第三章《动量和角动量》习题

4i + 4 j = M aC a = 2 m/s
F ex = ∑ maC = M aC ∑
(
2
)
4 θ = arctan = 45 4
4N l C
θ
y
O
x
l
4N
动量与角动量二
第三章 动量守Байду номын сангаас和能量守恒
质量为0.05kg的小块物体，置于一光滑水平桌面 的小块物体， △2.质量为 质量为 的小块物体 有一绳一端连接此物， 上．有一绳一端连接此物，另一端穿过桌面中心的小孔 如图所示）．该物体原以3rad/s的角速度在距孔 ）．该物体原以 的角速度在距孔0.2m （如图所示）．该物体原以 的角速度在距孔 的圆周上转动．今将绳从小孔缓慢往下拉， 的圆周上转动．今将绳从小孔缓慢往下拉，使该物体之 转动半径减为0.1m．则物体的角速度ω=___． 转动半径减为 ． ． 物体在有心力作用下,对力心的角动量守恒 物体在有心力作用下 对力心的角动量守恒: 对力心的角动量守恒
T 2
(2mυ ) + (mgπR υ )
2
2
0
m
I=
∫ Fdt
0
y
I G = m g T 2 = mg j πR υ
动量与角动量二
第三章 动量守恒和能量守恒
4．一质量为M的斜面原来静止于水平光滑平面上，将 ．一质量为 的斜面原来静止于水平光滑平面上 的斜面原来静止于水平光滑平面上， 一质量为m的木块轻轻放于斜面上 如图． 的木块轻轻放于斜面上， 一质量为 的木块轻轻放于斜面上，如图．如果此后 木块能静止于斜面上， 木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． 保持静止． (B) 向右加速运动． 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 向右匀速运动． 向左加速运动． 对于木块-斜面系统 水平方向不受外力作用 动量守恒 对于木块 斜面系统,水平方向不受外力作用 动量守恒: 斜面系统 水平方向不受外力作用,动量守恒

时 ∑ F ix = 0时 ,
m 1 v 1 x + m 2 v 2 x + L + m n v nx = 常 数
时 ∑ Fiy = 0时 ,
时 ∑ F iz = 0时 ,
m 1 v 1 y + m 2 v 2 y + L + m n v ny = 常 数
m 1 v 1 z + m 2 v 2 z + L + m n v nz = 常 数
M L
解：（1）链条在运动过程中，各部分的速度、 ）链条在运动过程中，各部分的速度、 加速度都相同。 加速度都相同。
o
x
v F
研究对象：整条链条 研究对象： 建立坐标： 建立坐标：如图 M v v (= xg ) 受力分析： 受力分析： F 运动方程： 运动方程：
M L xg dv = M dt
2
L
一段时间内，质点所受的合外力的冲量 冲量等 在t1到t2一段时间内，质点所受的合外力的冲量等 动量的增量。 于在这段时间内质点动量的增量 于在这段时间内质点动量的增量。 几点说明： 几点说明： (1)冲量的方向： (1)冲量的方向： 冲量的方向 v v 的方向， 冲量 I 的方向一般不是某一瞬时力 Fi 的方向，而是所
例子：见书 例子：见书P137例3.3
12
方向， 例1. 力 F = 3 − 2t ，沿z方向，计算 =0至t =1s 方向 计算t 至 内，力对物体的冲量。 力对物体的冲量。
解： Fz = F = 3 − 2t
I z = ∫ Fz dt = ∫ (3 − 2t )dt = 2( N ⋅ s ) t
I y = ∫ Fy dt
t1
t2
I z = ∫ Fz dt

《大学物理I 》作业 No.03 角动量 角动量守恒定律 （A 卷）班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______一、选择题[ ]1、一质点沿直线做匀速率运动时，(A) 其动量一定守恒，角动量一定为零。

(B) 其动量一定守恒，角动量不一定为零。

(C) 其动量不一定守恒，角动量一定为零。

(D) 其动量不一定守恒，角动量不一定为零。

答案：B答案解析：质点作匀速直线运动，很显然运动过程中其速度不变，动量不变，即动量守恒；根据角动量的定义v m r L⨯=，质点的角动量因参考点（轴）而异。

本题中，只要参考点（轴）位于质点运动轨迹上，质点对其的角动量即为零，其余位置均不会为零。

故(B)是正确答案。

[ ]2. 两个均质圆盘A 和B 密度分别为A ρ和B ρ，若A ρ>B ρ，两圆盘质量与厚度相同，如两盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量各为A J 和B J ，则 (A) A J >B J(B) B J >A J(C) A J ＝B J(D) A J 、B J 哪个大，不能确定答案：B答案解析：设A 、B 联盘厚度为d ，半径分别为A R 和B R ，由题意，二者质量相等，即B B A A d R d R ρπρπ22=因为B A ρρ>，所以22B A R R <，由转动惯量221mR J =，则B A J J <。

[ ]3．对于绕定轴转动的刚体，如果它的角速度很大，则 (A) 作用在刚体上的力一定很大 (B) 作用在刚体上的外力矩一定很大(C) 作用在刚体上的力和力矩都很大 (D) 难以判断外力和力矩的大小答案：D 答案解析：由刚体质心运动定律和刚体定轴转动定律知：物体所受的合外力和合外力矩只影响物体运动的加速度和角加速度，因此无法通过刚体运动的角速度来判断外力矩的大小，正如无法通过速度来判断物体所受外力的大小一样。

第三章 练习题一、填空题3－1 一根长度为L 的轻杆AB （其质量可忽略），两端分别固定质量为m 1和m 2的两个小球，此系统绕通过其中心O 并垂直AB 连线的轴转动时，其转动惯量为 。

3－2 一质量为M ，半径为R 的转台，以角速度ω1转动，转动摩擦不计，有一质量为m 的蜘蛛垂直落在转台边缘（转台的转动惯量221MR J =）。

此时转台的角速度ω2为___ _____；若蜘蛛慢慢爬向转台中心，至离转台中心的距离为r 时，转台的角速度ω3为___ ______。

3－3 一转速为1200r/min 的飞轮，因制动而均匀的减速，经10s 停止转动，则飞轮的角加速度为 ，从开始制动到停止转动飞轮转过的圈数为___ __ _；开始制动后5s 时飞轮的角速度为___ ______。

设飞轮转动惯量为J ，其制动力矩为__ _______。

3－4 自由刚体共有6个自由度，其中3个 自由度，3个 自由度。

3－5 一均匀细杆AB ，长为l ，质量为m 。

A 端挂在一光滑的固定水平轴上，它可以在竖直平面内自由摆动。

杆从水平位置由静止开始下摆，当下摆至θ角时，B 端速度的大小B V = 。

3－6 一质量为M ，长为L 的均匀细棒绕通过中心与棒垂直的转轴转动，其转动惯量等于 ；若细棒绕通过一个端点与棒垂直的转轴转动，其转动惯量等于 。

3－7 一飞轮的转动惯量为20.125kg m ⋅,其角动量在1.5s 内从213.0kg m s -⋅⋅减到212.0kg m s -⋅⋅ 在此期间作用于飞轮上的平均力矩M = ,飞轮作功为A = 。

3－8 一质量为m 的小球固定在一质量不计、长为l 的轻杆一端，并绕通过杆另一端的水平固定轴在竖直平面内旋转。

若小球恰好能通过最高点而作圆周运动，则在该圆周的最高点处小球的速度=v ；如果将轻杆换成等长的轻绳，则为使小球能恰好在竖直平面内作圆周运动，小球在圆周最高点处的速度=v 。

3－9 长为L 质量为m 的均匀细棒可绕通过其一端并与棒垂直的光滑水平轴O 转动.设棒从水平静止位置开始释放，则它摆到竖直位置时的角加速度为 ；角速度为 。

在光滑桌面上运动，速度分别为
v1

10i ,
v2

3.0i
5.0
j
（SI制）碰撞后合为一体，求碰撞后的速度？
解：方法一，根据动量守恒定律
m1v1 m2v2 (m1 m2 )v
解得：
v
7i
25
j
7
方法二，利用动量守恒分量式：
(m1 m2 )vx m1v1x m2v2x vx 7m / s
例 题 12
12、一子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为 F 400 4105 t
3
（SI），子弹从枪口射出时的速率为300m/s。假设子弹离
开枪口时合力刚好为零，则
（1）子弹走完枪筒全长所用的时间；
（2）子弹在枪筒中所受力的冲量； （3）子弹的质量 m ；
解：（1）根据题意，子弹离开枪口时合力为零，
f mg
f t(N)
30N L L L 0 t 4 30 ft 70 10tL 4 t 7
0
Ft ft f
t(s) 47
当 t 4s 时 Ftt mv4 mv0 v4 8m / s
(2)当 t 6s 时
6
4 Ftdt mv6 mv4 v6 v4 8m / s
人造卫星的角动量守恒。
A1 : L1 mv1(R l1)
l2
l1 m
A2 : L2 mv2 (R l2 )
A2
A1
mv1(R l1) mv2 (R l2 )
v2 6.30km/s
v2

v1
R l1 R l2
o
B

答：（a）正确。与轴平行的力，对该轴都不产生力矩。（b）正确。比如当两个力垂直于轴，且力的 作用线通过轴时，每个力对该轴的力矩都为零；当两个力作用线不通过该轴时，这两个力的力矩之和 可以不为零。（c）错误。大小相等、方向相反的两个力作用于刚体上不同位置处，如下图所示，两个 力合力为零，但对 O 点的合力矩不为零。（d）错误，如下图所示情况，两个力对 O 点的合力矩为零， 但合力不为零。
为为零零。；（（bc））不不正正确确； ；角当动参量考还点与不参在考运点动的直选线择上有时关，，质只点要相参对考于点参不考选点在的运位动矢直r 是线在上变，化角动的量，就因可此能角不动
量
L

r

mv
也是会变化的；（d）不正确；作匀速率圆周运动的物体，其合外力指向圆心，属于有心
力，以圆心为参考点，质点的角动量守恒，角动量大小和方向都不改变。
端的水平轴在竖直平面内自由摆动，现将棒由水平位置静止释放，求：
（1）细棒和小球绕 A 端的水平轴的转动惯量，
A
B
（2）当下摆至 角时，细棒的角速度。

m
解：（1） J

J1

J2

ml 2

1 ml 2 3

4 ml 2 3
（2）根据转动定理： M

J
d dt

J
d d
d dt

J
d d
1、理解质点、质点系、定轴转动刚体的角动量的定义及其物理意义； 2、理解转动惯量、力矩的概念，会进行相关计算； 3、熟练掌握刚体定轴转动定律，会计算涉及转动的力学问题； 4、理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴转动刚体的角动量定理，熟练进行有关计算； 5、掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。

(3)动量守恒定律只适用于惯性系, 使用时所有速度必须相 对于同一惯性系。
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律

角动量复习题角动量复习题角动量是物体运动的一个重要物理量，它描述了物体围绕某一轴心旋转的性质。

在物理学中，角动量的计算涉及到物体的质量、速度以及旋转半径等因素。

下面将介绍一些与角动量相关的复习题，帮助大家巩固对角动量的理解。

1. 一个半径为2米的旋转木马上，有一个质量为100kg的小孩坐在边缘处。

如果旋转木马以每秒2π弧度的角速度旋转，求小孩的角动量。

解析：角动量的计算公式为L = Iω，其中L为角动量，I为转动惯量，ω为角速度。

在此题中，旋转木马上的小孩可以视为一个质点，其转动惯量可以近似为mR^2，其中m为小孩的质量，R为旋转木马的半径。

代入数值计算可得L = 100kg × (2m)^2 × 2π rad/s = 800π kg·m^2/s。

2. 一个质量为2kg的物体以每秒4π弧度的角速度绕着一个半径为1米的圆周运动，求其角动量。

解析：同样利用角动量的计算公式L = Iω，其中I为转动惯量，ω为角速度。

在此题中，物体可以视为一个质点，转动惯量I = mR^2，其中m为物体质量，R为圆周半径。

代入数值计算可得L = 2kg × (1m)^2 × 4π rad/s = 8π kg·m^2/s。

3. 一个半径为3米的风车叶片以每秒3π弧度的角速度旋转，其转动惯量为10kg·m^2，求其角动量。

解析：根据角动量的计算公式L = Iω，其中L为角动量，I为转动惯量，ω为角速度。

代入数值计算可得L = 10kg·m^2 × 3π rad/s = 30π kg·m^2/s。

4. 一个质量为1kg的小球以每秒2π弧度的角速度绕着一个半径为2米的圆周运动，求其角动量。

解析：同样利用角动量的计算公式L = Iω，其中I为转动惯量，ω为角速度。

在此题中，小球可以视为一个质点，转动惯量I = mR^2，其中m为小球质量，R为圆周半径。

内力做功，机械能守恒，动量守恒的条件为合外力为零，转轴不属于系统，转轴与盘之间有
作用力，动量不守恒。
3-2 如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑
O
固定轴 O 旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打
击细杆．设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆
与小球这一系统的哪种物理量守恒？ 答：在碰撞时，小球重力过转轴，杆的重力也过轴，外力矩为
思考题 3­2 图
零，所以角动量守恒。因碰撞时转轴与杆之间有作用力，所以动量不守恒。碰撞是非弹性的，
所以机械能也不守恒。
3-3 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴 O 以角速度w按图示方向转动.若如图
所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力
F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度w 如何变化？
解：此过程角动量守恒
Jw0
=
1 3
Jw
Þ
w
=
3w0
3-10 一轴承光滑的定滑轮，质量为 M＝2.00 kg，半径为 R＝0.100 m，
一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为 m＝5.00
kg 的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为 J＝ 1 MR 2 ，其初角速 2
w 0
R M
解：（1）设在任意时刻定滑轮的角速度为w，物体的速度大小为 v，则有 v=Rw.
则物体与定滑轮的总角动量为： L = Jw + mvR = Jw + mR2w
根据角动量定理，刚体系统所受的合外力矩等于系统角动量对时间的变化率：
M = dL ,该系统所受的合外力矩即物体的重力矩:M=mgR dt
所以： b

lv 12
(B)
2v 3l
(C)
3v 4l
(D)
3v l
解：小球与细杆碰撞过程中对 o 点的合外力矩为零，根据角动量守恒定律有：
⎛1 ⎞ mvl = ⎜ ml 2 + ml 2 ⎟ω ⎝3 ⎠ 3v ω = 碰撞后的转动角速度为 4l
选C
3． 质量为 m 的小孩站在转动，转动惯量为 J。平台和小孩开始时静止。当小孩突然以相对于地面为 v 的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为 2 2 v⎞ v ⎞ [ ] (A) ω = mR ⎛ (B) ω = mR ⎛ ⎜ ⎟ ，顺时针 ⎜ ⎟ ，逆时针 J ⎝R⎠ J ⎝R⎠
2r
2m r m
m
β
m
mg − T2 = ma 2 T1 − mg = ma1
T 2 × 2 r − T1 × r =
绳和圆盘间无相对滑动有
9 mr 2 β 2
v a2
v T2
v T1
a 2 = 2rβ a1 = rβ
β=
2g 19r
v a1
v mg v mg
联立以上方程，可以解出盘的角加速度的大小：
选A
v
R
m
O
J
4．一水平圆盘可绕通过其中心的固定铅直轴转动，盘上站着一个人，初始时整个系统处 于静止状态，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，则此系统 [ ] (A) 动量守恒 (B) 机械能守恒 (C) 对转轴的角动量守恒 (D) 动量、机械能和角动量都守恒 (E) 动量、机械能和角动量都不守恒 解：此系统所受的合外力矩为零，故对转轴的角动量守恒。 选C 5．关于力矩有以下几种说法： (1) 对某个定轴而言，内力矩不会改变刚体的角动量 (2) 作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零 (3) 质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的角加速度一 定相等 在上述说法中， [ ] (A) 只有(2)是正确的 (B) (1)、(2)是正确的 (C) (2)、(3)是正确的 (D) (1)、(2)、(3)都是正确的 解：内力成对出现，对同一轴，一对内力的力矩大小相等，方向相反，内力矩之和为零， 不会改变刚体的角动量。质量相等，形状和大小不同的两个物体，转动惯量不同，在相 同力矩作用下，角加速度大小不等。 选B 二、填空题 1．如图所示，一轻绳绕于半径为 r 的飞轮边缘，并以质量为 m 的物体

A
rr v2 v1
B
解：取m为研究对象
ur p (mv1)2 (mv2 )2 2(m)2 v1v2 cos 750
3.98m
r mv2
150
ur p 300
设传送带对矿砂平均作用力F
r
ur
mv1
Ft p
ur
F
p t
3.98
m t
3.98qm
3.98 2000 3600
2.2N
ur F的方向与 p相同，由图示：
m(2r2
)2
1 2
m(1r1
)2
角动量守恒r1mv1
r2mv2 ; v
r
2
1
r12 r22
VEk
0.5mr1212
(
r12 r22
1)
12.
uur M
r r
ur F
r r
(m
r d2r)
r
drt 2
r
r m( 2a costi 2b sint j)
rr
m 2 r r 0
ur L
r r
f
1.8 10 3 N
（2）动量定理:
ft (mA mB )vA
求解得到： vA 6m / s
动量守恒: mv0 mAvA (mB m)vB
求解得到： vB 22m / s
P18-4：矿砂从传送带A落到另一传送带B，其速率 大小v1=4m/s，速度方向与竖直方向成30度角，而 传送带B与水平成15度角，其速度的大小v2=2m/s。 如果传送带的运送量恒定，设为qm=2000kg/h，求 矿砂作用在传送带B上的力的大小和方向。
m
d
r r
drt

第三次作业（第三章动量与角动量）一、选择题［A］1.（基础训练2）一质量为m0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m的木块轻轻放于斜面上，如图3-11(A) 保持静止．(B) 向右加速运动．(C) 向右匀速运动．(D) 向左加速运动．【提示】设m0相对于地面以V运动。

依题意，m静止于斜面上，跟着m0一起运动。

根据水平方向动量守恒，得：m V mV+=所以0V=，斜面保持静止。

［C］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m，速率为v，圆半径为R，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为(A) 2m v．(B) 22)/()2(vv Rmgmπ+(C) v/Rmgπ(D) 0．【提示】22TGTI mgdt mg==⨯⎰，而vRTπ2=［C ］3．（自测提高1）质量为m的质点，以不变速率v沿图3-16正三角形ABC的水平光滑轨道运动。

质点越过A点的冲量的大小为(A) m v．(B) ．(C) ．(D) 2m v．【提示】根据动量定理2121ttI fdt mv mv==-⎰，如图。

得：21I mv mv∴=-=[ B] 4.（自测提高2）质量为20 g的子弹，以400 m/s的速率沿图3-17所示的方向射入一原来静止的质量为980 g的摆球中，摆线长度不可伸缩。

子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为(A) 2 m/s．(B) 4 m/s．(C) 7 m/s ．(D) 8 m/s．【提示】相对于摆线顶部所在点，系统的角动量守恒：2sin30()mv l M m lV︒=+其中m为子弹质量，M为摆球质量，l为摆线长度。

解得：V=4 m/s（解法二：系统水平方向动量守恒：2sin30()mv M m V︒=+)图3-11图3-17二、填空题1、（基础训练7）设作用在质量为1 kg 的物体上的力F ＝6t ＋3（SI ）．如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0 s 的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小Ｉ＝18N s ⋅．【提示】2222(63)(33)18I Fdt t dt t t N s ==+=+=⋅⎰⎰2．（基础训练8）静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船。

大学力学习题————-小数点的流浪整理第一章 运动的描述一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个正确答案）1．一小球沿斜面向上运动，其运动方程为245t t S -+=（SI ），则小球运动到最高点的时刻应是（A ）s 4=t （B ）s 2=t （C ）s 8=t（D ）s 5=t[ ]2．质点作半径为R 的变速圆周运动时的加速度大小应为（其中v 表示任意时刻质点的速率）（A ）tv d d（B ）21242d d ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛R v t v（C ）Rvtv 2d d +（D ）Rv2[ ]3．一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v ，某一段时间内的平均速度为v，平均速率为v ，它们之间关系正确的有（A ）v v v v ==, （B ）v v v v =≠, （C ）v v v v ≠≠,（D ）v v v v ≠=,[ ]4．某物体的运动规律为t kv tv 2d d -=，式中k 为大于零的常数。

当t ＝0时，初速为0v ，则速度v 与t 的函数关系应是（A ）0221v ktv +=（B ）0221v ktv +-=（C ）2121v kt v+=（D ）2121v kt v+-=[ ]5．在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以21s m -⋅的速率匀速行使，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向。

今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（x 、y 方向单位矢量用ji、表示），那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度（以1s m -⋅为单位）为（A ）j i22+ （B ）j i22+- （C ）j i22--（D ）j i22-[ ]6．一刚体绕z 轴以每分种60转作匀速转动。

设某时刻刚体上一点P 的位置矢量为k j i r543++=，其单位为“m 102-”，若以“12s m 10--⋅”为速度单位，则该时刻P 点的速度为：（A ）k j i v0.1576.1252.94++= （B ）j i v 8.181.25+-=（C ）j i v8.181.25+=（D ）k v4.31=[ ]二、填空题：1．一质点的运动方程为SI)(62t t x -=，则在t 由0至4 s 的时间间隔内，质点的位移大小为 ，在t 由0到4 s 的时间间隔内质点走过的路程为 。

角动量练习题角动量是物体绕某一点旋转时所具有的物理量，它是描述物体旋转状态的重要参数。

在本篇文章中，我们将通过一些练习题来巩固对角动量的理解和应用。

练习题一：质点角动量假设一个质点的质量为m，速度为v，沿着均匀圆周运动，半径为r。

计算此质点的角动量L。

解析：质点的角动量L可以通过以下公式进行计算：L = mvr其中，m表示质量，v表示速度，r表示半径。

练习题二：刚体的角动量现考虑一个自由刚体，该刚体绕自己的一个固定轴做匀速旋转。

刚体总质量为M，刚体质量分布与距离轴的距离的平方成正比，比例常数为k。

问刚体质心的角动量与旋转轴的角动量之比是多少？解析：对于这个刚体，质心的角动量L_cm可以通过以下公式计算：L_cm = I_cm * ω_cm其中，I_cm表示刚体绕质心的转动惯量，ω_cm表示质心的角速度。

而整个刚体绕轴的角动量L_axis可以通过以下公式计算：L_axis = I_axis * ω_axis其中，I_axis表示刚体绕轴的转动惯量，ω_axis表示轴的角速度。

根据转动惯量的定义可知，I_axis = kM，I_cm = (1/2)kM。

将以上结果代入计算，可得：L_cm / L_axis = (1/2) / 1 = 1 / 2练习题三：角动量守恒现有两个质量分别为m1、m2的质点，m1的速度为v1，m2的速度为v2，m1和m2的初始位置分别为r1和r2，它们在一个封闭系统中相互作用。

求系统的总角动量L_i和最后的总角动量L_f。

解析：系统的总角动量L_i可以通过以下公式计算：L_i = L1 + L2 = m1v1r1 + m2v2r2其中，L1和L2分别为两个质点的角动量。

根据角动量守恒定律可知，L_i = L_f。

因此，总角动量在系统内部相互作用过程中保持不变。

练习题四：转动惯量计算假设一个半径为R、质量均匀分布的圆环围绕其直径做匀速转动。

计算该圆环相对于转动轴的转动惯量I。

解析：对于一个质量均匀分布的圆环，其转动惯量I可以通过以下公式计算：I = (1/2)MR^2其中，M表示圆环的质量，R表示圆环的半径。

清华出版社专项练习动量与角动量一、选择题 1、（0063A15）质量为m 的质点，以不变速率v 沿图中正三角形ABC 的水平光滑轨道运动．质点越过A 角时，轨道作用于质点的冲量的大小为(A) m v ． (B) 2m v ． (C) 3m v ． (D) 2m v ． ［ ］ 2、（0067B30）两辆小车A 、B ，可在光滑平直轨道上运动．第一次实验，B 静止，A 以0.5 m/s 的速率向右与B 碰撞，其结果A以 0.1 m/s 的速率弹回，B 以0.3 m/s 的速率向右运动；第二次实验，B 仍静止，A 装上1 kg 的物体后仍以0.5 m/s的速率与B 碰撞，结果A 静止，B 以0.5 m/s 的速率向右运动，如图．则A 和B 的质量分别为(A) m A ＝2 kg , m B ＝1 kg (B) m A ＝1 kg , m B ＝2 kg (C) m A ＝3 kg , m B ＝4 kg (D) m A ＝4 kg, m B ＝3 kg ［ ］3、（0367A10）质量为20 g 的子弹沿X 轴正向以 500 m/s 的速率射入一木块后，与木块一起仍沿X 轴正向以50 m/s 的速率前进，在此过程中木块所受冲量的大小为(A) 9 N·s . (B) －9 N·s ．(C)10 N·s ． (D) －10 N·s ． ［ ］ 4、（0368A10） 质量分别为m A 和m B (m A >m B )、速度分别为A v 和B v (v A > v B )的两质点A 和B ，受到相同的冲量作用，则(A) A 的动量增量的绝对值比B 的小．(B) A 的动量增量的绝对值比B 的大．(C) A 、B 的动量增量相等．(D) A 、B 的速度增量相等． ［ ］ 5、（0384A20）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图示方向射入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． ［ ］6、（0385B25）一质量为M 的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将(A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动．［ ］ 7、（0386A20） A 、B 两木块质量分别为m A 和m B ，且m B ＝2m A ，两者用一轻弹簧连接后静止于光滑水平桌面上，如图所示．若用外力将两木块压近使弹簧被压缩，然后将外力撤去，则此后两木块运动动能之比E KA /E KB 为C(A) 21． (B) 2/2． (C) 2． (D) 2． ［ ］8、（0629C45）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则(A)下面的线先断． (B)上面的线先断．(C)两根线一起断． (D)两根线都不断． ［ ］ 9、（0632A10）质量为m 的小球，沿水平方向以速率v 与固定的竖直壁作弹性碰撞，设指向壁内的方向为正方向，则由于此碰撞，小球的动量增量为(A) v m ． (B) 0．(C) v m 2． (D) v m 2-． ［ ］ 10、（0633A20）机枪每分钟可射出质量为20 g 的子弹900颗，子弹射出的速率为800 m/s ，则射击时的平均反冲力大小为(A) 0.267 N ． (B) 16 N ．(C)240 N ． (D) 14400 N ． ［ ］ 11、（0659A15）一炮弹由于特殊原因在水平飞行过程中，突然炸裂成两块，其中一块作自由下落，则另一块着地点（飞行过程中阻力不计）(A) 比原来更远． (B) 比原来更近．(C) 仍和原来一样远． (D) 条件不足，不能判定． ［ ］ 12、（0702B25）如图所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为(A) 2m v ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+(C) v /Rmg π． (D) 0．［ ］13、（0703A15）如图所示，砂子从h ＝0.8 m 高处下落到以3 m ／s 向右运动的传送带上．取重力加速度g ＝10 m ／s 2落到传送带上的砂子的作用力的方向为(A) 与水平夹角53°向下．(B) 与水平夹角53°向上． (C) 与水平夹角37°向上． (D) 与水平夹角37°向下． ［ ］14、（0706B30） 如图所示．一斜面固定在卡车上，一物块置于该斜面上．在卡车沿水平方向加速起动的过程中，物块在斜面上无相对滑动.此时斜面上摩擦力对物块的冲量的方向(A) 是水平向前的． (B) 只可能沿斜面向上． (C) 只可能沿斜面向下．(D) 沿斜面向上或向下均有可能． ［ ］15、（5260A20）动能为E K 的A 物体与静止的B 物体碰撞，设A 物体的质量为B 物体的二倍，m A ＝2m B ．若碰撞为完全非弹性的，则碰撞后两物体总动能为(A) E K (B)K E 32． (C) K E 21． (D)　K E 31． ［ ］ 16、（0405A20）人造地球卫星，绕地球作椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上，则卫星的(A)动量不守恒，动能守恒．(B)动量守恒，动能不守恒．(C)对地心的角动量守恒，动能不守恒．(D)对地心的角动量不守恒，动能守恒． ［ ］17、（0406B30） 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B ．用L 和E K 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有(A) L A >L B ，E KA >E kB ． (B) L A ＝L B ，E KA <E KB ．(C) L A ＝L B ，E KA >E KB ． (D) L A <L B ，E KA <E KB ． ［ ］18、（0407C45） 体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是(A)甲先到达． (B)乙先到达．(C)同时到达． (D)谁先到达不能确定． ［ ］19、（5636A15） 一质点作匀速率圆周运动时，(A) 它的动量不变，对圆心的角动量也不变．(B) 它的动量不变，对圆心的角动量不断改变．(C) 它的动量不断改变，对圆心的角动量不变．(D) 它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变． ［ ］二、填空题：1、（0055A20） 质量为m 的小球自高为y 0处沿水平方向以速率v 0抛出,与地面碰撞后跳起的最大高度为21y 0，水平速率为21v 0，则碰撞过程中 (1) 地面对小球的竖直冲量的大小为 ________________________；(2)2、（0056B40） 质量m ＝10 kg 的木箱放在地面上，在水平拉力F 的作用下由静止开始沿直线运动，其拉力随时间的变化关系如图所示．若已知木箱与地面间的摩擦系数μ＝0.2，那么在t ＝ 4 s 时，木箱的速度大小为______________；在t ＝7 s 时，木箱的速度大小为______________．(g 取10 m/s 23、（0060A10） 一质量为m 的物体，原来以速率v 向北运动，它突然受到外力打击，变为向西运动，速率仍为v ，则外力的冲量大小为________________________，方向为____________________．4、（0061A10） y 21y有两艘停在湖上的船，它们之间用一根很轻的绳子连接．设第一艘船和人的总质量为250 kg ，第二艘船的总质量为500 kg ，水的阻力不计．现在站在第一艘船上的人用F ＝50 N 的水平力来拉绳子，则 5 s 后第一艘船的速度大小为_________；第二艘船的速度大小为______．5、（0062B30） 两块并排的木块A 和B ，质量分别为m 1和m 2 ，静止地放置在光滑的水平面上，一子弹水平地穿过两木块，设子弹穿过两木块所用的时间分别为∆t 1 和∆t 2 ,木块对子弹的阻力为恒力F ，则子弹穿出后，木块A 的速度大小为_________________________________，木块B 的速度大小为______________________．6、（0066A20） 两个相互作用的物体A 和B ，无摩擦地在一条水平直线上运动．物体A 的动量是时间的函数，表达式为P A ＝P 0－bt ，式中P 0 、b 分别为正值常量，t 是时间．在下列两种情况下，写出物体B 的动量作为时间函数的表达式：(1) 开始时，若B 静止，则P B 1＝______________________；(2) 开始时，若B 的动量为－P 0，则P B 2＝_____________．7、（0068A15） 一质量为m 的小球A ，在距离地面某一高度处以速度v 水平抛出，触地后反跳．在抛出t 秒后小球A 跳回原高度，速度仍沿水平方向，速度大小也与抛出时相同，如图．则小球A 与地面碰撞过程中，地面给它的冲量的方向为________________，冲量的大小为____________________．8、（0184A15） 设作用在质量为1 kg 的物体上的力F ＝6t ＋3(SI)．如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到 2.0 s 的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小I ＝__________________．9、（0222A20） 一物体质量M ＝2 kg ，在合外力i t F )23(+= (SI)的作用下，从静止开始运动，式中i 为方向一定的单位矢量，则当t ＝1 s 时物体的速度1v ＝__________．10、（0371A20） 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为t F 31044005⨯-= (SI)子弹从枪口射出时的速率为300 m/s ．假设子弹离开枪口时合力刚好为零，则(1)子弹走完枪筒全长所用的时间t ＝____________，(2)子弹在枪筒中所受力的冲量I ＝________________，(3)子弹的质量m ＝__________________．11、（0372A15） 水流流过一个固定的涡轮叶片，如图所示．水流流过叶片曲面前后的速率都等于v ，每单位时间流向叶片的水的质量保持不变且等于Q ，则水作用于叶片的力大小为______________，方向为_________．12、（0374B40） 图示一圆锥摆，质量为m 的小球在水平面内以角速度ω匀速转动．在小球转动一周的过程中，(1) 小球动量增量的大小等于__________________．(2) 小球所受重力的冲量的大小等于________________．(3) 小球所受绳子拉力的冲量大小等于_______________． 13、（0387B25） 质量为1 kg 的球A 以5 m/s 的速率和另一静止的、质量也为1 kg 的球B 在光滑水平面上作弹性碰撞，碰撞后球B 以2.5 m/s 的速率，沿与A 原先运动的方向成60°v的方向运动，则球A 的速率为____________，方向为______________________.14、（0393B25） 两球质量分别为m 1＝2.0 g ，m 2＝5.0 g ，在光滑的水平桌面上运动．用直角坐标OXY 描述其运动，两者速度分别为i 101=v cm/s ，)0.50.3(2j i v += cm/s ．若碰撞后两球合为一体，则碰撞后两球速度v 的大小v ＝_________，v 与x 轴的夹角α＝__________．15、（0630A10） 一质量m ＝10 g 的子弹，以速率v 0＝500 m/s 沿水平方向射穿一物体．穿出时，子弹的速率为v ＝30 m/s ，仍是水平方向．则子弹在穿透过程中所受的冲量的大小为________，方向为_________．16、（0631A15） 一物体质量为10 kg ，受到方向不变的力F ＝30＋40t (SI)作用，在开始的两秒内，此力冲量的大小等于________________；若物体的初速度大小为10 m/s ，方向与力F 的方向相同，则在2s 末物体速度的大小等于___________________．17、（0707B25） 假设作用在一质量为10 kg 的物体上的力，在4秒内均匀地从零增加到50 N ，使物体沿力的方向由静止开始作直线运动．则物体最后的速率v ＝_______________．18、（0708B35） 一质量为1 kg 的物体，置于水平地面上，物体与地面之间的静摩擦系数μ 0＝0.20，滑动摩擦系数μ＝0.16，现对物体施一水平拉力F ＝t ＋0.96(SI)，则2秒末物体的速度大小v ＝______________．19、（0709A15） 质量为1500 kg 的一辆吉普车静止在一艘驳船上．驳船在缆绳拉力(方向不变)的作用下沿缆绳方向起动，在5秒内速率增加至5 m/s ，则该吉普车作用于驳船的水平方向的平均力大小为______________．20、（0710B30） 一吊车底板上放一质量为10 kg 的物体，若吊车底板加速上升，加速度大小为a ＝3＋5t (SI)，则2秒内吊车底板给物体的冲量大小I ＝___________；2秒内物体动量的增量大小P ∆＝__________________.21、（0711A20） 粒子B 的质量是粒子A 的质量的4倍，开始时粒子A 的速度j i 43+=0A v ,粒子B 的速度j i 72-=0B v ；在无外力作用的情况下两者发生碰撞，碰后粒子A 的速度变为j i 47-=A v ，则此时粒子B 的速度B v ＝______________．22、（0715B30）有一质量为M （含炮弹）的炮车，在一倾角为θ 的光滑斜面上下滑，当它滑到某处速率为v 0时，从炮内射出一质量为m 的炮弹沿水平方向． 欲使炮车在发射炮弹后的瞬时停止下滑，则炮弹射出时对地的速率v ＝__________．23、（0717A10） 如图所示，质量为m 的子弹以水平速度0v 射入静止的木 块并陷入木块内，设子弹入射过程中木块M 不反弹，则墙壁 对木块的冲量＝____________________.24、（0718A15） 一质量为30 kg 的物体以10 m·s －1的速率水平向东运动，另一质量为20 kg 的物体以20m·s －1的速率水平向北运动。

mg − T = ma
T ′R = 1 mR 2β
2
a = Rβ;T = T ′
β = 2g
3R
匀加速转动
R T
T′
∴θ = 1 βt 2 = g t 2
2
3R
mg
0J
ω ωo
t = J ln 2 K
第三章角动量守恒习题课后作业 (12)
一、填空题
1、一长为L的轻质细杆，两端分别固定质量为m和2m的小球，此 系统在竖直平面内可绕过中点O且与杆垂直的水平光滑固定轴（O
轴）转动。开始时杆与水平成60°角，处于静止状态。无初转速地
释放后，杆球这一刚体系统绕O轴转动，系统绕O轴的转动惯量
(A) 增大 (B) 减少
(C) 不变 (D) 无法确定
B
角动量守恒，子弹进 入盘中后系统转动惯 量增大
。
∴ I0ω = (I0 + I子弹 )ω ′
二、计算题
1.如图所示，一半径为R，质量为m的均匀圆盘，可绕水平固定光 滑轴转动，现以一轻绳绕在轮边缘，绳的下端挂一质量为m的物 体，求圆盘从静止开始转动后，它转过的角度和时间的关系。
2.如图所示，一质量为m，半径为R的均匀圆柱体，平放在桌面 上。若它与桌面间的滑动摩擦系数为μ，在t=0时，使圆柱体获
得一个绕轴旋转的角速度ω。则到圆柱体停止转
动所需时间t为：（ ）
B
(A)ω0R/2gμ (D)2ω0R/gμ
(B)3ω0R/4gμ(C) (E)2ω0R/3gμ
ω0R/gμω
由作业（9）计算题2的结果，摩擦阻力矩
O
I = 1 MR 2 + mR 2 2
m2
=
m L
⋅

第3章 动量 角动量3-1一架飞机以300m/s 的速率水平飞行，与一只身长0.20m 、质量0.50kg 的飞鸟相撞，设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度，而原来飞鸟对于地面的速率很小，可以忽略不计。

试估计飞鸟对飞机的冲击力(碰撞时间可用飞鸟身长被飞机速率相除来估算)。

根据本题计算结果,谈谈高速运动的物体(如飞机、汽车)与通常情况下不足以引起危害的物体(如飞鸟、小石子)相碰撞后会产生什么后果？解 飞鸟碰撞前速度可以忽略,碰撞过程中冲量的大小为:I m Ft υ==考虑到碰撞时间可估算为 lt υ=即得飞鸟对飞机的冲击力2250.5300 2.2510(N)0.2m F l υ⨯===⨯由此可见飞机所受冲击力是相当大的，足以导致机毁人亡，后果很严重。

3-2 水力采煤,是用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层。

如图，设水柱直径30mm D =，水速56m/s υ=，水柱垂直射在煤层表面上，冲击煤层后的速度为零，求水柱对煤的平均冲力。

解 △t 时间内射向煤层的水柱质量为21π4m V D x ρρ∆=∆=∆ 煤层对水柱的平均冲击力（如图以向右为正方向）为211x x x m m m F t t υυυ∆-∆∆==-∆∆211π4x xD t ρυ∆=-∆3322311.010π(3010)562.2210(N)4-=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯水柱对煤层的平均冲力为'32.2210N F F =-=⨯，方向向右。

习题3-2图3-3 质量10kg m =的物体沿x 轴无摩擦地运动，设0t =时，物体位于原点，速率为零。

如果物体在作用力()34N Ft =+的作用下运动了3秒，计算3秒末物体的速度和加速度各为多少？（题中F 作用线沿着x 轴方向）解 力F 在3秒内的冲量33d (34)d 27N s I F t t t ==+=⋅⎰⎰根据质点的动量定理 ()30m I υ-=得()3 2.7m/s Imυ== 加速度()()223153m/s 1.5m/s 10F a m === 3-4 质量为m 的物体，开始时静止，在时间间隔T t 20≤≤内，受力()2021t T F F T ⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦作用，试证明，在2t T =时物体的速率为043F Tm。