吉林省吉林市普通中学2016届高三第四次调研测试 数学(理) Word版含答案

长春市普通高中2016届高三质量监测（四） 数学理科第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1.已知集合{|A y y x ==+，{3,1,2,4}B =--，则A B 中元素的个数为A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知复数z 满足 512z i=-，则z z ⋅= A. 23 D. 53. 设a b ∈R ,，则“22log log a b >”是“21a b->”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知2=|a |=|b |，2⋅-=-（）a b a ，则|2|-=a b A. 2B. C. 4 D. 85. 执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是A. 4s ≤B. 56s ≤C. 1112s ≤D. 2524s ≤ 6. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为A. 42π-B. 483π-C. 8π-D. 82π-7. 函数()sin()(000)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<,,的部分图象如图所示，则2()9f π=B. 1D. 28. 已知实数x y ,满足202204100x y x y x y -+⎧⎪++⎨⎪--⎩≥≥≤， +()z kx y k =∈R 仅在(4,6)处取得最大值，则k 的取值范围是A. 1k >B. 1k >-C. 12k <-D. 4k <-9. 如图，从高为h 的气球()A 上测量待建规划铁桥()BC 的长，如果测得桥头()B 的俯角是α，桥头()C 的俯角是β，则桥BC 的长为A. sin()sin sin hαβαβ- B. cos()sin sin h αβαβ- C. sin()cos cos h αβαβ- D. cos()cos cos h αβαβ-10. M 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点，A 、F 分别为双曲线的左顶点和右焦点，且MAF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为A.1 B.2 C. 4 D. 611. 棱长为1的正四面体ABCD 中，E 为棱AB 上一点（不含,A B 两点），点E 到平面ACD 和平面BCD 的距离分别为a b ,，则(1)()ab a b ab++的最小值为A. 2B.C.D.312. 已知()f x '是定义在R 上的函数()f x 的导数，满足()2()0f x f x '+>，且(1)0f -=，则()0f x <的解集为A. (,1)-∞-B. (1,1)-C. (,0)-∞D. (1,)-+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13.已知圆C 的圆心在直线210x y +-=上，且经过原点和点(15)--,，则圆C 的方程为 ___________.14. 任取实数[01]x y ∈,,，则满足12x y ≤≤_________. 15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则使(1)n n S +取最小值的n 等于_ _.16. 下列说法中正确的有：___________.①已知直线,m n 与平面,αβ，若m α∥，n β⊥，αβ⊥，则m n ∥；②用数学归纳法证明*(1)(2)()213(21)()n n n n n n n +++=⋅⋅+∈N ，从n k =到1n k =+时，等式左边需乘的代数式是(21)(22)k k ++；③对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体与其内切球切于各面中心；④在判断两个变量y 与x 是否相关时，选择了3个不同的模型，它们的相关指数2R 分别为：模型1为0.98，模型2为0.80，模型3为0.50.其中拟合效果最好的是模型1；⑤在空间直角坐标系中，点(121)A ,,关于y 轴的对称点A '的坐标为(121)--,,. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.（本小题满分12分）已知函数()cos(2)sin 26f x x x π=+-.（1）利用“五点法”列表，并画出()f x 在5[]66ππ-,上的图象；（2）a b c ,,分别是锐角ABC ∆中角A B C ,,的对边.若a =()f A =求ABC ∆的周长的取值范围. 18. （本小题满分12分） 某便携式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性.检查人员从中随机抽取5件，通过对其加以不同的电压（单位：伏特）测得相应电流（单位：安培），数据见下表：10152025300608141215x y 产品编号①②③④⑤电压电流.....()() （1）试估计如对该批次某件产品加以110伏电压，产生的电流是多少？（2）依据其行业标准，该类产品电阻在[18,22]内为合格品.以上述抽样中得到的频率为合格品概率，再从该批次产品中随机抽取5件，记随机变量X 表示其中合格品个数，求随机变量X 的分布列、期望和方差.（附：回归方程：ˆybx a =+，其中：1221()ni ii nii x y nx yb a y bx xnx==-==--∑∑，参考数据：552ii=1i=1=20,11,=1212250i ix y x yx==,.∑∑）19. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，AD BC ，DC AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，2AD=BC =，30DAC =︒∠，M 为PB 中点.（1）证明：AM 平面PCD ；（2）若二面角M PC D --的余弦值为PA 的长.20．（本小题满分12分）已知椭圆:1(>0)x y C +=a b a b>2222的左、右焦点分别为12F F ,，过点1F 的直线l 交椭圆于A B ,两点，AB ||的最小值为3，且△2ABF 的周长为8.（1）求椭圆的方程；（2）当直线l 不垂直于x 轴时，点A 关于x 轴的对称点为A '，直线A B '交x 轴于点M ，求△ABM 面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()ln ()f x =x+a x a R ∈.（1）若曲线()y =f x 在点(1(1))f ,处与直线32y =x -相切，求a 的值； （2）函数2()()g x f x kx =-有两个零点12x x ,,试判断122x x g +⎛⎫'⎪⎝⎭的符号，并证明. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.如图，AB 是圆O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点M ，MN 垂直BA 的延长线于点N .（1）求证：DA 是CDN ∠的角平分线； (2) 求证：2222BM AB AM AB AN =++⋅.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.在极坐标系中，点P 的坐标是(1,0)，曲线C 的方程为)4πρθ=-.以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为1-的直线l 经过点P . （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 相交于两点A B ,，求22||||PA PB +的值. 24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.已知函数()|1||2|f x x x =++-，不等式()f x t ≥对x ∀∈R 恒成立. (1)求t 的取值范围；(2) 记t 的最大值为T ，若正实数a b ,满足22a b T +=，求证：211a b+≤.长春市普通高中2016届高三质量监测（四）数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. B2. D3. A4. B5. C6. C7. B8. B9. A 10. C 11. D 12. A 简答与提示：1. 【试题解析】B 由题意可知{|0}A y y =≥，所以{2,4}A B = . 故选B .2. 【试题解析】D复数i z i iz 2121215-=+=-=，,则5=⋅z z . 故选D . 3. 【试题解析】A “b a 22log log >”等价于“0>>b a ”，“12>-ba ”等价于“b a >”，故选A .4. 【试题解析】B 由2,()2a b a b a ==⋅-=- 可知2a b ⋅= ，则2a b -= 故选B.5. 【试题解析】C 由程序框图可知，要输出8=k ，需1211614121=++=s 时条件成立，当242581614121=+++=s 时条件不成立，从而1211≤s . 故选C.6. 【试题解析】C 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，从而其体积为8π-. 故选C. 7. 【试题解析】B 由题意可知3,,26A πωϕ===，进而()2sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而2()19f π=. 故选B .8. 【试题解析】B 可行域如图所示，目标函数可化为y kx z =-+，若目标函数仅在(4,6)处取最大值，则1k -<，即1->k . 故选B.9. 中，sin hAB α=，在ABC ∆中，sin()sin()sin sin sin AB BC h αβαββαβ-=-=⋅. 故选A. 10. 【试题解析】C 由题意可知，设双曲线左焦点为F'，由MAF ∆为等边三角形，所以||||MF AF a c ==+，从而||3MF a c '=+，在MFF '∆中，由余弦定理得，222(3)()42()a c a c c c a c +=++-⋅+，解得4e =或1e =-(舍).故选C .11. 【试题解析】D 连结,CE DE ，由正四面体棱长为1，有3OA =，由于A BCD E BCD E ACD V V V ---=+，有3a b =+，由a b +≥2146()ab a b ≥=+，所以(1)()1)33ab a b abab++=+≥. 故选D.12. 【试题解析】A 由0)(2)(>+'x f x f 可知0)()()(22>'+'x f e x f e x x ，即)()(2x f e x g x =在R 上单调递增，由0)1(=-f 得0)1(=-g ，则当0)(<x f 时，()1-∞-∈，x . 故选A.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 22(2)(3)13x y -++=14.51215. 6或7 16. ③④⑤简答与提示：13. 【试题解析】由题意可知，该圆心原点和点(1,5)--的中垂线210260x y ++=上，又在直线210x y +-=上，因此圆心为(2,3)-22(2)(3)13x y -++=.14. 【试题解析】由题意，点(,)x y 所满足的区域如图所示，因此[]1,0,∈y x条件下，x y x ≤≤21的概率即为图中阴影面积与正方形面积的比值，其中阴影面积为3211200125)()|23412x x dx x =-=⎰，由几何概型可知概率为5512112=.15. 【试题解析】由题意可知，380a a +=，而853a =，故公差23d =，13a =-，则(10)3n n n S -=，现要求(1)(10)(1)3n n n n n S +-+=的最小值，对上式求导可知，当6n =或7n =时取最小值.16. 【试题解析】由题意可知，①中m 的位置不确定，因此①错误；②用数学归纳法证明*(1)(2)()213(21)()n n n n n n n +++=⋅⋅+∈N ，从k n =到1+=k n 时，等式左边需乘的代数式应为2(21)k +，因此②错误；③满足合情推理，因此③正确；④根据相关指数的定义可知，相关指数越接近于1，模型的拟合效果越好，因此④正确；⑤根据空间直角坐标系的性质可知，关于y 轴对称的点对为(,,)x y z 和(,,)x y z --，因此⑤正确. 故答案为③④⑤.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17. (本小题满分12分)【试题解析】(1) 将函数x x x f 2sin )62cos()(-+=π化简成为())f x x π=+，根据列表可知函数图像如图所示.(6分)(2) 在锐角ABC ∆中，3)(,3-==A f a ， 可知3A π=，由正弦定理可知2sin sin sin a b cA B C===， 即2sin b B =，2sin c C =，周长22sin 2sin 2sin()2sin )36L B C C C C ππ=+=-+=+，其中62C ππ<<，因此L 的取值范围是(3.(12分)18. (本小题满分12分)【试题解析】(1)由题意可得0.044,0.22b a ==，所以回归直线ˆ0.0440.22yx =+，故当电压加为110伏时，估计电流为5.06安培 (6分)(2)经计算，产品编号为①③的不合格品，其余为合格品，合格概率为35则3~(5,)5X B ，有5532()()()(0,1,2,3,4,5)55iiiP X i C i -===X由于~(5,)5X B ，则535EX =⨯=；5(1)555DX =⨯⨯-=. (12分)19. (本小题满分12分)【试题解析】解：取PC 的中点为N ，连结,MN DN(1) M 是PB 的中点，1//,2MN BC MN BC ∴=//AD BC ，且2BC AD =， //NM AD NM AD ∴=且，∴四边形AMND 为平行四边形，//AM ND ∴， 又 AM ⊄ 平面PCD ，ND ⊂平面PCD 所以//AM 平面PCD (6分)(2)以A 为坐标原点，AN 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设 (0)PA t t =>，30,1DAC CD ∠=︒∴= ，由题意可求得：(1,0,0),(1)BC DC PC t ===-. 设(,,1)m x y =- 为平面PMC 的法向量，(,,1)n x y ''=为平面PCD 的法向量，则有：00000m PC x t x ty m BC ⎧⎧⋅=+==-⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⋅==⎩⎪⎪⎩⎩，所以(,0,1)m t =--00000x n PC x t y x n DC '=⎧⎧⎧⋅=''+-=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨'='=⎪⋅=⎪⎩⎪⎩⎩，所以,1)n = 二面角M PC D --的余弦值为，4||||m n m n ⋅∴==-化简得42450t t +-=，所以1t =，即1PA = (12分)20. (本小题满分12分)【试题解析】解：(1) 因为AB 是过焦点1F 的弦，所以当AB x ⊥轴时，||AB 最小，且最小值为22b a，由题意可知223b a=，再由椭圆定义知，2ABF ∆的周长为4a，所以2,a b ==，所以椭圆的方程为22143x y += (4分) (2)设AB 方程为112211(1),(,),(,),(,)y k x A x y B x y A x y '=+-，则22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得2222(34)84120k x k x k +++-=所以2122834k x x k -+=+①，212241234k x x k -=+② 则2121,A B y y k A B x x '+'=∴-方程为211121()y yy y x x x x ++=--化简有1212122121()22()k x x k kx x k x x y x x x x x ++++=---，将①②代入可得 ()22221211624643434(34)()k k ky x x x x k k k x x ⎛⎫=+=+ ⎪-+++-⎝⎭， 所以直线A B '恒过定点(4,0)-，所以1213||2ABM S y y ∆=⨯⨯-设:1(0)AB x my m =-≠，则221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(34)690m y my +--=，12122269,3434m y y y y m m -+==++，所以 222122222222636144(1)||34349(1)6(1)114414491169(1)61m m y y m m m m m m +⎛⎫-=+= ⎪++++++⎝⎭=≤=++++ 因为0m ≠，所以120||3y y <-<，所以90,2ABM S ∆⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ (12分)21. (本小题满分12分)【试题解析】解：(1) ()1,(1)=3,2af x f a x''=+∴∴= (4分) (2)易知0a ≠，2111122222()ln 0,()ln 0g x x a x kx g x x a x kx ⎧=+-=⎨=+-=⎩不妨设1122,1x x x t x >=> 所以12121212(ln ln )()()x x a x x k x x x x -+-=-+ 所以121212(ln ln )1()a x x k x x x x -+=+-12121212121212121222()12,(ln ln )22()1()112ln ln 22ln 12(1)ln 1111ag x kx xx x a x x a a g k x x x x x x x x x x a t a t a t x x x x x t t x t t '=+-+-'=+-+=+--++-⎛⎫--⎛⎫⎛⎫=-=-=⋅- ⎪ ⎪ ⎪+-+--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭令2(1)()ln (1)1t h t t t t -=-≥+，22241(1)()0(1)(1)t h t t t t t -'=-=-≤++ 所以()h t 在(0,)+∞上单调递减，而(1)0h =，所以当1t >时，()0h t <，所以当0a >时，12()02x x g +'<；当0a <时，12()02x xg +'>. (12分) 22. (本小题满分10分)【试题解析】解(1) AB 是圆O 的直径， BD AD ⊥∴,即︒=∠90ADM又MN 垂直BA 的延长线于点N ，即︒=∠90ANM∴M 、N 、A 、D 四点共圆，∴NAM MDN ∠=∠MDN BDC BDC BAC NAM BAC ∠=∠∴∠=∠∠=∠,,由于︒=∠=∠90ADB ADM ，所以ADN ADC ∠=∠ 所以DA 是CDN ∠的角分线 (5分)(2) M 、N 、A 、D 四点共圆，∴BD BM NB AB ⋅=⋅① B 、C 、A 、D 四点共圆，∴MC MA MB MD ⋅=⋅②① +②有ANAB AC MA AB MA BM AN AB AB AC MA MA BM BN AB MC MA BD MB MB MD ⋅+⋅++=+⋅++⋅=⋅+⋅=⋅+⋅2222)()( B 、C 、M 、N 四点共圆，所以AN AB AC MA ⋅=⋅所以2222BM AB AM AB AN =++⋅ (10分)23. (本小题满分10分)【试题解析】解(1)由曲线C22cos 2sin ρρθρθ=+，因此曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+点P 的直角坐标为(1,0)，直线l 的倾斜角为135︒，所以直线l的参数方程为1,(,2x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数).(5分)(2)将1,2(,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)代入2222x y x y +=+，有210t -=， 设A ，B 对应参数分别为12,t t，有12121t t t t +=-，根据直线参数方程t 的几何意义有，22||||PB PA +=222121212()24t t t t t t +=+-=.(10分)24. (本小题满分10分)【试题解析】(1)()|1||2||12|3f x x x x x =++-++-=≥，所以3t ≤. (5分)(2)由(1)知3,T =所以223(0,0)a b a b +=>>因为222a b ab +≥，所以32ab ≤，又因为11a b +≥，所以211a b≤+（当且仅当a b =时取“=”）.。

吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第四次调研测试数 学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：12题解答：222[(2)][ln (1)]b a b a m m --+--≥-恒成立，左端为点(),ln P b b 与点(2,1)Q a a --距离平方，因为,P Q 分别在曲线:ln C y x =及直线:1l y x =+上，由 11y x '==得1x =，故与l 平行且与:ln C y x =相切的切点为（1,0）所以PQ 最小值d ==22m m -≤，解得12m -≤≤。

故选B . 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13：4 ； 14：3 ; 15. 54 ； 16. 19π三、解答题17解答：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，因为3574,14a a a =+=，所以有112421014a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩， ---------------------------------------------4分所以2n a n n =+-； ---------------------------------------------5分(1)22n n n S n -=+21(3)2n n =+。

---------------------------------------------6分（Ⅱ）由（1）知211111()1(2)22n n b a n n n n ===--++， ----------------------------------------------9分所以111111(1232435n T =-+-+-+ 1111...)112n n n n +-+--++ 1111(1)2212n n =+--++ ----------------------------------------------11分 34<----------------------------------------------12分18解答：(Ⅰ)由直方图，抽取的50名学生的数学平均成绩为：850.12950.161050.321150.201250.121350.08107.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以，该校理科毕业生的数学平均成绩约为：107.8-----------------------------3分（Ⅱ）由直方图知，后两组频率之和为0.2，后两组人数之和为500.210⨯=。

2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x||x|≤2}，则∁R A∩B=（）A．A B．C R A C．B D．C R B2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（0，﹣）4．若变量x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．15．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A． B． C． D．6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d7．已知实数x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于121的概率为（）A．B．C．D．8．下列命题正确的个数是（）①对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大；②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为；④“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．49．已知A（x1，y1）是单位圆O上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转，与单位圆O交于点B（x2，y2），若x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2，则m的值为（）A．1 B．2 C．2D．310．过双曲线C：x2﹣的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点Q，R，且，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．D．11．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=且bsin（+C）﹣csin（+B）=a，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x ∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N 的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=．14．二项式（x2+）6展开式中的常数项为．15．已知四边形ABCD中，•=0，||=1，||=2，•=0，则||的最大值为．16．在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为 ．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n }中，a 3=7，且a 2，a 4，a 9成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）数列{b n }满足b n =（），设其前n 项和为S n ，求证：≤S n ＜．18．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出（Ⅱ） 期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201﹣500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为．（1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X 的分布列及数学期望附： =， =﹣， =6， =146，x i y i =4420，x i 2=182．19．梯形BDEF 所在平面垂直于平面ABCD 于BD ，EF ∥BD ，EF=DE=BD ，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE ⊥BC ．（Ⅰ） 求证：DE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ） 求平面AEF 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值．20．在平面直角坐标系中，已知A 1（﹣2，0），A 2（2，0），B 1（x ，2），B 2（x ，﹣2），P（x ，y ），若实数λ使得λ2•=•（O 为坐标原点）．（Ⅰ） 求点P 的轨迹C 的方程，并讨论点P 的轨迹类型；（Ⅱ）当λ=时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中点P的轨迹C相交于不同的两点E，F （E在B，F之间），且＜＜1？若存在，求出该直线的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=x2﹣bx+alnx．（Ⅰ）若b=2，函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x2）＞﹣；（Ⅲ）若对任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（Ⅰ）求证：AF=DF；（Ⅱ）求∠AED的余弦值．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直线l与曲线C相交于P，Q两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x||x|≤2}，则∁R A∩B=（）A．A B．C R A C．B D．C R B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，求出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得：2＜x＜3，即A=（2，3），∴∁R A=（﹣∞，2]∪[3，+∞），由B中不等式解得：﹣2≤x≤2，即B=[﹣2，2]，则∁R A∩B=[﹣2，2]=B，故选：C．2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质化简复数z等于﹣1﹣3i，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣3），从而得出结论．【解答】解：∵复数===﹣1﹣3i，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣3），故复数对应的点位于在第三象限，故选C．3．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（0，﹣）【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y=﹣2x2的方程化为：．即可得出．【解答】解：抛物线y=﹣2x2的方程化为：．∴焦点坐标为．故选：C．4．若变量x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣2y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=2且y=0时，z达到最大值2．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（1，1），C（3，1）．设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，观察直线在x轴上的截距变化，可得当l经点A时，目标函数z达到最大值，=F（2，0）=3．∴z最大值故选：C5．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【分析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，得到函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．【解答】解：∵lga+lgb=0∴ab=1则b=从而g（x）=﹣log b x=log a x，f（x）=a x与∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B，故答案为B6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d【考点】简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：A．7．已知实数x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于121的概率为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于121得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于121的概率．【解答】解：经过第一次循环得到x=3x+1，n=2，经过第二循环得到x=3（3x+1）+1，n=3，经过第三次循环得到x=3[3（3x+1）+1]+1，n=3此时输出x，输出的值为27x+13，令27x+13≥121，得x≥4，由几何概型得到输出的x不小于121的概率为：．故选：B．8．下列命题正确的个数是（）①对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大；②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为；④“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据独立性检验的进行判断，②根据相关关系相关指数为R22，的意义进行判断，③根据几何概型的概率公式进行求解．④根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：①根据两个分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k2越大，判断“X 与Y有关系”的把握程度越大，故①错误，②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；正确③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，由3a﹣1＞0得a＞，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率P==；故③正确，④当“a＞0，b＞0”时“+≥2成立，当a＜0，b＜0时， +≥2也成立，则“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件，故④错误，故正确的是②③，故选：B．9．已知A（x1，y1）是单位圆O上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转，与单位圆O交于点B（x2，y2），若x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2，则m的值为（）A．1 B．2 C．2D．3【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】设A（cosα，sinα），则B（cos（α+），sin（α+）），则my1﹣2y2=msinα﹣2sin（α+），整理后利用辅助角公式化积，再由x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2列关于m的等式求得m的值．【解答】解：A（x1，y1）是单位圆上任一点，设A（cosα，sinα），则B（cos（α+），sin（α+）），即y1=sinα，y2=sin（α+），则my1﹣2y2=msinα﹣2sin（α+）=msinα﹣2（）=（m﹣1）sinα﹣cosα=sin（α+β），∵m＞0，my1﹣2y2的最大值为2，∴，解得m=2．故选：B．10．过双曲线C：x2﹣的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点Q，R，且，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由双曲线线方程可得P的坐标和直线l的方程与双曲线的渐近线联立求得Q和R的横坐标，进而根据且，求得b的值，进而根据c=求得c，最后根据离心率公式答案可得．【解答】解：由题可知P（﹣1，0）所以直线L的方程为y=x+1，两条渐近线方程为y=﹣bx或y=bx联立y=x+1和y=﹣bx得Q的横坐标为x Q=﹣同理得R的横坐标为x R=，∵，∴（﹣1，0）+（，y R）=2（﹣，y Q），∴﹣1+=﹣⇒b=3，c==，∴e==，故选B ．11．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=，a=且bsin （+C ）﹣csin （+B ）=a ，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】三角函数的化简求值；正弦定理．【分析】由已知化简整理求得sin （B ﹣C ）=1，结合角的范围得到B ，C 的值，再利用正弦定理求得b ，代入三角形面积公式求得答案．【解答】解：由bsin （+C ）﹣csin （+B ）=a ，A=，得：sinBsin （）﹣sinCsin （）=sinA ．sinB （+）﹣sinC （sinB +cosB ）=， 整理得sinBcosC ﹣cosBsinC=1， 即sin （B ﹣C ）=1，∵A=，∴B +C=，①即0＜B ＜，0＜C ＜，∴﹣＜﹣C ＜0，则﹣＜B ﹣C ＜，从而B ﹣C=．②联立①②解得B=，C=．sin =，sin =．由，得=．∴．故选：C．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x ∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【考点】导数的运算．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，即g（2﹣a）≥g（a），可得2﹣a≥a，由此解得a的范围．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=x2，∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．∴x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，故选：B．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N 的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=200．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：由题意可得=，故N=200．故答案为：200．14．二项式（x2+）6展开式中的常数项为3．【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，【解答】解：二项式（x2+）6展开式的通项公式为T r+1=•（x2）6﹣r•x﹣r=（）6﹣r••x12﹣3r，令12﹣3r=0，求得r=4，故展开式中的常数项为（）2•=3，故答案为：3．15．已知四边形ABCD中，•=0，||=1，||=2，•=0，则||的最大值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，•=0，•=0，可得AB⊥BC，AD⊥DC．因此四边形ABCD内接于圆O．可得||的最大值为直径AC．【解答】解：如图所示，∵•=0，•=0，∴AB⊥BC，AD⊥DC．∴四边形ABCD内接于圆O．可得⊙O的直径AC==．则||的最大值为直径．故答案为：．16．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，从而得到四面体ABCD的体积的最大值即可．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V=×2×h××2，当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，则四面体ABCD的体积的最大值为．故答案为：．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=（），设其前n项和为S n，求证：≤S n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，由a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．可得a1+2d=7，=（a1+d）（a1+8d），联立解得即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b n=（）==4×．再利用等比数列的前n项和公式、数列的单调性即可得出．【解答】（I）解：设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．∴a1+2d=7，=a2•a9，即=（a1+d）（a1+8d），联立解得d=3，a1=1．∴数列{a n}的通项公式a n=3n﹣2．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：b n=（）==4×．∴S n==∈．∴≤S n＜．18．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出（Ⅰ）若某天售出箱水，求预计收益是多少元？（Ⅱ）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201﹣500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为．（1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望附：=，=﹣，=6，=146，x i y i=4420，x i2=182．【考点】线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）求出、，从而求出回归方程，将x=8代入求出即可；（Ⅱ）设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，求出概率即可；（Ⅲ）计算对应的P（X）的值，求出其分布列和期望值即可．【解答】解：（Ⅰ）===20…=﹣x=146﹣20×6=26…∴=20x=26，当x=8时，=20×8+26=186（元）即某天售出8箱水的预计收益是186元…（Ⅱ）（1）设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，则P===，即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为…（2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000P（X=0）=×=，P（X=300）=××=，P（X=500）=××=，P（X=600）==，P（X=800）=××=，P（X=1000）==，XX的数学期望E（X）=0×+300×+500×+600×+800×+1000×=600（元）…19．梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE=BD，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE⊥BC．（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC，交BD于O，推导出AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而DE ⊥AC，再由DE⊥BC，能证明DE⊥平面ABCD．（Ⅱ）分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，交BD于O，∵BD=BC=CD，且AB=AD，∴AC⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，交线为BD，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF，∵DE⊂平面BDEF，∴DE⊥AC，又DE⊥BC，且AC∩BC=C，∴DE⊥平面ABCD．…解：（Ⅱ）∵EF∥BD，EF=BD，且O是BD中点，∴ODEF是平行四边形，∴OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，…分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（﹣，0，0），E（0，﹣1，1），F（0，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），=（），设平面AEF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），…设平面CEF的法向量，则，取a=1，得=（1，0，﹣），…∴cos＜＞===．即平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值为．…20．在平面直角坐标系中，已知A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（x，2），B2（x，﹣2），P（x，y），若实数λ使得λ2•=•（O为坐标原点）．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程，并讨论点P的轨迹类型；（Ⅱ）当λ=时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中点P的轨迹C相交于不同的两点E，F （E在B，F之间），且＜＜1？若存在，求出该直线的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】轨迹方程；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由题设条件，知（1﹣λ2）x2+y2=4（1﹣λ2），由此进行分类讨论能得到P点的轨迹类型．（Ⅱ）当λ=时，点P的轨迹C的方程为=1．S△OBE：S△OBF=|x1|：|x2|，由＜＜1，即＜＜1．设直线EF直线方程为y=kx+2，联立方程可得，：（1+2k2）x2+8kx+4=0，由此能够推导出直线的斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由λ2•=•得：λ2（x2﹣4）=x2﹣4+y2，即（1﹣λ2）x2+y2=4（1﹣λ2）为点P的轨迹C的方程…①λ=±1时方程为y=0轨迹为一条直线，…②λ=0时方程为x2+y2=4轨迹为圆，…③λ∈（﹣1，0）∪（0，1）时方程为+=1轨迹为椭圆，…④λ∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时方程为﹣=1轨迹为双曲线 …（Ⅱ）当λ=时，点P 的轨迹C 的方程为=1 …设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），∴S △OBE ：S △OBF =|x 1|：|x 2|由＜＜1，即＜＜1，由题意可得x 1，x 2同号，∴＜＜1… 由题意得直线EF 的斜率存在，设其方程为y=kx +2代入椭圆方程得：（1+2k 2）x 2+8kx +4=0∵△=64k 2﹣16（1+2k 2）＞0，∴k 2＞，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=…设，则，∴，∴，，∵，∴即，∴，∴k ∈（，）∪（，）为所求…21．设函数f （x ）=x 2﹣bx +alnx ．（Ⅰ） 若b=2，函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求实数a 的取值范围；（Ⅱ） 在（Ⅰ）的条件下，证明：f （x 2）＞﹣；（Ⅲ） 若对任意b ∈[1，2]，都存在x ∈（1，e ）（e 为自然对数的底数），使得f （x ）＜0成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出f （x ）的导数，结合二次函数的性质求出a 的范围即可；（Ⅱ）求出f （x 2）=﹣2x 2+（2x 2﹣2）lnx 2，令F （t ）=t 2﹣2t +（2t ﹣2t 2）lnt ，（＜t ＜1），得到F （t ）=2（1﹣2t ）lnt ，根据函数的单调性求出F （t ）＞F （），从而证出结论； （Ⅲ）令g （b ）=﹣xb +x 2+alnx ，b ∈[1，2]，得到在x ∈（1，e ）上g （b ）max =g （1）=﹣x +x 2+alnx ＜0有解，令h （x ）=﹣x +x 2+alnx ，通过讨论a 的范围，求出函数的单调性，从而确定a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知，b=2时，f （x ）=x 2﹣2x +alnx ，f （x ）的定义域为（0，+∞），求导数得：f ′（x ）=，∵f （x ）有两个极值点x 1，x 2，f ′（x ）=0有两个不同的正根x 1，x 2，故2x 2﹣2x +a=0的判别式△=4﹣8a ＞0，即a ＜，且x 1+x 2=1，x 1•x 2=＞0，所以a 的取值范围为（0，）；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，＜x 2＜1且f ′（x 2）=0，得a=2x 2﹣2，∴f （x 2）=﹣2x 2+（2x 2﹣2）lnx 2，令F （t ）=t 2﹣2t +（2t ﹣2t 2）lnt ，（＜t ＜1），则F （t ）=2（1﹣2t ）lnt ，当t ∈（，1）时，F ′（t ）＞0，∴F （t ）在（，1）上是增函数∴F （t ）＞F （）=，∴f （x 2）＞﹣； （Ⅲ）令g （b ）=﹣xb +x 2+alnx ，b ∈[1，2]，由于x ∈（1，e ），所以g （b ）为关于b 的递减的一次函数，根据题意，对任意b ∈[1，2]，都存在x ∈（1，e ）（e 为自然对数的底数），使得f （x ）＜0成立，则x ∈（1，e ）上g （b ）max =g （1）=﹣x +x 2+alnx ＜0有解，令h （x ）=﹣x +x 2+alnx ，则只需存在x 0∈（1，e ）使得h （x 0）＜0即可，由于h ′（x ）=，令ω（x ）=2x 2﹣x +a ，x ∈（1，e ），ω′（x ）=4x ﹣1＞0， ∴ω（x ）在（1，e ）上单调递增，∴ω（x ）＞ω（1）=1+a ，①当1+a ≥0，即a ≥﹣1时，ω（x ）＞0，∴h ′（x ）＞0，∴h （x ）在（1，e ）上是增函数，∴h （x ）＞h （1）=0，不符合题意，②当1+a ＜0，即a ＜﹣1时，ω（1）=1+a ＜0，ω（e ）=2e 2﹣e +a ，（ⅰ）若ω（e ）＜0，即a ≤2e 2﹣e ＜﹣1时，在x ∈（1，e ）上ω（x ）＞0恒成立 即h ′（x ）＜0恒成立，∴h （x ）在（1，e ）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，（ⅱ）若ω（e）＞0，即2e2﹣e＜a＜﹣1时，在（1，e）上存在实数m，使得ω（m）=0，∴在（1，m）上，ω（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，综上所述，当a＜﹣1时，对任意b∈[1，2]，都存在x∈（，1e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（Ⅰ）求证：AF=DF；（Ⅱ）求∠AED的余弦值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）欲证AF=DF，可以证明△AEF≌△DEF得出；（Ⅱ）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可以求出．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC．∵∠B=∠CAE，∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE．∵∠ADE=∠BAD+∠B，∴∠ADE=∠DAE．∴EA=ED．∵DE是半圆C的直径，∴∠DFE=90°．∴AF=DF．…解：（Ⅱ）连结DM，∵DE是半圆C的直径，∴∠DME=90°．∵FE：FD=4：3，∴可设FE=4x，则FD=3x．由勾股定理，得DE=5x．∴AE=DE=5x，AF=FD=3x∵AF•AD=AM•AE∴3x（3x+3x）=AM•5x∴AM=3.6x∴ME=AE﹣AM=5x﹣3.6x=1.4x在Rt△DME中，cos∠AED==．…[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直线l与曲线C相交于P，Q两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线C的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l的普通方程；（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立，得：t1t2=1，|AP||AQ|=1，转化求解|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3…直线l的普通方程为x﹣y=0 …（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立得：t2+2t+1=0，由韦达定理得：t1t2=1，|AP||AQ|=1 …将直线的极坐标方程θ=（ρ∈R）与圆的极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ+1=0联立得：，由韦达定理得：ρ1ρ2=1，即|OP||OQ|=1 …所以，|AP||AQ||OP||OQ|=t1t2|ρ1ρ2|=1．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0，从而得到所证不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．2016年8月23日。

2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案2016届高三上学期第一次月考数学文试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1]D ．(0,1)2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ?B ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．﹁p 或q B ．p 且q C ．﹁p 且﹁qD ．﹁p 或﹁q4．设函数f (x )＝x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.1395．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)6．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．27. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4D ．a ≥－48. 函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图像必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0)D ．(2,2)9. 函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )10. 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)11. 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln212. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )．A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<1}<="" p="">二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．14. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 15. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．16. 若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分) 化简：(1)3131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(12分)已知函数f (x )＝1a －1(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 21．（12分）已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； 22．（12分）已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学答题卡一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题有一个正确答案）13、 14、15、 16、三、解答题17.(10分) 化简：(1)131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(10分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；21．（13分）已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．22．（13分）已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学文试卷参考答案1．B2.A3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.B10.B11.B12.A13. x －y －2＝0 14. {x |－32<1}<="" p="">15. (0,1] 16. (512，34]17. 解 (1)原式＝121311113233211212633311233().a b a b abab ab a b+-++----==(2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 18. (1)证明设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.易得a ＝25.19. 解(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1, 1]上，f (x )＝2x4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.20．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∵x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)∵函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝?x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0, 6]，单调递减区间是[－6,0]．21.解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f ′(x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26.) 法二设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x2＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．22.解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a.由f′(x)<0，解得－a<x<a，< p="">∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(－3,1)．</x<a，<>。