2020-2021学年高中数学第二章平面向量章末复习课学案新人教A版必修4

平面向量必修4 第2章 平面向量 §2.1向量的概念及其表示重难点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量，掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系． 考纲要求：①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念及向量相等的含义． ③理解向量的几何表示．A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行当堂练习：1.下列各量中是向量的是 ( ) A.密度 B.体积 C.重力 D.质量2下列说法中正确的是 （ ） A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度为零 D.共线向量是在一条直线上的向量 3．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量、、、是 （ ） A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等的向量 D ．模都相同的向量4.下列结论中,正确的是 ( ) A. 零向量只有大小没有方向 B. 对任一向量,||>0总是成立的 C. |=|| D. |与线段BA 的长度不相等A. 与共线B. 与相等C. 与 是相反向量D. 与模相等6．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，（1）与相等的向量有 ； （2）与长度相等的向量有 ； （3）与共线的向量有 ．8．如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中：（1）与相等的向量有 ；AO OB CO OD ||AB CD AC BD AD AB BC OB DA AO（2）写出与共线的向有 ； （3）写出与的模相等的有 ； （4）向量与是否相等？答 ． 9．O 是正六边形ABCDE 的中心，且，，，在以A ，B ，C ，D ，E ，O 为端点的向量中：（1）与相等的向量有 ； （2）与相等的向量有 ； （3）与相等的向量有10．在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在：（1）是共线向量的有 ； （2）是相反向量的为 ； （3）相等向量的的 ； （4）模相等的向量 ．11．如图，△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AB ，CA 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段中所表示的向量中，（1）与向量共线的有 ． （2）与向量的模相等的有 ． （3）与向量相等的有 ．12．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于A 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来．若它位于图中的P 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否从点A 走到与它相邻的B ？它能否从一交叉点出发，走到棋盘上的其它任何一个交叉点？必修4 第2章 平面向量 §2.2向量的线性运算 重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件．考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其意义。

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第二章平面向量章末小结【本章知识体系】【题型归纳】专题一、平面向量的概念及运算包含向量的有关概念、加法、减法、数乘。

向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算。

利用向量证明三点共线时，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．1、1.错误!＋错误!－错误!＋错误!化简后等于（）A．3AB→ B。

错误!C。

错误! D。

错误!2、在平行四边形ABCD中，错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，错误!＝d,则下列运算正确的是( )A．a＋b＋c＋d＝0B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c－d＝0D．a－b－c＋d＝03、已知圆O的半径为3，直径AB上一点D使错误!＝3错误!，E、F为另一直径的两个端点,则错误!·错误!＝( )A．－3 B．－4C．－8 D．－64、如图，在正方形ABCD中，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，则在以a，b为基底时，错误!可表示为________，在以a，c为基底时,错误!可表示为________．5、下列说法正确的是（)A．两个单位向量的数量积为1B．若a·b＝a·c,且a≠0，则b＝cC．错误!＝错误!－错误!D．若b⊥c，则（a＋c）·b＝a·b专题二、平面向量的坐标表示及坐标运算向量的坐标表示及运算强化了向量的代数意义。

第二章平面向量复习课（一）一、教学目标1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。

2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4. 了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，a·b=|a||b|cos =x1x2+y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直三、教学过程（一）重点知识：1. 实数与向量的积的运算律：2. 平面向量数量积的运算律:3. 向量运算及平行与垂直的判定:则),(2121y y x x b a ++=+ ),(2121y y x x b a --=-2121y y x x b a +=⋅4. 两点间的距离:5. 夹角公式:6. 求模：（二）习题讲解：《习案》P167 面2题，P168面6题，P169面1题，P170面5、6题，P171面1、2、3题，P172面5题，P173面6题。

（三）典型例题例1． 已知O 为△ABC 内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，且|a |=2，|b |=1，| c |=3，用a 与b 表示c解：如图建立平面直角坐标系xoy ，其中i , j 是单位正交基底向量, 则B （0，1），C （-3，0），设A （x ，y ），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A （1，-3），也就是a =i －3j , b =j ， c =-3i 所以-3a =33b +c |即c =3a －33b（四）基础练习：《习案》P178面6题、P180面3题。

第２章平面向量平面向量的线性运算【例１】(１)(）A．(7,－２)ﻩ B.（1,-2)C.(1，－３）ﻩD.（7,2)（2)设D为△ABC所在平面内一点,则错误!=3错误!，则（)Ａ.错误!未定义书签。

＝-错误!未定义书签。

错误!+错误!错误!ﻩB．错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

错误!－错误!错误!C.错误!未定义书签。

＝错误!错误!-错误!未定义书签。

错误!ﻩD。

错误!＝-错误!未定义书签。

错误!＋错误!错误!(1）A (２)D［(1）∵a＝(2,1),b=(-３,4），∴2a-b＝2(2,1)-(-3，4)＝(４,2)-（-3，4)＝(4＋3，2-4)＝（７,－２),故选Ａ.ﻬ（２)∵错误!未定义书签。

=3错误!未定义书签。

,∴错误!未定义书签。

-错误!＝３（错误!－错误!）,∴２错误!=3错误!未定义书签。

-错误!,∴错误!=错误!未定义书签。

错误!－错误!未定义书签。

错误!．]向量线性运算的基本原则和求解策略（1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算。

向量的线性运算的结果仍是一个向量,因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.(２)求解策略:①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.②字符表示线性运算的常用技巧:,首尾相接用加法的三角形法则,如＼o(AＢ,＼s＼up9(→))+错误!未定义书签。

＝错误!；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如错误!未定义书签。

－错误! =错误!未定义书签。

③平行向量(共线向量）、相等向量与相反向量、单位向量等,理解向量的有关概念并进行恰当地应用.④注意常见结论的应用。

如△AＢC中，点Ｄ是BC的中点，则错误!+错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

1.（１)设向量a,ｂ不平行，向量λa＋ｂ与ａ＋２b平行,则实数λ=_____＿_＿。

(２)在△ＡBＣ中,点M,N满足错误!＝２错误!,错误!未定义书签。

第二章平面向量章末复习课[ 整合·网络建立][ 警告·易错提示]1．相关向量的注意点(1)零向量的方向是随意的．(2)平行向量无传达性，即 a∥ b， b∥ c 时， a 与 c 不必定是平行向量．(3)注意数目积是一个实数，不再是一个向量．2．向量的运算律中的注意点(1)向量运算和实数运算有近似的地方也有差别：关于一个向量等式，能够移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不可以两边同除以一个向量，即两边不可以约去一个向量，牢记两向量不可以相除(相约)．(2) 向量的“乘法”不知足联合律，即( a·b) c≠a( b·c).专题一相关向量共线问题相关向量平行或共线的问题，常用共线向量定理：a∥ b? a＝λ b( b≠0) ? x1y2－ x2y1＝0.[ 例 1]已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若k a＋2b与2a－4b平行，务实数k 的值．解：法一：向量 k a＋2b 与2a－4b 平行，则存在独一实数λ，使k a＋2b＝λ (2a－4b)．因为 k a＋2b＝4(1，2)＋2(－3，2)＝( k －6， 2 ＋4)．k2a－ 4b＝ 2(1 ， 2) － 4( － 3， 2) ＝ (14 ，－ 4) ，因此 ( k－ 6， 2k＋ 4) ＝λ(14 ，－ 4) ．1因此 k－6＝14λ，解得λ ＝－2，2k＋ 4＝－ 4λ，k＝－1.即实数 k 的值为－1.法二：因为k a＋2b＝ k(1，2)＋2(－3，2)＝( k－ 6， 2k＋ 4) ，2a－ 4b＝ 2(1 ， 2) － 4( － 3， 2) ＝ (14 ，－ 4) ，ka＋2b 与2a－4b 平行，因此 ( k－ 6)( － 4) － (2 k＋4) ×14＝ 0.解得 k＝－1.概括升华1．向量与非零向量 a 共线?存在独一实数λ 使b＝λa.2. 在解相关向量共线问题时，应注意运用向量共线的坐标表达式，a＝( x1，y1)与 b＝( x2，y2) 共线 ? x1y2－x2y1＝ 0.[ 变式训练 ]平面内给定三个向量a＝(3，2)， b＝(－1，2)，c＝(4，1)．(1)求知足 a＝ m b＋ n c 的实数 m、n；(2)若 ( a＋k c ) ∥ (2 b－a) ，务实数k.解： (1) 因为a＝mb＋nc，因此 (3 ， 2) ＝ ( －m＋ 4n，2m＋n) ．m＝5－ m＋4n＝3，，9因此解得82＋＝2，m nn＝9.(2) 因为 ( a＋k c) ∥ (2 b－a) ，a＋k c＝ (3 ＋4k， 2＋k) ， 2b－a＝ ( － 5，2) ．16因此 2(3 ＋ 4k ) ＋ 5(2 ＋ k ) ＝ 0，即 k ＝－ 13.专题二 相关向量的夹角、垂直问题非零向量 a ＝ ( x 1，y 1) ， b ＝ ( x 2， y 2) 的夹角为 θ，则a ⊥b ? a ·b ＝ 0? x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0，a ·bx x y y 2cos θ＝＝1 2＋ 12.2＋ 2·2| a || b |x 1 y 1 x 2＋ y 1[ 例 2] 已知向量 ， 知足 | a | ＝ 3，| | ＝2，|a ＋ | ＝ 13，求向量 ＋ 与 －b 的a bb ba b a夹角 θ 的余弦值．解： 由已知 | a | ＝ 3， | b | ＝ 2， | a ＋ b | ＝ 13，因此 ( a ＋ b ) 2＝ 13. 因此 a 2＋2a ·b ＋ b 2＝13，则 ( 3) 2＋ 2a ·b ＋ 22＝ 13，得 2a ·b ＝ 6. ( a － b ) 2＝a 2－ 2a ·b ＋ b 2＝ ( 3) 2－ 6＋ 22＝ 1，因此 | a － b | ＝ 1.（ a ＋ b ）·（ a － b ）因此 cos θ ＝＝| a ＋ b || a － b |a 2－b 2 （ 3）2－2213 13× 1 ＝13＝－13.概括升华1．本例的本质是已知平行四边形的一组邻边和对角线的长，求两对角线组成的向量的夹角，经过模的平方，交流了向量的模与向量内积之间联系；2．两个向量的夹角与两条直线的夹角取值范围是不一样的.2 2[ 变式训练 ](1) 若非零向量 a ， b 知足 | a | ＝ 3 | b | ，且 ( a －b ) ⊥(3 a ＋ 2b ) ，则 a 与 b的夹角为 ()ππ3πA. 4B. 2C. 4 D ．π(2)(2016 ·全国Ⅰ卷 ) 设向量 a ＝ ( ， ＋1)， ＝ (1 ，2) ，且 ⊥ ，则 ＝ ________．x x b a b x(1) 分析： 由 ( a － b ) ⊥(3 a ＋2b ) 得 ( a － b ) ·(3 a ＋2b ) ＝ 0，即 3a 2－ a ·b － 2b 2＝0. 又因2 2为| a | ＝ 3 | b | ，设〈 a ， b 〉＝ θ，即 3| a |2 － | a | · | b | · cos θ－ 2| b |2 ＝0，8 2 2因此 | b |2 －| b |2 · cos θ－ 2| b |2 ＝ 0.332π因此 cos θ ＝ 2 . 又因为 0≤ θ ≤π，因此 θ＝ 4 .2(2) 因为 a ⊥ b ，因此 a · b ＝ 0，即 x ＋ 2( x ＋ 1) ＝ 0，因此 x ＝－ 3.2答案： A(2) －3专题三 相关向量的模的问题利用数目积求解长度问题是数目积的重要应用，要掌握此类问题的办理方法：(1)| a | 2＝a 2＝ a ·a ；(2)| a ± b | 2＝ a 2± 2a ·b ＋ b 2；(3) 若 a ＝ ( x ， y ) ，则 | a | ＝x 2＋ y 2；(4) 应用三角形或平行四边形法例．→→→→→[例 3] 设点 M 是线段 BC 的中点，点2A 在直线 BC 外， BC ＝ 16，| AB ＋ AC | ＝| AB －AC | ，→则| AM |＝()A ．8B ．4C ．2D ．1(2) 设向量 a ＝ (0 ，－ 1) ，向量 b ＝(cosx ，sinx )，则| ＋ | 的取值范围为 ________．a b→→2分析： 法一：因为 BC ＝ 16，因此 | BC | ＝ 4.→ → →又| AB － AC |＝ | CB |＝4，→ → → →因此 | AB ＋ AC | ＝ 4，因为 M 为 BC 的中点，因此 BM ＝－ CM .→ → → → →→1→→因此 AM ＝ AB ＋ BM ＝AC ＋ CM ，因此 AM ＝ 2( AB ＋ AC ) ，→1→→ 1因此 | AM | ＝ 2| AB ＋AC | ＝ 2× 4＝ 2.→ →→ →法二：如下图，四边形ABDC 是平行四边形，又 | AB ＋ AC | ＝ | AB － AC | ，→→因此 | AD | ＝ | CB | ，因此四边形 ABDC 是矩形，→1 →因此 | AM | ＝ 2 |BC |，→2又 BC ＝ 16，→因此 | BC | ＝4，→因此 | AM |＝2.4因此 a ＋ b ＝ (cos x ， sin x － 1) ．因此 | ＋ | ＝ cos2 x ＋（ sinx － 1） 2＝ 2－ 2sin x ＝a b2（ 1－ sin x ）因为－ 1≤ sinx ≤ 1，因此 0≤| ＋ | ≤2.a b答案： (1)C (2)[0 ， 2]概括升华解答该类题目有以下几个重点点：1．依据题意找寻或画出三角形或平行四边形，察看图形以便直观地得出一些结论．2．利用三角形法例、平行四边形法例求相关的向量，并注意一些公式性质的运用，例如模与向量的平方的关系，相反向量的和为0 等．3．数形联合法的运用可使解题简捷．→→[ 变式训练 ]已知向量 a 和 b 的模都是2，其夹角为60°，又知 OP ＝ a ＋ 2b ， OQ＝－ 2a→＋ b ，则 | PQ | ＝ ________．→ → →分析： PQ ＝ OQ － OP ＝－ 3a －b ，→→ →| PQ | 2＝ PQ · PQ ＝ ( －3a － b ) 2＝ 9a 2＋ 6a ·b ＋ b 2.因为 | a | ＝ | b | ＝2， a ·b ＝ | a || b |cos 60 °＝ 2，→2＝ 9a 2＋ 6a ·b ＋ b 2＝9×4＋6×2＋ 4＝ 52. 因此 | PQ | →因此| |＝2 13.PQ答案： 213专题四 数形联合思想平面向量的线性运算和数目积运算的定义及运算法例、运算律的推导中都浸透了数形结合的思想． 引入向量的坐标表示，使向量运算完整代数化，将数和形密切联合起来．运用数形联合的思想解决了三点共线，两条线段平行、垂直、夹角、距离、面积等问题．[ 例 4]已知向量 a 与 b 不共线，且 | a | ＝ | b | ≠0，则以下结论正确的选项是 ( )A ．向量 a ＋ b 与 a － b 垂直B ．向量 a － b 与 a 垂直C ．向量 a ＋ b 与 a 垂直D ．向量 a ＋ b 与 a － b 共线→ →分析： 如下图，作 OA ＝ a ， OC ＝ b ，以 OA 和 OC 为邻边作 ?OABC .因为 | a | ＝ | b | ≠0，→→又因为 a＋ b＝OB， a－ b＝CA，因此( a＋ b)⊥(a－ b)．答案： A概括升华经过此题能够得出：模相等且不共线的两向量的和与两向量的差垂直．以上能够作为结论记着．→→[ 变式训练 ]已知△ ABC是边长为2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·( PB＋→PC)的最小值是()3 4A．－2 B ．－2 C ．－3 D ．－1分析：成立如下图的平面直角坐标系，则 A(0，3)，B(－1，0)， C(1，0)．→→设 P( x， y)，则 PA＝(－ x，3－y) ，PB＝ ( －1－x，－y) ，→PC＝(1－x，－ y)，→→→PA·( PB＋ PC)＝( －x， 3 －y) ·( － 2x，－ 2y)＝2x2＋ 2y2－ 2 3y＝2 （x－0）2＋y－3 2－3，223 →→ →3因此当 x＝0， y＝2 时， [ PA· ( PB＋PC)] min＝－2. 答案： B。

第二章《平面向量》单元复习一、 知识点梳理本章，我们主要学习了向量的概念、表示及运算，平面向量的基本定理，向量共线、垂直的条件，向量在几何和物理问题中的简单应用.二、 学法指导1.学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比.而一维情形下向量的共线条件，到二维的情形下平面向量基本定理，进而今后推广到三维情形下的空间向量基本定理，又可进行纵向类比.2.在学习向量时或在学习向量后，要有意识地将向量与三角恒等变形，与几何、代数之间的相应内容进行有机的联系，并通过比较和感受向量在处理三角、几何、代数等不同数学分支问题中的独到之处和桥梁作用，认识数学的整体性.3.向量是数形结合的载体，在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，数形结合地解决数学和物理的有关问题.同时，向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段.因此，数形结合是本章最重要的数学思想方法. 三、 单元自测一、填空题(每小题5分，共70分)：1．已知平面向量(21,3),(,2)a m b m =+=，且a ∥b ，则实数m 的值等于 ． 2．已知：D 为△ABC 的边BC 上的中点，E 是AD 上的一点，且AE =3ED ，若AD a =，则EA +EB +EC =_____________．(用a 表示)3．若向量a b ，的夹角为60，1a b ==，则()a ab -= ．4．若平面内不共线的四点,,,O A B C 满足1233OB OA OC =+，则||||AB BC =_______． OAPQBab5．已知 |a |=7，|b |=4，|a +b |=9，则|a -b |=____________．6．设a =(-2，3)，则求与a 垂直的单位向量的坐标为______________________．7．己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,||2||21PP P P =， 则P 点坐标_____． 8．已知b a a b a λ+==与且),1,1(),2,1(的夹角为锐角，则实数λ的取值范围 ．9．已知ABC V 和点M 满足0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r .若存在实数m 使得AB AC mAM +=uu u r uu u r uuu r 成立，则m = ．10. 在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值是 ．11．在ABC ∆中，有命题：①BC AC AB =-； ②0AB BC CA ++=；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形； ④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形．其中正确的命题序号是 ．(把你认为正确的命题序号都填上)12．已知非零向量AB →和AC →满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC⋅=，则△ABC 形状为 .13．如图所示，在△ABC 中，0120,2,1,BAC AB AC D ∠===是边BC 上一点(包括端点)，则AD BC ⋅的取值范围是_ _______．14．已知,a b 是平面内两个单位向量，且夹角为60，若向量a c -与b c -的夹角为120，则c 的最大值是_________. 二、解答题(共90分)：15.(本小题14分)已知(1,0),(2,1).a b == (1)求|3|a b +；(2)当k 为何实数时, k a －b 与a +3b 平行, 平行时它们是同向还是反向？ 16．(本小题14分)已知向量a =(6，2)，b =(-3，k )，k 为何值时 (1)a //b ；BACODE(2)a ⊥b ；(3)a ，b 的夹角为钝角？17．(本小题14分)已知A 、B 、C 的坐标分别是A (3，0)，B (0，3)，C (cos α，sin α). (1)若AC BC =，求角α的值；(2)若1,AC BC ⋅=- 求22sin 2sin cos 1tan αααα++的值． 18．(本小题16分)如图，已知△OAB 中，点C 是点B 关于A 的对称点，点D 是线段OB 的一个靠近B 的 三等分点，DC 和OA 交于E ，设AB ＝a ，AO ＝b(1)用向量a 与b 表示向量OC 、CD ； (2)若,OE OA λ= 求实数λ的值．19．(本小题16分)已知(3,1)a =-，13(,)22b =，且存在实数k 和t ，使得2(3)x a t b =+-，y ka tb =-+，且x y ⊥，试求2k t t+的最小值． 20．(本小题16分)已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径．（1）判断BP CQ AP CB ⋅-⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由； （2）求BP CQ ⋅的最大值．AB CP Q。

第三课 平面向量[核心速填]1．向量的运算( 1 )加法:①OA →＋AB →＝OB →,②若四边形OABC 为平行四边形,则OA →＋OC →＝OB →. ( 2 )减法:OA →－OB →＝BA →. ( 3 )数乘:|λa |＝|λ||a |.( 4 )数量积:a·b ＝|a ||b |cos θ( a 与b 的夹角为θ )． 2．两个重要定理( 1 )向量共线定理:向量a ( a ≠0 )与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b ＝λa . ( 2 )平面向量基本定理:如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使a ＝λ1e 1＋λ2e 2,其中e 1,e 2是一组基底．3．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝( x 1,y 1 )b ＝( x 2,y 2 ),则:( 1 )a ∥b ⇔a ＝λb ( λ≠0 )⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. ( 2 )a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 4．平面向量的三个性质( 1 )若a ＝( x ,y ),则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. ( 2 )若A ( x 1,y 1 ),B ( x 2,y 2 ),则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.( 3 )若a ＝( x 1,y 1 ),b ＝( x 2,y 2 ),θ为a 与b 的夹角,则cos θ＝a·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. [体系构建][题型探究]平面向量的线性运算( 1 )平面上有A ( 2,－1 ),B ( 1,4 ),D ( 4,－3 )三点,点C 在直线AB 上,且AC→＝12BC →,连接DC 延长至E ,使|CE →|＝14|ED →|,则点E 的坐标为________．图2­1( 2 )如图2­1,在正五边形ABCDE 中,若AB →＝a ,BC →＝b ,CD →＝c ,DE →＝d ,EA →＝e ,求作向量a －c ＋b －d －e . 【2275】( 1 )⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－7 [( 1 )∵AC →＝12BC →,∴OC →－OA →＝12( OC →－OB →)．∴OC →＝2OA →－OB →＝( 3,－6 ), ∴点C 坐标为( 3,－6 )．由|CE →|＝14|ED →|,且E 在DC 的延长线上,∴CE →＝－14ED →.设E ( x ,y ),则( x －3,y ＋6 )＝－14( 4－x ,－3－y ),得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－1＋14x ，y ＋6＝34＋14y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝－7，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－7.( 2 )a －c ＋b －d －e ＝( a ＋b )－( c ＋d ＋e ) ＝( AB →＋BC → )－( CD →＋DE →＋EA →) ＝AC →－CA →＝AC →＋AC →.如图,连接AC ,并延长至点F ,使CF ＝AC ,则CF →＝AC →,所以AF →＝AC →＋AC →,即为所求作的向量a －c ＋b －d －e .][规律方法] 1.向量加法是由三角形法则定义的,要点是“首尾相连”,即AB →＋BC →＝AC →. 向量加法的平行四边形法则:将两向量移至共起点,分别为邻边作平行四边形,则同起点对角线的向量即为向量的和．加法满足交换律、结合律．2．向量减法实质是向量加法的逆运算,是相反向量的作用．几何意义有两个:一是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量;二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．3．数乘运算即通过实数与向量的乘积,实现同向或反向上向量长度的伸缩变换． [跟踪训练]1．如图2­2所示,在△ABC 中,AN →＝13NC →,P 是BN 上的一点,若AP →＝mAB →＋211AC →,则实数m的值为________．图2­2311[设BP →＝λBN →, 则BP →＝BA →＋AP →＝－AB →＋mAB →＋211AC →＝( m －1 )AB →＋211AC →.BN →＝BA →＋AN →＝－AB →＋14AC →.∵BP →与BN →共线,∴14( m －1 )＋211＝0,∴m ＝311.]平面向量数量积的运算( 1 )已知点A ( －1,1 )、B ( 1,2 )、C ( －2,－1 )、D ( 3,4 ),则向量AB →在CD→方向上的投影为( )A ．322B ．3152C ．－322D ．－3152( 2 )如图2­3,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ＝4,AD ＝3,CD ＝2,AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3,则AB →·AD →＝________. 【2276】图2­3( 1 )A ( 2 )32 [( 1 )AB →＝( 2,1 ),CD →＝( 5,5 ),向量AB →＝( 2,1 )在CD →＝( 5,5 )上的投影为|AB →|cos 〈AB →,CD →〉＝|AB →|·AB →·CD →|AB →||CD →|＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.( 2 )因为AC →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ AD →＋12AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫ － AB →＋23AD →＝－2－23AB →·AD →＝－3,所以AB →·AD →＝32.][规律方法] 向量数量积的求解策略 1利用数量积的定义、运算律求解.在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛,即a ＋b2＝a 2＋2a·b ＋b 2,a －b2＝a 2－2a·b ＋b 2,上述两公式以及a ＋b ·a －b ＝a 2－b 2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.2借助零向量.即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”,再合理地进行向量的移项以及平方等变形,求解数量积.3借助平行向量与垂直向量.即借助向量的拆分,将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积,借助a ⊥b ,则a·b ＝0等解决问题.4建立坐标系,利用坐标运算求解数量积. [跟踪训练]2．在边长为1的菱形ABCD 中,∠BAD ＝60°,E 是BC 的中点,则AC →·AE →等于( )A.3＋33B.92C. 3D.94D [建立如图平面直角坐标系,则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12.∴E 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫34，－14,∴AC →＝( 3,0 ),AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫334，－14,∴AC →·AE →＝3×334＝94.]平面向量的平行与垂直问题( 1 )已知向量m ＝( λ＋1,1 ),n ＝( λ＋2,2 ),若( m ＋n )⊥( m －n ),则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1( 2 )设A ,B ,C ,D 为平面内的四点,且A ( 1,3 ),B ( 2,－2 ),C ( 4,1 )． ①若AB →＝CD →,求D 点的坐标．②设向量a ＝AB →,b ＝BC →,若k a －b 与a ＋3b 平行,求实数k 的值. ( 1 )B [( 1 )因为m ＋n ＝( 2λ＋3,3 ),m －n ＝( －1,－1 ),且( m ＋n )⊥( m －n ),所以( m ＋n )·( m －n )＝－2λ－3－3＝0, 解得λ＝－3. ( 2 )①设D ( x ,y )． 因为AB →＝CD →,所以( 2,－2 )－( 1,3 )＝( x ,y )－( 4,1 ), 化为( 1,－5 )＝( x －4,y －1 ),所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝1，y －1＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，所以D ( 5,－4 )．②因为a ＝AB →＝( 2,－2 )－( 1,3 )＝( 1,－5 ),b ＝BC →＝( 4,1 )－( 2,－2 )＝( 2,3 ), 所以k a －b ＝k ( 1,－5 )－( 2,3 )＝( k －2,－5k －3 ),a ＋3b ＝( 1,－5 )＋3( 2,3 )＝( 7,4 )．因为k a －b 与a ＋3b 平行,所以7( －5k －3 )－4( k －2 )＝0, 解得k ＝－13.所以k ＝－13.]母题探究:1.将例3( 2 )②中的“BC →”改为“AC →”,“平行”改为“垂直”,求实数k 的值．[详细解析] 因为a ＝AB →＝( 1,－5 ),b ＝AC →＝( 3,－2 ), 所以k a －b ＝( k －3,－5k ＋2 ),a ＋3b ＝( 10,－11 ),因为( k a －b )⊥( a ＋3b ),所以( k a －b )·( a ＋3b )＝10( k －3 )－11( －5k ＋2 ) ＝65k －52＝0, 解得k ＝5265.2．在例3( 2 )中若A ,B ,D 三点共线,且AC ⊥CD ,求点D 的坐标． [详细解析] 设点D 的坐标为( x ,y ),则 AB →＝( 1,－5 ),AD →＝( x －1,y －3 ), AC →＝( 3,－2 ),CD →＝( x －4,y －1 ),由题意得AB →∥AD →,AC →⊥CD →,所以⎩⎪⎨⎪⎧－5x －1－y －3＝0，3x －4－2y －1＝0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y ＝8，3x －2y ＝10，解得x ＝2,y ＝－2,所以点D 的坐标为( 2,－2 )．[规律方法] 1.证明共线问题常用的方法( 1 )向量a ,b ( a ≠0 )共线⇔存在唯一实数λ,使b ＝λa . ( 2 )向量a ＝( x 1,y 1 ),b ＝( x 2,y 2 )共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. ( 3 )向量a 与b 共线⇔|a ·b |＝|a ||b |.( 4 )向量a 与b 共线⇔存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a ＋λ2b ＝0. 2．证明平面向量垂直问题的常用方法a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0,其中a ＝( x 1,y 1 ),b ＝( x 2,y 2 ).平面向量的模、夹角( 1 )已知向量a ,b 夹角为45°,且|a |＝1,|2a －b |＝10,则|b |＝________. ( 2 )已知c ＝m a ＋n b ,c ＝( －23,2 ),a ⊥c ,b 与c 的夹角为2π3,b·c ＝－4,|a |＝22,求实数m ,n 的值及a 与b 的夹角θ. 【2278】( 1 )32 [( 1 )因为向量a ,b 夹角为45°, 且|a |＝1,|2a －b |＝10, 所以4a 2＋b 2－4a·b ＝10,化为4＋|b |2－4|b |cos 45°＝10,化为|b |2－22|b |－6＝0,因为|b |≥0, 解得|b |＝3 2.( 2 )∵c ＝( －23,2 ),∴|c |＝4.∵a ⊥c ,∴a·c ＝0. ∵b·c ＝|b ||c |cos 2π3＝|b |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4, ∴|b |＝2.∵c ＝m a ＋n b ,∴c 2＝m a·c ＋n b·c , ∴16＝n ×( －4 ),∴n ＝－4. 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以a , 得0＝8m －4a·b .① 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以b ,得m a·b ＝12. ②由①②,得m ＝±6, ∴a·b ＝±26,∴cos θ＝±2622×2＝±32,∴θ＝π6或5π6.][规律方法] 1.解决向量模的问题常用的策略 ( 1 )应用公式:|a |＝x 2＋y 2( 其中a ＝( x ,y ) )． ( 2 )应用三角形或平行四边形法则．( 3 )应用向量不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. ( 4 )研究模的平方|a ±b |2＝( a ±b )2. 2．求向量的夹角设非零向量a ＝( x 1,y 1 ),b ＝( x 2,y 2 ),两向量夹角θ( 0≤θ≤π )的余弦cos θ＝a·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. [跟踪训练]3．已知向量a ＝( 1,2 ),b ＝( －2,－4 ),|c |＝5,若( c －b )·a ＝152,则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°C [a·b ＝－10,则( c －b )·a ＝c·a －b·a ＝c·a ＋10＝152,所以c·a ＝－52,设a 与c 的夹角为θ,则cos θ＝a·c |a |·|c |＝－525×5＝－12,又θ∈[0°,180°],所以θ＝120°.]平面向量在平面几何和物理中的应用( 1 )用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体,如图2­4所示,已知物体的重力大小为10 N,则每根绳子的拉力大小是________．图2­4( 2 )如图2­5所示,在正方形ABCD 中,P 为对角线AC 上任一点,PE ⊥AB ,PF ⊥BC ,垂足分别为E ,F ,连接DP ,EF ,求证:DP ⊥EF . 【2279】图2­5( 1 )10 N [因绳子等长,所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等,且等于60°,故每根绳子的拉力大小都是10 N ．]( 2 )证明:法一:( 基向量法 )设正方形ABCD 的边长为1,AE ＝a ( 0＜a ＜1 ),则EP ＝AE ＝a ,PF ＝EB ＝1－a ,AP ＝2a ,∴DP →·EF →＝( DA →＋AP → )·( EP →＋PF → )＝DA →·EP →＋DA →·PF →＋AP →·EP →＋AP →·PF →＝1×a ×cos 180°＋1×( 1－a )×cos 90°＋2a ×a ×cos 45°＋2a ×( 1－a )×cos 45°＝－a ＋a 2＋a ( 1－a )＝0,∴DP →⊥EF →,即DP ⊥EF .法二:( 坐标法 )设正方形边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,设P ( x ,x ),则D ( 0,1 ),E ( x,0 ),F ( 1,x ),所以DP →＝( x ,x －1 ),EF →＝( 1－x ,x ), 由DP →·EF →＝x ( 1－x )＋x ( x －1 )＝0, 所以DP →⊥EF →,即DP ⊥EF .[规律方法] 平面向量两个方面的应用 ( 1 )平面几何应用向量 几何问题共线向量 点共线问题、直线与直线平行数乘向量 求线段长度之比数量积线段的长度、直线与直线的夹角( 2 )物理应用:速度、位移、力、功． [跟踪训练]4．已知点O ,N ,P 在△ABC 所在平面内,且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|,NA →＋NB →＋NC →＝0,PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →,则点O ,N ,P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心C [因为点O 到△ABC 的三个顶点距离相等, 所以点O 是△ABC 的外心．因为NA →＋NB →＋NC →＝0,所以NA →＋NB →＝－NC →, 设线段AB 的中点为M ,则2NM →＝－NC →.由此时可知N 为AB 边中线的三等分点( 靠近中点M ) 所以N 是△ABC 的重心．因为PA →·PB →＝PB →·PC →,所以PB →·( PA →－PC →)＝0, 即PB →·CA →＝0,所以PB →⊥CA →.同理由PB →·PC →＝PC →·PA →可证PC →⊥AB →,所以P 是△ABC 的垂心．]。

第二章平面向量学习目标 1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用.1.向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).向量运算法则(或几何意义)坐标运算向量的线性运算加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λa＝(λx1，λy1)向量的数量积运算a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)规定0·a＝0，数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积a·b＝x1x2＋y1y22.两个定理(1)平面向量基本定理①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.②基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 3.向量的平行与垂直a ，b 为非零向量，设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b有唯一实数λ使得b ＝λa (a ≠0)x 1y 2－x 2y 1＝0a ⊥ba ·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0类型一 向量的线性运算例1 如图所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________.答案311解析 设BP →＝λBN →，则BP →＝BA →＋AP →＝－AB →＋mAB →＋211AC →＝(m －1)AB →＋211AC →.BN →＝BA →＋AN →＝－AB →＋14AC →.∵BP →与BN →共线，∴14(m －1)＋211＝0，∴m ＝311.反思与感悟 向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.跟踪训练1 在△ABC 中，E 为线段AC 的中点，试问在线段AC 上是否存在一点D ，使得BD →＝13BC →＋23BE →，若存在，说明D 点位置；若不存在，说明理由.解 假设存在D 点，使得BD →＝13BC →＋23BE →.BD →＝13BC →＋23BE →⇒BD →＝13BC →＋23(BC →＋CE →)＝BC →＋23CE →⇒BD →－BC →＝23CE →⇒CD →＝23CE →⇒CD →＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CA →⇒CD →＝13CA →.所以当点D 为AC 的三等分点⎝⎛⎭⎪⎫CD →＝13CA →时，BD →＝13BC →＋23BE →.类型二 向量的数量积运算例2 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0). (1)用k 表示数量积a ·b ；(2)求a ·b 的最小值，并求出此时a 与b 的夹角θ的大小. 解 (1)由|k a ＋b |＝3|a －k b |， 得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，∴k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2. ∴(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0.∵|a |＝cos 2α＋sin 2α＝1，|b |＝cos 2β＋sin 2β＝1， ∴k 2－3＋8k a ·b ＋1－3k 2＝0， ∴a ·b ＝2k 2＋28k ＝k 2＋14k.(2)a ·b ＝k 2＋14k ＝14(k ＋1k).由函数的单调性可知，f (k )＝14(k ＋1k)在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴当k ＝1时，f (k )min ＝f (1)＝14×(1＋1)＝12，此时a 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，∴θ＝60°.反思与感悟 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题： (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)求向量的夹角和模的问题 ①设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21. ②两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 跟踪训练2 已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m )). (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值. 解 (1)若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线， ∵OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， OC →＝(5－m ，－(3＋m ))，∴AB →＝(3，1)，BC →＝(－m －1，－m )， ∵AB →与BC →不平行，∴－3m ≠－m －1，解得m ≠12，∴当实数m ≠12时满足条件.(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →，而AB →＝(3，1)，AC →＝(2－m ，1－m )， ∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74.类型三 向量坐标法在平面几何中的应用例3 已知在等腰△ABC 中，BB ′，CC ′是两腰上的中线，且BB ′⊥CC ′，求顶角A 的余弦值的大小.解 建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，C (c ，0)，则B (－c ，0)，OA →＝(0，a )，BA →＝(c ，a )，OC →＝(c ，0)，BC →＝(2c ，0).因为BB ′，CC ′为AC ，AB 边上的中线， 所以BB ′—→＝12(BC →＋BA →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，a 2，同理CC ′—→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3c 2，a 2.因为BB ′—→⊥CC ′—→，所以BB ′—→·CC ′—→＝0， 即－9c 24＋a 24＝0，化简得a 2＝9c 2，又因为cos A ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45.即顶角A 的余弦值为45.反思与感悟 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.跟踪训练3 如图，半径为3的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在上，且∠COB ＝30°，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于( )A. 3B.33C.433D.2 3 答案 A解析 由题意，得∠AOC ＝90°，故以O 为坐标原点，OC ，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则O (0，0)，A (0，3)，C (3，0)，B (3×cos 30°，－3×sin 30°)， 因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以(3，0)＝λ(0，3)＋μ(3×32，－3×12)， 即⎩⎪⎨⎪⎧3＝μ×3×32，0＝3λ－3×12μ，则⎩⎪⎨⎪⎧μ＝233，λ＝33，所以λ＋μ＝ 3.1.在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA →·AB →等于( ) A.2 B.－2C.|AB →|cos A D.与菱形的边长有关答案 B解析 如图，设对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＝AO →＋OB →.CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →) ＝－2＋0＝－2.2.设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( ) A.20 B.15 C.9 D.6答案 C解析 ▱ABCD 的图象如图所示，由题设知，AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34AD →，NM →＝13AB →－14AD →，∴AM →·NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14AD →＝13|AB →|2－316|AD →|2＋14AB →·AD →－14AB →·AD →＝13×36－316×16＝9. 3.已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( ) A.12 B.2 C.－12 D.－2 答案 D解析 m a ＋4b ＝(2m －4，3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1). ∵m a ＋4b 与a －2b 共线，∴(2m －4)×(－1)－(3m ＋8)×4＝0，解得m ＝－2.4.若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________. 答案 2 5解析 由题意可知，△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长|OA →|＝|OB →|＝10，由勾股定理得|AB →|＝20＝2 5.5.平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，若存在不同时为0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x⊥y ，试求函数关系式k ＝f (t ). 解 由a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，得a·b ＝0，|a |＝2，|b |＝1，由x ⊥y ，得[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0， －k a 2＋t a·b －k (t 2－3)a·b ＋t (t 2－3)b 2＝0， 即－4k ＋t 3－3t ＝0，所以k ＝14(t 3－3t )，令f (t )＝14(t 3－3t )，所以函数关系式为k ＝f (t )＝14(t 3－3t ).1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.课时作业一、选择题1.下列命题中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB → B.AB →＋BA →＝0 C.0·AB →＝0 D.AB →＋BC →＋CD →＝AD → 答案 D解析 OA →－OB →＝BA →；AB →，BA 是一对相反向量，它们的和应该为零向量，即AB →＋BA →＝0；0·AB →＝0.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →等于( ) A.5 B.4 C.3 D.2 答案 A解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5.3.设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.6答案 B解析 ∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，∴x ＝3.4.若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( ) A.(－3，6) B.(3，－6) C.(6，－3) D.(－6，3)答案 A解析 设b ＝k a ＝(k ，－2k )，k ＜0，而|b |＝35，则5k 2＝35，∴k ＝－3，b ＝(－3，6).5.已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 答案 B6.在△ABC 中，若AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →－CA →·BC →，则△ABC 是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形答案 C解析 由已知，得AB →·(AB →－AC →)－BC →·(BA →－CA →)＝0， ∴AB →·CB →－BC →·BC →＝0，∴BC →·(－AB →－BC →)＝0，即－BC →·AC →＝0，BC →⊥AC →， ∴BC ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形.故选C.7.若a ，b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角θ的大小为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案 B解析 ∵a 2－2a ·b ＝0，b 2－2a ·b ＝0， ∴a 2＝b 2，|a |＝|b |，又∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝12a 2|a |2＝12，θ∈[0，π]，∴θ＝π3.8.如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F .设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 答案 C解析 令BF →＝λBE →.由题可知，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →＝(1－λ)AB →＋12λAC →.令CF →＝μCD →，则AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋μCD →＝AC →＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－AC →＝12μAB →＋(1－μ)AC →.由⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝12μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以AF →＝13AB →＋13AC →，故选C.二、填空题9.若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为________. 答案238解析 由题意知(3a ＋5b )·(m a －b )＝3m a 2＋(5m －3)a·b －5b 2＝0，即3m ＋(5m －3)×2×cos 60°－5×4＝0，解得m ＝238.10.已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.答案 711.在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且|BO →|＝3|CO →|，当AO →＝xAB →＋yAC →时，x －y ＝________.答案 －2解析 由|BO →|＝3|CO →|，得BO →＝3CO →，则BO →＝32BC →， 所以AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋32BC →＝AB →＋32(AC →－AB →) ＝－12AB →＋32AC →. 所以x ＝－12，y ＝32，所以x －y ＝－12－32＝－2. 12.已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 方向上的投影是________. 答案 1解析 ∵|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，∴b 在a 方向上的投影是|b |cos 60°＝1.13.已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________.答案 712解析 ∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝－λAB →2＋(λ－1)AB →·AC →＋AC →2＝－9λ＋(λ－1)×3×2×(－12)＋4＝0， ∴λ＝712. 三、解答题14.若OA →＝(sin θ，－1)，OB →＝(2sin θ，2cos θ)，其中θ∈[0，π2]，求|AB →|的最大值.解 ∵AB →＝OB →－OA →＝(sin θ，2cos θ＋1)⇒|AB →|＝sin 2θ＋4cos 2θ＋4cos θ＋1＝3cos 2θ＋4cos θ＋2＝ 3(cos θ＋23)2＋23， ∴当cos θ＝1，即θ＝0时，|AB →|取得最大值3.四、探究与拓展15.已知OA →＝(1，0)，OB →＝(0，1)，OM →＝(t ，t )(t ∈R )，O 是坐标原点.(1)若A ，B ，M 三点共线，求t 的值；(2)当t 取何值时，MA →·MB →取到最小值？并求出最小值.解 (1)AB →＝OB →－OA →＝(－1，1)，AM →＝OM →－OA →＝(t －1，t ).∵A ，B ，M 三点共线，∴AB →与AM →共线， ∴－(t －1)－t ＝0，∴t ＝12. (2)∵MA →＝(1－t ，－t )，MB →＝(－t ，1－t )，∴MA →·MB →＝2t 2－2t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－12，易知当t ＝12时，MA →·MB →取得最小值－12.。

aaa平面向量复习教案一、教学目标1．知识与技能：通过复习本章知识点，提高综合运用知识的能力”. 2．过程与方法：通过知识回顾，例题分析，强化训练，体现向量的工具作用. 3．情感态度与价值观：通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.三、重点难点教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题. 教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.四、教学设想一、基础知识：（一）平面向量的计算及其性质： （1）+=+；（2）（-+=-；平行四边形法则三角形法则（3）)0(,≠=a a b λ⇔和共线；（4a的模（即长度）0≥（5+≤+≤-+≤-≤-。

（6）θcos =⋅，其中θ为向量和的夹角。

==（7）()()⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+；那么()()___=+⋅- （8）⊥⇔=⋅0 （二）向量的坐标表示和运算：在平面中，若,不共线（可作为平面的一组基底），则任意向量，有且只有一组数（y x ,）使得y x +=当我们选定的一组基为直角坐标系上两互相垂直的单位向量和，则平面任意向量可以表示成y x +=，那么任意向量和坐标平面上的一个点坐标相对应，如图所示，即),(y x =， （1）设),(),,(2211y x y x ==则=+=-=a λ=⋅ba=；若//，则；⊥，则；（填坐标关系）（2）已知点),(11y x A 、),(22y x B 则向量=AB=；二、例题选讲（一）加减运算。

第二章 平面向量2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1 平面向量基本定理 [A 组 学业达标]1．若k 1a ＋k 2b ＝0，则k 1＝k 2＝0，那么下面关于向量a ，b 的判断正确的是( )A ．a 与b 一定共线B ．a 与b 一定不共线C ．a 与b 垂直D ．a 与b 中至少有一个为0解析：由平面向量基本定理可知，当a ，b 不共线时，k 1＝k 2＝0. 答案：B2.如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足 ( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0解析：取第Ⅲ部分内一点画图易得a >0，b <0. 答案：B3．如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有( )①λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ，μ有无数多对；③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；④若实数λ，μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2 ＝0时，这样的λ有无数个．故选B. 答案：B4．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →＝2DC →，设AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →可用基底a ，b 表示为 ( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13b C.13a ＋23b D.13(a ＋b ) 解析：∵BD →＝2DC →，∴BD →＝23BC →.∴AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝13a ＋23b .答案：C5．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，试用m ，n 表示p ，p ＝________．解析：设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3，－3x －2y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝－74，y ＝138.所以p ＝－74m ＋138n .答案：－74m ＋138n6．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y ＝________．解析：∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3.答案：37．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．解析：易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.答案：128．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB＝k (k ≠1)．设AD →＝e 1，AB →＝e 2，选择基底{e 1，e 2}，试写出下列向量在此基底下的分解式：DC →，BC →，MN →. 解析：如图，∵AB →＝e 2，且DC AB＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2.又∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－DA →＝－AB →＋DC →＋AD →＝－e 2＋k e 2＋e 1＝e 1＋(k －1)e 2. ∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，∴MN →＝－NB →－BA →－AM →＝BN →＋AB →－AM →＝12BC →＋e 2－12AD →＝12[e 1＋(k －1)e 2]＋e 2－12e 1＝k ＋12e 2. 9．在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上且AN →＝2NC →，AM 交BN 于P 点，求AP与AM 的比值．解析：设BM →＝a ，CN →＝b ，则AM →＝AC →＋CM →＝－a －3b ，BN →＝2a ＋b . ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线， ∴存在实数λ，μ使AP →＝λAM →＝－λa －3λb ， BP →＝μBN →＝2μa ＋μb .∴BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)a ＋(3λ＋μ)b . 又∵BA →＝BC →＋CA →＝2a ＋3b ，由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35，则AP →＝45AM →.∴AP 与AM 的比值为45.[B 组 能力提升]10．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →＝( )A ．a ＋λbB ．λa ＋bC ．λa ＋(1＋λ)bD.a ＋λb 1＋λ解析：∵P 1P →＝λPP 2→，∴OP →－OP 1→＝λ(OP 2→－OP →)，(1＋λ)OP →＝λOP 2→＋OP 1→，∴OP →＝a ＋λb1＋λ.答案：D11.如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝( )A ．1 B.43 C.23D.56解析：AF →＝mAB →＋nAC →＝mAB →＋2nAE →， 由B ，F ，E 三点共线，得m ＋2n ＝1，① AF →＝mAB →＋nAC →＝2mAD →＋nAC →， 由C ，F ，D 三点共线，得2m ＋n ＝1，② ①＋②得3(m ＋n )＝2，m ＋n ＝23.答案：C12．设G 为△ABC 的重心，O 为坐标原点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示OG →，则OG →＝________．解析：OG →＝OC →＋CG →＝OC →＋13(CA →＋CB →)＝OC →＋13(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝13(a ＋b ＋c )．答案：13(a ＋b ＋c )13．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________．(用e 1，e 2表示)解析：如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.答案：－23e 1＋512e 214．已知△ABC 内一点P 满足AP →＝λAB →＋μAC →，若△P AB 的面积与△ABC 的面积之比为1∶3，△P AC 的面积与△ABC 的面积之比为1∶4，求实数λ，μ的值．解析：如图，过点P 作PM ∥AC ，PN ∥AB ，则AP →＝AM →＋AN →，所以AM →＝λAB →，AN →＝μAC →.作PG ⊥AC 于点G ，BH ⊥AC 于点H . 因为S △P AC S △ABC ＝14，所以PG BH ＝14.又因为△PNG ∽△BAH ，所以PG BH ＝PN AB ＝14，即AM AB ＝14，所以λ＝14，同理μ＝13. 15．如图，已知三点O ，A ，B 不共线，且OC →＝2OA →，OD →＝3OB →，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)试用a ，b 表示向量OE →；(2)设线段AB ，OE ，CD 的中点分别为L ，M ，N ，试证明：L ，M ，N 三点共线．解析：(1)∵B ，E ，C 三点共线， ∴OE →＝xOC →＋(1－x )OB →＝2x a ＋(1－x )b .①同理，∵A ，E ，D 三点共线，∴OE →＝y a ＋3(1－y )b .②比较①②，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ，1－x ＝3（1－y ），解得x ＝25，y ＝45，∴OE →＝45a ＋35b .(2)证明：∵OL →＝a ＋b 2，OM →＝12OE →＝4a ＋3b 10，ON →＝12(OC →＋OD →)＝2a ＋3b 2，∴MN →＝ON →－OM→＝6a ＋12b 10，ML →＝OL →－OM →＝a ＋2b10， ∴MN →＝6ML →，又MN →与ML →有公共点M ， ∴L ，M ，N 三点共线．。