三次函数的对称中心与切线条数

三次函数图象上点的切线条数
三次函数图象上点的切线条数是数学中一个很重要的概念，它在许多应用领域中被广泛使用。

本文将简要介绍三次函数图象上点的切线条数的概念，并讨论它在实际中的应用。

三次函数图象上点的切线条数，也称为切线的度数，是指在三次函数图象上的某点处，其切线的条数。

由于三次函数图象的复杂性和细微差别，它的切线条数通常由切线的性质来确定，它的切线条数和图象的凹凸性有关。

如果给定的三次函数图象是凸的，则其上的每一点都有切线；如果给定的三次函数图象是凹的，则有些点不存在切线。

三次函数图象上点的切线条数在微积分中有着重要的应用。

因为它可以直接决定函数在某点的变化趋势，从而可以用来判断函数的单调性。

从函数的变化趋势可以得到函数在极值点处的增减性，进而可以求出函数的极值点。

另外，三次函数图象上点的切线条数也可以用来解决微积分中有关曲线定积分及极限的问题。

三次函数图象上点的切线条数还有其他应用，比如机械制造、工程设计、数字信号处理等。

在机械制造中，三次函数图象上点的切线条数可以应用于设计曲面夹具和曲线管路；在工程设计中，它可以用来计算结构物的载荷分布；在数字信号处理中，它可以用来求解信号的频率范围和时间响应。

因此，三次函数图象上点的切线条数的确是一个重要的概念，它在数学及其应用领域中都有着广泛的应用。

如果想要研究切线条数的相关知识，推荐大家学习计算机图形学、微积分、机械设计等课程。

三次型函数切线问题的求解策略三次函数频频出现在高考试卷中,成为高考试卷的一大亮点.其中三次函数的切线问题是高频考点，通常结合三次函数的零点问题考查.三次型函数最值问题是竞赛和自主招生的难点，有一定的思考力.三次型函数的切线问题（一）一、三次函数的概念：形如()320y ax bx cx d a =+++≠的函数，称之为三次函数. 二、三次函数的图象特征和零点分布：对于三次函数()32()0f x ax bx cx d a =+++≠，其导函数为二次函数()2()320f x ax bx c a '=++≠，()f x '的判别式()243b ac ∆=-.现以0a >为例，（1）若032≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数，)(x f 在R 上无极值； （2）若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中aacb b x a ac b b x 33,332221-+-=---=.)(x f 在R 上有两个极值，且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.综上可得，当三次函数存在极值时，其图象、零点、极值的关系：问题一：过三次函数极值点的切线例1（2016年天津卷）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中,.a b R ∈ 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=. 策略一：验证1032x x =-，即验证()()1032f x f x =-.()32200000001(32)(22)3(1)(32)(1)21()()f x x x x b x x b f x f x -=-----=----== 根据函数()f x 的单调性直接推出结论.本策略不具有一般性，能否寻求解决这类问题的一般性思路呢？策略二：直接求零点33010011()()[(1)][(1)]f x f x x ax b x ax b -=------- 330101(1)(1)()x x a x x =-----22010011()[(1)(1)(1)(1)]x x x x x x a =--+--+--2220100110()[(1)(1)(1)(1)3(1)]x x x x x x x =--+--+--- 22010011()[2(1)(1)(1)(1)]x x x x x x =---+--+- 20101()[2(1)(1)]x x x x =-----20101()(23)0x x x x =---+=（*）又01x x ≠，故1023x x +=.我们可以关注到策略二可以推广到一般情形，利用三次函数在极值点处的切线列出等式，（*）式的一般形式含有因式()20x x -，从而迅速求出另外一个交点横坐标.其一般形式如下：若0x 为三次函数32()f x ax bx cx d =+++的极值点，过00(,())x f x 的直线y k =与三次函数()f x 交于点11(,())x f x ，则研究函数()()g x f x k =-的零点问题可以利用201()()()g x a x x x x =--.例2（2012年江苏卷）若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点.已知,a b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点.设()(())h x f f x c =-，其中[]2,2c ∈-，求函数()y h x =的零点个数.思路分析：本题本质上是研究由三次函数复合的函数零点问题，可先从“形”入手，直接将c 的取值分为2c =和2c <两类.我们以2c =为例，直线2y =为过极值点1x =的切线，则32()232(1)(2)y f t t t t t =-=--=--，迅速求得另一交点横坐标为2.为零点的讨论带来极大的方便.解：易得==3a b -0，.令()=f x t ，则()()h x f t c =-. 先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈- 当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为1和一2 ，注意到()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和 2.当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，(1)=(2)=20f d f d d <----- ，∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根.由（1）知()()()=311f'x x x +-.① 当()2x ∈+∞，时，()0f'x > ，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f . 此时()=f x d 在()2+∞，无实根. ② 当()12x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数.又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根.同理，()=f x d 在（一2 ，一1）内有唯一实根. ③ 当()11x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数.又∵(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根.因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，； 当2d < 时，()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x <i ，. 现考虑函数()y h x =的零点：（i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，. 而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零点.（ⅱ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足2 =3, 4, 5i t <i ，. 而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点.综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9个零点. 拓展研究：当2c <-或2c >时，函数()y h x =的零点个数情形如下：当2(1)c f >=-时，方程()f t c =有且仅有一个大于2的实根，故()y h x =有且仅有一个零点；同理，当2c <-时，()y h x =有且仅有一个零点.提示：解决复合函数零点问题需要强化数形结合基本数学思想. 练习：设函数32()3f x x x bx c =-++的图象如图所示，且与直线y =0在原点处相切.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）设1m >，如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象 的三条切线，求证：13()m n f m -<<.解：（1）由图可知，函数的图象经过（0，0）点，∴0c =，又图象与x 轴相切于（0，0）点，2'()36f x x x b =-+，由'(0)0f =得b =0，32()3f x x x ∴=-.（2）由（1）可知2()36f x x x '=-，设函数在点(,())t f t 处的切线方程为232(36)()(3)y t t x t t t =--+-. 若切线过点(,)m n ，则存在实数t ，使232(36)()(3)n t t m t t t =--+-， 即322(33)60t m t mt n -+++=.令()g t =322(33)6t m t mt n -+++，则2()66(1)66()(1)g t t m t m t m t '=-++=--.1,m >∴Q 当1t <或t m >时，()0g t '>； 当1t m <<时，()0g t '<.()g t ∴在1t =时取得极大值(1)31g m n =+-，在t m =时取得极小值()()g m n f m =-.如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象的三条切线， 则方程322(33)60t m t mt n -+++=有三个相异的实数根， (1)310()()0g m n g m n f m =+->⎧∴⎨=-<⎩， ∴13()m n f m -<<. 三次型函数的切线问题（二）问题二：过三次函数图象上任一点的切线设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切.若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线. 证明：设),(11y x P ，过点P 的切线可以分为两类：①若P 为切点，则21111'()32k f x ax bx c ==++，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-②若P 不是切点，则过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点22(,)Q x y ，12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--=()()22212112a x x x x b x x c =+++++xyO又22222'()32k f x ax bx c ==++ (1)∴c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223即0)2)((1212=++-ab x x x x ∴a bx x 22112--=代入（1）式得 c ab bx ax k +-+=4214321212，当21k k =时，=++c bx ax 12123c ab bx ax +-+421432121 ， ∴当a bx 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线；当abx 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线，其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-，))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=- 综上可得：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ，…，),(n n n y x P ，…，则abx x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点n P 趋近三次函数图象的对称中心，即三次函数图象上的拐点.特别地，过三次函数图象上拐点的切线只有一条.例3(2012北京卷)已知函数23()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+.（1）若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； （2）当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值． 思路分析：本题容易忽视“在它们的交点(1,)c 处具有公切线”的双重性而造成条件缺失，不能列出关于,a b 的方程组，从而使题目无法求解. 简析：（1）f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，所以(1)(1)'(1)'(1)f g f g =⎧⎨=⎩，容易求得3a b ==.（2）设h (x )＝f (x )＋g (x )，∵a 2＝4b ，∴h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1.则h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2，令h ′(x )＝0，解得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.(5分)由a >0，得h (x )与h ′(x )的变化情况如下：x ⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2 －a 2 ⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6 －a 6⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞ h ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋h (x )∴函数h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2和⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a6. ①当－1≤－a2，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －a 24；②当－a 2<－1<－a6，即2<a <6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－a 2，－1上单调递减，在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1； ③当－1≥－a 6，即a ≥6时，函数h (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤－a 6，－1上单调递增，又因为h ⎝⎛⎭⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0， 所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 综上所述，当a ∈(0,2]时，最大值为h (－1)＝a －a 24；当a ∈(2，＋∞)时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1. 问题三：过三次函数图象外一点的切线设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外则过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切. 令00()()'()()g x y f x f x x x =-+-，则（1）若,30a bx -=则过点P 恰有一条切线； （2）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -0>，则过点P 恰有一条切线；（3）若,30a b x -≠且)3()(0a bg x g -=0，则过点P 有两条不同的切线；（4）若,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<，则过点P 有三条不同的切线.证明：设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为),)(23(11211x x c bx ax y y -++=-把点),(00y x P 代入得：02)3(2001021031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ，设.2)3(2)(000203cx d y x bx x ax b ax x g --+--+=200'()62(3)2,g x ax b ax x bx =+-- ,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=∆令'()0,g x =则.3,0ab x x x -== ①0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴只有一个交点，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以03b x a=-或,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0>时，过点P 恰有一条切线. ②0)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -=0时，过点P 有两条不同的切线. ③0)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有三个公共点，即)(x g y =有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<时，过点P 有三条不同的切线. 例4（2014·北京卷）已知函数f (x )＝2x 3－3x .(1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论) 解：(1)略(2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)，因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)，整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0，设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．当x 变化时，g (x )与g ′(x )的变化情况如下：所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．结合图象知，当g (x )有3个不同零点时，有⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝t ＋3>0，g （1）＝t ＋1－0，解得－3<t <－1.故当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A (－1，2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点B (2，10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点C (0，2)存在1条直线与曲线y ＝f (x )相切．练习1：已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=,在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y .若过点)2)(,2(≠m m M ,可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围.解析：设切点坐标为()00,x y ，则30003y x x =-，200()33f x x '=-Q ,∴切线的斜率为203 3.x -则()()3200003332x x m x x --=--，即32002660x x m -++=.又过(2,)(2)M m m ≠可作三条切线，故关于0x 的方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解.即函数32()266x x x m ϕ=-++有三个不同的零点. 令2'()6120x x x ϕ=-=，解得或.20m ⎧⎨-<⎩，解得62m -<<. ∴实数m 的取值范围为(6,2).-练习2：（07全国II 理22）已知函数3()f x x x =-．设0a >，若过点()a b ，可作曲线．．．．()y f x =的三条切线．．．．．，证明：()a b f a -<<. 解：（1）()f x 的导数2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()0t t a =-=，解得0t =或t a =．()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上所述，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根， 则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即()a b f a -<<．点评： （1） 本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体； （2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；（3）在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质. 小结：三次函数图象切线条数的研究：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，设其切线的斜率为.k 与系数的关系0a >0<aa b ac k 332-=一条 一条 a b ac k 332->两条 零条 ab ac k 332-<零条两条证明：2()32f x ax bx c '=++，若0>a ，则 当abx 3-=时，min 3().3ac b f x a -'=∴当a b ac k 332-= 时，方程ab ac c bx ax 332322-=++有两个相同解，所以此时切线有且只有一条；其方程为).3(33)3(2abx a b ac a b f y +-=-- 当a b ac k 332->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=ab 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称，所以斜率为k 的切线有两条.当ab ac k 332-<时，方程k c bx ax =++232无实根，所以斜率为k 的切线不存在.同理可证，0<a 时结论成立.例5（2015天津卷）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =， 求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（3）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实根12x x ，，求证：21|-|21ax x n<+-.【解析】（1）由()nf x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，下面分两种情况讨论： ①当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时， ()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. ②当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. （2）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nxn -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.（3）证明：不妨设12x x ≤，由（2）知()()2()g x n n x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202ax x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（2）)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111121210(')(),',''1a h x a f x x x x x x x x n==<-<-=+-，12n -=1(11)n -+≥1+11n C n -=， 故2≥11n n-=0x ，原结论成立.三次函数通常围绕以下四个点进行命题： 第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是利用函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．。

三次函数的图像及性质
形如32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的函数叫做三次函数，其中x 是自变量，,,,a b c d 是常数。

它具有以下性质：
1、图像、单调区间与极值
三次函数求导以后是二次函数，2()32f x ax bx c '=++，它的零点个数决定了三次函数的极值情况与单调区间，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像：
x
x 0
a >0a <
2、零点个数
若方程()0f x '=的判别式0∆≤，则()f x 在R 上是单调函数，无极值，值域为(,)-∞+∞，故有唯一的零点。

若方程()0f x '=的判别式0∆>，方程有两个不等的实根1x 、2x ， 它们是函数()f x 的极值点，则：
（i ）当12()()0f x f x ⋅>时，()f x 有一个零点；
x
x
x
x
（ii ）当12()()0f x f x ⋅=时，()f x 有两个零点；
x
x
x
x
（iii ）当12()()0f x f x ⋅<时，()f x 有三个零点。

x
3、对称中心
三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠一定有对称中心。

其对称中心的横坐标为3b x a
=-。

4、过平面内一点能作三次函数图像切线的条数
2条
1条。

三次函数性态的五个要点邳州市岔河高级中学解俊三次函数的一般形式为y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (不妨a＞0,a、b、c、d∈R) ，近几年的全国各省市高考试卷以导数为工具，有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数式的取值范围的探究等函数性态，凸显“在知识网络交汇点上命题”的理念，本文结合相关试题阐述三次函数性态的要点。

要点1.三次函数y=f(x)在(-∞,+∞)上的极值点的个数简析：若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x)≥f(x) (或f(x)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x为极大值点（或极小值点）。

据此有结论：三次函数y=f(x)在(-∞,+∞)上的极值点要么有两个，要么不存在极值点。

论证如下：令f′（x）=3ax2+2bx+c，y=f（x）的极值点就是方程 f/（x）=0的实根。

①当Δ=4b2-12ac＞0时，方程f/（x）=0有两个不等的实根，记为x1、x2，则x1、x2是f（x）在(-∞,+∞)上的两个极值点；②当Δ=4b2-12ac =0时，该方程有两个等根：x1=x2=x，由下表可知y=f（x）在(-∞,+∞)上单调增，此时y=f（x）没有极值点；③当Δ=4b2-12ac＜0时，f/（x）=0无实根，f(x)没有极值点，结论得证。

[试题链接]：错解剖析例1.（2004年湖北高考文考卷）已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+c的图象相切，（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）.g（x）在(-∞,+∞)内有极值点，求c的取值范围。

解：（Ⅰ）依题意，函数f（x）=x+b的斜率为1，∴g′（x）=1，得2x+b=1，故x=（1-b）/2为切点的横坐标，将x=（1-b）/2分别代入f（x）、g（x）的函数解析式，得 f[（1-b）/2]=g[（1-b）/2]，化简为（b+1）2=4c∵b＞-1，c＞0，∴b=-1+2c1/2（Ⅱ）F（x）=f（x）.g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bc，F′（x）=3x2+4bx+b2+c=0，令3x2+4bx+b2+c=0，Δ=16b2-12（b2+c）=4（b2-3c），当Δ=0时，则F′（x）=0有两个等根x；当Δ＞0时，F′（x）=0有两个不等的实根x1、x2（设x1＜x2），综上所述，当且仅当Δ≥0时，函数F（x）在(-∞,+∞)上有极值点。

一道高考压轴题引发的对三次函数切线条数的探究
本文针对的是高考压轴题，一道关于三次函数切线条数的探究，文章字数在
500字左右，不低于三百字，可超出，不高于一千五百字。

三次函数，又名系数多项式函数，是一类广义上常出现的数学函数，它可以完
美地描述各类数据及图形变化，因此在日常工作中经常用到。

同时，把三次函数的切线与一般函数的切线不同一般视为一种特殊情况，也吸引了人们的眼球。

那么，关于三次函数切线条数的探究，该如何来回答呢？首先我们要知道，切
线是三次函数图像的简化版。

把切线条数可以分为三种情况：第一，一次函数和锥形函数有三条切线。

而三次函数，从多次剖分角度看，切线条数至少有三条。

其次，从控制函数角度看，三次函数的切线条数也可以多于三条。

最后，从泰勒级数的点的连接角度看，三次函数的切线条数也可以无限多条，取决于点的连接情况。

综上，把三次函数的切线条数进行总结，可分为三种情况：第一，至少三条切线；第二，控制函数可以多于三条；第三，最多无数条。

这三类情况可以通过相应的实例来加以说明，对三次函数切线条数有一定的了解。

总之，三次函数切线条数的多少，取决于多种情况。

只有在清楚了解三次函数
的特性和表达式的计算关系时，才能够确定三次函数的切线条数。

《几何画板》小妙招判断三次函数的切线的条数于非洲山东临沂第一中学2760001引言过平面内任意一点P作一个三次函数图彖的切线，可能有一条，二条或三条.可是，当点P 落在怎样的一个区域内时可以作一条，二条或三条呢？本文拟用《几何画板》软件实现对这一问题的直观化.2探索由于一般的三次函数g(x) = ax3+ hx2 + cr+d(a H 0)都是中心对称曲线，其对称中心为(-#，&(-#))，所以其函数解析式可化为：3a 3a(b z戾、/ b、( b、y = a^+(c--)(x+-) + g(--)于是通过变换：bX — X 9 3a, (by =y-g(-—)9 < 3a(*)m = a,b2n = c --- •3ci就可以把问题转化为研究最简单的三次函数/(对=肌「+处(加工0)的切线问题了.设点MOo，%)为平血上任一点，过点M作函数/(x) = mx3+ tvc的切线，设切点樂标为(西』),则切线方程为：°y-y x =(3mx「+肪(兀_若).把点M(x o,>J o)的坐标代入上式，并整理得关于西的方程：2mX] 一3nvc{)x^ + %-'%) = 0 ・于是，过点M有几条切线，就等价于这个关于西的三次方程有几个不同的零点.设h{x) = - 3mx o x2 + % 一(加工0),则由h f(x) = 6nvc2 -6nvc()x = 6nix(x-x()) = 0,得到x = 0,x = x o.当兀=0时,h(x) = 2mx3 + y Q(m^0)在R上是单调函数,/?(x)只有一个零点，这时过点M只有一条切线.特别的，当点M(0,0)为/(兀)=机丘+心的对称中心时，其切线方程为y = nx.当兀()工0时，力(x)有两个极值，一个是极大值，一个是极小值，其函数值分别是力(0) = % 一S ‘ K XQ) = y Q -mxj -nx Q. h(x)的零点的个数就与这两个极值的符号有关：若力(0)与/?(x())同号，即/?(O)-/z(x o) > 0时〃(兀)只有一个零点，这时过点M只有一条切线；若加0)与加兀°)中有且只有一个为0,即加0)•心)=0时方(兀)有两个零点,这时过点M有两条切线；若加0)与处G异号,即力(0)•心)<0时,%(兀)有三个零点,这时过点M有三条切线.3规律及图解：注意到当/?(0) = y0-tvc(}= 0时,点M恰在过对称中心的切线y =力上；当力(不)=% —m* - n^=Q时，点M恰在函数f\x) = mx34- nx的图像上.如果把函数f(x) = fnx3的图像想象成一条直线的话，那么y = nx与/(x) = mx3 +/xr的图像相交于对称中心，它们把平面分成如下几部分(如图1)：一个交点(三次函数的对称中心)，四条射线，四个两两对顶的区域.通过以上的研究，我们不仅很容易知道过一个点能够作多少条切线，而且也使得用《儿何画板》图解这一有趣的现象成为可能的了：当点M为/(x) = twc' + ivc的对称中心(0, 0)时，过点M有且只有一条切线y = A?x (如图2)；当点M 落在两个对顶区域且满足（％-71¥（））（%）-肌¥（:-啟（））>0时，过点M 有且只有一条切线（如图3和图4）；过点M 有且只有两条切线（如图5和图6）；当点M 落在两个对顶区域且满足（y Q -ztr 0）（^0 -fnx^-nx^ < 0时，过点M 有且只有三条切线（如图7和图8）；4应用掌握了这一规律，我们不仅能够准确的判断出过一个点能够作多少条切线，而且还可以当点落M 在四条射线上（不含对称中心） 即满足（％ - nx 0）（y 0 - inxj 一 农（））=0 时/| （人山伙0）（丫03%3山伙0）= 0.00利用这一规律轻松解题呢!例 1 已知曲线 C ： /(X ) = X 3-X +2,试问：分别过点(1) (0,-54), (2) (2,0),(3)(罟,2)作曲线C 的切线有儿条？解：这里 a = l,b = 0,c = —l,d = 2 , ------- = 0,/(— ) = 2, m = 1, /? = c --------- = —1,3a 3a 3a所以通过变换(*) BP \ y =y ~2,可以把原函数转化为y = x 3-x,三个点分别转化为 tn = 1,n = -\.(0,一56),(2,一2),(罟,0).(1) (y 0 - nr ())(y 0 - inxj - ) = 3136 > 0,・•・过点(0,-56)作y =丘一兀的切线只有一条；(2) (y 0-/zx 0)(y 0 一叫彳一吒)=0,・•・过点(2,-2)作y = x 3-x 的切线有两条; 16 Q・•・过点(亓,0)作y = W 一兀的切线有三条 于是原问题获解. 例2 (2008南昌一模)已知/(x) = x 3 -3x, 点A(l,d)(dH-2)可作曲线丿=/(x)的三条切线，则Q 的取值范围是() A.(l,・1) B. (-2, 3) C. (-1, -2) D.(・3, -2)解：这里的m = },n = -3f x 0 = 1,y 0 = 6?,所以当[a_(_3)・l][a_F + 3xl]v0即-3<tz<-2时为所求.答案为D.例3 (2007全国II 卷)己知函数f(x) = x 3-x.(1)求曲线y = /(兀)在点M(f, /(/))处的切线方程;(2)设6/>0，如果过点(a, b)可作曲线y = /(x)的三条切线，证明：—xbjf(a).解：(1)求函数/(兀)的导数；广(兀)=3兀2_1・曲线y = f(x)在点f(t))处的(%—处())(％ _码)3 16 、— =— ° 111 7<0,切线方程为：= ,即y = (3t2-l)x-2t\(2)过点(Q, b)可作曲线y = /(x)的三条切线，其充要条件为(Z? + d)・(b-/(d)) <0 ,注意到。

三次函数性质的研究我们已经学习了一次函数，知道图象是单一递加或单一递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间获得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单一性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单一递加；当k<0时函数单一递加；b决定函数与y轴订交的地点．此中运用的许多的一次函数不等式性质是： fx 0在[m，n]上恒建立的充要条件fm 0fn 0接着，我们相同学习了二次函数，图象大概以下：图1 图2利用已学知识概括得出：当时(如图1)，在对称轴的左边单一递减、右边单一递加，对称轴上获得最小值；当时(图2)，在对称轴的左边单一递加、右边单一递减，对称轴上获得最大值．在某一区间获得最大值与最小值．此中a决定函数的张口方向， a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴订交的地点．总结：一次函数只有一个单一性，二次函数有两个单一性，那么三次函数能否就有三个单一性呢？1三次函数专题一、定义：定义1、形如y ax3bx2cx d(a 0)的函数，称为“三次函数”（从函数分析式的构造上命名）。

定义2、三次函数的导数y 3ax2 2bx c(a 0)，把4b212ac叫做三次函数导函数的鉴别式。

因为三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热门和亮点。

特别是文科。

系列研究1：从最简单的三次函数yx3开始y反省1：三次函数y x31的有关性质呢？反省2：三次函数y x 3Ox 1的有关性质呢？反省3：三次函数y x31的有关性质呢？1（2012天津理）（4）函数f ()2xx32在区间(0,1)内的零点个数是B x（A）0（B）1（C）2（D）3系列研究2：研究一般三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的性质：先求导f(x)3ax22bx c(a0)1．单一性：（1）若△(2b)212ac0，此时函数f(x)在R上是增函数；（2）若△(2b)212ac0，令f(x)3ax22bx c0两根为x1,x2且x1x2，则f(x)在(,x1),(x2)上单一递加，在(x1,x2)上单一递减。

三次曲线的切线条数一、问题的提出引例：（2020·北京文·20） 已知函数()323f x x x =-. （1）求()f x 在区间[]2,1-上的最大值；（2）若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点()()()1,2,2,10,0,2A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？(只需写出结论) 本题第（2）（3）问都是“过一点作三次函数图象切线的条数”的问题，特别是第（3）问只需写出结论，如何才能迅速地进行判断呢？有没有规律性的结论呢？ 二、直线与曲线相切的概念如图1，设曲线C 是函数()y f x =的图象，在曲线C 上取一点()00,P x y 及邻近的一点()00,Q x x y y +∆+∆，过两点,P Q 作割线，并分别过,P Q 两点作x 轴与y 轴的平行线,,MP MQ 又设割线PQ 的倾斜角为,β，那么,,tan .yMP x MQ y xβ∆=∆=∆=∆ 这就是说，yx∆∆就是割线的斜率.如图2，当点()00,Q x x y y +∆+∆沿着曲线逐渐向点()00,P x y 接近时，割线PQ 将绕着点P 逐渐转动.当点Q 沿着曲线无限接近点P 即0x ∆→时，如果割线PQ 有一个极限位置PT ，那么，直线PT 叫做曲线在点P 处的切线.由直线与曲线相切的概念可知，切线是割线的极限位置，直线与曲线相切是一个局部的概念，因而直线l 与曲线C 可以同时相切于点A 和相交于点B ，比如曲线3y x =与直线32y x =+在点()1,1--处相切，在点()2,8处相交.三、探究函数()323f x x x =-，过定点()00,Q x y 的直线l 与函数()y f x =的图象相切，这样的直线有几条？设直线l 与曲线()y f x =相切于()(),M t f t ，则切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，因为切线必过()00,Q x y ，则()()()00y f t f t x t '-=-， 所以()()()32002363,y t t t xt --=--整理可得：320004630,t x t y x -++= ①显然，关于t 的方程①有多少个不同的解，就有多少条不同的切线. 下面，解决关于t 的方程①的解的个数问题.设()32000463,g t t x t y x =-++则()()200121212,g t t x t t t x '=-=-由()0g t '=，得：1200,t t x ==，（1）当00x =时，()0g t '≥，()g x 单调递增，关于t 的方程①有一个解；（2）当00x ≠时，()g x 的示意图： 两个极值分别为()0003g y x =+，()()()3233000000000000004632323g x x x x y x y x x y x x y f x =-++=-+=--=-， （ⅰ）当()()000g g x >即()()000030y x y f x +->⎡⎤⎣⎦时，两个极值同号，定点()00,Q x y 在不等式()()30y x y f x +->⎡⎤⎣⎦所表示的平面区域内，此时，函数()g x 只有一个零点，关于t 的方程①有一个解；注意到函数()323f x x x =-是奇函数，坐标原点是对称中心，等式30y x +=所表示的直线恰是曲线()y f x =在原点处的切线.（ⅱ）当()()000g g x =即()()000030y x y f x +-=⎡⎤⎣⎦时，定点()00,Q x y 在等式()()30y x y f x +-=⎡⎤⎣⎦所表示的曲线上，此时，函数()g x 有两个零点，关于t 的方程①有两个解；（ⅲ）当()()000g g x <即()()000030y x y f x +-<⎡⎤⎣⎦时，定点()00,Q x y 在不等式()()30y x y f x +-<⎡⎤⎣⎦所表示的平面区域内，此时，函数()g x 有三个零点，关于t 的方程①有三个解；综上所述，很容易给出结论. 四、结论一般的，已知定点Q ，三次函数对称中心N 处的切线与曲线将平面分成四个平面区域（如图所示）：（1）若点Q 在图象对称中心N 处或在Ⅰ、Ⅱ区域内（不含边界），则过定点Q 作三次函数图象切线只能作一条；（2）若点Q 在图象对称中心N 处的切线上（对称中心除外）或在函数图象上（对称中心除外），则过定点Q 作三次函数图象的切线有两条；（3）若点Q 在Ⅲ、Ⅳ区域内（不含边界），则过定点Q 作三次函数图象的切线有三条. 五、应用例：（2020·北京文·20） 已知函数()323f x x x =-.（1）（略）（2）若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点()()()1,2,2,10,0,2A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？(只需写出结论)解析：（2）易知()()11,03,f f '=-=-又函数()f x 在对称中心处的切线为0:3l y x =-，直线1x =与曲线交于()1,1-，与切线0l 交于()1,3-，因为过()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，所以()1,P t 必在区域Ⅳ内，故()3,1.t ∈--（3）易知()1,2A -在区域Ⅲ，所以过点()1,2A -存在三条直线与曲线相切；易知()2,10B 在曲线上，且不是对称中心，所以过点()2,10B 存在二条直线与曲线相切；易知()0,2C 在区域Ⅰ，所以过点()0,2C 存在一条直线与曲线相切.。

解题宝典三次函数是高中数学中常见的一类函数，很多高次函数问题都可以转化成三次函数问题,这就要求我们熟练掌握三次函数的图象和性质,深入研究三次函数的解析式、单调性、对称中心、极值、最值、切线等知识，总结一些与三次函数相关的结论.结论1.三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是中心对称曲线，对称中心仍在该曲线上，且其坐标为(-b3a,f(-b3a))，此点的横坐标是其导函数的极值点.证法一：假设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d()a≠0关于点()m,n对称，其充要条件是对曲线上任意一点x∈R，都有f(m-x)+f(m+x)=2n，即[a(m-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d]=2n，整理得(6ma+2b)x2+(2am3+2bm2+2mc+2d)=2n,对应系数可得m=-b3a且n=am3+bm2+cm+d=d-bc3a+2b327a2，由n=f(m)知其对称中心(-b3a,f(-b3a))仍然在曲线上，所以三次函数是中心对称曲线，且对称中心为(-b3a,f(-b3a)).证法二：f(x)=ax3+bx2+cx+d=aæèöøx+b3a3+b23aæèöøx+b3a+2b327a2-bc3a+d，令函数h(x)=ax3+æèçöø÷c-b23a x，则函数h(x)是奇函数，其图象的对称中心为()0,0，故函数f(x)图象的对称中心为(-b3a,2b327a2-bc3a+d)，且该点(-b3a,f(-b3a))在三次函数曲线上.证法三：设∃m,n∈R使y=f(x+m)-n是奇函数，则f(-x+m)-n=-[]f(x+m)-n，化简得()3ma+b x2+am3+bm2+cm+d=0,则3ma+b=0,n=am3+bm2+cm+d，即m=-b3a,n=f(-b3a).故函数f(x)图象的对称中心为(-b3a,f(-b3a))，且在三次函数曲线上.证法四：f'(x)=3ax2+2bx+c图象的对称轴为x=-b3a，所以f'(x)=f'(-2b3a-x)，故∃C∈R，f(x)=-f(-2b3a-x)+C，则当x=-b3a时，有2f(-2b3a)=C，所以f(x)+f(-2b3a-x)=2f(-2b3a)，所以函数f(x)图象的对称中心为(-b3a,f(-b3a))，且在三次函数曲线上.证法五：f'(x)=3ax2+2bx+c=3aæèöøx+b3a2所以y=f(x)图象上切线斜率的最小值为k0=3ac-b23a≤f'(x)，不妨设3a>0，二次函数f'(x)在区间æèöø-∞,-b3a上单调递减，函数f(x)的图象在æèöø-∞,-b3a上是上凸的；二次函数f'(x)在区间æèöø-b3a,+∞上单调递减，函数f(x)的图象在æèöø-b3a,+∞上是下凸的.故导数的最小值点(-b3a,f(-b3a))是函数f(x)的拐点（横坐标为f'(x)=0的根且随着函数图象的凹凸性改变），即为函数f(x)的对称中心.该性质还可以运用待定系数法、配方法、构造法、积分法、微分法等来证明，同理可证明三次函数不是轴对称曲线.结论2.当b2-3ac≤0时，三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在x∈R上是单调函数；当b2-3ac>0时，三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在x∈R上有三个单调区间.证明:对函数求导可得f'(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),该导函数为二次函数,则Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac),当b2-3ac≤0时，△≤0,此时f'(x)≤0,三次函数高斌+3ac-b23a,c-42解题宝典y =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)在x ∈R 上是单调函数；当b 2-3ac >0时，△>0，方程f '(x )=0有两个实根，三次函数y =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)在x ∈R 上有三个单调区间.运用该结论，我们可以直接判断出三次函数的单调性和单调区间.结论3.当b 2-3ac ≤0时，三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)在x ∈R 上不存在极值点；当b 2-3ac >0时，三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)在x ∈R 上有两个极值点.证明：（1）当b 2-3ac ≤0时，由于不等式f ′(x )≥0恒成立，三次函数在x ∈R 上是单调函数，所以原方程仅有一个实根；（2）当b 2-3ac >0时，由于方程f ′(x )=0有两个不同的实根x 1,x 2，不妨设x 1<x 2，由a >0可知，(x 1，f (x 1))为函数的极大值点，(x 2,f (x 2))为极小值点，且函数y =f (x )在(-∞,x 1)和(x 2,+∞)上单调递增，在()x 1,x 2上单调递减.①若f (x 1)∙f (x 2)>0，则函数y =f (x )极大值点和极小值点在x 轴的同侧，图象与x 轴只有一个交点，所以原方程f ′(x )=0有且只有一个实根；②若f (x 1)∙f (x 2)<0，则函数y =f (x )极大值点与极小值点在x 轴异侧，图象与x 轴必有三个交点，所以原方程f ′(x )=0有三个不相等的实根；③若f (x 1)∙f (x 2)=0，则f (x 1)与f (x 2)中有且只有一个值为0，所以原方程有三个实根，其中两个相等（即有两个不相等的实根）.我们可以绘制出如下的表格.a >0图象f (x )=0根的个数与x 轴交点单调性极值b 2-3ac >0f (x 1)∙f (x 2)<0三个实根三个交点在(-∞,x 1)和(x 2,+∞)上为增函数，在(x 1,x 2)上为减函数有两个极值，f (x 1)为极大值，f (x 2)为极小值f (x 1)∙f (x 2)=0两个实根两个交点f (x 1)∙f (x 2)>0一个实根一个交点b 2-3ac ≤0一个实根一个交点在R 上为增函数无极值结论4.若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d ()a ≠0,x ∈[m ,]n ,x 0∈[]m ,n ,当f ′(x 0)=0时，f m a x ()x =max {f ()m ,f ()x 0,f ()n },f m i n ()x =min {f ()m ,f ()x 0,}f ()n .例1.已知函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d ，下列结论中错误的是（）.A.∃x α∈R ，f (x α)=0B.函数y =f (x )的图象是中心对称图形C.若x α是f (x )的极小值点，则f (x )在(-∞,x α)上单调递减D.若x 0是f (x )的极值点，则f '()x 0=0解析：由三次函数的图象和性质知，A 、B 正确；若f (x )有极小值点，则f ′(x )=0有两个不相等的实数根x 1,x 2(x 1<x 2)，可得f ′(x )=3x 2+2bx +c =3(x -x 1)(x -x 2)，则f (x )在(-∞,x 1)上为增函数，在(x 1,x 2)上为减函数，在(x 2,+∞)上为增函数，故C 错，D 正确；本题应选C 答案.我们直接利用了结论1、3,便能快速得出正确答案.例2.已知函数f ()x =x 3-3x -1，若直线y=m 与y =f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围.解析：由已知得f '()x =3x 2-3，由f '(x )=0解得x 1=-1,x 2=1.由f (x )的单调性可知，f (x )在x =-1处取得极大值1，在x =1处取得极小值-3.因为直线y =m 与函数y =f (x )的图象有三个不同的交点，所以m 的取值范围是(-3,1).要画出该三次函数的图象比较困难，我们可利用结论3求出函数的极大值和极小值，进而求得m 的取值范围.结论5.（1）设点P 为三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)图象上任意一点，则过点P 有且只有一条直线与y =f (x )的图象相切；（2）若点P 为三次函数曲线的对称中心，则过点43解题宝典。

三次型函数切线问题的求解策略三次函数频频出现在高考试卷中,成为高考试卷的一大亮点.其中三次函数的切线问题是高频考点，通常结合三次函数的零点问题考查.三次型函数最值问题是竞赛和自主招生的难点，有一定的思考力.三次型函数的切线问题（一）一、三次函数的概念：形如()320y ax bx cx d a =+++≠的函数，称之为三次函数. 二、三次函数的图象特征和零点分布： 对于三次函数()32()0f x ax bx cx d a =+++≠，其导函数为二次函数()2()320f x ax bx c a '=++≠，()f x '的判别式()243b ac ∆=-.现以0a >为例，（1）若032≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数，)(x f 在R 上无极值；（2）若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中aac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---=.)(x f 在R 上有两个极值，且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.综上可得，当三次函数()f x 存在极值时，其图象、零点、问题一：过三次函数极值点的切线 例1（2020年天津卷）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中,.a b R ∈若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=. 策略一：验证132x x =-，即验证()()132f x f x =-.()32200000001(32)(22)3(1)(32)(1)21()()f x x x x b x x b f x f x -=-----=----== 根据函数()f x 的单调性直接推出结论.本策略不具有一般性，能否寻求解决这类问题的一般性思路呢？策略二：直接求零点33010011()()[(1)][(1)]f x f x x ax b x ax b -=------- 330101(1)(1)()x x a x x =-----22010011()[(1)(1)(1)(1)]x x x x x x a =--+--+--2220100110()[(1)(1)(1)(1)3(1)]x x x x x x x =--+--+--- 22010011()[2(1)(1)(1)(1)]x x x x x x =---+--+- 20101()[2(1)(1)]x x x x =-----20101()(23)0x x x x =---+=（*）又01x x ≠，故123x x +=.我们可以关注到策略二可以推广到一般情形，利用三次函数在极值点处的切线列出等式，（*）式的一般形式含有因式()20x x -，从而迅速求出另外一个交点横坐标.其一般形式如下：若0x 为三次函数32()f x ax bx cx d =+++的极值点，过00(,())x f x 的直线y k =与三次函数()f x 交于点11(,())x f x ，则研究函数()()g x f x k =-的零点问题可以利用201()()()g x a x x x x =--.例2（优质试题年江苏卷）若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点.已知,a b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点.设()(())h x f f x c =-，其中[]2,2c ∈-，求函数()y h x =的零点个数.思路分析：本题本质上是研究由三次函数复合的函数零点问题，可先从“形”入手，直接将c 的取值分为2c =和2c <两类.我们以2c =为例，直线2y =为过极值点1x =的切线，则32()232(1)(2)y f t t t t t =-=--=--，迅速求得另一交点横坐标为2.为零点的讨论带来极大的方便. 解：易得==3a b -0，.令()=f x t ，则()()h x f t c =-. 先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈- 当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为1和一2 ，注意到()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和 2.当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，(1)=(2)=20f d f d d <----- ，∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根. 由（1）知()()()=311f'x x x +-.① 当()2x ∈+∞，时，()0f'x > ，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f .此时()=f x d 在()2+∞，无实根. ② 当()1 2x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数.又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根.同理，()=f x d 在（一2 ，一1）内有唯一实根.③ 当()11x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数. 又∵(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断，∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根.因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，； 当2d < 时，()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5ix <i ，. 现考虑函数()y h x =的零点：（i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，. 而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零点.（ⅱ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足2 =3, 4, 5it <i ，.而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点.综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9个零点.拓展研究：当2c <-或2c >时，函数()y h x =的零点个数情形如下：当2(1)c f >=-时，方程()f t c =有且仅有一个大于2的实根，故()y h x =有且仅有一个零点；同理，当2c <-时，()y h x =有且仅有一个零点.提示：解决复合函数零点问题需要强化数形结合基本数学思想.练习：设函数32()3f x x x bx c =-++的图象如图所示， 且与直线y =0在原点处相切.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）设1m >，如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象 的三条切线，求证：13()m n f m -<<. 解：（1）由图可知，函数的图象经过（0，0）点，∴0c =，又图象与x 轴相切于（0，0）点，2'()36f x x x b =-+，由'(0)0f =得b =0，32()3f x x x ∴=-.（2）由（1）可知2()36f x x x '=-，设函数在点(,())t f t 处的切线方程为232(36)()(3)y t t x t t t =--+-. 若切线过点(,)m n ，则存在实数t ，使232(36)()(3)n t t m t t t =--+-， 即322(33)60t m t mt n -+++=.令()g t =322(33)6t m t mt n -+++，则x y O2()66(1)66()(1)g t t m t m t m t '=-++=--.1,m >∴Q 当1t <或t m>时，()0g t '>；当1t m <<时，()0g t '<.()g t ∴在1t =时取得极大值(1)31g m n =+-， 在t m =时取得极小值()()g m n f m =-.如果过点(,)m n 可作函数()y f x =的图象的三条切线， 则方程322(33)60t m t mt n -+++=有三个相异的实数根，(1)310()()0g m n g m n f m =+->⎧∴⎨=-<⎩， ∴13()m n f m -<<. 三次型函数的切线问题（二）问题二：过三次函数图象上任一点的切线设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切.若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线. 证明：设),(11y x P ，过点P 的切线可以分为两类：①若P 为切点，则21111'()32k f x ax bx c ==++，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=- ②若P 不是切点，则过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点22(,)Q x y ，12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--=()()22212112a x x x x b x x c =+++++又22222'()32k f x ax bx c ==++ (1)∴c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223即0)2)((1212=++-a b x x x x ∴ab x x 22112--=代入（1）式得c ab bx ax k +-+=4214321212，当21k k =时，=++c bx ax 12123c ab bx ax +-+421432121 ，∴当abx 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线；当ab x 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线，其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-，))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=-综上可得：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ，…，),(n n n y x P ，…，则abx x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点n P 趋近三次函数图象的对称中心，即三次函数图象上的拐点.特别地，过三次函数图象上拐点的切线只有一条.例3(优质试题北京卷)已知函数23()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+. （1）若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；（2）当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．思路分析：本题容易忽视“在它们的交点(1,)c 处具有公切线”的双重性而造成条件缺失，不能列出关于,a b 的方程组，从而使题目无法求解. 简析：（1）f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，因为曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，所以(1)(1)'(1)'(1)f g f g =⎧⎨=⎩，容易求得3a b ==.（2）设h (x )＝f (x )＋g (x )，∵a 2＝4b ，∴h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1.则h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2，令h ′(x )＝0，解得x 1＝－a 2，x 2＝－a 6.(5分)由a >0，得h (x )与h ′(x )的变化情况如下： x ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2 －a 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6 －a6错误! h ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋h (x )∴函数h (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫－a6，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6.①当－1≤－a2，即0<a ≤2时，函数h (x )在区间(－∞，－1]上单调递增，h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h (－1)＝a －a 24；②当－a 2<－1<－a6，即2<a <6时，函数h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－a 2，－1上单调递减，在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1；③当－1≥－a6，即a ≥6时，函数h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a 6上单调递减，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－a 6，－1上单调递增，又因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－h (－1)＝1－a ＋14a 2＝14(a －2)2>0，所以h (x )在区间(－∞，－1]上的最大值为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1.综上所述，当a ∈(0,2]时，最大值为h (－1)＝a －a 24；当a ∈(2，＋∞)时，最大值为 h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1. 问题三：过三次函数图象外一点的切线设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外则过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切. 令00()()'()()g x y f x f x x x =-+-，则（1）若,30abx -=则过点P 恰有一条切线； （2）若,30a b x -≠且)3()(0ab g x g -0>，则过点P 恰有一条切线；（3）若,30a b x -≠且)3()(0abg x g -=0，则过点P 有两条不同的切线； （4）若,30a b x -≠且)3()(0ab g x g -0<，则过点P 有三条不同的切线.证明：设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为 ),)(23(11211x x c bx ax y y -++=-把点),(00y x P 代入得： 02)3(2001021031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ， 设.2)3(2)(000203cx d y x bx x ax b ax x g --+--+=200'()62(3)2,g x ax b ax x bx =+-- ,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=∆ 令'()0,g x =则.3,0ab x x x -== ①0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴只有一个交点，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以03bx a=-或,30a b x -≠且)3()(0a b g x g -0>时，过点P 恰有一条切线.②0)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以,30ab x -≠且)3()(0abg x g -=0时，过点P 有两条不同的切线.③0)(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与x轴有三个公共点，即)(x g y =有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以,30a b x -≠且)3()(0abg x g -0<时，过点P 有三条不同的切线.例4（优质试题·北京卷）已知函数f (x )＝2x 3－3x .(1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论) 解：(1)略(2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)，因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)，整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0，设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．当x 变化时，g (x )与g ′(x )的变化情况如下：所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．结合图象知，当g (x )有3个不同零点时，有⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＝t ＋3>0，g （1）＝t ＋1－0，解得－3<t <－1. 故当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A (－1，2)存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点B (2，10)存在2条直线与曲线y ＝f (x )相切； 过点C (0，2)存在1条直线与曲线y ＝f (x )相切．练习1：已知函数),(3)(23R b a x bx ax x f ∈-+=,在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y .若过点)2)(,2(≠m m M ,可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围.解析：设切点坐标为()00,x y ，则30003y x x =-，200()33f x x '=-Q ,∴切线的斜率为203 3.x -则()()3200003332x x m x x --=--，即32002660x x m -++=.又过(2,)(2)M m m ≠可作三条切线，故关于0x 的方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解.即函数32()266x x x m ϕ=-++有三个不同的零点. 令2'()6120x x x=-=20m ⎧⎨-<⎩，解得62m -<<. ∴实数m 的取值范围为(6,2).-练习2：（07全国II 理22）已知函数3()f x x x =-．设0a >，若过点()a b ，可作曲线．．．．()y f x =的三条切线．．．．．，证明：()a b f a -<<. 解：（1）()f x 的导数2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--． （2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()0t t a =-=，解得0t =或t a =． 由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上所述，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根， 则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即()a b f a -<<．点评： （1） 本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体； （2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法；（3）在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质. 小结：三次函数图象切线条数的研究：三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f证明：2()32f x ax bx c '=++，若0>a ，则 当ax 3-=时，2min 3().3ac b f x a -'=∴当a b ac k 332-= 时，方程ab ac c bx ax 332322-=++有两个相同解，所以此时切线有且只有一条；其方程为).3(33)3(2a bx a b ac a b f y +-=--当ab ac k 332->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=ab 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称，所以斜率为k 的切线有两条.当ab ac k 332-<时，方程k c bx ax =++232无实根，所以斜率为k 的切线不存在.同理可证，0<a 时结论成立.例5（优质试题天津卷）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中*,2n N n ∈≥.（1）讨论()f x 的单调性； （2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =，求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（3）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实根12x x ，，求证：21|-|21ax x n<+-. 【解析】（1）由()n f x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥，下面分两种情况讨论：①当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时， ()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增.②当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. （2）证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n -=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nx n -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.（3）证明：不妨设12x x ≤，由（2）知()()20()g x n n x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202ax x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由（2）)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1a x n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且111121210(')(),',''1ah x a f x x x x x x x x n==<-<-=+-， 12n -=1(11)n -+≥1+11n C n -=，故2≥11n n -=0x ，原结论成立.三次函数通常围绕以下四个点进行命题：第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是利用函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用．。

三次函数的再探索-对称中心问题三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题，而为二次函数，利用来研究三次函数的单调性、极值等三次函数的性质已成为常用工具，而三次函数的对称中心（处），虽然不是高考的重点，但还是应该引起我们的重视。

一．三次函数必定存在对称中心吗？结论：三次函数肯定存在对称中心。

证明：假设三次函数的对称中心为（M，N）。

即证曲线上的任意一点，关于的对称点必在曲线上。

因为对比由（1）有代入(3)有即说明三次函数的对称中心不仅存在，而且是曲线上的某一个点，即对称中心为【例1】求的对称中心解：令为的对称中心为曲线上任意一点，则也在曲线上，即整理得对比有解得所以，的对称中心为二．三次函数对称中心的几何位置问题一回答了三次函数图象对称中心的存在性，其实三次函数对称中心在图象上还有它的独特位置。

（4）结论是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称。

证明：的图象关于对称，则由图象关于直线对称，说明对称中心的横坐标恰为的对称轴。

图① 图②对照上述证明和①，②两图，不难发现A，B两处分别为的极大值，极小值处，而从A到B的曲线是单调递减的，但注意到对称中心C处两侧附近的曲线形式（凹凸性）发生变化，即C为的拐点，而C的横坐标是恰为的对称轴。

令，则，，这样由④得，所以对称中心也是A，B的中点。

综上所述：三次函数的对称中心是必定存在的，就是图象中的拐点处，横坐标就是的对称轴。

如果三次函数极值存在的话，对称中心还是两极值处的中点位置。

换句话说，对称中心的横坐标就是极值处的横坐标，即。

【例2】求的极值和对称中心解：令有易求极大值处A，极小值处B而的对称轴，所以对称中心易发现对称中心为A，B的中点三．过三次函数对称中心的切线条数结论：过三次函数对称中心且与该三次曲线相切的直线有且只有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线有两条。

由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，为便于研究，将三次曲线的对称中心移至坐标原点，这样便可将三次函数的解析式简化为。

过定点的三次函数图像切线条数问题要研究过定点的三次函数图像切线的条数问题，需要首先了解三次函数的一般形式和性质，然后探讨在过定点的情况下切线可能的情况。

三次函数的一般形式为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d为实数且a不等于0。

三次函数具有以下性质：1.三次函数的图像是一个非常光滑的曲线，没有拐点。

2.在自变量趋近正无穷或负无穷时，函数值也会趋近正无穷或负无穷。

3.在自变量趋近正负无穷时，函数值呈现与自变量同号的趋势。

4. 三次函数的导函数是一个二次函数，即f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c。

考虑过定点的三次函数图像，即函数图像经过特定的点(x0,y0)。

根据函数性质，通过给定的点可以确定三次方程的另一条特殊直线。

这条直线与函数图像在给定点处相切，且切线斜率等于该直线的斜率。

切线的斜率等于函数在给定点处的导数值（即f'(x0)）。

根据情况的不同，过定点的三次函数图像可能有以下几种切线条数：1.一条切线：对于给定点(x0,y0)，如果f'(x0)存在且唯一，那么函数图像在该点处只有一条切线。

这意味着图像在该点处与导函数图像相切，并且只有唯一的斜率满足这个条件。

2.两条切线：对于给定点(x0,y0)，如果f'(x0)存在但不唯一，那么函数图像在该点处有两条切线。

这是因为存在两个斜率满足图像与导函数图像相切的条件。

3.无切线：对于给定点(x0,y0)，如果f'(x0)不存在，那么函数图像在该点处无切线。

这是因为函数图像在该点处的斜率不存在，无法与导函数图像相切。

那么如何确定过定点的三次函数图像是否有多个切线呢？我们可以通过计算函数在给定点处的导数值来判断。

导数公式为f'(x) = 3ax^2 +2bx + c，将x0代入导数公式得到导数值f'(x0)。

若f'(x0)存在且唯一，即f'(x0) ≠ 0，那么函数图像在给定点处有一条切线。

过任一定点的三次函数切线的条数问题山 石过任一定点的三次函数切线的条数问题在2007年全国（II ）卷高考题中出现。

题目：已知函数3)(x x f =-x （I ）求曲线)(x f y =在点M ))(,(t f t 处的切线方程； （II ）设a ＞0，如果过点(b a ,)可作曲线)(x f y =的三条切线， 证明：-a <b <)(a f题中提到过点作曲线)(x f y =的三条切线问题，那么点在什么区域内作曲线y 3x =-x 的切线能有三条呢? 点在什么区域内切线能有一条，最多能有几条切线呢？下面我们研究过任一点N(b a ,)作曲线x x x f -=3)(切线的条数问题。

解:设过点N(b a ,)作曲线3x y =-x 的切线为l ,切点为M ))(,(t f t 则切线l 的方程为b y -=(32t -1)(a x -) ∵l 过点M ))(,(t f t ∴有))(13(23a t t b t t --=-- 整理得23t -3a b a t ++2=0 ……① 方程①有多少个解,切线l 就有多少个.下面解决方程①解的个数问题。

设)(t g = 23t -3a b a t ++2 )('t g =ta t 662- 令)('t g =0 得t =0 t =a 1．当a ＞0，易知：当t =0时，)(t g 有极大值b a +；当a t =)(t g 有极小值b a a ++-3(1)当b a +=0或b a a ++-3=0时，方程①有两根,即当点N(b a ,)在曲线x y -= (x >0)或x x y -=3 (x >0)上时,过点N 作曲线3x y =-x 的切线只有两条.(如图1点N (2)当b a +<0或b a a ++-3>0时，方程①有一根,即当点N(b a ,)满足y <x - (x >0)或y >x x -3 (x >0)时, 过点N 作曲线3x y =-x (如图2点N 在阴影部分)(3)当b a +>0且b a a ++-3<0时，方程①有三根,xx -即当点N(b a ,)满足y >-x (x >0)且y <3x -x (x >0)时, 过点N 作曲线3x y =-x的切线有三条.(如图3点N 在阴影部分.) 2．当a <0, 即点N(b a ,)在y 轴左侧，方法同前可得, 过点N 作曲线3x y =-x 的切线条数如图4。

第11讲 三次函数知识与方法1．单调性当230b ac -≤时，三次函数()320y ax bx cx d a =+++≠在R 上是单调函数；当230b ac ->时，三次函数()320y ax bx cx d a =+++≠在R 上有3个单调区间．证明：()320y ax bx cx d a =+++≠232y ax bx c '=++()()()2224343b a c b ac ∆=-=-∴当()2430b ac ∆=-≤时，232y ax bx c '=++与x 轴无交点或有一个交点，0y '≥或0y '≤恒成立，原函数单调．当()2430b ac ∆=->时，232y ax bx c '=++与x 轴有两个交点，原函数有3个单调区间．2．对称中心三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠是关于点对称的，且对称中心为点,33bb f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标． 证明：只需证明33b b f x f x a a ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭常数，即可．3．三次函数()f x 图象的切线条数过()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠）的对称中心作切线l ，则坐标平面被切线l 和函数()f x 的图象分割为四个区域，有以下结论：①过区域Ⅰ、Ⅲ内的点作()f x 的切线，有且仅有三条；②过区域Ⅱ、Ⅳ内的点以及对称中心作()f x 的切线，有且仅有一条；③过切线l 或函数()f x 图象（除去对称中心）上的点作()f x 的切线，有且仅有两条．切线条数口诀：内一、上二、外三．典型例 题【例1】 已知过点()1,1P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】【解法1】若直线与曲线切于点()()000,0x y x ≠，则3200000011111y x k x x x x --===++--．∵23y x '=，∴0203x x y x ='=，∴200210x x --=，∴01x =，012x =-， ∴过点()1,1P 与曲线3y x =相切的直线方程为320x y --=或3410x y -+=，【解法1】由大招结论，3y x =的中心对称点为()0,0A ，过点A 的切线方程为0y =．点()1,1P 在曲线3y x =上，根据切线条数口诀：内一、上二、外三．P 与曲线3y x =有2条切线． 【答案】 C ．【例2】 对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，定义：()f x ''是函数()y f x =的导数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解 0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．有机智的同学发现“任何三次函数都有‘拐点’；任何三次函数都有对称中心，且‘拐点’就是对称中心”．请你将这一机智的发现作为条件，求： （1）函数()32331f x x x x =-++的图象对称中心为______；（2）若函数()3211533212g x x x x =-+-，则122015201620162016g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．【解析】 依题意得：()2363f x x x '=-+，∴()66f x x ''=-．由()0f x ''=，即660x -=．∴1x =，又∵()12f =，∴函数()32331f x x x x =-++的图象对称中心为()1,2．（2）依题意，设()3211533212g x x x x =-+-，得：()23g x x x '=-+，∴()21g x x ''=-．由()0g x ''=，即210x -=．∴12x =，又∵112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴函数()g x 对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，()()12g x g x +-=． 所以1220152015201620162016g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）()1,2；（2）2015．【例3】已知过第二象限内的点(),P a b 能且只能向函数()3f x x tx =-（t 为给定的正常数）的图象作两条切线，则()221z a b =+-的最小值为（ ） A ．211t + B 21t +C ．21t + D 21t +【解析】【解法1】 设切点为(),m n ，()3f x x tx =-的导数为()23f x x t '=-，可得切线的方程为()()()323y m tm m tx m --=--，代入点(),P a b ，可得()()()323b m tm m t a m --=--，即有32230m am b at -++=，设()3223g m m am b at =-++，()266g m m am '=-，由()0g m '=，解得0m =或m a =，0a <，可得0m =为极小值点，m a =为极大值点，由题意可得()00g =，()0g a >，即有0b at +=，b at =-表示以O 为端点在第二象限的射线，()221z a b =+-表示点()0,1与(),a b 两点的距离的平方，由点()0,1到射线0at b +=的距21t +()231z a b =+-的最小值为211t +．故选A ． 方法2：()3f x x tx =-，()23f x x t '=-，()6f x x ''=，令()60f x x ''==，得0x =．所以对称中心为()0,0O ，()0f t '=-，在O 点切线方程为y tx =-．根据“内一上二外三”，点(),P a b 位于第二象限中，而且在三次函数上或者过原点的切线上．所以()221z a b =+-表示点()0,1与(),a b 两点的距离的平方，由点()0,1到射线0at b +=21t+，则()231z a b =+-的最小值为211t+．故选A ．【例4】已知函数()323f x x x =-．（1）求()f x 在区间[]2,1-上的最大值；（2）若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点()1,2A -，()2,10B ，()0,2C 分别存在几条直线与曲线()y f x =相切?（只需写出结论）【解析】 （1）由()323f x x x =-得()263f x x '=-，令()0f x '=，得22x =-或22x =， ∵()210f -=-，22f ⎛= ⎝⎭22f =-⎝⎭()11f =-，∴()f x 在区间[]2,1-2．（2）【解法1】 设过点()1,P t 的直线与曲线()y f x =相切于点()00,x y ，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，∴切线方程为()()200063y y x x x -=--，∴()()2000631t y x x -=--，即304x 20630x t -++=，设()32463g x x x t =-++，则“过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切”，等价于“()g x 有3个不同的零点”．∵()()21212121g x x x x x '=-=-，∴()g x 与()g x '变化情况如下：x(),0-∞0 ()0,11 ()1,+∞()g x ' + 0― 0+ ()g x↗3t + ↘1t +↗∴03g t =+是g x 的极大值，11g t =+是g x 的极小值．当()030g t =+≤，即3t ≤-时，()g x 在区间(],1-∞和()1,+∞上分别至多有一个零点，故()g x 至多有2个零点．当()110g t =+≥，即1t ≥-时，()g x 在区间(],0-∞和()0,+∞上分别至多有一个零点，故()g x 至多有2个零点．当()00g >且()10g <，即31t -<<-时，∵()170g t -=-<，()2110g t =+>， ∴()g x 分别在区间[)1,0-和[)0,1以及[)1,2上恰有1个零点，由于()g x 在区间(),0-∞和[)1,+∞上单调，故()g x 分别在区间(),0-∞和[)1,+∞上恰有1个零点．综上所述，当过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是()3,1--． 【解法2】 （此大招可快速秒答案，但考试还是建议普通方法）显然函数的对称中心为()0,0，而()03f '=-，故切线为3y x =-，当1x =时，()1231f =-=-，而13x y ==-，故t 的取值范围是()3,1--．（3）过点()1,2A -存在3条直线与曲线()y f x =相切； 过点()2,10B 存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点()0,2C 存在1条直线与曲线()y f x =相切． 【例5】已知函数()1110nn n n n f x a x a xa x a --=++⋅⋅⋅++，其中0i a ≠，0,1,,i n =⋅⋅⋅．（1）若存在12x x <，使得()()()212331322x x a f x f x -'='<，证明：()()3132f x f x >；（2）当3n ≥时，若()n f x 存在1n -个极值点，证明：21221n n n na a a n -->-． 【解析】 （1）设()()()23312321332f x a x x x x a x a x a λ'=--+=++则()231232a a x x =-+，13123a a x x λ=+，其中λ为常数，根据题设知()21232x x a λ-<．()()()()()()()()222313231211223121212312332f x f x a x x x x x x a x x x x x x a x x λ-=-++--++-+()()313212f x f x x x --()()22231122312312332a x x x x a x x a x x λ=++-+++()()()22123223112231231233022x x a a x x x x a x x a x x -<++-+++=因为12x x <，所以()()3132f x f x >．（2）假设当2n ≥时，()n f x 存在n 个零点，设1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 为()n f x 的n 个零点， 则()()()()111012nn n n n n n f x a x a xa x a a x x x x x x --=++⋅⋅⋅++=--⋅⋅⋅-，所以()121n n n a x x x a --++⋅⋅⋅+=，21n i j n i j na x x a -≤<≤=∑，即112n n n a x x x a -++⋅⋅⋅+=-，21n i j n i j na x x a -≤<≤=∑， 因为1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 互不相等，且1i j i j nx x ≤<≤∑包含()212nn n C -=项，所以21121ni i j i i j nx x x n =≤<≤>-∑∑， 所以()()222121211122211nn n n i i j i ji i j n i j n n n a na n x x x x x x x x a n n a --=≤<≤≤<≤⎛⎫++⋅⋅⋅+==+>= ⎪--⎝⎭∑∑∑， 所以21221n n n na a a n -->-． 当3n ≥时，若()n f x 存在1n -个极值点， 即1n -次函数()()12111n n n n n f x na x n a x a ---'=+-+⋅⋅⋅+存在1n -个零点，所以()()()221221122n n n n n a na n a n ---->⋅⋅--，所以21221n n n na a a n -->-． 强化训练1．对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数【解析】 0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的对称中心（也称为函数的拐点），若()32341f x x x x =-+-，则()y f x =的图象的对称中心为______．【解析】 ∵函数()32341f x x x x =-+-，∴()2364f x x x '=-+，∴()66f x x ''=-，令()660f x x ''=-=，解 得1x =，且()11f =，故函数()32341f x x x x =-+-的对称中心为()1,1， 【答案】()1,1．2．设()32f x ax bx cx =++的极小值为2-，其导函数()y f x ='的图象是经过点()1,0-，()1,0开口向上的抛物线，如图所示．（1）求()f x 的解析式；（2）若2m ≠-，且过点()1,m 可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．【解析】（1）由图象可知，在(),1-∞-上()0f x '>，在()1,1-上()0f x '<．在()1,+∞上()0f x '>．故()f x 在()(),11,-∞-⋃+∞上递增，在()1,1-上递减．因此()f x 在1x =处取得极小值， ∴()12f a b c =++=-，∵()232f x ax bx c '=++，∴()10f '-=，()10f '=，∴2113b a --+=，即0b =，113ca-⨯=，即3c a =-，∴1a =，0b =，3c =-，∴()33f x x x =-．（2）方法1：过点()1,A m 向曲线()y f x =作切线，设切点为()00,x y ，则30003y x x =-，()20033k f x x ='=-，则切线方程为()()()320000333y x x x x x --=--，将()1,A m 代入上式，整理得32002330x x m -++=．∵过点()()1,2A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线， ∴方程322330x x m -++=有三个不同实数根．记()32233g x x x m =-++，()()26661g x x x x x '=-=-，令()0g x '=，得0x =或1，则x ，()g x '，()g x 的变化情况如下表：x(),0-∞0 ()0,11 ()1,+∞()g x ' + 0 ― 0 + ()g x↗极大↘极小↗当0x =，g x 有极大值3m +；1x =，g x 有极小值2m +，由题意有，当且仅当()()00,10,g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩即30,20,m m +>⎧⎨+<⎩解 得32m -<<-时函数()g x 有三个不同零点．此时过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线．故m 的取值范围是()3,2--．方法2：显然三次函数对称中心为()0,0，而()03f '=-，故切线为3y x =-，当1x =时，()113f =-=2-，而13x y ==-，故m 的取值范围是()3,2--．3．设函数()32132a f x x x bx c =-++，其中0a >，曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程为1y =． （1）确定b ，c 的值；（2）设曲线()y f x =在点()()11,x f x 及()()22,x f x 处的切线都过点()0,2．证明：当12x x ≠时，()()12f x f x '≠'；（3）若过点()0,2可作曲线()y f x =的三条不同切线，求a 的取值范围．【解析】（1）由()32132a f x x x bx c =-++，得()0f c =，()2f x x ax b '=-+，()0f b '=． 又由曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程为1y =，得()01f =，()00f '=．故0b =，1c =．（2）证明：()321132a f x x x =-+，()2f x x ax '=-，由于点()(),t f t 处的切线方程为()()()y f t f t x t -='-，而点()0,2在切线上，所以()()()2f t f t t -='-，化简得3221032a t t -+=．即t 满足的方程为323t -2102at +=．下面用反证法证明． 假设()()12f x f x '='，由于曲线()y f x =在点()()11,x f x 及()()22,x f x 处的切线都过点()0,2，则下列等式成立：321132222211222103221032a x x a x x x ax x ax ⎧-+=⎪⎪⎨-+=⎪⎪-=-⎩①②③由③得12x x a +=，由①―②得222112234x x x x a ++=④ 又()()222222222112212121111133244a x x x x x x x x a x a x x ax a x a a ⎛⎫++=+-=--=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，故由④得12a x =，此时22ax =与12x x ≠矛盾，所以()()12f x f x '≠'．（3）方法1：由（2）知，过点()0,2可作()y f x =的三条切线，等价于方程()()()20f t f t t -='-有三个相异的实根，即等价于方程3221032at t -+=有三个相异的实根． 设()322132a g t t t =-+，则()2222a g t t at t t ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭．由于0a >，故有 t(),0-∞0 0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭2a ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()g t ' + 0 ― 0+ ()g t↗极大值1↘极小值3124a -↗由()g t 的单调性知：当且仅当1024a -<时，()0g t =有三个相异的实根． 即323a >a 的取值范围是()323,+∞．方法2：由于()321132a f x x x =-+，故()2f x x ax '=-，()2f x x a ''=-，令()0f x ''=，即2ax =，此时31212a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，而224a a f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，故切线为3211242a a a y x ⎛⎫-+=-- ⎪⎝⎭，当0x =时，3124a y =+，即保证324a 12+>即可，即324a >，故323a >a的取值范围是()323,+∞．4．设a 为实数，函数()33f x x x a =-++．（1）求()f x 的极值；（2）是否存在实数a ，使得方程()0f x =恰好有两个实数根?若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）()233f x x '=-+，令()0f x '=，得1x =-或1x =．∵当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<；当()1,1x ∈-时，()0f x '>； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，∴()f x 在(),1-∞-，()1,+∞上单调递减，在()1,1-上单调递增． ∴()f x 的极小值为()12f a -=-，极大值为()12f a =+．（2）方程()0f x =恰好有两个实数根，等价于直线y a =与函数33y x x =-的图象有两个交点．∵3y x =3x -，∴233y x '=-．令0y '>，【解析】 得1x >或1x <-；令0y '<，解 得11x -<<．∴33y x x =-在()1,1-上为减函数，在()1,+∞和(),1-∞-上为增函数．∴当1x =-时，2y =极大值；当1x =时，2y =-极小值．∴33y x x =-的大致图象如图所示．y a =表示平行于x 轴的一条直线，由图象知，当2a =或2a =-时，y a =与33y x x =-有两个交点．故当2a =或2a =-时，方程()0f x =恰好有两个实数根．5．已知函数()3232f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点()0,2处的切线与x 轴交点的横坐标为2-． （1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点． 【解析】（1）()236f x x x a '=-+，()0f a '=．曲线()y f x =在点()0,2处的切线方程为2y ax =+． 由题设得22a-=-，所以1a =． （2）由（1）知，()3232f x x x x =-++设()()()322314g x f x kx x x k x =-+=-+-+，由题设知10k ->． 当0x ≤时，()23610g x x x k '=-+->，()g x 单调递增，()110g k -=-<，()04g =，所以()0g x =在(],0-∞有唯一实根．当0x >时，令()3234h x x x =-+，则()()()()1g x h x k x h x =+->．()()23632h x x x x x '=-=-，()h x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增，所以()()()20g x h x h >≥=，所以()0g x =在()0,+∞没有实根．综上，()0g x =在R 有唯一实根，即曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．6．已知函数()()32113f x x x ax a =+++∈R ． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，试讨论是否存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【解析】（1）()22f x x x a '=++，方程220x x a ++=的判别式：44a ∆=-． ∴当1a ≥时，0∆≤，∴()0f x '≥，此时()f x 在(),-∞+∞上为增函数． 当1a <时，方程220x x a ++=的两根为11a --当(,11x a ∈-∞--时，()0f x '>，∴此时()f x 为增函数，当(11,11x a a ∈----时，()0f x '<，∴此时()f x 为减函数， 当()11,x a ∈--+∞时，()0f x '>，∴此时()f x 为增函数，综上，1a ≥时，()f x 在(),-∞+∞上为增函数当1a <时，()f x 的单调递增区间为(,11a -∞--，()11,a --+∞．()f x 的单调递减区间为(11,11a a -----．（2）()3232000011111111233222f x f x x ax a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++-+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦323200011113222x x a x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦20000001111113224222x x x x x a x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 20000111236122x x x x a ⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()200011414712122x x x a ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭∴若存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 必须2004147120x x a +++=在110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上有解 ， ∵0a <，∴()()21416712421480a a ∆=-+=->，142214872148a a-±--±-=00x >，∴0x 72148a -+-，依题意，7214801a-+-<<，即7214811a <-<，∴492148121a <-<，即2571212a -<<-， 又由72148142a -+-=，得54a =-，故欲使满足题意的0x 存在，则54a ≠-．∴当25557,,124412a ⎛⎫⎛⎫∈--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，存在唯一的0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．当2575,,012124a ⎛⎤⎡⎫⎧⎫∈-∞-⋃-⋃-⎨⎬ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭⎩⎭时，不存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 使()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．7．已知函数()322f x x ax b =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得()f x 在区间[]0,1的最小值为1-且最大值为1?若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．【解析】（1）()()26223f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得0x =或3ax =． 若0a >，则当(),0,3a x ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(),0-∞，,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若0a =，()f x 在(),-∞+∞单调递增； 若0a <，则当(),0,3a x ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,+∞单调递增，在,03a⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减．（2）满足题设条件的a ，b 存在．（ⅰ）当0a ≤时，由（1）知，()f x 在[]0,1单调递增，所以()f x 在区间[]0,l 的最小值为()0f b =，最大值为()12f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即0a =，1b =-．（ⅱ）当3a ≥时，由（1）知，()f x 在[]0,1单调递减，所以()f x 在区间[]0,1的最大值为()0f b =，最小值为()12f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，1b =，即4a =，1b =．（ⅲ）当03a <<时，由（1）知，()f x 在[]0,1的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，1b =，则332a =，与03a <<矛盾． 若3127a b -+=-，21a b -+=，则33a =33a =-0a =，与03a <<矛盾． 综上，当且仅当0a =，1b =-或4a =，1b =时，()f x 在[]0,1的最小值为1-，最大值为1．8．已知函数()3214f x x x x =-+． （1）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （2）当[]2,4x ∈-时，求证：()6x f x x -≤≤；（3）设()()()F x f x x a =-+（a ∈R ），记()F x 在区间[]2,4-上的最大值为()M a ．当()M a 最小时，求a 的值．【解析】（1）由()3214f x x x x =-+得()23214f x x x '=-+． 令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =．又()00f =，88327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-， 即y x =与6427y x =-．（2）令()()g x f x x =-，[]2,4x ∈-．由()3214g x x x =-得()2324g x x x '=-． 令()0g x '=得0x =或83x =．()g x '，()g x 的情况如下：x2-()2,0-0 80,3⎛⎫ ⎪⎝⎭838,43⎛⎫ ⎪⎝⎭4 ()g x '+ ―+ ()g x6-↗↘6427-↗所以g x 的最小值为6-，最大值为0． 故()60g x -≤≤，即()6x f x x -≤≤． （3）由（2）知，当3a <-时，()()()003M a F g a a ≥=-=->； 当3a >-时，()()()2263M a F g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =． 综上，当()M a 最小时，3a =-．9．设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c ∈R ，()f x '为()f x 的导函数． （1）若a b c ==，()48f =，求a 的值；（2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{}3,1,3-中，求()f x 的极小值；（3）若0a =，01b <≤，1c =，且()f x 的极大值为M ，证明：427M ≤． 【解析】（1）因为a b c ==，所以()()()()()3f x x a x b x c x a =---=-． 因为()48f =，所以()348a -=，解 得2a =． （2）因为b c =，所以()()()()()232222f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而()()233a b f x x b x +⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭．令()0f x '=，得x b =或23a b x +=． 因为a ，b ，23a b+都在集合{}3,1,3-中，且a b ≠， 所以213a b+=，3a =，3b =-． 此时()()()233f x x x =-+，()()()331f x x x '=+-． 令()0f x '=，得3x =-或1x =．列表如下：x(),3-∞-3-()3,1-1 ()1,+∞()f x '+ 0 ― 0 + ()f x↗极大值↘极小值↗所以()f x 的极小值为()()()1131332f =-+=-．（3）因为0a =，1c =，所以()()()()3211f x x x b x x b x bx =--=-++，()()2321f x x b x b '=-++．因为01b <≤，所以()()2241122130b b b ∆=+-=-+>， 则()f x '有2个不同的零点，设为1x ，()212x x x <．由()0f x '=，得2111b b b x +--+=，2211b b b x ++-+=．列表如下：x()1,x -∞1x()12,x x2x()2,x +∞()f x ' + 0 ― 0 + ()f x↗极大值↘极小值↗所以f x 的极大值1M f x =．【解法1】()()3211111M f x x b x bx ==-++()()()22111121113213999b b b b x b x b x b x -+++⎛⎫⎡⎤=-++--+ ⎪⎣⎦⎝⎭()()()(23221112127927b b b b b b b --+++=++-+()()()()231211211272727b b b b b b +-+=-+-+()124272727b b +≤+≤．因此427M ≤．【解法2】因为01b <≤，所以()10,1x ∈．当()0,1x ∈时，()()()()211f x x x b x x x =--≤-．令()()21g x x x =-，()0,1x ∈，则()()1313g x x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭． 令()0g x '=，得13x =．列表如下： x10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x ' + 0 ― ()g x↗极大值↘所以当3x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故()max 14327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当()0,1x ∈时，()()427f x g x ≤≤，因此427M ≤．10．若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点．设函数()()321f x x tx t =-+∈R ．（1）若函数()f x 在()0,1在无极值点，求t 的取值范围；（2）证明：对任意实数t ，函数()f x 的图像总存在两条切线相互平行；（3）当3t =时，函数()f x 的图像存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行切线共有几组．【解析】（1）()()23232f x x tx x x t '=-=-，令()0f x '=，解 得10x =，223tx =， 因为()f x 在()0,1上无极值点，所以()20,13t ∉，即t 的取值范围为(]3,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭． （2）()232f x x tx '=-，取()121223tx x x x +=≠，则有()()12f x f x '='， 此时()()()()3322121212221122121212x x t x x f x f x xx x x t x x x x x x ----==++-+--，且()()()()222212121222121212332222f x f x x x t x x x x x x t x x '+'+-++==++-+，因为12x x ≠，所以2212122x x x x +≠，所以()()()()1212122f x f x f x f x x x -'+'≠-， 即()()()()121212f x f x f x f x x x -≠'='-，所以曲线()y f x =在1x x =处与2x x =处的切线平行．（3）当3t =时，()3231f x x x =-+，()236f x x x '=-，令()()()1212f x f x x x '='>，则122x x +=，所以11x >， 所以：()()()2223322121212121212121212242,86x x x x x x x x x x x x x x x x x x +=+-=-+=++-=-， 所以()()()3322121212322f x f x x x x x +=+-++=-，所以()()11,x f x ，()()22,x f x 的中点为()1,1-，即点()1,1-到1x x =处的切线距离为2， 曲线()y f x =在1x x =处的切线方程为()()232111113631y x x x x xx =--+-+，整理得()2321111362310x x x y x x ---++=，点()1,1-到直线的距离()32111221126622361x x x d xx -+-+==-+，整理得()()4321111112421230x x x x x x ---++=，故12x =符合设()43242123g x x x x x =--++，()()()()4113g x x x x '=+--，列表可知，()g x 在()1,3上单调递减，在()3,+∞单调递增， 又因为()230g =>，()360g =-<，()4190g =>， 所以存在()2,3s ∈及()3,4t ∈，使得()()0g s g t ==， 故12x =，s ，t 均符合题意，所以满足条件的平行切线共有三组．11．已知函数()()324,f x ax bx a a b =+-∈R ．（1）当1a b ==，求()f x 的单调增区间；（2）当0a ≠时，若函数()f x 恰有两个不同的零点，求ba的值； （3）当0a =时，若()ln f x x <的【解析】 集为(),m n ，且(),m n 中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围．【解析】（1）当1a b ==时，()324f x x x =+-，则()232f x x x '=+，令()0f x '>，解得()2,0,3x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，即()f x 的单调增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,+∞；（2）因为0a ≠，所以()324b f x a x x a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，设b t a =， 则()324g x x tx =+-恰好有两个不同的零点，令()232g x x tx '=+，解得10x =，223tx =-由题意可知，只需()2003t g g ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭即可，整理得327t =，解 得3t =； （3）当0a =时，()2f x bx =，则不等式2ln bx x <可化为2ln x b x <，设()2ln xh x x=， 则()312ln xh x x-'=，当(e x ∈时，()0h x '>，即()h x 单调递增， 当)e,x ∈+∞时，()0h x '<，即()h x 单调递减，因为()10h =，()ln 224h =，()ln 339h =，所以ln 3ln 2,94b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．12．设函数()323f x x x =--．（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x m =-在区间[]1,2-上有三个零点，求实数m 的取值范围； （3）设函数()ln a g x x x x =+，如果对任意的1x ，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）()()23232f x x x x x '=-=-． 由()0f x '>，得0x <或23x >； 由()0f x '<，得203x <<，所以()f x 的单调递增区间是(),0-∞，2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）令()()h x f x m =-，则()323h x x x m =---，()()23232h x x x x x '=-=-，由（1）知函数()h x 在0x =处取得极大值()03h m =--，在23x =处取得极小值285327h m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 因为函数()y f x m =-在区间[]1,2-上有三个零点，所以()()()150,030,2850,327210,h m h m h m h m ⎧-=--≤⎪=-->⎪⎪⎨⎛⎫=--< ⎪⎪⎝⎭⎪=-≥⎪⎩解得85327m -<<-， 所以实数m 的取值范围是85,327⎛⎫-- ⎪⎝⎭． （3）由（1）知，函数()f x 在12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,23⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 而12528f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()21f =，故()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()21f =． 因为“对任意的1x ，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12f x x ≤成立”等价于“对任意1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()max g x f x ≥恒成立”．即当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()ln 1ag x x x x =+≥恒成立， 即2ln a x x x ≥-恒成立．记()2ln u x x x x =-，则有()max a u x ≥．()12ln u x x x x '=--，可知()10u '=．当1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，10x ->，2ln 0x x <， 则()0u x '>，()u x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 当()1,2x ∈时，10x -<，2ln 0x x >， 则()0u x '<，()u x 在()1,2上单调递减． 故()u x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()11u =，所以实数a 的取值范围是[)1,+∞．13．函数()3231f x ax ax bx =+++满足[)3,x ∈-+∞时有()13xf x ≤+恒成立，且0a ≠． （1）求a 的取值范围及b 的值；（2）证明：函数()()()29e 3x g x x f x =-+有且仅有唯二零点．【解析】（1）函数()3231f x ax ax bx =+++满足[)3,x ∈-+∞时，有()13xf x ≤+恒成立等价于3221133033ax ax b x x ax ax b ⎛⎫⎛⎫++-=++-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[)3,x ∈-+∞恒成立，∴等价于[]3,0x ∈-时，21303ax ax b ++-≥，和()0,x ∈+∞时，21303ax ax b ++-≤； 则0x =是方程21303ax ax b ++-=的一个根，即为103b -=，则13b =，因为当[]3,0x ∈-时，()30ax x +≥，则0a <． （2）证明：由（1）知()()3221131333f x ax ax x ax x ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭， ()()()()23219e 39e 33x x g x x f x x ax ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭，则()339e0g --=>，当3x ≠-，()()239e 133xh x ax x =--+， 则()()()449e 233x x a x h x x ⎡⎤-+⎣⎦'=+，且()49e 230x a x -+>，当0x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增； 当30x -<<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减； 所以3x -<时，()()min 00g x g ==，当3x <-时，()0h x '<，函数()h x 单调递减；当x →-∞，()h x →+∞， 则()h x 在3x <-时有唯一一个零点，综上所述，函数()()()29e 3x g x x f x =-+有且仅有唯二零点．。

三次函数切线问题一、过三次函数上一点的切线问题。

设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。

若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。

证明 设),(11y x P 过点P 的切线可以分为两类。

1、 P 为切点 c bx ax x f k ++==1211/123)(，切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=-P 不是切点，过P 点作)(x f y =图象的切线，切于另一点Q （22,y x ）12122122313212122x x cx cx bx bx ax ax x x y y k --+-+-=--= c bx bx ax x ax ax +++++=21212122又 c bx ax x f k ++==2222/223)( （1）∴ c bx bx ax x ax ax +++++21212122c bx ax ++=22223 即0)2)((1212=++-a b x x x x ∴ ab x x 22112--=代入（1）式 得c ab bx ax k +-+=4214321212 讨论：当21k k =时，=++c bx ax 12123c a b bx ax +-+421432121，得a b x 31-=， ∴ 当ab x 31-=时，两切线重合，所以过点P 有且只有一条切线。

当ab x 31-≠时，21k k ≠，所以过点P 有两条不同的切线。

其切线方程为：))(23(11211x x c bx ax y y -++=- ))(42143(121211x x c ab bx ax y y -+-+=- 由上可得下面结论：过三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 上异于对称中心的任一点),(111y x P 作)(x f y =图象的切线，切于另一点),(222y x P ，过),(222y x P 作)(x f y =图象的切线切于),(333y x P ，如此继续，得到点列),(444y x P ----),(n n n y x P ----，则ab x x n n 2211--=+，且当+∞→n 时，点趋近三次函数图象的对称中心。