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专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。
以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。
∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。
三次函数的对称性中心问题而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(ab f -=)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --对称。
证明3：设函数)0()(23≠+++=a d cx bx axx f 的对称中心为（m ，n ）。
按向量),(a n m --=将函数的图象平移，则所得函数n m x f y -+=)(是奇函数，所以2)()(=-+-++n m x f m x f+++++++d m x c m x b m x a )()()(23dm x c m x b m x a ++-++-++-)()()(23-2n=0化简得：上式对恒成立，故⎩⎨⎧=-+++=+00323n d cm bm am b am 得，。
所以，函数的对称中心是（）。
定理3：若三次函数有极值，则它的对称中心是两个极值点的中点证明：不妨设0232=++c bx ax 为)(x f 的导方程，判别式01242>-=∆ac b ,设)(x f 两极值点为))(,()),(,(2211x f x B x f x A[][]acx x a b x x d x x c x x x x b x x x x x x a dx x c x x b x x a d cx bx ax d cx bx ax x f x f 3,322)(2)(3)()(2)()()()()(2121212122121221212122213231222321213121=-=++++-++-++=++++++=+++++++=+∴ 又dabc a b b a b a da b c a c b a b b a c a b a a b a x f x f 2)3(2)3(2)3(22)32(32323)32(332)()(232321+-+-+-=+-+-⎪⎭⎫⎝⎛-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∴)3(2)(21ab f x x f -=+∴所以此时的对称中心是两个极值点的中点，同时也是函数)(x f 的拐点。
三角函数对称轴与对称中心y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中心：(kπ，0）（k∈z) y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中心：（kπ+π/2，0）(k∈z)y=tanx 对称轴：无对称中心：（kπ，0）(k∈z)两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]倍角公式sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αtan(2α)=2tanα/(1-tan²α)cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)csc(2α)=1/2*secα·cscα三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α) tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) =tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1)n倍角公式sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…半角公式sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα) sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))辅助角公式Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin(α+arctan(B/A))Asinα+Bcosα=√(A²+B²)cos(α-arctan(A/B))万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan²(a/2))cos(a)= (1-tan²(a/2))/(1+tan²(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan²(a/2))降幂公式sin²α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角和的三角函数sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·si nβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·ta nγ-tanγ·t角的三角函数值幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的, 其中c0,c1,c2,...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.泰勒展开式泰勒展开式又叫幂级数展开法f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……实用幂级数：e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k (|x|<1)sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……. (-∞<x<∞)cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -…… (x≤1)sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)cosh x =1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - …… (|x|<1)arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。
三次函数的对称中心问题广州市第四中学高二3班 梁隽铭指导教师 刘运科对于三次函数()320y ax bx cx d a =+++≠，作出图象，经观察，发现其图象有四种形状：可以发现，其图象具有中心对称性.如何考虑求出()320y ax bx cx d a =+++≠的图象的对称中心坐标呢？下面是我的探究过程.先考虑较简单的两个特殊情况：一、求()30y ax cx a =+≠的图象对称中心坐标.此特殊情况较简单.因()30y ax cx a =+≠是奇函数，故其对称中心坐标为()00O ，.二、求()30y ax cx d ad =++≠的图象对称中心坐标.此特殊情况也较简单.将3y ax cx =+的图象通过适当平移就可得到()30y ax cx d ad =++≠的图象.当0d >时，将3y ax cx =+的图象向上平移d 个单位长度，就可得到()30y ax cx d ad =++≠的图象；当0d <时，将3y ax cx =+的图象向下平移d 个单位长度，就可得到()30y ax cx d ad =++≠的图象.因3y ax cx =+是奇函数，对称中心坐标为()00O ，，故()30y ax cx d ad =++≠的图象对称中心为()0P d ，.上面两个特殊情况，主要是利用了奇函数的性质、平移的性质.有了上面两种情况的铺垫，似乎求()320y ax bx cx d ab =+++≠的图象的对称中心坐标较容易了，其实不然.因()320y ax bx cx d ab =+++≠是非奇非偶函数，无法从奇偶性方面找到突破口.下面先来考虑当0ab ≠时，最简单的一个具体实例：三、求32y x x =+的图象对称中心坐标.首先，利用GC ，探究32y x x =+的图象对称中心坐标. 步骤：①．画出()321f x x x =+的图象，并适当调整x y 、的取值范围，如图1；②．观察图象，函数有两个极值点，对称中心应该是两个极值点的中点.按MENU 键，选择菜单的FCN 键，再选择Extremum ，OK ，可以得到一个极值点()00，；移动光标到另外一个极值点附近，重复刚才的操作，得到另外一个极值点233f ⎛-2⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，如图2、3； ③．求出两个极值点的中点12327⎛⎫- ⎪⎝⎭，，画出()3221123327f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象如图4，可求2()f x 的两个极值点，发现是关于原点成中心对称的，如图5、6；④．故可知，2()f x 是奇函数，对称中心为()00O ，；故()321f x x x =+的对称中心为12327P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.图1图2图3图4图5图6那么，如果不使用图形计算器，该如何考虑呢？受到第二种特殊情况的启发，考虑到32y x x =+的图象可能是由某个奇函数()30y ax cx a =+≠通过适当平移得到，故有如下的解法：【解】设将()30y ax cx a =+≠的图象通过适当平移可以得到32y x x =+的图象，则可设()()332y x x a x m c x m n =+=-+-+，显然，1a =，故()()()()332322333y x x x m c x m n x mx m c x n m cm =+=-+-+=-+++--，比较系数，可知：2331300m m c n m cm -=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩解得1123327m c n =-=-=，，. 故332111233327y x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将313y x x =-的图象向左平移13个单位长度，再向上平移227个单位长度，即可得到32y x x =+的图象. 因313y x x =-的图象对称中心坐标为()00O ，， 故32y x x =+的图象对称中心坐标为12327P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.将此法推广到一般情况，就可以解决求()320y ax bx cx d ab =+++≠的对称中心坐标问题：四、求()320y ax bx cx d ab =+++≠的对称中心坐标.【解】设()()332y ax bx cx d a x m k x m n =+++=-+-+，()()()()3322333a x m k x m n ax amx am k x n m km -+-+=-+++--，比较系数，有2333am b am k c n m km d -=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩解得23332332793b b b b bcm k c n d a a a a a=-=-=-+-+，，， 故()320y ax bx cx d ab =+++≠的对称中心坐标为333232793b b b bcd a a a a ⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭，. 五、综上，()320y ax bx cx d a =+++≠的对称中心坐标为333232793b b b bc d a a a a ⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭，.在上面的解题过程中，我们先考虑特殊情况，再考虑一般情况.对于0b =的情况，利用了奇函数性质、平移性质来求解；对于0b ≠的情况，利用待定系数法求解.下面我们利用导函数的相关知识来解决此问题.六、利用导数知识，求()32()0y f x ax bx cx d a ==+++≠的对称中心坐标.【解】()232f x ax bx c =++/，其判别式246b ac ∆=-，导函数图象对称轴方程为3b x a=-. ⑴．当0∆>时，导函数有两个零点12x x 、，()y f x =有一个极大值、一个极小值，两个极值点的中点即为对称中心，故对称中心横坐标为1223x x bx a+==-，纵坐标为333232793b b b bc f d a a a a ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭. ⑵．当0∆≤时，若0a >，则()0f x /≥恒成立，()y f x =在R 上单调递增，当3bx a=-时，()f x /取到最小值，函数增长率最小，对应()y f x =图象上的对称中心点；若0a <，则()0f x /≤恒成立，()y f x =在R 上单调递减，当3bx a=-时，()f x /取到最大值，函数增长率最大，对应()y f x =图象上的对称中心点.故对称中心横坐标为3bx a=-，纵坐标为333232793b b b bc f d a a a a ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭. 七、一点心得图形计算器可以将抽象问题直观化，给我们提供思考的方向，加深我们对问题的理解；但机器毕竟是机器，不可能替代人的思维.我们要合理使用好图形计算器，要用好它，而不是依赖它，被机器所奴役.Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
三次函数再探讨---对称中心问题武汉市长虹中学 郭永清三次函数存在对称中心吗？我们先从几个特殊的函数入手，三次函数cx ax x f +=3)(（0≠a )是奇函数，其图象关于)0,0(对称，三次函数d bx ax x f ++=3)((0≠a )的图象关于点),0(d 对称，那么对于一般的三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 有没有对称中心呢？答案是肯定的，有对称中心，其对称中心是))3(,3(ab f a b --。
在证明之前，先回忆一个结论： 定理1：函数)(x f y =的图像关于点),(b a M 对称，则在b x a f x f 2)2()(=-+ 证明：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，则A 关于点),(b a M 的对称点)2,2(y b x a B --也在函数)(x f y =图像上，即)2(2x a f y b -=-, 又)(x f y =，所以b x a f x f 2)2()(=-+ 定理2：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(ab f a b -- 证明1：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，只要能证明点))3(2,32-(y a b f x a b B --- 也在函数图像上。
cx bx ax d a bc a b d cx abc bx a x b a b ax bx x a b a b d x ab c x a b b x a b a x a b f ---+-=+--+++----=+--+--+--=--23232223322232332274323494234278)32()32()32()32( d cx bx ax x f y d ab c a b b a b a a b f +++==+-+-+-=-2323)()3()3()3()3(cx bx ax d a bc a b d cx bx ax d a b c a b b a b a y a b f ---+-=----+-+-+-=--23232323322742)3(2)3(2)3(2)3(2 所以)3(2)32()(ab f x a b f x f -=--+ 所以三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(ab f a b --证明2：因为)0()(3≠+=a bx ax x f 的对称中心是(0,0),所以0030)()()(y x x b x x a x f +-+-=的对称中心为),(00y x ,即))(,(00x f xdcx bx ax x f +++=23)(d cx ab a x a b a a b x a b x a b x a ++--+++=323223)3()3(3])3()3(333[ d ab a xc a b a a b x a +---+=323)3(])3(3[)3( )3]()3(3[)3()3]()3(3[)3(2323a b c a b ad a b a a b x c a b a a b x a -++-+--+= 而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(ab f -= )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --对称。
〒题探微Iwww zhongshucon com中学数学教学参考（下旬）2021年第i 期三次函数对称中心的多解探究王昌如（江苏省宿迁市青华中学)摘要：通过实例分别从定义法、平移法、导数法以及公式法的角度探究三次函数对称中心的求解与基本 应用，总结规律，提高学生对知识点的灵活运用能力。
关键词：三次函数；对称中心；定义；平移；导数；公式 文章编号：1002-2171 (2021)4-0053-03在高中数学中，研究函数的基本性质时一般都要 研究函数图像的对称性，而这又离不开对称中心与对 称轴问题。
近几年的高考试题中经常出现以三次函 数为背景，考查三次函数的单调性、极值、最值的问 题，但从学生的反馈情况看，答题效果并不理想。
笔 者通过研究发现，要解决此类问题，首先要弄清三次函数的对称性，这是解此类问题的难点。
本文结合实 例，通过四种方法探究三次函数对称中心的求法。
1定义法若函数J =/U )的图像关于点（m ，n)成中心对 称，则对于函数3> = /(x )上任一点U d )关于点（W ，Ak2 )x2 + 8^z m x + 4k2 w 2 — 4 : 8k2 m可得+x2:1+U 2’X \X 2:〇,根据根与系数关系Akzm 2—A1+4/fe2:，可得弦长综上可知，四边形A B C D 面积的取值范围为1，2为 V l +是2 I 工1 一工2 I = \/1+々2 • V (xi +X 2 )2 -*4xi x 2 =「( Sk2m \z ~ 4^2m 2 —44\/4是2 —^2 + 1。
根据楠圆的对称性，不妨设直线A 的斜率々>〇, 此时W = c=w ，可得丨A C |=i^|^;结合条件6丄结论4:设是椭圆C :$ +客一l U ：^〉〇)的两个焦点，过F ,，F 2分别作直线，/2，且&丄心，若A 与椭圆C 交于A ，C 两点，Z 2与椭圆C 交于B ，D 两点（点A ，B 在:c 轴上或其上方），则四边形A B C D 面积的取值范围为[()2，262]。
引例探究三次函数的对称中心佚名【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2019(000)002【总页数】1页(P5)【正文语种】中文三次函数是高考常考的函数类型,三次函数的单调性、极值、最值、零点等问题常借助导数求解．另外三次函数也是中心对称函数,本文引例说明求解三次函数对称中心的方法．1 典型分析例1 已知函数f(x)＝x3－9x,g(x)＝3x2＋a．若方程f(x)＝g(x)有3个不同的解x1,x2,x3,且它们可以构成等差数列,求出实数a的值．分析方程f(x)＝g(x)有3个不同的解,即直线y＝a与函数h(x)＝x3－3x2－9x的图象有3个不同的交点,且3个交点的横坐标构成等差数列,所以直线y＝a过函数h(x)的对称中心．因此问题求解的关键是寻找三次函数h(x)的对称中心．2 解法探究2.1 直观寻找设三次函数y＝f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的对称中心为(m,n),若点(x＋m,f(x＋m))是y＝f(x)图象上任意一点,则点(m－x,f(m－x))也在图象上．所以f(x＋m)＋f(m－x)＝2n．代入整理得(6ma＋2b)x2＋2am3＋2bm2＋2cm＋2d＝2n．由6ma＋2b＝0,得),所以函数y＝f(x)的对称中心为所以,函数h(x)＝x3－3x2－9x对称中心的横坐标m＝－＝1,所以(1,h(1))为函数h(x)的对称中心,h(1)＝－11,故当a＝－11时满足题意．2.2 定性分析若三次函数存在两个极值点,则这两个极值点关于对称中心对称,进而可求得三次函数的对称中心．由f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0),求导得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c,当4b2－12ac＞0时,所以函数的对称中心为(对h(x)＝x3－3x2－9x求导,得h′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3),令h′(x)＝0得x＝－1,x＝3．在区间(－∞,－1),(3,＋∞)内,h′(x)＞0,h(x)单调递增;在区间(－1,3)内,h′(x)＜0,h(x)单调递减,且＝1,所以h(x)的对称中心为(1,h(1)),而h(1)＝－11,所以当a＝－11时,满足题意．2.3 避繁求简利用函数图象的平移变换,可将f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)图象的对称中心平移到坐标原点的位置,得到函数g(x)＝ax3＋tx．那么反向来思考,三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0),都可以由关于原点对称的三次函数g(x)＝ax3＋tx通过平移变换得到．因此可通过对函数g(x)＝ax3＋tx进行平移,来寻找函数f(x)的对称中心．设h(x)＝(x＋m)3＋t(x＋m)＋s＝x3＋3mx2＋(3m2＋t)x＋m3＋tm＋s,由x3＋3mx2＋(3m2＋t)x＋m3＋tm＋s＝x3－3x2－9x,可得m＝－1,t＝－12,s＝－11,即h(x)＝(x－1)3－12(x－1)－11,而函数m(x)＝x3－12x的对称中心为坐标原点,所以函数h(x)的对称中心为(1,－11),所以当a＝－11时,满足题意．3 变式拓展例2 已知函数则的值为利用上述几种方法均可求得函数f(x)的对称中心为(,1)．所以f(x)＋(1－x)＝2．f从而所以综上,明确三次函数的有关性质,有助于我们从整体上把握问题本质,从相关规律、特点出发,可快速找到问题的解答思路．。
怎么求函数的对称中心1. 前言函数的对称中心是指函数图像关于某个点对称，即该点是函数图像的中心点。
求函数的对称中心是函数图像研究的一个重要内容，对于理解函数的性态和变化规律有着重要意义。
本文将详细介绍如何求函数的对称中心，包括二次函数、三次函数和一般函数的求解方法。
2. 二次函数的对称中心2.1 二次函数的定义二次函数是指函数y=ax2+bx+c，其中a≠0。
2.2 求解方法对于二次函数，求其对称中心的方法如下：1.首先，需要确定二次函数的标准形式，即将二次函数化为顶点形式。
标准形式为y=a(x−ℎ)2+k，其中(ℎ,k)为对称中心的坐标。
2.通过平移变换将一般形式的二次函数转化为顶点形式。
假设原始的二次函数为y=ax2+bx+c，则可以通过平移变换，令x=x−b2a来化简函数表达式。
3.化简后的函数表达式为y=a(x−b2a )2+c−b24a。
4.从化简后的函数表达式中读取顶点坐标，得到对称中心的坐标。
3. 三次函数的对称中心3.1 三次函数的定义三次函数是指函数y=ax3+bx2+cx+d，其中a≠0。
3.2 求解方法对于三次函数，求其对称中心的方法如下：1.首先，需要确定三次函数的标准形式，即将三次函数化为顶点形式。
标准形式为y=a(x−ℎ)3+k，其中(ℎ,k)为对称中心的坐标。
2.类比二次函数求对称中心的方法，从三次函数的表达式中读取顶点坐标，得到对称中心的坐标。
4. 一般函数的对称中心4.1 一般函数的定义一般函数指的是不限于二次函数和三次函数的其他函数，可以是任意复杂的函数表达式。
4.2 求解方法对于一般函数，求其对称中心的方法相对较为复杂。
一般情况下，无法通过简单的变换将一般函数化为顶点形式来求解对称中心。
在实际操作中，可以通过作图方法来估算一般函数的对称中心。
具体步骤如下： 1. 根据函数表达式绘制函数的图像。
2. 观察图像，寻找可能的对称中心位置。
3. 对称中心的位置应该使得图像在该点关于纵轴对称。
例谈求函数三次对称中心的两种方法试题：对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++，定义''()y f x =是函数'()y f x =的导函数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”。
有同学发现：任何一个三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心. 根据这一发现，对于函数32()26322013sin(1)g x x x x x =-+++-，则(2011)(2010)(2012)(2013)_____g g g g -+-+++= 解法1（拐点法）：由题意：2g'()61232013cos(1)x x x x =-++-，''()12122013sin(1)g x x x =---，当''()0g x =时，01x = (还有别的根，怎么办？)则00(,())(1,1)x g x =，因此有()(2)2g x g x +-=，那么(2011)(2013)(2010)(2012)=2g g g g -+=-+= ； 利用倒序相加法得到：S =(2011)(2010)(2012)(2013)g g g g -+-+++(2013)(2012)(2010)(2011)S g g g g =+++-+-一共有4025对，那么224025S =⨯，则(2011)(2010)(2012)(2013)4025g g g g -+-+++= 。
解法2：（构造奇函数）32()2()6()3()22013sin(1)g x t x t x t x t x t -=---+-++--3223226(1)(6123)(2632)2013sin(1)x t x t t x t t t x t =-++++-++-+--当1t =-时，3(1)2312013sin g x x x x +=+++，则()(1)1h x g x =+-为奇函数，其图像关于原点对称，那么可知函数()g x 的对称中心为(1,1)。
三次函数的对称性中心问题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#三次函数再探讨---对称中心问题武汉市长虹中学 郭永清三次函数存在对称中心吗我们先从几个特殊的函数入手，三次函数cx ax x f +=3)(（0≠a )是奇函数，其图象关于)0,0(对称，三次函数d bx ax x f ++=3)((0≠a )的图象关于点),0(d 对称，那么对于一般的三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 有没有对称中心呢答案是肯定的，有对称中心，其对称中心是))3(,3(ab f a b --。
在证明之前，先回忆一个结论：定理1：函数)(x f y =的图像关于点),(b a M 对称，则在b x a f x f 2)2()(=-+ 证明：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，则A 关于点),(b a M 的对称点)2,2(y b x a B --也在函数)(x f y =图像上，即)2(2x a f y b -=-, 又)(x f y =，所以b x a f x f 2)2()(=-+定理2：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(a b f a b -- 证明1：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，只要能证明点))3(2,32-(y a b f x a b B --- 也在函数图像上。
所以)3(2)32()(ab f x a b f x f -=--+ 所以三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(ab f a b -- 证明2：因为)0()(3≠+=a bx ax x f 的对称中心是(0,0),所以0030)()()(y x x b x x a x f +-+-=的对称中心为),(00y x ,即))(,(00x f x 而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(ab f -=)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --对称。
三次函数的对称中心一定是拐点的证明
我们要证明三次函数的对称中心一定是拐点。
首先，我们需要理解三次函数和拐点的定义。
三次函数的一般形式是 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d。
拐点是函数图像上凹凸性发生变化的点，即一阶导数在该点为0。
我们的目标是证明：三次函数的对称中心一定是拐点。
第一步，根据三次函数的对称性，我们知道三次函数有一个对称中心。
第二步，根据拐点的定义，我们知道拐点是函数的一阶导数为0的点。
第三步，我们设三次函数的对称中心为 (h, k)，那么函数可以表示为 f(x) = a(x-h)^3 + k。
第四步，根据三次函数的导数公式，我们可以求出 f'(x) = 3a(x-h)^2。
第五步，由于 (h, k) 是三次函数的对称中心，所以 f'(h) = 0。
第六步，根据第五步的结果，我们可以得出结论：三次函数的对称中心一定是拐点。
通过以上步骤，我们证明了三次函数的对称中心一定是拐点。
结合三个函数的图像，我们能得到一个这样的结论：三次函数的对称点所在的直线是导函数的对称轴所在的直线，还是二阶导函数的零点所在的直线，如图中的C点所在的垂直于x轴的直线，在高中阶段我们不研究B点，在大学微积分中B点叫做拐点，即B点是函数凸凹性发生改变的点，关于凸凹性在函数性质中提到过，因此我们求三次函数的对称点只需要求三次函数的二阶导数的零点即可，即：
很显然二阶导数为y=3x²-8x+1，我们把导函数图像和三次函数图像作在一起：
从上面图中可以看出二次函数的正负决定三次函数的增减，又因为二次函数是对称的平滑函数，所以三次函数必定也是对称函数，我们在导数中研究的是导函数的零点就是三次函数的极值点，但是我们没有研究过导函数的对称轴与三次函数是什么关系，初步猜测，导函数对称轴所在的直线与三次函数的交点处就是三次函数的对称点，如图上的B点，我们研究了三次函数的导函数，不妨再看看三次函数的二阶导函数，下面将三次函数、导函数、二阶导函数放在同一个图中：
结合三个函数的图像，我们能得到一个这样的结论：三次函数的对称点所在的直线是导函数的对称轴所在的直线，还是二阶导函数的零点所在的直线，如图中的C点所在的垂直于x轴的直线，在高中阶段我们不研究B点，在大学微积分中B点叫做拐点，即B点是函数凸凹性发生改变的点，关于凸凹性在函数性质中提到过，因此我们求三次函数的对称点只需要求三次函数的二阶导数的零点即可，即：
上述结论如在考试中遇到，直接用就行。
看一个有意思的关于三次函数对称性的题目：。
