椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)

高二数学椭圆双曲线专项练习选择题：1、双曲线 x2－ay2＝ 1 的焦点坐标是（）A ．( 1 a , 0) , ( －1 a , 0)B． ( 1 a , 0), (－1 a , 0)C．（－a1a1D． (－a1,0),(a 1a, 0）,（a, 0）a, 0)a2、设双曲线的焦点在x 轴上 ,两条渐近线为y 1）x ,则该双曲线的离心率为（2A ．5B ．5/2C．5D．5/43．椭圆x2y21的两个焦点为F1、F2，过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆订交，一个交点为P，则| PF2|= 4（）A． 3 /2B．3C． 4了D． 7/24．过椭圆左焦点 F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于A, B 两点，若FA 2 FB ，则椭圆的离心率等于（）A 2B2C1D2 3223 x2y2x 2y 25．已知椭圆3m25n2 和双曲线2m23n2＝ 1 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A ． x＝±15 y B． y＝±15 x C． x＝± 3 y D． y＝± 3 x22446．设 F1和 F2为双曲线x2y2＝ 1 的两个焦点，点P 在双曲线上，且知足∠F1PF2＝90°，则△ F1PF2的面积4是（） A．1 B ．5C． 2D．5 27．已知 F1、 F2是两个定点，点 P 是以 F1和 F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，而且PF1⊥PF2，e1和e 分别是椭圆和双曲线的离心率，则有（）2A ．e1e22B ．e12e224C．e1e2 2 2D．112 e12e228．已知方程x 2+y 2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（）| m | 2 m1A ． m<2B ．1<m<2C． m< － 1 或 1<m<2 D ． m< － 1 或 1<m<32x 2y 2 x 2 y 29．已知双曲线 a 2－b 2=1和椭圆m 2 + b 2 =1( a>0,m> b>0) 的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形x 2 y 2 1 上有 n 个不一样的点 :P 1 2 n n1 的10．椭圆3 , P , , P , 椭圆的右焦点为 F. 数列｛ |P F|｝是公差大于1004等差数列 , 则 n 的最大值是（） A ． 198 B ．199C ． 200D ．201一、填空题：11．对于曲线 C ∶x 2 y 2 C 不行能表示椭圆；②4 k=1 ，给出下边四个命题：①由线k 1当 1＜k ＜ 4 时，曲线 C 表示椭圆；③若曲线 C 表示双曲线，则 k ＜ 1 或 k ＞ 4;④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 1＜ k ＜5此中全部正确命题的序号为_______ ______212．设圆过双曲线x 2 y 2 =1 的一个极点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心距离__916x 2 y 2 1 21 213．双曲线＝ 1 的两焦点为、，点 P 在双曲线上，若 PF ⊥ PF，则点 P 到 x 轴的距离 ____9 1614．若 A （ 1， 1），又 F 1 是 5x 2＋ 9y 2=45 椭圆的左焦点，点P 是椭圆的动点，则 |PA|＋|P F 1|的最小值 _______15、已知 B(-5 ， 0) ， C(5 ， 0) 是△ ABC 的两个极点，且 sinB-sinC= 3sinA, 则极点 A 的轨迹方程是5二、解答题：16、设椭圆方程为x 2 y 2 =1，求点 M （0，1）的直线l 交椭圆于点 A 、 B ， O 为坐标原点，点P 知足41 OB) ，当 l 绕点 M 旋转时，求动点 P 的轨迹方程 .OP(OA217、已知 F1、 F2为双曲线x 2y21（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直a 2b2于 x 轴的直线交双曲线于点P，且∠ PF1F2＝ 30°．求双曲线的渐近线方程．图18、已知椭圆x2y21( a b 0) 的长、短轴端点分别为A、B，此后椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线，恰巧a2b2经过椭圆的左焦点F1，向量 AB 与 OM 是共线向量．（1）求椭圆的离心率e；（ 2）设 Q 是椭圆上随意一点，F1、 F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围；19、已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 (2,0)，右极点为( 3,0)。

双曲线经典练习题总结（带答案）一、选择题1．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C )A ．x 216－y 248＝1B ．y 29－x 227＝1C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1D ．以上都不对[解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 227＝1.2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42[解析] 双曲线2x 2－y 2＝8化为标准形式为x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4.3．(全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( C )A ．(2，＋∞)B ．(2，2 )C ．(1，2)D ．(1,2)[解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a. ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e < 2.故选C ．4．(2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( D ) A ．2 B ．2 C ．322D ．22[解析] 由题意，得e ＝ca＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a >0，b >0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，点(4,0)到渐近线的距离为42＝22， 故选D ．5．(2019·全国Ⅲ卷理，10)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( A ) A ．324B ．322C ．22D ．32[解析] 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A ． 6．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( A ) A ．2 B ．3 C ．2D ．233[解析] 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.根据点到直线的距离公式得2b a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2. 所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2.故选A ． 二、填空题7．(2019·江苏卷，7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 [解析] 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16b 2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .8．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是__－12＜k ＜0__.[解析] 双曲线方程可变形为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k2.又因为e ∈(1,2)，即1＜4－k2＜2，解得－12＜k ＜0. 三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52的双曲线的方程；(2)求实轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程．[解析] (1)设双曲线的方程为x 29－λ－y 2λ－4＝1(4<λ<9)，则a 2＝9－λ，b 2＝λ－4，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∵e ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝59－λ＝54，解得λ＝5， ∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)由于无法确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设知2a ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝6，c ＝152，b 2＝814.∴双曲线的标准方程为x 236－y 2814＝1或y 236－x 2814＝1.B 级 素养提升一、选择题1．如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( A )A ．52B ．54C ．2D ．2[解析] 由已知椭圆的离心率为32，得a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.∴a 2＋b 2a 2＝5b 24b 2＝54.∴双曲线的离心率e ＝52. 2．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( C )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解． 双曲线离心率e ＝1＋m >2，所以m >1，选C ．3．(多选题)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值可能是( BC ) A ．－1 B ．0 C ．12D ．1[解析] 由双曲线方程可知F 1(－3，0)、F 2(3，0)， ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋(－y 0)(－y 0)<0， 即x 20＋y 20－3<0，∴2＋2y 20＋y 20－3<0，y 20<13， ∴－33<y 0<33，故选BC ． 4．(多选题)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( BD ) A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2 B ．当a <b 时，e 1>e 2 C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2 D ．当a >b 时，e 1<e 2[解析] 由条件知e 21＝c 2a 2＝1＋b 2a2，e 22＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2，当a >b 时，b ＋m a ＋m >ba ，∴e 21<e 22.∴e 1<e 2.当a <b 时，b ＋m a ＋m <ba ，∴e 21>e 22.∴e 1>e 2.所以，当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2. 二、填空题5．(2019·课标全国Ⅰ理，16)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__2__.[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，∵F 1B →·F 2B →＝0，∴F 1B ⊥F 2B ，∴点B 在⊙O ：x 2＋y 2＝c 2上，如图所示，不妨设点B 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax x 2＋y 2＝c2a 2＋b 2＝c 2x ＞0，得点B (a ，b )，∵F 1A →＝AB →，∴点A 为线段F 1B 的中点，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫a －c 2，b 2，将其代入y ＝－b a x 得b 2＝⎝⎛⎭⎫－b a ×a －c 2.解得c ＝2a ，故e ＝ca＝2.6．已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±23x __.[解析] 由已知得9＋a ＝13，即a ＝4，故所求双曲线的渐近线为y ＝±23x .三、解答题7．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．[解析] 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)、F 2(c,0)．因为双曲线过点P (42，－3)， 所以32a 2－9b2＝1.①又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 所以c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)． 所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1. 8．(2020·云南元谋一中期中)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，其斜率为－3，求双曲线的离心率．[解析] (1)由题意，ba ＝1，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)由题意，设A (m ，n )，则k OA ＝33，从而n ＝33m ，m 2＋n 2＝c 2，∴A (32c ，c 2)， 将A (32c ，c 2)代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1得：3c 24a 2－c 24b 2＝1，∴c 2(3b 2－a 2)＝4a 2b 2，且c 2＝a 2＋b 2，∴(a 2＋b 2)(3b 2－a 2)＝4a 2b 2， ∴3b 4－2a 2b 2－a 4＝0，∴3(b a )4－2(ba )2－1＝0，∴b 2a 2＝1从而e 2＝1＋b 2a 2＝2，∴e ＝ 2.。

椭圆与双曲线常见题型归纳一. “曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解 1.向量综合型例1.在直角坐标系xOy 中，点P到两点(0,的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ,直线1y kx =+与C 交于,A B 两点。

（Ⅰ）写出C 的方程; （Ⅱ）若OA OB ⊥，求k 的值。

例1. 解:（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0(0为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2214y x +=． （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足 22141.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， 故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． 若OA OB ⊥，即12120x x y y +=． 而2121212()1y y k x x k x x =+++，于是22121222233210444k k x x y y k k k +=---+=+++， 化简得2410k -+=，所以12k =±．例2．设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围 例2．解：（Ⅰ）解法一：易知2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(),P x y ，则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1解法二：易知2,1,a b c ===())12,F F ，设(),P x y ，则22212121212121212cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-⋅=⋅⋅∠=⋅⋅⋅((22222211232x y x y x y ⎡⎤=++++-=+-⎢⎥⎣⎦（以下同解法一）（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭∴12122243,1144k x x x x k k +=-⋅=++由()2214434304k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得：k <或k > 又00090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅> ∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22223841144k k k k -=++++22114k k -+=+∵2223101144k k k -++>++，即24k < ∴22k -<< 故由①、②得2k -<<2k <<例3． 设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点，)1,0(-B ． （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值;（Ⅱ）若C 为椭圆上异于B 一点，且11CF λ=，求λ的值； （Ⅲ）设P 是该椭圆上的一个动点，求1PBF ∆的周长的最大值.例3．解：（Ⅰ）易知2,1,a b c ==，所以())12,F F ,设(),P x y ,则())2212,,3,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值 1（Ⅱ）设C （0x 0，y），)1,0(-B ()10F由11CF BF λ=得λλλ1,)1(300-=-=y x ，又142020=+y x 所以有0762=++λλ解得 )01(7舍去>=-=λλ（Ⅲ）因为|P 1F |＋|PB|＝4－|PF 2|＋|PB|≤4＋|BF 2|∴1PBF ∆周长≤4＋|BF 2|＋|B 1F |≤8．所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时，1PBF ∆周长最大，最大值为8．例4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3( (1) 求双曲线C 的方程；(2) 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA (其中O 为原点)，求k 的取值范围。

2017-11-11【双曲线】1.双曲线方程为，则它的右焦点坐标为 （ ）CA 、B 、C 、D 、【解析】双曲线的，，，所以右焦点为. 【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用求出c 即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为或，从而得出错误结论.2.已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为 (B ) （A（B（C ） 2 （D ） 33.若双曲线-=1(b>0)的渐近线方程式为y=，则ｂ等于 。

【答案】1 【解析】由题意知，解得b=1。

【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。

4.已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。

答案：（，0）【提高】5.已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P 在C 上，∠=，则（ ） (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】.由余弦定理得cos ∠P =4【解析2】由焦点三角形面积公式得：46.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（C ）A ．2132a =B ．213a =C ．212b = D ．22b =7.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（A ） （B ） （C ） （D ）解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可知答案选C ，本题主2221x y -=2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭)2211,2a b ==232c =2c =⎫⎪⎪⎝⎭222c a b =+21b =22b =22y b 2x 41x 2±122b =22221x y a b-=4±0y =1F 2F 221x y -=1F P 2F 06012||||PF PF =1F 2F 222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-()(22221212121212122221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=12||||PF PF = 1202201216011cot 1cot sin 602222F PF S b PF PF PF PF θ∆====12||||PF PF = 1F 2F 22221(0,0)x y a b a b-=＞＞P 212PF FF =2F 1PF 340x y ±=350x y ±=430x y ±=540x y ±=要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题 8.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （ ）（A（B（C（D 解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，则一个焦点为一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，， ，解得. 9.设O 为坐标原点，,是双曲线（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠P =60°，∣OP ∣,则该双曲线的渐近线方程为（）（A ）（B y=0 （C ）=0 （D ±y=0解析：选D ，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题 【椭圆】10.已知椭圆x y +=221169的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 9411．已知椭圆C 的方程x y +=22143，试确定m 的取值范围，使得对于直线yx m =+4，椭圆C 上有不同两点关于直线对称．分析：椭圆上两点(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，相减得31212()()x x x x +-+412()y y +()y y 120-=又x x x +=122，y yy +=122，y y k x x -==--121214，代入得y x =3。

椭圆双曲线抛物线大题及答案近年来，越来越多的数学考试和竞赛中出现了椭圆、双曲线和抛物线的大题。

这些大题考查的是对于这些曲线的了解和掌握，以及运用其性质解决数学问题的能力。

下面，我们来一起探讨一下椭圆、双曲线和抛物线的大题及其答案。

一、椭圆的大题及答案椭圆的一般方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$。

1.已知椭圆的焦点为$(\pm c,0)$，准线为$x=\pm a$，则椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1$。

证明：由于椭圆的准线为$x=\pm a$，则$a$为椭圆的半长轴，$b=\sqrt{a^2-c^2}$为椭圆的半短轴。

又由于椭圆的焦点为$(\pmc,0)$，则$c=\sqrt{a^2-b^2}$为椭圆的焦距。

代入椭圆的一般方程，得到$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1$。

2.已知椭圆的离心率为$\frac{1}{3}$，其中一个焦点为$(4,0)$，则椭圆的方程为$\frac{(x-4)^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$。

证明：由于椭圆的离心率为$\frac{1}{3}$，则椭圆的半长轴为$a=9$，焦距为$c=\frac{a}{3}=3$，半短轴为$b=\sqrt{a^2-c^2}=6$。

又由于一个焦点为$(4,0)$，则另一个焦点为$(-4,0)$。

代入椭圆的一般方程，得到$\frac{(x-4)^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$。

二、双曲线的大题及答案双曲线的一般方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>0$，$b>0$。

1.已知双曲线的离心率为2，其中一个焦点为$(5,0)$，则双曲线的方程为$\frac{(x-5)^2}{16}-\frac{y^2}{12}=1$。

圆锥曲线习题——双曲线1. 如果双曲线2422y x -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（ ） (A)364 (B)362 (C)62 (D)322. 已知双曲线C ∶22221(x y a a b-=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是 （A ）a(B)b(C)ab(D)22b a +3. 以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A ．221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=4. 以双曲线222x y -=的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ ） Ａ．22430x y x +--= Ｂ．22430x y x +-+= Ｃ．22450x y x ++-=Ｄ．22450x y x +++=5. 若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)6. 若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心率是（ ）（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）57. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A 2B 35108. 已知双曲线)0(12222>=-b by x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则12PF PF ⋅＝（ ）A. -12B. -2C. 0D. 4 二、填空题9. 过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。

双曲线常见题型与典型方法归纳考点一 双曲线标准方程及性质1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。

（1）距离之差的绝对值.（2）当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是同一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 【典例】到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线 第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。

2双曲线的标准方程及几何性质标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x )0,0(12222>>=-b a bx a y 图形性 质焦点 F 1（-)0,c ，F 2（)0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴，y 轴和原点对称顶点 （-a ，0）。

（a ，0） （0，-a ）（0，a ）轴 实轴长2a ，虚轴长2b离心率)1(>=e ace （离心率越大，开口越大） 准线ca x 2±=ca y 2±=通径22b d a=22b d a=渐近线x ab y ±= x bay ±=注意：等轴双曲线（1）定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线 （2）方程：222x y a -=或222y x a -= （3）离心率e =渐近线y x =±（4）方法：若已知等轴双曲线经过一定点，则方程可设为22(0)x y λλ-=≠ 【典例】 已知等轴双曲线经过点1)-，求此双曲线方程 3双曲线中常用结论（1）两准线间的距离: 22a c （2）焦点到渐近线的距离为b （3）通径的长是ab 22考点二 双曲线标准方程一 求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程； （2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。

双曲线经典练习题总结(带答案)1.选择题1.以椭圆x^2/169 + y^2/64 = 1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为C，当顶点为(±4,0)时，a=4，c=8，b=√(a^2+c^2)=4√5，双曲线方程为x^2/16 - y^2/20 = 1；当顶点为(0,±3)时，a=3，c=6，b=√(a^2+c^2)=3√5，双曲线方程为y^2/9 - x^2/5 = 1，所以答案为C。

2.双曲线2x^2 - y^2 = 8化为标准形式为x^2/4 - y^2/8 = 1，所以实轴长为2a = 4，答案为C。

3.若a>1，则双曲线2x^2/a^2 - y^2 = 1的离心率的取值范围是C。

由双曲线方程得离心率e = √(a^2+1)/a，所以c^2 =a^2+b^2 = a^2(a^2+1)/(a^2-1)，代入离心率公式得√(a^2+1)/a = 2，解得a = 2，所以答案为C。

4.已知双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为D。

由双曲线方程得离心率e = √(a^2+b^2)/a = 2，所以b^2 = 3a^2，又因为点(4,0)到渐近线的距离为c/a，所以c^2 = a^2+b^2 = 4a^2，代入双曲线方程得4x^2/a^2 - 2y^2/3a^2 = 1，化简得y^2 = 6x^2/5，所以渐近线方程为y = ±√(6/5)x，代入点(4,0)得距离为2√5，所以答案为D。

5.双曲线C：x^2/4 - y^2/16 = 1的右焦点坐标为F(6,0)，一条渐近线的方程为y = x，设点P在第一象限，由于|PO| = |PF|，则点P的横坐标为4，纵坐标为3，所以△PFO的底边长为6，高为3，面积为9，所以答案为A。

6.若双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x-2)^2 + y^2 = 4所截得的弦长为2，则b^2 = a^2-4，圆心为(2,0)，半径为2，设截弦的两个交点为P和Q，则PQ = 2，所以PQ的中点M在圆上，即M为(5/2,±√(3)/2)，所以PM = √(a^2-25/4)±√(3)/2，由于PM = PQ/2 = 1，所以(a^2-25/4)+(3/4) = 1，解得a = √(29)/2，所以答案为B。

椭圆、双曲线测试（含答案）一、单选题1．已知双曲线C 与椭圆E ：221925x y +=有共同的焦点，它们的离心率之和为145，则双曲线 C 的标准方程为 A ．221124x y -=B ．221412x y -=C ．221412y x -=D ．221124y x -=【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案． 【详解】由椭圆221925x y +=，得225a =，29b =， 则22216c a b =-=，∴双曲线与椭圆的焦点坐标为()10,4F -，()20,4F ， ∴椭圆的离心率为45，则双曲线的离心率为144255-=． 设双曲线的实半轴长为m ，则42m=，得2m =， 则虚半轴长224223n -= ∴双曲线的方程是221412y x -=． 故选C ． 【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题． 2．已知椭圆22143x y +=，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，若椭圆内一点A (1,1)，则PA PF +的最小值为（ ） A ．3B 10C 152D 51【答案】A 【解析】【分析】由椭圆定义把PF 转化为P 到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性质可得. 【详解】设椭圆的右焦点为2F (1,0)，21AF =，22||||||4||4||||PA PF PA PF PA PF +=+-=+-， 又2||||PA PF -≤2||AF ，222||||||||AF PA PF AF --≤≤，当2P A F ，，三点共线时取等号，||||PA PF +的最小值为3（取最小值时P 是射线2F A 与椭圆的交点）， 故选：A.3．“01t <<”是“曲线2211x y t t+=-表示椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t 的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】因为曲线2211x y t t+=-为椭圆， 所以0101t t t t>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得01t <<且12t ≠，所以“01t <<”是“01t <<且12t ≠”的必要而不充分条件. 故选：B4．已知1F ､2F 是椭圆C ：22221x ya b+=(0a b >>)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥.若12PF F △的面积为9，则b =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】根据12PF F △的面积以及该三角形为直角三角形可得1218PF PF ⋅=，22212||||4PF PF c +=，然后结合12||||2PF PF a +=，简单计算即可.【详解】依题意有12||||2PF PF a +=，所以2121222|||||2||4|PF PF PF PF a +⋅+=又12PF PF ⊥，1212192PF F S PF PF =⋅=△，所以1218PF PF ⋅=， 又22212||||4PF PF c +=，可得224364c a +=，即229a c -=，则3b =， 故选：B.5．如图，椭圆的中心在坐标原点,O 顶点分别是1212,,,A A B B ，焦点分别为12,F F ，延长12B F 与22A B 交于Р点，若12B PA ∠为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题意，12B PA ∠就是22B A 与21F B 的夹角，所以22B A 与21F B 的夹角为钝角，从而有22210B A F B ⋅<，结合222b a c =-即可求椭圆离心率的取值范围．【详解】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ，b ，c ，则22(,)B A a b =-，21(,)F B c b =--，因为12B PA ∠就是22B A 与21F B 的夹角，所以22B A 与21F B 的夹角为钝角， 所以22210B A F B ⋅<，即20ac b -+<，又222b a c =-，所以220a ac c --<，两边同时除以2a ，得210e e --<，即210e e +->，解得e e >，又01e <<，1e <<，所以椭圆离心率的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭，故选：D ． 二、填空题6．与双曲线221x y -=有相同的渐近线，且过点(1,2)的双曲线的标准方程为_________.【答案】22133y x -=【解析】 【分析】根据给定条件，设出所求双曲线的方程，利用待定系数法求解作答. 【详解】依题意，设双曲线方程为：22(0)x y λλ-=≠，于是得22123λ=-=-，则有223x y -=-，所以双曲线的标准方程为22133y x -=.故答案为：22133y x -=7．椭圆22110036x y +=上一点P 满足到左焦点1F 的距离为8，则12F PF ∆的面积是________.【答案】【解析】根据椭圆的定义再利用余弦定理求出12cos F PF ∠，最后由面积公式计算可得； 【详解】解：由椭圆的定义得12||||220PF PF a +==，18PF =，∴212PF =，22222212121212||||812161cos 281242PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===-⨯⨯⋅，∴21n si F PF ∠==1218122PF F S =⨯⨯=△.故答案为：8．已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可得126MF MF +=，结合基本不等式即可求得12MF MF ⋅的最大值. 【详解】 ∴M 在椭圆C 上 ∴12236MF MF +=⨯=∴根据基本不等式可得126MF MF +=≥129MF MF ⋅≤，当且仅当123MF MF ==时取等号.故答案为：9.9．已知椭圆2214x y +=，过11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭点作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P 是AB的中点，则直线l 的方程是__________. 【答案】220x y +-= 【解析】 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出． 【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则221144x y +=，222244x y +=，12121212((4)0)))((x x x x y y y y ∴+-++-=．1(1,)2P 恰为线段AB 的中点，即有122x x +=，121y y +=，1212()2()0x x y y ∴-+-=，∴直线AB 的斜率为121212y y k x x -==--， ∴直线AB 的方程为11(1)22y x -=--， 即220x y +-=．由于P 在椭圆内，故成立． 故答案为：220x y +-=． 三、解答题10．已知定点(1,0)F ，动点(,)(0)P x y x ≥到点F 的距离比它到y 轴的距离大1． (1)求动点P 的轨迹方程；(2)过(1,2)Q 的直线1l ，2l 分别与点P 的轨迹相交于点M ，N （均异于点Q ），记直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，若120k k +=，求证：直线MN 的斜率为定值．【答案】(1)24y x =； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1||1x =+，整理即可得轨迹方程.（2）根据题设令11(,)M x y 、22(,)N x y ，1l 为2(1)y k x -=-，2l 为2(1)y k x -=--，联立抛物线方程求,M N 的坐标，再应用两点式求MN k 即可证结论. (1)||1x =+，则22(||)y x x =+，又0x ≥， ∴24y x =，故动点P 的轨迹方程为24y x =. (2)由题设，令1l 为2(1)y k x -=-，2l 为2(1)y k x -=--，1l 联立抛物线，可得：22222(22)(2)0k x k k x k --++-=，若11(,)M x y ，22(,)N x y ，∴212()k x k -=，则142y k =-，同理可得222()k x k +=，则242y k=--，∴2121818MNy yk k x x k--===--，为定值.11．已知椭圆C 的标准方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，若右焦点为F且离心率为（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是C 上的两点，直线MN 与曲线222x y b +=相切且M ，N ，F 三点共线，求线段MN 的长．【答案】（1）2213x y +=；（2【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.（2）由（1）知曲线为221(0)x y x +=>，讨论直线MN 的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a =，则a =2221b a c =-=， ∴椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意：当直线MN 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y 又M ，N ，F 三点共线，可设直线:(MN y k x =，即0kx y -=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立22(13y x x y ⎧=±⎪⎨+=⎪⎩，得2430x -+=，则12x x +=，1234x x ⋅=，∴||MN ==12．双曲线221124x y -=，1F ､2F 为其左右焦点，C 是以2F 为圆心且过原点的圆.(1)求C 的轨迹方程；(2)动点P 在C 上运动，M 满足12F M MP =，求M 的轨迹方程. 【答案】(1)22(4)16x y -+= (2)22464()39x y -+=【解析】 【分析】（1）由双曲线的右焦点作为圆心，以半焦距为半径的圆，可以直接写出圆的标准方程即可.（2）求解轨迹方程求谁设谁，设(,)M x y ，00)(P x y ，用点M 的坐标表示点P 的坐标，带入方程即可得到答案. (1)由已知得212a =，24b=，故4c =，所以1(4,0)F -､2(4,0)F ， 因为C 是以2F 为圆心且过原点的圆，故圆心为(4,0)，半径为4， 所以C 的轨迹方程为22(4)16x y -+=； (2)设动点(,)M x y ，00)(P x y ，， 则1(4,)F M x y =+，00(,)MP x x y y =--，由12F M MP =，得(4x +，0)2(y x x =-，0)y y -， 即0042()2()x x x y y y +=-⎧⎨=-⎩，解得0034232x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点P 在C 上，所以2200(4)16x y -+=， 代入得22343(4)()1622x y+-+=， 化简得22464()39x y -+=.13．已知双曲线2214x y -=，P 是双曲线上一点.(1)求证：点P 到双曲线两条渐近线的距离的乘积是一个定值.(2)已知点(3,0)A ，求PA 的最小值. 【答案】(1)证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题意求得11(,)P x y 到两条渐近线的距离分别为1d =2d =得到22112154d d x y -⋅=，结合双曲线的定义，即可求解.（2）设P 的坐标为(,)x y ，求得2225124(3)()455PA x y x =-+=-+，结合2x ≥，即可求解. (1)证明：设11(,)P x y 是双曲线2214x y -=上的任意一点，则221144x y -=， 该双曲线的两条渐近线方程分别为20x y -=和20x y +=，点11(,)P x y 到两条渐近线的距离分别为1d =和2d =则2211124554y x d d -⋅===， 所以点P 到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. (2)解：设P 的坐标为(,)x y ，则()()22222251243314455x PA x y x x ⎛⎫=-+=-+-=-+ ⎪⎝⎭，因为2x ≥，所以当125x =时，2PA 的最小值为45，即PA。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分）1. 椭圆221259x y +=的焦距为。

（ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 82．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ）A ．221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 221610x y -= 3．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A ．67 B. 37 C. 185 D 1654.椭圆22143x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 45．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。

（ ）A ．22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ︒∠=且123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ）A ．52B. 102C. 152 D 57.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4B ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.37169．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8二．填空题。

双曲线专题考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义1.设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。

2. P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A ）a -（B ）b -（C ）c -（D ）c b a -+［解析］设21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为0x ，由圆的切线性质知，a x a c x x c PF PF -=⇒=----=-000122|)(|||题型2 求双曲线的标准方程3.已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．[解析] 解法一：设双曲线方程为22a x －22by =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1.又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x －82y =1.解法二：设双曲线方程为k x -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.4.已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； [解析]设双曲线方程为λ=-224y x ，当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ， 当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ， 综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y 5.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________. [解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x 6.已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为A ．221(1)8y x x -=<- B ．221(1)8y x x -=>C ．1822=+y x （x > 0） D ．221(1)10y x x -=> [解析]2=-=-BN BM PN PM ，P 点的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B 考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围7.已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．[解析](方法1)由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =，解得183PF a =，223PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2222218981732382494964cos e a a c a a PF F -=⋅⋅-+=∠，要求e 的最大值，即求21cos PF F ∠的最小值，当1cos 21-=∠PF F 时，解得53e =．即e 的最大值为53．(方法2) ac aPF a PF PF a PF PF -+≤+=+=21||21||||2||||22221 ， 双曲线上存在一点P 使12||4||PF PF =，等价于35,421≤∴≥-+e a c a(方法3)设),(y x P ，由焦半径公式得a ex PF a ex PF -=+=21,，∵214PF PF=，∴)(4)(a ex a ex -=+，∴x a e 35=，∵a x ≥，∴35≤e ，∴e 的最大值为53．8. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为E ，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A 、B 两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e 是（ ）A ．215+B ．2C ．215+或2 D ．不存在[解析]设双曲线的左准线与x 轴交于点D,则c ab AD =，c a a ED 2+=，=+∴c a a 2cab⋅3，2=∴e 题型2 与渐近线有关的问题9.若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A.2B.3C.5D.2[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故a b 2=，5122222=+==ab ac e ,所以5=e10.焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）A ．1241222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．1122422=-y x基础巩固训练1..已知双曲线的两个焦点为1(10,0)F -、2(10,0)F ，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF ⋅=，12||||2MF MF ⋅=，则该双曲线的方程是 （ ）A ．2219x y -=B ．2219y x -= C ．22137x y -= D ．22173x y -=[解析]由 12||||2MF MF ⋅=和402221=+PF PF 得6||21=-PF PF ，选A2..已知F 1，F 2分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）(A).),21(+∞+(B).)21,1(+ (C).)3,1( (D).)22,3([解析] 210122122222+<⇒<--⇒<-⇒<e e e ac a c ca b ，选B3.曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的 （ ）A ．焦距相等B ．焦点相同C ．离心率相等D ．以上都不对[解析] 方程)6(161022<=-+-m m y m x 的曲线为焦点在x 轴的椭圆，方程)95(19522<<=-+-n ny n x 的曲线为焦点在y 轴的双曲线，)5()9()6()10(-+-=---n n m m ，故选A 综合提高训练4. 已知椭圆1532222=+ny m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线l 过焦点且垂直于x 轴，若直线l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为43，求双曲线的方程[解析]（1）依题意，有22223523m n m n -=+，即228m n =，即双曲线方程为22221163x y n n -=，故双曲线的渐近线方程是22220163x y n n-=，即x y 43±=，． （2）设渐近线x y 43±=与直线c x l =:交于A 、B ，则23||c AB =，=⋅=∆2321c c S OAB 43，解得1=c 即122=+b a ，又43=a b ，193,191622==∴b a 双曲线的方程为1319161922=-y x 5..已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为()3,0.（Ⅰ）求双曲线C 的方程（Ⅱ）若直线:2=+l y kx 与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2∙>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围解（1）设双曲线方程为22221-=x y a b由已知得3,2==a c ，再由2222+=a b ，得21=b故双曲线C 的方程为2213-=x y . （2）将2=+y kx 代入2213-=x y 得22(13)6290---=k x kx 由直线l 与双曲线交与不同的两点得()22221306236(13)36(1)0⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩k k k即213≠k 且21<k . ① 设(),,(,),A A A B A x y B x y ，则 22629,1313-+==--A B A Bx y x y k k ，由2∙>OA OB 得2+>A B A B x x y y ， 而2(2)(2)(1)2()2+=+++=++++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x k x x2222296237(1)222131331-+=+++=---k k k k k k k . 于是2237231+>-k k ，即2239031-+>-k k 解此不等式得21 3.3<<k ② 由①+②得2113<<k 故的取值范围为33(1,),133⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭。

椭圆、双曲线解答题综合练习1.中心在坐标系原点O，焦点F1,F2在坐标轴上，离心率e=√2的双曲线C过点P(4,−√10).（1）求C的方程；（2）若点M(3,m)在C上，求ΔMF1F2的面积.2.若椭圆C：x2a2+y2b2=1是以双曲线x23−y2=1的顶点为焦点，以其焦点为顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P是椭圆C上的一点，F1、F2是椭圆C的两焦点，且∠F1PF2＝90°，求△PF1F2的面积．3.分别求出满合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)离心率为√74，且短轴长为6的椭圆C1；(2)过点(3,−√2)，且与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点的双曲线C2；4. 如图，点F 1,F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左、右焦点．点A 是椭圆C 上一点，且满足AF 1⊥x 轴，∠AF 2F 1=30∘，直线AF 2与椭圆C 相交于另一点B ．（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若ΔABF 1的周长为4√3，求椭圆C 的标准方程.5. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率e =√22，已知以坐标原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x -y +2=0相切． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过F 1的直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，若F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6，求直线l 的方程．6. 已知椭圆x2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，且经过点M （2，1），直线y =12x -1与椭圆交于A ，B 两点．（1）求椭圆方程；（2）求线段AB 中点的横坐标．7. 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)长轴为8离心率e =√32. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 内一点M (2,1)引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程.8. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2=1(a >b >0)上一点与两焦点构成的三角形的周长为4＋2√3,离心率为√32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的右顶点和上顶点分别为A 、B ，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点（点P 在第一象限）.若四边形APBQ 面积为√7，求直线l 的方程.9. 若椭圆经过两点(−32,52)，(√3,√5)，求椭圆的标准方程．10. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线D 的渐近线方程为y =±√3x,且经过点(2,3),直线l:y =x −2交双曲线于A,B 两点，连结OA,OB ．（1）求双曲线方程； （2）求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值.11.已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，根据下列条件分别求双曲线C的标准方程．(1)渐近线方程为y=±53x，且过点(3，10)；(2)与双曲线x2−y2=1的离心率相同，与x25+y2=1共焦点．12.（1）求焦点在x轴，焦距为4，并且经过点(52,−32)的椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±12x，且与椭圆x210+y25=1有公共焦点，求此双曲线的方程．13.设椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P（a，b）满足|PF2|=|F1F2|．（1）求椭圆的离心率e；（2）设直线PF2与椭圆相交于A、B两点，若椭圆的长轴长为4√2，求△ABF1的面积．14.命题P：方程x2k−2+y2k−1=1表示双曲线，命题q：不等式x2-2x+k2-1＞0对一切实数x恒成立．（1）求命题P中双曲线的焦点坐标；（2）若命题“p且q”为真命题，求实数k的取值范围．15. 已知椭圆C 的右焦点为F （1，0），且点P(1，32)在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知定点M （-4，0），直线y =kx +1与椭圆C 相交与A ，B 两点，若∠AMO =∠BMO （O 为坐标原点），求k 的值．16. 设F 1,F 2分别是椭圆E ：x 2a 2+yb22=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A,B 两点，|AF 1|=3|BF 1|（1）若|AB |=4,ΔABF 2的周长为16，求|AF 2|； （2）若cos∠AF 2B =35，求椭圆E 的离心率.17. 已知椭圆C 与双曲线y 24−x 23=1有共同的焦点，椭圆C 的离心率为√74，点P(2,−3)与椭圆C 上的两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)构成的三角形△PAB 的面积为10，且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求证：直线AB 过椭圆的顶点.18. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为4，且过点(−3,2√6)．(1)求双曲线方程和其渐近线方程；(2)若直线l:y =kx +2与双曲线C 有且只有一个公共点，求实数k 的取值范围．19.已知直线y=kx−1和双曲线C:x2−y2=1交于A,B两点.（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若k=−√62,求ΔAOB的面积.20.已知直线l：y=kx+1与双曲线C：3x2-y2=1．（1）当k=√3时，直线l与双曲线C的一渐近线交于点P，求点P到另一渐近线的距离；（2）若直线l与双曲线C交于A，B两点，若|AB|=4√3，求k的值．21.曲线C上的点M(x,y)到定点F(2,0)的距离和它到直线x=12的距离的比是常数2.（Ⅰ）求曲线C的轨迹的方程；（Ⅱ）直线l与曲线C交于A,B两点，且点P(1,3)为线段AB的中点，求直线l的方程.22.双曲线的方程是x24-y2=1．（1）直线l的倾斜角为π4，被双曲线截得的弦长为83√11，求直线l的方程；（2）过点P（3，1）作直线l′，使其被双曲线截得的弦恰被P点平分，求直线l′的方程．答案和解析1.【答案】解：（1）由离心率e =ca =√2，解得a =b ，设方程为x 2-y 2=λ，又双曲线过点(4，−√10)， ∴16-10=λ， 解得λ=6， ∴双曲线方程为x 26−y 26=1，（2）由点（3，m ）在双曲线上，得96−m 26=1，解得m =±√3，又|F 1F 2|=2c =2√a 2+b 2=4√3，所以△MF 1F 2的面积为S =12×4√3×√3=6．【解析】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．解答的关键是对双曲线标准方程的理解和向量运算的应用，难度适中.（1）由离心率e =ca =√2，解得a =b ，设双曲线方程为x 2-y 2=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程，（2）把点M （3，m ）代入双曲线，可解得m =±√3，即可得其面积．2.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，双曲线的方程为x 23−y 2=1，其顶点为（±√3，0），焦点为（±2，0）， 则椭圆Cx 2a 2+y 2b 2=1的焦点为（±√3，0），顶点为（±2，0）， 则a =2，c =√3，则b =√a 2−b 2=1， 故椭圆的方程为x 24+y 2=1；（Ⅱ）根据题意，∠F 1PF 2=90°，即△F 1PF 2为直角三角形，则有{|PF 1|+|PF 2|=2a =4|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=12⇒|PF 1|⋅|PF 2|=2； 故△PF 1F 2的面积S =12|PF 1|⋅|PF 2|=1．【解析】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆、双曲线的标准方程，属于中档题．（Ⅰ）根据题意，由双曲线的方程分析焦点、顶点坐标，即可得椭圆C 的焦点、顶点坐标，据此分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，分析可得{|PF 1|+|PF 2|=2a =4|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=12，变形可得|PF 1|•|PF 2|的值，由三角形面积公式计算可得答案．3.【答案】解：(1)∵短轴长为6，∴b=3，∵离心率为√74，∴ca =√74，又∵a2=b2+c2，∴a=4，∴椭圆C1的标准方程为x216+y29=1或y216+x29=1；(2)∵双曲线与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点，∴焦点坐标为（±2,0），又∵双曲线过点，∴2a=3√3−√3=2√3，即a=√3，∴b=1，∴双曲线C2的标准方程为x23−y2=1；【解析】本题考查圆锥曲线的标准方程，属于基础题.(1)由椭圆的性质得到b，由离心率得到a和c的关系，再由a2=b2+c2解得a，b，就求得椭圆方程；(2)求出椭圆的焦点得到c，再把点的坐标代入双曲线方程，结合a2+b2=c2，解得a和b，就求得双曲线方程;4.【答案】解：（1）设AF1=m，∵AF1⊥x轴，∠AF2F1=30°，∴AF2=2m，，由椭圆的定义及几何性质知2a=AF1+AF2=3m,2c=F1F2=√3m，e=2c2a =√3m3m=√33;（2）由△ABF1的周长为4√3得4a=4√3，∴a=√3，由（1）得c=1，b2=a2-c2=3-1=2，∴椭圆的标准方程为x23+y22=1.【解析】本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的性质及三角形的周长，注意运用椭圆的定义，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．（1）由已知条件及2a=PF1+PF2，2c=F1F2，直接求解即可；（2）由椭圆的定义及性质知：ΔABF1的周长等于4a=4√3，算出a，再由（1）得到c、b，从而求出椭圆标准方程.5.【答案】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e=ca =√1−b2a2=√22，则a=√2b，由b=√12+12=√2，则a=2，∴椭圆的标准方程为：x24+y22=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：椭圆的焦点F1（-√2，0），F2（√2，0），当直线l 斜率不存在时，则x =-√2，则A （-√2，1），B （-√2，-1），则F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2√2，-1）（-2√2，1）=7≠6，不符合题意，舍去，当直线l 的斜率存在，且不为0，设直线l 的方程为：y =k （x +√2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{y =k(x +√2)x 24+y 22=1，消去y 得，（2k 2+1）x 2+4√2k 2x +4k 2-4=0， x 1+x 2=-4√2k22k 2+1，x 1x 2=4k 2−42k 2+1，y 1y 2=k 2（x 1+√2）（x 2+√2）=k 2（x 1x 2+√2（x 1+x 2）+2）=-2k 22k 2+1，则F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1-√2，y 1）（x 2-√2，y 2）=x 1x 2-√2（x 1+x 2）+2+y 1y 2=4k2−4+8k 2−2k 22k 2+1+2=6，则k 2=4，解得：k =±2， ∴直线l 的方程为y =±2（x +√2）．【解析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率公式及点到直线的距离公式即可求得a 和b 的值，求得椭圆的方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得k 的值，即可求得直线l 的方程．本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．6.【答案】解：（1）∵椭圆x 2a 2+y2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32， 且经过点M （2，1），∴{ a 2−b 2a 2=344a 2+1b 2=1，∴a 2=8，b 2=2， ∴椭圆方程方程为x 28+y 22=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 中点坐标为（a ，b ），则x 12+4y 12=8，x 22+4y 22=8，两式相减得 (x 1−x 2)(x 1+x 2)+4(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0， 结合直线y =12x -1可得{4×(−12)=ab b =a2−1∴a =1，即线段AB 中点的横坐标为1．【解析】本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，考查点差法的运用，属于中档题． （1）由题意，椭圆经过点M （2，1），离心率为√32，建立方程组，求出a ，b ，由此可得椭圆的方程；（2）利用点差法，结合直线的斜率，即可求线段AB 中点的横坐标．7.【答案】解：（1）∵椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)长轴为8，离心率e ＝√32， ∴{2a =8c a=√32，∴a =4,c =2√3,b =√16−12=2， ∴椭圆C 的标准方程为x 216+y 24=1 ；（2）设所求直线方程为y -1=k （x -2），代入椭圆方程并整理得：（4k 2+1）x 2-8（2k 2-k ）x +4（2k -1）2-16=0， 又设直线与椭圆的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1，x 2是方程的两个根， ∴x 1+x 2=8(2k 2−k )4k 2+1，又M 为AB 的中点， ∴x 1+x 22=4(2k 2−k )4k 2+1=2，解得k =−12，故所求直线方程为x +2y -4=0.【解析】本题考查直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质. （1）由椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)长轴为8，离心率e ＝√32，得出{2a =8ca=√32，由此能求出椭圆C 的标准方程；（2）设所求直线方程为y -1=k （x -2），代入椭圆方程并整理得：（4k 2+1）x 2-8（2k 2-k ）x +4（2k -1）2-16=0，设直线与椭圆的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=8(2k 2−k )4k 2+1，由M 为AB 的中点，知x 1+x 22=4(2k 2−k )4k 2+1=2，由此能求出直线方程.8.【答案】解：（1）由题设得2a +2c =4＋2√3，又e =√32=ca， 解得a =2,c =√3,∴b =1， 故椭圆ℎ(x)的方程为x 24+y 2=1.（2）设直线l 方程为：y =12x +m ， 代入椭圆C:x 24+y 2=1并整理得：x 2+2mx +2m 2−2=0，设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=−2mx 1x 2=2m 2−2.∵|PQ|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+k 2|x 2−x 1|=√1+14⋅√(x 2+x 1)2−4x 1x 2=√52⋅√8−4m 2，B 到直线PQ 的距离为d 1=√5，A 到直线PQ 的距离为d 2=√5，又因为P 在第一象限, 所以−1<m <1，所以d 1+d 2=√5√5=√5，所以S APBQ =12(d 1+d 2)⋅PQ =√8−4m 2=√7， 解得m =±12，所以直线方程为y =12x ±12．【解析】本题考查椭圆的标准方程，弦长问题，涉及离心率，点到直线的距离公式，属中档题（1）根据焦点三角形的周长，利用椭圆的定义得到a +c 的值，结合离心率，求出a ,c 的值，进而得b ; （2）设直线l 方程为：y =12x +m ，联立方程组消去y 并整理得：x 2+2mx +2m 2−2=0，借助于韦达定理，利用弦长公式得到|PQ |,利用点到直线的距离公式得到A ,B 到直线PQ 的距离，进一步根据P 在第一象限，得出m 的取值范围，从而得出四边形APBQ 面积关于m 的函数表达式，并根据已知面积求得m 的值，即得所求直线的方程,由于包含了弦长问题，对应方程的判别式自然大于0，可免除检验.9.【答案】解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1（m,n >0,m ≠n ），由{m(−32)2+n(52)2=13m +5n =1, 得m =16,n =110， 所以，椭圆的方程为y 210+x 26=1．【解析】本题主要考查椭圆的标准方程，属于基础题.设椭圆的一般方程mx 2+ny 2=1（m,n >0,m ≠n ），把点代入解答即得.10.【答案】解： （1）设双曲线方程为mx 2−ny 2=1,由双曲线渐近线方程为y =±√3x,且经过点(2,3),可得{mn=34m −9n =1,解得m =1,n =13, 故双曲线方程为x 2−y 23=1（2）联立{y =x −2x 2−y 23=1得2x 2+4x −7=0 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−2，x 1x 2=−72 y 1y 2=(x 1−2)(x 2−2)=x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=−72+4+4=92∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=−72+92=1.【解析】本题考查了双曲线方程，直线与双曲线方程的位置关系.（1）设双曲线方程为mx 2−ny 2=1,由题意可得{mn =34m −9n =1，解得m ,n 即可得双曲线方程.(2)联立{y =x −2x 2−y 23=1得2x 2+4x −7=0,设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，结合韦达定理和数量积的运算可得答案.11.【答案】解：（1）设双曲线的方程为x 29−y 225=λ(λ≠0)，将点(3，10)代入可得99−10025=−3=λ，故双曲线的方程为x29−y225=−3，即双曲线C的标准方程为y275−x227=1．（2）由题意知双曲线C的离心率为√2，焦点坐标为(-2，0)，(2，0)，所以可设双曲线C的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，则a2+b2=4，√a2+b2a=√2，解得a2=b2=2，所以双曲线C的标准方程为x22−y22=1．【解析】本题考查双曲线的标准方程.几何意义.12.【答案】解：（1）设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，两焦点坐标分别为(2,0),(-2,0)，由椭圆定义知2a=√(52+2)2+(−32)2+√(52−2)2+(−32)2=2√10，得a=√10，又因为c=2，所以b2=a2−c2=10−4=6，故所求椭圆标准方程为x210+y26=1．（2）设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，因为椭圆的焦点为(√5,0),(−√5,0)，所以双曲线的半焦距c=√5，由题意知ba =12，所以a2=4b2，又c2=a2+b2，故5b2=5，所以b2=1,a2=4，所以双曲线的方程x24−y2=1．【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程、双曲线的性质及及几何意义的知识点，属于基础题.（1）设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，两焦点坐标分别为(2,0),(-2,0)，由椭圆定义得到a的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）设双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，根据椭圆的焦点得到双曲线的半焦距，再根据已知条件得到答案.13.【答案】解：（1）∵椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P（a，b），|PF2|=|F1F2|，∴√(a−c)2+b2=2c，可得a2-2ac+c2+a2-c2=4c2，e=ca，∴2e2+e-1=0，又∵e∈(0，1)∴e=12．（2）∵2a=4√2∴a=2√2又∵e=12∴c=√2，∵b2=a2-c2=6∴椭圆的方程为x28+y26=1，∴AB方程为：y=√3x−√6设A（x1，y1），B（x2，y2），联立{y=√3x−√63x2+4y2=24得：5y2+2√6y+8=0，∴y1+y2=−2√65，y1y2=−185，∴S△ABF1=12F1F2⋅|y1−y2|=√2√(y1+y2)2−4y1y2=16√35．△ABF1的面积为：16√35．【解析】（1）利用已知条件，结合椭圆的性质，求解椭圆的离心率即可．（2）利用椭圆的长轴长求出a，得到c，然后求解b，求出椭圆方程，求出AB的方程，联立直线与椭圆的方程，通过韦达定理，转化求解三角形的面积．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的标准方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．14.【答案】解：（1）因为k-1＞k-2，所以a2=k-1，b2=k-2…（2分）所以c2=1，且焦点在y轴上，…（4分）所以双曲线的焦点坐标为（0，±1）．…（6分）（2）命题p：（k-2）（k-1）＜0，1＜k＜2；…（8分）命题q：△=4-4（k2-1）＜0，k＜-√2或k＞√2．…（10分）因为命题“p且q”为真命题，所以{1＜k＜2k＜−√2或k＞√2即√2＜k＜2．…（14分）（注：若第（1）问分类讨论答案对也算对）【解析】（1）直接利用双曲线方程为x2k−2+y2k−1=1，可得a2=k-1，b2=k-2以及焦点在y轴上；再利用a，b，c之间的关系求出c即可求出结论．（2）命题p为真命题，得方程x2k−2+y2k−1=1表示双曲线，说明x2的分母与y2的分母的积为负数．联列不等式组，解之即得实数k的取值范围；再利用根的判别式找出命题q真时，实数k的取值范围，再由p∧q 为真命题，说明“p真q真”成立，可得实数k的取值范围．本题以命题真假的判断为载体，着重考查了双曲线的标准方程和一元二次不等式的解集等知识点，属于基础题．15.【答案】（1）由题意得椭圆两焦点分别为（-1，0），（1，0），又因为M(1，32)在椭圆上，所以2a=|MF1|+|MF2|=√(1+1)2+94+32=4，即a=2，又因为c=1，所以b2=a2-c2=3，所以椭圆的方程是x24+y23=1；（2）若∠AMO=∠BMO，则k MA+k MB=0．设A（x1，kx1+1），B（x2，kx2+1），∴kx1+1 x1+4+kx2+1x2+4=0即2kx1x2+（4k+1）（x1+x2）+8=0．联立{y=kx+1x24+y23=1，消去y得到（3+4k2）x2+8kx-8=0，∴x1+x2=−8k3+4k2，x1x2=−83+4k2，∴−16k 3+4k2+(4k+1)−8k3+4k2+8=0，即-16k-32k2-8k+24+32k2=0，∴k=1．【解析】（1）由题可知焦点坐标分别为（1，0），（-1，0），根据椭圆定义得MF1+MF2=2a，求出a，b；（2）∠AMO=∠BMO，得k MA+k MB=0．设A（x1，kx1+1），B（x2，kx2+1），则kx1+1x1+4+kx2+1x2+4=0，联立{y=kx+1x24+y23=1，消去y得到（3+4k2）x2+8kx-8=0，再利用韦达定理代入求出k即可．本题考查椭圆标准方程，涉及直线与椭圆的位置关系等知识点，属于中档题．16.【答案】解:(1)∵|AB|=4，|AF1|=3|F1B|，∴|AF1|=3，|F1B|=1，∵△ABF2的周长为16，∴4a=16，∴|AF1|+|AF2|=2a=8，∴|AF2|=5；(2)设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，∴|AF2|=2a−3k，|BF2|=2a−k，∵cos∠AF2B=35，在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2=|AF2|2+|BF2|2−2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，∴（4k）2=（2a−3k）2+（2a−k）2−65（2a−3k）（2a−k），化简可得（a+k）（a−3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形，∴c=√22a，∴e=ca =√22．【解析】本题考查了椭圆的概念及标准方程、几何性质和余弦定理，考查计算能力，属中档题.(1)利用|AB|=4，△ABF 2的周长为16，|AF 1|=3|F 1B|，结合椭圆的定义，即可求|AF 2|；(2)设|F 1B|=k （k ＞0），则|AF 1|=3k ，|AB|=4k ，由cos∠AF 2B =35，利用余弦定理，可得a =3k ，从而△AF 1F 2是等腰直角三角形，即可求椭圆E 的离心率.17.【答案】解：（1）∵双曲线y 24−x23=1的焦点坐标为（0，±√7），∴c =√7， 设椭圆C 的方程为y 2a2+x 2b2=1，（a ＞b ＞0），由e =ca =√7a=√74，解得a =4，则b =3，∴椭圆C 的标准方程为x 29+y 216=1．证明：（2）∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又k OP =-32，∴k AB =23， 设AB 的方程为y =23x +m ，由{y =23x +m x 29+y 216=1，得16x 2+9（23x +m ）2-144=0，即20x 2+12mx +9m 2-144=0， ∵A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∴x 1+x 2=−35m ，x 1x 2=9m 2−14420，|AB |=√(1+49)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√139×(925m 2−4×9m2−14420)=25√13(20−m 2)，点P 到AB 的距离d =√13=√13，∴△PAB 的面积S △PAB =12×√13×25√13(20−m 2)=10， ∴|13+3m |√20−m 2=50，解得m =4， ∴直线AB 的方程为y =23x +4， ∴直线AB 过椭圆的顶点（0，4）．【解析】（1）由椭圆C 与双曲线y 24−x 23=1有共同的焦点，椭圆C 的离心率为√74，列方程求出a =4，b =3，由此能求出椭圆C 的标准方程．（2）由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而k AB =23，设AB 的方程为y =23x +m ，由{y =23x +m x 29+y 216=1，得20x 2+12mx +9m 2-144=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积公式，推导出直线AB 的方程为y =23x +4，由此能证明直线AB 过椭圆的顶点（0，4）．本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线过椭圆的顶点坐标的证明，考查椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：(1)由题意得{a 2+b 2=49a 2−24b 2=1 ,解得{a 2=1b 2=3， ∴双曲线方程为x 2−y 23=1，其渐近线方程为y =±√3x ；(2)由{y =kx +2x 2−y 23=1 ,得(3－k 2)x 2－4kx －7＝0，由题意得{3−k 2≠0Δ=16k 2+28(3−k 2)=0， ∴k 2＝7，∴k ＝±√7 ，当3－k 2=0时，直线l 与双曲线C 的渐近线y =±√3x 平行， 即k =±√3时，直线l 与双曲线C 只有一个公共点， 综上，k =±√7或k =±√3.【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查计算能力．（1）由双曲线的焦距及双曲线一点，联立方程组，求出a 和b ，可得双曲线C 的方程与渐近线方程． （2）联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出k 的值即可． 19.【答案】解：（Ⅰ）因为双曲线C 与直线有两个不同的交点, 则方程组{x 2−y 2=1y =kx +1有两个不同的实数根,整理得(1-k 2)x 2+2kx -2=0,∴ {1−k 2≠0Δ=4k 2+8(1−k 2)>0, 解得−√2<k <√2且k ≠±1，故双曲线C 与直线有两个不同的交点时, k 的取值范围是(-√2,-1)∪(-1,1)∪(1,√2)； （Ⅱ）当k =−√62,直线方程为y =−√62x −1，联立{x 2−y 2=1y =−√62x −1,消去y ，可得x²+2√6x +4=0，△>0 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=−2√6,x 1x 2=4，所以|AB |=√1+k²×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√5,圆心O 到直线y =−√62x −1距离为d =√1+32=√25， 所以ΔAOB 的面积12×√25×2√5=√2.【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查点到直线的距离，涉及弦长公式，属于中档题.（Ⅰ）直线方程和双曲线方程联立，消去y ，利用△>0求解即可；（Ⅱ）利用弦长公式求出|AB |,再利用点到直线的距离公式求出AB 边上的高，代入面积公式求解.20.【答案】（1）解：双曲线C ：3x 2-y 2=1渐近线方程为y =±√3x ．由{y =√3x +1y =−√3x得P （-√36，12）则P 到y =√3x 的距离为d =12−√3×(−√36)√1+3=12；（2）解：联立方程组{y =kx +13x 2−y 2=1，消去y 得（3-k 2）x 2-2kx -2=0， ∵直线与双曲线有两个交点，∴{3−k 2≠0△=4k 2+8(3−k 2)>0，解得k 2＜6且k 2≠3， ．x 1x 2=−23−k 2，x 1+x 2=2k3−k 2|AB |=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =2√−k 4+5k 2+6√(k 2−3)2=4√3 （k 2＜6且k 2≠3）．k 4-77k 2+102=0， 解得k 2=2，或k 2=5113，∴k =±√2，k =±√66313．【解析】（1）写出双曲线C ：3x 2-y 2=1渐近线方程，求得P （-√36，12），即可求P 到y =√3x 的距离．（2）直接联立直线与双曲线方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系求得两交点A ，B 的横坐标的和与积，由弦长公式求得弦长；本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由题意有，√(x−2)2+(y−0)2|12−x|=2，将上式两边平方，并化简得，3x 2−y 2=3，即x 2−y 23=1，所以曲线C 的轨迹的方程为x 2−y 23=1;（Ⅱ）设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有x 12−y 123=1, x 22−y 223=1，两式相减得x 12− x 22=y 12−y 223，即有(x 1+x 2)(x 1−x 2)=(y 1+y 2)(y 1−y 2)3,所以，k =y 1−y2x 1−x 2=3(x 1+x 2)y 1+y 2，又因为点P(1,3)为线段AB 的中点， 所以x 1+x 2=2,y 1+y 2=6故k =1，所以直线l 得方程为y −3=x −1，即x −y +2=0【解析】本题考查轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查弦长的计算，正确求出双曲线的方程是关键,考查推理能力和计算能力，属于中档题.（Ⅰ）利用点M(x,y)到定点F(2,0)的距离和它到直线x =12的距离的比是常数2，建立方程，化简可得结论； （Ⅱ）利用点差法即可求解.22.【答案】解 （1）设直线l 的方程为y =x +m ，代入双曲线方程，得3x 2+8mx +4（m 2+1）=0，△=（8m ）2-4×3×4（m 2+1）=16（m 2-3）＞0， ∴m 2＞3．设直线l 与双曲线交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点， 则x 1+x 2=-83m ，x 1x 2=4(m 2+1)3．由弦长公式|AB |=√1+k 2|x 1-x 2|，得√2⋅√(−83m)2−16(m2+1)3=83√11，∴4√2⋅√m2−33=83√11，即m =±5，满足m 2＞3，∴直线l 的方程为y =x ±5． （2）设直线l ′与双曲线交于A ′（x 3，y 3）、B ′（x 4，y 4）两点， 点P （3，1）为A ′B ′的中点，则x 3+x 4=6，y 3+y 4=2．由x 32−4y 32=4，x 42−4y 42=4， 两式相减得（x 3+x 4）（x 3-x 4）-4（y 3+y 4）（y 3-y 4）=0， ∴y 3−y 4x 3−x 4=34，∴l ′的方程为y -1=34（x -3），即3x -4y -5=0． 把此方程代入双曲线方程，整理得5y 2-10y +114=0， 满足△＞0，即所求直线l ′的方程为3x -4y -5=0．【解析】（1）设直线l 的方程为y =x +m ，代入双曲线方程，得3x 2+8mx +4（m 2+1）=0，利用判别式的符号，设直线l 与双曲线交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，利用韦达定理，弦长公式，转化求解即可． （2）设直线l ′与双曲线交于A ′（x 3，y 3）、B ′（x 4，y 4）两点，通过平方差法转化求解即可． 本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．。