率是指曲面上的弯曲程度，通常通过曲面的一阶和二阶导数来定义。

曲率流是一种基于曲率的演化模型，旨在通过对曲面曲率的改变来重构曲面。

离散曲面曲率流则是在曲率流的基础上，加入了离散化的处理，用离散的点和三角形网格来描述曲面。

本文将对离散曲面曲率流的原理、方法、应用进行详细介绍。

一、曲率流原理曲率流模型本质上是一种偏微分方程模型，通过求解适当的变分问题求得曲面上的曲率函数，从而实现曲面重建。

曲率流模型的基本思想是通过表示曲面的局部几何特征，如曲率、法向量等，来构建一个能量函数，并通过求解这个能量函数的变分问题来求解曲面的形状。

变分问题通常是把能量函数最小化的问题，因此求解变分问题就是在一定约束条件下，求解代表曲面形状的函数，使得曲面上的这个函数最小化能量函数。

对于一个曲面上的点p，其曲率可以通过曲率半径r或曲率矩k来表示。

曲率半径r是曲面局部弧的半径，曲率矩k是曲面局部高斯曲率和平均曲率之和。

离散曲率流的主要思路是，以曲率作为曲面形状候选变量，建立起能量函数，并将曲率作为能量函数的极小点。

具体来说，离散曲率流模型中，曲面上的点和三角形网格被离散化，曲率在每个网格上被定义，曲面恢复的目标是找到一组使得能量函数最小的曲率值。

能量函数通常由曲率以及曲率对空间位置的依赖构成，更常用的是高斯曲率的能量函数，其公式为：E(k) = ∑f∑k[f]W[k[f]]²其中k[f]是三角形网格f上的曲率值，W[k[f]]是一个权重函数，它使得高斯曲率的能量函数对相对于平均曲率的变化更加敏感。

二、离散曲率流方法离散曲率流方法主要包括两个步骤：曲率的初始化和曲率的流动。

曲率的初始化是指给定初始的曲率函数，通常可以采用一些传统的方法来预估曲率值，例如三角形法向量、Shepard插值等。

曲率流动是指根据初始的曲率函数和能量函数，逐步调整曲率值，使得能量函数达到最小值。

一维波动方程的解题方法及习题答案

一维波动方程的解题方法及习题答案

第二篇数学物理方程—物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程一偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； 4、数理方程的线性导致解的叠加。

一、数理方程的来源和分类(状态描述、变化规律)1、来源 I .质点力学：牛顿第二定律F =mr 连续体力学 II.麦克斯韦方程弹性体力学<(弹性定律)'弦 杆振动：出血力— a 2V 2 u (r , t ) = 0 (波动方程); 膜 0t 2 流体力学：质量守恒律:皿不V ・(p y ) = 0£ d t热力学物态方程：过+ (y -V )y ="p + f = 0 (Euler eq.).d t p JJ D .d c=fffp d i nV- D = p ; J E -d l =JJB -d s nVx E = B ;力B - d c= 0 nV- B = 0; J H - d l DjJ(j + D ) - d s nVx H = j + D . E = -V u , B = Vx A ,u ,A 满足波动方程。

、Lorenz 力公式n 力学方程;制axwell eqsT 电导定律n 电报方程。

IIL 热力学统计物理 热传导方程:以一 k V 2T = 0；特别：稳态(生= 0): V 23 = 0 (Laplace equation). < 八 01 扩散方程:0P - D V 2 p = 0. 、 01 IV.量子力学的薛定谔方程： i 方迦=—疟 V 2 u + Vu .0 01 2 m二、数理方程的导出推导泛定方程的原则性步骤：（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。

（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”--- “无理取闹”（物理趣乐）。

一维均熵流方程组cauchy问题

一维均熵流方程组cauchy问题

一维均熵流方程组cauchy问题一维均熵流方程组Cauchy问题是一项具有重要意义的数学实验。

在计算流体动力学和定常非线性动力学等理论领域，它是一个有助于改善有关数值计算精度的工具。

它的定义是由一组多元组成的常微分方程组定义的，其中之一是一维均熵流方程组，它在许多真实的动力学系统中得到了广泛的应用。

关于这个问题的研究有着悠久的历史，这段历史可以追溯到18世纪。

贝尔松是一维均熵流方程组Cauchy问题的先驱之一，他于1788年发现了均熵流方程。

他提出了基于贝尔松方程的Cauchy问题，并用函数解决它。

这一发现开创了Cauchy问题的研究历史，并最终导致了一维均熵流方程组Cauchy问题的研究。

克劳斯及其同事于1871年首次提出了一维均熵流方程组Cauchy 问题。

他们基于贝尔松方程构造了一组问题，提出了一维均熵流方程组的Cauchy问题。

此后，有大量的研究人员持续不断地利用不同的方法来解决克劳斯Cauchy问题，如微分法、积分法、变分法和动力学系统等。

此外，近年来，随着科学计算技术的发展，若干动力学方法和机器学习技术被用于求解一维均熵流方程组Cauchy问题。

在一维均熵流方程组Cauchy问题的解决过程中，有几种重要的思路和原则。

首先，在构建均熵流方程组的Cauchy问题时，应考虑系统的初始条件和边界条件的确定。

其次，为了提高求解过程的准确性，应慎重选择求解方案，选择有效的数值方法和计算技术，采用合理的参数设置等。

最后，应考虑实际应用中可能存在的诸多限制，如复杂场景、大规模系统等。

此外，在均熵流方程组Cauchy问题的研究中，还存在一些其他挑战，如近似计算、衰减等。

针对这些挑战，有许多现有的方法，如拟牛顿法、调和方法、基于模型误差的自适应步长等。

因此，一维均熵流方程组Cauchy问题是一项具有重要意义的数学实验。

它的求解过程和结果对于许多非线性动力学系统的研究都具有重要意义，并为有关计算技术的发展提供了值得思考的经验教训。

吉林大学高等量子力学习题答案1

吉林大学高等量子力学习题答案1

高等量子力学习题和解答† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。

这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Q ˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。

进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。

可能有相应的守恒量存在。

解：设有线性变换Q ˆ，与时间无关；存在逆变换1ˆ-Q 。

在变换。

在变换ˆ(,)'(,)(,)r t r t Q r t Y ®Y =Y若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ˆ''ˆt ti H i H ¶Y =Y ¶Y =Y进而有进而有11[,]0t t i Q HQ i Q HQ Q HQ H H Q --¶Y =YÞ¶Y =Y Þ=Þ=2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转q d 角，试写出几何转动算符)(q d R ze的矩阵表示。

的矩阵表示。

解：解：'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z zq q q q q -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角'1''x x yd d y xd y z z qq q =+ìï<<Þ=-+íï=î若用矩阵表示用矩阵表示 '10'10'01x d x y d y z z q qæöæöæöç÷ç÷ç÷=-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø还可表示为还可表示为 '()ze r R d r q =10()1001zed R d d q q q æöç÷=-ç÷èø3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转q d 角，在此转动下，态函数由),,(z y x y 变为),,(),()',','(z y x d n U z y x y q y=。

薛定谔方程的群不变解和守恒律

薛定谔方程的群不变解和守恒律

薛定谔方程的群不变解和守恒律
薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程。

它可以用来描述粒子的动态，并且可以用来解释许多物理现象。

薛定谔方程的群不变解是指它满足群不变性，也就是说，对于任意的群变换都有相应的群不变解。

这一性质使得薛定谔方程能够适用于各种不同的情况。

守恒律是指在物理过程中，某些物理量的总和保持不变。

这些物理量包括能量、角动量、电荷等。

薛定谔方程能够描述的物理系统也必须满足这些守恒律。

20120915-三维几何中的对称性


√
√
√
√
√ 续
平移
锋利折痕
√
√ √ √
√ √ √
√ √ √ √ √ √ √
√ √ √ √ √ √ √
分割 两两 分离 连续 两两 两两 两两 symmetry
子空间对称 旋转，反射 相似转换 Rigid 反射 旋转，反射 等距
大曲率线 本地图像特征 曲率显著特征 本地滑动特征
√ √ √ √ √ √ √ √ √
1.引言.
数学科学尤其注重体现有序、对称和有限性，这些是美的最大表现形式。 ——亚里士多德 对称在自然、科学和艺术中是一个常见的概念（见图 1）。在物理世界中，在任何尺度上都存 在几何对称和规则结构，从水晶格到碳纳米材料到人体，到建筑结构和星系构造。很多生物化学过 程也都受到对称影响，所以我们感受到了丰富的生物结构，体现了较强的规律性模式。存在于自然 世界的这些大量的对称启发了人类思想，因此，将对称纳入对工具、建筑、艺术品甚至音乐的设计 当中。除了基于美观考虑以外，物理上最优化原则和制造工艺上的有效性也要求将对称引进工程和 架构当中。
输入 参考文献 方法 网 点 格 Alt et al. 1988 [4] Atallah et al. 1985 [5] Bermanis et al. 2010 [6] Berner et al. 2008
[7]
输出 图 像 全 部 √ √ 局 部 分 离 √ √ √ √ √ 连 续 外 在 √ √ √ √ 内 结构 转换类型 特征类型 在 两两 两两 两两 分割 刚性 反射 旋转，反射 刚性 （宽松）等 角差方程 滑动特点
√
平均最短距离
Lipman et al. 2010 [19]
相应空间光谱分析
√

平均曲率流相关问题及cr 流形上的自由边界问题(一)

平均曲率流相关问题及cr 流形上的自由边界问题(一)平均曲率流相关问题及CR流形上的自由边界问题平均曲率流相关问题•什么是平均曲率流？–平均曲率流是一种微分几何概念，描述了曲面的演化过程。

它在曲面的每个点上计算曲率向量的平均值，并根据结果调整曲面形状。

•平均曲率流方程是什么？–平均曲率流方程是一个偏微分方程，用于描述曲面的演化过程。

其方程可以表示为H = -Hn，其中H是曲面的平均曲率，n是曲面的法向量。

•什么是平均曲率流的应用？–平均曲率流可以用于图像处理、计算机视觉、医学图像重建等领域。

它可以改变曲面的形状，平滑噪声、去除图像中的不规则部分。

•平均曲率流的数学性质有哪些？–平均曲率流具有很多有趣的数学性质，比如曲面的体积会逐渐减小，曲率的平均值会逐渐变大。

这些性质对于理解曲面的演化过程非常重要。

CR流形上的自由边界问题•什么是CR流形？–CR流形是一种特殊的流形结构，它具有复解析性。

在CR 流形上，每个点都有一个特定的“切平面”，切平面上的点可以用复坐标来表示。

•什么是自由边界问题？–自由边界问题是指在流形上寻找一个适当的边界，使得问题的解在该边界上满足一定的条件。

在CR流形上，自由边界问题可以用来描述流形的边界形状的演化过程。

•CR流形上的自由边界问题有哪些应用？–CR流形上的自由边界问题在复分析领域具有广泛的应用。

比如，在研究复凸函数、复流形上的全纯切向量等方面都涉及到自由边界问题的解析。

•CR流形上的自由边界问题的数学性质有哪些？–CR流形上的自由边界问题具有很多有趣的数学性质，比如解的存在性、唯一性以及解的连续依赖性等。

这些性质对于深入理解复分析和流形理论非常重要。

以上是关于平均曲率流相关问题及CR流形上的自由边界问题的简要介绍。

这些问题在微分几何和复分析等领域中有着广泛的研究和应用。

对于资深的创作者来说，了解这些问题的背景和性质，可以为创作提供一定的灵感和理论支持。

一维离散平均曲率方程Neumann问题解的存在性


Δéëêê
Δu(t-1) 1- (Δu(t-1))2
ùûúú
+λμ(t)uq(t)=0,
t∈
[2,n-1]ℤ
,
Δu(1)=0=u(n) 多个正解的存在性,这里λ>0为参数,n>4,q>1,μ:[2,n-1]ℤ →(0,+ ∞)是 连 续 的.受 上 述 研 究 结果启发,本文用紧向量场方程的解集连通理论给出一维离散平均曲率方程 Neumann问题
andgivetheexistenceresultoftheirsolutions,where [1,T]ℤ ∶= {1,2,…,T -1,T},T ≥ 2and
T∈ℕ+ ,ϕ(s)=
s 1-s2
,s∈
(-1,1),thenonlinearterm
f:[1,T]ℤ
×
ℝ
→
ℝ
iscontinuous.
Keywords:meancurvatureequation;Neumannproblem;connectivitytheoryofsolutionsets;upper
段 磊,陈天兰
(西北师范大学 数学与统计学院,兰州 730070)
摘要:用紧向量场方程的解集连通理论给出一维离散平均曲率方程 Neumann问题
Δ[ϕ(Δu(t-1))]=f(t,u(t)), t∈ [1,T]ℤ , Δu(0)=Δu(T)=0
的上下解方法,并给出其解的存在性结果,其中:[1,T]ℤ ∶= {1,2,…,T -1,T},T≥2 是 正
u(0)=0, u(1)=αu(η) 解的多重性结果,其中常数α∈(0,∞),η∈(0,1)满足共振条件αη=1,函数f:[0,1]× ℝ → ℝ 连 续. 文献[10]用上下解方法和单调迭代理论研究了非线性二阶离散 Neumann边值问题

【2017年整理】【丘先生关于庞加莱猜想证明的简介】

【丘先生关于庞加莱猜想证明的简介】庞加莱(Poincare)：思想仅是漫漫长夜中的一个闪光，但这闪光意味着所有一切。

丘成桐：庞加莱猜想的破解，是一件令我们中国人很骄傲的事情。

因为在中国本土上，我们第一次完成了一个伟大数学猜想的最后一步，震动了全球数学界!我觉得特别骄傲，因为从1979年那次回国开始，我一直期望中国本土能做出一流的工作。

相信我们年轻的朋友、学生也因庞加莱猜想的破解而受到鼓舞。

三维空间的结构丘成桐哈佛大学数学系请到http：///Active/20060626_005.ppt看原文及极漂亮的图片。

(所有图形取自顾险峰，王雅琳，丘成桐的合作文章，由顾险峰提供)先生们，女士们：今天我将会告诉你们数学上的一页篇章是如何结束和新的篇章正在开始。

请允许我先从一些基本的观察开始。

(1)几何结构几何学的主要目的是描述与分类有趣的几何结构。

我们在日常生活中看到许多有趣的几何结构。

我举几个例子：(2)连通和构造曲面的一个抽象和主要的方法是作曲面的连通和。

(3)曲面结构定理定理(曲面分类定理)任意闭的可定向的曲面是如下曲面之一：球面，环面或有限多个环面的连通和。

(4)共形几何为了更深入理解曲面，庞加莱建议理解这些2维对象上的共形几何。

例子：在地球上我们利用经线和纬线来确定方位。

它们互相垂直。

当我们将方形的地图映到球面上的时候，距离产生了扭曲。

比如，北极附近很小的区域在方形地图上是很大的区域。

不过，经线与纬线的正交性在映照下保持不变。

所以，如果一艘船在海上航行，我们可以用地图精确地指引它的航向。

(5)共形结构：庞加莱(Poincare)发现，我们可以在任何曲面上绘制经线(篮色曲线)与纬线(红色曲线)。

我们可以沿着曲面上某些特殊的曲线切割，然后把曲面在平面或圆盘上展开。

在这个过程中，经线与纬线保持不变。

曲面上共形结构的例子：定理(庞加莱单值化定理)：任意2维封闭空间必与一常高斯曲率空间共形等价。

(6)曲面上的Hamilton方程：我们可以通过曲率变动任意曲面。

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hτ − hθθ = h
设
(3.1)
X =ξ ( t , θ , h )
∂ ∂ ∂ + η ( t ,θ , h ) + φ ( t ,θ , h ) . ∂t ∂θ h
−φ + φ τ − φ θθ = 0.
是在开集 M ⊂ D × U 上的一个 c ∞ 向量场。对方程(2.2)而言，不变条件有如下形式：
把这个等式看成是函数 h 各阶偏导数的多项式，由于其各不相关，所以各阶偏导数的系数均恒等于零。 于是，我们得到一个偏微分方程组。
−φ + φτ − φθθ = 0, 0, − ξτ + ξθ + 2η= θ
ξθ h = − ηh 0, 2ηθ h − φ 0, η 0, ξ 0, = = = hh hh hh φh − 2ηθ = 0, ξθ = 0, ηh= 0, ξ h= 0.
进一步，根据上述单参数不变群可知，若 u = f ( x, y ) 是方程(3.1)的解，则下列 u (1) , u ( 2 ) , u ( 3) , u ( 4 ) 也是方程的 解，即群不变解。
Table 1. Lie bracket 表 1. 李括号运算
[vi,vj] v1 v2 v3 v4 v1 0 0 0 0 v2 0 0 −v4 v3 v3 0 v4 0 0 v4 0 −v 3 0 0
摘
要
本文通过严格闭凸曲线的支撑函数，将一维逆平均曲率流转化成偏微分方程，利用李点对称群理论，研 究了一维逆平均曲率流的对称群，并对方程进行约化，讨论了群不变解。
文章引用: 薛美乐. 一维逆平均曲率流的对称群及不变解[J]. 应用数学进展, 2018, 7(6): 667-672. DOI: 10.12677/aam.2018.76079
将 φ τ , φ θθ 的具体形式代入上式，并利用方程(3.1)，消去 hθθ ，即用 hτ − h 来代替 hθθ ，我们就可以得到 如下等式：
DOI: 10.12677/aam.2018.76079 669 应用数学进展
薛美乐
0= −φ + φτ + (φh − ξτ ) hτ − ητ hθ − ξ h hτ2 − ηh hτ hθ − φθθ − ( 2φθ h − ηθθ ) hθ + ξ hτ − (φhh − 2ηθ h ) hθ2 + 2ξθ h hτ hθ + ηhh hθ3 + ξ hh hτ hθ2 − (φh − 2ηθ )( hτ − h ) + 2ξ h hτθ + 3ηh hθ ( hτ − h ) + ξ huτ ( hτ − h ) + 2ξ h hθ hτθ .
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2018, 7(6), 667-672 Published Online June 2018 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2018.76079
h = hθθ + h τ
的对称群所对应的李代数由以下向量场生产：
∂ ∂ = , v2 , ∂τ ∂θ ∂ ∂ = = v3 sin (θ ) , v4 cos (θ ) . ∂h ∂h = v1
下面验证向量场 {v1 , v2 , v3 , v4 } 关于李括号运算是封闭的，见表 1。 由此不难解出与上列向量场相应的单参数群如下。
DOI: 10.12677/aam.2018.76079
670
应用数学进展
薛美乐
= u( ) f ( x − ε , y ) ,
1
= u ( ) f ( x, y − ε ) ,
2
= u ( ) f ( x, y ) + ε sin ( y ) ,
3
= u ( ) f ( x, y ) + ε cos ( y ) .
Symmetrical Groups and Invariant Solutions of One-Dimensional Inverse Mean Curvature Flows
Meile Xue
Liaocheng University, Liaocheng Shandong Received: May 22 , 2018; accepted: Jun. 12 , 2018; published: Jun. 19 , 2018
则曲线 γ 可由支撑函数及其支撑函数关于法向角的一阶偏导数给出
= x (θ ,τ ) h cos (θ ) − hθ sin (θ ) , y (θ ,τ ) h sin (θ ) + hθ cos (θ ) . =
通过直接计算可得
− xθ sin (θ ) + yθ cos (θ ) hθθ + h =
DOI: 10.12677/aam.2018.76079 668 应用数学进展
薛美乐
∂γ ∂γ ∂u ∂γ 取 γ (θ ,τ ) = γ ( u (θ ,τ ) , t (θ ,τ ) ) 。其中 t (θ ,τ ) = τ ， 。 = + ∂τ ∂u ∂τ ∂t
由链式法则可得
0 =
∂θ ∂θ ∂u ∂θ . = + ∂τ ∂u ∂τ ∂t
Open Access
1. 引言
本文主要采用不变群理论研究了一个从逆平均曲率流中推导出的非线性方程的群不变解问题。关于 逆平均曲率流的研究，已有很多结果，如 2012 年，丁琪研究了平均曲率流的自相似解和一类逆平均曲率 流[1]；2014 年，刘艳楠和苏梅研究了一类带外立场的逆平均曲率流的梯度估计[2]；2015 年，陈邦彦对 逆平均曲率流进行了研究[3]。 李对称群方法是研究几何和物理领域中微分方程不变解的基础方法.李群又 称对称群或不变群，它是数学中应用及其广泛的一个分支，李群与微分方程的联系由来已久，随着非线 性微分方程研究的需要，通过微分方程的不变性来研究非线性偏微分方程的性质，特别是方程的不变解 已成为一个十分重要的课题.为了求解微分方程的群不变解， 首先要确定微分方程的李点对称群及其子群. 本文将研究如下一维逆平均曲率流的对称群及不变解，方程如下：
(2.2)
这是一个偏微分方程，根据偏微分方程的理论，可以得到方程(*)解的局部存在唯一性定理。
3. 抛物型偏微分方程(2.2)的对称群
李对称方法是研究偏微分方程的有效工具，一个偏微分方程的对称群是作用在自变量和因变量空间 上最大的连通局部李氏变换群，并且它把方程的一个解映射到另一个解，即保持了解集的不变性。我们 以 2 阶偏微分方程为例。 下面我们将会给出偏微分方程(2.2)的对称群，则方程为：
2. 抛物型偏微分方程的导出
微分几何是运用微积分理论研究空间的几何性质，古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而 现代微分几何开始研究更一般的空间流形， 微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象， 关于这方面的研 究，已经建立了一个比较完整的体系。在过去的几十年中，数学家、物理学家以及天文学家对时空中的 曲线和曲面的运动越来越感兴趣， 这方面的研究也取得了很大的进展， 其中最重要的例子就是平均曲率流：
∂r = −k −1n. ∂t
其中： γ 是闭严格凸曲线， k −1 是平面曲线 γ 的逆平均曲率，向量 n 是平面曲线 γ 的单位内法向量。
(1.1)
本文首先利用凸曲线函数的支撑函数，将一维逆平均曲率流转化成简单的抛物型偏微分方程。其次 利用 Olver 提出的方法[4]系统的研究了抛物型偏微分方程，求解出该方程的对称代数，最后根据得到的 对称性的相关向量，通过对称约化方法[4]得到抛物型偏微分方程的群不变解。
4
4. 方程(3.1)的对称约化和群不变解
我们在求出非线性偏微分方程(3.1)的向量场后，接下来根据所求出的无穷小生成子得到偏微分方程 的约化方程，往往这些约化方程比原非线性偏微分方程容易求解，进而给出了 v1 + cv2 , v3 , v4 情形下得不变 解。
4.1. v1 + cv2 情形
首先求解 v1 + cv2 对应的不变量 ξ ，为求不变量，我们解 v1 + cv2 相应的特征方程， v1 + cv2 的特征方程 为：
Keywords
Inverse Mean Curvature Flow, Support Function, Symmetry Group, Invariant Solution
一维逆平均曲率流的对称群及 不变解
薛美乐
聊城大学，山东 聊城
收稿日期：2018年5月22日；录用日期：2018年6月12日；发布日期：2018年6月19日
定义演化曲线 γ (θ ,τ ) = ( x (θ ,τ ) , y (θ ,τ ) ) 的支撑函数为
h (= θ ,τ )
那么我们有
γ (θ ,τ )= , −n x (θ ,τ ) cos (θ ) + y (θ ,τ ) sin (θ ) .
hθ (θ ,τ ) = γ (θ ,τ ) , t = − x (θ ,τ ) sin (θ ) + y (θ ,τ ) cos (θ ) ,
dγ ds dγ ds ds ,t . = = ds dθ ds dθ dθ
由 Frenet-Serret 公式，我们有
1 hθθ + h = k
hτ=
∂γ , −n = ∂τ
∂γ ∂u ∂γ + , −n = ∂u ∂τ ∂t
∂γ , −n = k −1 = hθθ + h. ∂t
∂γ = kn. ∂t
逆平均曲率流：
(2.1)
这种流是抛物的，它是抛物型偏微分方程理论在几何中的成功应用，这一部分我们将研究如下一维
∂r = −k −1n ∂t