2018届北师大版(理) 计数原理 单元测试

一、选择题1．今有8件不同的奖品，从中选6件分成三份，两份各1件，另一份4件，不同的分法有（ ）种 A ．420B ．840C ．30D ．1202．10个人排队，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法A ．5457A A 种 B ．1010A －7474A A 种 C ．6467A A 种D ．6466A A 种3．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为 A ．14B ．16C ．20D ．484．451)(1)x -的展开式中，4x 的系数为（ ） A ．－40B ．10C ．40D ．455．数列129,,,a a a ⋅⋅⋅中，恰好有6个7，3个4，则不相同的数列的个数( ) A ．69AB ．39AC ．39CD ．36C6．若10521001210(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，则5a 为（ ） A ．251B ．250C ．252D ．2497．某科技小组有四名男生两名女生.现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为( ) A ．36CB ．1225C CC ．12212424C C C C +D ．36A8．甲乙和其他2名同学合影留念，站成两排两列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这4名同学的站队方法有（ ） A ．8种B ．16种C ．32种D ．64种9．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设(0)a b m m >，，为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为(mod )a b m =．若012220202020202022...2a C C C C =++++，(mod8)a b =，则b 的值可以是（ ） A ．2015B ．2016C ．2017D ．201810．已知8290129(3)(23)(1)(1)(1)x x a a x a x a x --=+-+-+⋅⋅⋅+-，则6a =（ ）A ．1792-B ．1792C ．5376-D ．537611．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ） A ．18B ．24C ．30D ．3612．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为-1，则a 的值为( )A ．1B ．9C ．-1或-9D ．1或9二、填空题13．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有________种14．七位同事（四男三女）轮值办公室每周的清洁工作，每人轮值一天，其中男同事甲必须安排周日清洁，且三位女同事任何两位的安排不能连在一起，则不同的安排方法种数是_______（用数字作答） 15．当n 为正奇数时，011221777...7nn n n n n n n C C C C ---++++除以9的余数是______.16．有4位同学和2位教师一起合影．若教师不能坐在两端，也不坐在一起，则有_________种坐法．17．计算2222223456C C C C C ++++=______.18．,,,,,A B C D E F 六人并排站成一排，,A B 必须站在一起，且,C D 不能相邻，那么不同的排法共有_____种（结果用数字表示）. 19．若()626012612x a a x a x a x -=++++，则126a a a +++的值为__________.20．已知2⎛+ ⎝nx 的展开式的二项式系数之和为32，则其展开式中常数等于________.三、解答题21．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数． （1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数． 22．已知727012712+++(=+)x a a x a x a x ⋯－. 求：（1）127+++a a a ⋯； （2）1357+++a a a a ； （3）0246+++a a a a ；23．某毕业班级中有6人要拍毕业照留念.（1）若分成两排合影，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法? （2）若排成一排合影，甲乙相邻但乙丙不相邻，有多少种不同的排法?24．已知n 为给定的正整数，设201223nn n x a a x a x a x ⎛⎫+=++++ ⎪⎝⎭，x ∈R .（1）若4n =，求01,a a 的值；（2）若13x =，求0()nkk k n k a x =-∑的值.25．有3名男生，4名女生，按下列要求排成一行，求不同的方法总数 （1）甲只能在中间或者两边位置； （2）男生必须排在一起；（3）男女各不相邻； （4）甲乙两人中间必须有3人.26．从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数． 试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？ （2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】分两步进行：（1）先从8件不同的奖品中选6件；（2）将6件不同的奖品分成三份，两份各1件，另一份4件.利用分步乘法计数原理可求得分法种数. 【详解】分两步进行：（1）先从8件不同的奖品中选6件，有68C 种分法；（2）将6件不同的奖品分成三份，两份各1件，另一份4件，分法种数为46C . 由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为64862815420C C =⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查部分平均分组问题，考查分类乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.2．C解析：C 【分析】不相邻问题采用“插空法”. 【详解】解：∵10个人排成一排，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻排成一排， ∴采用插空法来解，另外六人，有66A 种结果，再在排列好的六人的七个空档里，排列甲、乙、丙、丁， 有47A 种结果，根据分步计数原理知共有66A •47A ， 故选C ． 【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空档，排列不相邻的元素．3．B解析：B 【解析】由间接法得32162420416C C C -⋅=-=，故选B ．4．D解析：D 【分析】求出41)中的有理项，再求出5(1)x -中的相应项后，按多项式乘法法则计算． 【详解】441)(1=展开式通项公式为2144r r rr r TC C x +==，所以0,2,4r =时，该项为有理项，x 的指数分别为0，1，2，55(1)(1)x x -=-展开式通项公式为515(1)kk k k T C x -+=-， 所以所求4x 的系数为04232423454545(1)(1)(1)45C C C C C C ⨯-+⨯-+⨯-=， 故选：D ． 【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键，对两个二项相乘，注意多项式乘法法则的应用．5．C解析：C 【分析】把129,,,a a a ⋅⋅⋅看成9个位置，从这9个位置中，任取3个位置放4（或任取6个位置放7），即得不相同的数列的个数. 【详解】把129,,,a a a ⋅⋅⋅看成9个位置，从这9个位置中，任取3个位置放4（或任取6个位置放7），其余6个位置放7（或其余3个位置放4），有39C （或69C ）种不同的取法. 每种取法放3个4都有一种方法，剩下的6个位置放6个7有1种方法. 所以不相同的数列共有39C （或69C ）个. 故选：C . 【点睛】本题考查排列组合，属于基础题.6．A解析：A 【分析】根据题意，5a 是展开式中()51x -的系数，因此将等式左边变形为关于1x -的二项式，再求()51x -的系数. 【详解】由题意，()()1051051111x x x x -=-+--+， 又()()()()10109011010101011111x C x C x C x -+=⋅-+⋅-++⋅-，()()()()55401555511111x C x C x C x -+=⋅-+⋅-++⋅-，因为，()()()21010501210111x x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，即55101251a C =-=.故选：A. 【点睛】本题考查了二项式定理中展开式的系数，关键是将已知等价变形，得到关于()1nx -的二项式，属于基础题.7．C解析：C 【分析】分只有一名女生入选和有二名女生入选两种情况，结合分步乘法计数原理以及分类加法计数原理，即可得出答案. 【详解】当只有一名女生入选时，先选1名女生，有12C 种，再选2名男生，有24C 种，则根据分步乘法计数原理可知，有1224C C 种当有二名女生入选时，选选2名女生，有22C 种，再选1名男生，有14C 种，则根据分步乘法计数原理可知，有2124C C 种所以从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为12212424C C C C +故选：C 【点睛】本题主要考查了组合的应用，涉及了分步乘法计数原理以及分类加法计数原理的应用，属于中档题.8．A解析：A 【分析】根据题意，分3步进行讨论：先在4个位置中任选一个安排甲，再安排乙，最后将剩余的2个人，安排在其余的2个位置，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分3步进行讨论：1、先安排甲，在4个位置中任选一个即可，有14C 4=种选法；2、在与甲所选位置不在同一排也不在同一列只有一个位置，安排乙，即1种选法；3、将剩余的2个人，安排在其余的2个位置，有222A =种安排方法； 则这4名同学的站队方法有4128⨯⨯=种； 故选：A . 【点睛】本题主要考查排列、组合的综合应用，注意要优先分析受到限制的元素，属于中档题.9．C解析：C 【分析】根据已知中a 和b 对模m 同余的定义,结合二项式定理,我们可以求出a 的值,结合(mod8)a b =，比照四个答案中的数字，即可求解.【详解】0122202020202020202022...2=(12)3a C C C C =+⋅+⋅++⋅+=，又201010012210101010101039(18)888C C C C ==+=+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅a ∴被8除得的余数为1，同理b 被8除得的余数也要为1，观察四个选项，可知选C. 故选：C 【点睛】本题考查的知识点是同余定理,其中正确理解a 和b 对模m 同余，是解答本题的关键，同时利用二项式定理求出a 的值,也很关键.10．D解析：D 【分析】将原式改写成88(3)(23)[2(1)][2(1)1]x x x x --=----，利用二项式定理解决系数问题即可得解. 【详解】88(3)(23)[2(1)][2(1)1]x x x x --=----290129(1)(1)(1)a a x a x a x =+-+-+⋅-+⋅⋅，所以26356882C 2C 2358417925376.a =⨯⨯+⨯=+= 故选：D 【点睛】此题考查二项式定理的理解辨析和应用，关键在于熟练掌握定理公式，根据公式处理系数关系.11．C解析：C 【分析】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案. 【详解】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家 看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和 其余二个看成三个元素的全排列共有：2343C A ⋅种； 又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有33A 种， 所以不同的分配方法种数有：23343336630C A A ⋅-=-= 故选：C 【点睛】本题考查了排列组合的应用，考查了间接法求排列组合应用问题，属于一般题.12．D解析：D 【分析】根据题意分析常数项由()2x a +中的某项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的某项项相乘所得,再二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】由题可得,()2x a +中含2x 项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 项相乘可得常数项； ()2x a +中含x 项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含1x 项相乘可得常数项； ()2x a +中的常数项与511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的常数项相乘可得常数项.故()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ()()()2134522122551112111010x C ax C a a a x x ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-+⋅-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故22101011090a a a a -+-=-⇒-+=,解得1a =或9a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用二项式定理,根据常数项求解参数的方法.需要根据题意分析常数项的所有可能组成,属于中档题.二、填空题13．150【分析】先根据题意确定分组分式则分组方法是113或221得到分组方法种数再分配到3个社区利用分步计数原理求解【详解】安排5名学生去3个社区进行志愿服务且每人只去一个社区要求每个社区至少有一名学解析：150 【分析】先根据题意，确定分组分式则分组方法是1，1，3或2，2，1，得到分组方法种数，再 分配到3个社区，利用分步计数原理求解. 【详解】安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则分组分式是1，1，3或2，2，1，故分组方法有：112231545322312225C C C C C C A A+=,分配到3个社区的分配方法有336A =种，由分步计数原理得：不同的安排方式共有256150⨯=种， 故答案为：150 【点睛】方法点睛：排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素组合(分组)，再对取出的元素排列，分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．14．144【分析】优先安排男同事甲在星期日轮值有1种再安排其余3位男同事作全排列有最后安排女同事插在三个男同事中有最后根据分步用乘法的原理得：【详解】解：第一步：先安排男同事甲在星期日轮值有1种第二步：解析：144 【分析】优先安排男同事甲在星期日轮值有1种，再安排其余3位男同事作全排列有33A ，最后安排女同事插在三个男同事中有34A ，最后根据分步用乘法的原理得：331A ⨯34144A =. 【详解】解：第一步：先安排男同事甲在星期日轮值有1种， 第二步：其余3位男同事作全排列有33A ，第三步：因为三位女同事任何两位的安排不能连在一起，所以后3位女同事插空安排有34A ，分步完成共有方法种数为：1⨯33A 34144A =. 故答案为：144. 【点睛】本题主要考查分步计数原理与排列，属于中档题.15．【分析】利用二项式定理结合组合数的运算即可容易求得结果【详解】因为为正奇数故上式可化简为：该式除以余数为故答案为：【点睛】本题考查由二项式定理解决余数问题属中档题 解析：7【分析】利用二项式定理，结合组合数的运算，即可容易求得结果. 【详解】011221777...7n n n n n n n n C C C C ---++++()711n=+- ()911n=--()()()101119919111n nn n n nn n n n C C C C ---=+⋅-++-+--因为n 为正奇数，故上式可化简为：()()101119919197n n n n n n n C C C ---+⋅-++--+该式除以9，余数为7. 故答案为：7. 【点睛】本题考查由二项式定理解决余数问题，属中档题.16．144【分析】先排4位同学将教师插入4位同学产生的3个空位中再由乘法原理即可得到答案【详解】先排4位同学共有种不同排法由于教师不能坐在两端也不坐在一起将2位老师插入4位同学产生的3个空位中共种不同排解析：144 【分析】先排4位同学，将教师插入4位同学产生的3个空位中，再由乘法原理即可得到答案. 【详解】先排4位同学共有44A 种不同排法，由于教师不能坐在两端，也不坐在一起，将2位老师插 入4位同学产生的3个空位中，共23A 种不同排法，由乘法原理，共有4243144A A =种不同排 法.故答案为：144 【点睛】本题考查排列的实际应用，涉及到特殊元素分析法，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.17．35【分析】根据组合数的性质计算可得；【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查组合数的性质属于中档题解析：35 【分析】根据组合数的性质11mm mn n n C C C -++=计算可得；【详解】解：2222223456C C C C C ++++3222233456C C C C C =++++ 32224456C C C C =+++ 322556C C C =++3266C C =+ 3776535321C ⨯⨯===⨯⨯故答案为：35 【点睛】本题考查组合数的性质，属于中档题.18．144【分析】根据题意分2步进行分析：①将两人看成一个元素与人进行全排列易得排好后有4个空位；②在4个空位中任选2个安排由分步计数原理计算可得答案【详解】解：根据题意分2步进行分析：①将两人看成一个解析：144 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将AB 两人看成一个元素，与2EF 人进行全排列，易得排好后有4个空位；②在4个空位中任选2个，安排C 、D ，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①将AB 两人看成一个元素，与2EF 人进行全排列， 有232312A A =种排法，排好后有4个空位，②在4个空位中任选2个，安排C 、D ，有2412A =种情况， 则有1212144⨯=种不同的排法. 故答案为：144. 【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意常见的相邻和不相邻问题的处理方法有捆绑法和插空法．19．0【分析】在所给的等式中分别令令从而求得的值【详解】解：令可得再令可得故答案为：0【点睛】本题考查二项式定理的应用二项展开式的通项公式二项式系数的性质利用赋值法是解题的关键解析：0【分析】在所给的等式中，分别令0x =，令1x =，从而求得126a a a ++⋯+的值．【详解】解：6260126(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，令0x =，可得01a =，再令1x =，可得12611a a a +++⋯+=，1260a a a ∴++⋯+=，故答案为：0．【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，利用赋值法是解题的关键．20．【分析】根据二项式系数和可求得根据二项展开式通项公式可求得的值代入可求得结果【详解】展开式二项式系数和为解得：展开式通项公式为：令解得：展开式中常数为故答案为：【点睛】本题考查二项展开式中指定项的求 解析：80【分析】根据二项式系数和可求得n ，根据二项展开式通项公式可求得r 的值，代入可求得结果.【详解】22n x x ⎛+ ⎝展开式二项式系数和为32，232n ∴=，解得：5n =， 522n x x⎛⎛∴+= ⎝⎝展开式通项公式为：51010221552rr r r r r r T C x C x --+=⋅=. 令51002r -=，解得：4r =，∴展开式中常数为445216580C =⨯=. 故答案为：80. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项的求解问题，关键是熟练掌握二项式系数和的性质和二项展开式通项公式的形式.三、解答题21．（1）30；（2）20.【分析】（1）对个数是否为0进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可求得结果；（2）对十位数字进行分类讨论，结合“凹数”的定义与分类加法计数原理可求得结果.【详解】（1）偶数分为二类：若个位数0，则共有2412A =个；若个位数是2或4，则首位数不能为0，则共有23318⨯⨯=个；所以，符合条件的三位偶数的个数为121830+=；（2）“凹数”分三类：若十位是0，则有2412A =个；若十位是1，则有236A =个；若十位是2，则有222A =个；所以，符合条件的“凹数”的个数为126220++=．【点睛】本题考查数字的排列问题，考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.22．（1）2- ；（2）1094-；（3）1093.【分析】赋值法 （1）令=0x 得：01a ＝；令=1x ，可得.（2）令=11x x =-，,再两式相减可得.（3）令=11x x =-，,再两式相加可得.【详解】解 （1）令=1x ，则01234567++++++.=+1a a a a a a a a - ①令1x =-，则701234567+3++a a a a a a a a ----＝② 又=0x ，则01a =所以1234567++++++2a a a a a a a =-（2）两式相减，得 1357713=19++042+a a a a --=- （3）两式相加，得0472613=109+2+3+a a a a -+= 【点睛】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(+)n ax b ，2()++m ax bx c (a b c R ∈，，)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x ＝即可．(2)对形如)()+(n ax by a b R ∈，的式子求其展开式各项系数之和，只需令==1x y 即可．(3)若2012()n n f x a a x a x a x ⋯＝++++，则()f x 展开式中各项系数之和为(1)f ．23．（1）720种（2）192种【分析】（1）将分排的问题采用直排的方式进行全排列即可得到结果；（2）将甲乙捆绑后，当做一人与除丙外的人进行排序，将丙插空放入，根据分步乘法计数原理可求得结果.【详解】（1）前后两排相当于一排，共有666!720A ==种排法（2）第一步：甲乙相邻，共有222A =种排法；第二步：将甲乙看做一个人，与除丙外的其他3人排列，共有：4424A =种排法； 第三步：将丙插空放入，保证与乙不相邻，共有：144A =种排法 ∴共有：2244192⨯⨯=种排法【点睛】本题考查排列数的应用问题，涉及到分排问题直排法、相邻问题捆绑法、相离问题插空法、分步乘法计数原理的应用.24．（1）01681a =，13227a =.（2）23n 【分析】（1）利用二项式定理可求出0a 和1a 的值；（2）利用组合数公式得出11k k n n kC nC --=，可得出()00121213333n k k n k kn n n k k k k n n k k k n k a x nC nC --===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑，然后利用二项式定理即可求得答案.【详解】 （1）因为4n =，所以0404216C ()381a ==，1314232C ()327a ==； （2）当13x =时，21C ()()33k k n k k k n a x -=， 又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!k k n n n n k k n n k n k k n k ---===---， 当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =-==∑； 当2n ≥时，0021()()C ()()33n n k k n k k k n k k n k a x n k -==-=-∑∑ 012121C ()()C ()()3333nn k n k k k n k k n n k k n k --===-∑∑1112121()C ()()3333n n k n k k n k n n ---==+-∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n ----==-∑ 11212()3333n n n n -=-+=，当1n =时，也符合. 所以0()n kk k n k a x =-∑的值为23n . 【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，同时也考查了利用二项式定理化简求值，解题的关键就是二项展开式通项和二项式定理的逆用，考查计算能力，属于中等题.25．（1）2160；（2）720；（3）144；（4）720.【分析】（1）利用元素分析法（特殊元素优先安排），甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，问题得以解决；（2）利用捆绑法，先将男生捆绑在一起算一个大元素，与女生进行全排，在将男生内部全排得到结果；（3）男女各不相邻，先排四名女生，之后将3名男生插在四个空中，正好得到所要的结果；（4）从除甲、乙之外的5人中选3人排在甲、乙中间，之后再排，问题得以解决.【详解】（1）甲为特殊元素，所以先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有13A 种选择，其余6人全排列，有66A 种排法，由分步计数原理得共有16362160A A ⋅=种；（2）捆绑法，先将男生排在一起，和四名女生合在一起，有55A 种排法，再将三名男生内部排列，有33A 种排法，由分步计数原理得共有5353720A A ⋅=种；（3）男女各不相邻，即为女生排好后男生插入中间的三个空即可，所以有4343144A A ⋅=种；（4）从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有35A 种排法，甲、乙两人有22A 种排法，甲、乙以及中间的三人与其余2人共有33A 种排法，由分步计数原理得共有323523720A A A ⋅⋅=种.【点睛】该题考查的是有关具有特殊要求的排列问题，在解题的过程中，注意处理原则和解题方法为：特殊元素优先考虑，不邻问题插空法，相邻问题捆绑法等，属于简单题目. 26．（1）576；（2）576；（3）144【分析】（1）根据先取后排的原则，从1到7的七个数字中取两个偶数和三个奇数，然后进行排列；（2）利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列；（3）利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，问题得以解决.【详解】C C A A＝576个．（1）偶数在末尾，五位偶数共有23413442C C A A＝576个．（2）五位数中，偶数排在一起的有23423442C C A A＝144．（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有23233423【点睛】本题主要考查了数字的组合问题，相邻问题用捆绑，不相邻用插空，属于中档题．。

一、选择题1．将编号为1、2、3、4、5的5个小球全部放入A 、B 、C 三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（ ） A ．42B ．36C ．48D ．602．二项式51(2)x x-的展开式中含3x 项的系数是A ．80B ．48C ．−40D ．−803．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（ ） A ．40B ．36C ．32D ．204．排一张5个独唱和3个合唱的节目单，如果合唱不排两头，且任何两个合唱不相邻，则这种事件发生的概率是（ ） A ．14B ．1144C ．18D ．1145．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从 1 按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列： 1,3,3,4,6,5,10,...，记此数列的前n 项之和为n S ，则 21S 的值为（ ）A ．66B ．153C ．295D ．3616．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为 A ．14 B ．16 C ．20 D ．48 7．有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有（ ） A ．240种B ．144种C ．72种D ．24种8．为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划，某地方党委政府决定安排5名党员干部到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（ ） A ．264种 B ．480种C ．240种D ．720种9．设()22201221nn n x x a a x a x a x ++=++++，则022n a a a 的值是（ ）A ．()1312n- B ．1312nC ．3nD ．31n +10．某校高二年级共有六个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（ ） A ．2264A CB ．22642A CC ．2264A AD ．262A11．某科技小组有四名男生两名女生.现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为( ) A ．36CB ．1225C CC ．12212424C C C C +D ．36A12．已知5250125(12)...x a a x a x a x +=++++，则512025 (222)a a a a ++++的值为（ ） A ．32 B ．1 C ．81D ．64二、填空题13．若9m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为84，则m =_________.14．如图给三棱柱ABC DEF -的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.15．从编号为1，2，3，4，…，10的10个大小、形状都相同的小球中任取5个球．如果某两个球的编号相邻，那么称这两个球为一组“好球”，则任取的5个球中恰有两组“好球”的取法有_______种．（用数字作答） 16．设2012(1)nn n x a a x a x a x +=++++，*4,n n N ≥∈.已知23242a a a =（1）求n 的值.（2）设(12)2n a b =+*,a b N ∈，求222a b -的值.17．将编号为1，2，3，4，5，6，7的七个小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为______. 18．多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 项的系数是________.19．若多项式()()()10112110110112111x x a a x a x a x +=+++++++，则10a =______.20．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是_____．三、解答题21．（1）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只日语，其余2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？（2）一批零件共有100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回去：求第三次才取得合格格品的概率.22．在二项式6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中. （1）求该二项展开式中含3x 项的系数； （2）求该二项展开式中系数最大的项.23．从6名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒； （2）甲不跑第一棒且乙不跑第四棒.24．江夏一中将要举行校园歌手大赛，现有3男3女参加，需要安排他们的出场顺序．（结果用数字作答．．．．．．．） （1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？ （3）如果3位男生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？ 25．（1）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （2）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （3）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （4）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ 26．用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成没有重复数字的： （1）三位偶数有多少个？（2）能被3整除的三位数有多少个？ （3）可以组成多少个比210大的三位数？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【分析】将编号为1、2、3、4、5的5个小球，根据小球的个数可分为1、1、3或1、2、2两组，再分配到3个盒子即可求出. 【详解】将编号为1、2、3、4、5的5个小球，根据小球的个数可分为1、1、3或1、2、2两组.①当三个盒子中的小球个数分别为1、1、3时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，故3个小球的编号只能是1、3、5的在一个盒子里，故只有一种分组方法， 再分配到三个盒子，此时共有336A =种分配方法；②当三个盒子中的小球个数分别为1、2、2时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，此时放2个小球的盒子中小球的编号分别为()1,3、()2,4或()1,3、()2,5或()1,4、()2,5或()1,4、()3,5或()1,5、()2,4或()2,4、()3,5，共6种，再分配到三个盒子中，此时，共有33636A =种. 综上所述，不同的放法种数为64362+=种. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.2．D解析：D 【解析】512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()()55521551C 212C rr r r r rr r T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令523r -=，1r =，所求系数为145C 280-=-，故选D .3．A解析：A 【分析】根据题意，先排好7个空座位，注意空座位是相同的，其中6个空位符合条件，将3人插入6个空位中，注意甲必须在三人中间，然后再排乙，丙，最后用分步计数原理求解. 【详解】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空，三人从6个空中选三位置坐上去有36C 种坐法， 又甲坐在中间，所以乙、丙有22A 种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有36C 2240A ⋅=种. 故选：A . 【点睛】本题主要考查排列组合的实际应用，还考查了分析问题的能力，属于中档题.4．D解析：D 【分析】首先计算所有可能的排法有88A ，再由于合唱节目不能相邻，先排列独唱节目，共有55A 种结果，合唱节目不能排在两头，在五个独唱节目形成的除去两头之外的四个空中选三个位置排列，共有34A 种结果，最后根据古典概率的概率计算公式计算出结果． 【详解】解：排一张5个独唱和3个合唱的节目单一共有8840320A =种，记合唱不排两头，且任何两个合唱不相邻的为事件M ，则由于合唱节目不能相邻，先排列独唱节目，共有55A 种结果，合唱节目不能排在两头，在五个独唱节目形成的除去两头之外的四个空中选三个位置排列，共有34A 种结果，根据分布乘法计数原理可得一共有53542880A A ⋅=种根据古典概型的概率公式得()288014032014P M == 故选：D 【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，分步计数原理，考查元素的不相邻问题，一般解决不相邻问题时，采用插空法，属于基础题．5．D解析：D 【解析】试题分析：观察杨辉三角结合其中数的来源，可得到这个数列的通项公式.n a 当n 为偶数时，42n n a +=；当n 为奇数时，0212322233551,3,6,C C C C C C ======,所以()()232138n n n n a C +++==，所以21S =()()()()22221352124620124622224622758a a a a a a a a ⎡⎤+++++++++=++++++++++⎣⎦()122423112475286753618⎡⎤=⨯⨯+⨯+=+=⎣⎦，故选D. 考点：归纳推理与数列求和.6．B解析：B 【解析】由间接法得32162420416C C C -⋅=-=，故选B ．7．B解析：B 【分析】甲和乙相邻，捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的两人共“3人”排列，再插空排丙和丁. 【详解】甲和乙相邻，捆绑在一起有22A 种，再与丙和丁外的两人排列有33A 种， 再排丙和丁有24A 种，故共有22A 33A 24A 144=种. 故选：B 【点睛】本题考查了排列中的相邻问题和不相邻问题，属于中档题.8．C解析：C 【分析】先从5个党员干部里选2个，再从4个贫困村里选1个接受选出的2个党员，剩下的3名党员分配给3个贫困村，即得解. 【详解】先从5个党员干部里选2个，有25C 种方法，再从4个贫困村里选1个接受选出的2个党员，有14C 种方法，剩下的3名党员分配给3个贫困村，有33A 种方法.所以共有213543240C C A =种方法.故选：C. 【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．B解析：B 【分析】本题可以通过利用二项展开式的系数关系，采用赋值法将x 分别赋值为1、1-，然后通过运算即可得出结果． 【详解】()22201221nn n x x a a x a x a x ++=++++，令1x =，01223n na a a a ①，令1x =-，01221n a a a a ②，（①+②）02212312nna a a ， 故选：B ． 【点睛】本题考查二项展开式的相关运算，可通过赋值法进行计算，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.10．B解析：B 【分析】先将4名学生均分成两组，注意重合的部分要去掉，再从6个班级中选出2个班进行排列，最后根据分步计数原理得到合要求的安排方法数． 【详解】解：先将4名学生均分成两组方法数为2412C ， 再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ，∴根据分步计数原理合要求的安排方法数为224612C A ．故选：B ． 【点睛】本题先考查的是平均分组问题，是一个易出错的问题，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．11．C解析：C 【分析】分只有一名女生入选和有二名女生入选两种情况，结合分步乘法计数原理以及分类加法计数原理，即可得出答案. 【详解】当只有一名女生入选时，先选1名女生，有12C 种，再选2名男生，有24C 种，则根据分步乘法计数原理可知，有1224C C 种当有二名女生入选时，选选2名女生，有22C 种，再选1名男生，有14C 种，则根据分步乘法计数原理可知，有2124C C 种所以从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为12212424C C C C +故选：C 【点睛】本题主要考查了组合的应用，涉及了分步乘法计数原理以及分类加法计数原理的应用，属于中档题.12．A解析：A 【分析】根据所求与已知的关系，令12x =，即可求得答案. 【详解】5250125(12)...x a a x a x a x +=++++，∴令12x =，即可得555120251...122322222a a a a ⎛⎫++++=+⨯== ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】由题意二项式展开式的通项为结合题意求得进而得到关于的方程即可求解【详解】求得二项式的展开式的通项为当解得此时所以解得故答案为：【点睛】求二项展开式的特定项问题实质时考查通项的特点一般需要建立解析：1-. 【分析】由题意，二项式展开式的通项为9219(1)r r r rr T m C x -+=-⋅⋅，结合题意，求得3r =，进而得到关于m 的方程，即可求解. 【详解】求得二项式9m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为992199()(1)r r r r r r rr m T C x m C x x --+=-=-⋅⋅，当923r -=，解得3r =，此时333349(1)T m C x =-⋅⋅，所以3339(1)84m C -⋅⋅=，解得1m =-. 故答案为：1-. 【点睛】求二项展开式的特定项问题，实质时考查通项1C rn r rr n T ab -+=的特点，一般需要建立方程求得r 的值，再将r 的值代入通项求解，同时注意r 的取值范围（0,1,2,,r n =）.14．【分析】首先先给染色再按分类和分步给染色计算染色方法【详解】首先先给顶点染色有种方法再给顶点染色①若它和点染同一种颜色点和点染相同颜色点就有2种方法若点和点染不同颜色则点有2种方法点也有1种方法则的 解析：264【分析】首先先给,,A B C 染色，再按分类和分步，给,,D E F 染色，计算染色方法. 【详解】首先先给顶点,,A B C 染色，有3424A =种方法，再给顶点D 染色，①若它和点B 染同一种颜色，点E 和点C 染相同颜色，点F 就有2种方法，若点E 和点C 染不同颜色，则点E 有2种方法，点F 也有1种方法，则,,D E F 的染色方法一共有2214+⨯=种方法，②若点D 和点B 染不同颜色，且与点C 颜色不同，则点D 有1种方法，点E 与点C 颜色不同，则点E 有1种方法，则点F 有1种方法，此时有1种方法；若最后E 与C 相同，则F 有2种方法，则共有2种方法；点D 与点C 颜色相同，则点D 有1种方法，则点E 有2种方法，则点F 有2种方法，共有224⨯=种方法，所以点D 和点B 染不同，颜色共有1247++=种方法，所以点,,D E F 的染色方法一共有4711+=种，所以共有2411264⨯=种方法. 故答案为：264 【点睛】关键点点睛：本题重点考查涂色问题，涂色问题的一个关键点是分步里面有分类，所以分类清楚是关键.15．120【分析】假定5个球排成一排5个小球之间有6个空位取空位的情况来达到使小球的编号连续的目的有两种情况：（1）有3个号码是连续；（2）分别有2组号码连续但这2组号码与另一个球的号码不相邻分别求组合解析：120 【分析】假定5个球排成一排，5个小球之间有6个空位，取空位的情况来达到使小球的编号连续的目的，有两种情况：（1）有3个号码是连续；（2）分别有2组号码连续，但这2组号码与另一个球的号码不相邻，分别求组合数，可得答案. 【详解】将5个小球排成一排，在5个小球中间有6个空位，5个小球的编号恰好有两组“好球”，分两种情况：（1）这5个球中有3个球的号码是连续的，另两个小球的号码的是间断的，3个小球的号码与另2个球的号码也不是连续的，有216460C C =，（2）这5个球中有2组球的号码分别连接，但这两组球的号码与另一个球的号码是不连续的，有126560C C =，故任取的5个球中恰有两组“好球”的取法有60+60120=种取法， 故答案为：120. 【点睛】本题考查组合知识，对于相邻问题和相间问题，常采用分析空位的方法，属于中档题.16．（1）（2）【分析】（1）根据二项展开式定理得出建立关于的方程求解即可；（2）由而结合二项展开式定理可得即可求解【详解】（1）依题意整理得(2)当时偶数项含有【点睛】本题考查二项展开式定理的应用熟记解析：（1）5n =（2）1- 【分析】（1）根据二项展开式定理，得出234,,a a a ，建立关于n 的方程，求解即可；（2）由222(a b a a -=+-，而(1n a =+可得(1n a =-. 【详解】（1）依题意324324,,n n n a C a C a C ===23242a a a =⋅2(1)(2)(1)(1)(2)(3)232124321n n n n n n n n n ------⎡⎤=⨯⨯⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⎣⎦整理得2332n n --=，5n ∴=(2) 当5n =时，5(1a =+502233445555555(12)C C C C C C +=++++5(1a ∴=-22552(1(11a b ∴-==-【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.17．315【分析】根据题意有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同再由排列组台及计数原理即可求解【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同共种不同取法；第二步：再将剩下的个小球放入到解析：315 【分析】根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，再由排列组台及计数原理，即可求解. 【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，共3735C =种不同取法； 第二步：再将剩下的4个小球放入到4个盒子中,且小球编号与放入的小球的编号不相同，共()113219C C +=种不同放法；因而有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同的不同放法种数为359315⨯=种.故答案为：315 【点睛】本题考查了排列组合及计数原理，考查理解辨析能力与运算求解能力，属中档题.18．200【分析】根据题意由二项式定理可得的通项公式为令求出对应的值即可求解【详解】根据题意由二项式定理可得的通项公式为当时可得当时可得所以多项式的展开式中含的项为故多项式的展开式中含项的系数为故答案为解析：200 【分析】根据题意，由二项式定理可得，()52x +的通项公式为5152rrr r T C x -+=，令2,3r r ==，求出对应1r T +的值即可求解. 【详解】根据题意，由二项式定理可得，()52x +的通项公式为5152rrr r T C x -+=，当2r时，可得232235280T C x x ==，当3r =时，可得323345240T C x x ==， 所以多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项为232128040200x x x x⨯+⋅=， 故多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 项的系数为200. 故答案为：200 【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式中某项的系数；考查运算求解能力；熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.19．【分析】由二项式定理及其展开式通项公式得展开式的通项为令解得则得解【详解】由展开式的通项为令解得则故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理及其展开式通项公式意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 解析：22-【分析】由二项式定理及其展开式通项公式得111122[(1)1]x x =+-展开式的通项为111112(1)(1)r r r r T C x -+=+-，令1110r -=，解得1r =，则110112(1)22a C =⨯-=-，得解．【详解】由111122[(1)1]x x =+-展开式的通项为111112(1)(1)rr r r T C x -+=+-， 令1110r -=，解得1r =，则110112(1)22a C =⨯-=-， 故答案为：22-． 【点睛】本题考查了二项式定理及其展开式通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．20．【分析】因为所以从这五个数中每次取出两个不同的数分别为共可得到的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数【详解】解：首先从这五个数中任取两个不同的数排列共种排法因为所以从这五个数中每次取出两个不同的 解析：18【分析】 因为lg lg lgaa b b-=，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数a b. 【详解】解：首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共2520A =种排法， 因为3913=，1339=， 所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ， 共可得到lg lg a b -的不同值的个数为：20218-=， 故答案为：18. 【点睛】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于基础题.三、解答题21．（1）92；（2）91078. 【分析】（1）通过分类的方式，求得每一类别的情况，最后利用分类加法计数原理求解即可；（2）分别计算出第一次，第二次取次品的概率和第三次取合格品的概率，第三次取合格品的概率为三者之积. 【详解】（1）若只会英语的人中选了3人作英语导游，共有3620C =种情况； 若只会英语的人中选了2人作英语导游，共有12323560C C C =种情况； 若只会英语的人中选了1人作英语导游，共有133412C C =种情况； 由分类加法计数原理可得，共有：20601292++=种情况， 综上：不同的选择方法有92种； （2）由题意知：次品总数为10个，合格品总数为90个， 第一次取的一定是次品，概率为10110010=；第二次取的一定是次品，概率为919911=； 第三次取的一定是合格品，概率为90459849=； 所以第三次才取得合格格品的概率为114591011491078⨯⨯=. 综上：第三次才取得合格格品的概率为91078. 【点睛】本题主要考查了排列组合，考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理.属于中档题. 22．（1）160；（2）6240x . 【分析】（1）在通项公式中，令x 的幂指数等于3，求得r 的值，可得含3x 项的系数．（2）根据61766615662222r r r rr r r rC C C C ----+-⎧≥⎨≥⎩，求得r 的值，可得结论． 【详解】（1）二项展开式中，通项公式为6123162r rr r T C x --+=，令1233r -=，求得3r =，故含3x 项的系数为3362160C =.（2）设第1r +项的系数最大，由61766615662222r r r r r r r rC C C C ----+-⎧≥⎨≥⎩，解得4733r ≤≤，故2r故该二项展开式中系数最大的项为2466362240T C x x == 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．23．（1）24，（2）252. 【分析】（1）分两步，第一步，排甲乙两人，有222A =种排法，第二步，从剩下4人选出两人来跑第一棒和第四棒，有2412A =种排法，即可得出答案（2）以乙跑不跑第一棒分成两类，第一类，乙跑第一棒，有131560A A =种排法，第二类，乙不跑第一棒，有112444192A A A =种排法，即可得出答案. 【详解】（1）因为甲、乙两人必须入选且跑中间两棒所以可分两步，第一步，排甲乙两人，有222A =种排法第二步，从剩下4人选出两人来跑第一棒和第四棒，有2412A =种排法 所以共有21224⨯=种排法 （2）以乙跑不跑第一棒分成两类第一类，乙跑第一棒，有131560A A=种排法第二类，乙不跑第一棒，有112444192A A A=种排法所以共有60192252+=种排法【点睛】本题考查的是分步和分类计数原理、排列，属于基础题.24．（1）144；（2）360；（3）108【分析】（1）根据题意，用插空法分2步进行分析：①、先将3名男生排成一排，②、男生排好后有4个空位，在4个空位中任选3个，安排3名女生，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，先不考虑甲乙的情况，将6人排成一排，又由女生甲在女生乙的前面和女生甲在女生乙的后面的排法是一样的，即可得答案；（3）根据题意，分3步进行分析：①、先将3名男生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，②、将除之外的两名女生和三名男生的整体全排列，③、分析女生甲的安排方法，由分步计数原理计算可得答案．【详解】（1）根据题意，分2步进行分析：①先将3名男生排成一排，有33A种情况，②男生排好后有4个空位，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有34A种情况，则有3334144A A⨯=种不同的出场顺序；（2）根据题意，将6人排成一排，有66A种情况，其中女生甲在女生乙的前面和女生甲在女生乙的后面的排法是一样的，则女生甲在女生乙的前面的排法有6622360AA=种；（3）根据题意，分3步进行分析：①先将3名男生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A种情况，②将除之外的两名女生和三名男生的整体全排列，有33A种情况，③女生甲不在第一个出场，则女生甲的安排方法有13C种，则有313333108A C A=种符合题意的安排方法．【点睛】本题考查排列、组合的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分步、分类计数原理的应用．25．（1）1560种（2）65种（3）10种（4）2种【分析】（1）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法，再放入4个不同的箱子，即可得到结论；（2）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法，再放入4个相同的箱子，即可得到结论；（3）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，利用插板法； （4）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子至少一个小球，故可以首先每个箱子放入1个小球，还剩下2个小球，则只有两种结果. 【详解】解：（1）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4个不同的箱子，故不同的方法共有22113464216422221560C C C C C A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（种） （2）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4个相同的箱子，故不同的方法共有2211364216222265C C C C C A A +=（种） （3）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，则采用插板法，在5个空中插入3块板，则不同的方法共有3510C =（种） （4）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子至少一个小球，故可以首先每个箱子放入1个小球，还剩下2个小球，则这2个小球，只有两种结果，即两个在一个箱子中，或两个小球分别在一个箱子中，故只有2种放法. 【点睛】本题考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 26．（1）30；（2）20；（3）32 【分析】（1）考虑个位是0时，个位是2时，个位是4时，三种情况计算得到答案.（2）能被3整除的三位数的数字组成共有：0,1,2；0,2,4；1,2,3；2,3,4四种情况，分别计算得到答案.（3）考虑百位是2时，百位是3时，百位是4时，三种情况，分别计算得到答案. 【详解】（1）个位是0时，有2412A =个；个位是2时，有339⨯=个；个位是4时，有339⨯=个.故共有30个三位偶数.（2）能被3整除的三位数的数字组成共有：0,1,2；0,2,4；1,2,3；2,3,4四种情况. 共有：12123322223320C A C A A A ⨯+⨯++=个.（3）当百位是2时，共有112328A A ⨯+=个；当百位是3时，共有2412A =个；当百位是4时，共有2412A =个； 故共有32个. 【点睛】本题考查了排列组合的应用，分类计算是常用的数学方法，需要熟练掌握.。

4 简单计数问题学习目标 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.进一步深化排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题．知识点一两个计数原理1．分类加法计数原理(加法原理)完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有m n种方法，那么，完成这件事共有N＝__________种方法．2．分步乘法计数原理(乘法原理)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有m n种方法，那么，完成这件事共有N＝____________种方法．3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.知识点二排列1．排列从n个________的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的________排成一列，叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列．2．排列数知识点三组合1．组合一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素为一组，叫作从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数(1)组合数定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．(2)组合数公式C mn＝n ！m ！n －m ！特别提醒：1.排列组合综合题的一般解法一般坚持先组后排的原则，即先选元素后排列，同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类．2．解决有限制条件的排列、组合问题的一般策略 (1)特殊元素优先安排的策略． (2)正难则反，等价转化的策略． (3)相邻问题捆绑处理的策略． (4)不相邻问题插空处理的策略． (5)定序问题除法处理的策略．(6)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略． (7)平均分组问题，除法处理的策略． (8)构造模型的策略．类型一 两个计数原理的应用 命题角度1 “类中有步”的计数问题例1 电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果． 反思与感悟 用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：具体意义如下：从A 到B 算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示． 所以，完成这件事的方法数为m 1m 2m 3＋m 4m 5， “类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可．跟踪训练1 现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )A．24种 B．30种 C．36种 D．48种命题角度2 “步中有类”的计数问题例2 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有________种．(用数字作答)反思与感悟用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为A→D.完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D.其中B→C这步又分为三类，这就是步中有类．其中m i(i＝1,2,3,4,5)表示相应步的方法数．完成A→D这件事的方法数为m1(m2＋m3＋m4)m5.以上给出了处理步中有类问题的一般方法．跟踪训练2 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有( )A．11 B．12 C．20 D．21类型二排列与组合的综合应用命题角度1 不同元素的排列、组合问题例3 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？反思与感悟(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．(2)解排列、组合综合问题时的注意点①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．跟踪训练3 从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？命题角度2 含有相同元素的排列、组合问题例4 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列，有________种不同的方法．反思与感悟针对对部分元素相同的n个不同元素进行排列的问题，有两种解决方法：(1)先把这些元素看作全不相同的元素进行排列，再设法消去相同元素的顺序．(2)从位置进行分析，因为位置全不相同，可以分别给相同的每一类元素找位置．跟踪训练4 为减轻学生经济负担且又能满足学生求知要求，某班级利用班费买了4本相同的数学资料书、3本相同的外语资料书、2本相同的物理资料书作为班级图书供同学们学习使用．现有8人去借阅图书，每人只能借阅一本，则有多少种借阅方法？1．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳的不同的选择方式有( )A．24种B．14种C．10种D．9种2．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的可能结果有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则(a，b)为( ) A．(34,34) B．(43,34)C．(34,43) D．(A34，A34)3．三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524,746等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位凹数有( )A．72个B．120个C．240个D．360个4．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有________种．5．已知x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6，则满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为________．1．解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理．2．对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏．3．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．答案精析知识梳理 知识点一 1．m 1＋m 2＋…＋m n 2．m 1×m 2×…×m n 知识点二 1．不同 顺序2．A mn n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1) n ！n －m ！(n ，m ∈N ＋，m ≤n ) n ！ 1知识点三2．(1)所有组合的个数 C mn (2)n n －n －n －m ＋m ！1题型探究 例1 28 800解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17 400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(种)结果．因此共有17 400＋11 400＝28 800(种)不同结果． 跟踪训练1 D 例2 264 跟踪训练2 D 例3 解 分三类：第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C 12·C 12·C 12·C 12·A 44种． 第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C 22·C 22·A 44种． 第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C 22·C 22·A 44种． 故满足题意的所有不同的排法种数为C 12·C 12·C 12·C 12·A 44＋2C 22·C 22·A 44＝432. 跟踪训练3 解 (1)五位数中不含数字0. 第1步，选出5个数字，共有C 35C 24种选法．第2步，排成偶数——先排末位数，有A 12种排法，再排其他四位数字，有A 44种排法． 所以N 1＝C 35·C 24·A 12·A 44. (2)五位数中含有数字0.第1步，选出5个数字，共有C35·C14种选法．第2步，排顺序又可分为两小类：①末位排0，有A11·A44种排列方法；②末位不排0.这时末位数有C11种选法，而因为0不能排在首位，所以首位有A13种排法，其余3个数字则有A33种排法．所以N2＝C35·C14(A11·A44＋A13·A33)．所以符合条件的偶数个数为N＝N1＋N2＝C35C24A12A44＋C35C14(A11A44＋A13A33)＝4 560.例4 1 260跟踪训练4 解第一类：剩下的一本书是数学资料书，此时相当于把8个人分成个数分别为3,3,2的三堆，这三堆分别借阅数学、外语、物理资料书，其借法共有C38C35C22＝560(种)．第二类：剩下的一本书是外语资料书，此时相当于把8个人分成个数分别为4,2,2的三堆，这三堆分别借阅数学、外语、物理资料书，其借法共有C48C24C22＝420(种)．第三类：剩下的一本书是物理资料书，此时相当于把8个人分成个数分别为4,3,1的三堆，这三堆分别借阅数学、外语、物理资料书，其借法共有C48C34C11＝280(种)．根据分类加法计数原理，可得借阅方法共有560＋420＋280＝1 260(种)．当堂训练1．B 2.C 3.C 4.36 5.90。

《计数原理》测评(时间90分钟，满分100分）一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)1.从集合{1，2，3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程22mx +22n y =1中的m 和n ，则能组成落在矩形区域B={（x,y)||x|<11且|y|<9}内的椭圆个数为A.43B.72C.86D.90 答案:1.B 解析：m∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},n∈{1,2,3,4,5,6,7,8}. 故椭圆个数为C 110·C 18-8=72个.2.北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A.1214C 412C 48CB.1214C 412A 48CC.33484121214A C C C D.1214C 412C 48C 33A 答案:A 解析：由题意，不同的排班种数为C 1014C 46610C =!256!478910!411121314⨯•⨯⨯⨯•⨯⨯⨯=C 484121214C C . 3.五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法有A.60种B.48种C.36种D.24种 答案:C 解析：甲排第一位时，乙、丙不排第二位，有C 12A 33种排法；甲排第二位时，乙、丙只能排四、五位，有A 22A 22种排法；甲排第三位时，只乙、丙能排首尾，有A 22A 22种排法；甲排第四位，乙、丙只能排第一、二位，有A 22A 22种排法；甲排第五位时，乙、丙只能排第一、二、三位，有C 12A 33种排法，共有（12+4+4+4+12）=36种排法.4.(2007山东潍坊一模)为迎接2008年北京奥运会，某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，若12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3个不同的代表队，则不同获奖情况种数共有A.412CB.1312121236C C C C CC.36C 13C 12C 12CD.36C 12C 12C 12C 13C 22A答案:C 解析：先从6个代表队中任选3个队有C 36种选法；再从中任选一个（两人都获奖）有C 13种选法，再从余下的两个代表队中每队选1人有C 12·C12种，所以共有C 36·C 13·C 12·C 12种选法.5.某科技小组有四名男生两名女生，现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为A.36CB.12C 25CC.12C 24C +22C 14CD.36A答案:C6.三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有A.6种B.8种C.10种D.16种答案:C 解析：如图，同理，甲传给丙也可以推出5种情况，综上有10种传法.7.某校需要从5名男生和5名女生中选出4人参加一项文化交流活动，由于工作需要，男生甲与男生乙至少有一个参加活动，女生丙必须参加活动，则不同的选人方式有A.56种B.49种C.42种D.14种答案:B 解析：（1）男生甲、乙有一人参加，女生丙参加，再从另外7人中任选2人，共有C 12C 27=42种；（2）男生甲、乙都参加，女生丙也参加，再从另7人中任选1人，有C 17=7种.综合（1）（2）得不同的选人方式有C 12C 27+C 17=49种.8.(2007广东珠海模拟)用四种不同的颜色给正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的六个面染色，要求相邻两个面涂不同的颜色，且四种颜色均用完，则所有不同的涂色方法共有A.24种B.96种C.72种D.48种 答案:C 解析：从四种颜色中任选一种有14C 种选法，涂前后两面，第二步从余下的三种颜色中任选取一种有C 13种选法涂上面，第三步再从刚才的三种颜色中任选一种涂下面，此时还剩下左右两面，其中一面有两种涂法，另一面只有一种涂法.由分步乘法原理，得共有14C ·C 13·C 13·C 12·1=72种涂法.9.8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有A.38CB.38C 22A C.38C 38AD.338C答案:B 解析：第一步从8个人中选3个人，共有C 38种方法，第二步3个人交换位置，由于每个人都要交换位置，故只有两种交换方法，所以共有C 38A 22种交换方法. 10.(2007山东威海模拟)已知(p x x-22)6的展开式中，不含x 的项是2720，那么正数p 的值是A.1B.2C.3D.4 答案:C 解析：由题意知：C 46·41p ·22=2720,求得p=3. 11.一植物园参观路径如右图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有A.6种B.8种C.36种D.48种答案:D 解析：走到中心位置时，从6条路线中选1条有C 16种选法.回到中心位置后，再从剩余的4条路线中选1条有14C 种选法，再回到中心位置后，再从剩余的2条路线中选1条有C 12种选法，故共有C 16C 14C 1248种. 12.(2007广东广州模拟)（22x 2y -)5的展开式中系数大于-1的项共有 A.5项 B.4项 C.3项 D.2项答案:B 解析：(2x-2y )5的展开式共有6项，其中第一、三、五项的系数为正，而第二项的系数为C 1524（-21）<-1，第四项的系数为C 3522（-21）3<-1，第六项的系数为C 55（-21）5=-321>-1. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.如右图所示，画中的一朵花，有五片花瓣.现有四种不同颜色的画笔可供选择，规定每片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色.若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片，则不同涂法种数为___________（用数字作答）.解析：由题意得C 14·C 35·A 23=240种.答案：240种14.（1-2x)6展开式中所有项的系数之和为___________；（1+x 3)(1-2x)6展开式中x 5的系数为___________.解析：令x=1，得(1-2x)6展开式中所有项的系数和为（1-2)6=1;(1+x 3)(1-2x)6展开式中x 5的系数为：C 56(-2)5+C 26·(-2)2=-192+60=-132.答案：1 -13215.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，其中恰好有一个红球和一个黑球编号相同的取法种数为___________.解析：任取一个红球，有15C 种取法，接着取与红球编号相同的一个黑球；再在剩下的8个球中取编号互不相同的两球，种数为C 14C 13+C 12C 24.所以满足题意的取法种数为C 15（C 14C 13+C 12C 24）=120.答案：120种16.在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有___________个.解析：个位数有A 14种取法；千位数有A 14种取法；中间两位有A 24种排法，故由乘法原理得A 14A 14A 24=192.答案：192三、解答题（本大题共4小题，共36分）17.（本小题满分8分）有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英、日语都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的分配名单共可开出多少张？答案：分析：既精通英语，又精通日语的“多面手”是特殊元素，所以可以从他们的参与情况入手进行分类讨论.解：按“多面手”的参与情况分成三类： 第一类：多面手不参加，这时有45C 44C 种；第二类：多面手中有一人入选，这时又有该人参加英或日文翻译两种可能，因此有C 12C 35C 44+C 44C 12C 34种；第三类：多面手中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，因此有C 2225C 44C +45C C 22C 24+C 1235C C 11C 34种.综上分析，共可开出C 45C 44+C 12C 35C 44+C 45C 12C 34+C 22C 25C 44+C 45C 22C 24+C 12C 35C 11C 34=185种不同的分配名单.18.(2007海南三亚一模)（本小题满分9分）有6本不同的书：（1）全部借给5人，每人至少1本，共有多少种不同的借法？（2）全部借给3人，每人至少1本，共有多少种不同的借法？答案：分析：（1）利用“捆绑法”求解；（2）先分堆再让三人取书.解：（1）将6本书中某两本书合在一起组成5份，借给5个人，共有C 26A 55=1 800种借法. （2）将6本书分成三份有3种分法.第一种是一人4本，一人1本，一人1本；第二种是一人3本，一人2本，一人1本；第三种是每人各2本；然后再将分好的三份借给3个人，有（22111246A C C C +C 36C 23+33222426A C C C ）·A 33=540种借法. 19.（本小题满分9分）求（321x x -)10的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项.答案：分析：在所有项的系数绝对值中，最大的一个必须满足“比它相邻的项都不小”这一必要条件，据此排列不等式组.而在讨论系数最大的项时，只需讨论奇数项即可. 解：展开式的通项是T r+1=C r10·(-1)r·2-r·x 6530r -.系数的绝对值是C r10·2-r ，若它最大，则⇒⎪⎩⎪⎨⎧•≥••≥•----+-+-)1(11010)1(110102222r r r r r r r r C C C C ,3113821121101≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-+r rr r r ∵r∈N ,∴r=3.∴系数绝对值最大的项是第4项，即-C 310·23·x 25=-15x 25.系数最大的项应在项数为奇数的项之内，即r 取偶数0，2，4，6，8时，各项系数分别为C 010=1，C 210·2-2=445，C 410·2-4=8105，610C ·2 -6=32105，810C ·2-8=25645.因此系数最大的项是第5项，即358105x . 提示：由于这个二项式的第二项分母中有数字2，所以展开式中的系数不是二项式系数，因此不能死背书上结论，以为中间项系数最大.20.（本小题满分10分）已知i,m,n 是正整数，且1<i≤m<n.(1)证明：n ii m A <m iin A ;(2)证明：（1+m)n >(1+n)m.答案：分析：对于（1）利用排列数公式和真分数的性质证明；对于（2）联想二项式定理，结合组合数与排列数的关系证明. 证明：（1）对于1<i≤m，有i m A =m·…·(m -i+1),m m m A i i m =·mm 1-·…·m i m 1+-,同理n n n A i u n =·n n 1-·…·mi n 1+-,由于m<n ，对整数k=1,2, …,i-1，有n k n ->mk m -, 所以i i n n A >i im mA ，即n i i m A <m i in A .由二项式定理，得 (1+m)n=inni iCm ∑=0,(1+n)m=∑=mi ini m C ,由（1）知m iin A >n ii m A (1<i≤m<n),而imC =!i A im ,in C =!i A i n ,所以，m ii n C >n iim C (1<i≤m<n),因此，∑=ni im2i n C>∑=ni in2i m C .又m 0n C =n 00m C =1,m 1n C =n 1m C =mn,m iin C >0(m<i≤n).∴i nn i iC m ∑=0>∑=mi inim C ，即（1+m)n >(1+n)m .提示：本例是2001年全国高考题，是道难题，也是道难得的好题.综合性强、解法灵活是其显著的特点.命题者意图是借（1）证（2），但我们却能找到好多不用（1）的证法.如数学归纳法，n 元均值不等式法等.。