线与角的相关计算与证明(讲义及答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：看到平行想什么？问题2：看到垂直想什么？问题3：看到三角形的外角想什么？问题4：与角有关的定理，我们都学了哪些？角的相关计算和证明（二）（人教版）一、单选题(共7道，每道14分)1.如图，直线AB∥CD，BE交CD于点F，若∠B=125°，∠D=45°，则∠E=( )A.70°B.80°C.90°D.100°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理2.如图，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，BE⊥AC于点E，交CD于点F．若∠C=43°，则∠B的度数为( )A.43°B.45°C.47°D.40°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂直的定义3.如图，将Rt△ABC的直角顶点C放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( )A.50°B.60°C.70°D.80°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理4.如图，AB∥EF∥CD，若∠F=130°，∠C=65°，则∠CBF的度数为( )A.15°B.32.5°C.25°D.50°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平行线的性质5.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，若∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE的度数为( )A.20°B.18°C.36°D.15°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角6.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=100°，∠C=40°，点E在BC上，连接AE，AF交BC于点D，且∠DAE=50°，∠EAC=30°，求∠1的度数．某同学有以下几种思考方向，其中错误的是( )A.在△ADC中利用三角形的内角和等于180°直接计算B.根据∠AED是△AEC的一个外角，先利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠AED，再在△ADE中利用三角形的内角和等于180°计算C.先根据题目条件求出∠B和∠BAD的度数，再根据∠1是△ABD的一个外角，利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算D.先根据题目条件求出∠F和∠DEF的度数，再根据∠1是△DEF的一个外角，利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角7.如图，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，若∠E=25°，则∠A的度数为( )A.30°B.50°C.37.5°D.45°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外角。

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B 1D 1A D C 1BC A 1线线角与线面角一、课前预习1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2， E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3，AD 、BC 所成的角为 .2。

如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中 ,B1C 和C1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C 和C1D 所成角的余弦值为 （ ）63（A)。

46 （B ）。

36 (C).62 (D)。

3.平面α与直线a 所成的角为3π，则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是 ．4。

如图，ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD ，PD=AD,则PA与BD 所成的角的度数为 (A ）。

30ο (B ）。

45ο (C ）.60ο (D ）.90ο5。

有一个三角尺ABC ，∠A=30ο， ∠C=90ο，BC 是贴于桌面上，当三角尺与桌面成45ο角时，AB 边与桌面所成角的正弦值是 ．二、典型例题例1。

(96·全国） 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60ο角，求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值。

【备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有：A CB D B PCD A C B①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线的关系。

专题41 线段、角与相交线聚焦考点☆温习理解一、线段、射线、直线1．线段的基本性质在所有连结两点的线中，线段最短．2．直线的基本性质经过两点有一条而且只有一条直线．二、角与角的计算1．角的基本概念由两条有公共端点的射线组成的图形叫做角；如果一个角的两边成一条直线，那么这个角叫做平角；等于90°的角是直角；大于直角小于平角的角是钝角，小于直角的角是锐角．2．角的计算与换算1周角＝360度，1平角＝180度，1直角＝90度，1度＝60分，1分＝60秒．3．余角、补角及其性质(1)互为补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角 .(2)互为余角：如果两个锐角的和是一个直角，那么这两个角互为余角．(3)性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等．4．角平分线(1)角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．(2)性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等；角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.三、相交线1．邻补角、对顶角及其性质(1)如图所示，直线a，b相交，形成四个角．图中的邻补角有∠1和∠2，∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4；图中的对顶角有∠1和∠3，∠2和∠4.(2)性质：邻补角互补；对顶角相等．2．垂线及其性质(1)垂线：当两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．(2)性质：①在同一平面内，过一点有一条而且只有一条直线垂直于已知直线；②一般地，连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．(3)直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．3．线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．名师点睛☆典例分类考点典例一、线段与直线的性质【例1】如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线．能解释这一实际应用的数学知识是( )A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．垂线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】A．考点：直线的性质：两点确定一条直线．【点睛】本题考查了线段的性质，牢记线段的性质是解题关键．【举一反三】把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是( )A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边【答案】C．考点：线段的性质：两点之间线段最短．考点典例二、度分秒的换算．【例2】计算：50°－15°30′＝ .【答案】34°30′【解析】试题分析：根据度化成分乘以60，可得度分的表示方法，根据同单位的相减，可得答案．试题解析：原式=49°60′-15°30′=34°30′．考点：度分秒的换算．【点睛】此类题是进行度、分、秒的加法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．【举一反三】1.把15°30′化成度的形式，则15°30′＝度．【答案】15.5.【解析】试题分析：根据度、分、秒之间的换算关系，先把30′化成度，即可求出答案．试题解析：∵30′=0.5度，∴15°30′=15.5度；考点：度分秒的换算．2.把角度化为度、分的形式，则20.5°＝20° .【答案】30′【解析】试题分析：1°=60′，可得0.5°=30′，由此计算即可．试题解析：20.5°=20°30′．考点：度分秒的换算．考点典例三、角平分线的性质与应用【例3】如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线．如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为( )A．50° B．60° C．65° D．70°【答案】D．考点：角的计算；角平分线的定义．【点睛】在遇到相交线问题时，会产生对顶角和邻补角；在遇到角平分线问题时，会产生相等的角或角的倍分关系.灵活运用这些性质，会给解题带来方便，在中考命题中，通常与三角形的内角和定理或特殊三角形的性质结合在一起考查.【举一反三】（2015.山东滨州第6题，3分）如图，直线AC∥BD， AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么∠BAO与∠ABO之间的大小关系一定为( )A.互余B.相等C.互补D.不等【答案】A考点：平行线的性质，角平分线，互为余角考点典例四、余角与补角【例3】（2015·湖南株洲）已知∠α＝35°，那么∠α的余角等于( )A、35°B、55°C、65°D、145°【答案】B【解析】试题分析：互余的两个角和为90°，从而解得考点：互余两个角的性质【点睛】此题主要考查了互为余角的性质，正确记忆互为余角的定义是解决问题的关键．【举一反三】（2015.山东济南，第3题,3分）如图，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的度数是（）A． 35°B． 45°C． 55°D． 70°【答案】C【解析】试题分析：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，所以∠2+∠1=90°，∵∠1=35°，∴∠2=55°，故选：C．考点：1.余角和补角；2.垂线．课时作业☆能力提升一、选择题1.（2015·黑龙江绥化）将一副三角尺按如图方式进行摆放，∠1、∠2不一定互补的是（）【答案】D考点：互补.2.如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm，BC=4cm，则AD的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【答案】B.【解析】试题分析：∵AB=10cm，BC=4cm，∴AC=AB﹣BC=6cm，又点D是AC的中点，∴AD=12AC=3m，故选B.考点:两点间的距离．3.（2015.山东菏泽第2题，3分）将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A．140° B．160° C．170° D．150°【答案】B．考点：直角三角形的性质．4.（2014·苏州）已知∠α和∠β是对顶角，若∠α＝30°，则∠β的度数为【】A．30° B．60° C．70° D．150°【答案】A.【解析】试题分析：∵∠α和∠β是对顶角，∴∠α=∠β.∵∠α=300，∴∠β=300.故选A.考点：对顶角的性质.5.若∠α=30°，则∠α的余角等于度.【答案】60.【解析】试题分析：直接根据余角的概念和特殊角的三角函数值作答：∠α的余角等于60度1 2 .考点：1. 余角的概念.6.（2015·湖北鄂州，6题，3分）如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD 的平分线F P相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF=（）度．A．70 B．65 C．60 D．55【答案】A.考点：1.平行线的性质；2.三角形内角和定理．7.如图，直线AB、CD相交于O，射线OM平分∠AOC,ON⊥OM,若∠AOM =350，则∠CON的度数为【】(A) .350 (B). 450 (C) .550（D). 650【答案】C．【解析】试题分析：由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出∠CON=∠MON-∠MOC 得出答案：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，∴∠MOC=35°.∵ON⊥OM，∴∠MON=90°.∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-35°=55°．故选C．考点：1.垂线的定义；2.对顶角的性质；3.邻补角的意义．8. (2015.河北省，第8题，3分)如图，AB//EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝（）A.120°B.130°C.140°D.150°【答案】C【解析】试题分析：如图，延长DC交直线AB于点M，∵AB∥EF，CD⊥EF，∴∠AMC=90°，∴∠ACD=50°＋90°=140°.故选：C考点:平行线的性质，三角形的外角性质9.如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线.如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为【】A．50°B．60°C．65°D．70°【答案】D．考点：1.角的计算；2.角平分线的定义．10.（2015.山东泰安，第5题）（3分）如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（）A．122° B．151° C．116° D．97°【答案】B．【解析】试题分析：∵AB∥CD，∠1=58°，∴∠EFD=∠1=58°，∵FG平分∠EFD，∴∠GFD=12∠EFD=12×58°=29°，∵AB∥CD，∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．故选B．考点：平行线的性质．11.如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是（）A．北偏西30° B．北偏西60°C．东偏北30°D．东偏北60°【答案】B．考点：方向角．12.将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（）A． 4个B．3个 C．2个 D．1个【答案】C．【解析】试题分析：由互余的定义、平行线的性质，利用等量代换求解即可．试题解析：∵斜边与这根直尺平行，∴∠α=∠2，又∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠α=90°，又∠α+∠3=90°∴与α互余的角为∠1和∠3．故选：C ．考点：平行线的性质；余角和补角．13.（2015·湖北黄冈，5题，3分）如图，a ∥b ，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【答案】D ．【解析】试题分析：∵a ∥b ，∠3=40°，∴∠1+∠2=180°﹣40°=140°，∠2=∠4，∵∠1=∠2，∴∠2=12×140°=70°，∴∠4=∠2=70°．故选D ． 14.若∠α的补角为76°28′，则∠α= ．【答案】103°32′【解析】试题分析：根据互为补角的概念可得出∠α=180°-76°28′．试题解析：∵∠α的补角为76°28′，∴∠α=180°-76°28′=103°32′考点：余角和补角；度分秒的换算．15.(2015·湖北荆门，6题，3分)如图，m ∥n ，直线l 分别交m ，n 于点A ，点B ，AC ⊥AB ，AC 交直线n 于点C ，若∠1=35°，则∠2等于（ ）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C．【解析】试题分析：如图，∵AC⊥AB，∴∠3+∠1=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣35°=55°，∵直线m∥n，∴∠3=∠2=55°，故选C．考点：平行线的性质．16. (2015.陕西省，第4题，3分)如图，AB//CD,直线EF分别交直线AB、CD于点E、F,若∠1=46°30′，则∠2的度数为（）A.43°30′B.53°30′C.133°30′D.153°30′【答案】C考点：平行线的性质、补角的定义.。

章节预习讲义（北师大版）北师大版数学四年级上册章节预习第二单元《线与角》知识互联知识导航知识点一：线的认识、线与线之间的位置关系1. 线的认识-线段、射线与直线的认识以及线段的性质两点之间所有连线中线段最短。

2. 相交与垂直-认识相交、垂直与画垂线的方法从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂直线段最短，它的长度叫作这点到直线的距离。

3. 平移与平行-认识平行线及平行线的画法平行线间的垂直线段的长度叫作平行线间的距离；平行线间的距离处处相等。

知识点二：旋转与角-平角和周角的认识角的大小与所画两边的长短无关，与两边叉开的大小有关。

知识点三：角的度量1. 认识角的度量单位角的度量单位是“度”，用符号“°”表示。

将圆平均分成360份，其中的一份所对的角的大小叫作1度(记作1°)。

2. 认识量角器、用量角器度量角的度数和用量角器画指定度数的角量角器上有两圈刻度，量角、画角时要分清内、外圈刻度。

夯实基础一、精挑细选（共5题；每题2分，共10分）1．(本题2分)（2021·大连明星小学四年级期末）下图中表示一条射线的是（）。

A．B．C．D．2．(本题2分)（2021·辽宁四年级单元测试）在平行四边形ABCD中，CD和AB是（）。

A．互相垂直B．互相平行C．不平行也不垂直3．(本题2分)（2021·广东光明区·四年级期末）下图是由一副三角板拼成的，则1是（）。

A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．平角4．(本题2分)（2021·辽宁四年级单元测试）两条直线相交所成的四个角中，如果有一个是锐角，那么一定还有两个角是（ ）。

A ．直角B ．钝角C ．锐角5．(本题2分)（2019·全国四年级课时练习）图中一共有（ ）条线段．A ．4条B ．10条C ．12条二、仔细想，认真填（共12题；每空1分，共31分）6．(本题4分)（2021·辽宁四年级专题练习）下面哪两条直线会相交？会的画“√”。

线与角的相关计算与证明（讲义）➢课前预习1.线段上的点把线段分成相等的两条线段，则这个点叫做线段的________．2.如图，若点C为线段AB的中点，则中点的六种表示是_______________________________________________________________________________________________________．ACB3.从一个角的顶点引出一条______，把这个角分成两个相等的角，这条_______叫做这个角的平分线．4.如图，若OC为∠AOB的平分线，则角平分线的六种表示是_____________________________________________________________________________________________________．ACO B➢知识点睛几何题的处理思路：①读题标注；②走通思路；③条理表达．当角平分线出现时，为了计算方便，通常采用________的方式表达．➢ 精讲精练1. 如图，已知线段AB 和CD 的公共部分1134BD AB CD ==，线段AB ，CD 的中点E ，F 之间的距离是10 cm ，求AB ，CD 的长．F E D CB A2. 如图，同一直线上有A ，B ，C ，D 四点，已知2=3DB AD ，5=2AC CB ，CD =4 cm ，求AB 的长．DC B A3. 如图，已知线段AB =6，C 是AB 延长线上一点，D ，E 分别是AC ，BC 的中点．（1）若BC =4，则DE =__________； （2）若BC =8，则DE =__________；（3）通过以上计算，你能发现AB 与DE 之间的数量关系吗？并说明理由．E D CB A4. 如图，B 是线段AD 上一动点，沿A →D 以2 cm/s 的速度运动，C 是线段BD的中点，AD =10 cm ，设点B 的运动时间为t 秒． （1）当t =2时： ①AB =__________cm ； ②求线段CD 的长度．（2）在运动过程中，若AB 的中点为E ，则EC 的长是否变化？若不变，求出EC 的长；若发生变化，请说明理由．B DA C5. 如图，点O ，A ，B 在同一直线上，OC 平分∠AOD ，OE 平分∠FOB ，∠COF =∠DOE =90°，求∠AOD 的度数．FED C BAO6. 如图，点O 在直线AB 上，∠COA =90°，∠DOE =90°，若∠COE =15∠BOD ，求∠COE ，∠BOD ，∠AOE 的度数．OED CBA7. 已知：如图，∠AOB 是直角，∠AOC =40°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线． （1）求∠MON 的大小；（2）当锐角∠AOC 的大小发生改变时，∠MON 的大小是否发生改变？为什么？CBA OM N8. 如图，∠AOC 比∠BOC 小30°，∠AOC =50°，OD 平分∠AOB ．（1）求∠DOC 的度数；（2）若去掉条件∠AOC =50°，∠DOC 的度数求得出来吗？若求得出来，是多少？DCBAO9. 如图，已知∠MON =150°，∠AOB =90°，OC 平分∠MOB ．（1）若∠AOC =35°，则∠BOC =__________°， ∠NOB =__________°；（2）若∠NOB =10°，则∠BOC =__________°， ∠AOC =__________°；（3）若∠AOC =α，∠NOB =β，请直接写出α与β之间的数量关系．ABCMNO10. 如图1，∠AOC 与∠BOD 都是直角，∠BOC =50°．（1）∠AOB =_______，∠DOC =_______；（2）若∠BOC 的具体度数不稳定，其他条件不变，∠AOB 和∠DOC 大小关系是∠AOB _______∠DOC ；（3）试猜想∠AOD 与∠COB 在数量上是什么关系？你能用推理的方法说明你的猜想是否合理吗？（4）当∠BOD 绕点O 旋转到图2位置时，∠AOD 与∠COB 在数量上是什么关系？请直接写出．图1DCB A图2O DCBA11. 如图，OC 是∠AOB 内一条射线，OD ，OE 分别是∠AOC 和∠BOC 的平分线．（1）如图1，当∠AOB =80°时，∠DOE 的度数为_____°；（2）如图2，当射线OC 在∠AOB 内绕点O 旋转时，∠BOE ，∠EOD ，∠DOA 之间有怎样的数量关系？并说明理由；（3）当射线OC 在∠AOB 外如图3所示位置时，（2）中三个角：∠BOE ，∠EOD ，∠DOA 之间数量关系的结论是否还成立？给出结论并说明理由； （4）当射线OC 在∠AOB 外如图4所示位置时，∠BOE ， ∠EOD ，∠DOA 之间的数量关系是________________．EABDO图1CE ABD O图2CEABDO图3CEA BD O图4C【参考答案】 ➢ 课前预习1. 中点2. AC =BC ，BC =AC12AC AB =，12BC AB =AB =2AC ，AB =2BC 3. 射线，射线4. ∠AOC =∠BOC ，∠BOC =∠AOC ，∠AOC =12∠AOB ，∠BOC =12∠AOB∠AOB =2∠AOC ，∠AOB =2∠BOC➢ 知识点睛1. 设元➢ 精讲精练1. AB 的长为12；CD 的长为16；过程略2. AB 的长为3；过程略3. （1）3（2）3（3）12DE AB =；过程略 4. （1）①4；②CD 的长度为3 cm ；（2）EC 的长度不变，为5 cm ，理由略． 5. ∠AOD 的度数为60°6. ∠COE 的度数为30°；∠BOD 的度数为150°；∠AOE 的度数为120°；过程略7. （1）∠MON =45°（2）不发生改变，证明略8. （1）∠DOC 的度数为15°；过程略（2）∠DOC 的度数为15°；过程略 9. （1）55；40（2）70；20（3）1=152αβ+︒10.（1）40°；40°（2）=（3）∠AOD+∠BOC=180°；过程略（4）∠AOD+∠BOC=180°11.（1）40°；（2）∠EOD=∠BOE+∠DOA；（3）（2）中的结论不成立，∠EOD=∠DOA-∠BOE；（4）∠EOD=∠BOE+∠DOA．。

直线、射线、线段的概念：① 在直线的基础上定义射线、线段：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点． 直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点． ② 在线段的基础上定义直线、射线：把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线， 把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线． 角的概念：定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.点与直线的关系：点在直线上；点在直线外． 两个重要公理：① 经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”． ② 两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”． 两点之间的距离：两点确定的线段的长度． 线段的表示方法：① 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，无先后顺序之分，如线段AB ，如图⑸，也可以写作线段BA ．线段、角相关计算与证明知识回顾知识讲解② 也可以用一个小写字母来表示：如线段l ，如图⑹．注意：在线段的表示前面必须加上“线段”二字．用两个大写字母表示线段时字母不分先后顺序．直线、射线、线段的主要区别：类型 端点 延长线及反向延长线 用两个大写字母表示直线 0个 无 无顺序射线 1个 有反向延长线 第一个表示端点线段2个 两者都有 无顺序中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点． 角的表示方法① 利用三个大写字母来表示，如图1.1．注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1.2．(5) (6)lAB∠AOB图1.1OBA注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．③ 用数字来表示角，如图2.1．④ 用希腊字母来表示角，如图2.2．角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．模块一 线段的概念【例1】 下列说法错误的是（ ）A. A 、B 两点之间的距离为3cmB. A 、B 两点之间的距离为线段AB 的长度C. 线段AB 的中点C 到A 、B 两点的距离相等D. A 、B 两点之间的距离是线段AB【解析】略∠A图1.2A∠1图2.11∠α图2.2α同步练习【答案】D【巩固】下列说法中，正确的个数有（ ）．（1）射线AB 和射线BA 是同一条射线 （2） 延长射线MN 到C（3）延长线段MN 到A 使NA==2MN （4）连结两点的线段叫做两点间的距离 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】略 【答案】A【例2】 同一平面内有四点，过每两点画一条直线，则直线的条数是 （ ）(A)1条 (B)4条 (C)6条 (D)1条或4条或6条【解析】略 【答案】D【巩固】如图4,C 是线段AB 的中点，D 是CB 上一点，下列说法中错误的是（ ）．A ．CD=AC-BDB ．CD=BCC ．CD=AB-BD D ．CD=AD-BC 【解析】略 【答案】B【巩固】如果线段AB=13cm,MA+MB=17 cm,那么下面说法中正确的是 ( ).A ．M 点在线段AB 上 B ．M 点在直线AB 上C ．M 点在直线AB 外D ．M 点可能在直线AB 上,也可能在直线AB 外【解析】略 【答案】D【例3】 如图5,小华的家在A 处，书店在B 处，星期日小明到书店去买书，他想尽快的赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线 （ ）．2121图1A ．A →C →D →B B ．A →C →F →B C ．A →C →E →F →BD ．A →C →M →B【解析】略 【答案】B【巩固】已知点A 、B 、C 都是直线l 上的点，且AB=5cm ，BC=3cm ，那么点A 与点C 之间的距离是（ ）.A ．8cmB ．2cmC ．8cm 或2cmD ．4cm【解析】略 【答案】C模块二 线段的相关计算与证明【例4】 如图所示，线段AB 的长为8cm ，点C 为线段AB 上任意一点，若M 为线段AC 的中点，N 为线段CB 的中点，则线段MN 的长是_______________．【解析】111,,222AM AC CN CB MN AB ===． 【答案】 4cm ．【巩固】下列说法中不正确的有①一条直线上只有两个点；②射线没有端点；③如图，点是直线的中点；④射线与射线是同一条射线；⑤延长线段到，使；⑥延长直线到，使．【解析】略【答案】①②③④⑥【例5】 如图，四点A 、B 、C 、D ，按照下列语句画出图形：（1）联结A ，D ，并以cm 为单位，度量其长度；A a OA AO ABC AB BC =CDE DE CD =图2（2）线段AC 和线段DB 相交于点O ；【解析】如图所示 ， 2.17AD cm =【答案】如图所示 ， 2.17AD cm =【例6】 如图，C 为线段AB 的中点，N 为线段CB 的中点，CN=1cm.求图中所有线段的长度的和．【解析】根据题意可知有,,,,,AC AN AB CN CB NB 着6条线段2244AB AC CB CN cm ====，AC AN AB CN CB NB +++++=13cm【答案】13cm【例7】 如图，已知线段AB 上依次有三个点,,C D E 把线段AB 分成2:3:4:5四个部分，56AB =，求BD 的长度.【解析】根据题意可设2345AC x CD x DE x EB x ====，，，，所以有：1456436AB AC CD DE EB x x BD DE EB =+++====+=，，.【答案】36【巩固】已知14cm AD =，B C ，是AD 上顺次两点，且::2:3:2AB BC CD =，E 为AB 的中点，F 为CD 的中点，求EF 的长.OAD C BEDCBAEDFCBA【解析】设2AB x =，3BC x =，2CD x =，23214x x x ++=，2x =，510EF x == 【答案】10【例8】 已知线段cm ，试探讨下列问题．⑴是否存在一点，使它到，两点的距离之和等于8cm ？并试述理由．⑵是否存在一点，使它到，两点的距离之和等于10cm ？若存在，它的位置惟一吗？ ⑶当点到，两点的距离之和等于20cm 时，点一定在直线外吗？举例说明．【解析】⑴不存在．因为两点之间，线段最短．因此，cm ． ⑵存在．线段上任意一点（，除外）都是． ⑶不一定．如图：5,15,20CA cm CB cm CA CB cm ==+=【答案】不一定，举例见解析模块三 角的概念【例9】 如下图，以B 为顶点的角用三个大写字母表示为 ，用希腊字 母表示以点C 为顶点的角为 ，用数字表示为 。

角的相关计算和证明（讲义）➢ 课前预习背默我们到目前学习过的定理： （1）平行线： 判定：①_______________，两直线平行； ②_______________，两直线平行； ③_______________，两直线平行． 性质：①两直线平行，_______________； ②两直线平行，_______________； ③两直线平行，_______________． （2）余角、补角、对顶角：同角（或等角）的余角__________；同角（或等角）的补角________；对顶角________． （3）三角形：三角形的内角和等于_______； 直角三角形两锐角________；三角形的一个外角等于______________________________．➢ 知识点睛在证明的过程中，由平行想到____________、____________、____________； 由垂直想到__________________、____________________； 由外角想到________________________________________．➢ 精讲精练1. 如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC =45°，∠CEF =155°，则∠BCE =_________．F ED CBA2. 如图，在正方形ABCD 中，∠ADC =∠DCB =90°，G 是BC 边上一点，连接DG ，AE ⊥DG 于点E ，CF ⊥DG 于点F ．若 ∠DAE =25°，则∠GCF =_________．G FE DC BA3. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠C =45°，在Rt △AFG 中，∠G =90°，∠FAG =45°，∠CAG =20°，则∠AEB =_______，∠ADC =________．4. 如图，点F 是△ABC 边BC 延长线上一点，EF∥AC ，过点E 作ED ⊥AB 于点D ，交AC 于点G ．若∠A =35°，则∠DEF =______．5. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，P 为BC 上一点，且∠1=∠2，则∠APD =________．21PDBA GFE DCBAG F E DC BA6. 已知：如图，直线BD 交CF 于点D ，交AE 于点B ，连接AD ，BC ，∠1+∠2=180°，∠A =∠C ．求证：DA ∥CB ． 证明：如图，∵∠1+∠2=180° （__________________________） ∠2+∠CDB =180° （__________________________） ∴_______=_______ （__________________________） ∴______∥________ （__________________________） ∴∠A +∠CDA =180°（__________________________）∵∠A =∠C （__________________________） ∴______+______=180° （__________________________） ∴DA ∥CB （__________________________） 7. 已知：如图，E ，F 分别在AB ，CD 上，EC ⊥AF ，垂足为点O ，∠1+∠C =90°，∠2=∠D ．求证：AB ∥CD ．21O E FDCBA第6题图21F EDCBA8. 如图，在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，求∠EAD 的度数．E DC BA9. 已知：如图，点E 是△ABC 边BC 延长线上一点，BP 平分∠ABC ，CP 平分△ABC 的外角∠ACE ．求证：∠A =2∠P ．PEC B A证明：如图，设∠PBC =α，∠PCE =β ∵BP 平分∠ABC （_____________________） ∴∠ABC =2∠PBC =2α （_____________________） ∵CP 平分∠ACE（_____________________）∴∠ACE =______=_______ （_____________________） ∵∠ACE 是△ABC 的一个外角（_____________________） ∴∠ACE =∠ABC +∠A （_____________________） ∴2β=2α+∠A（_____________________）∴∠A =2(β-α) （_____________________） ∵∠PCE 是△BCP 的一个外角（_____________________） ∴∠PCE =∠PBC +∠P（_____________________）∴β=______+_______ （_____________________）∴∠P =β-α （_____________________） ∴∠A =2∠P （_____________________）10.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠ACB，CD⊥AB，垂足D．求证：∠A=2∠BCD．ADCB【参考答案】 ➢ 课前预习（1）同位角相等；内错角相等；同旁内角互补． 同位角相等；内错角相等；同旁内角互补； （2）相等；相等；相等（3）180°；互余；和它不相邻的两个内角的和➢ 知识点睛同位角、内错角、同旁内角直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和➢ 精讲精练1. 20°2. 25°3. 65°，70°4. 125°5. 60°6.已知 平角的定义∠1，∠CDB ；同角的补角相等 AB ，CD ；同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 已知∠C ，∠CDA ；等量代换 同旁内角互补，两直线平行 7. 证明：如图，21O E FD CBA∵EC ⊥AF （已知）∴∠COF =90° （垂直的定义）∴∠C +∠2=90° （直角三角形两锐角互余） ∵∠1+∠C =90 （已知）∴∠1=∠2 （同角的余角相等） ∵∠2=∠D （已知） ∴∠1=∠D （等量代换）∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）8. 解：如图，在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75° （已知）∴∠BAC =180°-∠B -∠C=180°-35°-75° =70°（三角形的内角和等于180°） ∵AE 平分∠BAC（已知）∴∠BAE =12∠BAC =12×70° =35°（角平分线的定义）∵∠AED 是△ABE 的一个外角（外角的定义）∴∠AED =∠B +∠BAE =35°+35° =70° （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∵AD ⊥BC（已知） ∴∠ADE =90°（垂直的定义）∴∠EAD =90°-∠AED=90°-70° =20°（直角三角形两锐角互余）9. 已知角平分线的定义 已知2∠PCE ，2β；角平分线的定义 外角的定义三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 等量代换 等式性质 外角的定义三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 α，∠P ；等量代换 等式性质EDCA等量代换10.证明：如图，设∠B=∠ACB=α，在△ABC中，∠B=∠ACB=α（已知）∴∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-2α（三角形的内角和等于180°）∵CD⊥AB（已知）∴∠BDC=90°（垂直的定义）∴∠B+∠BCD=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠BCD=90°-∠B=90°-α（等式的性质）∴∠A=2∠BCD（等量代换）DC BA。

考点一线段与角知识点整合一、直线、射线、线段1．直线的性质（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；（3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．2．线段的性质两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．3．线段的中点性质若C是线段AB中点，则AC=BC=12AB；AB=2AC=2BC．4．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．5．垂线的性质（1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；（2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．6．点到直线的距离从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．二、角1．角有公共端点的两条射线组成的图形．2．角平分线（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=12∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．3．度、分、秒的运算方法1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．4．余角和补角（1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．5．方向角和方位角在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．考向一直线、射线、线段在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：①按照已知条件画出图形是正确解题的关键；②观察图形，找出线段之间的关系；③简单的问题可通过列算式求出，复杂的问题可设未知数，利用方程解决．典例引领AB BC CA的位置关系如图所示，则下列语句不正确的是（）1．直线,,AB BC CA两两相交A．点A在直线AC上B．直线,,AB AC的交点D．直线BC经过点AC．点A是直线,【答案】D【分析】本题主要考查点与直线的位置关系，根据直线与点的位置关系即可求解．【详解】解：A.点A在直线AC上是正确的，故选项A不符合题意；AB BC CA两两相交是正确的，故选项B不符合题意；B.直线,,C.点A是直线AC，AB的交点，故选项C不符合题意；D.直线BC 不经过点A ，故选项D 符合题意，故答选：D ．2．已知点A B C D 、、、是同一条直线上依次排列的四个不同的点，那么到点A B C D 、、、的距离之和最小的点（）A ．只有线段AD 的中点B ．只有点B 或点CC ．是直线AD 外一点D ．有无数个【答案】D【分析】本题考查点到直线的距离，具体到本题则为线段的性质，即两点之间线段距离最短即可求解，根据题意可知，点到四个点的距离的和最小的点有无数多个．【详解】解：由两点之间线段最短可知，到A B C D 、、、的距离之和最小的点有无数多个，但此点在直线上．故选：D ．3．如图，点C 为线段AB 上一点，若7AB =，3BC =，则AC =（）A ．10B ．7C ．5D ．4【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差．熟练掌握线段的和差计算，是解决问题的关键．根据线段AB 是由AC 与BC 组成求解即可．【详解】∵点C 在线段AB 上，7AB =，3BC =，∴4AC AB BC =-=．故选：D ．变式拓展【答案】19，AQ AP PQ-=AQ PQ BQ=+=-，BQ BP PQ三、解答题5．请根据要求作图：(1)在图中作线段BC CD，；(2)在图中作射线DA；A B C D四个点的距离之和最小．(3)在图中取一点P，使点P到,,,【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查了直线，射线，线段的作图，以及两点之间线段最短，熟练掌握线段的性质是解答本题的关键．（1）根据线段的特征作图即可；（2）根据射线的特征作图即可；（2）根据两点之间线段最短解答即可．6．【问题探究】（1）如图，点C，D均在线段则线段AC的长为cm．【方法迁移】（2）已知点C，D均在线段AB的长为cm．（用含,a b的代数式表示）【学以致用】（3）已知七年级某班共有m人，在本班参加拓展课报名统计时发现，选择围棋课的人数有n人()<，其中未参加围棋课的男生是参加围棋课男生人数的一半，参加围棋课的女生n mAB表示七年级某班人数，AD表示七年级某班男生人数，考向二角1．角平分线必须同时满足三个条件：①是从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已知角平分．2．类似地，也有角的n等分线，如三等分线，如图，∠1=∠2=∠3=13∠AOD或∠AOD=3∠1=3∠2=3∠3．典例引领1．如图，甲从A 点出发向北偏西55︒方向走到点B ，乙从点A 出发向南偏西25︒方向走到点C ，则BAC ∠的度数是（）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒【答案】C 【分析】本题主要考查了方位角，根据方位角的描述进行求解即可．【详解】解：∵甲从A 点出发向北偏西55︒方向走到点B ，乙从点A 出发向南偏西25︒方向走到点C ，∴1805525100BAC =︒-︒-︒=︒∠，故选：C ．2．M ，N ，P ，Q ，O 五点在平面上的位置如图所示，则位于点O 南偏西10︒方向上的点是（）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【答案】C【分析】本题主要考查了方位角．根据方向角的定义解答即可．【详解】解：A 、点M 在点O 北偏东30︒方向上，故本选项不符合题意；B 、点N 在点O 北偏西65︒方向上，故本选项不符合题意；C 、点P 在点O 南偏西908010︒-︒=︒方向上，故本选项符合题意；D 、点Q 在点O 南偏东40︒方向上，故本选项不符合题意；故选：C3．某人下午6点多外出时，看手表两指针的夹角为110︒，下午7点前回家发现两指针的夹角仍为110︒，则他外出的时间为（）A ．30minB ．35minC ．40minD ．45min 【答案】C【分析】本题考查钟面角，一元一次方程的实际应用．根据分针每分钟走6度，时针每分钟走0.5度；设他外出的时间为x 分钟，则这段时间分针走的角度是6x ，时针走的角度是0.5x ；由于外出时，根据题意，得到分针走的角度=110度+110度+时针走的角度．列出方程进行求解即可．【详解】解：设他外出的时间为x 分钟，由题意，得： 61101100.5x x =++，解得：40x =．答；他外出的时间是40分钟．故选：C ．4．将一副三角尺按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中1∠的大小为（）A ．100°B ．105°C ．110°D ．120°【答案】B 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，由题意得3230∠=∠=︒，根据1180345∠=︒-∠-︒即可求解．【详解】解：如图所示：由题意得：3230∠=∠=︒∴1180345105∠=︒-∠-︒=︒故选：B5．一副三角板按如图所示的方式摆放，则1∠的补角的度数为（）A ．135︒B ．145︒C ．155︒D ．165︒【答案】D 【分析】本题主要考查利用三角板求度数、补角的定义等知识点，熟记各个三角板的角的度数是解题的关键．先根据直角三角板的度数求得115∠=︒，然后再求1∠补角即可．【详解】解：由图形可得：1604515∠=︒-︒=︒，∴1∠的补角的度数为：18015165︒-︒=︒．故选：D ．变式拓展三、解答题9．如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，OM ，ON ，ON 始终在OM 的右侧，112BOC ∠=︒，MON α∠=．(1)如图1，当70α=︒，OM 平分BOC ∠时，求NOB ∠的度数；②当点N '在OH 的左侧时，HON ∠563026N OB '∴∠=︒-︒=︒，NON ∴∠166441.5t ∴=︒÷︒=；综上，旋转一共用了26.5s 或41.5s ；（3）解：n 为54.4︒或144︒．当090n <<°°时，如图，BOF n ∠= ，180AOF n ∴∠=︒-，2FOA AOM ∠=∠ ，119022AOM AOF n ∴∠=∠=︒-，90MON ∠=︒ ，BOF n ∠= ，180AOF n ∴∠=︒-，2FOA AOM ∠=∠ ，119022AOM AOF n ∴∠=∠=︒-，90MON ∠=︒ ，∴15030120BOC ∠=︒-︒=︒，∴012t ≤≤；①如图：∴30DOD t '∠=︒，10COC t '∠=︒，而120C OD ''∠=︒，∴302010120t t +-=，解得：5t =；②如图：∴10COC t '∠=︒，36030DOD t '∠=︒-︒，而120C OD ''∠=︒，∴360301020120t t -+-=，解得：11t =；综上：当5t =或11t =时，120COD ∠=︒．11．已知120AOB ∠=︒，射线OC 在AOB ∠的内部，射线OM 是AOC ∠靠近OA 的三等分线，射线ON 是BOC ∠靠近OB 的三等分线．(1)若OC 平分AOB ∠，求MON ∠的度数；(2)小明说：当射线OC 绕点O 在AOB ∠的内部旋转时，MON ∠的度数始终保持不变，你认为小明的说法是否正确？说明理由；(3)若OM 、ON 、OA 、OB 中有两条直线互相垂直，请直接写出AOC ∠所有可能的值．【答案】(1)80︒(2)正确，理由见解析(3)30︒或90︒∵120AOB ∠=︒，OA ON ⊥∴BON AOB AON ∠=∠-∠∵射线ON 是BOC ∠的三等分线，∴3330BOC BON ∠=∠=⨯∵120AOB ∠=︒，OM OB ⊥∴AOM AOB BOM ∠=∠-∠∵射线OM 是AOC ∠的三等分线，∴3330AOC AOM ∠=∠=⨯(1)若90DOE ∠=︒，求证：射线(2)若13COE EOB ∠=∠，∠【答案】(1)见解析(2)126︒。

1.利用几何的直观性，寻找所求量与已知量的关系2.利用线段中点性质，进行线段长度变换3. 根据图形及已知条件，利用解方程的方法求解线段与角的计算及解题方法求线段长度的几种常用方法：例 1. 如图1 所示，点C 分线段AB 为5：7，点D 分线段AB 为5：11，若CD＝10cm，求AB。

图1分析：观察图形可知，DC＝AC－AD，根据已知的比例关系，AC、AD 均可用所求量 AB 表示，这样通过已知量 DC，即可求出 AB。

解：因为点 C 分线段 AB 为 5：7，点 D 分线段 AB 为 5：11所以又因为 CD＝10cm，所以 AB＝96cm例 2. 如图2，已知线段AB＝80cm，M 为AB 的中点，P 在MB 上，N 为PB 的中点，且NB＝14cm，求PA 的长。

图 2分析：从图形可以看出，线段 AP 等于线段 AM 与MP 的和，也等于线段 AB 与PB 的差，所以，欲求线段 PA 的长，只要能求出线段 AM 与MP 的长或者求出线段 PB 的长即可。

解：因为 N 是 PB 的中点，NB＝14所以 PB＝2NB＝2×14＝28又因为 AP＝AB－PB，AB＝80所以 AP＝80－28＝52（cm）说明：在几何计算中，要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系求解，要做到步步有根据。

例 3. 如图3，一条直线上顺次有A、B、C、D 四点，且C 为AD 的中点，，求 BC 是 AB 的多少倍？图 3分析：题中已给出线段BC、AB、AD 的一个方程，又C 为AD 的中点，即，观察图形可知，，可得到BC、AB、AD 又一个方程，从而可用AD 分别表示AB、BC。

解：因为 C 为 AD 的中点，所以因为，即又由<1>、<2>可得：即 BC＝3AB例 4. 如图 4，C、D、E 将线段 AB 分成 2：3：4：5 四部分，M、P、Q、N 分别是AC、CD、DE、EB 的中点，且 MN＝21，求 PQ 的长。

第一讲线段、角的计算与证明问题(【前言】中考的解答题一般是分两到三部分的。

第一部分差不多上基本上一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。

第二部分往往确实是开始拉分的中，难题了。

大伙研究今年的北京一模就会发明，第二部分，或者叫难度开始提上来的部分，差不多上基本上以线段，角的计算与证明开始的。

城乡18个区县的一模题中，有11个区第二部分第一道题基本上标准的梯形，四边形中线段角的计算证明题。

剩下的7个区县题那么将线段角问题与旋转，动态问题结合，放在了更有难度的倒数第二道乃至压轴题当中。

能够说，线段角问题确实是中考数学有难度题的排头兵。

对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是关于整个做题过程中士气，军心的妨碍。

在那个专题中，我们对各区县一模真题进行总结归纳,分析研究，来探究线段，角计算证明问题的解题思路。

第一部分真题精讲【例1】〔2017，崇文，一模〕如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，9038BD CD BDC AD BC =∠===，°，，、求AB 的长、【思路分析】线段，角的计算证明差不多基本上放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。

因此这就要求我们对梯形的性质有特别好的理解，同时熟知梯形的辅助线做法。

这道题中未知的是AB,的是AD,BC 以及△BDC 是等腰直角三角形,因此要把未知的AB 也放在条件当中去考察.做AE,DF 垂直于BC,那么特别轻易发明我们将AB 带入到了一个有大量条件的直角三角形当中.因此有解如下. 【解析】作AE BC ⊥于E DF BC ⊥，于F ． DF ∥AE ∴， AD BC ∴∥，四边形AEFD 是矩形、3EF AD AE DF ∴===，．BD CD DF BC =⊥，，DF ∴是BDC △的BC 边上的中线、19042BDC DF BC BF ∠=∴===°，．4431AE BE BF EF ∴==-=-=，．在Rt ABE △中，222AB AE BE =+AB ∴== 【例2】〔2017，海淀，一模〕：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90DCB ∠=︒，AC BD ⊥于点O ，2,4DC BC ==，求AD 的长.ODCB A【思路分析】这道题给出了梯形两对角线的关系.求梯形上底.关于这种对角线之间或者和其他线段角有特别关系(例如对角线平分某角)的题,一般思路是将对角线提出来构造一个三角形.关于此题来说,直截了当将AC 向右平移,构造一个以D 为直角顶点的直角三角形.如此就将AD 转化成了直角三角形中斜边被高分成的两条线段之一,而另一条线段BC 是的.因此问题迎刃而解.OEDCBA【解析】过点D 作//DE AC 交BC 的延长线于点E . ∴BDE BOC ∠=∠. ∵AC BD ⊥于点O , ∴90BOC ∠=︒. ∴90BDE ∠=︒. ∵//AD BC ，∴四边形ACED 为平行四边形. ∴AD CE =.∵90,90BDE DCB ∠=︒∠=︒， ∴2DC BC CE =⋅. ∵2,4DC BC ==， ∴1CE =. ∴1AD =此题还有许多别的解法，例如直截了当利用直角三角形的两个锐角互余关系，证明△ACD 和△DBC 相似，从而利用比例关系直截了当求出CD 。

培优专题7 线段和角线段和角是最简单、最根本的几何图形，与它们有关的概念、性质以及它们的画法和计算是研究平面几何的根底．要解决线段和角的计数、计算问题，首先应掌握好线段和角的一些特点及根本性质，其次要注意总结规律，灵活运用．例1如图，数出各条线上线段的总条数．分析要确定一条线段，就需要确定线段的两端点，做到不重不漏．在〔1〕中，先数以A为左端点的线段：AC、AB，2条；再数以C为端点的线段：CB，1条．故〔1〕•中共有3条线段．同样地，在图〔2〕中有线段AC、AD、AB，3条；CD、CB，2条；DB，1条．共计3+2+1=6条．在〔3〕中有线段AC、AD、AE、AB；CD、CE、CB；DE、DB；EB．共计4+3+2+1=10条．从上面的分析可见，当线段上有n个点〔包括两端点〕时，它上面的线段总共有〔n-1〕+〔n-2〕+…+2+1=〔条〕．练习11．在直线L上顺将取点A、B、C、D、E、F、M、N，则在A、•N•两点之间共有线段______条〔包括线段AN〕．2．〔1〕数一数图中的图①中共有______个角；图②中共有_____角；•图③中共有______角．〔2〕从〔1〕中你找到一种数图④中角的个数的规律吗.3．如图，图中共有_______条线段．例2 在图中，假设线段A1A2=a1，A2A3=a2，A3A4=a3，A4A5=a4，A5A6=a5，求出所有线段长的和．分析• •要求出所有线段长的总和，•可采用分类计数的方法，•分别以A1、A2、A3、A4、A5为左端点，按5类分别计算长度，如：L1=A1A2+A1A3+A1A4+A1A5+A1A6=a1+〔a1+a2〕+〔a1+a2+a3〕+〔a1+a2+a3+a4〕+〔a1+a2+a3+a4+a5〕=5a1+4a2+3a3+2a4+a5．同理：L2=4a2+3a3+2a4+a5，L3=3a3+2a4+a5．L4=2a4+a5．L5=a5．故所有线段的长度总和为：L=L1+L2+L3+L4+L5=5a1+8a2+9a3+8a4+5a5．当本例从6个点推广到n个点时，所有这些线段长的总和为：L=a1〔n-1〕×1+a2〔n-2〕×2+a3〔n-3〕×3+…+a n-2×2×〔n-2〕+a n-1×1×〔n-1〕．练习21．如图1，B、C、D依次是线段AE上的点，AE=8.9cm，•BD=•3cm，•则图中从A、B、C、D、E这五个点为端点的所有线段的长度之和等于_________．(1) (2) (3)2．〔1〕如图2，3个机器人A1、A2、A3排成一条线做流水作业，它们都要不断从一个固定的零件箱中拿零件，则零件箱放在〔〕处最好〔使得各机器人到零件箱的距离之和最小〕．A．A1B．A2C．A3D．A1、A2之间或A2、A3之间的一点处〔2〕如图3，假设有4个机器人B1、B2、B3、B4，零件箱放在何处最好.3．经过直线L外一点P作长度为5cm的线段，使其另一端点在L上，这样的线段可以作〔〕条．A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2例3如图，C在线段AB上，且AC：BC=2：3，D在线段AB的延长线上，BD=•AC，E为AD的中点，假设AB=40cm，求CE的长．分析由AC：BC=2：3及AB=40cm，可先求出AC、BC的长度，再由E为AD•中点，可求出AE的长度，再由CE=AE-AC求出CE．解：设AC=2*，BC=3*，由题意得：2*+3*=40，解得*=8．∴AC=16，BC=24，∴BD=AC=16．∴AD=AB+BD=40+16=56．∵E为AD中点，∴AE=AD=28．∴CE=AE-AC=12〔cm〕．练习31．三点A、B、C在同一直线上，假设BC=2AB，且AB=a，则AC=________．2．如图，C、D、E将线段AB分成四局部，且AC：CD：DE：EB=2：3：4：5，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，假设MN=21，则PQ长为________．3．〔1〕如图，∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠BOC，求∠MON的度数；〔2〕如果〔1〕中∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数；〔3〕如果〔1〕中，∠BOC=β〔β为锐角〕，其它条件不变，求∠MON的度数．〔4〕从〔1〕、〔2〕、〔3〕的结果中你可得出什么结论.〔5〕线段的计算与角的计算存在着密切的联系，它们之间可以互相借鉴解法，•请你模仿〔1〕～〔4〕设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律并给出解答．例4 如图，过点O任作7条直线．求证：以O为顶点的角中必有一个小于26°．分析过点O的7条直线被点O分成14•条射线，•而相邻的两射线可组成14个角，而要证明以O为顶点的角中必有一个小于26°，只要考虑这14个角即可．证明：设相邻的射线组成的14个角为α1、α2…、α14，则α1+α2+…+α14=360°．假设α1+α2+…+α14都不小于26°，则：α1+α2+…+α14≥364°与α1+α2+…+α14=360°矛盾．故α1、α2…α14中必有一个角小于26°．练习41．9点20分时，时针与分针所成的角是多少度.2．如图是一个3×3的正方形，则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数是多少.3．如图，∠A1OA11是一个平角，∠A3OA2-∠A2OA1=∠A4OA3-∠A3OA2=∠A5OA4-∠A4OA3=…=∠A11OA10-∠A10OA9=2°，求∠A11OA10的度数．例5从县城P出发的一条直线公路两旁共有10个村需要安装自来水〔•水从县城引出〕，县城与A村的距离为30千米，其余各村之间的距离如图7-14所示，•现有粗细不同的两种水管可以选用，粗管是供应所有各村用水，细管只能供一个村用水．•安装费用：粗管每千米8000元，细管每千米2000元．把粗管和细管适当搭配、互相连接，可以降低工程总费用．请你设计一种最节省的安装方案，并求出所需的总费用．分析显然粗细管适当搭配较适宜，由于粗管安装费用是细管安装费用的4倍，故需要用4根细管的路段采用粗管或细管所花费用一样，需要用多于4•根细管的路段采用粗管较合算．由县城P─A─B─C─D─E─F宜采用粗管，F─G用粗管或细管均可，G─H、G─M、G─N分别安装一根细管．总费用是：〔30+5+2+4+2+3〕×8000+2×8000+2×2000+〔2+2〕×2000+〔2+2+5〕•×2000=•414000〔元〕．练习51．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们之间有Array网线相联，连线标注的数字表示该网络单位时间可以通过的最大信息量．现从结点A•向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，•由单位时间传递的最大信息量为〔〕．A．19 B．20 C．24 D．262．甲和乙两人同时从A、B两地相向而行〔如图7-16〕，甲骑自行车，乙步行．•出发后30分钟甲与乙在P1处相遇，然后甲、乙继续前进，甲到B地后马上折回向A骑行，•从P1起30分钟后，甲又在P2处追上乙，此后两人继续前进，甲从A地在返回B 地的路上在P3•处与乙相遇．求证：P1、P2、P3是AB的四等分点．3．〔1〕现有一个19°的"模板〞〔如图〕，请你设计一种方法，•只用这个"模板〞和铅笔在纸上画出1°的角来.〔2〕现有一个17°的"模板〞，•能否只用这个"模板〞和铅笔在纸上画出一个1°的角来.〔3〕用一个21°的"模板〞与铅笔，能否在纸上画出一个1°的角来.对于〔2〕、〔3〕两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由．答案:练习11．28．=28．2．〔1〕①3；②6；③10；〔2〕．3．30．如线段BE上有6条线段，故共有6×5=30条线段．练习21．41.6cm．其长度总和=4AB+6BC+6CD+4DE=4〔AB+DE〕+6〔BC+CD〕=4〔AE-BC〕+6BD=4AE+2BD=4×8.9+2×3=41.6cm．2．〔1〕A2处，应选B．〔2〕假设选在B1、B2之间，设此点为M1，则其和为：B1B4+B2B3+2B2M1；假设选在B2、B3之间，设此点为M2，则其和为B1B4+B2B3；假设选在B3、B4之间，设此点为M3，则其和为B1B4+B2B3+2B3M3，应选在B2、B3之间〔包括〔B2、B3处〕，其到机器人的距离和最短．3．选D．假设点P到L的距离d=5cm，则此点只有一个；假设d>5cm，不存在此点；假设d<5cm，则这样的点有两个，应选D．练习31．a或3a，假设点B、C在点A的同侧，则AC=3a；假设点B、C在点A的异侧，则AC=a．2．7．设AC=2k，则CD=3k，DE=4k，EB=5k，且MN=k，PQ=k，由MN=21，可知：k=2，故PQ=7．3．〔1〕∠MON=45°，∠MON=∠AOC+∠BOC=∠AOB=45°．〔2〕∠MON=α〔3〕∠MON=45°〔4〕分析〔1〕、〔2〕、〔3〕的结果和解题过程可知：∠MON的大小总等于∠AOB•的一半，而与锐角∠BOC的大小无关．〔5〕如图7-1，B为线段AC上一点，AC=a，M、N分别为线段AB、BC的中点，求MN的长．此题的规律是：MN=AC，而与BC的长度变化无关．练习41．160°．时钟从外表12处顺时针转过〔9×30°〕=280°，分针从外表12处顺时针转过〔20×6°〕=120°，故时针与分针形成的角为160°．2．405°．由图知：∠3=∠5=∠7=45°，∠1+∠9=90°，∠2+∠6=90°，∠4+∠8=90°，∴∠1+∠2+…+∠9=405°．3．27°．将条件中的9个等式相加，得：∠A11OA10-∠A2OA1=9×2°，即∠A11OA10=∠A2OA1+18°，又∠A1OA11=∠A2OA1+∠A3OA2+…+∠A11OA10=〔∠A2OA1+∠A11OA10〕×10=180°，两个方程联立解得∠A11OA10=27°．练习51．考察每条通道的最大信息量，•四条通道在单位时间可同时通过的最大信息量为3、4、6、6，则〔3+4〕+〔6+6〕=19，选A．2．乙从B到P1用了30分钟，由P1到P2也用了30分钟，故有BP1=P1P2，因为甲从P1到B然后再到P2用了30分钟，共行了3P1P2长的路程，所以甲的速度是乙速度的3倍．再由第三次相遇知P2A+AP3=3P2P3，即P2P3+2AP3=3P2P3，则P2P3=AP3，再由第一次相遇知：AP1=3P1B，由此2P2P3+P1P2=3P1B，故P2P3=P1B，由此AP3=P2P3=P2P1=P1B．故P1、P2、P3=是线段AB的四等分点．3．此题关键是得到一个1°的角，设"模板〞的角度为α，假设可由m•个α角与n•个180°角可以画出1°的角来，则有mα-180n=1．〔1〕当α=19°时，取m=19，n=2，即用"模板〞连续画出19个19°的角，得到361°的角，去掉360°的周角，即可得到1°的角．〔2〕当α=17°时，取m=53，n=5，可以得到一个1°的角．〔3〕当α=21°时，21m-180n=1无正整数解，故不能用21°的"模板〞画出1°的角．。

北师大版四年级上册期末数学复习《线与角》专题讲义（知识归纳+典例讲解+同步测试）姓名:________ 班级:________ 成绩:________小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的！一、选择题1 . 下面说法正确的是（）。

A．两条直线相交，这两条直线就互相垂直。

B．两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直。

C．两条直线相交成45度角，这两条直线互相垂直。

D．如果两条直线互相垂直，那么这两条直线可以有两个垂足。

2 . 9时整，分针和时针组成的角是（），6时整，分针和时针组成的角是（）A．90°，180°B．60°，90°C．90°，120°D．120°，180°3 . 下列几种说法中，错误的是（）A．将一张圆形纸对折三次，得到的角是45°B．大于90°的角是钝角C．长方形和正方形都是特殊的平行四边形D．平行四边形容易变形4 . 下面各个角中，可以用一副三角尺直接画出来的是（）A．35°B．135°C．65°D．95°5 . 图中的角是（）A．锐角B．直角C．钝角D．平角6 . 用两把三角尺可以画出的角是（）。

A．160ºB．40ºC．120ºD．115º7 . 一条（）长5厘米。

A．直线B．线段C．射线8 . 线段有（）个端点。

A．0B．1C．2D．不确定9 . （）时整，时针和分针组成的角是周角．A．6 B．12 C．910 . 一个三角形，三个内角的关系如下：∠1-∠2=10°，∠2-∠3=10°，这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形11 . 下面的各组直线，互相平行的是（）A．B．12 . 下边三个点，每两点之间画一条线段，能画（）条。

线段与角考点图解技法透析1．与直线、射线、线段有关的知识(1)直线：①直线的概念，一根拉得很紧的线，给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．②直线的表示方法：如图记作“直线AB”或“直线BA”；l记作“直线l”．③直线的性质：过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线．(2)射线：①射线的概念，直线上一点和它一旁的部分叫射线，这一点叫射线的端点．射线向一方无限延伸．②射线的表示方法：如图记作“射线AB”；l记作射线l，注意必须把表示端点的字母写在前面．(3)线段：①线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点，线段不延伸．②线段的表示方法：如图记求“线段AB”或“线段BA”或“线段a”．③线段的性质：两点的所有连线中，线段最短．即两点之间，线段最短．(4)直线、射线、线段的区别与联系．①联系：直线、射线都可以看作是线段无限延伸得到的；反过来，射线和线段都是直线的一部分，线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分，射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分．②区别：如下表(5)线段的画法：①用直尺可以画出以A、B为端点的线段，画时不能向任何一方延伸．②“连接AB”的意义就是画出以A、B为端点的线段．③线段的延长线，如图，延长AB是指按由A向B的方向延长．延长BA是指按由B向A的方向延长．(也可说反向延长AB)(6)线段的比较①度量法：测量线段的长度后比较大小，②叠合法：用圆规把一条线段移到另一条线段上比较大小．(7)画一条线段等于已知线段，如：已知线段a，画一条线段AB＝a，有两种画法：①先画射线AC，再在射线AC上截取AB＝a．②先测量线段a的长度、再画一条等于这个长度的线段AB即可．(8)线段的中点及等分点的概念①如图①点O把线段AB分成相等的两条线段，AO与OB，点O叫线段AB的中点，显然有AO＝OB＝12AB（或AB＝2AO＝2OB）②如图②点O1，O2把线段AB分成相等的三条线段AO1＝O1O2＝O2B，则点O1，O2叫做线段AB的三等分点，显然有：AO1＝O1O2＝O2B＝13AB(或AB＝3AO，＝3O1O2＝3O2B)③如图③，点O1，O2，O3把线段AB分成相等的四条线段，则点O1，O2，O3叫做线段AB的四等分点，显然有：AO1＝O1O2＝O2O3＝O3B＝14AB(或AB＝4AO1＝4O1O2＝4O2O3＝4O3B)(9)两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．2．与角有关的知识(1)角的概念：角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，又可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形．(2)角的四种表示方法：①一般可以用三个大写字母表示，且表示顶点的字母必须写在中间．如图①，记作∠AOB（或∠BOA）；②当角的顶点处只有一个角时，可以用角的顶点字母来表示这个角，如图①可记作∠O；③可以用一个小写希腊字母（如α、β、γ等）表示，如图②∠BOC记作∠a；④用一个阿拉伯数字表示如图②∠AOC记作∠1．(3)特殊角及角的分类：①平角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置在同一条直线上时所成的角．②周角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置重合时所成的角．③直角：等于90°的角叫直角．④锐角：小于直角的角叫锐角．⑤钝角：大于直角而小于平角的角叫钝角．(4)角度制及角的画法：①角度制：以度、分，秒为单位的角的度量制，1°＝60'，1'＝60"．②借助三角尺和量角器画角．(5)角的和、差、倍、分的关系①每的和、差，如图所示：∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，∠AOB＝∠AOC－∠BOC②角的倍、分：角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，如图所示，若∠1＝∠2，则OC是∠AOB的平分线，此时有∠1＝∠2＝12∠AOB（或∠AOB＝2∠1＝2∠2）．同理，还有角的三等分线、四等分线……等．(6)余角和补角：①定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角．②性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等(7)方位角：方位角是表示方向的角．具体表示时．是南（或北）在先，再说偏东（或偏西）3．钟表上有关角的问题(1)钟表上，相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如果与角度联系起来，每一小格对应6°；(2)秒针每分钟转过360°，分钟每分钟转过6°，时针每分钟转过0.5°．(3)时针与分针成一直线必须成180°的角，两针重合必须成0°的角，名题精讲考点1例1 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为_______个，最多为_______个．【切题技巧】可以通过画图来探求，先从简单情形、特殊情形考虑，再进行归纳，得出结论．①当平面内两两相交的6条直线相交于一点，此时交点的个数最少为1个，②当平面内两两相交的5条直线相交于一点，第6条直线与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1＋5＝6个，③当平面内两两相交的4条直线相交于一点，第5条直线与前面的4条直线都相交，第6条直线再与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1＋4＋5＝10个……，因此为使平面内两两相交的直线的交点个数最多，则要使任意两直线相交都产生新的交点，即任意两条直线相交都确定一个交点，且任意三条直线都不过同一点，于是可得交点数最多为：1＋2＋3＋4＋5＝()1552+⨯＝15(个)【规范解答】分别填1个，15个．(1)本例可进行如下推广：若平面内有两两相交的n条直线，其交点最少为1个，最多为1＋2＋3＋…＋（n＋1）＝12n（n－1）个交点；(2)一般地，平面内n条直线两两相交，且任意三条直线都不共点，那么这些直线将平面分成12（n＋1）n＋1个互不重叠的部分．(3)－般地，如果一条直线上有n个点，那么这条直线上的不同线段的条数为（n－1）＋（n－2）＋…＋2＋1＝12n（n－1）条；共有2n条不同的射线．【同类拓展】1．如图，数一数图中共有多少条不同的线段，多少条不同的射线？考点2线段长度的计算例2 如图C、D、E将线段AB分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，且MN＝42，求PQ的长．【切题技巧】先根据比例把AC、CD、DE、EB用含x的代数式表示，再利用线段的和差及线段的中点的意义可得到相应的方程，从而求得PQ的长．【规范解答】∴【借题发挥】几何问题本身是研究图形的性质和数量关系，准确地画出图形，能使问题中各个量之间的关系直观化．本题的分析要着眼于找出未知线段的联系，使未知向已知转化，求线段的长度要充分利用线段的和差与线段的中点、等分点的意义，其解题方法与途径不是唯一的，需要我们根据题意灵活运用不同方法解决实际问题．【同类拓展】2．已知三条线段a、b、c在同一条直线上，他们有共同的起点，a的终点是b的中点，c的中点是b的终点，且a＋b＋c＝7cm，求a、b、c的长．考点3角的个数及角的度数的计算例3 如图已知OA、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．(1)若∠AOD＝70°，∠MON＝50°求∠BOC的大小；(2)若∠AOD＝α；∠MON＝β，求∠BOC的大小（用含α、β的式子表示）．利用角的平分线性质，角的和、差之间的转化，先找出∠AOD，∠MON与∠BOC之间的数量关系，为方便角的表示，可用含α、β的式子表示所求的角，也可设未知数，把几何问题代数化，通过整体变形、列方程，从而确定出角的大小．【规范解答】【借题发挥】(1)对于求角的度数的计算，通常有两种思路：一是根据各个量之间的关系，用已知量来表示未知量，直接求未知量；二是通过设辅助未知数，把几何问题代数化，根据图形中角的相等关系列方程或方程组，从而求解，应注意挖掘题目中的隐含的条件，适当转换．(2)一般地，同一平面内，在平角∠AOB的内部引以O为端点的（n－1）条射线，则图中共有：n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋3＋2＋1＝12n（n＋1）个小于平角的角．【同类拓展】3．如图，∠AOB＝100°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON＝_______．考点4钟表上有关的角度问题例4 时钟在下午4点至5点的什么时刻：(1)分针和时针重合？(2)分针和时针成一条直线？(3)分针和时针成45°角？【切题技巧】4点整时针已转过4大格，每大格30°，这时可看成时针在分针前面120°，若设所需时间为x分钟，则有6x－12x的值等于1200时，两针就重合；当时针与分针之间的角度为1200＋180°时两针成一条直线；当时针与分针之间的角度差等于120°－45°（时针在前）或120°＋45°（分针在前）时，两针成45°角．【规范解答】【借题发挥】钟表上时针和分钟问题实质是数学中的追及问题，钟面上有12大格，60小格，每个大格为30°的角，每个小格为6°的角．如果把单位时间内，分针和时针转过的度数当作是它们的“速度”，那么分针的速度为6°／分，时针的速度为0.5°／分，因此，分针速度是时针速度的12倍．在时针与分针的转动过程中，总是分针追及时针，然后超过时针又转化为追及时针，【同类拓展】4．王老师在活动课上为学生们讲数学故事，他发现故事开始时挂钟上的时针和分针恰好成90°角，这时是7点多；故事结束时两针恰好也是90°角，这时是8点多，他还发现，讲故事中，两针成90°角的有趣图形还出现过一次，求王老师讲故事所花的时间多少分？考点5与线段有关的实际问题例5摄制组从A市到B市有1天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃中饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息．司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米？【切题技巧】题目中所给条件只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，借助图形，思考它们之间的数量关系，从而利用形数结合思想解决问题．【规范解答】如图，设小镇为D，傍晚汽车E处休息，令AD＝x，则AC＝3x，DE＝400，CE＝400－2x ED＝12(400－2x)＝200－x，于是有：AB＝AC＋CE＋EB＝3x＋400－2x＋200－x＝600(km)答：A、B两市相距600千米，【借题发挥】利用“线段图”将实际问题转化为几何问题，借助图形，利用“形数结合”思想解决实际问题是数学竞赛中的常用方法，如：A、B、C、D、E、F六支足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没有与B队比赛的球队是哪支队？此题用算术或代数方法求解容易陷入困境，此时可考虑用6个点表示A、B、C、D、E、F 这6支足球队，若两队已赛过一场、就在相应的两个点之间连一条线，这样用“线段图”来辅助解题，形象直观，如图所示，则还没有与B队比赛的球队是E队．【同类拓展】5．某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30个，B区有15人，C区有10人，三个区在同一条直线上．位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在( )A．A区B．B区C．C区D．A、B两区之间参考答案1．(1)21(条)(2)14(条) 2．1cm，2cm，4cm．3．50°4．1小时零5511分钟．5．A。

几何法求线线角、线面角、二面角常考题型题型一平行四边形平移法求线线角 4题型二中位线平移法求线线角 6题型三补形平移法求线线角 8题型四作垂线法求线面角 10题型五等体积法求线面角 13题型六定义法求二面角 15题型七三垂线法求二面角 17题型八垂面法求二面角 19题型九补棱法求二面角 22题型十射影面积法求二面角 25知识梳理一、线线角的定义与求解线线角主要是求异面直线所成角。

1、线线角的定义：①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a ⎳a，b ⎳b，把a 与b 所成的锐角或直角叫做异面直线a,b所成的角(或夹角)②范围：0,π22、求异面直线所成角一般步骤：(1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0,π2，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①平行四边形平移法；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．二、线面角的定义与求解1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°]2、垂线法求线面角(也称直接法)：(1)先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α做垂线，确定垂足O；(2)连结斜足与垂足为斜线AB在面α上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；(3)把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形)。

3、公式法求线面角(也称等体积法)：用等体积法，求出斜线P A在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。

公式为：sinθ=h，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长。

线段与角度知识点总结在数学中，线段和角度是基本的几何概念，它们对于解决各种几何问题和实际应用非常重要。

本文将对线段与角度的相关知识点进行总结，包括定义、性质、测量、运算等方面，以帮助读者更好地理解和掌握这些重要的几何概念。

一、线段的基本概念1.1 线段的定义线段是由两个端点及它们之间的所有点组成的有限部分。

其中，端点是线段的起点和终点，线段上的所有点都位于这两个端点之间。

线段通常用字母表示，如线段AB，其中A和B分别为线段的两个端点。

1.2 线段的性质线段具有以下几个基本性质：(1) 长度：线段的长度是用来衡量线段的大小的重要指标，通常用线段两个端点的距离来表示。

在直角坐标系中，线段的长度可以通过两个端点的坐标计算得到。

(2) 延长性：线段可以延长成无穷大，即线段的长度是可变的。

(3) 独一性：直线上的任意两点确定唯一的一条线段。

(4) 有序性：线段的两个端点是有序的，即线段AB和线段BA是不同的。

1.3 线段的运算在线段的运算中，常涉及到线段的加法、减法、乘法和除法等操作。

这些运算通常都是建立在线段长度的概念上的，可以通过比较线段长度来进行计算。

二、角度的基本概念2.1 角度的定义角度是由两条射线共同起点构成的几何图形，通常用度（°）来表示。

其中，两条射线称为角的两边，它们的公共起点称为角的顶点。

角度通常用字母来表示，如∠ABC，其中B为角的顶点，而A和C分别为角的两边。

2.2 角度的性质角度具有以下几个基本性质：(1) 角度的度数：角度的度数是用来衡量角度大小的重要指标，通常用角的两边在单位圆上所对应的弧长来表示。

在直角坐标系中，角度的度数可以通过两条射线的方向和长度计算得到。

(2) 有向性：角度有方向性，即角度的起始边和终止边是有序的。

(3) 直角度：度数为90°的角称为直角，它是最基本的角度单位之一。

(4) 余角：与角度相加为90°的角称为余角，即两个角的度数之和为90°。