2019-2020学年高中数学 2.4.2抛物线的简单几何性质(2)导学案新人教A版选修2-1.doc

2.4.2 抛物线的简单几何性质学 习 目 标核 心 素 养1．掌握抛物线的几何性质．(重点)2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)1．通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养．2．通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养．新知初探1．抛物线的几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p＞0)图形性质焦点 ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ⎝⎛⎭⎫－p 2，0 ⎝⎛⎭⎫0，p 2 ⎝⎛⎭⎫0，－p 2准线 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈R________________对称轴 ________________顶点 ________ 离心率e ＝112y 2)，则有：(1)y 1y 2＝ ，x 1x 2＝ ； (2)|AB |＝ ，|AF |＝ ； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 3．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有_____个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线 公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的对称轴 ，此时直线与抛物线有一个公共点． 思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？初试身手1．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 到x 轴的距离是( ) A ．1716B ．78C ．1D ．15162．顶点在原点，对称轴为x 轴，顶点到准线的距离为2的抛物线方程是( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝8x C ．y 2＝±8xD ．y 2＝±16x3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( ) A ．10 B ．8 C ．6D ．44．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________．合作探究类型1 抛物线几何性质的应用例1 (1)等腰Rt △ABO 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是( ) A ．8p 2 B ．4p 2 C ．2p 2D ．p 2(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．规律方法把握三个要点确定抛物线的简单几何性质1.开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.2.关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴.3.定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦又称为通径长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1．已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程．类型2 与中点弦、焦点弦有关的问题例2(1)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_________________________．(2)已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线'E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．①求抛物线E的方程；②求直线AB的方程．规律方法直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k．(1)一般的弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|．(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p．(3)“中点弦”问题解题策略两种方法跟踪训练2．已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝52p，求AB所在的直线方程．类型3 直线与抛物线的位置关系例3(1)已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点(2)已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？规律方法直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px p>0，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.1.若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.2.若k2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点.跟踪训练3．若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．类型4 抛物线性质的综合应用探究问题1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？2．如何求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小值？例4如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．母题探究1．若本例题改为：如图所示，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△P AB的面积最大，并求出这个最大面积．如何求解？移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l．(1)求动点Q的轨迹方程；(2)记Q的轨迹为曲线E，过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点(3,0)．如何求解？规律方法应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．课堂小结1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用． 3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．(2)代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0)．相交：①有两个交点：⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＞0；②有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＜0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．课堂检测1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y2．设A ，B 是抛物线x 2＝4y 上两点，O 为原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的面积为16，则∠AOB＝()A．30°B．45°C．60° D．90°3．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条4．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，求|AB|的值．参考答案新知初探1．y≥0，x∈R y≤0，x∈R x轴y轴(0,0) 12．(1)－p2 p2 4(2) x 1＋x 2＋p x 1＋p23．两 一 没有 平行或重合思考：[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．初试身手1．【答案】D【解析】抛物线方程可化为x 2＝14y ，其准线方程为y ＝－116，点M 到焦点的距离等于点M到准线的距离．∴点M 到x 轴的距离是1516．2．【答案】C【解析】顶点在原点，对称轴为x 轴的抛物线方程有两个：y 2＝－2px ，y 2＝2px (p >0)，由顶点到准线的距离为2知p ＝4，故选C ． 3．【答案】B【解析】|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8． 4．【答案】2【解析】F (1,0)，由抛物线定义得A 点横坐标为1． ∴AF ⊥x 轴， ∴|BF |＝|AF |＝2．合作探究类型1 抛物线几何性质的应用 例1 (1)【答案】B【解析】由抛物线的对称性质及OA ⊥OB 知，直线OA 的方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得A (2p,2p )，则B (2p ，－2p )，所以|AB |＝4p ，所以S △ABO ＝12·4p ·2p ＝4p 2，选择B ．(2)解：设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，交点A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)(y 2<0)，则|y 1|＋|y 2|＝23，即y 1－y 2＝23．(*)由对称性，知y 2＝－y 1，代入(*)式，得y 1＝3，把y 1＝3代入x 2＋y 2＝4，得x 1＝±1， 所以点(1，3)在抛物线y 2＝2px 上， 或点(－1，3)在抛物线y 2＝－2px 上， 得3＝2p 或3＝－2p ×(－1)，所以p ＝32．故所求抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x ．跟踪训练1．解：(1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 设其标准方程为y 2＝mx (m ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得m ＝4． ∴抛物线的标准方程为y 2＝4x ；(2)当抛物线的焦点在y 轴上时，设其标准方程为x 2＝ny (n ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得n ＝－12．∴抛物线的标准方程为x 2＝－12y ．故所求的抛物线的标准方程为y 2＝4x 或x 2＝－12y ．准线方程为x ＝－1或y ＝18．类型2 与中点弦、焦点弦有关的问题 例2 (1)【答案】y 2＝4x【解析】设抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，与y ＝x 联立方程组，消去y ，得x 2－2px ＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝2p ．又因为P (2,2)为AB 的中点， 所以2p ＝4，所以y 2＝4x ．(2)解：①由于抛物线的焦点为(1,0)， 所以p2＝1，p ＝2，所求抛物线的方程为y 2＝4x ． ②法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1 ①，y 22＝4x 2 ②，且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，由②－①得(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝4(x 2－x 1)，又x 1≠x 2， 所以y 2－y 1x 2－x 1＝2，所以所求直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)， 即2x －y －3＝0．法二：显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －2)，k ≠0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －2，y 2＝4x ，消去x 整理得ky 2－4y －8k ＋4＝0， 所以y 1＋y 2＝4k ，又M 点是AB 的中点， 所以y 1＋y 2＝2， 所以k ＝2，故直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0． 跟踪训练2．解：由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ， 消去y ，整理得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0． 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝p ＋2pk2，所以|AB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＋2p k 2＝52p ，解得k ＝±2．所以AB 所在的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p2． 类型3 直线与抛物线的位置关系 例3 (1)【答案】C【解析】直线方程可化为y ＝k (x －1)，因此直线恒过定点(1,0)，点(1,0)在抛物线y 2＝2px (p >0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点，故选C ． (2)解：由题意，直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，(*)可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0．① ①当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1． ②当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1)．a ．由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，所以方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l 与抛物线只有一个公共点． b ．由Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12，于是，当－1<k <12，且k ≠0时，方程①有两个解，从而方程组(*)有两个解，这时直线l 与抛物线有两个公共点．c ．由Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k <－1或k >12．于是当k <－1或k >12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解，直线l 与抛物线无公共点．综上，当k ＝0或k ＝－1或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点．当－1<k <12，且k ≠0时直线l 与抛物线有两个公共点．当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线无公共点．跟踪训练3．解：因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ＋1x －1，y 2＝ax只有一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，即(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0，①(1)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程．令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－45．所以原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－2. 综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45．类型4 抛物线性质的综合应用 探究问题1．[提示] 两条直线的斜率互为相反数． 2．[提示] 法一：设A (t ，－t 2)为抛物线上的点，法二：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0，∴Δ＝16＋12m ＝0，∴m ＝－43．∴最小距离为⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43．例4 (1)解：由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由点P (1,2)在抛物线上，得22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1．(2)证明：因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB ，即y 1－2x 1－1＝－y 2－2x 2－1．又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，所以x 1＝y 214，x 2＝y 224，从而有y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224－1，即4y 1＋2＝－4y 2＋2，得y 1＋y 2＝－4，故直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1．母题探究1．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.由图可知，A (4,4)，B (1，－2)， 则|AB |＝35．设P (x 0，y 0)为抛物线AOB 这段曲线上一点，d 为点P 到直线AB 的距离，则 d ＝|2x 0－y 0－4|5＝15⎪⎪⎪⎪y 202－y 0－4 ＝125|(y 0－1)2－9|．∵－2<y 0<4，∴(y 0－1)2－9<0． ∴d ＝125[9－(y 0－1)2]．从而当y 0＝1时，d max ＝925，S max ＝12×925×35＝274．故当点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，1时，△P AB 的面积取得最大值，最大值为274． 2．(1)解：因为点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，所以点R 是线段FP 的中点，由此及RQ ⊥FP 知，RQ 是线段FP 的垂直平分线．因为|PQ |是点Q 到直线l 的距离，而|PQ |＝|QF |，所以动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x (x >0)．(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )，直线AB ：x ＝my ＋1(m ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4＝0．于是，有y M ＝y 1＋y 22＝2m ，x M ＝m ·y M ＋1＝2m 2＋1，即M (2m 2＋1,2m )．同理，N ⎝⎛⎭⎫2m 2＋1，－2m ． 因此，直线MN 的斜率k MN ＝2m ＋2m2m 2＋1－⎝⎛⎭⎫2m 2＋1＝m m 2－1，方程为y －2m ＝mm 2－1(x －2m 2－1)，即mx ＋(1－m 2)y －3m ＝0．显然，不论m 为何值，(3,0)均满足方程，所以直线MN 过定点(3,0)．课堂检测1．【答案】C【解析】设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，通径为2p ＝8，p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x ． 2．【答案】D【解析】由|OA |＝|OB |，知抛物线上点A ，B 关于y 轴对称，设A ⎝⎛⎭⎫－a ，a 24，B ⎝⎛⎭⎫a ，a24，则S △AOB ＝12×2a ×a 24＝16，解得a ＝4，所以|AB |＝8，|OA |＝|OB |＝42，所以∠AOB ＝90°．3．【答案】B【解析】当直线垂直于x 轴时满足条件，当直线不垂直于x 轴时，设直线方程为y ＝kx ＋1，满足条件的直线有两条，共三条满足题意的直线． 4．解：由抛物线y 2＝8x 知，p ＝4．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以x 1＋x 2＝|AB |－p ．由条件知x 1＋x 22＝3，则x 1＋x 2＝6，所以|AB |－p ＝6， 所以|AB |＝10．。

2.4.2 抛物线的简单几何性质（4课时）主备教师：周雷凤辅备教师：马能礼一、内容及其解析本次课学的内容是抛物线的一些基本性质，其核心内容是抛物线的离心率及准线，理解它关本节课要键是先让学生理解直观的图形，从中抽象出抛物线的性质。

学生已经学过抛物线线概念和标准形式，本节课的内容抛物线的基本性质就是在其基础上的发展。

由于它还与椭圆、双曲线等圆锥曲线有密切的联系，并有参照对比的作用。

是抛物线的核心内容。

教学重点是抛物线的性质及范围，解决重点的关键是引导学生动手、动脑，从图形的直观得到抛物线性质的准确刻画。

二、目标及其解析1、目标定位（1）了解抛物线的几何性质；（2）会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．2、目标解析（1）是指：抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．（2）是指：能够根据抛物线中准线与焦点之间的关系能求出抛物线的标准方程及轨迹方程等.三、问题诊断分析在本节抛物线性质的教学中，学生可能遇到的问题是抛物线的一些基本概念会与其它圆锥曲线的概念产生混淆，产生这一问题的原因是学生对各种曲线的概念把握不清。

要解决这一问题，就要类比着其它圆锥曲线的概念及性质学习，其中关键是借助图形直观类比。

四、教学支持条件分析在本节课双曲线的性质教学中，准备使用多媒体辅助教学。

因为使用多媒体辅助教学有利于学生对抛物线性质从直观到具体的把握。

五、教学设计过程第一、二课时复习：问题1：抛物线的概念？抛物线标准方程有哪几种？他们的形式是怎么样的？（设计意图：让学生先回顾抛物线概念和标准方程，为探究抛物线性质做好准备）自学阅读教材第6869P P -页，完成下列问题： 1． 抛物线的几何性质:互学、导学问题一 抛物线的几何性质有哪些？（设计意图：让学生充分认识抛物线） （师生活动：结合图像，各组研讨，最好教师归纳小结）问题1：类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y 2＝2px (p >0)的范围、对称性、顶点、离心率．怎样用方程验证？问题2：类比抛物线y 2＝2px (p >0)，抛物线y 2＝－2px (p>0)、x 2＝2py (p>0)、x 2＝－2py (p>0)的性质如何呢？问题3：通过抛物线的几何性质，怎样探求抛物线的标准方程？答：求抛物线的标准方程，主要利用待定系数法，要根据已知的几何性质先确定方程的形式，再求参数p .例 1 （教材68P 例3）已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程.【方法归纳】(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．变式训练1：若y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则P 的坐标为 ( B ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±24 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，24D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，24 解：由知， P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，所以P 点的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24，问题二 抛物线的焦点弦问题（设计意图：让学生了解焦点弦的重要性，体现团结合作的智慧） （师生活动：小组讨论分析、总结答案，教师归纳结论） 问题1：什么是抛物线的焦点弦？过焦点的弦长如何求？解：抛物线y 2＝±2px (p >0)的过焦点的弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ，其中x 1，x 2分别是点A ，B 横坐标的绝对值；抛物线x 2＝±2py (p >0)的过焦点的弦长|AB |＝y 1＋y 2＋p ，其中y 1，y 2分别是点A ，B 纵坐标的绝对值.问题2：抛物线的通径是什么？例2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；（类似教材73P 习题2.4第5题）(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．解：(1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F ⎝⎛⎭⎪⎫32，0. 所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎨⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . ∴|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3， 所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.【归纳方法】(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．变式训练2：（教材69P 例4）斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.问题三 探究和抛物线有关的轨迹方程（设计意图：让学生学会简单轨迹方程的求法） 问题1：怎样判断一个动点的轨迹是抛物线？ （师生互动：小组讨论得出结论，教师补充）答：(1)如果动点满足抛物线的定义，则动点的轨迹是抛物线；(2)如果动点的轨迹方程是抛物线的方程形式，则该动点的轨迹是抛物线．例3 已知点A 在平行于y 轴的直线l 上，且l 与x 轴的交点为(4,0)．动点P 满足AP →平行于x 轴，且OA →⊥OP →，求P 点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．解：设动点P 的坐标为(x ，y )，则由已知得A 点坐标为(4，y )，所以OA →＝(4，y )， OP →＝(x ，y )．因为OA →⊥OP →，所以OA →·OP →＝0，因此4x ＋y 2＝0，即P 的轨迹方程为4x ＋y 2＝0. 轨迹的形状为抛物线． 【方法归纳】求解圆锥曲线的轨迹方程的方法：一是代数法：建立坐标系——设点——找限制条件——代入等量关系——化简整理，简称“建设限代化”；二是几何法：利用曲线的定义、待定系数．但要特别注意不要忽视题目中的隐含条件，防止重、漏解．变式训练3：（教材74P 习题2.4 B 组第1题）从抛物线()220y px p =＞上各点向轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线？（()2102y px p =＞） 六、小结1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．解决抛物线的轨迹问题，可以利用抛物线的标准方程，结合抛物线的定义． 七、目标检测（检学）教材72P 练习第1、2、3题 八、配餐作业A 组1．抛物线y ＝mx 2 (m <0)的焦点坐标是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14mC.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－m 4D.⎝⎛⎭⎪⎫0，－14m2.(2014·鹤岗高二检测)抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4B.6C.8D.12【解析】选B.抛物线y 2=8x 的准线是x=-2,由条件知P 到y 轴距离为4,所以点P 的横坐标x P =4.根据焦半径公式可得|PF|=4+2=6.3.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=(B ) A.2B.2C.4D.2【解析】选B.由抛物线定义知,+2=3,所以p=2,抛物线方程为y 2=4x.因为点M(2,y 0)在此抛物线上,所以=8,于是|OM|==2B组4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B 两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.解析由y2＝4x，知p＝2，F(1,0)，由抛物线定义，x A＋p2＝|AF|，∴x A＝2－1＝1，因此AB⊥x轴，F为AB中点，从而|BF|＝|AF|＝2.5.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为 .【解析】由抛物线y2=2px(p>0),得焦点F的坐标为,则FA的中点B的坐标为,代入抛物线方程得,2p×=1,所以p=, 所以B点到准线的距离为+=p=.C组6.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为. 4【解析】据题意知,△PMF为等边三角形时,PF=PM,所以PM垂直抛物线的准线,设P,则M(-1,m),等边三角形边长为1+,F(1,0),所以由PM=FM,得1+=,解得m2=12,所以等边三角形边长为4,其面积为4.7.（选作）设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若·=-4,求点A的坐标.【解析】由y2=4x,知F(1,0),因为点A在y2=4x上,所以不妨设A(,y),则=(,y),=(1-,-y).代入·=-4中,得(1-)+y(-y)=-4,化简得y4+12y2-64=0.所以y2=4或y2=-16(舍去),所以y=±2.所以点A的坐标为(1,2)或(1,-2).九、教后反思第三、四课时（习题课）一、复习提问：其中()00,P x y 为抛物线上任一点. 二、评讲配餐作业4—7题 三、典例分析题型一 抛物线的几何性质例题1（《学乐时空》第41页） 变式训练1 （《学乐时空》第4142页练习1与练习2） 题型二 抛物线的几何性质的应用例题2（《学乐时空》第42页例题1） 变式训练2 （《学乐时空》第41页练习3\4\5） 题型三 抛物线的几何性质焦点弦例题3 （《学乐时空》第44页例题1） 变式训练3（《学乐时空》第44页练习1、2） 题型四 直线与抛物线的位置关系例题4 （《学乐时空》第45页例题2） 变式训练3（《学乐时空》第42页练习3、4、5） 四、课后作业完成1.《学乐时空》第43页的知识激活部分； 2．《学乐时空》第46页的知识激活部分.。

抛物线的几何性质教学设计1. 教学目标：(1)掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；(2)能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；（3）在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化。

2. 过程与方法学会用类比的思想分析解决问题。

3. 情态与价值观学生通过和椭圆，双曲线和抛物线之间的简单几何性质类比，了解到事物之间的普遍联系性。

教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课教学方法：学导式，启发式教学过程设计：由抛物线y 2 =2px （p >0）有pyx 22=，又0>p 所以0≥x所以抛物线在y 轴的右侧。

当x 增大时， 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

所以y 的取值范围是R y ∈2．对称性以y -代y ，方程不变，所以抛物线关于x 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3.顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当时，因此抛物线的顶点就是坐标原点．4.离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知标准方程 范围 对称性顶点离心率y 2 = 2px （p >0） x ≥0 y ∈R x 轴(0,0)1y 2 = -2px （p >0） x ≤0 y ∈R x 2 = 2py （p >0） y ≥0 x ∈R y 轴x 2 = -2py （p >0）y ≤ 0 x ∈R由此及彼，本表格由学生独立完成，锻炼学生类比，独立自主的能力y3.三种圆锥曲 线的简单几 何性质比较学习新知识不忘老知识，比较着学习，总结归纳更容易让学生掌握本课内容。

4.经典例题例１：已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 ()22,2-M ，求它的标准方程。

解:因为抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点()22,2-M 。

所以设方程为：y 2 = 2px （p >0），又因为点M 在抛物线上：()22222⨯=-p ，2=p 。

《抛物线的几何性质》导学案一、学习目标1、掌握抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质。

2、能够运用抛物线的几何性质解决相关的问题。

3、通过对抛物线几何性质的探究，提高观察、分析和解决问题的能力。

二、学习重点1、抛物线的几何性质，如开口方向、对称轴、顶点、焦点、准线等。

2、抛物线几何性质的应用。

三、学习难点1、抛物线几何性质的推导和理解。

2、运用抛物线的几何性质解决综合问题。

四、知识回顾1、抛物线的定义：平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。

2、抛物线的标准方程：焦点在 x 轴正半轴上：＼（y^2 ＝ 2px （p ＞ 0)＼），焦点坐标\（F(＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程\（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。

焦点在 x 轴负半轴上：＼（y^2 ＝－2px （p ＞ 0)＼），焦点坐标\（F(＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程\（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。

焦点在 y 轴正半轴上：＼（x^2 ＝ 2py （p ＞ 0)＼），焦点坐标\（F(0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程\（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。

焦点在 y 轴负半轴上：＼（x^2 ＝－2py （p ＞ 0)＼），焦点坐标\（F(0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程\（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。

五、新课讲解（一）抛物线的范围以抛物线\（y^2 ＝ 2px （p ＞ 0)＼）为例，因为\（y^2 ＼geq 0\），所以\（2px ＼geq 0\），又因为\（p ＞ 0\），所以\（x ＼geq 0\），即抛物线在\（x\）轴的右侧。

同理，对于抛物线\（y^2 ＝－2px （p ＞ 0)＼），＼（x ＼leq 0\），抛物线在\（x\）轴的左侧。

对于抛物线\（x^2 ＝ 2py （p ＞ 0)＼），＼（y ＼geq 0\），抛物线在\（y\）轴的上方。

2.3.2抛物线的简单几何性质导学案一、学习目标1．能叙述抛物线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点和离心率等。

学习过程：在直角坐标系中，顶点在原点，轴与坐标轴重合的共有四种情况，因此抛物线的方程相应也有四种形式，它们都叫抛物线的标准方程。

二、新知探究：以22(0)y px p =>为例来研究（类比椭圆和双曲线用两种方法进行探究） 1、对称性：方法一：观察抛物线：22(0)y px p =>关于____对称，有______条对称轴。

方法二：通过方程证明：2范围：方法一：观察抛物线：22(0)y px p =>的图像在____________， 方法二：通过方程证明：所以抛物线的范围是 。

3、顶点：方法一：观察抛物线：22(0)y px p => 顶点方法二：抛物线22(0)y px p =>令____0==x y 得：所以顶点是___；双曲线有__个顶点，椭圆___个顶点。

4、离心率： ，抛物线22(0)y px p =>的离心率e______。

5、思考：抛物线标准方程中的p 对抛物线开口的影响.在同一坐标系中画出下列抛物线的草图：（1）x y 212= （2）2;y x = （3）22;y x = （4）24.y x = 说明抛物线的开口大小取决于___________________________________。

三、填写下表（用类比的方法）：设焦点到准线的距离为P(P>0)1、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，通过点)22,2(-，且以坐标轴为轴，求该抛物线的标准方程.(类比椭圆或双曲线标准方程求法)2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。

已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。

3、P是抛物线24y x=上的点，若P到准线的距离是5，求P点的坐标。

4. P是抛物线24y x=上的点，若P到准线的距离是5，求P点的坐标。

2019-2020学年高二数学上学期《抛物线的几何性质》学案一、教学目的： 1、能利用抛物线的标准方程推导它的几何性质2、弄清抛物线四种形式其性质的异同3、会利用抛物线的性质解决有关问题二、教学重点：抛物线的几何性质教学难点：抛物线几何性质的运用。

三、预习学案： 1、抛物线的定义、标准方程、焦点、准线方程。

2、类比椭圆、双曲线的性质自己推导抛物线的几何性质。

四、基础知识：以()022〉=p px y 为例1、 范围：2、 对称性：3、 顶点：4、 离心率： 图形标准方程焦点坐标 准线方程x 的取值范围 y 的取值范围 对称轴 离心率()00,y x M 的焦半径F lFlFFll6、 焦半径：抛物线上一点M 与焦点F 连线的线段MF 叫做焦半径。

设抛物线()022〉=p px y 上一点M(x,y)由抛物线的定义，易知20p x MF += 7、 焦点弦：过焦点的弦设AB 是过抛物线()022〉=p px y 焦点F 的一条弦，()()2211,,,y x B y x A 则有：①p x x AB ++=21 ②221221,4p y y p x x -=⋅=⋅ 特别地，当焦点弦垂直于对称轴时，又称作正焦弦（“通径”）此时p AB 2=,从而p 刻画了抛物线开口大小，p 越大，开口越宽.p 越小，开口越窄. 五、典型例题（一）利用性质求抛物线标准方程例1、抛物线以x 轴为轴，顶点在坐标原点，开口向右，且过()32,4M ,求抛物线的标准方程.若抛物线顶点在坐标原点，过()32,4M ，该抛物线标准方程为练习：抛物线以x 轴为轴，顶点在坐标原点，且顶点与焦点的距离等于3，则抛物线标准方程为（二）焦点弦问题例2、已知抛物线x y 42=过焦点F 的弦为AB ,且8=AB ,求AB 中点的横坐标.练习:已知()()()332211,,,,,y x C y x B y x A 是抛物线()022〉=p px y 上三点，F 为焦点，若CF BF AF ,,成等差数列。

抛物线的简单几何性质（2）一、课前导学1.已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上一点P (－3，m )到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为 ( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x2.已知点A (－2,1)，y 2＝－4x 的焦点是F ，P 是y 2＝－4x 上的点，为使|PA |＋|PF |取得最小值，则P 点的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1 B ．(－2,22) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－1 D ．(－2，－22) 3.过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ) A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条D ．不存在 4.已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2,2)，则△ABF 的面积为________.二、课堂导学例1.抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆x 24＋y 29＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及准线方程.练习1.求以双曲线x 28－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及准线方程.例2.过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴.练习2.如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O .例3.如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值.例4.过抛物线22(0)y px p =>焦点的一条直线和抛物线相交于1122(,),(,)A x yB x y 两点，求证：（1） 4221p x x =⋅ （2）221p y y -=⋅ 12(3)AB x x p =++ 112(4)FA FB p+=.三、课堂小结1.求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；2.直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；3.抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.四、课堂练习1．若一动点到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则该点的轨迹是( )A．椭圆B．双曲线 C．双曲线的一支D．抛物线2.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝2|AF|，则△AFK的面积为( )A．4 B．8 C．16 D．323.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1).能使这条抛物线方程为y2＝10x的条件是________(要求填写合适条件的序号).4.过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦OM、ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为________.。

2020年高中数学 2.4.2抛物线的简单几何性质(2)导学案新人教A版选修2-【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2．小组合作，动手实践。

【学习目标】1．掌握抛物线的几何性质；2．抛物线与直线的关系．【重点】抛物线与直线的关系【难点】抛物线与直线的关系一、自主学习预习教材P70～ P72, 找出疑惑之处二、典型例题1.已知抛物线22(0)y px p=->的焦点恰好是椭圆2211612x y+=的左焦点，则p= ．2.抛物线22(0)y px p=>上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为10，则：这点到准线的距离为；焦点到准线的距离为；抛物线方程；这点的坐标是；此抛物线过焦点的最短的弦长为．3．（11年辽宁卷)已知 F 是抛物线2y x=的焦点，A．B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为 C(A) 34(B)1 (C)54(D)744．过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．5．已知抛物线的方程24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？三、拓展探究6. （11年江西卷) 已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若λ+=，求λ的值【解析】（1）直线AB 的方程是,05x 4px 2y ),2(22222=+-=-=p px p x y 联立，从而有与 所以：4521p x x =+，由抛物线定义得：921=++=p x x AB ，所以p=4， 抛物线方程为：x y 82= （2）由p=4，,05x 422=+-p px 化简得0452=+-x x ，从而,4,121==x x 24,2221=-=y y ,从而A:(1,22-),B(4,24)设)24,4()22,1()(3,3λ+-==→y x OC =)2422,41(λλ+-+，又3238x y =，即()[]=-21222λ8（41+λ），即14)12(2+=-λλ，解得2,0==λλ或.7．（11年湖南卷)已知平面内一动点P 到点F （1，0）的距离与点P 到y 轴的距离的等等于1．（I ）求动点P 的轨迹C 的方程；（II ）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相交于点,D E ，求AD EB ∙的最小值．解析：（I ）设动点P 的坐标为(,)x y || 1.x =化简得222||,y x x =+当20,4;0x y x x ≥=<时当时,y=0.、所以动点P 的轨迹C 的方程为2,4(0)0)y x x x =≥<和y=0(.（II ）由题意知，直线1l 的斜率存在且不为0，设为k ，则1l 的方程为(1)y k x =-． 由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得2222(24)0.k x k x k -++= 设1122(,),(,),A x y B x y 则12,x x 是上述方程的两个实根，于是 1212242,1x x x x k+=+=． 因为12l l ⊥，所以2l 的斜率为1k-． 设3344(,),(,),D x y B x y 则同理可得2343424,1x x k x x +=+=故12342222()()||||||||(1)(1)(1)(1)41(2)11(24)1184()AD EB AF FD EF FB AF EF AF FB FD EF FD FB AF FB FD EF x x x x k kk k ∙=++=+++=+=+++++=+++++++=++≥28416k +⨯= 当且仅当221k k =即1k =±时，AD EB ∙取最小值16．四、变式训练课本第72页4题五、课堂小结1．知识：2．数学思想、方法：六、课后巩固1．过点(0,1)且与抛物线24y x =只有一个公共点的直线有（ ）．A ．1条B ．2条C ．3条D ．0条2．若直线2x y -=与抛物线24y x =交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是______．3．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线与直线21y x =+交于P ，Q 两点，PQ 求抛物线的方程．4.教材73页6题5.教材73页7题6．教材74页B组1题7．教材74页3题。

§2.4.2 抛物线的简单几何性质（一）学习目标：1、记住抛物线的几何性质，会根据抛物线的几何性质确定抛物线的位置及基本量p ；2、会简单应用抛物线的几何性质。

一、知识回顾：1、抛物线20(0)mx ny m n +=⋅≠的顶点坐标是 ，焦点坐标是 ，准线方程是 ，离心率是 ，通径长 。

2、抛物线22y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点的横坐标是 。

3、抛物线28y x =的焦点为F ，()4,2A -为定点，在抛物线上找一点M ，当MA MF +为最小时，则M 点的坐标 ，当MA MF -为最大时，则M 点的坐标 。

二、典例分析：〖例1〗：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。

〖例2〗：正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，求这个正三角形的边长。

〖例3〗：定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，设点M 为线段AB 的中点，求点M 到y轴的最小距离。

〖例4〗：抛物线24y x =上有两个定点A 、B （位于x 轴的上下两侧），F 是抛物线的焦点，并且||2FA =，||5FB =。

在抛物线AOB 这段曲线上，求一点P ，使得APB ∆的面积最大，并求最大面积。

三、课后作业：1、已知点1,04F ⎛⎫-⎪⎝⎭，直线l ：41=x ，点B 是直线l 上的动点，若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 所在曲线是（ ） A 、圆B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线 2、若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p =（ ） A 、2- B 、2 C 、4- D 、43、过抛物线()220y px p =>的焦点的直线交抛物线于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A 、2p B 、p C 、2p D 、无法确定 4、设抛物线22y x =的焦点为F ，以9,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，PF 长为半径作一圆，与抛物线在x 轴上方交于,M N ，则MF NF +的值为（ ）A 、8B 、18C 、22D 、45、抛物线28y x =上一点P 到顶点的距离等于它到准线的距离，这点坐标是（ ）A 、()2,4B 、()2,4±C 、(D 、(1,± 6、已知点P 是抛物线x y 42=上的点，设点P 到抛物线的准线的距离为1d ，到圆()()22331x y ++-=上一动点Q 的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A 、3B 、4C 、5D 、1+7、过定点()0,2P ，作直线l 与曲线x y 42=有且仅有１个公共点，则这样的直线l 共有 条。

《抛物线的简单几何性质》教学设计一. 教学理念“数学教师不能充当数学知识的施舍者，没有人能教会学生,数学素质是学生在数学活动中自己获得的。

”因此,教师的责任关键在于在教学过程中创设一个”数学活动”环境,让学生通过这个环境的相互作用,利用自身的知识和经验构建自己的理解,获得知识，从而培养自己的数学素质,培养自己的能力。

数学源于生活,高于生活,学习数学的最终目的是应用于生活(回归生活),通过平时教学,注意这方面的渗透,培养学生解决实际问题的能力。

二、教学目标1、知识目标：（1）抛物线的几何性质、X围、对称性、定点、离心率。

.（2）抛物线的通径及画法。

（3）抛物线的焦半径公式。

2、能力目标：.（1）使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出条件求抛物线的标准方程。

（2）掌握抛物线的画法。

3、情感目标：（1）培养学生数形结合及方程的思想。

（2）训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用。

三、教学重点、难点教学的重点是掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。

难点是抛物线各个知识点的灵活应用。

四、教学方法及手段采用引导式、合作探究、讲练结合法；多媒体课件辅助教学。

五、教学程序教 学 过 程教学内容教师导拨与学生活动设计意图一、知识回顾1、 抛物线的标准方程。

课件展示给出下表，请学生对比、研究和填写．图形标准方程焦点坐标准线方程标准方程由学生提前复习，在导学案上填出答案，老师展示结论提出这一问题的研究方法——对比、数形结合)0(22>=p px y )0,2(p 2px -=)0(22>-=p px y )0,2(p -2p x =)0(22>=p py x )2,0(p2p y -=)0(22>-=p py x )2,0(p -2p y =二、引入课题由三幅图片的共同特征引出抛物线在生活中的重要作用，阐述研究抛物线的几何性质的重要性。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.4.2 抛物线的简单几何性质》导学案3【学习目标】1.记住抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质。

2.能根据抛物线的方程对抛物线几何性质进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形。

3.学会抛物线的简单几何性质并会在实际问题中简单运用。

【学习重点】抛物线的简单几何性质并会在实际问题中简单运用。

【学习流程】一、独学1．根据抛物线的标准方程总结：抛物线的几何性质。

比较椭圆、双曲线以及抛物线离心率，指出它们的异同。

2. 已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过(2M ，，求它的标准方程。

思考： 本题与课本例题有何异同？3.（1）我们把“抛物线上任意一点A 与抛物线焦点F 的连线段”，叫做抛物线的焦半径； “过焦点的直线割抛物线所成的相交弦”叫做抛物线的焦点弦， 当y ²=2px （p ＞0）时，你能算出此时焦半径和焦点弦的长度吗？135的直线，被抛（2）.抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为0物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程。

思考：如何求两个图像的交点？4.（1）在抛物线y2＝2px(p＞0)中，通过焦点且垂直于x轴的直线与抛物线两交点之间的线段叫做抛物线的通径，你能求出它的长度吗？（2）若抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点且以x轴为对称轴时，你能求出它的方程吗？5.当k为何值时，直线y=kx+k-2与抛物线y²=4x有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？6. 已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．二、对学以预习和独学的问题为切入点，重点解决预习和独学中的问题，进行小对子间的检测，交换思考总结方法和规律。

三、群学在预习、独学和对学的学习成果基础上，进而达到可以运用知识点解决问题，并进行方法和规律的总结。

2.4.2 抛物线的简单几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一 抛物线的简单几何性质 思考 观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x 轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？ (2)根据图形及抛物线方程y 2＝2px (p >0)如何确定横坐标x 的范围？答案 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．(2)由抛物线y 2＝2px (p >0)有⎩⎪⎨⎪⎧2px ＝y 2≥0，p >0，所以x ≥0.梳理 四种形式的抛物线的几何性质标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 焦点坐标 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2顶点坐标O (0,0)离心率 e ＝1 通径长2p直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点． 知识点三 焦点弦的性质已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ，|AF |＝x 1＋p2；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(1)抛物线没有渐近线．(√)(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p .(×)(3)若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切．(×)(4)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．(√)类型一 抛物线方程及其几何性质例1 (1)顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( ) A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．x 2＝±8yD ．x 2＝±16y考点 抛物线的简单几何性质 题点 焦点、准线、对称性简单应用 答案 D解析 顶点在原点，对称轴为y 轴的抛物线方程有两个：x 2＝－2py ，x 2＝2py (p ＞0)．由顶点到准线的距离为4，知p ＝8，故所求抛物线方程为x 2＝16y 或x 2＝－16y .(2)顶点在原点，经过点(3，－6)，且以坐标轴为对称轴的抛物线方程是________________． 考点 抛物线的简单几何性质 题点 焦点、准线、对称性简单应用 答案 y 2＝123x 或x 2＝－12y解析 若x 轴是抛物线的对称轴，则设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，因为点(3，－6)在抛物线上，所以(－6)2＝2p ·3，解得2p ＝123，故所求抛物线的标准方程为y 2＝123x .若y 轴是抛物线的对称轴，则同理可得抛物线的标准方程为x 2＝－12y .反思与感悟 求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数． (2)方法：①定义法：根据定义求p ，最后写标准方程． ②待定系数法：设标准方程，列有关的方程组求系数．③直接法：建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程．跟踪训练1 已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程． 考点 由抛物线的简单几何性质求方程 题点 由简单几何性质求抛物线的方程 解 由题意，可设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)， 则焦点F ⎝⎛⎭⎫a 2，0，准线l ：x ＝－a 2， ∴A ，B 两点坐标分别为⎝⎛⎭⎫a 2，a ，⎝⎛⎭⎫a 2，－a ， ∴|AB |＝2|a |.∵△OAB 的面积为4，∴12·⎪⎪⎪⎪a 2·2|a |＝4，∴a ＝±22，∴抛物线方程为y 2＝±42x . 类型二 焦点弦问题例2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 考点 直线与抛物线位置关系题点 直线与抛物线相交弦长及弦中点问题 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝3， 又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为 y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，y 2＝6x ，消去y 得4x 2－20x ＋9＝0， 解得x 1＝12，x 2＝92，故|AB |＝1＋(3)2×⎪⎪⎪⎪92－12＝2×4＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义，知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.反思与感悟 抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．跟踪训练2 如图，斜率为43的直线l 经过抛物线y 2＝2px 的焦点F (1,0)，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)求该抛物线的标准方程和准线方程； (2)求线段AB 的长．考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 求抛物线的焦点弦长解 (1)由焦点F (1,0)，得p2＝1，解得p ＝2，所以抛物线的标准方程为y 2＝4x ， 其准线方程为x ＝－1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 直线l 的方程为y ＝43(x －1)，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43(x －1)，y 2＝4x ，消去y ，整理得4x 2－17x ＋4＝0， 由抛物线的定义可知， |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝174＋2＝254，所以线段AB 的长为254.类型三 直线与抛物线位置关系例3 (1)过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条D ．1条考点 直线与抛物线位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题 答案 B解析 当直线垂直于x 轴时，满足条件的直线有1条； 当直线不垂直于x 轴时，满足条件的直线有2条，故选B.(2)已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点． 考点 直线与抛物线位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题解 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，(*)式只有一个解x ＝14，∴y ＝1，∴直线l 与C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1， 此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，(*)式是一个一元二次方程， Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． ①当Δ＞0，即k ＜1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时直线l 与C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时直线l 与C 相切； ③当Δ＜0，即k ＞1时，l 与C 没有公共点，此时直线l 与C 相离． 综上所述，当k ＝1或0时，l 与C 有一个公共点； 当k ＜1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点； 当k ＞1时，l 与C 没有公共点． 引申探究求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程． 解 (1)若直线斜率不存在， 则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，所以直线x ＝0与抛物线只有一个交点． (2)若直线斜率存在，设为k ，则过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝2x ，消去y ，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0. 当k ＝0时，得x ＝12，且y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点． 当k ≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则 Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，解得k ＝12，则直线方程为y ＝12x ＋1.综上所述，所求直线的方程为x ＝0或y ＝1或x －2y ＋2＝0.反思与感悟 设直线l ：y ＝kx ＋b ，抛物线：y 2＝2px (p ＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k 2x 2＋(2kb －2p )x ＋b 2＝0.(1)若k 2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． (2)若k 2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．跟踪训练3 (1)已知直线y ＝kx －k 和抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则( ) A ．直线和抛物线有一个公共点 B ．直线和抛物线有两个公共点 C ．直线和抛物线有一个或两个公共点 D ．直线和抛物线可能没有公共点 考点 直线与抛物线位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题 答案 C解析 ∵直线y ＝kx －k 过定点(1,0)， ∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点； 当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点．(2)(2017·牌头中学期中)抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为____．答案 (－2,4) (1,1)解析 设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ， 代入y ＝x 2中，整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0， ∴b >－14.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1， y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ， 由⎝⎛⎭⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1.1．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－11x B ．y 2＝11x C ．y 2＝－22xD ．y 2＝22x考点 由抛物线的简单几何性质求方程 题点 由简单几何性质求抛物线的方程 答案 C解析 在方程2x －4y ＋11＝0中，令y ＝0，得x ＝－112，∴抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫－112，0，设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 则p 2＝112，∴p ＝11， ∴抛物线的方程是y 2＝－22x ，故选C.2．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12考点 抛物线的简单几何性质 题点 抛物线性质的综合问题 答案 C解析 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，且点A (－2,3)在准线上， 故－p2＝－2，解得p ＝4，所以y 2＝8x ，所以焦点F 的坐标为(2,0)， 这时直线AF 的斜率k AF ＝3－0－2－2＝－34.3．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( ) A ．成等差数列B ．既成等差数列也成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列 考点 抛物线的简单几何性质 题点 抛物线性质的综合问题 答案 A解析 设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3. 因为2y 22＝y 21＋y 23， 所以x 1＋x 3＝2x 2，即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p2＝2⎝⎛⎭⎫|P 2F |－p 2， 所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |.4．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________. 考点 抛物线中过焦点的弦长问题 题点 与弦长有关的其他问题 答案 2解析 设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 易知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ， 且倾斜角为45°的直线的方程为y ＝x －p2，把x ＝y ＋p2代入y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2p ，y 1y 2＝－p 2. ∵|AB |＝8，∴|y 1－y 2|＝42， ∴(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(42)2， 即(2p )2－4×(－p 2)＝32. 又p >0，∴p ＝2.5．已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PC |的最小值为________． 考点 抛物线的定义题点 抛物线定义与其他知识结合的应用 答案41解析 圆心C (－3，－4)，由抛物线的定义知，m ＋|PC |最小时为圆心与抛物线焦点(2,0)间的距离，即(－3－2)2＋(－4)2＝41.1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．3．在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．一、选择题1.(2017·嘉兴一中期末)已知点A (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( ) A.14B ．2C ．4D ．8 答案 B2．抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8考点 由抛物线的简单几何性质求方程题点 由简单几何性质求抛物线的方程答案 D解析 ∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.又圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2， ∴p 2＋p 4＝6，∴p ＝8. 3．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( ) A.43B.75C.85D ．3 考点 直线与抛物线的位置关系题点 求距离最小值问题答案 A解析 设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5，当m ＝23时，取得最小值为43. 4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其上的三个点A ，B ，C 的横坐标之比为3∶4∶5，则以|F A |，|FB |，|FC |为边长的三角形( )A ．不存在B ．必是锐角三角形C ．必是钝角三角形D ．必是直角三角形考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线的简单几何性质应用答案 B解析 设A ，B ，C 三点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 1＝3k ，x 2＝4k ，x 3＝5k (k >0)，由抛物线定义，得|F A |＝p 2＋3k ，|FB |＝p 2＋4k ，|FC |＝p 2＋5k ，易知三者能构成三角形，|FC |所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形．5．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线的简单几何性质应用答案 B解析 因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性，知直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y 2＝2px ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，所以易得A ，B 两点的坐标分别为(2p,2p )和(2p ，－2p )．所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2. 6．(2017·牌头中学期中)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3C.1728D.10 答案 B解析 设点A 的坐标为(a 2，a )，点B 的坐标为(b 2，b )，直线AB 的方程为x ＝ty ＋m ，与抛物线y 2＝x 联立得y 2－ty －m ＝0，故ab ＝－m ，由OA →·OB →＝2得a 2b 2＋ab ＝2，故ab ＝－2或ab ＝1(舍去)，所以m ＝2，所以△ABO 的面积为12m |a －b |＝|a －b |＝⎪⎪⎪⎪a ＋2a ，△AFO 的面积等于12×14|a |＝|a |8，所以△ABO 与△AFO 的面积之和为⎪⎪⎪⎪9a 8＋⎪⎪⎪⎪2a ≥29|a |8×2|a |＝3，当且仅当9|a |8＝2|a |，即|a |＝43时“＝”成立，故选B. 7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线位置关系的综合应用答案 B解析 抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，代入y 2＝2px 消去x ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.二、填空题8．已知O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是____________．考点 抛物线的简单几何性质题点 抛物线性质的综合问题答案 (1,2)或(1，－2)解析 ∵抛物线的焦点为F (1,0)，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0， 则OA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，AF →＝⎝⎛⎭⎫1－y 204，－y 0， 由OA →·AF →＝－4，得y 0＝±2，∴点A 的坐标是(1,2)或(1，－2)．9．(2017·嘉兴一中期末)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为________．答案 32210．已知在抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M ，N 关于直线y ＝kx ＋92对称，则k 的取值范围为__________________．考点 直线与抛物线位置关系题点 直线与抛物线位置关系答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞ 解析 设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)，两点关于直线y ＝kx ＋92对称，显然k ＝0时不成立， ∴x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，即x 1＋x 2＝－1k . 设MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝－12k，y 0＝k ×⎝⎛⎭⎫－12k ＋92＝4. 又中点P 在抛物线y ＝x 2内，∴4＞⎝⎛⎭⎫－12k 2，即k 2＞116， ∴k ＞14或k ＜－14. 三、解答题11．(2017·嘉兴一中期末)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．解 (1)由题意知抛物线焦点坐标为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0，Δ＝16t 2＋16>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0，Δ＝16t 2＋16b >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2.∴直线l 过定点(2,0)．∴若OA →·OB →＝－4，则直线l 必过一定点(2,0)．12．已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线截直线x －2y －1＝0所得的弦长为15，求此抛物线的方程．考点 由抛物线的简单几何性质求方程题点 已知弦长求抛物线的方程解 设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0，消去y ， 得2x 2－ax ＋a ＝0.∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a )2－4×2×a ＞0，即a ＜0或a ＞8.设两交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2， ∴|AB |＝54(x 1－x 2)2＝54[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝145(a 2－8a ).∵|AB |＝15，∴145(a 2－8a )＝15，即a 2－8a －48＝0，解得a ＝－4或a ＝12，∴所求抛物线的方程为x 2＝－4y 或x 2＝12y .13．设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)设l 的斜率为2，求|AB |的值；(2)求证：OA →·OB →是一个定值．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的综合问题(1)解 依题意得F (1,0)，∴直线l 的方程为y ＝2(x －1)．设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝4x ，消去y ，整理得x 2－3x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1.方法一 |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝5×32－4×1＝5.方法二 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋2＝5.(2)证明 设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，消去x ，整理得y 2－4ky －4＝0， ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4.∵OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3，∴OA →·OB →是一个定值．四、探究与拓展14．已知直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点且与抛物线相交，其中一个交点为(2p,2p )，则其焦点弦的长度为________．考点 抛物线中过焦点的弦长问题题点 求抛物线的焦点弦长答案 25p 8 解析 由题意，知直线l 过⎝⎛⎭⎫p 2，0和(2p,2p )，所以直线l ：y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2.设另一交点坐标为(x 1，y 1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px ，y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0.由根与系数的关系，得x 1＋2p ＝17p 8，所以焦点弦的长度为x 1＋2p ＋p ＝25p 8. 15．已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|P A |；(2)设点A 的坐标为(a,0)，求抛物线上的点到点A 的距离的最小值d ，并写出d ＝f (a )的函数表达式．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的综合问题解 (1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则|P A |2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋2x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋132＋13. 因为x ≥0，且在此区间上|P A |2随着x 的增大而增大，所以当x ＝0时，|P A |min ＝23， 故距离点A 最近的点P 的坐标为(0,0)，最短距离是23. (2)同(1)求得|P A |2＝(x －a )2＋y 2＝(x －a )2＋2x ＝[x －(a －1)]2＋(2a －1)．当a －1≥0，即a ≥1时，|P A |2min ＝2a －1，解得|P A |min ＝2a －1，此时x ＝a －1；当a －1＜0，即a ＜1时，|P A |2min ＝a 2，解得|P A |min ＝|a |，此时x ＝0.所以d ＝f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1，a ≥1，|a |，a ＜1.。