利用相似三角形和解直角三角形解决影子问题

解直角三角形及相似三角形运用难题及答案1．（2009•西城区一模）已知：，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．【分析】（1）作辅助线，过点A作AE⊥PB于点E，在Rt△PAE中，已知∠APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt△ABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△PAD ≌△P'AB，求PD长即为求P′B的长，在Rt△AP′P中，可将PP′的值求出，在Rt△PP′B中，根据勾股定理可将P′B的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在Rt△AEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在Rt△PFG中，可求出PF，在Rt△PDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；（2）将△PAD绕点A顺时针旋转90°，得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，故当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，根据P'B=PP'+PB可求P'B的最大值，此时∠APB=180°﹣∠APP'=135°．【解答】解：（1）①如图，作AE⊥PB于点E，∵△APE中，∠APE=45°，PA=，∴AE=PE=×=1，∵PB=4，∴BE=PB﹣PE=3，在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∴AB==．②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，PD=P'B，PA=P'A．∴∠PAP'=90°，∠APP'=45°，∠P'PB=90°∴PP′=PA=2，∴PD=P′B===；解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的延长线交PB于G．在Rt△AEG中，可得AG===，EG=，PG=PE﹣EG=．在Rt△PFG中，可得PF=PG•cos∠FPG=PG•cos∠ABE=，FG=．在Rt△PDF中，可得，PD===．（2）如图所示，将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′=PA=2，PB=4，且P、D两点落在直线AB的两侧，∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）此时P'B=PP'+PB=6，即P'B的最大值为6．此时∠APB=180°﹣∠APP'=135度．【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过程中要求学生充分发挥想象空间，确定P′B取得最大值时点P′的位置．2．（2012•渝北区一模）如图1，在平面直角坐标系中有一个Rt△OAC，点A（3，4），点C（3，0）将其沿直线AC翻折，翻折后图形为△BAC．动点P从点O出发，沿折线0⇒A ⇒B的方向以每秒2个单位的速度向B运动，同时动点Q从点B出发，在线段BO上以每秒1个单位的速度向点O运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）设△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）如图2，固定△OAC，将△ACB绕点C逆时针旋转，旋转后得到的三角形为△A′CB′设A′B′与AC交于点D当∠BCB′=∠CAB时，求线段CD的长；（3）如图3，在△ACB绕点C逆时针旋转的过程中，若设A′C所在直线与OA所在直线的交点为E，是否存在点E使△ACE为等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据勾股定理和折叠的性质易求得OA=AB=5，OB=6，可用t表示出OP、OQ的长，分两种情况讨论：①点P在线段OA上运动，即0≤t≤2.5，以OQ为底，OP•sin∠AOC为高，即可得S、t的函数关系式；②点P在线段AB上运动，即2.5＜t≤5，以OQ为底，BP•sin∠ABC为高，即可得S、t的函数关系式．（2）若∠BCB′=∠CAB，那么∠DCB′、∠ABC为等角的余角，而根据旋转的性质知：∠ABC=∠B′，通过等量代换后可发现此时D点是斜边A′B′的中点，即CD=A′B′，由此得解．（3）首先根据A点坐标，求出直线OP的解析式，然后设出点E的坐标；再根据A、C的坐标，分别表示出AE2、CE2的长，然后分三种情况讨论：①AE=CE，②AE=AC，③CE=AC；根据上述三种情况所得不同等量关系，即可求得符合条件的E点坐标．【解答】解：（1）由题意知：OA=AB=5，OC=BC=3，OB=6；P从O→A→B，所用的总时间为：（5+5）÷2=5s；Q从B→O所用的总时间为：6÷1=6；因此t的取值范围为：0≤t≤5；①当0≤t≤2.5时，点P在线段OA上；OP=2t，OQ=OB﹣BQ=6﹣t；∴S=×2t××（6﹣t）=﹣t2+t；②当2.5≤t≤5时，点P在线段AB上；OP=2t，BP=10﹣2t，OQ=6﹣t；∴S=×（10﹣2t）××（6﹣t）=t2﹣t+24；综上可知：S=．（2）∵∠BCB′=∠CAB，∴∠DCB′=∠ABC=90°﹣∠CAB=90°﹣∠BCB′，由旋转的性质知：∠ABC=∠B′，即∠DCB′=∠B′；∴∠A′=∠A′CD=90°﹣∠DCB′=90°﹣∠B′，∴A′D=DB′=CD，即CD=A′B′=AB=2.5．（3）由A（3，4），可得直线OA：y=x；设点E（x，x），已知A（3，4），C（3，0）；∴AE2=（x﹣3）2+（x﹣4）2，CE2=（x﹣3）2+（x）2，AC=4；①当AE=CE时，AE2=CE2，则有：（x﹣3）2+（x﹣4）2=（x﹣3）2+（x）2，解得x=，∴E1（，2）；②当AE=AC时，AE2=AC2=16，则有：（x﹣3）2+（x﹣4）2=16，整理得：25x2﹣150x+81=0，解得：x=，x=；∴E2（，），E3（，）；③当CE=AC时，CE2=AC2=16，则有：（x﹣3）2+（x）2=16，整理得：25x2﹣54x﹣63=0，解得：x=﹣，x=3（舍去）；∴E4（﹣，﹣）；综上可知：存在符合条件的E点：E1（，2），E2（，），E3（，），E4（﹣，﹣）．【点评】此题是一次函数的综合题，涉及到图形的旋转、图形面积的求法、等腰三角形的构成情况等知识，难度较大．3．如图，在直角坐标系中，点A坐标为（1，0），点B坐标为（0，1），E、F是线段AB 上的两个动点，且∠EOF=45°，过点E、F分别作x轴和y轴的垂线CE、DF相交于点P，垂足分别为C、D、设P点的坐标为（x，y），令xy=k，（1）求证：△AOF∽△BEO；（2）当OC=OD时，求k的值；（3）在点E、F运动过程中，点P也随之运动，探索：k是否为定值？请证明你的结论．【分析】（1）要证明△AOF∽△BEO，由题意可知OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAF=∠OBE=45°，看边角关系，只要证∠AOF=∠BEO即可∠AOF=∠AOE+∠EOF，∠BEO=∠OAF+∠AOE；∵∠EOF=45°，∴∠AOF=∠BEO．问题得证．（2）当OC=OD时，作OM⊥AB于M，，由OC=OD，OA=OB=1，可以得到CE=DF，又∠OCE=∠ODF，∴△OCE≌△ODF，故有OF=OE，，而∠COE=∠AOM﹣∠EOM=45°﹣22.5°=22.5°=∠EOM，∴，k值可求．（3）假设k的值为定值，即PC•PD=定值，作FK⊥OA于点K，EH⊥OB于点H，由△AOF∽△BEO得，∴AF×BE=OA×OB=1，，于是FK=1，即HE×FK=，，问题可求．【解答】（1）证明：由题意得OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAF=∠OBE=45°；又∵∠AOF=∠AOE+∠EOF，∠BEO=∠OAF+∠AOE；∠EOF=45°，∴∠AOF=∠BEO，∴△AOF∽△BEO．（2）解：作OM⊥AB于M，则∵OC=OD，OA=OB=1，∴CE=DF，又∵∠OCE=∠ODF，∴△OCE≌△ODF，∴OF=OE，∵，又∠COE=∠AOM﹣∠EOM=45°﹣22.5°=22.5°=∠EOM∴，∴．（3）解：如图，作FK⊥OA于点K，EH⊥OB于点H，∵△AOF∽△BEO，∴，∴AF×BE=OA×OB=1，∵，∴FK=1，即HE×FK=，∴，∴k的值为定值．【点评】本题综合运用了全等、相似三角形的判定和性质，及三角形的内外角关系等，来解题，综合性强，属能力拔高题．4．（2015•抚顺）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）【分析】（1）首先过点D作DF⊥BC，交AB于点F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；（2）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案；（3）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案．【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；（2）解：DE=AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴=，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD；（3）AD=DE•tanα；理由：如图2，∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，∴∠EBD=∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴=，在Rt△BDG中，=tanα，则=tanα，∴AD=DE•tanα．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，得出△EBD∽△AGD是解题关键．5．（2013•常德）已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．【分析】（1）证法一：如答图1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可；证法二：如答图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB∥CF即可，（2）解法一：如答图2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线；解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；（3）证法一：如答图3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME= AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME；证法二：如答图3b所示，延长BM交CF于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明△BCE和△DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．【解答】（1）证法一：如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，∴点B为线段AD的中点，又∵点M为线段AF的中点，∴BM为△ADF的中位线，∴BM∥CF．证法二：如答图1b，延长BM交EF于D，∵∠ABC=∠CEF=90°，∴AB⊥CE，EF⊥CE，∴AB∥EF，∴∠BAM=∠DFM，∵M是AF的中点，∴AM=MF，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，∴BE=DE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠EBM=45°，∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，∴∠EBM=∠ECF，∴MB∥CF；（2）解法一：如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD=a，AC=CD=a，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．∵CG=CF=a，CA=CD=a，∴AG=DF=a，∴BM=ME=×a=a．解法二：如答图1b．∵CB=a，CE=2a，∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，∵△ABM≌△FDM，∴BM=DM，又∵△BED是等腰直角三角形，∴△BEM是等腰直角三角形，∴BM=ME=BE=a；（3）证法一：如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，AC=CD，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE=EF=EG，CF=CG，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．在△ACG与△DCF中，，∴△ACG≌△DCF（SAS），∴DF=AG，∴BM=ME．证法二：如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，∵∠BCE=45°，∴∠ACD=45°×2+45°=135°∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，∴AB∥CF，∴∠BAM=∠DFM，∵M是AF的中点，∴AM=FM，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，BM=DM，∴AB=BC=DF，在△BCE和△DFE中，，∴△BCE≌△DFE（SAS），∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，∴△BDE是等腰直角三角形，又∵BM=DM，∴BM=ME=BD，故BM=ME．【点评】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．6．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值．【解答】（1）证明：如图1，在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，∴AC=BE．在△ACD与△BEF中，，∴△ACD≌△BEF，∴CD=EF，即EF=CD；（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG=EQ：EH．∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°．在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴sinB==，∴EQ=BE．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH==，∴EH=AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：=：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．7．（2012•成都）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：△BPE≌△CQE；（2）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，继而求得AQ与AP的长，利用勾股定理即可求得P、Q两点间的距离．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：连接PQ，∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴，∵BP=a，CQ=a，BE=CE，∴，∴BE=CE=a，∴BC=3a，∴AB=AC=BC•sin45°=3a，∴AQ=CQ﹣AC=a，PA=AB﹣BP=2a，在Rt△APQ中，PQ==a．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意数形结合思想的应用．8．（2011•武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：=；（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN2=DM•EN．【分析】（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出=；（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN；②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1）==，从而得出答案．【解答】（1）证明：在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴=，同理在△ACQ和△APE中，=，∴=．（2）①作AQ⊥BC于点Q．∵BC边上的高AQ=，∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE：BC=1：3又∵DE∥BC，∴AD：AB=1：3，∴AD=，DE=，∵DE边上的高为，MN：GF=：，∴MN：=：，∴MN=．故答案为：．②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，∴∠B=∠CEF，又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC，∴=，∴DG•EF=CF•BG，又∵DG=GF=EF，∴GF2=CF•BG，由（1）得==，∴×=•，∴（）2=•，∵GF2=CF•BG，∴MN2=DM•EN．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．9．（2009•绵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF=90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．（1）若m=n时，如图，求证：EF=AE；（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF=AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若m=tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF=（t+1）AE成立？并求出点E的坐标．【分析】（1）根据m=n，我们可得出四边形AOBC应该是个正方形．要证EF=AE，可通过构建全等三角形来实现，在OA上取点C，使AG=BE，则OG=OE．那么我们的目的就是证三角形ABE和EBF全等，这两个三角形中已知的条件只有AG=BE，我们发现∠AGE和∠EBF都是90+45=135°，而∠GAE和∠FEB都是∠AEO的余角，那么这两组对应角就相等，构成了三角形全等的条件，于是EF=AE了．（2）可用反证法来求解，方法同（1）类似，也是通过构建全等三角形来求解．作FH⊥x 轴于H，假设题目给出的条件成立，通过证明三角形AOE和EHF全等来得出线段相等，即AO=EH，OE=FH，根据FBH=45°，设E（a，0）．那么FH=BH=OE=a，那么不难得出EH=EB+BH=OE+EB=m，又根据AO=EH，m=n，因此不存在点E．（3）可根据相似三角形来得出线段之间的比例关系来求得．辅助线作法同（2），我们不难证得三角形AOE和FEH相似（根据同角的余角相等和一组直角即可得出相似），那么就能将EF=（t+1）AE转换为FH=（t+1）OE，根据相似我们还可得出关于AO、EH、OE、FH 的比例关系，那么就能得出一个关于OE、FH、m、n的关系式，将这式子进行化简，即可得出OE与m、n的关系，便能求出E的坐标了．【解答】解：（1）由题意得m=n时，AOBC是正方形．如图，在OA上取点G，使AG=BE，∵正方形OACB，OA=OB，∴OG=OE．∴∠EGO=∠GEO=（180°﹣90°）=45°，从而∠AGE=90°+45°=135°．由BF是外角平分线，得∠EBF=135°，∴∠AGE=∠EBF．∵∠AEF=90°，∴∠FEB+∠AEO=90°．在Rt△AEO中，∵∠EAO+∠AEO=90°，∴∠EAO=∠FEB，在△AGE和△EBF中∵∴△AGE≌△EBF，EF=AE．（2）假设存在点E，使EF=AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．由（1）知∠EAO=∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．∴FH=OE，EH=OA．∴点F的纵坐标为a，即FH=a．由BF是外角平分线，知∠FBH=45°，∴BH=FH=a．又由C（m，n）有OB=m，∴BE=OB﹣OE=m﹣a，∴EH=m﹣a+a=m．又EH=OA=n，∴m=n，这与已知m≠n相矛盾．因此在边OB上不存在点E，使EF=AE成立．（3）如（2）图，设E（a，0），FH=h，则EH=OH﹣OE=h+m﹣a．由∠AEF=90°，∠EAO=∠FEH，得△AOE∽△EHF，∴EF=（t+1）AE等价于FH=（t+1）OE，即h=（t+1）a，且，即，整理得nh=ah+am﹣a2，∴h=．把h=（t+1）a代入得=（t+1）a，即m﹣a=（t+1）（n﹣a）．而m=tn，因此tn﹣a=（t+1）（n﹣a）．化简得ta=n，解得a=．∵t＞1，∴＜n＜m，故E在OB边上．∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）．【点评】本题解题的关键是根据全等三角形的判定或相似三角形得出线段相等或成比例．相似三角形经典大题解析1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：（1）MN BC ∥AMN ABC ∴△∽△ 68h x ∴= 34x h ∴=（2）1AMN A MN △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ，①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时，1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ， 则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN ∴∥△∽△11AMN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242ABC S =⨯⨯=△ 22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭△△所以 291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述：当04x <≤时，238y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2912248y x x =-+-， 取163x =，8y =最大 86>∴当163x =时，y 最大，8y =最大M NCBEFAA 12．如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．【答案】（1）解：由28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，．由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=．由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，．解得56x y =⎧⎨=⎩，．∴C 点的坐标为()56，． ∴111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·． （2）解：∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=，． ∴D 点坐标为()88，．又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．． ∴E 点坐标为()48，． ∴8448OE EF =-==，．（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则Rt Rt RGB CMB △∽△．∴BG RG BM CM =，即36t RG=，∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC △∽△，∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．即241644333S t t =-++．当83<≤t 时，如图2，为梯形面积，∵G （8－t,0）∴GR=32838)8(32t t -=+-,∴38038]32838)4(32[421+-=-++-⨯=t t t s 当128<≤t 时，如图3,为三角形面积，4883)12)(328(212+-=--=t t t t s3．如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．（图3）（图1）（图2）【答案】解： （1）34PM =，（2）2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 （3）PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠⊥，⊥，，AMP ABC △∽△，PM AM BN AB ∴=即()PM a t t a t PM t a a--==，，(1)3t a QM a-∴=-当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a =+，3t ≤，636aa∴+≤，则636a a ∴<≤，≤， （4）36a <≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM =()3t a t t a ∴-=-，把66a t a=+代入，解之得a =±a = 所以，存在a ，当a =PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等．N4．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？【答案】 解：(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形. (2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,所以S △BPQ=21×BP ×QE=21(6-t)×3t=－23t 2+33t ； (3)因为Q R ∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600, 所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600=21×2t=t, 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形, 所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR ～△PRQ,所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PR QR ,即3326=-tt,所以t=56, 所以当t=56时, △APR ～△PRQ5．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠CO A＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2E B，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图7-2AD O BC 21MN图7-1AD BMN 12图7-3A D OBC21MNO.6．在图15-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交 于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图15-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD的数量关系和位置关系；（2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB ． 求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；（3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图15-3，求ACBD的值． 【答案】 解：（1）AO = BD ，AO ⊥BD ；（2）证明：如图4，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠ACO = ∠BEO ．又∵AO = OB ，∠AOC = ∠BOE ，∴△AOC ≌ △BOE ．∴AC = BE ． 又∵∠1 = 45°， ∴∠ACO = ∠BEO = 135°． ∴∠DEB = 45°．∵∠2 = 45°，∴BE = BD ，∠EBD = 90°．∴AC = BD ． 延长AC 交DB 的延长线于F ，如图4．∵BE ∥AC ，∴∠AFD = 90°．∴AC ⊥BD ．（3）如图5，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠BEO = ∠ACO ． 又∵∠BOE = ∠AOC ， ∴△BOE ∽ △AOC ．∴AOBO AC BE =． 又∵OB = kAO ，由（2）的方法易得 BE = BD ．∴k ACBD=．10．如图，已知过A （2，4）分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，若点P 从O 点出发，沿OM 作匀速运动，1分钟可到达M 点，点Q 从M 点出发，沿MA 作匀速运动，1图4A DO B C21 MNE FAO BC1D 2图5 M NE分钟可到达A点。

由相似三角形的性质得:
AG:CG=1:0.9
G
C
∴AG=2.7÷0.9=3 m AB=AG+BG=4.2m
1.2m
答:这棵树的高为4.2米.
B
2.7m
D
C
由CD:AB=DG:BG 得 AB=4.2米.
B
2.7m
DG
(2)小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时 小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地 面上，而另一部分在墙上，他测得地面上的影 长为2.7米，留在墙上部分的影长为1.2米.请 计算小王测量的这棵树的高.
A
C 1.2m B 2.7m D
(2)小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时 小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地 面上，而另一部分在墙上，他测得地面上的影 长为2.7米，留在墙上部分的影长为1.2米.请 计算小王测量的这棵树的高.
A
解:过C点作CG⊥AB于G
则CG=BD=2.7m，
BG=CD=1.2 m，
A
解：如图，过点D作DE∥AC
交AB于E点，由平行四边形
E
ACDE得AE=CD=1.2m
由相似三角形的性质得:
BE 1
C
2.7 0.9
1.2m
∴BE=3m
AB=BE+AE=4.2m
B
2.7m
D
答:这棵树高有4.2米.
(2)小明测得长为1米的竹竿影长为0.9米，同时 小王在测另一棵树时，发现树影的一部分在地 面上，而另一部分在墙上，他测得地面上的影 长为2.7米，留在墙上部分的影长为1.2米.请 计算小王测量的这棵树的高.
(2)同时小王在测另一棵树时，发现树影的一部 分在地面上，而另一部分在墙上，他测得地面 上的影长为2.7米，留在墙上部分的影长为1.2 米.请计算小王测量的这棵树的高.

11．
【分析】
垂直于墙的一段篱筐长为 米，共有三段垂直于墙的篱笆，所以垂直于墙的篱笆总长度为 ，又因为篱笆总长为 米(恰好用完)，所以大长方形花圃的长为 米，最后根据长方形的面积公式即可求解．
【详解】
解：由题意可得： ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是注意大长方形花圃的宽有三段都是篱笆．
又∵
∴AB=4
故选：B．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．D
【分析】
根据题意得 ，结合 ，通过求解不等式，即可得到答案．
【详解】
根据题意得： ，
∵
∴
∴ 或
∴ 或
∴ 的半径 的取值范围是： 或
故选： ．
【点睛】
本题考查圆与圆内含、绝对值、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆内含、绝对值、一元一次不等式的性质，从而完成求解．
17．当两条曲线关于某直线 对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线 的对称曲线，如果抛物线 与抛物线 关于直线 的对称曲线，那么抛物线 的表达式为_______________________．
18．如图，在 中， 是 的角平分线，将 绕点 旋转，如果点 落在射线 上，点 落在点 处，连接ED，那么 的正切值为_______________________．
【详解】
∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，
∴DG= AG= ×6=3，
∴AD=AG+GD=6+3=9．
即 边上的中线长为9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查的是三角形重心的性质，熟知三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍是解决问题的关键．

知识点：一、比例线段1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或nm b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。

a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a = 4、比例外项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。

5、比例内项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。

6、第四比例项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为abb a =（或a:b=b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。

8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

9、比例的基本性质：如果a ：b ＝c ：d 那么ad ＝bc 逆命题也成立，即如果ad ＝bc ，那么a ：b ＝c ：d10、比例的基本性质推论：如果a ：b=b ：d 那么b 2=ad ，逆定理是如果b 2=ad 那么a ：b=b ：c 。

说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。

比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。

11、合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a +=+ 12．等比性质：如果n m d c b a ===K ，（0≠+++m d b Λ），那么ban d b m c a =++++++ΛΛ说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。

13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。

解决影子上墙、影子落在斜坡上的问题，需要运用相似三角形的性质。

首先，我们需要明确光源（如太阳）的位置，并据此确定影子的方向。

然后，我们可以通过作辅助线，将问题转化为求解相似三角形的问题。

具体来说，我们可以作一个与斜坡平行并与斜坡和影子交于一点的线段，将问题分为两部分：一部分是求解该线段与斜坡之间的角度，另一部分是求解该线段与影子之间的长度比例。

通过相似三角形的性质，我们可以得到以下关系：
斜坡与线段的夹角等于太阳光与地平线的夹角；
线段与影子的长度之比等于斜坡与影子的长度之比；
线段的长度可以通过三角函数或勾股定理计算得出。

最后，我们可以通过上述关系，求出影子的长度，进而求出影子的方向。

需要注意的是，由于太阳的位置和时间会影响影子的方向和长度，因此在实际应用中需要考虑到这些因素。

2019-2020常州市天宁区正衡中学九年级数学相似的应用（一）一、选择题（每题2分，共20分）1.下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（）【A】【B】【C】【D】【答案】A【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．【A】影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，正确；【B】影子的方向不相同，错误；【C】影子的方向不相同，错误；【D】相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，错误．2.某一时刻，身髙1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是（）【A】1.25【B】10【C】20【D】8【答案】C【分析】本题考查了三角形相似的性质：相似三角形对应边的比相等．设该旗杆的高度为xm，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有1.6：0.4＝x：5，然后解方程即可．解答：解：设该旗杆的高度为xm，根据题意得，1.6：0.4＝x：5，解得x＝20（m）．即该旗杆的高度是20m3.（2012春•涟水县校级期中）一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米，这棵水杉树高为（）米。

【A 】7.5【B 】8【C 】14.7【D 】15.75【答案】A【分析】本题考察了把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通解方程求出树的高度，体现了方程的思想．解答：根据题意，标杆、光线、影长组成的三角形与水杉、水杉影长、光线所组成的三角形相似，故可利用相似三角形的性质解答． 解答：解：根据水杉影长水杉树高标杆影长标杆高= 列方程可得到结论，设水杉的高是x 米．则 即5.71.25.1x = 解得：x ＝7.5则这棵水杉树高为7.5米．4.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB ＝1.2米，BP ＝1.8米，PD ＝12米，那么该古城墙的高度是（ ）【A 】6米【B 】8米【C 】18米【D 】24米【答案】B【分析】本题综合考查了平面镜反射和相似形的知识，是一道较为简单的题，考查相似三角形在测量中的应用．解答：由已知得△ABP ∽△CDP ，则根据相似形的性质可得PDCD CD AB =解答即可． 解答：解：由题意知：光线AP 与光线PC ，∠APB ＝∠CPD ，∴Rt △ABP ∽Rt △CDP ， ∴PDBP CD AB = ，∴CD ＝88.12.12.1=⨯（米）5.如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB 的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD ＝9.6米，留在墙上的影长CD ＝2米，则旗杆的高度（ ）【A 】9米【B 】9.6米【C 】10米【D 】10.2米【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．解：作CE ⊥AB 于E 点，如图，则四边形BDCE 为矩形，BD ＝CE ＝9.6，BE ＝CD ＝2，根据题意得2.11=EC AE ，即2.116.9=AE 解得AE ＝8，所以AB ＝AE ＋BE ＝8＋2＝10（m ）．答：旗杆的高度为10m ．6.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD ＝12 m ，塔影长DE ＝18 m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为（ ）【A 】24米【B 】22米【C 】20米【D 】18米【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题），过点D 构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD ，斜坡上的DE ．然后根据影长的比分别求得AG ，GB 长，把它们相加即可．解：解：过D 作DF ⊥CD ，交AE 于点F ，过F 作FG ⊥AB ，垂足为G ．菁优网 由题意得：26.1=DE DF ∴DF ＝DE ×1.6÷2＝14.4（m ）∴GF ＝BD ＝CD 21＝6m ． 又∵16.1=GF AG ∴AG ＝1.6×6＝9.6（m ）．∴AB ＝14.4＋9.6＝24（m ）．答：铁塔的高度为24m ．7.如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度．若标杆BE 的高为1.2m ，测得AB ＝1.6m ，BC ＝12.4m ，则楼高CD 为____m【分析】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．【答案】10.5解答：解答：解：∵EB ∥CD ，∴△ABE ∽△ACD ， ∴CD BE AC AB =,即CD2.14.126.16.1=+ ∴CD ＝10.5（米）．故答案为10.5．8.小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶的高度为_____ m ．【答案】0.5【分析】本题考查的关键是明确在同一时刻物体的高度和影长成正比．根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x ，即可列方程解出x 的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度．解答：解：设手臂竖直举起时总高度xm ，列方程得：1.185.07.1x =， 解得x ＝2.2，2.2−1.7＝0.5m ，所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.5m ．9.雨过天晴，小明在操场上散步从正前方2米的水影中看到对面的国旗迎风飘扬，测得国旗离小明42米，小明眼睛里地面1.5米，则国旗高_____米【答案】30【分析】本题主要考察了相似三角形的相关性质 解答，解：22405.1-=国旗的高， 解得，国旗的高=30米10.如图，某测量工作人员与标杆顶端F 、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC ＝1米，CD ＝5米，则电视塔的高ED ＝ ___米．【答案】11.2【分析】此题考查了相似三角形的应用，通过构造相似三角形．利用相似三角形对应边成比例解答即可.本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程，通过解方程求解即可．解：过A 点作AH ⊥ED ，交FC 于G ，交ED 于H ．由题意可得：△AFG ∽△AEH ，∴EHFG AH AG = 即EH6.12.3511-=+， 解得：EH ＝9.6．∴ED ＝9.6＋1.6＝11.2（米）．故答案为：11.2． 11.如图，某一时刻一根2米长的竹竿EF 影长GE 为1.2米，此时，小红测得一棵被风吹斜的杨树与地面成30°角，树顶端B 在地面上的影子点D 与B 到垂直地面的落点C 的距离是3.6米，则树长AB 等于_____ 米【答案】12【分析】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．解答：解：如图，CD ＝3.6m ，∵△BDC ∽△FGE ， ∴GE EF CD BC =，即2.126.3=BC ， ∴BC ＝6，在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝12，即树长AB 是12米．故答案为12．12. 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为___米【答案】11.8【分析】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中光的传播原理，构造直角三角形是解决本题关键，属于中等题目。

用解直角三角形测量房子高度操作步骤方法一：利用相似三角形的知识求解。

可以找一个已知长度的杆立在那里，测量其影子的长度，而后测量房子影子长度。

因为杆和地面本身是直角，太阳的照射角在同一时间同一地点也是相同的，两个三角形两个角相等是相似三角形。

利用相似的性质，对应边成比例求解。

已知杆的高度：其影子的长度=房子高度：房子影子长度。

进行求解。

方法二：测量房子影子的长度。

在影子的顶点处（远离旗杆那端）用角度测量仪测量房子顶部与该点连线与地面的夹角A，利用房子的长度：影子的长度=tanA。

也可以通过其他方法测出太阳的照射角也可。

方法三：在建筑物外点一点（离建筑物距离最好接近建筑物的高度）,测量点到建筑物的距离L,测量点与建筑物顶的夹角a（方法很多种,如果有仪器测角最好）,H=L*sina; 测角是放在仪器上面再加仪器高就可以了。

标准对数视力表 0.14.00.12 4.1 0.15 4.2相似三角形在实际生活中的应用【知识点击】1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过，那么这样的两个图形就称为位似图形。

此时的这个点叫做，相似比又称为．注：位似图形作为一种特殊的相似图形，是最重要的图形之一．但相似图形未必都能够成位似关系．所谓位似图形，是指两个图形不仅是相似图形，而且___________________，此时的这个点叫做位似中心，相似比又称为_____________．位似图形具有相似图形的所有性质，利用位似的方法可以将一个多边形放大或缩小．2、相似多边形的性质_____________________________________________________【重点演练】知识点一、位似图形例1、如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均在小正方形的顶点. （1）以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′和△ABC 位似，且位似比为1︰2； （2）连接（1）中的AA ′,求四边形AA ′C ′C 的周长.（结果保留根号）ABC例2、如图3，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A ′B ′C ′D ′E ′，已知OA =10cm ，OA ′=20cm ，则五边形ABCDE 的周长与五边形A ′B ′C ′D ′E ′的周长的比值是．变式训练：1.视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E ”之间的变换是（ ）A ．平移B ．旋转C ．对称D ．位似2. 如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1），点C 的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是． 图3A BC D EB ′′E ′y C DA图2 B′A′-1 x1 O-11y BA C3、如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（）A ．12a -B ．1(1)2a -+C ．1(1)2a --D ．1(3)2a -+4.如图，已知△OAB 与△''B OA 是相似比为1：2的位似图形，点O 为位似中心，若△OAB 一点p （x ，y ）与△''B OA 一点'p 是一对对应点，则点'p 的坐标是．知识点二、测量物体高度方法一、利用光的反射定律求物体的高度 例3、（市）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图1所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B ）8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝2.4米，观察者目高CD ＝1.6米，则树（AB ）的高度约为________米（精确到0.1米）.方法二、利用影子计算建筑物的高度例4（市）如图2，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和1.5米.已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为米.例5（市）如图4，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于（ ）图1 B E DA.4.5米B.6米C.7.2米D.8米跟踪练习1、如图６，小明在一次晚自修放学回家的路上，他从一盏路灯Ａ走向相邻的路灯Ｂ．当他走到点Ｐ时，发现自己身后的影子的顶部恰好接触到路灯Ａ的底部，再走１６米到达点Ｑ时，发现身前的影子的顶部恰好接触到路灯Ｂ的底部．已知路灯的高是９米，小明的身高为１.5米．（１）求相邻两盏路灯之间的距离； （２）如果学校大门口恰好有一盏路灯，小明家门口也恰好有一盏路灯，小明回家共经过了２６盏路灯，问：小明家距离学校多少米？（3）求小明走到两盏路灯Ａ、Ｂ的中点时，在Ａ、Ｂ两盏路灯下的影长及走到路灯Ｂ下时在路灯Ａ下的影长．方法三、利用相似三角形的性质测量物体的高度或宽度例6、如图1，学校的围墙外有一旗杆AB ，甲在操场上的C 处直立3cm 高的竹竿CD ，乙从C 处退到E 处，恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合，量得3CE =m ，乙的眼睛到地面的距离1.5FE =m ，丙在1C 处也直立3m 高的竹竿11C D ，乙从E 处后退6m 到1E 处，恰好看到竹竿顶端1D 与旗杆顶端B 也重合，量得114C E m =，求旗杆AB 的高.跟踪练习如图2，为了测量一条河的宽度，测量人员在对岸岸边点P 处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点A 和B ，使得B ，A ，P 在一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点C ，D ，使CA ⊥BP ，BD ⊥BP.由观测可以确定CP 与BD 的交点为D ，他们测得AB=45m ，BD=90m ，AC=60m ，从而确定河宽PA=90m ，你认为他们的结图６论对吗？图2例7、如图５是学校的旗杆，小明带着一条卷尺和一面镜子，他想借助这两样工具测量旗杆的高，请你为他设计测量的方法．练习：给你一条可以用来测量长度的皮尺和一根高２米的标杆，在没有太的时候你能测量出操场上旗杆的高度吗？说说你的做法．知识点三、相似多边形性质的应用 例8、 一块直角三角形余料，直角边ＢＣ＝８０ｃｍ，ＡＣ＝６０ｃｍ，现要最大限度地利用这个余料把它加工为一个正方形，求这个正方形的边长．跟踪练习1、已知△ＡＢＣ的三边ＢＣ＝６，ＣＡ＝７，ＡＢ＝８，其三个接正方形（四个顶点都在三角形三边上）中，记两个顶点在ＢＣ上的正方形面积为ａ，两个顶点在ＣＡ上的正方形的面积记为ｂ，两个顶点在ＡＢ上的正方形的面积记为ｃ，试探索ａ、ｂ、ｃ的大小关系．Ａ 图５ Ｅ Ｄ Ｃ Ｂ ＢＥ Ｄ 图(1)2、有一块直角三角形木板，已知∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，AC＝4cm，根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁，才能使正方形木板面积最大？并求出这个正方形木板的边长．例9、如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形；（2）求四边形QAPC面积，并提出一个与计算结果．有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？课外作业(满分50分)1、（15分）（1）选择：如图1，点O 是等边三角形PQR 的中心，P ′、Q ′、R ′分别是OP 、OQ 、OR 的中点，则△P ′Q ′R ′是位似三角形，此时△P ′Q ′R ′与△PQR 的位似比和位似中心分别是（ ）．A 、2，点P,B 、21,点P C 、2,点O D 、21，点O （2）、如图2， 用下面的方法可以画△AOB 的接等腰三角形，阅读后证明相应的问题．画法：①在△AOB 画等边三角形CDE ，使点C 在OA 上,点D 在OB 上；②连结OE 并延长，交AB 于点E ′，过点E ′作E ′C ′∥EC ，交OA 于点C ′,作E ′D ′∥ED ，交OB 于点 D ′；③连结C ′D ′,则△C ′D ′E ′是△AOB 的接三角形 求证：△C ′D ′E ′是等边三角形．2、（15分）请在如图所示的方格纸中，将ΔABC 向上平移3格，再向右平移6个，得ΔA 1B 1C 1，再将ΔA 1B 1C 1绕点B 1按顺时针方向旋转90°，得ΔA 2B 1C 2，最后将ΔA 2B 1C 2以点C 2为位似中心放大到2倍，得ΔA 3B 3C 2；（1） 请在方格纸的适当位置画上坐标轴（一个小正方形的边长为一个单位长度），在你所建立的直角坐标系中，点的坐标分别为：点C （）、点C 1（）点C 2（）．3.（20分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）.（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？。

三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形教学准备一. 教学目标：（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有关概念。

（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知识进行计算、解答有关综合题。

（3）培养学生的转化、数形结合、及分类讨论的数学思想的能力二. 教学重点、难点：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基础知识、基本技能是本节的重点。

难点是综合应用这些知识解决问题的能力。

三. 知识要点：知识点1 三角形的边、角关系①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边；③三角形三个内角的和等于180°；④三角形三个外角的和等于360°；⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

知识点2 三角形的主要线段和外心、内心①三角形的角平分线、中线、高；②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

知识点3等腰三角形等腰三角形的识别：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；③三边相等的三角形是等边三角形；④三个角都相等的三角形是等边三角形；⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

等腰三角形的性质：①等边对等角；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；④等边三角形的三个内角都等于60°。

知识点4直角三角形直角三角形的识别：①有一个角等于90°的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

A中考相似与解直角三角形专题一、典型例题：例1：（1）（2010，甘肃）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为 米.（2）（2011浙江省）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则S △BCE ：S △BDE 等于（ ）A . 2：5B .14:25C .16:25D . 4:21（3）（2011湖南衡阳）如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1堤高BC=5m ，则坡面AB 的长度是（ ）A ．10mB ．C ．15mD ．m（4）（2011浙江省嘉兴）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32（B ）33（C ）34（D ）36（第2题图） （第3题图） （第4题图）【课堂练习1】（1）（2011宁波市）如图1，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为a ，那么滑梯长l 为（ ） A ．h sina B ． h tana C ． hcosaD ． h·sina（2）（2010，梧州）如图(2)，在ABCD 中，E 是对角线BD 上的点，且EF ∥AB ，DE ：EB=2：3， EF=4，则CD 的长为_____________。

（3）（2010年丹东市）如图（3），小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） A ．32+）m B ．（32）m C ．m D ．4m 例2：（2011上海）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM=EN ，sin ∠EMP=1213． （1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP=x ，BN=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．图1 图2 备用图【课堂练习2】（2010珠海）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B.(1) 求证：△ADF ∽△DEC（2）若AB ＝4,AD ＝3,AE ＝3,求AF 的长.例3：（2010年东阳市）如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是弧BC 的中点，AD 交BC 于E 点，AE=2，ED=4.3（1）求证: ～△ADB ；(2) 求的值；（3）延长BC 至F ，连接FD ，使的面积等于，求的度数.【课堂练习3】（2011安徽）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度．已知在离地面1500m 高度C 处的飞机上，测量人员测得正前方A 、B 两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB 的长．（参考数据：3=1.73）二、强化训练：1、（2011山东威海）一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD 的长．2、（2011四川绵阳）已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A=90°，D 是腰AC 上的一个动点，过C 作CE 垂直于BDABE ∆tan ADB ∠BDF∆EDF∠或BD 的延长线，垂足为E,如图1. (1)若BD 是AC 的中线，如图2，求BDCE的值； (2)若BD 是∠ABC 的角平分线，如图3，求BDCE的值；（图1） （图2） （图3）3、（2011四川广安）某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图7所示，测得树底部中心A 到斜坡底C 的水平距离为8. 8m ．在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8m ，树影落在斜坡上的部分CD= 3.2m ．已知斜坡CD 的坡比i=1，求树高AB 。

华师大版第25章解直角三角形电子课本（新）§25.1 测量 (3)§25.2 锐角三角函数 (4)1.锐角三角函数 (4)2．用运算器求锐角三角函数值 (7)§25.3 解直角三角形 (9)阅读材料 (13)小结 (14)复习题 (15)课题学习 (18)第25章 解直角三角形测量物体的高度是我们在工作和生活中经常遇到的问题．222c b a =+ab B =tan§25.1 测量当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许专门想明白，操场旗杆有多高？你可能会想到利用相似三角形的知识来解决那个问题．图25.1.1如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再依照你的身高，便能够利用相似三角形的知识运算出旗杆的高度．假如就你一个人，又遇上阴天，那如何办呢？人们想到了一种可行的方法，依旧利用相似三角形的知识．试一试如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并目高AD为1.5米．现在假设按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便能够算出旗杆的实际高度．你明白运算的方法吗？图25.1.2实际上，我们利用图25．1．2〔1〕中的数据就能够直截了当运算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们差不多明白直角三角形的三条边所满足的关系〔即勾股定理〕，那么它的边与角又有什么关系？这确实是本章要探究的内容．练习1．小明想明白学校旗杆的高度，他发觉旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发觉下端刚好接触地面，求旗杆的高度．2．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度．习题25．11． 如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．〔精确到0．1米〕（第1题）2． 在安静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，红莲移动的水平距离为2米，问那个地点水深多少？3． 如图，在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A 处．另一只爬到树顶D 后直截了当跃到A 处，距离以直线运算，假如两只猴子所通过的距离相等，求这棵树的高度．（第3题）§25.2 锐角三角函数1.锐角三角函数在§25．1中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都显现了两个相似的直角三角形，即△ABC ∽△A ′B ′C ′．按5001的比例，就一定有 5001=''=''AC C A BC C B ， 5001确实是它们的相似比． 因此也有ACBCC A C B =''''．我们差不多明白，直角三角形ABC 能够简记为Rt △ABC ，直角∠C 所对的边AB 称为斜边，用c 表示，另两条直角边分别为∠A 的对边与邻边，用a 、b 表示〔如图25．2．1〕．图25.2.1前面的结论告诉我们，在Rt △ABC 中，只要一个锐角的大小不变〔如∠A ＝34°〕，那么不管那个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值．摸索一样情形下，在Rt △ABC 中，当锐角A 取其他固定值时，∠A 的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？图25.2.2观看图25．2．2中的Rt △11C AB 、Rt △22C AB 和Rt △33C AB ，易知 Rt △11C AB ∽Rt △_________∽Rt △________， 因此111AC C B ＝_________＝____________． 可见，在Rt △ABC 中，关于锐角A 的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯独确定的． 我们同样能够发觉，关于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯独确定的．因此这几个比值差不多上锐角A 的函数，记作sinA 、cosA 、tanA 、cotA ，即 sinA ＝斜边的对边A ∠，cosA ＝斜边的邻边A ∠，tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠，cotA ＝的对边的邻边A A ∠∠．分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数．明显，锐角三角函数值差不多上正实数，同时 0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1．依照三角函数的定义，我们还可得出A A 22cos sin +＝1，tanA ·cotA ＝1．图25.2.3例1 求出图25．2．3所示的Rt △ABC 中∠A 的四个三角函数值．解1728922==+=AC BC AB ，sinA ＝178=AB BC ， cosA ＝1715=AB AC ，tanA ＝158=AC BC ，cotA ＝815=BC AC ．探究依照三角函数的定义，sin30°是一个常数．用刻度尺量出你所用的含30°角的三角尺中，30°角所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看常数sin30°是多少． 通过运算，我们能够得出图25.2.4sin30°＝21=斜边对边， 即斜边等于对边的2倍．因此我们能够得到：在直角三角形中，假如一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．摸索上述结论还可通过逻辑推理得到．如图25．2．4，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，作∠BCD＝60°，点D位于斜边AB上，容易证明△BCD是正三角形，△DAC是等腰三角形，从而得出上述结论．做一做在Rt△ABC中，∠C＝90°，借助于你常用的两块三角尺，或直截了当通过运算，依照锐角三角函数定义，分别求出以下∠A的四个三角函数值：〔1〕∠A＝30°；〔2〕∠A＝60°；〔3〕∠A＝45°．为了便于经历，我们把30°、45°、60°角的三角函数值列表如下：练习1．如图，在Rt△MNP中，∠N＝90°．∠P的对边是____________，∠P的邻边是__________；∠M的对边是____________，∠M的邻边是_________．(第1题) （第2题）2．求出如下图的Rt△DEC〔∠E＝90°〕中∠D的四个三角函数值．3．设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，依照以下所给条件求∠B的四个三角函数值：〔1〕a＝3，b＝4；〔2〕a＝5，c＝13．4．求值：2cos60°＋2sin30°＋4tan45°．2．用运算器求锐角三角函数值下面我们介绍如何利用运算器求锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角．〔1〕求锐角的三角函数值例2 求sin63°52′41″的值．〔精确到0．0001〕 解 先用如下方法将角度单位状态设定为〝度〞：(SETUP) 显示再按以下顺序依次按键：显示结果为0．897859012．因此sin63°52′41″≈0．8979．例3 求cot70°45′的值．〔精确到0．0001〕解 在角度单位状态为〝度〞的情形下〔屏幕显示，按以下顺序依次按键：显示结果为0．3492156334． 因此cot70°45′≈0．3492．〔2〕 由锐角三角函数值求锐角例4tanx ＝0．7410，求锐角x ．〔精确到1′〕解 在角度单位状态为〝度〞的情形下〔屏幕显示，按以下顺序依次按键：(1tan -) 显示结果为36．53844577． 再按键：显示结果为4.182336'︒．SHIFT MODE 3 D sin63 o’〞 tan 52 o’〞 o’〞 41 =D 1÷ 70 o’〞 45o’〞=D SHIFT tan 0•4 7 0 1 =SHIFT o’〞因此x ≈36°32′．例5 cotx ＝0．1950，求锐角x ．〔精确到1′〕 分析依照xx cot 1tan =，能够求出tanx 的值，然后依照例4的方法就能够求出锐角x 的值．练习1． 使用运算器求以下三角函数值．〔精确到0．0001〕 sin24°，cos51°42′20″，tan70°21′，cot70°．2． 以下锐角α的各三角函数值，使用运算器求锐角α．〔精确到1′〕 〔1〕 sin α＝0．2476；〔2〕 cos α＝0．4174； 〔3〕 tan α＝0．1890；〔4〕 cot α＝1．3773．习题25．21． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝21，AB ＝29，分别求∠A 、∠B 的四个三角函数值．2． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ∶AC ＝3∶4，求∠A 的四个三角函数值． 3． 求以下各式的值． 〔1〕 sin30°＋︒45sin 2－2tan 3160°； 〔2〕)60cos 430)(cot 60tan 30sin 4(︒+︒︒-︒． 4． 用运算器求下式的值．〔精确到0．0001〕 sin81°32′17″＋cos38°43′47″．5． cotA ＝3．1748，利用运算器求锐角A ．〔精确到1′〕§25.3 解直角三角形我们差不多把握了直角三角形边角之间的各种关系，这些差不多上解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具．例1如图25．3．1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处．大树在折断之前高多少？图25.3.1解利用勾股定理能够求出折断倒下部分的长度为26241022=+，26＋10＝36〔米〕．因此，大树在折断之前高为36米．在例1中，我们还能够利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角．像如此，在直角三角形中，由元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．图25.3.2例2如图25．3．2，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发觉入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40°的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离．〔精确到1米〕解在Rt △ABC 中，∵ ∠CAB ＝90°－∠DAC ＝50°，ABBC＝tan ∠CAB ， ∴ BC ＝AB ·tan ∠CAB＝2000×tan50°≈2384〔米〕．∵ACAB＝cos50°， ∴ AC ＝︒=︒50cos 200050cos AB ≈3111〔米〕． 答： 敌舰与A 、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似运算，本书除专门说明外，角度精确到1′． 解直角三角形，只有下面两种情形： 〔1〕 两条边；〔2〕 一条边和一个锐角．练习1． 在电线杆离地面8米高的地点向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地点？2． 海船以32．6海里/时的速度向正北方向航行，在A 处看灯塔Q 在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B 处，发觉现在灯塔Q 与海船的距离最短，求灯塔Q 到B 处的距离．〔画出图形后运算，精确到0．1海里〕读一读图25.3.3如图25．3．3，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．例3 如图25．3．4，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22．7米的D处，用高1．20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角α＝22°，求电线杆AB的高．〔精确到0．1米〕图25.3.4解在Rt△ACE中，∵AE＝CE×tanα＝DB×tanα＝22．7×tan22°≈9．17，∴AB＝BE＋AE＝AE＋CD＝9．17＋1．20≈10．4〔米〕．答：电线杆的高度约为10．4米．练习1．如图，某飞机于空中A处探测到目标C，现在飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地面操纵点B的俯角α＝16°31′，求飞机A到操纵点B的距离．〔精确到1米〕（第1题）（第2题）2．两座建筑AB与CD，其地面距离AC为50．4米，从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β＝25°，测得其底部C 的俯角α＝50°，求两座建筑物AB 与CD 的高．〔精确到0．1米〕读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图25．3．5，坡面的铅垂高度〔h 〕和水平长度〔l 〕的比叫做坡面的坡度〔或坡比〕，记作i ，即lhi =．图25.3.5坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有lhi =＝tan α． 明显，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．例4如图25．3．6，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．〔精确到0．1米〕图25.3.6解作DE ⊥AB ， CF ⊥AB ，垂足分别为E 、 F ．由题意可知 DE ＝CF ＝4．2〔米〕， CD ＝EF ＝12．51〔米〕． 在Rt △ADE 中，∵ i ＝AEAE DE 2.4=＝tan32°， ∴ AE ＝︒32tan 2.4≈6．72〔米〕．在Rt △BCF 中，同理可得 BF ＝︒28tan 2.4≈7．90〔米〕．∴ AB ＝AE ＋EF ＋BF≈6．72＋12．51＋7．90≈27．1〔米〕． 答： 路基下底的宽约为27．1米．练习一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽6．2米，坝高23．5米，斜坡 AB 的坡度1i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度2i ＝1∶2．5．求： 〔1〕 斜坡AB 与坝底AD 的长度；〔精确到0．1米〕 〔2〕 斜坡CD 的坡角α．〔精确到1°〕习题25．31． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由以下条件解直角三角形： 〔1〕 a ＝156， b ＝56，求c; 〔2〕 a ＝20， c ＝220，求∠B ；〔3〕 c ＝30， ∠A ＝60°，求a ； 〔4〕 b ＝15， ∠A ＝30°，求a ． 2． 一个公共房屋门前的台阶共高出地面1．2米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．依照那个都市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°．从斜坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？〔精确到0．1米〕3． 两幢大楼相距110米，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为26°，假如甲楼高35米，那么乙楼的高为多少米？〔精确到1米〕（第3题）（第4题）4． 一艘船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的北偏东59°，距离为72海里的A 处；上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正北方向．求这艘船航行的速度．〔精确到1海里/时〕阅读材料葭生池中今有方池一丈， 葭生其中央，出水一尺， 引葭赴岸， 适与岸齐．问： 水深、葭长各几何？〔采自杨辉«详解九章算法»，1261年〕这是我国数学进展史上闻名的〝葭生池中〞问题．它的解法能够由以下图获得．中世纪，印度闻名数学家婆什迦罗〔Bh a skara ，1114—1185？〕在其著作中提出了与〝葭生池中〞相似的〝荷花问题〞．平平湖水清可鉴，荷花半尺出水面． 忽来一阵狂风急，吹倒荷花水中偃． 湖面之上不复见，入秋渔翁始发觉． 残花离根二尺远，试问水深尺假设干． 这类问题还有专门多专门多． 你看，关于勾股定理应用的丰富有味的数学问题到处可见，你还能找到一些其他的问题吗？小结一、 知识结构应用直角三角形 两个锐角互余30°角所对的直角边等于斜边的一半 斜边上的中线等于斜边的一半勾股定理边角关系： 锐角三角函数解直角三角形二、 概括1． 明白得并把握直角三角形中边角之间的关系；2． 能应用直角三角形的边角关系解决有关的实际问题．复习题A 组1． 某菜农修建一个横截面为直角三角形的塑料大棚〔如图〕，假设棚宽a ＝4m ，高b ＝3m ，长d ＝35m ，求覆盖在顶上的塑料薄膜的面积．（第1题）（第2题）2． 如图，正方形ACDE 的面积为252cm ，测量出AB ＝12cm ， BC ＝13cm ，问E 、A 、B 三点在一条直线上吗？什么缘故？3． 直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的长． 4． 求以下各式的值．〔1〕 2cos30°＋cot60°－2tan45°； 〔2〕 ︒+︒60cos 45sin 22；〔3〕 ︒︒+︒+︒60cot 60tan 30cos 30sin 2222．5． 求以下各直角三角形中字母的值．（第5题）6． 小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角．他的风筝有多高？〔精确到1米〕7． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∠A ＝60°，∠A 的平分线AM 的长为15cm ，求直角边AC 和斜边AB 的长．〔精确到0.1cm 〕8． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，直角边AC 是直角边BC 的2倍，求∠B 的四个三角函数值．9． 如图，在所示的直角坐标系中，P 是第一象限的点，其坐标是〔3，y 〕，且OP 与x 轴的正半轴的夹角α的正切值是34，求： 〔1〕 y 的值；〔2〕 角α的正弦值．（第9题）（第10题）10． 如图，飞机A 在目标B 的正上方1000米处，飞行员测得地面目标C 的俯角为30°，求地面目标B 、Ｃ之间的距离．〔结果保留根号〕11． 如图，一个古代棺木被探明位于点A 地下24米处．由于点A 地面下有煤气管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被承诺从距点A 8米的点B 挖掘．考古人员应以与地平面形成多大的角度进行挖掘才能沿最短路线挖到棺木？他们需要挖多长的距离？〔角度精确到1′，距离精确到0．1米〕（第11题）（第12题）B 组12． 如图，一段河坝的断面为梯形ABCD ，试依照图中数据，求出坡角α和坝底宽AD ．〔i ＝CE ∶ED ，单位米，结果保留根号〕13． 如图，两建筑物的水平距离BC 为24米，从点A 测得点D 的俯角α＝30°，测得点C 的俯角β＝60°，求AB 和CD 两座建筑物的高．〔结果保留根号〕（第13题）C组14．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高1．2米的测角仪CD，测得电视塔的顶端A的仰角为42°，再向电视塔方向前进120米，又测得电视塔的顶端A的仰角为61°，求那个电视塔的高度AB．〔精确到1米〕（第14题）15．如图，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A，再在河这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，量得BC长为30米．〔1〕求河的宽度〔即求△ABC中BC边上的高〕；〔精确到1米〕〔2〕请再设计两种测量河的宽度的方案．（第15题）（第16题）16．折竹抵地〔源自«九章算术»〕：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处3尺远．问原处还有多高的竹子？课题学习高度的测量我们差不多学会了一些测量方法，现在请你观看一下学校中较高的物体，如教学楼、旗杆、大树等等.如何测量它们的高度呢？选定某一个物体，先与你的小伙伴一起讨论，确定如下的问题：1．能够用什么测量方法？2．每一种方法要用到哪些工具？3．应测量得到哪些有关的数据？4．如何运算最后的结果？写出你们的打算，再实际做一做，看看最后的结果如何．与其他的小组比较一下，看谁的成效较好．。

巧解影子问题类型一：由灯求影例1、如图：路灯P距离地面8米， P身高1.6米的小丽从距离路灯的底部（点0）20米的A处,沿AO所在的直线 C D行走14米到达B时，人影长度怎样改变？改变了多少? O B N A M 类型二：由影求灯例2、如图：花丛中有一路灯杆PO,灯光下，小丽在B点处的影长 PBN＝3米，沿OB方向行走到达A点，BA＝5米，这时小丽的影长AM＝5米， C D如果小丽的身高为1.7米，求路灯杆PO的高度。

O B N A M 类型二：双灯双影问题例3、如图：小丽晚上在路灯下散步，已知小丽的身高AB＝h,灯柱的高OP＝OPˊ＝L,两灯柱之间的距离OOˊ＝m ，（1）、若小丽距灯柱OP的水平 P Pˊ距离OA＝a,求她影子AC的长。

（2）若小丽在两路灯之间行走， B则她前后的影子的长度之和（DA＋AC）是否为定值？请说明理由。

O D A C Oˊ练习：.1.数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米.同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为米.4.影子投影在多面上例4.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（）A．11.5 B．11.75米 C 11.8米D．12.25米类型一：由灯求影如图：路灯P距离地面8米， P身高1.6米的小丽从距离路灯的底部（点0）20米的A处,沿AO所在的直线 C D行走14米到达B时，人影长度怎样改变？改变了多少? O B N A M 传统解法（略解）：依题意得：CB//OP, ∴△BCN∽△OPN, ∴CB:OP＝NB:NO, ∴1.6:8＝NB:（NB＋6）, 解之得NB＝1.5米，同理可得1.6：8＝AM:（AM＋20）, 解之得AM＝5米，∴影长变短了5－1.5＝3.5（米）、评：这种解法只用了相似三角形最基本的性质，得用两次三角形相似，略显麻烦。

苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习用相似三角形解决问题—知识讲解（基础）【学习目标】1.以分析实际例子为背景，认识平行投影和中心投影的基本概念与性质；2.通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、平行投影1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.由此我们可得出这样两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2. 物高与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：=.甲物体的高甲物体的影长乙物体的高乙物体的影长利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.要点诠释：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.要点二、中心投影若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.要点诠释：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.要点三、中心投影与平行投影的区别与联系1.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.2.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.要点诠释：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.要点四、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.【课程名称：相似三角形的性质及应用 394500：应用举例及总结】要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

专题三：相似三角形及解直角三角形的应用题型一：相似三角形的应用1．（2013•陕西）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．2．（2012•徐州）如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B 重合．小亮的眼睛离地面高度EF=1.5m，量得CE=2m，EC1=6m，C1E1=3m．（1）△FDM∽△_________，△F1D1N∽△_________；（2）求电线杆AB的高度．3．（2013•铜仁地区）为了测量旗杆AB的高度．甲同学画出了示意图1，并把测量结果记录如下，BA⊥EA于A，DC⊥EA于C，CD=a，CA=b，CE=c；乙同学画出了示意图2，并把测量结果记录如下，DE⊥AE于E，BA⊥AE于A，BA⊥CD于C，DE=m，AE=n，∠BDC=α．（1）请你帮助甲同学计算旗杆AB的高度（用含a、b、c的式子表示）；（2）请你帮助乙同学计算旗杆AB的高度（用含m、n、α的式子表示）．4．（2011•陕西）一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些坑道对河道的影响，如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：①先测出沙坑坑沿的圆周长34.54米；②甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于B时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点A看到坑底S（甲同学的视线起点C与点A，点S三点共线），经测量：AB=1.2米，BC=1.6米．根据以上测量数据，求圆锥形坑的深度（圆锥的高）．（π取3.14，结果精确到0.1米）5．（2010•自贡）如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA=15mm，DO=24mm，DC=10mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A、B两点间的距离．6．（2010•宁德）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直．已知装饰画的高度AD为0.66米，求：（1）装饰画与墙壁的夹角∠CAD的度数（精确到1°）；（2）装饰画顶部到墙壁的距离DC（精确到0.01米）．唐旭二：解直角三角形1．（2013•遵义）我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教学楼的顶部（如图所示）．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C 测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°．已知教学楼高BM=17米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，tan37°≈0.75）．2．（2013•漳州）钓鱼岛是我国固有领土，为测量钓鱼岛东西两端A，B的距离，如图2，我勘测飞机在距海平面垂直高度为1公里的点C处，测得端点A的俯角为45°，然后沿着平行于AB的方向飞行3.2公里到点D，并测得端点B的俯角为37°，求钓鱼岛两端AB的距离．（结果精确到0.1公里，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.41）3．（2013•玉溪）在一个阳光明媚，微风习习的周末，小明和小强一起到聂耳文化广场放风筝，放了一会儿，两个人争吵起来：小明说：“我的风筝飞得比你的高”．小强说：“我的风筝引线比你的长，我的风筝飞得更高”．谁的风筝飞得更高呢？于是他们将两个风筝引线的一段都固定在地面上的C处（如图），现已知小明的风筝引线（线段AC）长30米，小强的风筝引线（线段BC）长36米，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°，请通过计算说明谁的风筝飞得更高？≈≈）（结果精确到0.123 1.7324．（2013•营口）如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为45°．已知BC=90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度为1 2（即tan∠PCD=12）．（1）求该建筑物的高度（即AB的长）．（2）求此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）5．（2013•襄阳）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼上的C处测得旗杆低端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，如旗杆与教学楼的水平距离CD为9m，则旗杆的高度是多少？（结果保留根号）显示解析试题篮6．（2013•昭通）小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图所示）．小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到1米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.752≈1.413）7．（2013•云南）如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？8．（2013•新疆）如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（结果精确到0.1km）9．（2013•湘潭）如图，C岛位于我南海A港口北偏东60方向，距A港口2海里处，我海监船从A港口出发，自西向东航行至B处时，接上级命令赶赴C岛执行任务，此时C岛在B处北偏西45°方向上，海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进，则从B处到达C岛需要多少小时？10．（2013•眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=13（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）11．（2013•鞍山）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（参≈）23 1.732≈≈6 2.24912、（2012·陕西）．如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.5563，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）。

利用相似三角形和解直角三角形解决影子问题备课人：审阅：初三数学组班级：姓名：________教师寄语：成功属于每天都努力学习的人！【学习目标】利用相似三角形、直角三角形的知识解决生活实际问题。

【重难点】将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再利用相似三角形和解直角三角形的知识使问题解决。

类型1、影子照在墙上数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的不全落在地面，有一部分落在教学楼的墙壁（如图），其影长为2米，落在地面的影长为11.2米，则树高为多少米？导练：小青同学想利用影长测量学校旗杆AB的高度．某一时刻他测得长1米的标杆的影长为1.4米，与此同时他发现旗杆AB的一部分BD落在地面，另一部分CD落在楼房的墙壁，分别测得其长度为11.2米和2米，如图所示．请你帮他求出旗杆AB的高度．类型2、影子照在台阶上数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的是0.9米，但当他们马测量树高时，发现树的不落在地面，有一部分落在教学楼的台阶，且的末端刚好落在最后一级台阶的端C处．同学们认为继续量也可以求出树高，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同）．请你和他们一起算一下，树高为多少．（假设两次测量时太阳光线是平行的）导练：某校初三年级数学兴趣小组的同学准备在课余时间测量校园内一棵树的高度．一天，在阳光下，一名同学测得一根长为l米的竹竿的影长为0.6米，同一时刻另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在实验楼的第一级台阶上，此时测得落在地面上的影长为4.6米，落在台阶上的影长为0.2米，若一级台阶高为0.3米（如图），求树的高度？类型3、影子照在斜坡上1、如图，小鹏准备测量学校旗杆的高度．他发现当正对着太阳时，旗杆AB的恰好落在水平地面BC和坡面CD，测得旗杆在水平地面的影长BC=20米，在坡面的影长CD=8米，太阳光线AD与水平地面成30°角，且太阳光线AD与坡面CD互相垂直．请你帮小鹏求出旗杆AB的高度（精确到1米）2、如图，一的倾斜角为30°，坡有一棵树AB，当太阳光线与水平线成70°沿下时，在的树影BC长为4米，求树高AB．（精确到0.1米）（参考数据：sin70°≈0.9397，cos70°≈0.3420，tan70°≈2.7475）【思路归纳】。

苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习用相似三角形解决问题—知识讲解（提高）【学习目标】1.以分析实际例子为背景，认识平行投影和中心投影的基本概念与性质；2.通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、平行投影1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.由此我们可得出这样两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2. 物高与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：=.甲物体的高甲物体的影长乙物体的高乙物体的影长利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.要点诠释：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.要点二、中心投影若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.要点诠释：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.要点三、中心投影与平行投影的区别与联系1.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.2.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.要点诠释：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.要点四、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.【课程名称：相似三角形的性质及应用394500：应用举例及总结】要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

相似三角形的应用举例专题复习---影长问题武威第九中学：张天娥教学目标1.进一步巩固相似三角形的知识。

2.能够运用三角形相似的知识，利用影长来解决不能直接测量物体的长度和高度的一些实际问题．3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．重点、难点重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．难点的突破方法（1）本节主要探索的是应用相似三角形的判定、性质等知识去解决影长的实际问题（计算不能直接测量物体的长度和高度问题），学生已经学过了相似三角形的概念、判定方法及性质，在此基础上通过本课的学习将对前面所学知识进行全面应用。

九年级学生在思维上已具备了初步的应用数学的意识，在心理特点上则更依赖于直观形象的认识．（2）在实际生活中，面对不能直接测量出长度和宽度的物体问题，我们可以应用相似三角形的知识来测量，只要将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用线段成比例来求解．在教学中，要通过这些知识的教学，帮助学生从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题。

另外，还可以根据学生实情，选择一些实际问题，引导学生加以解决，提高他们应用知识解决问题的能力．（3）课上可以通过小问题自己的影长，旗杆的影长解决问题来激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与探索，体验成功的喜悦．（4）运用三角形相似的知识解决实际问题对于学生来说难度较大，可以适当增加课时．例题的意图相似三角形的应用主要有如下两个方面：（1）测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)；（2）测距(不能直接测量的两点间的距离) ．本节课使学生掌握测高和测距的方法．知道在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造和实物所在三角形相似的三角形，而且要能测量已知三角形的各条线段的长，运用相似三角形的性质列出比例式求解．讲课时，可以让学生思考用不同的方法解这几个实际问题，以提高从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题的能力．应让学生多见些不同类型的有关相似三角形的应用问题，便于学生理解：世上许多实际问题都可以用数学问题来解决，而本节的应用实质是：运用相似三角形相似比的相关知识解决影长问题，并让学生掌握运用这方面的知识解决在自己生活中的一些实际问题的计算方法．教学过程：一、课堂引入回顾：1、判断两三角形相似有哪些方法?（1）.定义: （2）.定理(平行法):（3）.判定定理一(边边边):（4）.判定定理二(边角边):（5）.判定定理三(角角):2、相似三角形有什么性质？对应角相等，对应边的比相等，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。