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第2讲概率、随机变量及其分布列1．计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；2．概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”．1．概率模型公式及相关结论 (1)古典概型的概率公式．P (A )＝m n ＝事件A 中所含的基本事件数试验的基本事件总数．(2)几何概型的概率公式．P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．(3)条件概率．在A 发生的条件下B 发生的概率：P (B |A )＝P （AB ）P （A ）．(4)相互独立事件同时发生的概率：若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )． (5)若事件A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，P (A )＝1－P (A )． 2．独立重复试验与二项分布如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k(1－p )n －k，k ＝0，1，2，…，n ．用X 表示事件A 在n 次独立重复试验中发生的次数，则X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )且P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ． 3．超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C C C k n kM N Mn N--，k ＝0，1，2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，此时称随机变量X 服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M ，N ，n ． 4．离散型随机变量的均值、方差 (1)离散型随机变量ξ的分布列为：离散型随机变量ξi ②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1(i ＝1，2，3，…，n )．(2)E (ξ)＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量ξ的数学期望或均值．D (ξ)＝(x 1－E (ξ))2·p 1＋(x 2－E (ξ))2·p 2＋…＋(x i －E (ξ))2·p i ＋…＋(x n －E (ξ))2·p n 叫做随机变量ξ的方差．(3)数学期望、方差的性质．①E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b ，D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)． ②X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． ③X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )．热点一 随机变量的分布列、均值与方差【例1】(2019·黄山一模)2015年11月27日至28日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到2020年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会．黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫开发工作的重要论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显．贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一．据了解，为了帮助杨老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访，其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为14，扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为13，帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为12． （Ⅰ）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率；（Ⅱ）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）杨老汉对三位帮扶人员非常满意，他对别人说:“他家平均每天至少有1人走访”．请问：他说的是真的吗？解(Ⅰ)设帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的事件为A ，则P (P )=12×12×12×12=116，∴帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为116． （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P (P =0)=34×23×12=14；P (P =1)=14×23×12+34×13×12+34×23×12=1124； P (P =2)=14×13×12+14×23×12+34×13×12=14； P (P =3)=14×13×12=124．随机变量X 的分布列为：（Ⅲ）P (P )=1124+12+18=1312，所以P (P )>1，所以杨老汉说的是真的．探究提高 1．求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列．2．对于实际问题中的随机变量X ，如果能够断定它服从二项分布B (n ，p )，则其概率、期望与方差可直接利用公式P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )，E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )求得．【训练1】(2017·西安二模)中国铁路客户服务中心为方便旅客购买车票，推出三种购票方式：窗口购票、电话购票、网上购票，旅客任选一种购票方式．若甲、乙、丙3名旅客都准备购买火车票，并且这3名旅客选择购票的方式是相互独立的．(1)求这三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率；(2)记这三名旅客购票方式的种数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解 (1)记“三名旅客中恰有两人选择网上购票”为事件A ，“三名旅客都选择网上购票”为事件B ，且A ，B 互斥．则P (A )＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝29，P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127．因此，三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率P ＝P (A )＋P (B )＝727．(2)由题意，ξ的所有可能取值为1，2，3，则P (ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝19； P (ξ＝2)＝C 23×23A ×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝23； P (ξ＝3)＝33A ×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝29． 所以随机变量ξ的分布列为：故ξ的期望E (ξ)＝1×19＋2×23＋3×9＝9．热点二 概率与统计的综合问题【例2】(2018·德州期末)在创新“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分P ∼P (P，198)，P 近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求P (38．2<P ≤80．2)；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于P的可以获赠2次随机话费，得分低于P的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲参加此次问卷调查，记P（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求P的分布列与数学期望．附：参考数据与公式：√198≈14，若P∼P(P，P2)，则P(P−P<P≤P+P)=0．6826，P(P−2P< P≤P+2P)=0．9544，P(P−3P<P≤P+3P)=0．9974．解（1）由题意得：3544513552165257524851195466.2100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴P=66．2，∵P=√198≈14，∴P(66．2−14<P≤66．2+14)=P(52．2<P≤80．2)=0．6826，P(66．2−2×14<P≤66．2+2×14)=P(38．2<P≤94．2)=0．9544，∴P(38．2<P≤52．2)=12[P(38．2<P≤94．2)−P(52．2<P≤80．2)]=0．1359综上，P(38．2<P≤80．2)=P(38．2<P≤52．2)+P(52．2<P≤80．2)]=0．1359+0．6826= 0．8185．（2）由题意知，P(P<P)=P(P≥P)=12，获赠话费P的可能取值为20，40，50，70，100，P(P=20)=12×34=38；P(P=40)=12×34×34=932；P(P=50)=12×14=18；P(P=70)=12×34×14+12×14×34=316，P(P=100)=12×14×14=132；P的分布列为：∴PP=20×38+40×932+50×18+70×316+100×132=1654．探究提高本题考查统计与概率的综合应用，意在考查考生的识图能力和数据处理能力．此类问题多涉及相互独立事件、互斥事件的概率，在求解时，要明确基本事件的构成．【训练2】(2017·全国Ⅰ卷改编)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数， 求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得x －＝116∑16i ＝1x i ＝9．97，s ==0．212， 其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1，2， (16)用样本平均数x －作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ(精确到0．01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0．997 4，0．997 416≈0．959 2， 0.008≈0．09．解 (1)由题可知尺寸落在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0．997 4， 落在 (μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0．002 6．由题可知X ～B (16，0．002 6)，P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0．997 416≈0．040 8． ∴E (X )＝16×0．002 6＝0．041 6．(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0．002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0．040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x ＝9．97，s ≈0．212，得μ的估计值为μ^＝9．97，σ的估计值为σ^＝0．212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9．22，剩下数据的平均数为115×(16×9．97－9．22)＝10．02．因此μ的估计值为10．02．1．(2018·全国I卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为P(0<P<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为P(P)，求P(P)的最大值点P0．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为P，求PP;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？1．(2017·邯郸质检)2017年4月1日，国家在河北省白洋淀以北的雄县、容城、安新3县设立雄安新区，这是继深圳经济特区和上海浦东新区之后又一具有全国意义的新区，是千年大计、国家大事。
