三次函数的对称中心问题

三次函数的对称性中心问题而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(ab f -=)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --对称。

证明3：设函数)0()(23≠+++=a d cx bx axx f 的对称中心为（m ，n ）。

按向量),(a n m --=将函数的图象平移，则所得函数n m x f y -+=)(是奇函数，所以2)()(=-+-++n m x f m x f+++++++d m x c m x b m x a )()()(23dm x c m x b m x a ++-++-++-)()()(23-2n=0化简得：上式对恒成立，故⎩⎨⎧=-+++=+00323n d cm bm am b am 得，。

所以，函数的对称中心是（）。

定理3：若三次函数有极值，则它的对称中心是两个极值点的中点证明：不妨设0232=++c bx ax 为)(x f 的导方程，判别式01242>-=∆ac b ,设)(x f 两极值点为))(,()),(,(2211x f x B x f x A[][]acx x a b x x d x x c x x x x b x x x x x x a dx x c x x b x x a d cx bx ax d cx bx ax x f x f 3,322)(2)(3)()(2)()()()()(2121212122121221212122213231222321213121=-=++++-++-++=++++++=+++++++=+∴ 又dabc a b b a b a da b c a c b a b b a c a b a a b a x f x f 2)3(2)3(2)3(22)32(32323)32(332)()(232321+-+-+-=+-+-⎪⎭⎫⎝⎛-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∴)3(2)(21ab f x x f -=+∴所以此时的对称中心是两个极值点的中点，同时也是函数)(x f 的拐点。

结合三个函数的图像，我们能得到一个这样的结论：三次函数的对称点所在的直线是导函数的对称轴所在的直线，还是二阶导函数的零点所在的直线，如图中的C点所在的垂直于x轴的直线，在高中阶段我们不研究B点，在大学微积分中B点叫做拐点，即B点是函数凸凹性发生改变的点，关于凸凹性在函数性质中提到过，因此我们求三次函数的对称点只需要求三次函数的二阶导数的零点即可，即：
很显然二阶导数为y=3x²-8x+1，我们把导函数图像和三次函数图像作在一起：
从上面图中可以看出二次函数的正负决定三次函数的增减，又因为二次函数是对称的平滑函数，所以三次函数必定也是对称函数，我们在导数中研究的是导函数的零点就是三次函数的极值点，但是我们没有研究过导函数的对称轴与三次函数是什么关系，初步猜测，导函数对称轴所在的直线与三次函数的交点处就是三次函数的对称点，如图上的B点，我们研究了三次函数的导函数，不妨再看看三次函数的二阶导函数，下面将三次函数、导函数、二阶导函数放在同一个图中：
结合三个函数的图像，我们能得到一个这样的结论：三次函数的对称点所在的直线是导函数的对称轴所在的直线，还是二阶导函数的零点所在的直线，如图中的C点所在的垂直于x轴的直线，在高中阶段我们不研究B点，在大学微积分中B点叫做拐点，即B点是函数凸凹性发生改变的点，关于凸凹性在函数性质中提到过，因此我们求三次函数的对称点只需要求三次函数的二阶导数的零点即可，即：
上述结论如在考试中遇到，直接用就行。

看一个有意思的关于三次函数对称性的题目：。

高考数学培优---几类函数的对称中心及应用【方法点拨】1.三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的对称中心为(0x ，0()f x )，其中0()0f x ''=，即00()620f x ax b ''=+=，03b x a=-. 记忆方法：类比于二次函数的对称轴方程02b x a=-，分母中23→. 2. 一次分式函数（或称双曲函数）()(0)cx d f x ac ax b -=≠-的对称中心为(,)b c a a . 记忆方法：横下零，纵系数（即横坐标是使分母为0的值，而纵坐标是分母、分子中的一次项系数分别作为分母、分子的值）.3. 指数复合型函数()x n f x a m =+(01,0)a a mn >≠≠且的对称中心为(log ,)2m a n m. 记忆方法：横下对，纵半分（即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）.【典型题示例】例1 已知函数2()231x f x x =-+，则满足不等式()(32)2f a f a ++>的实数a 的取值范围是 .【答案】1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ 【解析】231x y =+的对称中心是(0,1)，其定义域为R 且单减 令2()()12131x g x f x x =-=--+，则()g x 为R 上的单调递减的奇函数 由()(32)2f a f a ++>得(32)11()f a f a +->-，即(32)()g a g a +>-因为()g x 为奇函数，故()()g a g a -=-，所以(32)()g a g a +>-又()g x 在R 上单减，所以32a a +<-，解之得12a <-所以实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.例2设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()f x ''＝0有实数解0x ，则称点(0x ，0()f x )为函数()y f x =的“拐点”．已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设3218()2133f x x x x =-++，数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，则128()()()f a f a f a +++＝ ．【解析】令()24=0f x x ''=-得2x =，(2)1f = 3218()2133f x x x x =-++对称中心为()2,1， 所以()(4)2f x f x +-=对于任意x R ∈恒成立因为27n a n =-，所以182736454a a a a a a a a +=+=+=+=所以18273645()()()()()()()()2f a f a f a f a f a f a f a f a +=+=+=+=所以128()()()8f a f a f a +++=．【巩固训练】1. 设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（ ）A 、0B 、7C 、14D 、212. 函数y=24x y x -+=-的对称中心是 ． 3. 已知函数2()1ax a f x x +-=+（其中a R ∈）图象关于点P (－1，3)成中心对称，则不等式()1f x x >-的解集是 ．4. 在平面直角坐标系中，已知直线与曲线依次交于 三点，若点使，则的值为_____.5. 已知函数1()21x f x a =+-的图象关于坐标原点对称，则实数a 的值为_____. 6. 已知函数31()231x x f x x -=++，则满足不等式()(32)0f a f a ++>的实数a 的取值范围是 . 7.已知4()42xx f x =+，则12310001001100110011001f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 ． 8.已知函数()x f =ax x -+-2，若对*∈∀N x ，()()5f x f ≤恒成立，则a 的取值范围是 ． 3()(3)1f x x x =-+-{}n a 127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=127a a a ++⋅⋅⋅+=xOy k kx y 22-+=x x y +-=3)2(2C B A ,,P2|PC PA |=+||PB。

三次函数性质的再探索——凸凹性，拐点及对称中心在前面我们学习了三次函数的相关性质了解了三次函数的图像特征，从中也得到了三次函数及类三次函数的分类讨论的标准和三次函数零点问题的处理方法，如下图所示在11周的测试中我们遇到了这样一道题目：16.对于三次函数，定义：是函数的导函数的导数，若方程有实数解，则称点，为的对称中心点”有同学发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是“对称中心”请你将这一发现作为条件，则函数的对称中心为______ ．【答案】，我们发现函数的二阶导数对函数的图像也有很大的影响，这些影响主要体现在那些方面，我们下面一一道来。

1、曲线的凹凸性从图1（a），（b）直观上可以观察到：如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间。

2、曲线的凹凸性的定义定义1 设)(x f 在区间I 上连续，如果对于I 上任意的两点21,x x ，恒有()()222121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 那么称)(x f 在I 上的图形是凹的； 如果恒有 ()()222121x f x f x x f +>⎪⎭⎫⎝⎛+，那么称)(x f 在I 上的图形是凸的。

从图1还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而增大，即)(x f '单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而减少，即)(x f '单调减少.而函数)(x f '的单调性又可用它的导数，即)(x f 的二阶导数)(x f ''的符号来判定，故曲线)(x f y =的凹凸性与)(x f ''的符号有关。

三次函数图象对称性研究苏州新区第一中学 蔡 莹一、问题的提出首先，我们来看以下两份资料：1、最简单的二次函数2y x =的图象关于y 轴成轴对称图形，而且，一般地，二次函数 2(0)y ax bx c a =++≠ 经配方可化为 224()24b ac by a x a a -=++ ，其图象也都是轴对称图形，对称轴为2bx a =- 。

2、我们还知道，最简单的三次函数 3y x = 的图象是关于原点 O(0,0) 成中心对称图形的。

这两份材料虽然简单，可是放在一起来看，经类比联想，就大有文章了： 一般地，三次函数图象一定是中心对称图形吗？二、研究探索方案一：一般地，设三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象C 为中心对称图形，（一）、对称中心在图象C 上时，可设为00(,())P x f x ，则C 上任意一点11(,())M x f x （1x R ∈）关于00(,())P x f x 的对称点0101(2,2()())M x x f x f x *--都在C 上，也就是说，对任意1x R ∈，恒有01012()()(2)f x f x f x x -=- （1） 由32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，（1） 式化简整理为323211100032232101001000(222)(6)(124)(842)ax bx cx ax bx cx d ax ax b x ax bx c x ax bx cx d ---++++=-++-++++++（2） 比较上式两边各对应项系数可知， 欲使（2）式对1x R ∈均成立，须且只须020032000320006(3)124222842b ax b c ax bx c ax bx cx dax bx cx d -=+⎧⎪=++⎪⎨+++⎪⎪=+++⎩（4） （5） 由（3）式 得03b x a=- （6） 将（6）式分别代入（4）、（5），经化简验证，此时（4）、（5）两式均成立，即03b x a=- 同时满足对称中心的条件（3）、（4）、（5），所以，三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象一定是中心对称图形，对称中心为(,())33b b P f a a--。

三次函数再探讨---对称中心问题武汉市长虹中学 郭永清三次函数存在对称中心吗？我们先从几个特殊的函数入手，三次函数cx ax x f +=3)(（0≠a )是奇函数，其图象关于)0,0(对称，三次函数d bx ax x f ++=3)((0≠a )的图象关于点),0(d 对称，那么对于一般的三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 有没有对称中心呢？答案是肯定的，有对称中心，其对称中心是))3(,3(ab f a b --。

在证明之前，先回忆一个结论： 定理1：函数)(x f y =的图像关于点),(b a M 对称，则在b x a f x f 2)2()(=-+ 证明：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，则A 关于点),(b a M 的对称点)2,2(y b x a B --也在函数)(x f y =图像上，即)2(2x a f y b -=-, 又)(x f y =，所以b x a f x f 2)2()(=-+ 定理2：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(ab f a b -- 证明1：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，只要能证明点))3(2,32-(y a b f x a b B --- 也在函数图像上。

cx bx ax d a bc a b d cx abc bx a x b a b ax bx x a b a b d x ab c x a b b x a b a x a b f ---+-=+--+++----=+--+--+--=--23232223322232332274323494234278)32()32()32()32( d cx bx ax x f y d ab c a b b a b a a b f +++==+-+-+-=-2323)()3()3()3()3(cx bx ax d a bc a b d cx bx ax d a b c a b b a b a y a b f ---+-=----+-+-+-=--23232323322742)3(2)3(2)3(2)3(2 所以)3(2)32()(ab f x a b f x f -=--+ 所以三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(ab f a b --证明2：因为)0()(3≠+=a bx ax x f 的对称中心是(0,0),所以0030)()()(y x x b x x a x f +-+-=的对称中心为),(00y x ,即))(,(00x f xdcx bx ax x f +++=23)(d cx ab a x a b a a b x a b x a b x a ++--+++=323223)3()3(3])3()3(333[ d ab a xc a b a a b x a +---+=323)3(])3(3[)3( )3]()3(3[)3()3]()3(3[)3(2323a b c a b ad a b a a b x c a b a a b x a -++-+--+= 而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(ab f -= )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --对称。

〒题探微Iwww zhongshucon com中学数学教学参考（下旬）2021年第i 期三次函数对称中心的多解探究王昌如（江苏省宿迁市青华中学)摘要：通过实例分别从定义法、平移法、导数法以及公式法的角度探究三次函数对称中心的求解与基本 应用，总结规律，提高学生对知识点的灵活运用能力。

关键词：三次函数；对称中心；定义；平移；导数；公式 文章编号：1002-2171 (2021)4-0053-03在高中数学中，研究函数的基本性质时一般都要 研究函数图像的对称性，而这又离不开对称中心与对 称轴问题。

近几年的高考试题中经常出现以三次函 数为背景，考查三次函数的单调性、极值、最值的问 题，但从学生的反馈情况看，答题效果并不理想。

笔 者通过研究发现，要解决此类问题，首先要弄清三次函数的对称性，这是解此类问题的难点。

本文结合实 例，通过四种方法探究三次函数对称中心的求法。

1定义法若函数J =/U )的图像关于点（m ，n)成中心对 称，则对于函数3> = /(x )上任一点U d )关于点（W ，Ak2 )x2 + 8^z m x + 4k2 w 2 — 4 : 8k2 m可得+x2:1+U 2’X \X 2:〇,根据根与系数关系Akzm 2—A1+4/fe2:，可得弦长综上可知，四边形A B C D 面积的取值范围为1，2为 V l +是2 I 工1 一工2 I = \/1+々2 • V (xi +X 2 )2 -*4xi x 2 =「( Sk2m \z ~ 4^2m 2 —44\/4是2 —^2 + 1。

根据楠圆的对称性，不妨设直线A 的斜率々>〇, 此时W = c=w ，可得丨A C |=i^|^;结合条件6丄结论4:设是椭圆C :$ +客一l U ：^〉〇)的两个焦点，过F ,，F 2分别作直线，/2，且&丄心，若A 与椭圆C 交于A ，C 两点，Z 2与椭圆C 交于B ，D 两点（点A ，B 在:c 轴上或其上方），则四边形A B C D 面积的取值范围为[()2，262]。

三次函数的再探索-对称中心问题三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题，而为二次函数，利用来研究三次函数的单调性、极值等三次函数的性质已成为常用工具，而三次函数的对称中心（处），虽然不是高考的重点，但还是应该引起我们的重视。

一．三次函数必定存在对称中心吗？结论：三次函数肯定存在对称中心。

证明：假设三次函数的对称中心为（M，N）。

即证曲线上的任意一点，关于的对称点必在曲线上。

因为对比由（1）有代入(3)有即说明三次函数的对称中心不仅存在，而且是曲线上的某一个点，即对称中心为【例1】求的对称中心解：令为的对称中心为曲线上任意一点，则也在曲线上，即整理得对比有解得所以，的对称中心为二．三次函数对称中心的几何位置问题一回答了三次函数图象对称中心的存在性，其实三次函数对称中心在图象上还有它的独特位置。

（4）结论是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称。

证明：的图象关于对称，则由图象关于直线对称，说明对称中心的横坐标恰为的对称轴。

图① 图②对照上述证明和①，②两图，不难发现A，B两处分别为的极大值，极小值处，而从A到B的曲线是单调递减的，但注意到对称中心C处两侧附近的曲线形式（凹凸性）发生变化，即C为的拐点，而C的横坐标是恰为的对称轴。

令，则，，这样由④得，所以对称中心也是A，B的中点。

综上所述：三次函数的对称中心是必定存在的，就是图象中的拐点处，横坐标就是的对称轴。

如果三次函数极值存在的话，对称中心还是两极值处的中点位置。

换句话说，对称中心的横坐标就是极值处的横坐标，即。

【例2】求的极值和对称中心解：令有易求极大值处A，极小值处B而的对称轴，所以对称中心易发现对称中心为A，B的中点三．过三次函数对称中心的切线条数结论：过三次函数对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线有两条。

由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，为便于研究，将三次曲线的对称中心移至坐标原点，这样便可将三次函数的解析式简化为。

怎么求函数的对称中心1. 前言函数的对称中心是指函数图像关于某个点对称，即该点是函数图像的中心点。

求函数的对称中心是函数图像研究的一个重要内容，对于理解函数的性态和变化规律有着重要意义。

本文将详细介绍如何求函数的对称中心，包括二次函数、三次函数和一般函数的求解方法。

2. 二次函数的对称中心2.1 二次函数的定义二次函数是指函数y=ax2+bx+c，其中a≠0。

2.2 求解方法对于二次函数，求其对称中心的方法如下：1.首先，需要确定二次函数的标准形式，即将二次函数化为顶点形式。

标准形式为y=a(x−ℎ)2+k，其中(ℎ,k)为对称中心的坐标。

2.通过平移变换将一般形式的二次函数转化为顶点形式。

假设原始的二次函数为y=ax2+bx+c，则可以通过平移变换，令x=x−b2a来化简函数表达式。

3.化简后的函数表达式为y=a(x−b2a )2+c−b24a。

4.从化简后的函数表达式中读取顶点坐标，得到对称中心的坐标。

3. 三次函数的对称中心3.1 三次函数的定义三次函数是指函数y=ax3+bx2+cx+d，其中a≠0。

3.2 求解方法对于三次函数，求其对称中心的方法如下：1.首先，需要确定三次函数的标准形式，即将三次函数化为顶点形式。

标准形式为y=a(x−ℎ)3+k，其中(ℎ,k)为对称中心的坐标。

2.类比二次函数求对称中心的方法，从三次函数的表达式中读取顶点坐标，得到对称中心的坐标。

4. 一般函数的对称中心4.1 一般函数的定义一般函数指的是不限于二次函数和三次函数的其他函数，可以是任意复杂的函数表达式。

4.2 求解方法对于一般函数，求其对称中心的方法相对较为复杂。

一般情况下，无法通过简单的变换将一般函数化为顶点形式来求解对称中心。

在实际操作中，可以通过作图方法来估算一般函数的对称中心。

具体步骤如下： 1. 根据函数表达式绘制函数的图像。

2. 观察图像，寻找可能的对称中心位置。

3. 对称中心的位置应该使得图像在该点关于纵轴对称。

编号：________________ 三次函数如何看对称中心
三次函数如何看对称中心
三次函数如何看对称中心
三次函数的拐点就是三次函数的对称中心
拐点求法：
设三次函数 y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d a不为0
则y&#39;=3ax^2+2bx+c
y&#39;&#39;=6ax+2b
由a不为0
显然
当 x=-b/3a 附近 y&#39;&#39;有正有负也就是 x=-b/3a 是三次曲线凹弧和凸弧的分界点
从而点(-b/3a,f(-b/3a))是三次函数的拐点也是三次函数的对称中心
三次函数一定是中心对称吗
三次函数的图像一定是中心对称图形，其对称中心是（-a1/n/a0,f(-a1/n/a0));
最高次数项为3的函数，形如y=ax³+bx²+cx+d（a≠0,b,c,d为常数）的函数叫做
三次函数(cubics function)。

三次函数的图象是一条曲线——回归式抛物线（不同于普通抛物线）。

三次函数性态的五个要点：
⒈三次函数y=f(x）在（-∞，+∞）上的极值点的个数
⒉三次函数y=f（x）的图象与x 轴交点个数
⒊单调性问题
⒋三次函数f（x）图象的切线条数
⒌融合三次函数和不等式，创设情境求参数的范围。

三次函数的对称性中心问题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#三次函数再探讨---对称中心问题武汉市长虹中学 郭永清三次函数存在对称中心吗我们先从几个特殊的函数入手，三次函数cx ax x f +=3)(（0≠a )是奇函数，其图象关于)0,0(对称，三次函数d bx ax x f ++=3)((0≠a )的图象关于点),0(d 对称，那么对于一般的三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 有没有对称中心呢答案是肯定的，有对称中心，其对称中心是))3(,3(ab f a b --。

在证明之前，先回忆一个结论：定理1：函数)(x f y =的图像关于点),(b a M 对称，则在b x a f x f 2)2()(=-+ 证明：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，则A 关于点),(b a M 的对称点)2,2(y b x a B --也在函数)(x f y =图像上，即)2(2x a f y b -=-, 又)(x f y =，所以b x a f x f 2)2()(=-+定理2：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(a b f a b -- 证明1：设),(y x A 是)(x f y =图像上任意一点，只要能证明点))3(2,32-(y a b f x a b B --- 也在函数图像上。

所以)3(2)32()(ab f x a b f x f -=--+ 所以三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心是))3(,3(ab f a b -- 证明2：因为)0()(3≠+=a bx ax x f 的对称中心是(0,0),所以0030)()()(y x x b x x a x f +-+-=的对称中心为),(00y x ,即))(,(00x f x 而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(ab f -=)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --对称。