衡水金卷2020年高考模拟数学(理)试题(四)含答案

（衡水金卷）2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题四 理第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知i 虚数单位，复数533ii ++对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.已知集合{|}A x x a =≤，21221{|log (4)log }5B x x x =-≥，若AB =∅，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,5)-B ．[0,4]C ．(,1]-∞-D ．(,1)-∞-3.设a ，b ，c ，d ，x 为实数，且0b a >>，c d >，下列不等式正确的是（ ） A ．d a c d -<- B ．b b x a a x+≥+ C ．c db a > D ． ||||a a x b b x +≤+ 4.设随机变量2(,)N ξμσ，则使得(3)(3)1P m P ξξ≤+>=成立的一个必要不充分条件为（ ）A ．1m =或2m =B ．1m = C.1m =- D ．23m =-或2m = 5.执行如图所示的程序框图，若输出的结果3S =，则判断框内实数M 应填入的整数值为（ ）A ．998B ．999 C.1000 D ．10016.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2297a a =，则下列选项中结果为0的是（ ）A ．9aB ．7a C.15S D ．16S7.设1A ，2A 分别为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点，过左顶点1A 的直线l 交双曲线右支于点P ，连接2A P ，设直线l 与直线2A P 的斜率分别为1k ，2k ，若1k ，2k 互为倒数，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．12B ．8.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．816π-B ．8π C.16 D ．8π+9.已知曲线33y x x =-和直线y x =所围成图形的面积是m ，则5()y x m ++的展开式中3x 项的系数为（ ）A ．480B ．160 C.1280 D ．64010.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(0,4)A ，(2,0)AB =，(2,0)AB =，(1,1)BC BA -=-，设(,)P x y ，AP mAB nAC =+，若0m ≥，0n ≥，且1m n +≤，则2x y +的最大值为（ ）A ．7B ．10 C.8 D ．1211.如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为2244x y +=，其左、右焦点分别是1F ，2F ，直线l 与椭圆C 切于点P ，且1||1PF =，过点P 且与直线l 垂直的直线'l 与椭圆长轴交于点M ，则12||:||F M F M =（ ）A ．1:1:3 D ．1:12.将给定的一个数列{}n a ：1a ，2a ，3a ，…按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将1a 作为第一组，将2a ，3a 作为第二组，将4a ，5a ，6a 作为第三组，…，依次类推，第n 组有n 个元素（*n N ∈），即可得到以组为单位的序列：1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个数列称为第3群，…，第n 个括号称为第n 群，从而数列{}n a 称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第m 个群众，且从第m 个括号的左端起是第k 个，则称这个元素为第m 群众的第k 个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，…，将数列分群，其中，第1群为（1），第2群为（1,3），第3群为（1,3，23），…，以此类推.设该数列前n 项和12n N a a a =+++，若使得14900N >成立的最小n a 位于第m 个群，则m =（ ）A ．11B ．10 C.9 D ．8第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若函数3()log (19)xf x kx =++为偶函数，则k = ．14.已知993sin()cos cos()sin 1471475x x ππππ-+-=，3(,)2x ππ∈，则t a n 2x = ．15.中华民族具有五千多年连绵不断的文明历史，创造了博大精深的中华文化，为人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.为弘扬传统文化，某校组织了国学知识大赛，该校最终有四名选手A 、B 、C 、D 参加了总决赛，总决赛设置了一、二、三等奖各一个，无并列.比赛结束后，C 对B 说：“你没有获得一等奖”，B 对C 说：“你获得了二等奖”；A 对大家说：“我未获得三等奖”，D 对A 、B 、C 说：“你妈三人中有一人未获奖”，四位选手中仅有一人撒谎，则选手获奖情形共计 种．（用数字作答）16.已知G 为ABC ∆的重心，点P 、Q 分别在边AB ，AC 上，且存在实数t ，使得PG tPQ =.若AP AB λ=AQ AC μ=，则11λμ+= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2a B c b =-. （1）求角A 的大小； （2）若ABC ∆的面积2S =，D 为BC边的中点，2AD =，求b c +. 18. 市场份额又称市场占有率，它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力，是企业非常重视的一个指标.近年来，服务机器人与工业机器人以迅猛的增速占据了中国机器人领域庞大的市场份额，随着“一带一路”的积极推动，包括机器人产业在内的众多行业得到了更广阔的的发展空间，某市场研究人员为了了解某机器人制造企业的经营状况，对该机器人制造企业2017年1月至6月的市场份额进行了调查，得到如下资料:(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程，并预测该企业2017年7月份的市场份额；(2)如图是该机器人制造企业记录的2017年6月1日至6月30日之间的产品销售频数(单位:天)统计图.设销售产品数量为s ，经统计，当0200s ≤≤时，企业每天亏损约为200万元，当200400s <≤时，企业平均每天收人约为400万元;当400s >时，企业平均每天收人约为700万元。

专题突破练(4) 数列中的典型题型与创新题型一、选择题1．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．35答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝12，∴3a 4＝12，a 4＝4．∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28．故选C ．2．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1．若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12答案 C解析 a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝a 23·a 23·a 3＝a 53＝a 51·q 10．因为a 1＝1，|q |≠1， 所以a m ＝a 51·q 10＝a 1q 10，所以m ＝11．故选C ． 3．在递减等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝0，则S n 取最大值时n 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．2或3答案 D解析 ∵a 1＋a 5＝2a 3＝0，∴a 3＝0．∵d <0，∴{a n }的第一项和第二项为正值，从第四项开始为负值，故S n 取最大值时n 等于2或3．故选D ．4．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 10＋a 11＋…＋a 100，则k ＝( )A ．496B ．469C ．4914D ．4915答案 D解析 因为数列{a n }是等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －1)d ，因为a k＝a 10＋a 11＋…＋a 100，所以a k ＝100a 1＋100×992d －9a 1＋9×82d ＝4914d ，又a k ＝(k－1)d，所以(k－1)d＝4914d，所以k＝4915．故选D．5．已知数列{a n}的通项为a n＝log n＋1(n＋2)(n∈N*)，我们把使乘积a1·a2·a3·…·a n为整数的n叫做“优数”，则在(0，2018]内的所有“优数”的和为()A．1024 B．2012 C．2026 D．2036答案C解析设a1·a2·a3·…·a n＝log23·log34·log45·…·log n＋1(n＋2)＝log2(n＋2)＝k，k ∈Z，则0<n＝2k－2≤2018，2<2k≤2020，1<k≤10，∴所有“优数”之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝22(1－29)1－2－18＝211－22＝2026．故选C．6．约瑟夫规则：将1，2，3，…，n按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，每隔一个数删除一个数，直至剩余一个数为止，删除的数依次为1，3，5，7，…．当n＝65时，剩余的一个数为() A．1 B．2 C．4 D．8答案B解析将1，2，3，…，65按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，每隔一个数删除一个数，首先删除的数为1，3，5，7，…，65(删除33个，剩余32个)；然后循环，删除的数的个数分别为16，8，4，2，1，最后剩余2．故选B．7．已知数列{a n}中，a n＋1＝3S n，则下列关于{a n}的说法正确的是()A．一定为等差数列B．一定为等比数列C．可能为等差数列，但不会为等比数列D．可能为等比数列，但不会为等差数列答案C解析若数列{a n}中所有的项都为0，则满足a n＋1＝3S n，所以数列{a n}可能为等差数列，故B，D不正确；由a n＋1＝3S n，得a n＋2＝3S n＋1，则a n＋2－a n＋1＝3(S n ＋1－S n )＝3a n ＋1，所以a n ＋2＝4a n ＋1，当a 1≠0时，易知a n ＋1≠0，所以a n ＋2a n ＋1＝4，由a n ＋1＝3S n ，得a 2＝3a 1，即a 2a 1＝3，此时数列{a n }既不是等比数列又不是等差数列，故A 不正确，C 正确．故选C ．8．(2018·江西南昌测试二)已知各项均为正数的递增数列{a n }的前n 项和为S n 满足2S n ＝a n ＋1，b n ＝a n a n ＋t，若b 1，b 2，b m 成等差数列，则t m 的最大值为( ) A ．27 B ．35 C ．38 D ．54答案 D解析 由题2S n ＝a n ＋1，则4S n ＝(a n ＋1)2，4S n ＋1＝(a n ＋1＋1)2，作差得a n ＋1－a n ＝2，2S 1＝a 1＋1⇒a 1＝1，a n ＝2n －1，由b 1，b 2，b m 成等差数列，可得b m＝2b 2－b 1，2m －12m －1＋t ＝63＋t －11＋t ，分离m 化简得m ＝3＋4t －1，故(t ，m )＝(2，7)，(3，5)，(5，4)，t m max ＝54．故选D ．9．(2018·河南信阳高级中学模拟)给定函数y ＝f (x )的图象在下列四个选项中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1<a n ．则该函数的图象可能是( )答案 A解析 由题对于给定函数y ＝f (x )的图象在下列四个选项中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1<a n ．则可得到f (a n )＜a n ，所以f (a 1)＜a 1在∀a 1∈(0，1)上都成立，即∀x ∈(0，1)，f (x )＜x ，所以函数图象都在y ＝x 的下方．故选A ．10．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡(1623～1662)是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年．右图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，这又是我国数学史上的一个伟大成就．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列前16项和为( )A ．120B ．163C ．164D ．165答案 C解析 考查每行第二个数组成的数列：2，3，4，5，…，归纳推理可知其通项公式为b n ＝n ＋1，其前8项和S 8＝8×2＋8×72×1＝44；每行第三个数组成的数列：1，3，6，10，…，归纳推理可知其通项公式为c n ＝n (n ＋1)2＝12(n 2＋n )，其前8项和T 8＝12×8×(8＋1)×(2×8＋1)6＋(8＋1)×82＝120，据此可得题中数列前16项和为120＋44＝164．故选C ．11．(2018·河南林州调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 17>0，S 18<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为( )A ．S 7a 7B ．S 8a 8C ．S 9a 9D ．S 10a 10答案 C解析 ∵等差数列{a n }中，S 17>0，且S 18<0，即S 17＝17a 9>0，S 18＝9(a 9＋a 10)<0，∴a 9＋a 10<0，a 9>0，∴a 10<0，∴等差数列{a n }为递减数列，故可知a 1，a 2，…，a 9为正，a 10，a 11，…为负；∴S 1，S 2，…，S 17为正，S 18，S 19，…为负，则S 1a 1>0，S 2a 2>0，…，S 9a 9>0，S 10a 10<0，S 11a 11<0，…，S 15a 15<0，又∵S 1<S 2<…<S 9，a 1>a 2>…>a 9，则S 9a 9最大．故选C ．12．已知数列{a n }为等比数列，a 1∈(0，1)，a 2∈(1，2)，a 3∈(2，3)，则a 4的取值范围是( )A ．(3，4)B ．(22，4)C ．(2，9)D ．(22，9)答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a 1<1， ①1<a 1q <2， ②2<a 1q 2<3. ③由①②得q ＝a 1q a 1>11＝1；由①③得q 2＝a 1q 2a 1>21＝2；由②③得q ＝a 1q 2a 1q >1且q ＝a 1q 2a 1q <3，故2<q <3．因为a 4＝a 1q 3＝(a 1q 2)·q ，所以22<a 4<9．故选D ． 二、填空题13．(2018·湖南张家界模拟)定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{a n }是等积数列且a 1＝2，公积为10，则a 2018＝________．答案 5解析 已知数列{a n }是等积数列且a 1＝2，公积为10，可得a 2＝5，a 3＝2，a 4＝5，a 5＝2，…，由此奇数项为2，偶数项为5，所以a 2018＝5．14．设数列{a n }满足a 2＋a 4＝10，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *，都有向量P n P n ＋1＝(1，2)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．答案 n 2解析 ∵P n (n ，a n )，∴P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)，∴P n P n ＋1＝(1，a n ＋1－a n )＝(1，2)，∴a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }是公差d 为2的等差数列．又由a 2＋a 4＝2a 1＋4d ＝2a 1＋4×2＝10，解得a 1＝1，∴S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2．15．(2018·湖北荆州中学模拟一)“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8，…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{a n }为“斐波那契”数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 2020＝M ，则S 2018＝________．(用M 表示)答案 M －1解析 ∵数列为：1，1，2，3，5，8，…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和，∴a n ＋2＝a n ＋a n ＋1＝a n ＋a n －1＋a n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －1＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －2＝…＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋…＋a 2＋a 1＋1，则S 2018＝a 2020－1＝M －1．16．(2018·衡水金卷压轴卷二)已知曲线C 1的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1，过平面上一点P 1作C 1的两条切线，切点分别为A 1，B 1，且满足∠A 1P 1B 1＝π3．记P 1的轨迹为C 2，过平面上一点P 2作C 2的两条切线，切点分别为A 2，B 2，且满足∠A 2P 2B 2＝π3．记P 2的轨迹为C 3，按上述规律一直进行下去，…，记a n ＝|A n A n＋1|min ，且S n 为数列{a n }的前n 项和，则满足S n －5n >0的最小正整数n 为________．答案 5解析 由题设可知轨迹C 1，C 2，C 3，…，C n 分别是半径为1，2，4，8，16，32，…，2n 的圆．因为a n ＝|A n A n ＋1|min ，所以a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，…，a n ＝2n －1，所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋2＋4＋…＋2n －1＝2n －12－1＝2n －1．由S n －5n >0，得2n －1－5n >0⇒2n >5n ＋1，故最小的正整数n 为5．三、解答题17．(2018·山西考前适应训练)已知等比数列{a n }中，a n >0，a 1＝164，1a n －1a n ＋1＝2a n ＋2，n ∈N *． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n ·(log 2a n )2，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则q >0，因为1a n －1a n ＋1＝2a n ＋2，所以1a 1q n －1－1a 1q n ＝2a 1q n ＋1， 因为q >0，解得q ＝2，所以a n ＝164×2n －1＝2n －7，n ∈N *．(2)b n ＝(－1)n ·(log 2a n )2＝(－1)n ·(log 22n －7)2＝(－1)n ·(n －7)2，设c n ＝n －7，则b n ＝(－1)n ·(c n )2．T 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n＝－c 21＋c 22＋(－c 23)＋c 24＋…＋(－c 22n －1)＋c 22n＝(－c 1＋c 2)(c 1＋c 2)＋(－c 3＋c 4)(c 3＋c 4)＋…＋(－c 2n －1＋c 2n )(c 2n －1＋c 2n ) ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n＝2n [－6＋(2n －7)]2＝n (2n －13)＝2n 2－13n ．18．(2018·山东青岛统测)已知等差数列{a n }的公差为2，等比数列{b n }的公比为2，且a n b n ＝n ·2n ．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝1a n ·log 2b n ＋3，记数列{c n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与38的大小． 解 (1)∵a n b n ＝n ·2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1b 1＝2，a 2b 2＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1b 1＝2，(a 1＋2)·2b 1＝8， 解得a 1＝2，b 1＝1，∴a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，b n ＝2n －1．(2)∵a n ＝2n ，b n ＝2n －1，∴c n ＝1a n ·log 2b n ＋3＝12n (n ＋2)＝141n －1n ＋2， ∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c n －1＋c n＝141－13＋12－14＋13－15＋14－16＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝141＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－141n ＋1＋1n ＋2<38， ∴T n <38．19．(2018·广东三校联考二)设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )(n ∈N *)在直线2x －y －2＝0上．(1)求证：数列{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)设直线x ＝a n 与函数f (x )＝x 2的图象交于点A n ，与函数g (x )＝log 2x 的图象交于点B n ，记b n ＝OA n →·OB n →(其中O 为坐标原点)，求数列{b n }的前n 项和T n ．解 (1)证明：∵点(a n ，S n )在直线2x －y －2＝0上，∴2a n －S n －2＝0．①当n ＝1时，2a 1－a 1－2＝0，∴a 1＝2．当n ≥2时，2a n －1－S n －1－2＝0，②①－②，得a n ＝2a n －1．∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，则a n ＝2n ．(2)由(1)及已知易得A n (2n ，4n )，B n (2n ，n )，∴b n ＝OA n →·OB n →，∴b n ＝(n ＋1)·4n ． 则T n ＝2×41 ＋3×42＋4×43＋…＋(n ＋1)·4n ，③4T n ＝2×42＋3×43＋4×44＋…＋(n ＋1)·4n ＋1，④③－④，得－3T n ＝8＋42＋43＋…＋4n －(n ＋1)·4n ＋1＝8＋16(1－4n －1)1－4－(n ＋1)·4n ＋1， ∴T n ＝n 3＋29·4n ＋1－89．20．(2018·湖南六校联考)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c (c 为常数)，且x ∈－12，0时，f (x )的最大值为－14，数列{a n }的首项a 1＝32，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )的图象上，其中n ≥1，n ∈Z ．(1)证明：数列lg a n ＋12是等比数列；(2)记R n ＝a 1＋12·a 2＋12·…·a n ＋12，求R n ．解 (1)证明：依题意，f (x )＝x 2＋x ＋c ，c 为常数，当x∈－12，0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，所以f(x)max＝f(0)＝c＝－14，所以f(x)＝x2＋x－14．又点(a n，a n＋1)在函数f(x)的图象上，所以a n＋1＝a2n＋a n－14，即a n＋1＋12＝a n＋122，由于a1＝32，易知a n ＋12>0，所以lg a n＋1＋12＝2lg a n＋12，又lg a1＋12＝lg 2≠0，所以数列lg a n＋12是首项为lg 2，公比为2的等比数列．(2)由(1)知lg a n＋12＝2n－1·lg 2＝lg 22n－1，所以a n＋12＝22n－1，所以R n＝220·221·222·…·22n－1＝220＋21＋22＋…＋2n－1＝22n－1．21．(2019·宁夏六盘山高级中学模拟)已知函数y＝f(x)．对任意x∈R，都有f(x)＋f(1－x)＝2．(1)求f 12和f1n＋fn－1n(n∈N*)的值；(2)数列{a n}满足a n＝f(0)＋f 1n＋f2n＋…＋fn－1n＋f(1)(n∈N*)，求证：数列{an}是等差数列．解(1)由题设条件知f 12＋f12＝2，故f12＝1．而1n＋n－1n＝1，故f1n＋fn－1n＝2．(2)证明：依题有a n＝f(0)＋f 1n＋…＋fn－1n＋f(1)，n∈N*，同理有a n＝f(1)＋f n－1n＋…＋f1n＋f(0)，n∈N*，上述两式对应相加得2a n＝[f(0)＋f(1)]＋f1n ＋fn－1n＋…＋f1n＋fn－1n＋[f(0)＋f(1)]＝2(n＋1)，从而a n＝n＋1，n∈N*，而a n＋1－a n＝1，故{a n}为等差数列．。

2020届河北省衡水金卷高三第六次模拟考试数 学（理）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） 1． 方程组2{=+=-y x y x 的解构成的集合是（ ） A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．(1，1)D ．}1{2． 在复平面内复数65i +、23i -+对应的点分别为A 、B ，若复数z 对应的点C 为线段AB 的中点，则z z ⋅的值为（ ） A ．61B ．13C ．20D ．103． 要得到)42sin(3π+=x y 的图象，只需将y=3sin2x 的图象（ ）A ．向左平移4π个单位B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位 4． 已知a ，b 满足：||3a =，||2b =，||4a b +=，则||a b -=（ ）A ．10BC ．3D5． 若(tanx)sin 2f x =，则(-1)f 的值是（ ）A ．sin 2-B ．-1C ．12D ．16． tan +=0αβ“（）”是tan tan 0αβ+=的（ ）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7． 设0,1,,0x x x a b a b ><<>且，则a 、b 的大小关系是（ ）A ．b ＜a ＜1B ．a ＜b ＜1C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜b8． 定义在R 上是奇函数(x)f 满足1(x +2)=()f f x -，且在()01，上(x)=3x f ，则3(log 54)f =（ ） A ．32B ．23C ．32-D ．23-9． 中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数(x)y f =在123123,,()x x x x x x x x x ===<<处的函数值分别为112233(x ),(),()y f y f x y f x ===，则在区间[]13,x x 上(x)f 可以用二次函数来近似代替：111212(x)y ()()()f k x x k x x x x ≈+-+--，其中21121y y k x x -=-，3232y y k x x -=-，1231k k k x x -=-。

2020届河北省衡水金卷新高考第一次摸底考试数学试题（理）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

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5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

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6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。

） 1．已知集合，，则( )A ．B ．C ．D ．2．与函数相同的函数是( )A B ．)10(log ≠>=a a a y x a 且 C ．D ．3.原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 44．幂函数在上单调递增，则的值为( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 2或45. 已知97log c ,)97(b ,)97(a ,22)x (f 23121xx===-=--则()()(),,f a f b f c 的大小顺序为( )A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f c f a <<6.已知函数1x )(23=++=在bx ax x x f 处有极值10，则等于( )A. 1B. 2C.D.7.函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递减区间是（ ）A.B.C.D.8．下列四个命题中真命题的个数是( ) ①若是奇函数，则的图像关于轴对称；②若，则；③若函数对任意满足，则是函数的一个周期；④命题“存在”的否定是“任意”A ．B ．C ．D ． 9.函数xx x y 2)(3-=的图象大致是( )10.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=,且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时, ()()2log 27f x x =+,则()2017f =( )A. 2log 5-B. 2C. 2-D. 2log 511．设定义域为R 的函数f(x)=.1,01||,1|lg |⎩⎨⎧=≠-x x x ，则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是 ( )A ．b<0且c>0B ．b>0且c<0C ．b<0且c=0D ．b ≥0且c=0 12．已知()(),ln xf x eg x x ==，若()()f t g s =，则当s t -取得最小值时， ()f t 所在区间是（ ）A.()ln2,1 B ． 1,ln22⎛⎫⎪⎝⎭C ． 11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ． 11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空(每小题5分,共20分)13.设函数，则f [f （2）]=______．14.若函数y =f （x ）的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则函数y =f （log 2x ）的定义域为______． 15．已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x x x a x a x f a 是(-∞,+∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是___________．16．已知函数()()4log 3(0),{130,4xx x x f x x x +->=⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭若()f x 的两个零点分别为12,x x ，则12x x -=__________．三、解答题(17题10分,其它各题每题12分,共70分.) 17.已知函数（1）当x ∈[2,4]，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求m 的取值范围．18.已知a R ∈，命题:p “[0,2],240x x x a ∀∈-+≤均成立”， 命题:q “函数2()ln(2)f x x ax =++定义域为R ”．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．()()()()()()(].2,02.213.1923的范围上是减函数，求在若函数的值的极值点，求实数是函数若函数a x f e x g a x f y x x ax x f x ⋅===-=20.已知函数y =a x （a ＞0且a ≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a 的值；（2）证明f （x ）+f （1-x ）=1；（3）求)20192018()20193()20192(20191f f f f ++++ ）（的值．21、已知函数)(ln 2)12(21)(2R a x x a ax x f ∈++-=（1）若曲线)(x f y =在1=x 和3=x 处的切线互相平行，求a 的值； （2）求)(x f 的单调区间；22.已知函数()2ln f x x ax =+， ()1g x x b x =++，且直线12y =-是函数()f x 的一条切线． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）对任意的1x ⎡∈⎣，都存在[]21,4x ∈,使得()()12f x g x =，求b 的取值范围；（Ⅲ）已知方程()f x cx =有两个根12,x x （12x x <），若()1220g x x c ++=，求证： 0b <．数学试题（理）答案第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。

绝密★启用前2020届河北省衡水金卷新高考预测模拟考试（四)文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷（选择题)一、单选题 1．函数sin ()xf x x=的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．2．已知函数()2sin 3f x x x =-，若对任意[]2,2m ∈-， ()()230f ma f a -+>恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,1-B ．()(),13,-∞-+∞ C ．()3,3-D ．()(),31,-∞-⋃+∞3．下列函数中,最小值为A ．2y x x=+B ．2sin (0)sin y x x xπ=+<< C ．e 2e x x y -=+ D ．2log 2log 2x y x =+4．已知圆M ：221x y +=与圆N ：()2229x y -+=，则两圆的位置关系是（ ） A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切5．下列命题中,正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若ac bc >，则a b < C ．若,a b c d >>，则a c b d ->-D ．若22a bc c <，则a b < 6．设()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时， ()()0f x xf x '+>，且()10f =，则不等式()0xf x >的解集为（ ） A ．（－1，0）∪（1，+） B ．（－1，0）∪（0，1）C ．（－，－1）∪（1，+） D ．（－，－1）∪（0，1）7．下列求导运算正确的是（ ） A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log e x x'=D ．2(cos )2sin x x x x '=-8．直线21y ax a a =+-+的图像不可能是（ ）.A ．B ．C ．D ．9．在ABC ∆中，D 为AC 边上一点，若3BD =，4CD =，5AD =，7AB =，则BC =（ ）A ．BC ．D10．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，12,F F 是双曲线的两个焦点，且1223PF PF =，则双曲线的离心率为A B C ．13 D ．13211．．偶函数在上为增函数,若不等式恒成立,则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．12．在区间[]3,2-上随机选取一个数X ，则1≤X 的概率为（ ） A ． 54 B ．53 C ．52 D ．51第II 卷（非选择题)二、填空题13．已知向量，满足，，，则向量与向量的夹角为 ．14．在120°的二面角内，放一个半径为5cm 的球切两半平面于A 、B 两点，那么这两个切点在球面上的最短距离是___.15．已知集合={1,2,5}A ，={2,3}B ，则AB =______．16．有6根木棒，，其余四根的长度均为1cm ，用这6根木棒围成一个三棱锥，则这样的三棱锥体积为__________3cm ．三、解答题17．已知函数1()ln f x a x bx x=++，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为210x y -+=.(1)求实数a ，b 的值及函数()f x 的单调区间； (2)若关于x 的不等式3()22mf x x x-≥+恒成立，求实数m 的取值范围. 18．我们称满足：21(1)()k n n n a k a a +-=--（*n ∈N ）的数列{}n a 为“k 级梦数列”.（1）若{}n a 是“1级梦数列”且12a =.求：231111a a ---和431111a a ---的值； （2）若{}n a 是“1级梦数列”且满足1312a <<，1220171112a a a +++=，求201814a a-的最小值；（3）若{}n a 是“0级梦数列”且112a =，设数列2{}n a 的前n 项和为n S .证明：112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（*n ∈N ）.19．如图，点F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>右焦点，圆()2216:(0)3A x t y t -+=<与椭圆C 的一个公共点为()0,2B ，且直线FB 与圆A 相切于点B .（Ⅰ）求t 的值和椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若F '是椭圆C 的左焦点，点P 是椭圆C 上除长轴上两个顶点外的任意一点，且F PF θ∠'=，求θ的最大值.20．（A ）已知函数 在区间 上有最小值． （1）求实数 的取值范围； （2）当 时，设函数，证明函数 在区间 上为增函数.21．若-1≤x ≤2，求函数124325x x y -=-⨯+的最大值和最小值；并求出取得最值时x 的值．22．已知()1cos ,1ax ω=+-,)b x ω=(0>ω),函数()f x a b =⋅,函数()f x 的最小正周期为2π． (1)求函数()f x 的表达式;(2)设π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且()65fθ=,求cos θ的值．参考答案1．B 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性的定义得到f （x ）为偶函数，再根据极限可得当x 01y +→→时，，即得解． 【详解】函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， ∵f （﹣x ）=sin()sin sin x x xx x x--==--=f （x ），∴f （x ）为偶函数，∴f （x ）的图象关于y 轴对称， ∵()sin x f x x=， 根据极限可得当x 01y +→→时，， 故答案为：B 【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和极限，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似给式找图的问题，一般先找差异，再验证. 2．A 【解析】结合函数的解析式可得：()()f x f x -=-,且()2cos 30f x x =-<' ， 所以函数()f x 为单调递减的奇函数，因此()()230f ma f a -+> ()()()22233f ma f a f a ma a ⇒->-=-⇒-<-即223123{?{?111323a a a a a a a -<<-<-⇒⇒-<<-<<--<- ， 本题选择A 选项.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3．C 【解析】对于选项A ，若0x <，则不成立； 对于选项D ，若01x <<，则不成立；对于选项B ，2sin sin x x +≥，当且仅当2sin sin x x=，即sin x =时取等号，但sin 1x ≤，故不成立；对于选项C ，e 2e x x -+≥当且仅当e x =x =. 本题选择C 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．4．C 【解析】分析：求出圆心的距离MN ，与半径的和差的绝对值比较得出结论。

S =S -1 C . S=S-2i i2i2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（四）第I 卷（共60 分）、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分•在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.1 •已知集合 A ={0,1,3}, B={x (x +1)( x —2 )c 。

}，则 Al 8=( )A.{0}B. {0,1,3}C.{0,1}D . {0,1,2}—3 + i2. 若复数 z = ------- （ i 是虚数单，则 z + 4i =( )1 -2iA. 726 B . ^10 C .2 D .4 3•若a,b,c • R ，且a b ，则下列不等式一定成立的是（）2C2 20 C . a b D a - b4.下列结论中正确的个数是（）②命题"-X • R ,sin x 冬 1 ”的否定是"—X R ,sin x • 1 ”; ③函数f x =-、x-cosx 在区间〔0,：；心［内有且仅有两个零点A. 1 B . 2 C . 3 D . 0 5.已知关于x 的不等式kx 2-6kx k ，8_0对任意的x R 恒成立，若k 的取值范围为区间D ，在区间1-1,3 1上随机取一个数 k ，则k D 的概率是（ ）A.6.我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，目取其半，万事不竭” 思是：一尺长木棍，每天截取一半，永远截不完•现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则空白处可填入的是（a bc 2 1 c 2 ■ 1A. C Ca b（ 兀）1 是“sin x」的充分不必要条件;，其意•16：工-64C • y = In cosx9.《九章算术》卷第五《商功》中有记载： "刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广 .刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱 .刍甍字面意思为 茅草屋顶• ”现有一个刍甍，如图，四边形 ABCD 为正方形，四边形 ABFE 、CDEF 为两个1 40全等的等腰梯形， AB =4 , EF £-AB ，若这个刍甍的体积为 一，则CF 的长为（）16二 647•如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（1--：^ 1上的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（&已知某函数在sin xA. y = 2B • y = cosx一2 3D . f 1 ：：：2f — sin1I 丿16丿第U 卷（共90分）、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13•某乡镇中学有初级职称教师 160人，中级职称教师 30人，高级职称教师10人，要从其 中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则高级职称教师应该抽取的人数 为 __________ .r r r _ r r r r r14.已知平面向量a, b , a = y7, b =4，且a + b= 6，则a 在b 方向上的投影是 _______________占=1 a 0,b 0的渐近线与圆 x -32 y 2二2相交，则此双曲线b的离心率的取值范围是 ___________ 16 .已知三棱锥 P - ABC 的各顶点都在同一球面上，且 PA _平面ABC ，若AB =2 ,AC =1, BAC =60 , PA = 4，则球的体积为 __________________三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演10.在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c , acosB bcosA=2ccosC , c = 且 ABC 的面积为 三，则 ABC 的周长为（2A. 1.1 B . 2 .1211.设分别是椭圆E:笃a2y2 = 1 a b ■ 0的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A,B 两点，若AF 1F 2的面积是.BF 1F 2的三倍, 3COS. AF 2B，则椭圆E 的离心率为（）A.丄212 •已知定义在区间0,丄 上的函数f x , I 2丿 2f x 为其导函数，且 f x sinx - f x cosx - 0恒成立，则(f_ 心、 A. f22f 6B2x15.若双曲线—a算步骤•)17.已知数列\a n'满足a1=1, na n =na n1.-a n n •二N* .(1)求数列的通项公式；(2)若数列:b n 的前n项和为S n , S n = 2b n -3，求数列:b n a/?的前n项和T n.18.在直三棱柱ABC -AEG中，AD _平面A,BC，其垂足D落在直线A,B上.(1)求证：BC _平面AAB ；(2)若AD = .3 , AB二BC=2 , P为AC的中点，求三棱锥P_A,BC的体积.19.某市甲、乙两地为了争创“市级文明城市”，现市文明委对甲、乙两地各派10名专家进行打分评优，所得分数情况如下茎叶图所示•甲地乙地65B 77 2 5 9R 9 0 5 38 2 Q 4 69 7 29 6 1(1)分别计算甲、乙两地所得分数的平均值，并计算乙地得分的中位数；(2)从乙地所得分数在60,80间的成绩中随机抽取2份做进一步分析，求所抽取的成绩中，至少有一份分数在1.75,80间的概率；(3)在甲、乙两地所得分数超过90分的成绩中抽取其中2份分析其合理性，求这2份成绩都是来自甲地的概率•20.已知点M x°,y°在圆O:x2• y2 =4上运动，且存在一定点N 6,0，点P x, y为线段MN的中点.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过A 0且斜率为k的直线l与点P的轨迹C交于不同的两点E,F ,是否存在实数k使uuu uuu得OE OF =12，并说明理由.21.已知函数f x =ln x—axa・R .(1)求函数f x的单调区间；(2)当a =1时，方程f x二mm：：：-2有两个相异实根论公2，且捲：：：x2，证明：xf <2 . 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4 :坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x =，(：.是参数)，以原点o为y = sin a极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为"sin二一一=2 .I 4丿(1)将直线I的极坐标方程化为普通方程，并求出直线I的倾斜角；(2)求曲线C上的点到直线I的最大距离•23.选修4-5 :不等式选讲已知函数f (x )= x+2+|x—a (a »-2 )，若f(x)3 7的解集是{x x兰一3或x兰4}.(1)求实数a的值；(2)若-x • R，不等式3f x _ f m 1恒成立，求实数m的取值范围.文数(四)答案一、选择题1-5:CBDAC 6-10:BCACD 11 、12: DC、填空题三、解答题17 •解：(1)T na n 二 na n 勺 - a n ,a n 1 _ n 1 a n n•••数列 的通项公式为a n 二n •(2)由 S n =2b n -3，得 b, =3 , 又 S n 厂 2b n 」-3 n -2 , …b n = Sn - Sn 1 = 2b n - 2b n 」，即 b n =20」n —2,n N * ,••数列^b n ，是以3为首项，2为公比的等比数列， • b n =3 2心 n • N * ,• b n a n = 3n 2n J ,• T n =3 1 20 2 21 3 22 L n 2心,2T n -3 1 21 2 22 3 23 L n 2n ,两式相减，得-Tn =3 20 • 21 • 22 • L 2n4 -n 2^-^M - n 2^1 ,•T n =3 n-1 2n 3.18 •解：(1)V 三棱柱 ABC-A^O 为直三棱柱， • A,—平面 ABC .又 BC 平面 ABC , • RA _ BC .••• AD —平面 A 1BC ，且 BC 平面 A 1BC ,a 2n n —12印= L 1 = n , a 1 n -1 n —2 1an 二 La n _2 13. 11413 8151,'、316份的情况有：65,72 , 65,75 , 65,79 , 72,75 , 72,79 , 75,79，共 6 种，其••• AD _ BC • 又 A 1A 平面 A 1AB , AD 二平面 AAB , AAIAD 二 A , •- BC _ 平面 A , AB .(2)在直三棱柱 ABC -A 1B1C 1 中，AA_AB .••• AD _平面A ,BC ，其垂足D 落在直线 A ,B 上，• AD _ AB .在 Rt. ABD 中，AD — 3 , AB 二 BC=2 ,即 ABD =60 ,在 RUABA ,中，AA = AB tan60 ° = 2^3 • 由(1)知，BC _ 平面 A ,AB , AB 平面 A ,AB , 从而BC _ AB ，1 1 •- S ABCAB BC 2 2=2. 2 2••• F 为AC 的中点，S BCF19•解：(1)由题得，甲地得分的平均数为 丄 77 78 83 85 80 89 88 92 97 99 = 86.8,10乙地得分的平均数为165 72 75 79 82 80 84 86 96 91 = 81, 10乙地得分的中位数为 82 80 »81 .2(2)由茎叶图可知，乙地得分中分数在160,80间的有65,72,75,79四份成绩，随机抽取 2•- sin . ABDAD .3一 AB 一 2… V p -A ^BC - V A 1 _PBC -'CF3AA 1 工丄 1 2,3=21333BCh.中至少有一份分数在170,80间的情况有：65,75 , 65,79 , 72,75 , 72,79 , 75,79 , 共5种. 故所求概率p = 2.6（3）甲、乙两地所得分数中超过 90分的一共有5份，记甲地中的三份分别为 A,B,C ，乙地中的两份分别为a,b .随机抽取其中2份，所有情况如下：A,B ， A,C ， B,C ， a,b ， A,a ， A,b ，3故所求概率p 二一.1020.解：（1）由中点坐标公式，得即 f x , f x .T 点M x 0, y 0在圆x 2 • y 2 =4上运动，2 2.二 X 。

2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（四）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一.选择题（本大题共12小题，共60分）1. 设集合{}290A x x =-＜，{}B x x N =∈，则A B =I ( )A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2,1,0,1,2--2. 已知命题:sin 1P x R x ∀∈≤，，则p ⌝为( ) A. 00sin 1x R x ∃∈≥，B ．sin 1x R x ∀∈≥，C ．00sin 1x R x ∃∈>，D ．sin 1x R x ∀∈>， 3.已知(,)a bi a b +∈R 是11ii-+的共轭复数，则a b +=( )A.1-B.12-C.12D.14. 已知双曲线22220,0():1x y C a a b b -=＞＞的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A. 2 B ．103 C.10 D ．2 25. 下列函数中，既是奇函数，又是R上的单调函数的是()A．()()ln1f x x=+B．()1f x x-=C．()()()222,02,0x x xf xx x x⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D．()()()()200,012,,xxxf x xx⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪->⎪⎪⎝⎭⎩6.若(cos)cos2f x x=，则(sin)12fπ=()A．12-B．32-C．12D．327. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是()注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多8. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是()A．18种B．36种C．54种D．72种9. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A ．BC ．D ．10.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足，且，则椭圆C 的方程为A.221255x y += B.2214525x y += C.2213010x y += D.2213616x y += 11. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，则ABC △面积的最大值是( )A ．15 B ．15C ．15D ．215 12. 已知函数()||xe f x x =，关于x 的方程2()(1)()40f x m f x m ++++=（m ∈R ）有四个相异的实数根，则m 的取值范围是( )A ．44,1e e ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭B.()4,3-- C.4,31e e ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭D.4,1e e ⎛⎫--+∞ ⎪+⎝⎭第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知2a =r ，3b =r ，,a b r r 的夹角为30o，//(2)(2)a b a b λ++r r r r ，则()()a b a b λ+•-=r rr r _________．14. 我国古代数学专著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示，已知该几何体的高为22，则该几何体外接球的体积为________．15. 设O 为坐标原点，)1,2(A ，若点),(y x B 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+10121122y x y x ，则OB OA ⋅的最大值是_________．16. 已知函数()sin cos f x x x =+，则下列结论中正确的是_______ __． ①()f x 是周期函数； ②()f x 的对称轴方程为,4k x k Z π=∈； ③()f x 在区间3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数； ④方程6()5f x =在区间3,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有6个根.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．侧 俯主（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，，，，，，分别为，中点．（1）求证：；（2）求二面角的大小．18.（本小题满分12分）某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数据按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生．理科方向文科方向总计男110女50总计(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？(2)将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望E(ξ)和方差D(ξ)．参考公式和参考临界值见后：参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d . 参考临界值：19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n 、n a 、n S 成等差数列，22log (1)1n n b a =+-. （1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c ++⋅⋅⋅+的值.20. （本小题满分12分）从抛物线C ：22(0)x py p =>外一点P 作该抛物线的两条切线PA PB 、（切点分别为A B 、），分别与x 轴相交于C D 、，若AB 与y 轴相交于点Q ，点()0,2M x 在抛物线C 上，且3MF =（F 为抛物线的焦点）.（1）求抛物线C 的方程；（2）①求证：四边形PCQD 是平行四边形.②四边形PCQD 能否为矩形？若能，求出点Q 的坐标；若不能，请说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x x x =-，函数2()(ln )a g x x x x=+-，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且0()2g x =. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求实数0x 和a 的值； （3）证明：11ln(2n 1).(n )2nk N +=>+∈（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy 取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C ：πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的平面直角坐标方程；（2）若曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，求这三个点的极坐标．23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】已知()()()(),0,,11,212a b a b b a f x x x ∈+∞-=-=++-. （1）求22a b +的最小值；（2）若对任意(),0,a b ∈+∞，都有()()224f x a b ≤+，求实数x 的取值范围.理科数学答案一.选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C CD B C B D B A D A A二.填空题13. 1 14. 43 15. 516. ①②④三.解答题17. （1）连接．因为，所以．因为，，所以．又，所以．而，所以．（2）因为且交于，，所以，则以为原点建立空间直角坐标系，如图：所以，，，所以，．设平面的法向量，所以令，得．，所以平面的法向量为．由图知，由图知，所以，即二面角的大小为．18.解：(1)由频率分布直方图可得分数在[60,80)之间的学生人数为0.012 5×20×200＝50，在[80,100]之间的学生人数为0.007 5×20×200＝30，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为又K 2＝200×(80×50－30×40)120×80×110×90≈16.498＞6.635，所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关．(2)易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为p ＝80200＝25. 依题意知ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，25，所以P (ξ＝i )＝C i 3⎝⎛⎭⎫25i ⎝⎛⎭⎫1－253－i (i ＝0,1,2,3)，所以ξ的分布列为所以期望E (ξ)＝np ＝65，方差D (ξ)＝np (1－p )＝1825.19. 解析：（1）因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，① 所以()()11122n n S n a n --+-=≥．②① －②，得1122n n n a a a -+=-，所以()()11212n n a a n -+=+≥． 又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=， 故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，所以11222n n n a -+=⋅=，即21nn a =-．（2）根据（1）求解知，()22log 121121n n b n =+--=-，11b =，所以12n n b b +-=， 所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列．又因为11a =，23a =，37a =，415a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =， 64127b =，106211b =，107213b =，所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++L L L ()()127107121322272⨯+⎡⎤=-+++-⎣⎦L()72121072147212-⨯=-+-2810729=-+11202=．20. 解：（1）因为232pMF =+=,所以2p =，即抛物线C 的方程是24x y = （2）由24x y =得24x y =，'2x y =.设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则直线PA 的方程为()211142x x y x x -=-， ① 则直线PB 的方程为()222242x xy x x -=-，② 由①和②解得：1212,24x x x x x y +==，所以1212,24x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭设点()0,Q t ，则直线AB 的方程为y kx t =+由24x yy kx t⎧=⎨=+⎩得2440x kx t --= ,则12124,4x x k x x t +==- 所以()2,P k t -，所以线段PQ 被x 轴平分，即被线段CD 平分， 在①中，令0y =解得12x x =，所以1,02x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理得2,02x D ⎛⎫⎪⎝⎭，所以线段CD 的中点， 坐标为12,04x x +⎛⎫⎪⎝⎭，即(),0k ， 又因为直线PQ 的方程为ty x t k=-+，所以线段CD 的中点(),0k 在直线PQ 上， 即线段CD 被线段PQ 平分,因此，四边形PCQD 是平行四边形。

衡水金卷2025届高三3月份模拟考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++ B ．1122a b c --+ C ．1122a b c -+ D ．1122-++a b c 2．函数()()()sin 0,02g x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知()5036g g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，函数()y f x =的图象可由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 2f x x =B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin f x x =-D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭3．若复数211iz i=++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（ ） A ．52B ．4C ．2D ．54．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的最小正周期为π，且满足()()f x f x ϕϕ+=-，则要得到函数()f x 的图像，可将函数()sin g x x ω=的图像（ ） A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度5．已知函数()(N )k f x k x +=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．56．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+7．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )A ．16163π+ B ．8163π+C ．32833π+ D ．321633π+ 8．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．9．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）A ．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B ．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP 比例持续7年保持在4%以上C ．从2010年至2018年，中国GDP 的总值最少增加60万亿D ．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年10．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y=+（ ）A ．有最大值，无最小值B ．有最大值，有最小值C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值11．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．8312．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。