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【高中数学】名师与高徒─陈省生和丘成桐世界数坛，设有两项奖励，可谓举世瞩目，堪于诺贝尔奖相比。
一项是在国际数学家大会颁发的菲尔兹（fields）奖，这项奖只授予不超过40岁的年轻数学家；一项是由以色列沃尔夫基金会于1978年颁发的沃尔夫奖；每奖10万美元（数目最初于诺贝尔奖接近），授予当代最大的数学家。
1983年，旅美中国年轻数学家丘成桐教授荣获沃尔夫大奖，而他的老师美籍中国数学家陈省身教授则获沃尔夫大奖。
陈省身教授就是美国科学院院士，1975年美国国家科学奖获得者，当代世界最存有影响的数学家之一，现代微分几何的奠基人。
陈省身1911年10月26日出生于浙江省嘉兴县，陈省身教授是国际数学届整体微分几何研究的领导人物。
他1931年在清华大学研究刊登的第一篇研究论文，其题材就是有关“投影微分几何”的。
他写的积分几何，把希拉克学派的积分几何工作推到了更高的阶段。
陈省身对当时数学界知之甚少的示性类理论很感兴趣。
1945年他辨认出复流上存有充分反映为丛藓科扭口藓结构特征的不能变量，后来被命名为陈省身示性类就是微分几何学、代数几何学、为丛藓科扭口藓解析几何研习中最重要的不能变量。
“它的应用领域及于整个数学及理论物理”。
（沃尔夫奖评语）魏伊说道：“示性类的概念被陈的工作整个地好转了。
”陈省身因创建代数拓补与微分几何的联系，大力推进了整体几何的发展卓著于数学史册。
在将近半个世纪里，陈省身教授在微分几何研究中，取得了一系列丰硕的成果，其最突出的有：（1）关于卡勒（kahleian）g结构的同调和形式的分解定理：（2）欧几里得空间中闭子流的全曲率和紧嵌入的理论；（3）满足几何条件的子流形成唯一性定理；（4）积分几何中的运动公式。
（5）他同格里菲恩（p．griffiths）关于网上几何（webgeometry）的工作使这方面获得新生命，最近的发展（i．gelfand，r．mcpherson）；（6）他同莫泽（j．moser）关于cr－流形的工作最近多复变函数论进展的基础；（7）他同西蒙斯（j．simons）的特征式是量子力学异常（anomaly）现象的基本数学工具；（8）他同沃尔夫森（j．wolfson）关于调和映射的工作是整体微分几何的一个问题，在理论物理有重要应用。
多复变数函数论中的典型域的调和分析多复变数函数论是高等数学中一个重要的分支，也是复共轭论和复平面论基础，同时也是微分几何研究的重要工具。
多复变数函数论中的典型域是许多研究的研究重点，以其能够有效地描述复平面的结构和特性而受到研究的青睐。
本文以多复变数函数论中的典型域的调和分析为主题，介绍了调和分析的常用技术和理论，以及其在研究复平面的结构和特性中的重要意义。
首先，我们介绍一下调和分析。
调和分析是多复变数函数理论中的一个重要分支，用来研究复平面中的调和型函数结构。
调和型函数主要用来研究复平面中的局部特性和结构，其中的主要技术如析解，积分等。
调和分析的核心思想是应用定义域上的复变函数特性，来描述复平面中的函数结构。
根据两种不同的定义域结构，可以将复变函数分为奇函数和偶函数。
其次，我们介绍多复变数函数论中的典型域。
典型域是多复变数函数论中常用的一种域，它是一个包含有限多边形或圆形的区域。
在多复变数函数理论中，典型域是一种特殊的域，其特点是能够有效地描述复平面的结构和特性。
典型域的结构可以分为四种：半平面，平行四边形，梯形和平行六边形。
通过对典型域的变换，可以实现对复变数函数的析解和多变函数结构的描述。
最后，我们介绍调和分析在多复变数函数论中的典型域研究中的意义。
通过调和分析，可以实现复变函数的连续性分析，推导出复变函数的定义域内的特性。
在研究复平面结构时，调和分析可以更好地描述复变数函数的定义域变化规律，从而研究复平面的结构和行为特性。
与传统的分析法相比，调和分析可以更好地描述复变函数的定义域特性，从而更好地描述复平面结构和特性。
总之，多复变数函数论中的典型域的调和分析是研究复平面结构和特性的重要工具。
调和分析不仅能够有效地描述复变函数的定义域特性，而且还能够更好地描述复平面结构和特性。
因此，多复变数函数论中的典型域的调和分析具有非常重要的意义，不仅为研究复平面的结构和性质提供了有效的工具，而且还为其他领域的研究提供了重要的理论支持。
国家自然科学基金学科代码数理科学部A01数学A0101数论A010101 解析数论A010102 代数数论A010103 数论应用A0102代数学A010201 群及其表示A010202 李群与李代数A010203 代数群与量子群A010204 同调与K理论A010205 环与代数A010206 编码与密码A010207 代数几何A0103几何学A010301 整体微分几何A010302 复几何与代数几何A010303 几何分析A0104拓扑学A010401 代数拓扑与微分拓扑A010402 低维流形上的拓扑A010403 一般拓扑学A0105函数论A010501 多复变函数论A010502 复动力系统A010503 单复变函数论A010504 调和分析与小波分析A010505 函数逼近论A0106泛函分析A010601 非线性泛函分析A010602 算子理论与算子代数A010603 空间理论A0107常微分方程与动力系统A010701 泛函微分方程A010702 定性理论与稳定性理论A010703 分支理论与混沌A010704 微分动力系统与哈密顿系统A010705 拓扑动力系统与遍历论A0108偏微分方程A010801 几何、物理和力学中的偏微分方程A010802 非线性椭圆和非线性抛物方程A010803 混合型、退化型偏微分方程A010804 非线性发展方程和无穷维动力系统A0109数学物理A010901 规范场论与超弦理论A010902 可积系统及其应用A0110概率论与随机分析A011001 马氏过程与遍历论A011002 随机分析与随机过程A011003 随机微分方程A011004 极限理论A0111数理统计A011101 抽样调查与试验设计A011102 时间序列与多元分析A011103 数据分析与统计计算A0112运筹学A011201 线性与非线性规划A011202 组合最优化A011203 随机最优化A011204 可靠性理论A0113控制论中的数学方法A011301 分布参数系统的控制理论A011302 随机系统的控制理论A0114应用数学方法A011401 信息论A011402 经济数学与金融数学A011403 生物数学A011404 不确定性的数学理论A011405 分形论及应用A0115数理逻辑和与计算机相关的数学A011501 数理逻辑A011502 公理集合论A011503 计算复杂性与符号计算A011504 机器证明A0116组合数学A011601 组合设计A011602 图论A011603 代数组合与组合矩阵论A0117计算数学与科学工程计算A011701 偏微分方程数值计算A011702 流体力学中的数值计算A011703 一般反问题的计算方法A011704 常微分方程数值计算A011705 数值代数A011706 数值逼近与计算几何A011707 谱方法及高精度数值方法A011708 有限元和边界元方法A011709 多重网格技术及区域分解A011710 自适应方法A011711 并行算法A02力学A0201力学中的基本问题和方法A020101 理性力学与力学中的数学方法A020102 物理力学A020103 力学中的反问题A0202动力学与控制A020201 分析力学A020202 动力系统的分岔与混沌A020203 运动稳定性及其控制A020204 非线性振动及其控制A020205 多体系统动力学A020206 转子动力学A020207 弹道力学与飞行力学A020208 载运工具动力学及其控制A020209 多场耦合与智能结构动力学A0203 固体力学A020301 弹性力学与塑性力学A020302 损伤与断裂力学A020303 疲劳与可靠性A020304 本构关系A020305 复合材料力学A020306 智能材料与结构力学A020307 超常环境下材料和结构的力学行为A020308 微纳米力学A020309 接触、摩擦与磨损力学A020310 表面、界面与薄膜力学A020311 岩体力学和土力学A020312 结构力学与结构优化A020313 结构振动、噪声与控制A020314 流固耦合力学A020315 制造工艺力学A020316 实验固体力学A020317 计算固体力学A0204流体力学A020401 湍流与流动稳定性A020402 水动力学A020403 空气动力学A020404 非平衡流与稀薄气体流动A020405 多相流与渗流A020406 非牛顿流与流变学A020407 流动噪声与气动声学A020408 流动控制和优化A020409 环境流体力学A020410 工业流体力学A020411 微重力流体力学A020412 交通流与颗粒流A020413 电磁与多场耦合流体力学A020414 实验流体力学A020415 计算流体力学A0205 生物力学A020501 组织与器官系统力学A020502 细胞、亚细胞、生物大分子力学A020503 仿生、生物材料与运动生物力学A0206 爆炸与冲击动力学A020601 爆炸力学A020602 冲击动力学A03天文学A0301 宇宙学A030101 宇宙学模型和参数、早期宇宙A030102 宇宙结构的形成和演化及观测宇宙学A030103 宇宙暗物质和暗能量A0302 星系和类星体A030201 银河系A030202 星系形成、结构和演化A030203 星系相互作用和并合；活动星系核A0303 恒星与星际物质A030301 恒星结构和演化与恒星大气A030302 变星和激变变星、双星和多星系统A030303 恒星形成与早期演化、星际介质和星际分子A030304 晚期演化和致密天体及其相关高能过程A030305 太阳系外行星系统A0304 太阳和太阳系A030401 太阳磁场和太阳发电机A030402 太阳日冕物质抛射、耀斑、日珥和其他活动A030403 日震学和太阳内部结构；太阳黑子和太阳活动周期变化A030404 太阳系的起源和演化及太阳系中行星、卫星和其他小天体A030405 太阳爆发活动对日地空间天气的影响A0305 天体中基本物理过程的理论和实验A030501 天文中基本物理过程和天体辐射过程的理论和实验A030502 实验室天体物理A0306 天体测量和天文地球动力学A030601 天文参考系及星表A030602 相对论天体测量A030603 天文地球动力学及天体测量学的应用A030604 时间与频率A0307 天体力学和人造卫星动力学A030701 人造天体、太阳系小天体、行星系统和恒星系统动力学A030702 N体问题、非线性和相对论天体力学A0308 天文技术和方法A030801 光学、紫外和红外天文技术与方法A030802 射电、毫米波和亚毫米波天文技术与方法A030803 高能天体物理技术方法和空间天文技术与方法A030804 海量数据处理及数值模拟天文技术与方法A0309 中、西方天文学史A0310 天文学同其他学科的交叉A04物理学IA0401凝聚态物性I:结构、力学和热学性质A040101 固体结构和人工微结构A040102 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水声和海洋声学及空气动力声学A040503 超声学、量子声学和声学效应A040504 噪声、噪声效应及其控制A040505 生理、心理声学和生物声学A040506 语言声学、乐声及声学信号处理A040507 声学换能器、声学测量方法和声学材料A040508 信息科学中的声学问题A040509 A040510 建筑声学与电声学与声学有关的其他物理问题和交叉学科A05物理学IIA0501 基础物理学A050101 物理学中的数学问题与计算方法A050102 经典物理及其唯象学研究A050103 量子物理及其应用A050104 量子信息学A050105 统计物理学与复杂系统A050106 相对论、引力与宇宙学A0502粒子物理学和场论A050201 场和粒子的一般理论及方法A050202 量子色动力学、强相互作用和强子物理A050203 电－弱相互作用及其唯象学A050204 非标准模型及其唯象学A050205 弦论、膜论及隐藏的空间维度A050206 非加速器粒子物理A050207 粒子天体物理和宇宙学A0503核物理A050301 原子核结构与特性研究A050302 原子核高激发态、高自旋态和超形变A050303 核裂变、核聚变、核衰变A050304 重离子核物理A050305 放射性核束物理、超重元素合成及反应机制A050306 中高能核物理A050307 核天体物理A0504 核技术及其应用A050401 离子束与物质相互作用和辐照损伤A050402 离子束核分析技术A050403 核效应分析技术A050404 中子技术及其应用A050405 加速器质谱技术A050406 离子注入及离子束材料改性A050407 核技术在环境科学、地学和考古中的应用A050408 核技术在工、农业和医学中的应用A050409 新概念、新原理、新方法A0505粒子物理与核物理实验方法与技术A050501 束流物理与加速器技术A050502 荷电粒子源、靶站和预加速装置A050503 束流传输和测量技术A050504 反应堆物理与技术A050505 散裂中子源相关技术A050506 探测技术和谱仪A050507 辐射剂量学和辐射防护A050508 实验数据获取与处理A050509 新原理、新方法、新技术、新应用A0506 等离子体物理A050601 等离子体中的基本过程与特性A050602 等离子体产生、加热与约束A050603 等离子体中的波与不稳定性A050604 等离子体中的非线性现象A050605 等离子体与物质相互作用A050606 等离子体诊断A050607 强粒子束与辐射源A050608 磁约束等离子体A050609 惯性约束等离子体A050610 低温等离子体及其应用A050611 空间和天体等离子体及特殊等离子体A0507 同步辐射技术及其应用A050701 同步辐射光源原理和技术A050702 自由电子激光原理和技术A050703 束线光学技术和实验方法国家自然科学基金学科代码化学科学部B01无机化学B0101无机合成和制备化学B010101 合成与制备技术B010102 合成化学B0102元素化学B010201 稀土化学B010202 主族元素化学B010203 过渡金属化学B010204 丰产元素与多酸化学B0103配位化学B010301 固体配位化学B010302 溶液配位化学B010303 功能配合物化学B0104生物无机化学B010401 金属蛋白酶化学B010402 生物微量元素化学B010403 细胞生物无机化学B010404 生物矿化及生物界面化学B0105固体无机化学B010501 缺陷化学B010502 固相反应化学B010503 固体表面与界面化学B010504 固体结构化学B0106物理无机化学B010601 无机化合物结构与性质B010602 理论无机化学B010603 无机光化学B010604 分子磁体B010605 无机反应热力学与动力学B0107无机材料化学B010701 无机固体功能材料化学B010702 仿生材料化学B0108分离化学B010801 萃取化学B010802 分离技术与方法B010803 无机膜化学与分离B0109核放射化学B010901 核化学与核燃料化学B010902 放射性药物和标记化合物B010903 放射分析化学B010904 放射性废物处理和综合利用B0110同位素化学B0111无机纳米化学B0112无机药物化学B0113无机超分子化学B0114有机金属化学B0115原子簇化学B0116应用无机化学B02有机化学B0201有机合成有机合成反应与试剂B020101B020102复杂化合物的设计与合成B020103 选择性有机反应B020104 催化与不对称反应B020105 组合合成B0202金属有机化学B020201 金属络合物的合成与反应B020202 生物金属有机化学B020203 金属有机材料化学B0203元素有机化学B020301 有机磷化学B020302 有机硅化学B020303 有机硼化学B020304 有机氟化学B0204天然有机化学B020401 甾体及萜类化学B020402 中草药与植物化学B020403 海洋天然产物化学B020404 天然产物合成化学B020405 微生物与真菌化学B0205物理有机化学B020501 活泼中间体化学B020502 有机光化学B020503 立体化学基础B020504 有机分子结构与反应活性B020505 理论与计算有机化学B020506 有机超分子与聚集体化学B020507 生物物理有机化学B0206药物化学B020601 药物分子设计与合成B020602 药物构效关系B0207化学生物学与生物有机化学B020701 多肽化学B020702 核酸化学B020703 蛋白质化学B020704 糖化学B020705 仿生模拟酶与酶化学B020706 生物催化与生物合成B0208有机分析B020801 有机分析方法B020802 手性分离化学B020803 生物有机分析B0209应用有机化学B020901 农用化学品化学B020902 食品化学B020903 香料与染料化学B0210绿色有机化学B0211有机分子功能材料化学B021101 功能有机分子的设计与合成B021102 功能有机分子的组装与性质B021103 生物有机功能材料B03物理化学B0301结构化学B030101 体相结构B030102 表面结构B030103 溶液结构B030104 动态结构B030105 光谱与波谱学B030106 纳米及介观结构B030107 方法与理论B0302理论和计算化学B030201 量子化学B030203 化学动力学理论B030204 计算模拟方法与应用B0303 催化化学B030301 多相催化B030302 均相催化B030303 仿生催化B030304 光催化B030305 催化表征方法与技术B0304化学动力学B030401 宏观动力学B030403 超快动力学B030404 激发态化学B0305胶体与界面化学B030501 表面活性剂B030502 分散体系与流变性能B030503 表面/界面吸附现象B030504 超细粉和颗粒B030505 分子组装与聚集体B030506 表面/界面表征技术B0306电化学B030601 电极过程动力学B030602 腐蚀电化学B030603 材料电化学B030604 光电化学B030605 界面电化学B030606 电催化B030607 纳米电化学B030608 化学电源B0307光化学和辐射化学B030701 超快光谱学B030702 材料光化学B030703 等离子体化学与应用B030704 辐射化学B030705 感光化学B030706 光化学与光物理过程B0308热力学B030801 化学平衡与热力学参数B030802 溶液化学B030803 量热学B030804 复杂流体B030805 非平衡态热力学与耗散结构B030806 统计热力学B0309生物物理化学B030901 结构生物物理化学B030902 生物光电化学与热力学B030903 生命过程动力学B030904 生物物理化学方法与技术B0310化学信息学B031001 分子信息学B031002 化学反应和化学过程的信息学B031003 化学数据库B031004 分子信息处理中的算法B04高分子科学B0401 高分子合成化学B040101 高分子设计与合成B040102 配位聚合与离子型聚合B040103 高分子光化学与辐射化学B040104 生物参与的聚合与降解反应B040105 缩聚反应B040106 自由基聚合B0402 高分子化学反应B040201 高分子降解与交联B040202 高分子接枝与嵌段B040203 高分子改性反应与方法B0403 功能与智能高分子B040301 吸附与分离功能高分子B040302 高分子催化剂和高分子试剂B040303 医用与药用高分子B040304 生物活性高分子B040305 液晶态高分子B040306 光电磁功能高分子B040307 储能与换能高分子B040308 高分子功能膜B040309 仿生高分子B0404 天然高分子与生物高分子B040401 基于可再生资源高分子B0405 高分子组装与超分子结构B040501 超分子聚合物B040502 超支化与树形高分子B0406 高分子物理与高分子物理化学B040601 高分子溶液B040602 高分子聚集态结构B040603 高分子转变与相变B040604 高分子形变与取向B040605 高分子纳米微结构及尺寸效应B040606 高分子表面与界面B040607 高分子结构与性能关系B040608 高分子测试及表征方法B040609 高分子流变学B040610 聚电解质与高分子凝胶B040611 高分子塑性与黏弹性B040612 高分子统计理论B040613 高分子理论计算与模拟B0407 应用高分子化学与物理B040701 高分子加工原理与新方法B040702 高性能聚合物B040703 高分子多相与多组分复合体系B040704 聚合反应动力学及聚合反应过程控制B040705 杂化高分子B040706 高分子循环利用B05 分析化学B0501 色谱分析B050101 气相色谱B050102 液相色谱B050103 离子色谱与薄层色谱B050104 毛细管电泳及电色谱B050105 微流控系统与芯片分析B050106 色谱柱固定相与填料B0502 电化学分析B050201 伏安法B050202 生物电分析化学B050203 化学修饰电极B050204 微电极与超微电极B050205 光谱电化学分析B050206 电化学传感器B050207 电致化学发光B0503 光谱分析B050301 原子发射与吸收光谱B050302 原子荧光与X-射线荧光光谱B050303 分子荧光与磷光光谱B050304 化学发光与生物发光B050305 紫外与可见光谱B050306 红外与拉曼光谱B050307 光声光谱B050308 共振光谱B0504 波谱分析与成像分析B0505 质谱分析B0506 分析仪器与试剂B050601 联用技术B050602 分析仪器关键部件、配件研制。
数学中的代数几何与代数流形数学作为一门自然科学，在不断发展和演变的过程中涌现出了许多重要的分支学科。
代数几何和代数流形作为数学的两个重要分支，在数学研究和应用中发挥着重要作用。
本文将就数学中的代数几何与代数流形进行介绍和探讨。
一、代数几何代数几何是研究几何图形的代数性质以及代数方程的几何解析的学科。
它的研究对象是由多项式方程组定义的代数集合。
代数几何的核心思想是将几何问题转化为代数问题，从而利用代数工具进行研究和解决。
1. 代数几何的基本概念代数几何中的基本概念包括代数簇、仿射簇、射影簇等。
代数簇是由一组多项式方程组定义的点集合，它是代数几何的基本研究对象。
仿射簇是由仿射空间中多项式方程组的零点集合定义的簇，射影簇则是由射影空间中多项式方程组的零点集合定义的簇。
2. 代数几何的方法和工具代数几何在研究中运用了许多方法和工具，比如理想论、消去理论、分次环等。
理想论是代数几何中重要的工具，通过研究多项式方程组的理想，可以深入了解和分析代数几何对象的性质。
消去理论是将代数方程组的解析几何性质与多项式方程在环上的代数性质相联系的方法。
二、代数流形代数流形是代数几何与微分几何的结合体，它是研究代数方程的解析几何性质的数学学科。
代数流形的研究对象是由代数方程组的零点集合在微分拓扑意义下构成的空间。
1. 代数流形的基本概念代数流形中的基本概念包括流形、流形上的切空间、切矢量等。
流形是一个具有局部欧几里得结构的空间，它可以用一族坐标系来描述。
在流形上的每一点，都存在一个切空间，切矢量是流形上的一种运算工具。
2. 代数流形的结构与性质代数流形具有一定的结构与性质。
其中，代数流形的切空间是代数流形在该点处的局部线性化，它可以用于研究代数流形的切向量和切空间上的微分结构。
代数流形还具有微分结构、微分流形的概念等，通过这些结构可以研究流形的性质和变化。
三、代数几何与代数流形的联系与应用代数几何和代数流形在数学研究和应用中有着密切的联系和应用。
复变函数期末复习多复变函数论duofubian hanshulun多复变函数论theory of analytic functions of several variables数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分⽀学科，有时也称多复分析。
它形成较晚，但发展迅速。
它虽然有着经典的单复变函数的渊源，但由于其特有的困难和复杂性，在研究的重点和⽅法上，都和单复变函数论（见复变函数论）有显著的区别。
因为多复变全纯函数的性质在很⼤程度上由定义区域的⼏何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了⼀个由局部性质到整体性质的逐步的转移。
它⼴泛地使⽤着微分⼏何学、代数⼏何、李群、拓扑学、微分⽅程等相邻学科中的概念和⽅法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。
如果说各学科的相互渗透和影响⽇益⼴泛是近代数学的特征，那么对多复变函数论⽽⾔，这⼀特点尤为显著。
历史发展多复变函数论的研究，早在单复变函数论的(G.F.)B.黎曼和K.(T.W.)外尔斯特拉斯时代就已经零散地开始了。
但真正标志着多复变函数论这⼀学科创⽴的，是19世纪末和20世纪初(J.-)H.庞加莱、P.库⾟、F.M.哈托格斯等⼈的⼯作。
他们的研究揭⽰了多复变全纯函数本质上的独特性。
在这当中，库⾟提出的关于全纯函数整体性质的两个以他命名的问题以及E.E.列维提出的拟凸域和全纯域是否等价的问题，更有着深远的影响，长时间成为多复变函数论发展的⼀个推动因素。
20世纪30年代以前，虽然出现过K.莱因哈特关于解析⾃同构群、S.伯格曼关于核函数和度量等重要⼯作，但整个说来，多复变函数论处于相对沉寂的时期。
从30年代开始，多复变的研究迎来了初步繁荣。
这⼀时期中陆续出现了H.嘉当关于全纯⾃同构的惟⼀性定理、有界域全纯⾃同构群的李群性质以及全纯域与全纯凸的等价性的嘉当－苏伦定理等突出成果。
特别是从1936年开始，⽇本数学家对库⾟问题、列维问题、逼近问题等多复变的中⼼问题进⾏了长期、系统⽽富有成效的研究，终于在50年代对上述诸问题给出了解答。
复变函数的应用以及发展史樊军华 2009100009铜仁学院数学与计算机科学系10数本（2)班摘要： 1.复变函数的简介2。
复变函数在本专业中的应用3。
复变函数的发展过程关键词：复变函数应用历史发展正文：论复变函数的应用以及发展史1. 复变函数的简介复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况.在很长时间里,人们对这类数不能理解.但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。
复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。
数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，有时也称多复分析。
它虽然有着经典的单复变函数的渊源,但由于其特有的困难和复杂性,在研究的重点和方法上，都和单复变函数论（见复变函数论)有显着的区别。
因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性质的逐步的转移。
它广泛地使用着微分几何学、代数几何、李群、拓扑学、微分方程等相邻学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域.复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。
当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支,并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。
2．复变函数的应用近代还有些函数论研究工作不再是考虑个别的函数，而是把具有某种性质的一族函数合在一起研究。
事实上，P·蒙泰尔的解析函数正规族就应属于这种类型的研究,并且显示了其威力。
从这种观点出发的研究有了很大发展。
例如Hp 空间，它与其他数学分支产生了较密切的联系。
复变函数理论从一个变数推广到多个变数是十分自然的想法，总称为复分析.但是多变数时,定义域的复杂性大大增加了,函数的性质较之单变数时也有显著的差异，它的研究需要借助更多的近代数学工具(见多复变函数论）。
读《古今数学思想》有感程麟淋道县数学提到“数学”二字，好像我们的脑海里仿佛只能浮现出一些数字、字母、算式、方程、抛物线等等，我们会的只是计算、解决与数学相关的问题，至于这些东西是怎么产生的，为什么会这样我们却不得而知。
非常有幸的是我在暑假里阅读了由美国著名数学家、数学史家、教育家、哲学家和应用物理学家莫里斯·克莱因撰写的《古今数学思想》，他的这部博大精深的不朽著作，向人们展示了数学从巴比伦和埃及起源时至20世纪最初几个年代的主要创造，围绕着数学思想的主要概念以及为其作出贡献的人物组织起来的这本巨著，给人们提供了数学发展的的一个概观，揭示了隐藏在今天这个学科互不相连的各个分支后面的统一性。
读完这本书，我感觉阅读这本书的过程就是我们数学教育者的一次寻根之旅。
本书作者莫里斯·克莱因（1908-1992），杰出的数学教育家、数学史学家和数学哲学家，应用物理学家。
1936年获得纽约大学数学专业博士学位。
1936年获得纽约大学数学专业博士学位，曾任纽约大学柯朗数学科学研究所电磁研究部主人行长达20年；担任纽约大学研究生数学教学委员会主席11年；拥有无线电工程方面的多项发明专利。
《数学杂志》、《精密科学史档案》两家刊物的编委。
其代表作《西方文化中的数学》、《古今数学思想》不仅在科学界，在整个学术文化界都广泛、持久的影响。
本书重点关注数学家的思想，描述了数学家在高度抽象的数学世界里开疆拓土的冒险历程。
着重在论述数学思想的古往今来，努力说明数学的意义是什么。
《古今数学思想》洋洋百万字，气势恢弘，虽不求面面俱到，但已把主流数学的发展脉络阐述得一清二楚。
该书的中译本分为四册：第一册重点讲述古埃及、古巴比伦的原始数学乃至古希腊数学体系的初步建立，突出了欧几里得《几何原本》和阿基米德的工作，兼顾了中世纪和文艺复兴的代数学和数论。
第二册可以看成数学中最重要的分支——微积分的发展史，包括解析几何、微分、积分、级数论和微分方程等，特别合乎高校数学教师和大学新生的胃口。
下面我们从四个方面论述纯数学的进展。
一、元数学20世纪初期，集合论的内在矛盾开始暴露出来，使数学界震动最大的是罗素在1901年发现的悖论。
为了解决这个矛盾，罗素提出了分支类型论，并在这个基础上与怀特海合著3大卷《数学原理》（1910－1913）。
一个解决悖论的途径是策梅罗于1908年提出的集合论的公理化，他的公理体系经过后来的补充和修改成为公理集合论的一个公认的基础。
与此同时，对于数学基础进行了热烈的争论，产生了相互对立的逻辑主义、直觉主义和形式主义三大派。
以希尔伯特为代表的形式主义企图把全部数学建立在少数公理的基础上，然后给公理的无矛盾性一个绝对的证明，这就是所谓证明论。
1931年，哥德尔证明了他的著名的不完全性定理，使得希尔伯特所期望的形式系统的绝对完全性的证明根本做不到，从而使数理逻辑完全转向一个新的方向。
1931年，哥德尔的不完全性定理导致数理逻辑的大发展。
首先是20世纪30年代发展起来的一般递归函数的概念，1936年图灵提出了图灵机的概念，给可计算性一个具体的刻画。
由于不完全性定理出现形式系统中的不可判定问题，特别是群的字的问题不可解与希尔伯特第10问题的否定解决。
1938年，哥德尔证明连续统假设的相对无矛盾性，20世纪60年代又发现选择公理和连续统假设等的相对独立性，由此产生一系列的数学方面的后果。
特别是从20世纪50年代起模型论的诞生，对数学本身也有很大的冲击，其中主要的是非标准分析的产生以及拓扑斯理论的发表。
由于集合论的公理系统不完全，自然考虑加进一些新的公理，其中选择公理是比较重要的，在代数和分析的许多证明中是不可少的。
但是也有一些公理，比如大基数公理，可以导出所有实数的子集都是勒贝格可测的。
数理逻辑的研究又重新受到数学家的重视。
二、结构数学20世纪上半期主要奠定抽象代数、一般拓扑学、测度和积分理论、泛函分析等分支的基础，20世纪下半期结构数学的重点是代数拓扑学。
1、抽象代数从19世纪末起，代数学的面貌发生了根本性改变，这时抽象群的结构理沦和表示理论已经有了一定的发展。
微分几何与流形微分几何是研究流形的数学分支，它运用微积分和代数几何的方法，研究了曲线、曲面及高维流形的性质。
流形是一种具有局部欧几里得空间特性的对象，可以用来描述自然界中的各种现象，例如曲线、曲面、多维空间等。
微分几何的研究对象主要是流形，并研究流形上的测度、曲率、切空间等性质。
一、流形的定义和性质流形是一种具有局部欧几里得空间特性的对象，其定义如下：定义1：设M是一个非空集合，如果对于M中的每个点p，存在p的一个邻域U和一个函数φ，使得φ将U映射为欧几里得空间R^n中的开集，且φ是一个1-1的连续映射，那么U就是一个开集，φ称为一个坐标图。
如果M中的每一个点都包含于某个坐标图的定义域中，则称M是一个n维流形。
根据上述定义，流形具有以下性质：性质1：流形是由多个坐标图覆盖得到的，每个坐标图都是一个局部欧几里得空间。
性质2：坐标图之间有一定的重叠区域，通过重叠区域可以进行坐标之间的转换。
性质3：流形上有定义良好的切空间，用来刻画流形上的切向量。
二、流形上的微分几何在流形上，与欧几里得空间类似，存在微分、微分形式、度量、曲率等概念，通过这些概念可以描述流形上的各类性质。
1. 微分在流形上，微分被定义为一个标量场沿着切向量的导数。
给定一个n维流形M，函数f:M→R是M上的一个标量场，而X是切向量场，那么标量场f沿着切向量X的导数是一个函数D_Xf:M→R，满足以下等式：D_X(fg) = (D_Xf)g + f(D_Xg)其中g是M上的另一个标量场。
2. 微分形式微分形式是流形上的一种广义函数，用来描述标量场在各点的导数和流形的局部几何特性。
微分形式可以通过外微分的方式构造，它是切向量场和对偶空间间的对偶。
3. 度量与曲率度量是刻画流形上距离和角度的概念，在欧几里得空间中我们熟悉的距离公式和角度概念同样适用于流形上。
曲率描述了流形的弯曲程度，通过曲率可以研究曲线、曲面上的几何性质，以及流形的整体几何结构。
微分几何与伴随着微分几何的发展而创立的张量分析是掌握广义相对论的基础工具。也由于广义相对论的成功，使一向冷僻的微分几何成为数学的中心学科之一。
从微积分发明起，微分几何的萌芽就诞生了。但是Euler、Clairaut和Monge的工作才真正使微分几何成为独立学科。Euler在关于测地学的工作中逐步得出重要得研究，并对法曲率的计算得出著名的Euler公式。Clairaut研究了曲线的曲率和挠率，Monge发表了《分析应用于几何的活页论文》，将曲线与曲面的重要性质用微分方程表示，使得经典微分几何的发展到达一个高峰期。Gauss在测地学的研究中，经过繁杂的计算，于 1827年发现了曲面的两个主曲率乘积与它在外围的Euclidean空间中的形状无关，仅仅取决于其第一基本形式，这个结果被Gauss得意地称为是绝妙定理，从而创立了内蕴几何，把曲面的研究从外围空间中解脱出来，将曲面自身作为一个空间来研究。1854年Riemann作了《关于几何基础的假设》，推广了 Gauss在 2维曲面的内蕴几何，从而发展出n维Riemann几何，随着多复变函数的发展。一批优秀数学家将微分几何的研究对象扩展到复流形，再拓展到包含奇点的复解析空间理论。微分几何的每一步前进所面临的都不仅仅是知识的深化，更意味着知识领域的不断拓展。在这里，微分几何与多复变函数论、Lie群理论、代数几何以及PDE都彼此产生深刻的互相影响。数学在不断的分化，又不断交融。
多复变函数论与微分几何的结合闪耀着迷人的光辉，单位圆和上半平面（两者可以建立共形映射）上定义Poincare度规后，单复变函数论与微分几何的联系就历历可见。Poincare度规是共形不变量。著名的 Schwarz定理在引入Poincare度规后就可以解释为：单位圆上Poincare度规在解析映射下不增加，当且仅当此映射是分式线性变换时 Poincare度规不变。应用Poincare度规下的双曲几何可以轻松证明著名的Picard小定理。而Picard大定理的证明需要用到艰深的模函数理论，如果用微分几何观点，也可以以极其简明的方式证明。这里，微分几何深深渗透到复变函数论之中。在多复变函数论中，分析复仿射空间的区域定义度规后，接下来就实微分几何的曲率计算和其他一系列计算。在单复变情形，所有奇点离散分布，而在多复变情形，由于著名的Hartogs开拓现象，所有孤立奇点都被吞没，甚至于奇点形成的连续区域也经常被吞没，只有形成实余维数为1的流形才可以避免这个厄运。但是，即使这种情形也需要其他限制条件才可以“确保安全”。多复变函数论中奇点的这种奇特性质使得它们注定要成为流形。1922年Bergman引进著名的Ber
gman核函数，那个时代的多复变函数还是 Weyl所说的草创时代，除了Hartogs、Poincare、Levi和Cousin等几位前辈的著名研究外几乎没有任何实质性进展，Bergman 的工作无疑给这个死气沉沉的领域注入了一股活力。在多复变函数中的域上的Bergman度量，在一维情形就是单位圆和Poincare上半平面上的 Poincare度量，这注定了Bergman工作的重要性。
代数几何的基本研究对象是任意维仿射空间或者射影空间中的代数方程组（定义方程组）的公共零点（代数簇）的性质，代数簇的定义方程组的系数以及代数簇的点所在的域所在的域称为基域。不可约代数簇是其基域的有限次扩域。我们熟悉的数域上线性空间就是以数域为基域的扩域，线性空间维数就是扩张次数。从这个观点出发，代数几何可以看成是对有限扩域的研究。代数簇的性质和其基域关系极其密切。对于域上复仿射空间或者复射影空间中的代数簇，研究的过程中不仅有大量概念和微分几何及多复变函数论重合，而且在研究过程中运用到大量有关的相似工具。复流形以及复解析空间的每一步进展无不同时影响着这些学科。许多相关领域的大师，虽然看上去只研究某一领域，但是其结果却影响到其他领域。例如： Lerey研究代数拓扑得出得层论，在代数拓扑中影响不大，单却由于Serre，Weil和H? Cartan（E?Cartan长子）的引进，深刻影响了代数几何和多复变函数论。Chern研究Hermite空间的示性类，但同时影响了代数几何、微分几何和多复变函数论。Hironaka研究代数几何中的奇点消解，但是他研究的复流形到复解析空间的修改与吹胀则影响了复解析空间理论。Yau证明了 Calabi猜想不仅影响了代数几何和微分几何同时影响了经典广义相对论。同时对于我们可以看出非线性常微分方程和偏微分方程在微分几何中的重要地位。 Cartan研究对称Riemann空间，得出了重要的分类定理，给出了1、2、3维空间中齐性有界域的完全分类，证明它们都是齐性对称域，同时他猜想：这种等价关系在n维情形也成立。1959年，Piatetski-Shapiro却在研究对称有界域的自守函数论的过程中找到了两个反例，在4维和5维的情形中各找出一个齐性有界域，它们不是齐性对称域，他将这些域命名为Siegel域，以纪念Siegel在1943年研究自守函数论方面的深刻工作。 Piatetski-Shapiro的这个结果深刻影响了多复变函数论和自守函数论，同时对于对称空间理论等一系列课题产生深远影响。正如我们知道的， Cartan将对称空间的研究化为Lie群和Lie代数的研究，这个观点直接受Klein的影响而又大大发展了Klein的初步想法。当年也正是 Cartan发展了Levi-Civita联络的概念，发展出微分几何
中的一般联络理论，通过流形上各点切空间的同构映射，实现了Klein的梦想，同时大大促进了微分几何的发展。同样是Cartan，断定和乐群在流形研究中的重要性，几经波折，终于在他去世后三十年左右才被证实是正确的。在这里，我们看到了微分几何的浩瀚优美。
正如我们熟知的，测地线联系着ODE（常微分方程），极小曲面和高维极小子流形联系着PDE（偏微分方程）。这些方程都是非线性方程，因此对于分析学有着极高的要求。单复变函数论中著名的Cauchy-Riemann方程组联结起PDE和复分析之间的联系，在多复变情形，Cauchy- Riemann方程组不仅空前深化了这个联系而且由于Cauchy-Riemann方程组的超定性（方程个数大于变量个数）导致了奇异的现象。这又使得 PDE与多复变函数论与微分几何紧密结合。
大多数学习微分几何的学者都被Gauss与Riemann的内蕴几何的无比深邃击晕，被Cartan的活动标架法的优美简洁倾倒，被Chern的示性类理论的博大精深折服，被Yau深厚精湛的几何分析功底震慑。当年年轻的 Chern面对整体微分几何时说自己就像面对一座闪耀金色光芒的山无比向往却一时无法攀到最高峰。但是后来他却赶在Hopf和Weil之前成为这个领域的一代宗师。
如果说Cartan发展的微分几何渐渐改变了广义相对论的几何模式的话，那么Chern等人的微分几何不仅在延续Cartan的影响而且以纤维丛的形式推动了规范场论的发展。微分几何仍然像Einstein时代那样和物理紧紧相连并且从物理中不断获取研究课题 为什么三维球无法赋予平坦度规却可以赋予共形平坦度规？因为三维球和其他维数的球一样无法与平坦空间建立等距映射，所以无法建立平坦度规；而n维球都是单连通常曲率空间，因此可以可以建立共形平坦度规。在微分几何中，等距的含义就是映射前后流形上对应点之间的曲线距离不变。一个流形与平坦空间等距时其 Riemann截面曲率恒为零。因为所有球面的曲率都为正的常数，所以n维球面以及其他的截面曲率非零的流形都无法赋予局部平坦度规。
但是还有局部共形平坦这个概念，对于流形上两个度规G和g，如果G=exp{ρ}?g，则称G与g之间的变换是共形变换。Weyl共形曲率张量在共形变换下保持不变，它是流形上的（1,3）型张量场。当Weyl共形曲率张量为零时，流形的曲率张量可以用Ricci曲率张量与数量曲率表示，所以 Penrose 总是强调曲率=Ricci+Weyl。
一个n维Riemann流形的度规张量g在局部上共形等价于平坦度规，则称为共形平坦流形。所有截面曲率为常数的流形（常曲率流形）都是共形平坦的，所以都可以赋予共形平坦度规。而所有维数的球面（当然包括三维
球）都是常曲率流形，所以必定可以赋予共形平坦度规。反过来，共形平坦流形却未必是常曲率流形。但是有一个和Einstein流形有关的美妙结果可以弥补这个遗憾：3维以上的共形平坦 Einstein流形必定是常曲率流形。就是说要想让共形平坦流形却是常曲率流形，就必须要求Ric=λg，而这就是Einstein流形的定义。式中 Ric为Ricci曲率张量，g为度规张量，λ为常数。Einstein流形的数量曲率S=mλ为常数。而且如果S非零则其上面不存在非零的平行切向量场。Einstein引入宇宙学常数，使得他错失了预言宇宙膨胀的伟大成就，于是Hubble就飞黄腾达了；但是带有宇宙项的真空引力场方程却产生了 Einstein流形，这为数学家的展现才智提供了新舞台。
对于3维连通Einstein流形，即使不要求其共形平坦，它也自动是常曲率流形，其他维数不成立这个美妙性质，我是大一暑假学习张量分析时才知道这个结果的，感觉看到这个结果是一种享受。实流形中的截面曲率与Kahler流形中的全纯截面曲率是不一样的概念，因此也产生不一样的结果。全纯截面曲率为常数的Kahler流形，其Ricci曲率必定为常数，所以必定为 Einstein流形，称为Kahler- Einstein流形。Kahler流形为Kahler- Einstein流形当且仅当其作为Riemann流形时是Einstein流形。N维复向量空间，复射影空间，复环面以及复双曲空间都是Kahler- Einstein流形。Kahler-Einstein流形的研究成为几何学家的智力享受。
再回头讲讲等距映射的一个重要结果。考虑两个 Riemann流形M和N间的等距映射以及其诱导的切空间之间的映射，取M上任意点p，在其切空间任选两个不共线的切向量，求出其截面曲率。在映射下p点及其切空间上的那两个切向量在映射下变成另两个切向量，也求出其截面曲率。如果这个映射是等距映射，则这两个截面曲率是相等的。或者含糊些说就是等距映射 不改变截面曲率。
反过来，如果任意点都成立截面曲率不改变的性质，那么映射是不是等距映射？答案是否定
