2008年北大数学分析试题解答(修订版终稿)

2008年北京市高级中等学校招生考试数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名．2．第Ⅰ卷是选择题，机读阅卷．3．第Ⅱ卷包括填空题和解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．第Ⅰ卷（机读卷共32分）一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADCCBBBD第Ⅱ卷（非机读卷共88分）二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）题号9101112答案12x()()a ab a b 4207ba31(1)n nnba三、解答题（共5道小题，共25分）13．（本小题满分5分）解：1182sin 45(2π)32222132··················································································· 4分22． ································································································· 5分14．（本小题满分5分）解：去括号，得51286x x ≤．···································································· 1分移项，得58612x x ≤．··········································································· 2分合并，得36x ≤． ······················································································ 3分系数化为1，得2x ≥．················································································· 4分不等式的解集在数轴上表示如下：················································································································· 5分15．（本小题满分5分）证明：AB ED ∥，B E ． ····························································································· 2分在ABC △和CED △中，1 2 30 123AB CE B E BCED ，，，ABC CED △≌△．···················································································· 4分AC CD ． ····························································································· 5分16．（本小题满分5分）解：由图象可知，点(21)M ，在直线3y kx 上， ············································· 1分231k ．解得2k ． ······························································································· 2分直线的解析式为23y x ．······································································· 3分令0y，可得32x．直线与x 轴的交点坐标为302，． ······························································ 4分令0x ，可得3y．直线与y 轴的交点坐标为(03)，． ······························································· 5分17．（本小题满分5分）解：222()2x y x y xxy y22()()x y x y x y ························································································ 2分2x yxy ． ································································································· 3分当30xy时，3x y ．·············································································· 4分原式677322y y y yyy．··············································································· 5分四、解答题（共2道小题，共10分）18．（本小题满分5分）解法一：如图1，分别过点A D ，作AEBC 于点E ，DF BC 于点F ．······································1分AE DF ∥．又AD BC ∥，四边形AEFD 是矩形．2EF AD ．······································2分ABCDFE 图1AB AC ，45B，42BC ，AB AC ．1222AEECBC ．22DF AE ，2CFECEF···················································································· 4分在Rt DFC △中，90DFC ，2222(22)(2)10DC DFCF． ··········································· 5分解法二：如图2，过点D 作DF AB ∥，分别交AC BC ，于点E F ，．···················· 1分ABAC ，90AEDBAC．AD BC ∥，18045DAEB BAC ．在Rt ABC △中，90BAC，45B，42BC，2sin 454242AC BC ································································· 2分在Rt ADE △中，90AED ，45DAE，2AD ，1DEAE ．3CE AC AE．·················································································· 4分在Rt DEC △中，90CED，22221310DC DECE．························································· 5分19．（本小题满分5分）解：（1）直线BD 与O 相切． ······································································· 1分证明：如图1，连结OD ．OA OD ，A ADO ．90C，90CBD CDB ．又CBDA ，90ADO CDB ．90ODB．直线BD 与O 相切．················································································· 2分DCOABE图1ABCDFE图2（2）解法一：如图1，连结DE ．AE 是O 的直径，90ADE ．:8:5AD AO ，4cos 5AD A AE ． ···················································································· 3分90C，CBD A ，4cos 5BC CBD BD． ············································································· 4分2BC，52BD．······································································ 5分解法二：如图2，过点O 作OH AD 于点H ．12AH DHAD ．:8:5AD AO ，4cos 5AH A AO ． ···················3分90C，CBD A ，4cos 5BC CBD BD． ································4分2BC ，52BD．································································································· 5分五、解答题（本题满分6分）解：（1）补全图1见下图． ············································································· 1分9137226311410546373003100100（个）．这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个．································· 3分200036000．估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋． ········································ 4分（2）图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为25%． ······························ 5分根据图表回答正确给1分，例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献．6分D COABH图240 35 30 25 20 15 10 5 0图1123 4 567 4311 26379 塑料袋数／个人数／位“限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料．．购物袋的人数统计图10六、解答题（共2道小题，共9分）21．解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x 千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时(40)x千米． ·························································································· 1分依题意，得3061(40)602xx ． ··································································· 3分解得200x．······························································································ 4分答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米．······························ 5分22．解：（1）重叠三角形A B C 的面积为3． ·················································· 1分（2）用含m 的代数式表示重叠三角形A B C 的面积为23(4)m ； ····················· 2分m 的取值范围为843m ≤．··········································································· 4分七、解答题（本题满分7分）23．（1）证明：2(32)220mxm x m 是关于x 的一元二次方程，222[(32)]4(22)44(2)m m m mm m ．当0m时，2(2)0m ，即0．方程有两个不相等的实数根．········································································ 2分（2）解：由求根公式，得(32)(2)2m m xm．22m x m 或1x ． ················································································· 3分0m ，222(1)1mm mm．12x x ，11x ，222m x m ． ··············································································· 4分21222221m yx x m m．即2(0)ymm 为所求． ·······················5分（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出2(0)y mm与2(0)y m m 的图象．····························································6分由图象可得，当1m ≥时，2y m ≤． ··········7分八、解答题（本题满分7分）24．解：（1）ykx 沿y 轴向上平移3个单位长度后经过y 轴上的点C ，1 2 3 44 3 21xy O -1 -2 -3 -4 -4-3 -2-1 2(0)ymm 2(0)ym m(03)C ，．设直线BC 的解析式为3ykx ．(30)B ，在直线BC 上，330k．解得1k．直线BC 的解析式为3yx． ································································· 1分抛物线2y xbx c 过点B C ，，9303b c c，．解得43b c，．抛物线的解析式为243yxx ． ······························································ 2分（2）由243y xx ．可得(21)(10)D A ，，，．3OB ，3OC ，1OA ，2AB．可得OBC △是等腰直角三角形．45OBC，32CB．如图1，设抛物线对称轴与x 轴交于点F ，112AF AB ．过点A 作AEBC 于点E ．90AEB．可得2BE AE ，22CE ．在AEC △与AFP △中，90AECAFP，ACEAPF ，AEC AFP △∽△．AE CE AFPF，2221PF．解得2PF．点P 在抛物线的对称轴上，点P 的坐标为(22)，或(22)，． ··································································· 5分1 Oy x2 344 3 2 1-1 -2 -2-1P EBD P ACF 图1（3）解法一：如图2，作点(10)A ，关于y 轴的对称点A ，则(10)A ，．连结A C A D ，，可得10A C AC，OCAOCA ．由勾股定理可得220CD，210A D ．又210A C，222A DA CCD ．A DC △是等腰直角三角形，90CA D，45DCA ．45OCA OCD ．45OCAOCD．即OCA 与OCD 两角和的度数为45． ························································ 7分解法二：如图3，连结BD ．同解法一可得20CD ，10AC．在Rt DBF △中，90DFB，1BFDF，222DB DFBF．在CBD △和COA △中，221DB AO ，3223BC OC，20210CD CA．DBBCCDAO OC CA ．CBD COA △∽△．BCD OCA ．45OCB ，45OCAOCD．即OCA 与OCD 两角和的度数为45． ························································ 7分九、解答题（本题满分8分）25．解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是PG PC ；1 O yx2 3 4 43 2 1-1 -2-1BDA C F 图2A 1 O y x2 3 443 2 1-1 -2 -2-1BDA C F 图3PG PC3．································································································· 2分（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图，延长GP 交AD 于点H ，连结CH CG ，．P 是线段DF 的中点，FP DP ．由题意可知AD FG ∥．GFP HDP ．GPF HPD ，GFP HDP △≌△．GPHP ，GF HD ．四边形ABCD 是菱形，CDCB ，60HDC ABC．由60ABC BEF ，且菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，可得60GBC ．HDCGBC ．四边形BEFG 是菱形，GF GB ．HD GB ．HDC GBC △≌△．CH CG ，DCH BCG ．120DCHHCB BCGHCB．即120HCG ．CH CG ，PH PG ，PG PC ，60GCPHCP．3PG PC．······························································································· 6分（3）PG PCtan(90)． ············································································ 8分D CG P ABEFH。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（理科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U 等于（ ） A ．{}|24x x -<≤B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤解：],4,1[-=B C U )(B C A U =}31|≤≤-x x 2．若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>解：0.521a =>，π0log 3log 1b ππ<=<=，222πlog sinlog 105c =<=，a b c ∴>> 3．“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：函数()()f x x ∈R 存在反函数，至少还有可能函数()f x 在R 上为减函数，充分条件不成立；而必要条件显然成立。

4．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解：把P 到直线1x =-向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。

5．若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则23x yz +=的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．9解：可行域是以(0,0),(0,1),(0.5,0.5)A B C -为顶点的三角形（如图），200x y y +≥+≥，0,0x y ∴==时20x y +=取最小值，0min 31z ==。

2008年高考北京理科数学详解一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合()U A B ð等于（ ）A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤ D ．{}|13x x -≤≤【标准答案】: D【试题分析】: C U B=[-1, 4]，()U A B ð＝{}|13x x -≤≤ 【高考考点】:集合【易错提醒】: 补集求错【备考提示】: 高考基本得分点 2．若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin5c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．b c a >> 【标准答案】: A【试题分析】:利用估值法知a 大于1，b 在0与1之间，c 小于0. 【高考考点】: 函数的映射关系，函数的图像。

【易错提醒】: 估值出现错误。

【备考提示】: 大小比较也是高考较常见的题型，希望引起注意。

3．“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【标准答案】: B【试题分析】: 函数()()f x x ∈R 存在反函数，至少还有可能函数()f x 在R 上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。

【高考考点】: 充要条件，反函数，映射关系，函数单调性。

【易错提醒】: 单调性与一一对应之间的关系不清楚 【备考提示】: 平时注意数形结合训练。

4．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线【标准答案】: D【试题分析】: 把P 到直线1x =-向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（文科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于（ ） A ．{}|34x x x ≤>或 B ．{}|13x x -<≤ C ．{}|34x x ≤<D ．{}|21x x -≤-<解：{}|21A B x x =-≤-< ，选D2．若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>解：利用中间值0和1来比较: 372log π>1log 61log 0.80a b c =<=<=<，0，3．“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：“双曲线的方程为221916x y -=”⇒“双曲线的准线方程为95x =±” 但是“准线方程为95x =±” ⇒ “双曲线的方程221916x y -=”,反例: 2211882x y -=.4．已知ABC △中，a =b =60B = ，那么角A 等于（ ）A ．135B ．90C ．45D ．30解：由正弦定理得:,sin 60sin sin sin sin 2a b A A B A B =⇒=== 45a b A B A <⇒<∴=5．函数2()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ ）A ．1()11)f x x -=> B ．1()11)f x x -=> C ．1()11)f x x -=≥D ．1()11)f x x -=≥解：22(1)1,(1)111y x x y x x =-+∴-=-<∴-=，又 所以反函数为1()11)f x x -=>6．若实数x y ，满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤，，，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2解：可行域是以(0,0),(0,1),(0.5,0.5)A B C -为顶点的三角形（如图），200x y y +≥+≥ ，0,0x y ∴==时2z x y =+取最小值0。

2008高考北京数学试卷含答案(全word版)2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B I 等于（ ）A ．{}|34x x x >或≤B ．{}|13x x -<≤C ．{}|34x x <≤D ．{}|21x x --<≤ 2．若372logπlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 3．“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知ABC △中，2a =3b =60B =o，那么角A 等于（ ）A ．135oB ．90oC ．45oD ．30o5．函数2()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ ）A ．1()11(1)f x x x -=+-> B ．1()11(1)f x x x -=--> C ．1()11(1)fx x x -=+-≥ D ．1()11(1)fx x x -=-≥6．若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则2z x y =+的最小值是（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2 7．已知等差数列{}na 中，26a=，515a=，若2nnba =，则数列{}nb 的前5项和等于（ ）A ．30B ．45C ．90D ．1868．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）A BC D M N P A 1 B 1C 1D 1y x A ． O y x B ． O y x C ． O yx D ． O2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ．10．不等式112x x ->+的解集是 ． 11．已知向量a 与b 的夹角为120o，且4==a b ，那么g a b 的值为 ． 12．5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答） 13．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f =函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ． 14．已知函数2()cos f x xx=-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，2 BC A y x1 O 3 4 5 6 123 4有如下条件： ①12x x >； ②2212xx >； ③12xx >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分） 已知函数2π()sin 3sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．16．（本小题共14分） 如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o，AP BP AB==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小．17．（本小题共13分）A CBP已知函数32()3(0)f x xax bx c b =+++≠，且()()2g x f x =-是奇函数．（Ⅰ）求a ，c 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．18．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． （Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．19．（本小题共14分） 已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234xy +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥．（Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积；（Ⅱ）当90ABC ∠=o，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．20．（本小题共13分） 数列{}na 满足11a=，21()n nan n a λ+=+-（12n =L ，，），λ是常数． （Ⅰ）当21a=-时，求λ及3a 的值；（Ⅱ）数列{}na 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数m ，当n m >时总有0na<．2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．D 2．A 3．A 4．C 5．B 6．A 7．C 8．B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．43 10．{}|2x x <- 11．8- 12．10 32 13．2 2- 14．②三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分）解：（Ⅰ）1cos 23()sin 222xf x x ωω-=+311sin 2cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤， 所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤． 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 16．（共14分） 解法一：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，．AP BP=Q ， PD AB ∴⊥． AC BC =Q ， CD AB∴⊥． PD CD D=Q I ，AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂Q 平面PCD ，AC BDPPC AB∴⊥．（Ⅱ）AC BC =Q ，AP BP =，APC BPC∴△≌△．又PC AC ⊥，PC BC∴⊥．又90ACB ∠=o，即AC BC ⊥，且AC PC C =I ，BC ∴⊥平面PAC ． 取AP 中点E ．连结BE CE ，．AB BP =Q ，BE AP ∴⊥． ECQ 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．BEC∴∠是二面角B AP C --的平面角．在BCE △中，90BCE ∠=o，2BC =，36BE AB ==6sin BC BEC BE ∴∠==．∴二面角B AP C --的大小为6arcsin3．解法二：（Ⅰ）AC BC =Q ，AP BP =，APC BPC∴△≌△．又PC AC ⊥，PC BC∴⊥．ACBE PAC BC C=Q I ，PC ∴⊥平面ABC ． AB ⊂Q 平面ABC ， PC AB∴⊥．（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -． 则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，． 设(00)P t ，，．22PB AB ==Q2t ∴=，(002)P ，，．取AP 中点E ，连结BE CE ，．AC PC =Q ，AB BP =，CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．BEC∴∠是二面角B AP C --的平面角． (011)E Q ，，，(011)EC =--u u u r ，，，(211)EB =--u u u r，，，3cos 326EC EB BEC EC EB ∴∠===u u u r u u u r g u u u r u u u r g g ．∴二面角B AP C --的大小为3arccos 3．17．（共13分）解：（Ⅰ）因为函数()()2g x f x =-为奇函数，所以，对任意的x ∈R ，()()g x g x -=-，即()2()2f x f x --=-+． 又32()3f x x ax bx c=+++所以32323232xax bx c x ax bx c -+-+-=----+．A CBP z y E所以22a a c c =-⎧⎨-=-+⎩，．解得02a c ==，． （Ⅱ）由（Ⅰ）得3()32f x x bx =++．所以2()33(0)f x xb b '=+≠．当0b <时，由()0f x '=得x b=-x变化时，()f x '的变化情况如下表：x ()b -∞--， b -- ()b b ---， b - b -+∞（，）()f x '+-+所以，当0b <时，函数()f x 在(b -∞-，上单调递增，在(b b --，上单调递减，在)b -+∞，上单调递增．当0b >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()-∞+∞，上单调递增．18．（共13分）解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件AE ，那么3324541()40A A P E C A ==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140．（Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么4424541()10A P E C A ==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=．19．（共14分）解：（Ⅰ）因为AB l ∥，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，． 由2234x y y x⎧+=⎨=⎩，得1x =±．所以12222AB x =-=．又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离． 所以2h =122ABCSAB h ==g △．（Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+， 由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340xmx m ++-=．因为A B ，在椭圆上， 所以212640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，， 则1232mx x +=-，212344m x x -=， 所以21232622m AB x -=-=．又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l 的距离，即22m BC -=所以22222210(1)11ACAB BC m m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-． 20．（共13分） 解：（Ⅰ）由于21()(12)n n a n n a n λ+=+-=L ，，，且11a=．所以当21a =-时，得12λ-=-，故3λ=．从而23(223)(1)3a =+-⨯-=-．（Ⅱ）数列{}na 不可能为等差数列，证明如下：由11a=，21()n nan n a λ+=+-得22a λ=-，3(6)(2)aλλ=--，4(12)(6)(2)aλλλ=---．若存在λ，使{}na 为等差数列，则3221aa a a -=-，即(5)(2)1λλλ--=-，解得3λ=． 于是2112aa λ-=-=-，43(11)(6)(2)24aa λλλ-=---=-．这与{}na 为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{}na 都不可能是等差数列． （Ⅲ）记2(12)nb n n n λ=+-=L ，，，根据题意可知，10b <且0nb ≠，即2λ>且2*()nn n λ≠+∈N ，这时总存在*n ∈N ，满足：当0n n ≥时，0nb>；当01n n-≤时，0nb<．所以由1n n na b a +=及110a=>可知，若0n 为偶数，则0n a<，从而当0n n >时，0na<；若0n 为奇数，则0n a>，从而当0n n>时0na>．因此“存在*m ∈N ，当n m >时总有0na <”的充分必要条件是：0n 为偶数，记02(12)nk k ==L ，，，则λ满足22221(2)20(21)210k k b k k b k k λλ-⎧=+->⎪⎨=-+--<⎪⎩．故λ的取值范围是22*4242()k k k k k λ-<<+∈N ．。

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至9页，共150分，考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡颇擦干净后，再选涂其他答案。

不能答在试卷上。

一、本大题共8小题，第小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合A ={x |-2≤x ≤3}≤3, B ={x |x <-1或x >4}, 则集合A ∩B 等于（A ）{x |x ≤3或x >4} （B ）{x |－1<x ≤3} （C ）{x |3≤x<4} (D) {x |－2≤x<-1} （2）若a =log 3π, b =log 76，c =log 20.8, 则（A ）a>b >c （B ）b>a >c （C ）c>a >b （D ）b>c >a（3）“双曲线的方程为116922=-y x ”是“双曲线的准线方程为x =59±”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）已知△ABC 中，a =2,b =3,B =60°,那么角A 等于 （A ）135° (B)90° (C)45°(D)30°（5）函数f (x )=(x -1)2+1(x <1)的反函数为（A ）f --1(x )=1+1-x (x>1) （B ）f --1(x )=1-1-x (x>1) （C ）f --1(x )=1+1-x (x ≥1)（D ）f --1(x )=1-1-x (x ≥1)x -y +1≥0,（6）若实数x ，y 满足 x +y ≥0, 则z =x +2y 的最小值是x ≤0,(A)0(B)21 (C) 1(D)2（7）已知等差数列｛a n ｝中，a 2=6,a 5=15.若b n =a 2n ,则数列｛b n ｝的前5项和等于(A)30 （B ）45 (C)90 (D)186（8）如图，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，过点P 作垂直平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于M 、N.设BP =x ,MN =y ,则函数y =f (x )的图象大致是绝密★使用完毕前2008年普通高等学校校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2008年高考数学试卷（北京卷）试题分析（第三部分） 2008．06．16参加编写人员：关闳、李梁、刘甦、宁少华、杜君毅、陆群、曾建川、王海涛、张晓东、于伟东、 姚晖、于龙、张红敏、欧阳昕、党胜军、周建军、杨宝华、白雪解答题（15）（文理相同）已知函数2()sin sin()(0)2f x x x x πωωωω=+⋅+>的最小正周期为π，（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[20,3π]上的取值范围．【命题意图】本题考查三角函数中的诱导公式、降幂公式、二倍角公式、辅助角公式及三角函数sin()y A x ωϕ=+（或cos()y A x ωϕ=+）的图象、性质、最小正周期公式等基础知识．考查利用三角公式进行恒等变形的技能和基本的运算能力． 【正确解法】（Ⅰ）解法1：1cos 2()cos 2112cos 22221sin(2)62xf x x x x x x ωωωωωπω-=+⋅=-+=-+()f x 的最小正周期为π，且0ω>，212ππωω∴=∴=解法2：1cos 2()cos 2112cos 22221cos(2)32xf x x x x x x ωωωωωπω-=+⋅=-+=-++以下同解法1（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得1()sin(2)62f x x π=-+203x π≤≤4023x π≤≤72666xπππ∴-≤-≤ 1s i n (2)126x π∴-≤-≤ 130sin(2)622x π∴≤-+≤即函数()f x 在区间[20,3π]上的取值范围为[0，32]．解法2：由（Ⅰ）得1()cos(2)32f x x π=-++203x π≤≤ 4023x π≤≤52333x πππ∴≤+≤ 11c o s (2)32x π∴-≤+≤ 130cos(2)322x π∴≤-++≤ 即函数()f x 在区间[20,3π]上的取值范围为[0，32]．解法3：由（Ⅰ）得1()sin(2)62f x x π=-+由222262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为 [,]63k k k Z ππππ-++∈由3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈得536k x k k Z ππππ+≤≤+∈ ()f x ∴的单调减区间为 5[,]36k k k Z ππππ++∈2[0,]3x π∈ ()f x ∴在[0,]3π上是增函数，在2[,]33ππ上是减函数；m ax 3()()32f x f π∴==， (0)0f =，2()03f π= min ()0f x ∴=， 即函数()f x 的取值范围为[0，32]．解法4：由（Ⅰ）得1()sin(2)62f x x π=-+'()2cos(2)6f x x π=-，令'()0f x =，得23k x k Z ππ=+∈2[0,]3x π∈ ，3x π∴=3()32f π=， (0)0f =，2()03f π=min ()0f x ∴= max3()()32f x f π== 函数()f x 的取值范围为[0，32]．解法5：作出函数()sin(2)6f x x π=-，或1()sin(2)62f x x π=-+的图象，由图象得所求．（图象略） 【理科学生的主要问题】1．公式写错，如诱导公式不会用或用错，将s i n ()c o s 2x x πωω+=写成了sin()cos 2x x πωω+=-，或是s i n ()s i n 2x x πωω+=，降幂公式错写成2cos 21sin 2x x ωω-=，或是21c o s 2s i n 2xx ωω+=等，辅助角公式中的符号出错，如12cos 2sin(2)226x x x πωωω-=+，还有运用辅助角公式时，特殊角配错，如12cos 222x x ωω-化成了sin(2)3x πω+，5sin(2)6x πω+等，这些均导致第一问解析式错．2．思路不清，变形方向不明确，如将解析式变形为：2()sin cos sin (sin )2sin sin()3f x x x x x x x x x πωωωωωωωω=+⋅=+=⋅+得出22πωπ==的错误结果．3．对三角函数最小正周期的概念理解不到位，出现以下错误解答：有函数()f x 的最小正周期为π，得22πωπ==，然后将2ω=代入原式，通过恒等变换得1()sin(4)62f x x π=-+，再求()f x 的取值范围．4．函数的概念不清，将第二问中x 的范围[20,3π]，错误地理解为26x π-的范围，或是()f x 的范围了．5．表述中只有结论，没有推理过程，特别是第二问最值取得的理由叙述不清． 6．用图象法解答时，作图不准确．7．心理紧张，不仔细审题，抄错数或”丢三落四”（如将解析式中的12丢掉），计算不准确，有些学生甚至出现错上加错． 【文科学生的主要问题】[典型错误一] （1）由πωπ==2T ，可得2=ω（2）)22sin(2sin 32sin )(2π++=x x x x fx x4sin 2324cos 1+-=21)64sin(+-=πx因为 320π≤≤x ， 所以 615646πππ≤-≤-x所以 1)64sin(1≤-≤-πx 因此2321)64sin(21≤+-≤-πx ，即)(x f 的取值范围是]23,21[-[典型错误二] （1）同正确解法一的第一问（2）由（1）得21)62sin()(+-=πx x f因为 32620ππ≤-≤x ，所以12512ππ≤≤x所以426)62sin(426+≤-≤-πx因此422621)62sin(4226++≤+-≤+-πx ，即)(x f 的取值范围是]4226,4226[+++-本题解答过程中考生出现的错误有 1． 公式记忆不清如：x x ωπωcos )2sin(-=+x x x ωωω2s i n 3c o s s i n 3=22sin 1sin2xx ωω-=，22cos 1sin2xx ωω+=x x ωω2sin 232cos 21-)32cos(πω-=x2． 定义域、值域的概念不清如：由32620ππ≤-≤x ⇒≤≤⇒12512ππx 125)(12ππ≤≤x f3． 特殊角的三角函数值记忆不清如：x x ωω2cos 212sin 23-)32sin(πω-=x)c o s (s i n 222s i nc o s 2c o ss i n )2s i n (x x x x x ωωπωπωπω+=+=+4． 求值域说理不清 5． 运算错误如：在运算过程中212cos 212sin 23+-x x ωω)62sin(πω-=x【教学建议】三角恒等变形对于学生来说是一个难点，应多加强对学生三角恒等变形的训练，重视基础知识和技能培养，不要赶进度而忽略第一轮基本知识的复习．在三角函数的教学中强调数形结合的数学思想方法，借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与x 轴的交点等性质．三角函数内容最在高考中一般大都是比较基本的题型，涉及的内容主要有考查三角函数恒等变形，考查三角函数的图象和性质，尤其是最值和周期．为了提高试题的得分率，我们在平时的教学中应注意以下几点：1. 要讲清楚各公式的来龙去脉，把握公式的结构特征和相互之间的关系；2. 重视学生对知识理解的准确性和深刻性，在理解的基础上记忆公式，对公式的正用、逆用和变形使用的训练要落实到位；3. 注重错因分析，在教学中注意培养学生数形结合的思想及整体思想．4. 要培养学生良好的思维习惯，解题过程的表述要追求科学、严谨、规范．（16）理科：如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=︒，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．文科：如图，在三棱锥P ABC -中，2A CBC ==，90ACB ∠=︒，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小 【命题意图】知识上：主要考查直线与直线，直线与平面位置关系；二面角；点到平面的距离等基础知识．能力上：考查空间想象能力和逻辑推理能力 试题特点： 【正确解法】 （Ⅰ）证明：方法一：取A B 中点D ，连结P D ，CD ．A PB P = ， P D A B ∴⊥．AC BC = ，CD AB ∴⊥．PD CD D = ， AB ∴⊥平面PCD ．PC ⊂ 平面PCD ，∴ PC AB ⊥．CA方法二：, AC BC AP BP == ，ACP BCP ∴∆≅∆．又 PC AC ⊥， PC BC ∴⊥．AC BC C = ，PC ∴⊥平面ABC ．AB ⊂ 平面ABC ， ∴ PC AB ⊥．方法三：2AC BC== ，90ACB ∠=︒，AB ∴=．AP BP AB == ， ∴ AP BP ==．PC AC ⊥ ，C 2PC ∴==．222PC BC PB += ，PC BC ∴⊥．AC BC C = ，PC ∴⊥平面ABC ．AB ⊂ 平面ABC ， ∴ PC AB ⊥．方法四：AC PC ⊥ ，且AC BC ⊥， AC ∴⊥平面PBC ．BC ∴是A B 在平面PBC 上的射影，利用方法二（证全等）或方法三（勾股定理的逆定理）证明出PC BC ⊥． 根据三垂线定理得 PC AB ⊥． 方法五：利用方法二或方法三证明出PC BC ⊥，又 如图以C 为原点建立空间直角坐标系，()()()0,0,0,0,2,0,2,0,0C A B()2,0,0P ，()2,0,0=CP ，()0,2,2-=AB∴0=⋅CP AB ∴PC AB ⊥（Ⅱ）解：方法一：若（Ⅰ）中已求出2AC PC ==． 取A P 中点E ，连结B E ，C E ． 则 CE AP ⊥． 又 B E A P ⊥， BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．在BEC ∆中，2,6,2===CE BE BC 有余弦定理332cos 222=⋅-+=∠BECE BCBECECEBAA∴33arccos =∠CEB方法二：利用（Ⅰ）中方法二（证全等）或方法三（勾股定理的逆定理）正确证明出BC ⊥平面APC 作CE AP ⊥于点E ，连结B E ． 根据三垂线定理得出B E A P ⊥．以下同（Ⅱ）中方法一．arcsin3B EC ∠=（arctan ，或arccos3）．方法三：”面积射影定理”利用（Ⅰ）中方法二（证全等）或方法三（勾股定理的逆定理）知BC ⊥平面APC ∴PAB ∆的射影为PAC ∆2AC P S ∆=，ABPS ∆=cos 'S S θ=∴arccos 3θ=．方法四：由（Ⅰ）知⊥AB 平面PCD ，∴平面⊥APB 平面PCD 过C 作,PD CH ⊥垂足为H ，取线段PA 中点E ，连结EH CE , ∵平面 APB 平面PCD PD =，⊂CH 平面PCD CH ⊥平面APB ，在等腰PAC ∆中，AP CE ⊥由三垂线定理知CEH ∠为所求的角利用（Ⅰ）中方法二⊥PC 平面ABC ， 又⊂CD 平面ABC ∴⊥PC CD 在Rt PCD ∆中，623,221====PB PD AB CD∴222=-=CDPDPC ∴332=⋅=PDCD PC CH2=CECC∴36sin =∠CEH ，36arcsin=∠CEH方法五：利用方法二或方法三证明出PC BC ⊥，又 AC PC ⊥，且AC BC ⊥， 如图以C 为原点建立空间直角坐标系，C －xyz ， 则()()()0,0,0,0,2,0,2,0,0C A B设()0,0,P t ．∵PB AB ==2t =，()0,0,2P 取AP 中点E ，连结BE ，CE ∵,AC PC =AB BP = ∴CE ⊥AP BE ⊥AP∴∠BEC 是二面角B －A P －C 的平面角()()()0,1,1,0,1,1,2,1,1E EC EB =--=--∵3EC EB C O S BECEC EB⋅∠===∴二面角B －AP －C 的大小为arccos 3方法六：利用方法二或方法三证明出PC BC ⊥，又 AC PC ⊥，且AC BC ⊥，2=PC 如图以C 为原点建立空间直角坐标系，C －xyz ，()()()0,0,0,0,2,0,2,0,0C A B设向量(),,1m x y =为平面P AB 的一个法向量， 向量为n 平面P AC 的一个法向量 由Ⅰ易知CB ⊥平面P AC ， ∴()2,0,0n C B==设()0,0,P t ．∵PB AB ==2t =，(0,0,P ∵()()0,2,0,2,0,0,A B∴()()2,2,0,0,2,2AB AP =-=-CA又,m AB m AP ⊥⊥∴220,220x y y -=-+= ∴1,1x y == ∴()1,1,1m =cos ,3m n m n m n⋅==∴二面角B －AP －C 的大小为arccos 3(Ⅲ) 方法一：由（Ⅰ）知⊥AB 平面PCD ，∴平面⊥APB 平面PCD 过C 作,PD CH ⊥垂足为H ，取线段PA 中点E ，连结EH CE , ∵平面 APB 平面PCD PD =，⊂CH 平面PCD CH ⊥平面APB利用（Ⅰ）中方法二⊥PC 平面ABC ， 又⊂CD 平面ABC ∴⊥PC CD 在Rt PCD ∆中，623,221====PB PD AB CD∴222=-=CDPDPC ∴332=⋅=PDCD PC CH方法二：根据2CA CB CP ===，得出点C 在平面P A B 上的射影H 为正P A B ∆的外心（即正P A B∆的中心）． 计算出3P H =（或3A HB H ==．根据勾股定理正确求出3C H =方法三：利用等体积的方法：C APB P ABC V V --=．2ABC S ∆=，ABP S ∆= 2PC =．代入公式3h =方法四：（向量法一）∵AC BC PC ==∴C 在平面ABP 内射影为正A P B ∆的中心H ，且CH 的长为点C 到 平面ABP 的距离 如(Ⅱ)建立直角坐标系C xyz -∵2B H H E =∴点H 坐标为222,,333⎛⎫⎪⎝⎭∴3C H =方法五：（向量法二）如(Ⅱ)建立直角坐标系C xyz - ∵2AC BC PC ===∴平面ABP 的法向量()1,1,1n =()2,0,0C B =∴点C 到平面ABP 的距离332=⋅=nnCB d方法六：（向量法三）如(Ⅱ)建立直角坐标系C xyz - ∵2AC BC PC ===∴(2,2,0),(0,2,2),AB AP =-=-设平面ABP 的法向量(),,1n x y =， ∵,n AB n AP ⊥⊥∴220,220x y y -=⎧⎨-+=⎩∴1x y ==∴平面ABP 的法向量()1,1,1n =()2,0,0C B =∴点C 到平面ABP 的距离332=⋅=nnCB d【学生的主要问题】1． “三垂线定理”使用不当，利用三垂线定理证明两直线垂直时，缺乏”直线与平面垂线”这一前提条件而直接得射影；利用三垂线定理作二面角时，缺乏”直线与平面垂线”证明这一重要环节．”三垂线定理”使用上，文科同学问题更多一些．2．利用向量法解题时，许多学生直接以C 为原点建立空间直角坐标系C －xyz ，忽视了缺少了“PC BC ⊥”这一重要条件，应该先证明PC BC ⊥，再建系． 3．计算能力差，主要表现在解三角形、求法向量等问题上． 4．图形语言、符号语言表述上不规范． 【教学建议】1．依纲靠本，控制难度从近年高考立体几何试题的命题来源来看，很多题目是出自于课本，或略高于课本．我们在复习备考中，一定要依纲靠本，进行一题多解和多题一解的教学，吃透教材的实质，还要控制好题目的难度，不出偏题、怪题． 2．理据充分，规范答题从近年立体几何解答题的答题情况来看，学生”会而不对，对而不全”的问题比较严重，很值得引起我们的重视．因此，在平时的训练中，我们就应当培养学生规范答题的良好习惯，要使学生在做解答题时作到“一看、二证、三求解”． 3．重视想象，识图画图立体几何是培养学生空间想象力的数学分支．在具体要求上，要把握好以下三点：1、培养学生识图、想图、画图的能力．（包括规范图形和非规范图形）；2、培养学生将概念、性质灵活应用于图形的能力，要把文字语言、符号语言和图形语言有机结合起来；3、培养学生对图形的处理能力，会把非标准图形转化为标准图形，对图形的割、补、折、展等高考长考不衰的内容应重点关注． 4．几类问题的注意事项： （1）线面平行与垂直问题a 、 采用综合法思考问题：由已知想性质定理，由求证想判定定理，“两头夹”．b 、 每一个结论都要申明条件，做到“有理由据”．c 、 要重视“三垂线定理”，应为它是立体几何的“半壁河山”．（2）空间的角与距离问题a 、先证后算．b 、求角和距离的关键将空间的角和距离转化为平面上的角和距离，然后将所求量置于一个三角形内，通过解三角形最终得到所求．c 、异面直线所成角是锐角或直角．当解三角形得到角的余弦值是负值时，不能直接套用反三角函数公式．d 、 在解答题中求二面角的平面角时，不能直接利用结论：'cos ssθ=（3）几何体的面积与体积问题a 、 正确记忆公式．b 、 要抓住反映多面体、旋转体特征的三角形、梯形、轴截面、平行于底面的截面等．c 、 对于截面分几何体所成两部分的面积或体积的比值问题，除直接求解外，常用方法是先求出其中一部分的面积或体积占原有几何体的几分之几，然后再求所需比值．（17）理科：甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列． 【命题意图】本题通过一个具有时代背景的应用题，考查学生对概率模型的识别与建立，以及用排列组合的基本公式计算等可能性事件的概率的能力；考查求离散型随机变量的分布列的基本知识和方法；考查分类讨论、化归等数学思想方法，以及学生的逻辑思维能力和数学应用的意识． 【正确解法】（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ． 法一：()3324541=40A A P E C A =．即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140．法二：()215411=40A P E C C =．法三：()2154111=40A P E CC⋅=．法四：()23232245241=40A A A P E C A A=．法五： ()2111323213332111453214331=40A C C C C A A P E C C C C A A=．（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ． 法一：()4424541=10A P E C A=．所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是()()9=1-=10P E P E ．法二：()2519=1-10=P E C．法三： ()()9=1-410=A P E P E ．法四： ()2519=1-410=P E C ．法五：()2435432454-49=10=C A A P E C A ．法六：()211323259=10+=C C C P E C．法七： ()241143423424549=10+=C A C C A P E C A ．法八： ()()2121124232321234539=10+=A C A C C A P E C C A ．（Ⅲ）法一：随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“=2ξ”是指有两人同时参加A 岗位服务，则()235324541=2=4C A P C Aξ=所以()()3=1=1-=24P P ξξ=．ξ的分布列是法二：()33441=2=4ξ=A P A，()()3=1=1-=24P P ξξ=法三： ()1411=2=4ξ=P C，()()3=1=1-=24P P ξξ=法四： ()1233531234533=1=4ξ=C C A P C C A，()()1=2=1-=14ξξ=P P法五：()211153212111453214331=2=4ξ=C C C C P C C C C A A，()()3=1=1-=24P P ξξ=法六：()11121121121154325431542111121121121121115432543154215321++3=1=+++4ξ=C C C C C C C C C C C C P C C C C C C C C C C C C C C C C，()()1=2=1-=14ξξ=P P法七：因为4个岗位中，有三个岗位有1人，有一个岗位有2个人，每个岗位有2人的概率相等，所以是等可能事件． 每个岗位的人数分配如下表：所以，()1=2=4ξP ，()()3=1=1-=24P P ξξ=．【学生的主要问题】1．表述不规范．如：记甲参加A 岗位服务为事件A ，乙参加A 岗位服务为事件B ；引入的字母没有说明含义，也没有作答，没有指明所求的概率是什么事件的概率，只有算式；设事件为A 等．2．对概率根本不理解，如出现114=4=P A 等常识性错误；随机变量分布列中出现概率大于1及随机变量所有取值对应的概率之和不等于1等．3．计算结果没有化简或运算错误．如()2353245460=2=240ξ=C A P C A；()235324543=2=4ξ=C A P C A等．4．事件之间的关系分析错误．如认为甲参加A 岗位服务与乙参加A 岗位服务是两个独立事件，得解法（Ⅰ）111=4416⨯=P ；（Ⅱ）记甲、乙参加同一岗位服务为事件C ，()()()141113=,14444⨯⨯==-=P C C P C P C ．5．误认为事件“甲、乙两人不在同一个岗位服务”与事件”甲、乙两人同时参加A 岗位服务”为对立事件．6．题意理解错误，忽略条件“每个岗位至少有一名志愿者”，得解法（Ⅰ）3353=4512=A P ；（Ⅱ）3354125=1-4128=A P ．7．计算中分子、分母所涉及的基本事件混乱，不是取自同一基本事件空间．如（Ⅰ）1323451=10=C A P A ；2353551=2=C A P A ；114423534=15=C C P C A ；1323452=5=A C P C ；33451=20=A P A ；2512552=3=+C P C C；125511=15=+P C C等． （Ⅱ）1154551=6=C C P A；14454=5=A P C；1121432445=0.8=C C A C P A ；1512551=3=+C P C C 等．8．模型错误，不加思考的套用平时做过的题目，出现张冠李戴的现象．如（Ⅲ）()5530=4⎛⎫ ⎪⎝⎭P C ，()415131=44⎛⎫ ⎪⎝⎭P C ，()2325132=44⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P C ，()3235133=44⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P C ，()445134=44⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P C ，()555135=44⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P C 等．9．不理解随机变量的含义，误认为其值可取0，1，2；1，2，3，4，5；0，1，2，3，4，5等． 【教学建议】1．注意表述规范、简洁、准确； 2．加强运算能力，计算要准确；3．准确理解概率的统计定义及其基本性质，理解概率统计的思想和方法； 4．加强阅读训练，正确理解题意，提高审题能力；5．结合典型题目，分析清楚事件之间的关系，准确地将所求事件用简单事件或已知概率的事件表示出来；6．重视等可能性事件概率的教学，重点是抓住基本事件空间的确定要满足模型的两个条件； 7．同一个问题，可能有多种建模方式，要注意对模型的理解和选择，提高思维的灵活性； 8．教学中要给学生思考的时间，创造交流的机会，使学生在问题的解决和交流中提高理性思维能力．文科：已知函数)0(3)(23≠+++=b c bx ax x x f ，且2)()(-=x f x g 是奇函数．（I ）求a ，c 的值；（II ）求函数)(x f 的单调区间． 【命题意图】 考查范围与要求层次利用函数奇偶性求函数解析式、利用导数求函数的单调区间，是高考的热点．尤其是利用导数求函数的单调区间，这种解决问题的方法可以使复杂问题变得简单化，是导数应用的关键知识点．本题存在三个参数，根据已知条件，由函数奇偶性，可确定其中的两个．利用导数求函数的单调区间时，需要对另一个参数进行分类讨论．分类讨论思想在本题中对学生进行了考查． 【正确解法】 方法一：解：（Ⅰ）因为函数()()2-=x f x g 为奇函数，所以，对任意的R x ∈，()()x g x g -=-，即()()22+-=--x f x f ． 又()c bx ax x x f +++=323，所以23232323+----=-+-+-c bx ax x c bx ax x ． 所以⎩⎨⎧+-=--=.22,c c a a解得.2,0==c a（Ⅱ）由（Ⅰ）得().233++=bx x x f 所以()b x x f 332+='()0≠b ．当0<b 时，由()0='x f 得b x -±=． 当x 变化时，()x f '的变化情况如下表：所以，当0<b 时，函数()x f 在()b --∞-,上单调递增，在()b b ---,上单调递减，在()+∞-,b 上单调递增．当0>b 时，()0>'x f ，所以函数()x f 在()+∞∞-,上单调递增．方法二：解：（Ⅰ）因为函数()()2-=x f x g 为奇函数，且R x ∈所以函数()2323-+++=c bx ax x x g 其偶次项系数为0所以⎩⎨⎧=-=.02,0c a解得.2,0==c a（Ⅱ）由（Ⅰ）得().233++=bx x x f所以()b x x f 332+='()0≠b ．当0>b 时，()0332>+='b x x f 恒成立，所以，当0>b 时，函数()x f 单调递增区间为()+∞∞-,．当0<b 时，令()0332>+='b x x f ，解得b x ->或b x --< 令()0332<+='b x x f ，解得b x b -<<--所以，当0<b 时，函数()x f 单调递增区间为()b --∞-,，()+∞-,b ，单调递减区间为()b b ---,方法三：解：（Ⅰ）因为函数()()2-=x f x g 为奇函数，且R x ∈所以()()()⎩⎨⎧-=-=.11,00g g g即⎩⎨⎧+----=-+-+-=-231231,02c b a c b a c解得.2,0==c a （Ⅱ）同上． 【学生主要问题】1．审题时没有注意到“0≠b ”这个条件； 2．概念混淆如：①认为()()[]'-=-'x g x g ；② ()()2-=x f x g 是奇函数，认为()c bx ax x x f +++=323也是奇函数；③ ()()2-=x f x g 是奇函数，认为导函数()x g '也是奇函数； ④将函数()x f 单调递增区间写为()()+∞---∞-,,b b ；3．计算化简出错如：①由().233++=bx x x f 得()2332++='b x x f ；② 不能通过已知条件正确推导出()()22+-=--x f x f ；③ 在整理得到等式“23232323+----=-+-+-c bx ax x c bx ax x ”时，符号出现错误；④ 解()0='x f 时，得到b x ±=；4．求解单调区间时，没有对b 的正负进行讨论 5．规范用语，规范书写问题如：将函数()x f 单调递增区间写为b x -≥或b x --≤；将函数()x f 单调递增区间写为{}b x b x x --≤-≥或；【教学建议】含参问题通常需要分类讨论，而分类的合理性，是正确解题的关键，也是学生的难点，应加强判断分类依据的训练；要加强基本运算的训练，特别是对含字母的二次方程（不等式）运算的训练；要重视单调区间的准确书写，总之，平常教学中，要注重基础知识的准确掌握，注重基本技能的准确运用，要注重通性通法的教学；要注意初高中知识的衔接；多数文科学生数学基础较差，对学习数学没有兴趣，甚至有恐惧感，因此，对于文科学生的教学要注意引发学生的兴趣，应该侧重直观、具体、规范、准确，由易到难，尽量减少因文理思维跨度过大而造成的学习上的差异．（18）理科：已知函数2)1(2)(--=x b x x f ，求导数)('x f ，并确定)(x f 的单调区间．【命题意图】 本题主要考查导数的运算，不等式的解法以及运用导数研究函数单调性等基础知识，考查分类讨论思想的运用． 【正确解法】 解法一：42)1()1(2)2()1(2)('--⋅---=x x b x x x f 3)1(222--+-=x b x 3)1()]1([2----=x b x令0)('=x f ，得1-=b x ．当11<-b ，即2<b 时，)('x f 的变化情况如下表：当11>-b ，即2>b 时，)('x f 的变化情况如下表：所以，当2<b 时，函数)(x f 在)1,(--∞b 上单调递减，在)1,1(-b 上单调递增，在),1(+∞上单调递减．当2>b 时，函数)(x f 在)1,(-∞上单调递减，在)1,1(-b 上单调递增，在),1(+∞-b 上单调递减．当11=-b ，即2=b 时，12)(-=x x f ，所以函数)(x f 在)1,(-∞上单调递减，在),1(+∞上单调递减．解法二：42)1()1(2)2()1(2)('--⋅---=x x b x x x f 42)1(2222-+-+-=x b bx x令022222=+-+-b bx x ，2|2|-±=b b x ，即1 121=-=x b x当11<-b ，即2<b 时，)('x f 的变化情况如下表：当11>-b ，即2>b 时，)('x f 的变化情况如下表：所以，当2<b 时，函数)(x f 在)1,(--∞b 上单调递减，在)1,1(-b 上单调递增，在),1(+∞上单调递减．当2>b 时，函数)(x f 在)1,(-∞上单调递减，在)1,1(-b 上单调递增，在),1(+∞-b 上单调递减．当11=-b ，即2=b 时，12)(-=x x f ，所以函数)(x f 在)1,(-∞上单调递减，在),1(+∞上单调递减． 解法三：42)1()1(2)2()1(2)('--⋅---=x x b x x x f 42)1(2222-+-+-=x b bx x令022222=+-+-b bx x ，2|2|-±=b b x ，当2≠b 时，令0)('>x f ，则2222-+<<--b b x b b令0)('<x f ，则2222-+>--<b b x b b x 或当2=b 时，令0)('>x f ，无解 令0)('<x f ，11><x x 或所以，当2≠b 时，函数)(x f 在)22,22(-+--b b b b 上单调递增，在)22,(---∞b b 上单调递减，在),22(+∞-+b b 上单调递减．当2=b 时，12)(-=x x f ，所以函数)(x f 在)1,(-∞上单调递减，在),1(+∞上单调递减．【学生主要问题】1． 求导出现错误：“42)1()1(2)2()1(2)('--⋅-+-=x x b x x x f ”；“22)1()1(2)2()1(2)('--⋅---=x x b x x x f ”；“42)1()1(2)1(2)2()('----⋅-=x x x b x x f ”2． 在写出“0)1()]1([2)1(222)(33>--+-=--+-='x b x x b x x f ”后出现的错误：“当11<-b ，则11<<-x b ”；“当11<-b ，则11>-<x b x 或”3． 单调区间的写法错误：“当2=b 时，函数)(x f 在定义域上单调递减”；“当2=b 时，函数)(x f 在R 上单调递减”；“当2=b 时，函数)(x f 在),1()1,(+∞-∞ 上单调递减”；“当2>b 时，函数)(x f 在}11|{-><b x x x 或上单调递减”等4． 忽视定义域，例如“当2<b 时，函数)(x f 在)1,(--∞b 上单调递减，在]1,1(-b 上单调递增，在),1[+∞上单调递减．”5． 不知怎样讨论，例如，讨论1,1,1;0,0,0><=><=b b b b b b 等6． 解答不完整，例如求出导数大于（或小于）0的解后，不写出相应的单调区间等 【教学建议】：1． 提高导数的基本运算、二次不等式和分式不等式的运算的正确性，特别是最高次项的系数为负数的不等式的运算，和含有字母系数的不等式（方程）的运算； 2． 注重对分类讨论问题中，寻找分类依据的训练； 3． 注意单调区间书写的准确性；4． 平常教学中，要注重基础知识的准确掌握，注重基本技能的准确运用，要注重通性通法的教学；要注意初高中知识的衔接，高一刚开始的教学应该尽量侧重直观、具体、规范、准确，减少因跨度过大而造成的学习上的差异．文科：甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名自愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率． 【命题意图】本题主要考查古典概率的计算，考查将复杂事件分解成简单事件的能力．在求一个事件的概率时，首先要清楚这一事件的内涵，并且在求概率时，要善于将这一事件分解成互斥事件的和． 【正确解法】（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么 方法1： 401)(442533==A C A E P A方法2：4011)(1425==CC E P A方法3：1111()254440A P E =⨯⨯⨯=即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是401．（Ⅱ）方法1：记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么101)(442544==AC A E P所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是109)(1)(=-=E P E P方法2：记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么1011)(25==CE P所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是109)(1)(=-=E P E P方法3 ：即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是401．∴甲乙两人同时参加同一岗位的概率为4014⋅所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是109)(1)(=-=E P E P方法4：记甲、乙两人不在同一岗位服务为事件F ，那么109)(4425442344134413=++=A C A C A C A C F P【学生的主要问题】1．事件和概率分不清楚，出现这样的错误 “记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，则E=401442533=AC A ”2．没有没有弄清概率模型，利用n 次独立重复试验模型解题．出现这样的错误“22541)(⎪⎭⎫⎝⎛=C E P A ”3．选择了正确的古典概型，在计数原理上出现问题没有注意到题目中要求每个岗位至少有一名自愿者，在对基本事件的总数计数时用54来求，出现错误；在对基本事件的总数计数时用1445C A 来求，这样分在同一组的两个志愿者就会出现先被选出还是后被选出的不同情况，从而出现先后顺序，这样在总数上就多出一倍，这种问题是在考生中出现最多的．4． 在用古典概型进行计算时，分子分母选择的基本事件不具有等可能性． 5．在第二个问中没有用到对立事件求概率的方法，从而加大了解题的难度． 6．用直接法解第二个问时不能正确分组，漏掉了一些情况． 【教学建议】1. 教学过程要重视对概率模型的正确区分，加强对各种概率模型的辨识能力的训练．比如分清抽样是放回抽样还是不放回抽样，在求等可能概型的事件的概率时，一定要注意两点：等可能概型中事件的概率计算公式中的分子和分母必须在相同的模型下考虑，并且考虑的所有基本事件具有等可能性．2. 在用古典概率模型时，对基本事件个数计数是否准确很重要，这就要求对排列组合的知识掌握的比较好，所以排列组合是学好概率的一个基础．3. 在求一个事件的概率时，首先要清楚这一事件的内涵，并且在求概率时，要善于将这一事件分解成互斥事件的和．4. 要强化学生将复杂事件分解成简单事件的能力．（19）理科：已知菱形ABCD 的顶点C A 、在椭圆4322=+y x 上，对角线BD 所在直线的斜率为1． （Ⅰ）当直线BD 过点)1,0(时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当︒=∠60ABC 时，求菱形ABCD 面积的最大值． 【命题意图】以直线、椭圆和菱形等有关知识为载体，考查学生分析及解决解析几何问题的能力，以及数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想．具体包括明确问题的情境，明确定量及变量间制约关系，设定恰当的参变量，将几何制约转化为参变量之间的数量关系，整体把握消元的方向求解，或设而不求简化运算． 通过建立适当函数解决最值问题．尽管多种方法角度不同，呈现形式不同，但本质一致．从中可以体会数形之间的完美结合，等价转化的神奇力量，理解变量之间辩证统一的制约关系． 【正确解法】 （Ⅰ）解法一分析：确定直线AC 只需确定点A ),(11y x ，C ),(22y x ，四个变量只需据题意建立四个关系式，解方程组即可．对消元求解有较高要求．解：设C A 、两点坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，（21x x <）．由题意⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=--+=++=+=+121243431212212122222121x x y y y y x x y x y x解得C A 、两点坐标分别为)1,1(),0,2(---． 所以直线AC 的方程为02=++y x ． 解法二分析：关注到直线AC 斜率为1-，设AC 方程为n x y +-=，减少变量个数；挖掘对称特征，转化为AC 中点在直线BD 上，利用韦达定理，设而不求简化运算．解：由题意得直线BD 的方程为1+=x y ． 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ， 于是可设直线AC 的方程为n x y +-=．由⎩⎨⎧+-==+nx y y x 4322得0436422=-+-n nx x ． 因为C A 、在椭圆上，所以064122>+-=∆n ，解得334334<<-n ．设C A 、两点坐标分别为),(11y x ，),(22y x ， 则2321n x x =+，443221-=n x x ．n x y +-=11，n x y +-=22，所以221n y y =+，所以AC 的中点坐标为)4,43(nn ． 由四边形ABCD 为菱形可知，点)4,43(nn 在直线1+=x y 上， 所以1434+=n n ，解得2-=n ．所以直线AC 的方程为2--=x y ，即02=++y x ．类似的，从不同角度展示对称特征，结合点C A 、坐标),(11y x ，),(22y x 满足n x y +-=及2321n x x =+，也可得到2-=n ．对消元求解有一定要求．具体如：（1）点C A 、到直线BD 距离相等，得到21212211+-=+-y x y x ．（2）点C A 、到点（0，1）距离相等， 得到22222121)1()1(-+=-+y x y x ．（3）点（0，1）到直线AC 的距离即点（0，1）与AC 中点距离，22)14()43(21-+=+n n n ．解法三分析：关注到点C A 、在椭圆4322=+y x 上，直线AC 斜率为1-，AC 中点在直线BD 上，利用点差法简化运算．解：设C A 、两点坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，因为C A 、在椭圆上，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+434322222121y x y x ，得0)(322212221=-+-y y x x ，212121213x x y y y y x x --⋅-=++．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ， 所以直线AC 的斜率为1-，即12121-=--x x y y ．所以32121=++y y x x ，设AC 的中点坐标为),3(a a ．由四边形ABCD 为菱形可知，点),3(a a 在直线1+=x y 上， 所以13+=a a ，解得21-=a ．则AC 的中点坐标为)21,23(--．所以直线AC 的方程为)23(21+-=+x y ，即02=++y x ．类似的，关注到AC 中点即AC 与BD 交点，有如下解法： 同解法三中32121=++y y x x ．设直线AC 的方程为n x y +-=．由⎩⎨⎧+-=+=n x y x y 1，得到AC 的中点)21,21(+-n n M ， 有21321+⋅=-n n ，即2-=n ．所以直线AC 的方程为2--=x y ，即02=++y x ．或者同解法二，设直线AC 的方程为n x y +-=． 并得到AC 的中点坐标M )4,43(nn ． 由⎩⎨⎧+-=+=n x y x y 1，得到AC 的中点)21,21(+-n n M ． 故2143-=n n ，即2-=n ．所以直线AC 的方程为2--=x y ，即02=++y x ．对比解法二及解法三：解法二用直线与椭圆方程联立的方法得到AC 的中点坐标)4,43(nn ．解法三用代点作差的方法得到关于相交弦斜率及中点的关系，容易得到中点),3(a a ．两者都揭示了中点的坐标特征，利用设而不求简化运算，本质相同．前者普遍适用于直线与曲线相交问题，而后者更适用于与相交弦中点及斜率有关的特殊问题． 解法四分析：注意到点C A 、关于特殊直线BD ：1+=x y 对称，易求得对称点坐标，因为点C A 、在椭圆4322=+y x 上，联立后根据曲线与方程的思想得到二元一次方程即为所求．解：设A 点坐标为),(00y x ，因为C A 、关于直线BD ：1+=x y 对称， 所以C 点坐标为)1,1(00+-x y ．因为C A 、在椭圆上，由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+4)1(3)1(4320202020x y y x ．。

北京大学2008年硕士研究生入学考试试题考试科目：数学基础考试1（数学分析） 考试时间：2008年1月20日上午 招生专业：数学学院各专业 研究方向：数学学院各方向说明：答题一律写在答题纸上（含填空题、选择题等客观题），写在此页上无效。

1.（15分）证明：有界闭区间上的连续函数一致连续。

2.（15分）是否存在(,)-∞+∞上的连续函数()f x 满足(()),(,)x f f x e x -=∈-∞+∞。

证明你的结论。

3.（15分）数列1{}n n x ≥满足：对任意n m <，有1n m x x n->。

证明：数列{}n x 无界。

4.（15分）设()f x 在（-1，1）上无穷次可导，满足'(0)1,(0)2f f =≤。

如果'()()()f xg x f x =满足()(0)2!,1,2,3,...n g n n ≤=证明：对任意正整数n ，()(0)(1)!n f n ≤+。

5.（15分）求()()()I y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑=-+-+-⎰⎰，其中∑是球面2222x y z Rx ++=被柱面222(0)x y rx r R +=<<截下的位于0z ≥的部分，取外侧。

6.（15分）证明：方程3(,)2sin 0y F x y x y e -=-+=在全平面上存在唯一解()y y x =，且()y x 在(,)-∞+∞上连续可微。

7.（15分）设()f x 在[0,)+∞上内闭Riemann 可积，且无穷积分0()f x dx +∞⎰收敛。

证明：000lim ()()ax a e f x dx f x dx +∞+∞-→+=⎰⎰。

8.（15分）已知()f x 在(,)-∞+∞上二次可导，且满足：（1）lim (())0x f x x →+∞-=；（2）存在0(,)x ∈-∞+∞使得0()0f x ≤。

证明："()f x 在(,)-∞+∞上变号。

2008年普通高等学校招生全国统一考试北京文数全解全析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3 至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． ．若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于（ ）A ．{}|34x x x ≤>或B ．{}|13x x -<≤C ．{}|34x x ≤<D ．{}|21x x -≤-<【答案】D 【解析】{}|21AB x x =-≤-<2．若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】A【解析】利用中间值0和1来比较: 372log π>1log 61log 0.80a b c =<=<=<，0，3．“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“双曲线的方程为221916x y -=”⇒是“双曲线的准线方程为95x =±” “95x =±” ⇒ “221916x y -=”,如反例: 2211882x y -=.4．已知ABC △中，a =b =60B =，那么角A 等于（ ）A ．135B ．90C ．45D ．30【答案】C【解析】由正弦定理得:,sin ,sin sin sin sin 2a b A B A B A B =⇒===45a b A B A <⇒<∴=5．函数2()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ ） A．1()11)fx x -=+> B．1()11)f x x -=-> C．1()11)f x x -=+≥D．1()11)fx x -=-≥【答案】B【解析】221(1)1,(1)1,1x y x x y x <⇒=-+∴-=-⇒-=所以反函数为1()11)f x x -=->6．若实数x y ，满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤，，，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】A【解析】本小题主要考查线性规划问题。

2008年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2008•北京）已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜3}，B={x|x＜﹣1或x≥4}，那么集合A∩B等于（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|x≤﹣1或x＞3} C．{x|﹣2≤x＜﹣1} D．{x|﹣1≤x＜3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜3}，B={x|x＜﹣1或x≥4}，根据交集的定义计算A∩B．【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x＜3}，B={x|x＜﹣1或x≥4}，∴集合A∩B={x|﹣2≤x＜﹣1}，故选C．【点评】此题主要考查集合的交集运算，比较基础．2．（5分）（2008•北京）若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【考点】对数函数的单调区间；对数的运算性质．【分析】利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0．【解答】解：，由指对函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0，故选A【点评】估值法是比较大小的常用方法，属基本题．3．（5分）（2008•北京）“函数f（x）（x∈R）存在反函数”是“函数f（x）在R上为增函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数f（x）（x∈R）存在反函数，至少还有可能函数f（x）在R上为减函数，充分条件不成立；而必要条件显然成立【解答】解：“函数f（x）在R上为增函数”⇒“函数f（x）（x∈R）存在反函数”；反之取f（x）=﹣x（x∈R），则函数f（x）（x∈R）存在反函数，但是f（x）在R上为减函数．故选B【点评】本题考查充要条件的判断及函数存在反函数的条件，属基本题．4．（5分）（2008•北京）若点P到直线x=﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线【考点】抛物线的定义．【分析】把直线x=﹣1向左平移一个单位变为x=﹣2，此时点P到直线x=﹣2的距离等于它到点（2，0）的距离，这就是抛物线的定义．【解答】解：因为点P到直线x=﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，所以点P到直线x=﹣2的距离等于它到点（2，0）的距离，因此点P的轨迹为抛物线．故选D．【点评】本题考查抛物线的定义．5．（5分）（2008•北京）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A．0 B．1 C．D．9【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．【解答】解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0时，目标函数Z有最小值，Z min=3x+2y=30=1故选B【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．6．（5分）（2008•北京）已知数列{a n}对任意的p，q∈N*满足a p+q=a p+a q，且a2=﹣6，那么a10等于（）A．﹣165 B．﹣33 C．﹣30 D．﹣21【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】根据题目所给的恒成立的式子a p+q=a p+a q，给任意的p，q∈N*，我们可以先算出a4，再算出a8，最后算出a10，也可以用其他的赋值过程，但解题的原理是一样的．【解答】解：∵a4=a2+a2=﹣12，∴a8=a4+a4=﹣24，∴a10=a8+a2=﹣30，故选C【点评】这道题解起来有点出乎意料，它和函数的联系非常密切，通过解决探索性问题，进一步培养学生创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．7．（5分）（2008•北京）过直线y=x上的一点作圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】圆的切线方程．【专题】压轴题．【分析】过圆心M作直线l：y=x的垂线交于N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为600．明白N点后，用图象法解之也很方便【解答】解：圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的圆心（5，1），过（5，1）与y=x垂直的直线方程：x+y﹣6=0，它与y=x 的交点N（3，3），N到（5，1）距离是，两条切线l 1，l2，它们之间的夹角为60°．故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，以及数形结合的数学思想；这个解题方法在高考中应用的非常普遍．8．（5分）（2008•北京）如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D 的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】压轴题．【分析】只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D．【解答】解：设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线BD1的中点O时，函数取得唯一最大值，所以排除A、C；当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1，则y=MN=M1N1=2BP1=2•xcos∠D1BD=2•是一次函数，所以排除D．故选B．【点评】本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力，同时考查特殊点法、排除法．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2008•北京）已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a= ﹣1 ．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接化简方程，利用复数相等条件即可求解．【解答】解：a2﹣2ai﹣1=a2﹣1﹣2ai=2i，a=﹣1故答案为：﹣1【点评】考查复数的代数形式的混合运算，复数相等条件，易错处增根a=1没有舍去．高考基本得分点．10．（5分）（2008•北京）已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为0 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量数量积公式进行计算即可．【解答】解：由题意知==2×4×4cos120°+42=0．故答案为0．【点评】本题考查向量数量积运算公式．11．（5分）（2008•北京）若展开式的各项系数之和为32，则n= 5 ，其展开式中的常数项为10 ．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质；二项式定理．【专题】计算题．【分析】显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即n=5；将5拆分成“前3后2”恰好出现常数项，C52=10．【解答】解：∵展开式的各项系数之和为32∴2n=32解得n=5展开式的通项为T r+1=C5r x10﹣5r当r=2时，常数项为C52=10．故答案为5，10．【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，课本中的典型题目，套用公式解题时，易出现计算错误，二项式的考题难度相对较小，注意三基训练．12．（5分）（2008•北京）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））= 2 ；= ﹣2 ．（用数字作答）【考点】极限及其运算；函数的值．【专题】计算题；压轴题．【分析】由函数的图象可知，，当0≤x≤2，f'（x）=﹣2，所以由导数的几何意义知=f'（1）=﹣2．【解答】解：∵f（0）=4，f（4）=2，f（2）=4，∴由函数的图象可知，，由导数的几何意义知=f′（1）=﹣2．答案：2；﹣2．【点评】本题考查函数的图象，导数的几何意义．数形结合是最常用的手段之一，希望引起足够重视．13．（5分）（2008•北京）已知函数f（x）=x2﹣cosx，对于[﹣，]上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②x12＞x22；③|x1|＞x2．其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的条件序号是②．【考点】函数奇偶性的性质；余弦函数的奇偶性．【专题】压轴题．【分析】先研究函数的性质，观察知函数是个偶函数，由于f′（x）=2x+sinx，在[0，]上f′（x）＞0，可推断出函数在y轴两边是左减右增，此类函数的特点是自变量离原点的位置越近，则函数值越小，欲使f（x1）＞f （x2）恒成立，只需x1，到原点的距离比x2，到原点的距离大即可，由此可得出|x1|＞|x2|，在所给三个条件中找符合条件的即可．【解答】解：函数f（x）为偶函数，f′（x）=2x+sinx，当0＜x≤时，0＜sinx≤1，0＜2x≤π，∴f′（x）＞0，函数f（x）在[0，]上为单调增函数，由偶函数性质知函数在[﹣，0]上为减函数．当x12＞x22时，得|x1|＞|x2|≥0，∴f（|x1|）＞f（|x2|），由函数f（x）在上[﹣，]为偶函数得f（x1）＞f（x2），故②成立．∵＞﹣，而f（）=f（），∴①不成立，同理可知③不成立．故答案是②．故应填②【点评】本题考查函数的性质奇偶性与单调性，属于利用性质推导出自变量的大小的问题，本题的解题方法新颖，判断灵活，方法巧妙．14．（5分）（2008•北京）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P k（x k，y k）处，其中x1=1，y1=1，当k≥2时，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为（1，2）；第2009棵树种植点的坐标应为（4，402）．【考点】数列的应用．【专题】压轴题；规律型．【分析】由题意可知，数列x n为1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…；数列{y n}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…由此入手能够得到第6棵树种植点的坐标和第2009棵树种植点的坐标．【解答】解：∵组成的数列为0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…，k=2，3，4，5，…一一代入计算得数列x n为1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…即x n的重复规律是x5n+1=1，x5n+2=2，x5n+3=3，x5n+4=4，x5n=5．n∈N*．数列{y n}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…即y n的重复规律是y5n+k=n，0≤k＜5．∴由题意可知第6棵树种植点的坐标应为（1，2）；第2009棵树种植点的坐标应为（4，402）．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意创新题的灵活运用．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2008•北京）已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）先根据倍角公式和两角和公式，对函数进行化简，再利用T=，进而求得ω（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性进而求得函数f（x）的范围．【解答】解：（Ⅰ）==．∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．∵，∴，∴．∴，即f（x）的取值范围为．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象，三角函数式恒等变形，三角函数的值域．公式的记忆，范围的确定，符号的确定是容易出错的地方．16．（14分）（2008•北京）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）欲证PC⊥AB，取AB中点D，连接PD，CD，可先证AB⊥平面PCD，欲证AB⊥平面PCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面PCD内两相交直线垂直，而PD⊥A B，CD⊥AB，又PD∩CD=D，满足定理条件；（Ⅱ）取AP中点E．连接BE，CE，根据二面角平面角的定义可知∠BEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角，在△BCE 中求出此角即可；（Ⅲ）过C作CH⊥PD，垂足为H，易知CH的长即为点C到平面APB的距离，在Rt△PCD中利用勾股定理等知识求出CH即可．【解答】解：（Ⅰ）取AB中点D，连接PD，CD．∵AP=BP，∴PD⊥AB．∵AC=BC，∴CD⊥AB．∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥AB．（Ⅱ）∵AC=BC，AP=BP，∴△APC≌△BPC．又PC⊥AC，∴PC⊥BC．又∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC．取AP中点E．连接BE，CE．∵AB=BP，∴BE⊥AP．∵EC是BE在平面PAC内的射影，∴CE⊥AP．∴∠BEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角．在△BCE中，BC=2，，CE=cos∠BEC=．∴二面角B﹣AP﹣C的大小arccos．（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，∴平面APB⊥平面PCD．过C作CH⊥PD，垂足为H．∵平面APB∩平面PCD=PD，∴CH⊥平面APB．∴CH的长即为点C到平面APB的距离．由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，且AB∩AC=A，∴PC⊥平面ABC．∵CD⊂平面ABC，∴PC⊥CD．在Rt△PCD中，，，∴．∴．∴点C到平面APB的距离为．【点评】本题主要考查了空间两直线的位置关系，以及二面角的度量和点到面的距离的求解，培养学生空间想象能力，属于基础题．17．（13分）（2008•北京）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）甲、乙两人同时参加A岗位服务，则另外三个人在B、C、D三个位置进行全排列，所有的事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列．（Ⅱ）总事件数同第一问一样，甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是甲、乙两人同时参加同一岗位服务，即甲、乙两人作为一个元素同其他三个元素进行全排列．（Ⅲ）五名志愿者中参加A岗位服务的人数ξ可能的取值是1、2，ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，同第一问类似做出结果．写出分布列．【解答】解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E A，总事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列C52A44．满足条件的事件数是A33，那么，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是．（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，满足条件的事件数是A44，那么，∴甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，则．∴，ξ的分布列是【点评】本题考查概率，随机变量的分布列，近几年新增的内容，整体难度不大，可以作为高考基本得分点．总的可能性是典型的“捆绑排列”，易把C52混淆为A52，18．（13分）（2008•北京）已知函数，求导函数f′（x），并确定f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】根据函数的求导法则进行求导，然后由导数大于0时原函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减可得答案．【解答】解：==．令f'（x）=0，得x=b﹣1．当b﹣1＜1，即b＜2时，f'（x）的变化情况如下表：当b﹣1＞1，即b＞2时，f'（x）的变化情况如下表：所以，当b＜2时，函数f（x）在（﹣∞，b﹣1）上单调递减，在（b﹣1，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当b＞2时，函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，b﹣1）上单调递增，在（b﹣1，+∞）上单调递减．当b﹣1=1，即b=2时，，所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递减．【点评】本题主要考查函数的求导方法和导数的应用．导数题一般不会太难但公式记忆容易出错，要熟练掌握简单函数的求导法则．19．（14分）（2008•北京）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．【考点】椭圆的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意得直线BD的方程，根据四边形ABCD为菱形，判断出AC⊥BD．于是可设出直线AC的方程与椭圆的方程联立，根据判别式大于0求得n的范围，设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，代入直线方程可表示出y1+y2，进而可得AC中点的坐标，把中点代入直线y=x+1求得n，进而可得直线AC的方程．（Ⅱ）根据四边形ABCD为菱形判断出∠ABC=60°且|AB|=|BC|=|CA|．进而可得菱形ABCD的面积根据n的范围确定面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y=x+1．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．于是可设直线AC的方程为y=﹣x+n．由得4x2﹣6nx+3n2﹣4=0．因为A，C在椭圆上，所以△=﹣12n2+64＞0，解得．设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，，y1=﹣x1+n，y2=﹣x2+n．所以．所以AC的中点坐标为．由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y=x+1上，所以，解得n=﹣2．所以直线AC的方程为y=﹣x﹣2，即x+y+2=0．（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以|AB|=|BC|=|CA|．所以菱形ABCD的面积．由（Ⅰ）可得，所以．所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值．【点评】本题主要考查了椭圆的应用，直线方程和最值解析几何的综合题，在高考中的“综合程度”往往比较高，注意复习时与之匹配20．（13分）（2008•北京）对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，…，a n，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n，a1﹣1，a2﹣1，…，a n﹣1；对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，…，b m，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）；又定义S（B）=2（b1+2b2+…+mb m）+b12+b22+…+b m2．设A0是每项均为正整数的有穷数列，令A k+1=T2（T1（A k））（k=0，1，2，…）．（Ⅰ）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A））=S（A）；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S（A k+1）=S（A k）．【考点】数列的应用．【专题】压轴题；探究型．【分析】（Ⅰ）由A0：5，3，2，求得T1（A0）再通过A k+1=T2（T1（A k））求解．（Ⅱ）设有穷数列A求得T1（A）再求得S（T1（A）），由S（A）=2（a1+2a2++na n）+a12+a22++a n2，两者作差比较．（Ⅲ）设A是每项均为非负整数的数列a1，a2，a n．在存在1≤i＜j≤n，有a i≤a j时条件下，交换数列A的第i 项与第j项得到数列B，在存在1≤m＜n，使得a m+1=a m+2═a n=0时条件下，若记数列a1，a2，…，a m为C，A k+1=T2（T1（A k））s（A k+1）≤S（T1（A k））．由S（T1（A k））=S（A k），得到S（A k+1）≤S（A k）．S（A k）是大于2的整数，所以经过有限步后，必有S（A k）=S（A k+1）=S（A k+2）=0．【解答】解：（Ⅰ）解：A0：5，3，2，T1（A0）：3，4，2，1，A1=T2（T1（A0））：4，3，2，1；T1（A1）：4，3，2，1，0，A2=T2（T1（A1））：4，3，2，1．（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A为a1，a2，a n，则T1（A）为n，a1﹣1，a2﹣1，a n﹣1，从而S（T1（A））=2[n+2（a1﹣1）+3（a2﹣1）++（n+1）（a n﹣1）]+n2+（a1﹣1）2+（a2﹣1）2++（a n ﹣1）2．又S（A）=2（a1+2a2++na n）+a12+a22++a n2，所以S（T1（A））﹣S（A）=2[n﹣2﹣3﹣﹣（n+1）]+2（a1+a2++a n）+n2﹣2（a1+a2++a n）+n=﹣n（n+1）+n2+n=0，故S（T1（A））=S（A）．（Ⅲ）证明：设A是每项均为非负整数的数列a1，a2，a n．当存在1≤i＜j≤n，使得a i≤a j时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，则S（B）﹣S（A）=2（ia j+ja i﹣ia i﹣ja j）=2（i﹣j）（a j﹣a i）≤0．当存在1≤m＜n，使得a m+1=a m+2═a n=0时，若记数列a1，a2，a m为C，则S（C）=S（A）．所以S（T2（A））≤S（A）．从而对于任意给定的数列A0，由A k+1=T2（T1（A k））（k=0，1，2，）可知S（A k+1）≤S（T1（A k））．又由（Ⅱ）可知S（T1（A k））=S（A k），所以S（A k+1）≤S（A k）．即对于k∈N，要么有S（A k+1）=S（A k），要么有S（A k+1）≤S（A k）﹣1．因为S（A k）是大于2的整数，所以经过有限步后，必有S（A k）=S（A k+1）=S（A k+2）=0．即存在正整数K，当k≥K时，S（A k+1）=S（A）【点评】本题是一道由一个数列为基础，按着某种规律新生出另一个数列的题目，要注意新数列的前几项一定不能出错，一出旦错，则整体出错．。

绝密★使用完毕前2008年普通高等学校校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项：1答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用钢笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

不能答在试卷上。

一、本题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集∪＝R ，集合A =|x |-2≤x ≤3|，B =|x |x 〈-1或x 〉4|，那么集合A ∩（εv B ）等于(A)|x |-2≤x 〈4| （B ）|x |x ≤3或≥4| (C)|x |-2≤x <-1 (D)|x | -1≤x ≤3| (2)若a =2a ,b =log,3,c =log,sin52,则 (A ）a >b >c (B)b >a >c (C)c>a>b (D)b >c>a(3)“函数f (x )(x ∈R)存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的 (A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 (C)充分必要条件 （D ）即不充分也不必要条件（4）若点P 到直线x =－1的距离比它到点（2，0）的烛1，则点P 的轨迹为 （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线x -y +1≥0,（5）若实数x ,y 满足 x +y ≥0, 则z =3x +y 的最小值是x ≤0, (A)0(B)1(C)3(D)9(6)已知数列｜a n ｜对任意的p,q ∈N m 满足a p+q =a p +a q ,且a P =-6,那么a p +q 等于 （A ）-165 (B)-33 (C)-30 (D)－21（7）过直线y =x 上的一点作圆（x -5）2=2的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y =x 对称时，综们之间的夹角为 （A ）30° （B ）45° (C)60° (D)90°(8)如图，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上。

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合()UA B ð等于（ ） A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤2．若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则23x yz +=的最小值是（ ）A ．0B ．1CD ．96．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-7．过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为（ ） A ．30B ．45C ．60D ．908．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设B P x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）A BC DMNP A 1B 1C 1D 12008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．已知2()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ．10．已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么(2)+b a b 的值为 ．11．若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n = ，其展开式中的常数项为 ．（用数字作答）12．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆ ．（用数字作答）13．已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，有如下条件：①12x x >； ②2212x x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ．14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，． ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．16．（本小题共14分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．17．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．A CB P18．（本小题共13分）已知函数22()(1)x bf x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间． 19．（本小题共14分）已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1． （Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=时，求菱形ABCD 面积的最大值． 20．（本小题共13分）对于每项均是正整数的数列12n A a a a ：，，，，定义变换1T ，1T 将数列A 变换成数列1()T A ：12111n n a a a ---，，，，． 对于每项均是非负整数的数列12m B b b b ：，，，，定义变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()T B ； 又定义2221212()2(2)m m S B b b mb b b b =+++++++．设0A 是每项均为正整数的有穷数列，令121(())(012)k k A T T A k +==，，，． （Ⅰ）如果数列0A 为5，3，2，写出数列12A A ，；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明1(())()S T A S A =；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ，存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=．2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．1- 10．0 11．5 10 12．2 2-13．②14．(12)， (3402)， 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分） 解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 16．（共14分）解法一：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，． AP BP =， PD AB ∴⊥． AC BC =， CD AB ∴⊥． PD CD D =，AC BDPACBE PAB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂平面PCD ， PC AB ∴⊥．（Ⅱ）AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥．又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且ACPC C =，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥．EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．在BCE △中，90BCE ∠=，2BC =，BE AB ==sin BC BEC BE ∴∠==． ∴二面角B AP C --的大小为arcsin3． （Ⅲ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面PCD ， ∴平面APB ⊥平面PCD ．过C 作CH PD ⊥，垂足为H ． 平面APB 平面PCD PD =，CH ∴⊥平面APB ．CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离． 由（Ⅰ）知PC AB ⊥，又PC AC ⊥，且AB AC A =，PC ∴⊥平面ABC ． CD ⊂平面ABC ， PC CD ∴⊥．在Rt PCD △中，12CD AB ==2PD PB ==2PC ∴=．233PC CD CH PD ∴==． ABDPH∴点C 到平面APB． 解法二：（Ⅰ）AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥． AC BC C =，PC ∴⊥平面ABC ． AB ⊂平面ABC ， PC AB ∴⊥．（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -． 则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，． 设(00)P t ，，．PB AB ==2t ∴=，(002)P ，，． 取AP 中点E ，连结BE CE ，．AC PC =，AB BP =，CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．(011)E ，，，(011)EC =--，，，(211)EB =--，，，cos 26EC EB BEC EC EB∴∠===． ∴二面角B AP C --的大小为arccos（Ⅲ）AC BC PC ==，C ∴在平面APB 内的射影为正APB △的中心H ，且CH 的长为点C 到平面APB 的距离． 如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C xyz -．2BH HE =，∴点H 的坐标为222333⎛⎫⎪⎝⎭，，．23CH ∴=． ∴点C 到平面APB 的距离为3． 17．（共13分）解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140． （Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=． （Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，则235334541(2)4C A P C A ξ===．所以3(1)1(2)P P ξξ==-==，ξ的分布列是 18．（共13分）解：242(1)(2)2(1)()(1)x x b x f x x ----'=-3222(1)x b x -+-=-32[(1)](1)x b x --=--． 令()0f x '=，得1x b =-．当11b -<，即2b <时，()f x '的变化情况如下表：当11b ->，即2b >时，()f x '的变化情况如下表：所以，当2b <时，函数()f x 在(1)b -∞-，上单调递减，在(11)b -，上单调递增， 在(1)+∞，上单调递减．当2b >时，函数()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增，在(1)b -+∞，上单调递减．当11b -=，即2b =时，2()1f x x =-，所以函数()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(1)+∞，上单调递减．19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x=+． 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥． 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．由2234x y y x n⎧+=⎨=-+⎩，得2246340x nx n -+-=． 因为A C ，在椭圆上，所以212640n ∆=-+>，解得33n -<<． 设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，， 则1232nx x +=，212344n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+．所以122ny y +=． 所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，．由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1y x =+上， 所以3144n n =+，解得2n =-． 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=． （Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=， 所以AB BC CA ==．所以菱形ABCD 的面积2S =． 由（Ⅰ）可得22221212316()()2n AC x x y y -+=-+-=，所以2316)S n n ⎛=-+<< ⎝⎭．所以当0n =时，菱形ABCD 的面积取得最大值20．（共13分）（Ⅰ）解：0532A ：，，， 10()3421T A ：，，，，1210(())4321A T T A =：，，，；11()43210T A ：，，，，，2211(())4321A T T A =：，，，．（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A 为12n a a a ，，，， 则1()T A 为n ，11a -，21a -，，1n a -，从而 112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]n S T A n a a n a =+-+-+++-222212(1)(1)(1)n n a a a ++-+-++-． 又2221212()2(2)n n S A a a na a a a =+++++++，所以1(())()S T A S A -122[23(1)]2()n n n a a a =----+++++2122()n n a a a n +-++++ 2(1)0n n n n =-+++=，故1(())()S T A S A =．（Ⅲ）证明：设A 是每项均为非负整数的数列12n a a a ，，，． 当存在1i j n <≤≤，使得i j a a ≤时，交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B ， 则()()2()j i i j S B S A ia ja ia ja -=+--2()()0j i i j a a =--≤． 当存在1m n <≤，使得120m m n a a a ++====时，若记数列12m a a a ，，，为C ，则()()S C S A =．所以2(())()S T A S A ≤． 从而对于任意给定的数列0A ，由121(())(012)k k A T T A k +==，，， 可知11()(())k k S A S T A +≤．又由（Ⅱ）可知1(())()k k S T A S A =，所以1()()k k S A S A +≤． 即对于k ∈N ，要么有1()()k k S A S A +=，要么有1()()1k k S A S A +-≤． 因为()k S A 是大于2的整数，所以经过有限步后，必有12()()()k k k S A S A S A ++===． 即存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=．。

上海营业税改增值税试点3个月减轻税负20亿1 小规模纳税人税负降幅达40%左右据统计，截至今年3月底，上海市共有12.9万户企业经审核确认后纳入了“营改增”改革试点范围。

从企业类型看，一般纳税人为4.1万户，占31.8%；小规模纳税人为8.8万户，占68.2%。

截至4月份申报期结束，上述12.9万户试点企业的应纳增值税税款累计为49.3亿元。

与原实行营业税税制相比，实施“营改增”改革后，今年一季度上海市试点企业和原增值税一般纳税人整体减轻税收负担超过20亿元，中央和地方两级财政相应减少税收收入、增加财政支出。

其中：小规模纳税人的税负明显下降，降幅为40%左右；大部分一般纳税人的税负略有下降；原增值税一般纳税人的税负因进项税额抵扣范围增加而普遍下降。

2 有望从根本上解决重复征税问题减轻税负，只是“营改增”试点的目标之一。

上海市政府副秘书长、财政局局长蒋卓庆介绍，上海营改增试点在破解影响现代服务业发展的税制瓶颈方面迈出了关键性一步。

实行“营改增”改革后，有望从制度上根本解决货物与劳务税制不统一和重复征税问题，为现代服务业试点企业创造公平竞争的税制环境。

以某广告公司为例。

其主要收入为广告收入。

纳入“营改增”试点范围后可开具增值税专用发票，引发了大型客户关注，反响积极。

一家客户年广告投放近20亿元，受惠于“营改增”改革试点，采购广告服务支付的增值税进项税额能在销项中抵扣，增加抵扣额近1亿元，切实降低了税负。

为此，客户表示将追加2012年广告投放量，由此推动了广告公司的业务增长。

“营改增”试点还有力地支持和促进了现代服务业和先进制造业的深度融合发展。

某工程技术集团有限公司是一家钢铁公司的子公司，实行“营改增”改革试点后，该公司原计征营业税的设计及技术服务变为增值税劳务。

其缴纳的增值税与原营业税计算方法相比，减少73万元。

目前，该公司已着手逐步增加非核心业务的外包量，集中精力发展核心技术。

“营改增”试点还有力地支持和促进了小微企业的健康发展。