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相似三角形的应用举例专题复习---影长问题武威第九中学：张天娥教学目标1.进一步巩固相似三角形的知识。
2.能够运用三角形相似的知识，利用影长来解决不能直接测量物体的长度和高度的一些实际问题．3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．重点、难点重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．难点的突破方法（1）本节主要探索的是应用相似三角形的判定、性质等知识去解决影长的实际问题（计算不能直接测量物体的长度和高度问题），学生已经学过了相似三角形的概念、判定方法及性质，在此基础上通过本课的学习将对前面所学知识进行全面应用。
九年级学生在思维上已具备了初步的应用数学的意识，在心理特点上则更依赖于直观形象的认识．（2）在实际生活中，面对不能直接测量出长度和宽度的物体问题，我们可以应用相似三角形的知识来测量，只要将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用线段成比例来求解．在教学中，要通过这些知识的教学，帮助学生从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题。
另外，还可以根据学生实情，选择一些实际问题，引导学生加以解决，提高他们应用知识解决问题的能力．（3）课上可以通过小问题自己的影长，旗杆的影长解决问题来激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与探索，体验成功的喜悦．（4）运用三角形相似的知识解决实际问题对于学生来说难度较大，可以适当增加课时．例题的意图相似三角形的应用主要有如下两个方面：（1）测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)；（2）测距(不能直接测量的两点间的距离) ．本节课使学生掌握测高和测距的方法．知道在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造和实物所在三角形相似的三角形，而且要能测量已知三角形的各条线段的长，运用相似三角形的性质列出比例式求解．讲课时，可以让学生思考用不同的方法解这几个实际问题，以提高从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题的能力．应让学生多见些不同类型的有关相似三角形的应用问题，便于学生理解：世上许多实际问题都可以用数学问题来解决，而本节的应用实质是：运用相似三角形相似比的相关知识解决影长问题，并让学生掌握运用这方面的知识解决在自己生活中的一些实际问题的计算方法．教学过程：一、课堂引入回顾：1、判断两三角形相似有哪些方法?（1）.定义: （2）.定理(平行法):（3）.判定定理一(边边边):（4）.判定定理二(边角边):（5）.判定定理三(角角):2、相似三角形有什么性质？对应角相等，对应边的比相等，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。
投影在实际生活中的应用投影问题在日常生活中随处可见，解答这类题时要注意分清本质（即是中心投影还是平行投影问题）及每种投影的特征.例1:图1是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（ ）A 、③④②①B 、②④③①C 、③④①②D 、③①②④分析：太阳光是平行光,因而投影是平行投影,太阳光早上与地面夹角较小,到中午左右最大;即物体的投影先最长,然后变短,最后又变长;其次,,太阳是从东方升起,物体的投影的方向正好相反,不同高度的物体的投影的长度也不相同,高的物体的投影也较长,图③中物体的投影最长,其方向是西方,因此表示的时间是早上;图④中物体的投影较短,其方向是西北方向,太阳在东南边,因此表示的时间是上午;图①中物体的投影较短,其方向是东北方向,太阳在西南边,因此表示时间是下午;图②中物体投影较长,其方向是东方,因此太阳在西边,因此表示的时间是下午近傍晚时.故选C.反思:（1）在平行投影中,高的物体的投影也较长;（2）要注意方向,如光线从东边照过来,投影就在西边;（3）太阳光是特殊的平行光,要注意随着时间的推移,太阳光的方向及其投影的变化规律.例2:如图2，晚上，小亮在广场上乘凉.图2中线段AB 表示站立在广场上的小亮，线段PO 表示直立在广场上的灯杆，点P 表示照明灯.（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P ）照射下的影子；（2）如果灯杆高PO ＝12m ，小亮的身高AB ＝1.6m ，小亮与灯杆的距离BO ＝13m ，请求出小亮影子的长度.PABO图2小亮PA BCO图3图1分析:根据中心投影的特征,先确定A 点的投影,从而画出小亮的影子,再将这一问题转化为数学问题,用相似三角形的知识求解.解：（1）如图3，连接PA 并延长交地面于点C,线段BC 就是小亮在照明灯(P)照射下的影子.（2）在△CAB 和△CPO 中， ∵ ∠C =∠C ，∠ABC =∠POC =90°， ∴ △CAB ∽△CPO .∴COCBPO AB =. ∴ BC BC+=13126.1. ∴ BC =2.∴ 小亮影子的长度为2m.例3:某校墙边有两根木杆.（1）某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图4所示,你能画出乙木杆的影子吗?(用线段表示影子)（2）在图4中,当乙木杆移动到什么位置时,其影子刚好不落在墙上? （3）在你所画的图中有相似三角形吗?为什么?分析:所要画出的乙木杆的影子与甲木杆形成的影子是同一时刻,根据同一时刻两物体的高度比等于其影长的比,同时,在同一时刻太阳光线是互相平行的,平行移动乙杆,使其杆顶端的影长恰好抵达墙角.解: （1）如图5,过E 点作直线D D '的平行线,交D A '所在直线于E ',则E B '为乙木杆的影子.（2）平移由乙杆、乙杆的影子和太阳光线所构成的图形（即E BE '∆），直到其影子的顶端E '抵达墙角.（3）D AD '∆与E BE '∆相似.反思:由一物体及其影长,画出同一时刻另一物体的影子,其作法是:（1）过已知物体的顶端及其影长的端点作一直线,再过另一物体的顶端作之前所作的直线的平行线,交已知物体的影子所在直线于一点,则该点到该物体的底部的线段即为影长.但D ' 甲 EBD A 乙 图4D '甲 E B DA乙 图5E 'ED '甲 BDA乙 图6EE '应注意以下两点:①两物体必须在同一平面内;②所求物体必须在已知的影子所在的直线上.（2）在同一时刻,不同物体的底部中点、顶端的中心及影子的端点所构成的三角形是相似三角形.。
用相似三角形解决实际问题的步骤和技巧相似三角形是几何学中的一个重要概念，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍用相似三角形解决实际问题的步骤和技巧。
一、了解相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边的比值相等。
这意味着如果已知一个三角形的一组对应角相等，则可以通过确定比值来确定另一个三角形的对应边长。
二、确定相似三角形的条件在解决实际问题时，我们需要根据已知条件确定相似三角形的条件。
一般来说，常见的相似三角形条件有以下几种：1. AA相似条件：两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
2. SSS相似条件：两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。
3. SAS相似条件：两个三角形的一对对应边成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似。
三、应用相似三角形解决实际问题的步骤解决实际问题时，我们可以按照以下步骤使用相似三角形：1. 了解问题：仔细阅读问题，理解给出的条件和要求。
2. 绘制图形：根据问题中给出的信息，绘制出问题所描述的图形。
确保图形准确无误。
3. 确定相似三角形：根据给出的条件和已知信息，确定哪些三角形是相似的。
4. 建立比例关系：根据相似三角形的性质，建立相应的比例关系。
可以利用两个三角形中对应边的长度比值来建立等式。
5. 求解未知量：利用已知条件和建立的比例关系，求解问题中的未知量。
可以通过代入已知量和已知比例求解。
四、注意事项和技巧在应用相似三角形解决实际问题时，需要注意以下几点：1. 注意单位：在求解时，要根据问题中给出的单位进行计算，并给出相应的单位答案。
2. 注意精度：在计算中，要注意四舍五入和保留有效数字的规则，确保结果的精度符合要求。
3. 检查答案：在求解完毕后，要对结果进行检查，确保符合问题的要求和已知条件。
4. 灵活运用：在实际问题中，可以灵活运用相似三角形解决问题。
有时候需要通过构造相似三角形来求解难题。
综上所述，相似三角形是解决实际问题的有力工具。
利用相似三角形和解直角三角形解决影子问题备课人：审阅：初三数学组班级：姓名：________教师寄语：成功属于每天都努力学习的人！【学习目标】利用相似三角形、直角三角形的知识解决生活实际问题。
【重难点】将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再利用相似三角形和解直角三角形的知识使问题解决。
类型1、影子照在墙上数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的不全落在地面，有一部分落在教学楼的墙壁（如图），其影长为2米，落在地面的影长为11.2米，则树高为多少米？导练：小青同学想利用影长测量学校旗杆AB的高度．某一时刻他测得长1米的标杆的影长为1.4米，与此同时他发现旗杆AB的一部分BD落在地面，另一部分CD落在楼房的墙壁，分别测得其长度为11.2米和2米，如图所示．请你帮他求出旗杆AB的高度．类型2、影子照在台阶上数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的是0.9米，但当他们马测量树高时，发现树的不落在地面，有一部分落在教学楼的台阶，且的末端刚好落在最后一级台阶的端C处．同学们认为继续量也可以求出树高，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同）．请你和他们一起算一下，树高为多少．（假设两次测量时太阳光线是平行的）导练：某校初三年级数学兴趣小组的同学准备在课余时间测量校园内一棵树的高度．一天，在阳光下，一名同学测得一根长为l米的竹竿的影长为0.6米，同一时刻另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在实验楼的第一级台阶上，此时测得落在地面上的影长为4.6米，落在台阶上的影长为0.2米，若一级台阶高为0.3米（如图），求树的高度？类型3、影子照在斜坡上1、如图，小鹏准备测量学校旗杆的高度．他发现当正对着太阳时，旗杆AB的恰好落在水平地面BC和坡面CD，测得旗杆在水平地面的影长BC=20米，在坡面的影长CD=8米，太阳光线AD与水平地面成30°角，且太阳光线AD与坡面CD互相垂直．请你帮小鹏求出旗杆AB的高度（精确到1米）2、如图，一的倾斜角为30°，坡有一棵树AB，当太阳光线与水平线成70°沿下时，在的树影BC长为4米，求树高AB．（精确到0.1米）（参考数据：sin70°≈0.9397，cos70°≈0.3420，tan70°≈2.7475）【思路归纳】。
学习投影的技巧一、归纳概念㈠投影:用光线照射物体,在某个平面上得到的影子叫做物体的投影。
其中光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.如我们看电影时,就是通过放映机把影像投射在幕布上形成的影子,幕布所在的平面即为投影面。
㈡中心投影和平行投影1、平行投影:由平行光线形成的投影是平行投影．如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影。
物体所处的位置、方向及时间影响该物体的平行投影：①不同时刻、同一地点、同一物体的影子的长度不同；②同一时刻、同一地点、不同物体的影子的长度与它们的物体的长度成正比．例1：四副图形中，表示两颗小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（)分析：太阳光是平行光,因而投影是平行投影。
在平行投影中,物体的影子应在同一个方向,且高的物体的投影也应较长。
选A．反思:掌握平行投影的特征,理解在实例中探究的物体在太阳光下所形成的影子的大小及方向。
２、中心投影：由同一点(点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影.如物体在灯泡发出光的照射下形成影子就是中心投影．光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影:①同一物体相对同一光源的距离近时的影子比远时的影子短;②光源方向或物体的位置改变，则该物体与影子的方向也发生变化,但光源、物体的影子始终分居物体的两侧。
3、平行投影与中心投影的关系⑴联系:平行投影与中心投影都是投影，都是物体在光线下形成的影子。
ﻬ⑵区别:平行投影是在平行光线下所形成的投影，同一时刻，同一地点上的物体与物体若平行，则它们的影子与影子平行或在同一条直线上，且物体的长与影子成比例.中心投影是从一点出发的光线所形成的投影,同一光源下,物体与影子所在直线交于一点，过影子顶端与物体顶端的直线相交于光源处。
例2：如图２,小亮同学在晚上由路灯A走向路灯B,当他走到点P时,发现他的身影顶部正好接触路灯B 的底部,这时他离路灯A2５米,离路灯B5米，如果小亮的身高为1.6米,那么路灯高度为( )Ａ.6.4米 B.8米 C 。
∟°30AB E 4C 2F 2G 30∟°E 2小聪的影子问题——基于相似三角形性质应用的影子问题探究 例1、（影子问题）（影子落在平地上）在同一时刻，小聪测得他在地上的影子长为1米，距他不远处一支竖直旗杆的影长为5米，已知小聪的身高为1.6米，求旗杆的高度。
变式1：（影子落在竖直的墙壁上）小聪想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度.变式2：（影子落在台阶上）小聪想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿影长0. 4米，在同时刻测量旗杆的影长时，影子不全落在地面上，有一部分落在第一级台阶上，测得此影长为0.4米，一级台阶高0.3米，此时落在地面上影长为4.4米，求旗杆的高度.变式3：（影子落在台阶上）小聪在下午实践活动课后，测量西教学楼的旗杆高度．如图，当太阳从西照射过来时，旗杆AB 的顶端A 的影子落在教学楼前的平地C 处，测得在平地上EC=2米，地面上的影长BD=20米，DE=4米，坡面与水平地面的夹角为30°． 同一时刻一根长为1米的直立竹竿的影长为3.2米，根据这些数据求旗杆AB 的高度。
变式4：（影子落在台阶上） 如图，有一朝西下降的阶梯，阳光从正西边照过来，在距离阶梯6米处有一根柱子，其影子的前端恰好到达阶梯的第三阶。
此外，竖立一根长70cm 的杆子，测量其影子的长度为175cm ，又知阶梯各阶的高度与宽度均为50cm ，求柱子的高度。
变式5：（影子落在斜坡上）小聪在下午实践活动课时，测量西教学楼的旗杆高度．如图，当太阳从西照射过来时，旗杆AB 的顶端A 的影子落在教学楼前的斜坡E 处，测得在地面上的影长BD=20米，DE=2米，坡面与水平地面的夹角为30°．同一时刻一根长为1米的直立竹竿的影长为2.6米，根据这些数据求旗杆ABG F E D C A AB 12H 434.821.6变式6：（影子落在斜坡上）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m ，塔影长DE=18 m ，小聪和小阳的身高都是1.6m ，同一时刻，小聪站在点E 处，影子在坡面上，小阳站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，求塔AB 的高度。
1、（相似三角形影子问题大世界）
1例1、如图,一名同学(用AB表示),站在阳光下,通过镜子C恰好看到旗杆ED
的顶端,已知这名同学的身高是1.60米,他到影子的距离是2米,镜子到旗杆的
距离是8米,求旗杆的高.
2变式练习1:某数学课外实习小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影子长为1.35米，因大树靠近一栋建筑物，大树的影子不全在地面上，他们测得地面部分的影子长BC=3.6米，墙上影子高CD=1.8米，求树高AB。
3变式练习2：如图，零件的外径为16cm，要求它的壁厚x，需要先求出内径AB，现用一个交叉钳(AD与BC相等)去量，若测得OA:OD=OB:OC=3:1，CD＝5cm，你能求零件的壁厚x吗？
4例2、如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED。
E D
C B
A
5变式练习1：、我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。
若此时眼睛到食指的距离约为40cm ，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？
6变式练习2：小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度 1.2CD =m ，
0.8CE =m ，30CA =m （点A E C 、、在同一直线上）
． 已知小明的身高EF 是1.7m ，请你帮小明求出楼高AB （结果精确到0.1m ）．
7变式练习3：（2010•鞍山）如图小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=4 m ，BC=10 m ，CD 与地面成30°角，且此时测得1 m 杆的影子长为2 m ，则电线杆的高度约为多少米？（结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73）
D
C
A
8例3、为了测量路灯（OS ）的高度,把一根长1.5米的竹竿（AB ）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（BC ）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB ‘）,再把竹
A B
D
F
9竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长（B ‘C ‘）为1.8米,求路灯离地面的高度.
10变式练习1：如图，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度。
A
11变式练习2：晚上，小亮走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两盏相同高度的路灯之间，并且自己被两边的路灯罩在地上的影子成一直线时，自己右边的影子长3米，左边影子长为1.5米，如图所示，已知自己身高为1.80米，两盏路灯之间相距12米，求路灯的高度。
H
G F
E
D
C
B
A
12例4（备用）、如图,小明测得树AB 落在水平地面上的的影长BC 为2.4米，落在坡面上的影长CE 为3.2米，身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落在坡面上，长度
h S A C
B B '
O
C '
A 'D
F
B
C
E G
为2米。
已知坡面的铅直高度CH 与水平距离DH 的比为3:4，试求树AB 德高度。
E
D
H
C
B
A
13变式练习1（备用）：如图所示，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12米，塔影长DE=18米，小明和小华的身高都是1.6米，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2米和1米，那么塔高AB 为多少米？
14、如图1，高4 m 的旗杆在水平地面上的影子长6 m ，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m ，求该建筑物的高度BC= .
图1 图2
15、如图2，DE ⊥EB,AB ⊥EB,∠ACB=∠DCE,DE=10米,EC=12米,BC=18米,则AB= .
16（3）（影子落在平地上）在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是 米.
17（5）如图，甲、乙两同学欲测量学校旗杆的高度，甲作观测者，乙拿来一根长4米的竹竿，在甲与旗杆之间竖立，竹竿底部离旗杆底部8米，离甲2米，甲身高1.6米，则旗杆的高度是__________米.
18(2)（影子落在竖直的墙壁上） 赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图4，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校
2米
9.6米
旗杆的高度为________米．
19（3）（影子落在斜坡上）如图，小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4cm,BC=10cm，CD与地面成30°的角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为米。
20（4）（影子落在台阶上）如图，有一朝西下降的阶梯，阳光从正西边照过来，在距离阶梯6米处有一根柱子，其影子的前端恰好到达阶梯的第三阶。
此外，树立一根长70cm的杆子，测量其影子的长度为175cm，又知阶梯各阶的高度与宽度均为50cm，
则柱子的高度为米。
21四、探索题
21.在“测量物体的高度”活动中，成华中学九年级（4）班的数学兴趣小组中的4名同学选择了测量校园里的四棵树的高度.在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：贝贝：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图16）.
京京：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图17），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米.
欢欢：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图18），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米.
妮妮：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图19）.
身高是1.6m的妮妮站在坡面上，影子也都落坡面上，贝贝测得他的影长为2m.
图16 图17
图18 图
四、
21.甲树高5.1米.如图1，设AB 为乙树的高度，BC ＝2.4，因为四边形AECD 是平行四边形，所以AE ＝CD ＝1.2，由题意得
BE BC ＝2.4BE ＝1
0.8
，解得BE ＝3，故乙树的高度AB ＝AE +BE ＝4.2米.丙树的高度为6.05米.如图2，设AB 为丁树的高度，BC ＝2.4，CD ＝3.2，因为四边形AECF 是平行四边形，所以AE ＝CF ，由题意得BE BC ＝2.4BE ＝10.8，解得BE ＝3.AE
CD
＝3.2CF ＝1.6
2
，解得CF ＝2.56.故丁树的高度AB ＝AE +BE ＝AE +CF ＝5.56米.
22.如图6，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米.若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A.0.36π米2
B.0.81π米2
C.2π米2
D.3.24π米2
图6
A
B
D
E
C
图1
F
A
B
D E C
图2。
