选修2-1 第二章 圆锥曲线测试题 (1)

第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.方程x 2+2y 2=4所表示的曲线是()A.焦点在x 轴的椭圆B.焦点在y 轴的椭圆C.抛物线D.圆 方程化为x 24+y 22=1,因此其表示焦点在x 轴的椭圆.2.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)分别过点A (2,0)和B (0,-1),则该椭圆的焦距为() A.√3 B.2√3 C.√5 D.2√5a=2,b=1,所以a 2=4,b 2=1,所以c=√a 2-b 2=√4-1=√3,所以2c=2√3.故选B .3.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±2√33x ,则此双曲线的离心率为()A.√72B.√133C.53D.√213x 轴上,所以ba=2√33,于是e=ca=√1+(b a)2=√73=√213.4.已知抛物线C :y 2=8x 焦点为F ,点P 是C 上一点,O 为坐标原点,若△POF 的面积为2,则|PF|等于() A.5B.3C.72D.4F (2,0),设P (x 0,y 0),则12·2·|y 0|=2,所以|y 0|=2,于是x 0=12,于是|PF|=x 0+p2=52.5.已知一个动圆P 与圆O :x 2+y 2=1外切,而与圆C :x 2+y 2-6x+8=0内切,则动圆圆心P 的轨迹是() A.双曲线的一支 B.椭圆 C.抛物线D.圆R ,依题意有|PO|=R+1,|PC|=R-1,因此|PO|-|PC|=2,而|OC|=3,由双曲线定义知点P 的轨迹为双曲线的右支.6.已知点A 是抛物线y 2=2px (p>0)上一点,点F 是抛物线的焦点,O 为坐标原点,当|AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是()A.x=-1B.x=-3C.x=-1或x=-3D.y=-1∠BFA=∠OFA-90°=30°,过点A 作准线的垂线AC ,过点F 作AC 的垂线,垂足分别为C ,B.如图,A 点到准线的距离为d=|AB|+|BC|=p+2=4,解得p=2,则抛物线的准线方程是x=-1. 故选A.7.双曲线C :x 2-y 23=1的一条渐近线与抛物线M :y 2=4x 的一个交点为P (异于坐标原点O ),抛物线M 的焦点为F ,则△OFP 的面积为() A.2√33B.4√33C.23D.43解析双曲线C :x 2-y 23=1的一条渐近线方程为y=√3x ,将y=√3x 代入抛物线方程,可得3x 2=4x ,解得x=0(舍)或x=43,所以P 43,4√33,又抛物线y 2=4x 的焦点F (1,0),则△OFP 的面积为S=12×1×4√33=2√33.故选A .8.已知双曲线的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,若双曲线的一个焦点坐标为(0,√5),且圆x 2+(y-√5)2=1与双曲线的渐近线相切,则双曲线的方程是() A.x 24-y 2=1B.y 24-x 2=1C.x 26-y 2=1D.y 26-x 2=1(0,√5),则c=√5.由题意可知焦点在y 轴上, 设双曲线为y 2a2−x 2b 2=1,渐近线为by ±ax=0.焦点到渐近线的距离为1=√a 2+b 2=b ,即b=1,a=√c 2-b 2=2,则双曲线的方程是y 24-x 2=1,故选B.9.已知点P (x 0,y 0)在椭圆x 212+y 23=1上,其左、右焦点分别是F 1,F 2,若∠F 1PF 2为钝角,则x 0的取值X 围是() A.(-3,3)B.(-∞,-2√2)∪(2√2,+∞)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-2√2,2√2)F 1(-3,0),F 2(3,0),所以PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3-x 0,-y 0),PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3-x 0,-y 0),则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02+y 02-9,而y 02=3-14x 02, 所以PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34x 02-6.又∠F 1PF 2为钝角,所以34x 02-6<0,解得-2√2<x 0<2√2.10.椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,上顶点为A ,若△AF 1F 2的面积为√3,且∠F 1AF 2=4∠AF 1F 2,则椭圆方程为() A.x 23+y 2=1B.x 23+y 22=1 C.x 24+y 2=1D.x 24+y 23=1△AF 1F 2中,AF 1=AF 2,∠F 1AF 2=4∠AF 1F 2,则∠AF 1F 2=30°,所以bc =√33. 又△AF 1F 2面积为√3, 即S=12×2c×b=√3,解得b=1,c=√3,则a=√b 2+c 2=2, 所以椭圆方程为x 24+y 2=1.11.直线y=k (x-1)与椭圆C :x 24+y 22=1交于不同的两点M ,N ,椭圆x 24+y 22=1的一个顶点为A (2,0),当△AMN 的面积为√103时,则k 的值为()A.±√2B.±√3C.±1D.±√5y=k (x-1)与椭圆C 联立{y =k (x -1),x 24+y 22=1消元可得(1+2k 2)x 2-4k 2x+2k 2-4=0,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2-41+2k 2,∴|MN|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2√(1+k 2)(4+6k 2)1+2k 2.∵A (2,0)到直线y=k (x-1)的距离为d=√1+k 2, ∴△AMN 的面积S=12|MN|d=|k |√4+6k 21+2k 2.∵△AMN 的面积为√103, ∴|k |√4+6k 21+2k 2=√103, ∴k=±1,故选C .12.如图所示,过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l ,交抛物线于点A ,B.交其准线于点C ,若|BC|=√2|BF|,且|AF|=√2+1,则此抛物线的方程为()A.y 2=√2xB.y 2=2xC.y 2=√3xD.y 2=3x,过点A 作AD 垂直于抛物线的准线,垂足为D ,过点B 作BE 垂直于抛物线的准线,垂足为E ,点P 为准线与x 轴的交点,由抛物线的定义,|BF|=|BE|,|AF|=|AD|=√2+1,因为|BC|=√2|BF|,所以|BC|=√2|BE|,所以∠DCA=45°, |AC|=√2|AD|=2+√2,|CF|=2+√2−√2-1=1, 所以|PF|=√2=√22,即p=|PF|=√22,所以抛物线的方程为y 2=√2x ,故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知双曲线C :y 2a 2−x 2b 2=1的焦距为4,点P (1,√3)在双曲线C 的渐近线上,则C 的方程为.C :y 2a2−x 2b2=1的渐近线方程为y=±a bx ,∵双曲线C :y 2a 2−x 2b 2=1的焦距为4,点P (1,√3)在C 的渐近线上,可得a=√3b ,∴2c=4, ∵c 2=a 2+b 2,∴a 2=3,b 2=1, ∴双曲线C 的方程为y 23-x 2=1.故答案为y 23-x 2=1.2=114.若直线x-my+m=0经过抛物线x 2=2py (p>0)的焦点,则p=.直线x-my+m=0可化为x-m (y-1)=0,所以直线x-my+m=0过点(0,1), 即抛物线x 2=2py (p>0)的焦点F 为(0,1),∴p2=1,则p=2,故答案为2.15.已知双曲线E :x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)与抛物线C :y 2=2px (p>0)有共同的一个焦点,过双曲线E 的左焦点且与抛物线C 相切的直线恰与双曲线E 的一条渐近线平行,则E 的离心率为.,所以c=p2,p=2c ,抛物线方程为y 2=4cx ,设双曲线的左焦点为F 1,F 1(-c ,0),过F 1与一条渐近线y=ba x 平行的直线方程为y=ba (x+c ), 由{y 2=4cx ,y =ba(x +c )得by 2-4acy+4bc 2=0, 所以Δ=16a 2c 2-16b 2c 2=0,所以a=b ,从而c=√a 2+b 2=√2a ,离心率为e=ca =√2. √216.已知椭圆方程为x 2a2+y 2b2=1(a>b>0),双曲线方程为x 2m2−y 2n 2=1(m>0,n>0),若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点,则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为.椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),双曲线方程为x 2m 2−y 2n 2=1(m>0,n>0),若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,可得椭圆的焦点坐标F 2(c ,0),F 1(-c ,0),正六边形的一个顶点Ac 2,√32c .|AF 1|+|AF 2|=(c2(√3c 2)(c2-c) (√3c 2)=2a , 因为√3c+c=2a ,所以椭圆离心率e 1=ca =√3-1,因为双曲线的渐近线的斜率为√3,即nm =√3,可得双曲线的离心率为e 2=√1+n 2m 2=2.所以e 1+e 2=√3-1+2=√3+1. 故答案为√3+1. √3+1三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知双曲线C 的一个焦点与抛物线C 1:y 2=-16x 的焦点重合,且其离心率为2. (1)求双曲线C 的方程;(2)求双曲线C 的渐近线与抛物线C 1的准线所围成三角形的面积.抛物线C 1:y 2=-16x 的焦点坐标为(-4,0),因此可设双曲线方程为x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0),则依题意有{c =4,c a =2,解得a 2=4,b 2=12, 故双曲线C 的方程为x 24−y 212=1.(2)抛物线C 1的准线方程为x=4,双曲线C 的渐近线方程为y=±√3x , 于是双曲线C 的渐近线与抛物线C 1的准线的两个交点为(4,4√3),(4,-4√3), 所围成三角形的面积S=12×8√3×4=16√3.18.(本小题满分12分)已知抛物线x 2=-2py (p>0)上纵坐标为-p 的点到其焦点F 的距离为3. (1)求抛物线的方程;(2)若直线l 与抛物线以及圆x 2+(y-1)2=1都相切,求直线l 的方程.由已知得抛物线的准线方程为y=p2,则由抛物线的定义知p+p2=3,则p=2,所以抛物线的方程为x 2=-4y.(2)由题意知直线l 的斜率存在,设其方程为y=kx+b ,则有{y =kx +b ,x 2=-4y ,消去y 得x 2+4kx+4b=0,则有Δ=16k 2-16b=0,即k 2=b.又直线l 与圆x 2+(y-1)2=1都相切,所以√k 2+1=1.解方程组{√k 2+1=1,k 2=b ,得{k =0,b =0或{k =√3,b =3或{k =-√3,b =3,故所求直线l 的方程为y=0或y=√3x+3或y=-√3x+3. 19.(本小题满分12分)已知F 1,F 2是椭圆M :y 2a2+x 2b 2=1(a>b>0)的两个焦点,椭圆M 的离心率为√63,P (x 0,y 0)是M 上异于上下顶点的任意一点,且△PF 1F 2面积的最大值为2√2.(1)求椭圆M 的方程;(2)若过点C (0,1)的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线l 的方程.据题意,得{ ca =√63,12×2c ×b =2√2,c 2=a 2-b 2,∴a 2=6,b 2=2.∴椭圆M 的方程为y 26+x 22=1.(2)据题设知,直线AB 的斜率存在,设直线l 的方程为y=kx+1. 据{y =kx +1,y 26+x 22=1,得(3+k 2)x 2+2kx-5=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-2k3+k 2,x 1x 2=-53+k 2. ∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(-x 1,1-y 1)=2(x 2,y 2-1). ∴x 1=-2x 2.∴x 1+x 2=-x 2=-2k3+k 2,则x 2=2k3+k 2.又x 1x 2=-2x 22=-53+k 2,∴(2k3+k 2)2=53+k 2×12, ∴k=±√5.故直线l 的方程为y=-√5x+1或y=√5x+1.20.(本小题满分12分)已知点F 是抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点,点M 是抛物线上的定点,且MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0). (1)求抛物线C 的方程;(2)直线AB 与抛物线C 交于不同两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),且x 2-1=x 1+m 2(m 为常数),直线l 与AB 平行,且与抛物线C 相切,切点为N ,试问△ABN 的面积是否是定值.若是,求出这个定值;若不是,请说明理由. 设M (x 0,y 0),由题知F (0,p2),所以MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 0,p 2-y 0)=(4,0).所以{-x 0=4,p 2-y 0=0,即{x 0=-4,y 0=p 2. 代入x 2=2py (p>0)中,得16=p 2,解得p=4. 所以抛物线C 的方程为x 2=8y.(2)由题意知,直线AB 的斜率存在,设其方程为y=kx+b. 由{y =kx +b ,x 2=8y ,消去y ,整理得x 2-8kx-8b=0, 则x 1+x 2=8k ,x 1x 2=-8b.∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2b=8k 2+2b ,设AB 的中点为Q , 则点Q 的坐标为(4k ,4k 2+b ). 由条件,设切线方程为y=kx+t , 由{y =kx +t ,x 2=8y ,消去y 整理得x 2-8kx-8t=0.∵直线与抛物线相切, ∴Δ=64k 2+32t=0. ∴t=-2k 2. ∴x 2-8kx+16k 2=0, ∴x=4k , ∴y=2k 2.∴切点N 的坐标为(4k ,2k 2). ∴NQ ⊥x 轴,∴|NQ|=(4k 2+b )-2k 2=2k 2+b. ∵x 2-x 1=m 2+1,又∵(x 2-x 1)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=64k 2+32b.∴2k 2+b=(m 2+1)232.∴S △ABN =12|NQ|·|x 2-x 1|=12·(2k 2+b )·|x 2-x 1|=(m 2+1)364.∵m 为常数,∴△ABN 的面积为定值,且定值为(m 2+1)364.21.(本小题满分12分)已知F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P -1,√22在椭圆E 上,且抛物线y 2=4x 的焦点是椭圆E 的一个焦点. (1)求椭圆E 的标准方程;(2)过点F 2作不与x 轴重合的直线l ,设l 与圆x 2+y 2=a 2+b 2相交于A ,B 两点,且与椭圆E 相交于C ,D 两点,当F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1时,求△F 1CD 的面积.y 2=4x 焦点为F (1,0),则椭圆E 的焦点F 1(-1,0),F 2(1,0). 2a=|PF 1|+|PF 2|=2√2. 解得a=√2,c=1,b=1,所以椭圆E 的标准方程为x 22+y 2=1.(2)由已知,可设直线l 方程为x=ty+1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立{x =ty +1,x 2+y 2=3,得(t 2+1)y 2+2ty-2=0,易知Δ>0.则{y 1+y 2=-2tt 2+1,y 1y 2=-2t 2+1.F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=(ty 1+2)(ty 2+2)+y 1y 2 =(t 2+1)y 1y 2+2t (y 1+y 2)+4=2-2t 2t 2+1.因为F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1, 所以2-2t 2t 2+1=1,解得t 2=13.联立{x =ty +1,x 22+y 2=1,得(t 2+2)y 2+2ty-1=0,Δ=8(t 2+1)>0.设C (x 3,y 3),B (x 4,y 4), 则{y 3+y 4=-2tt 2+2,y 3y 4=-1t 2+2.S △F 1CD =12|F 1F 2|·|y 3-y 4|=√8(1+t 2)t 2+2=√8×4373=4√67. 22.(本小题满分12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的长轴长为2√2,离心率为√22.(1)求椭圆C 的方程;(2)过动点M (0,m )(m>0)的直线交x 轴于点N ,交椭圆C 于点A ,P (P 在第一象限),且点M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点Q ,延长QM 交椭圆C 于点B.①设直线PM 、QM 的斜率分别为k ,k',证明kk '为定值;②求直线AB 斜率取最小值时,直线PA 的方程.由题意得2a=2√2,ca =√22, 所以a=√2,c=1,b=√a 2-c 2=√2-1=1. 故椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)①设P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),由M (0,m ),可得P (x 0,2m ),Q (x 0,-2m ), 所以直线PM 的斜率k=2m -m x 0=m x 0,直线QM 的斜率k'=-2m -m x 0=-3mx 0.此时kk '=-13,所以kk '为定值-13.②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线PA 的方程为y=kx+m ,直线QB 的方程为y=-3kx+m.联立{y =kx +m ,x 22+y 2=1,整理得(2k 2+1)x 2+4kmx+2m 2-2=0, 由{Δ=16k 2m 2-8(m 2-1)(2k 2+1)>0,x 0x 1=2m 2-22k 2+1, 可得x 1=2m 2-2(2k 2+1)x 0, y 1=kx 1+m=k 2m 2-2(2k 2+1)x 0+m ,同理x 2=2m 2-2(18k 2+1)x 0,y 2=-3kx 2+m=-3k2m 2-2(18k 2+1)x 0+m.所以x 1-x 2=32k 2(m 2-1)(2k 2+1)(18k 2+1)x 0, y 1-y 2=3k 2m 2-2(18k 2+1)x 0+k2m 2-2(2k 2+1)x 0,y 1-y 2=2k (m 2-1)24p 2+4(2k 2+1)(18k 2+1)x 0=8k (m 2-1)6k 2+1(2k 2+1)(18k 2+1)x 0,所以k AB =y 1-y 2x 1-x 2=6k 2+14k=146k+1k ,由m>0,x 0>0,可知k>0,所以6k+1k≥2√6,当且仅当k=√66时取等号.由P (x 0,2m ),m>0,x 0>0在椭圆C :x 22+y 2=1上,得x 0=√2-8m 2, k=m x 0=√2-8m 2,此时√2-8m2=√66,即m=√77,word11 / 11 由Δ>0得,m 2<2k 2+1,所以k=√66时,m=√77符合题意.所以直线AB 的斜率最小时,直线PA 的方程为y=√66x+√77.。

选修2-1数学第2章圆锥曲线与方程单元练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，起直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（）A.√2B.12C.√24D.√222. 如图，已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|=6，|BC|=52，则此双曲线的离心率为（）A.√2B.32C.52D.√53. 设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的标准方程为（）A.x24+y23=1 B.x23+y2=1 C.x22+y2=1 D.x24+y2=14. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的顶点和焦点到C的同一条渐近线的距离之比为12，则双曲线C的离心率是()A.√2B.2C.√3D.35. 已知点A(0,1)，抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F，射线FA与抛物线相交于M，与其准线相交于点N，若|FM|:|MN|=2:√5，则a=()A.2B.4C.6D.86. 焦点为(0,2)的抛物线的标准方程是()A.x2=8yB.x2=4yC.y2=4xD.y2=8x7. 椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A.√32B.34C.√22D.238. 若双曲线x24−m +y2m−2=1的渐近线方程为y=±13x，则m的值为（）A.1B.74C.114D.59. 抛物线y=2x2的通径长为( )A.2B.1C.12D.1410. 已知双曲线C:x24−y2=1，则C的渐近线方程为 ( )A.y=±14x B.y=±13x C.y=±12x D.y=±x11. 椭圆x24+y25=1的离心率是（）A.3 5B.√55C.25D.1512. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F作直线l与两条渐近线交于A，B两点．若△OAB为等腰直角三角形（O为坐标原点）则△OAB的面积为( )A.a2B.2a3C.2a2或a2D.2a2或12a213. 已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________.14. 若直线y=x+b与曲线x=√1−y2恰有一个公共点，则b的取值范围是________．15. 与椭圆x25+y23=1共焦点的等轴双曲线的方程为________．16. 已知双曲线x2−y28=1上有三个点A，B，C，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，用字母k表示斜率，若k OD+k OE+k OF=−8（点O为坐标原点，且k OD，k OE，k OF均不为零），则1k AB +1k BC+1k AC=________.17. 设命题p：方程x2a+6+y2a−7=1表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q：存在x∈R，使得x2−4x+a<0.若“p∧(¬q)”为真，求实数a的取值范围.18. 回答下列问题：（1）求过点(2,−2)且与双曲线x 22−y2=1有公共渐近线的双曲线的方程；（2）求双曲线x 24−y25=1的焦点到其渐近线的距离．19. 如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点A为椭圆C上任意一点，A关于原点O的对称点为B，有|AF1|+|BF1|=4，且∠F1AF2的最大值为π3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A′是A关于x轴的对称点，设点N(4,0)，连接NA与椭圆C相交于点E，问直线A′E与x轴是否交于一定点，如果是，求出该定点坐标；如果不是，说明理由.20. 已知椭圆的焦点在α轴上，一个顶点为(0,1)，离心率为e=√5，过椭圆的右焦点F的直线1与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点．(1)求椭圆的方程．(2)设点C是点A关于x轴的对称点，在α轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三点共线？若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明理由．21. 已知直线l：x−y+1=0与焦点为F的抛物线C：y2=2px(p>0)相切.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.22. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为12，点P(1, 32)为椭圆上一点．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)如图，过点C(0, 1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．参考答案与试题解析选修2-1数学第2章 圆锥曲线与方程单元练习题含答案一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【答案】 D【考点】 椭圆的定义 【解析】根据三视图的性质得到俯视图中椭圆的短轴长和长周长，再根据椭圆的性质a 2−b 2=c 2，和离心率公式e =ca ，计算即可．【解答】解：设正视图正方形的边长为2，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b =2，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径2√2，得到俯视图中椭圆的长轴长2a =2√2， 则椭圆的半焦距c =√a 2−b 2=1， 根据离心率公式得，e =c a =√2=√22； 故选D ． 2. 【答案】 B【考点】双曲线的标准方程 【解析】本题主要考查双曲线的几何性质． 【解答】解：因为2c =|AB|=6，所以c =3． 因为b 2a =|BC|=52，所以5a =2b 2． 又c 2=a 2+b 2，所以9=a 2+5a 2，解得a =2或a =−92（舍去），故该双曲线的离心率e =c a=32．故选B ． 3. 【答案】 A【考点】椭圆的标准方程 【解析】由|BF 2|=|F 1F 2|=2，可得a =2c =2，即可求出a ，b ，从而可得椭圆的方程． 【解答】解：∵ |BF 2|=|F 1F 2|=2，∴a=2c=2，∴a=2，c=1，∴b=√3，∴椭圆的方程为x24+y23=1．故选A．4.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】【解答】解：∵双曲线C的顶点和焦点到同一条渐近线的距离之比为12，由三角形相似得ac =12，∴e=ca=2.故选B．5.【答案】D【考点】斜率的计算公式抛物线的性质【解析】无【解答】解：依题意F点的坐标为(a4,0)，作MK垂直于准线，垂足为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，因为|FM|:|MN|=2:√5，则|KN|:|KM|=1:2.k FN =0−1a4−0=−4a ，k FN =−|KN||KM|=−12，所以−4a =−12，求得a =8. 故选D ． 6. 【答案】 A【考点】抛物线的标准方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意得，抛物线的焦点为(0,2)， 可得p =4.又抛物线的焦点在y 轴的正半轴， 所以抛物线的标准方程为x 2=8y . 故选A. 7. 【答案】 A【考点】 椭圆的离心率 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 8.【答案】 B【考点】 双曲线的定义 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 9.【答案】 C【考点】 抛物线的定义 抛物线的性质 【解析】抛物线y =−2x 2，即x 2=−12y ，可得2p .解：抛物线y=2x2，化为标准方程为x2=12y，可得2p=12，因此通径长为12.故选C．10.【答案】C【考点】双曲线的渐近线【解析】根据双曲线的方程求出双曲线的渐近线即可. 【解答】解：由题意可得，a=2，b=1，则双曲线的渐近线方程为y=±ba x=±12x.故选C.11.【答案】B【考点】椭圆的离心率椭圆的标准方程【解析】根据椭圆的标准方程求出a，b的值，根据椭圆中c2=a2−b2就可求出c，再利用离心率e=ca得到离心率．【解答】解：由椭圆方程为x 24+y25=1可知，a2=5，b2=4，∴c2=a2−b2=1，a=√5，∴c=1，∴椭圆的离心率e=ca =√55.故选B.12.【答案】D【考点】双曲线的简单几何性质双曲线中的平面几何问题本题主要考查双曲线的性质以及直线和双曲线的关系，联立方程组，求出点的坐标，再求出面积即可.【解答】解：①若∠AOB=90∘，则∠AOF=45∘，∴ba=1故c=√a2+b2=√2a，∴S△OAB=12⋅2c⋅c=c2=2a2；②若∠BAO=90∘，则l与y=bax垂直且过F点，垂足为A，∴ l的斜率为−ab，则直线l的方程为y=−ab(x−c)，联立{y=−ab⋅(x−c),y=bax,解得x=a 2c ，y=abc，则点A为(a 2c ,ab c)∴ △OAB为等腰直角三角形，OB为斜边，∴ OA=AB，OA2=(a2c )2+(abc)2=a2，∴S△OAB=12OA⋅AB=12OA2=12a2.综上所述S△OAB=2a2或12a2.故选D.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】√15【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由椭圆方程可知a=3，c=2，∴F(−2, 0)，根据题意，画出图形：设线段PF中点为M，椭圆右焦点为F1，∵M在以O为圆心，|OF|为半径的圆上，∴F1也在圆上，连接OM, PF1, MF1，则∠FMF1=90∘，OM是△FPF1的中位线，∴|PF1|=2|OM|=2|OF|=2×2=4，由椭圆定义|PF|+|PF1|=2a=6，得|PF|=2，|MF|=|PF|2=1，又∵∠FMF1为直角，|MF1|2=|FF1|2−|MF|2=15，∴tan∠MFF1=|MF1||MF|=√151=√15，∴直线PF的斜率是√15.故答案为：√15.14.【答案】(−1,1]∪{−√2}【考点】曲线与方程直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】x=√1−y2⇔x2+y2=1(x≥0)方程x2+y2=1(x≥0)所表示的曲线为半圆（如图）当直线与圆相切时或在l2与l3之间时，适合题意．此时−1<b≤1或b=−√2，所以b的取值范围是(−1,1]∪{−√2}．15.【答案】x2−y2=1【考点】双曲线的标准方程圆锥曲线的共同特征【解析】利用椭圆的三参数的关系求出双曲线的焦点坐标；利用等轴双曲线的定义设出双曲线的方程，据双曲线中三参数的关系求出双曲线的方程．【解答】解：对于x 25+y23=1知半焦距为c=√5−3=√2所以双曲线的焦点为(±√2,0)设等轴双曲线的方程为x 2a2−y2a2=1据双曲线的三参数的关系得到2a2=2所以a2=1所以双曲线的方程为x2−y2=1．故答案为：x2−y2=116.【答案】−1【考点】斜率的计算公式中点坐标公式与双曲线有关的中点弦及弦长问题【解析】【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x0,y0)，则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，x12−y128=1，x22−y228=1,两式相减得(x1−x2)(x1+x2)=(y1+y2)(y1−y2)8，整理可得x1−x2y1−y2=y08x0，即1k AB=k OD8，同理得1k BC =k OE8，1k AC=k OF8.因为k OD+k OE+k OF=−8，所以1k AB +1k BC+1k AC=−1.故答案为：−1.三、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分）17.【答案】解：命题p ：(a +6)(a −7)<0，解得−6<a <7； 命题q ：Δ=(−4)2−4a >0，解得a <4. ∴ ¬q ：a ≥4.∵ “p ∧(¬q)”为真， ∴ p 为真且¬q 为真， ∴ 4≤a <7. 【考点】逻辑联结词“或”“且”“非” 双曲线的标准方程 一元二次不等式的解法【解析】 此题暂无解析 【解答】解：命题p ：(a +6)(a −7)<0，解得−6<a <7； 命题q ：Δ=(−4)2−4a >0，解得a <4. ∴ ¬q ：a ≥4.∵ “p ∧(¬q)”为真， ∴ p 为真且¬q 为真， ∴ 4≤a <7. 18. 【答案】解：（1）因为所求双曲线与双曲线x 22−y 2=1有公共渐近线， 所以可设所求双曲线的方程为x 22−y 2=λ(λ≠0)．因为所求双曲线过点(2,−2)， 所以222−(−2)2=λ，得λ=−2，所以所求双曲线的方程为y 22−x 24=1． （2）因为双曲线的方程为x 24−y 25=1，所以双曲线的一条渐近线方程为y =√52x ， 即√5x −2y =0．因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等， 且(3,0)为双曲线的一个焦点， 所以双曲线x 24−y 25=1的焦点到其渐近线的距离为|3√5−0|3=√5．【考点】双曲线的离心率 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）因为所求双曲线与双曲线x 22−y 2=1有公共渐近线，所以可设所求双曲线的方程为x 22−y 2=λ(λ≠0)．因为所求双曲线过点(2,−2)， 所以222−(−2)2=λ，得λ=−2， 所以所求双曲线的方程为y 22−x 24=1． （2）因为双曲线的方程为x 24−y 25=1，所以双曲线的一条渐近线方程为y =√52x ， 即√5x −2y =0．因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等， 且(3,0)为双曲线的一个焦点， 所以双曲线x 24−y 25=1的焦点到其渐近线的距离为|3√5−0|3=√5．19.【答案】解：(1)点A 为椭圆C 上任意一点， A 关于原点O 的对称点为B ， 由|AF 1|+|BF 1|=4知 2a =4， 得a =2.又∠F 1AF 2的最大值为π3，知当A 为上顶点时，∠F 1AF 2最大， 所以a =2c ， 得c =1，所以b 2=a 2−c 2=3. 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)由题知NA 的斜率存在，设NA 方程为 y =k(x −4)，与椭圆联立，得(4k 2+3)x 2−32k 2x +64k 2−12=0.① 设点A (x 1,y 1),E (x 2,y 2)， 则A ′(x 1,−y 1).直线A ′E 方程为y −y 2=y 2+y1x 2−x 1(x −x 2).令y =0得x =x 2+y 2(x 1−x 2)y 1+y 2，将y1=k(x1−4),y2=k(x2−4)代入，整理得，x=2x1x2−4(x1+x2)x1+x2−8.②x1+x2=32k24k2+3，x1x2=64k2−124k2+3.代入②整理，得x=1.所以直线A′E与x轴交于定点Q(1,0). 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题与直线关于点、直线对称的直线方程直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)点A为椭圆C上任意一点，A关于原点O的对称点为B，由|AF1|+|BF1|=4知2a=4，得a=2.又∠F1AF2的最大值为π3，知当A为上顶点时，∠F1AF2最大，所以a=2c，得c=1，所以b2=a2−c2=3.所以椭圆C的标准方程为x 24+y23=1.(2)由题知NA的斜率存在，设NA方程为y=k(x−4)，与椭圆联立，得(4k2+3)x2−32k2x+64k2−12=0.①设点A(x1,y1),E(x2,y2)，则A′(x1,−y1).直线A′E方程为y−y2=y2+y1x2−x1(x−x2).令y =0得x =x 2+y 2(x 1−x 2)y 1+y 2，将y 1=k (x 1−4),y 2=k (x 2−4)代入， 整理得，x =2x 1x 2−4(x 1+x 2)x 1+x 2−8.②x 1+x 2=32k 24k 2+3， x 1x 2=64k 2−124k 2+3.代入②整理，得x =1.所以直线A ′E 与x 轴交于定点Q(1,0). 20. 【答案】（1）椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1．（2）存在定点N (52,0),使得C ．B ．N 三点共线． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：（1）由椭圆的焦点在x 轴上， 设椭圆C 的方程为x 2a2+y 2b 2=1(ab >0)，椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b =1， 由e =ac √1−b 2a 2=√5解得a 2=5，∴ 椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1．（2）由得F (2,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)设直线l 的方程为y =k (x −2)(k ≠0),代入椭圆方程，消去y 可得 (5k 2+1)x 2−20k 2x +20k 2−5=0, 则x 1+x 2=20k 25k 2+1，x 1x 2=20k 2−55k 2+1．∵ 点C 与点A 关于x 轴对称， ∴ C (x 1,−y 1) ．假设存在N (t,0),使得C ，B ，N 三点共线， 则BN →=(t −x 2,−y 2),CN →=(t −x 1,y 1). ∵ C ，B ，N 三点共线，∴ BN →//CN →，∴ (t −x 2)y 1+(t −x 1)y 2=0， 即(y 1+y 2)t =x 2y 1+x 1y 2 ∴ t =k (x 1−2)x 2+k (x 2−2)x 1k (x 1−2)+k (x 2−2) =2⋅20k 2−55k 2+1−2⋅20k 25k 2+120k 25k 2+1−4=52∴ 存在定点N (52,0),使得C ．B ．N 三点共线．21.【答案】解：(1)∵ 直线l ：x −y +1=0与抛物线C 相切. 由{x −y +1=0，y 2=2px ，得y 2−2py +2p =0，从而Δ=4p 2−8p =0， 解得p =2.∴ 抛物线C 的方程为y 2=4x . (2)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为ty =x −1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由{ty =x −1，y 2=4x ，消去x 得y 2−4ty −4=0，∴ y 1+y 2=4t ，从而x 1+x 2=4t 2+2， ∴ 线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2+1,2t). 设点A 到直线l 的距离为d A ， 点B 到直线l 的距离为d B ， 点M 到直线l 的距离为d ， 则d A +d B =2d =2⋅2√2=2√2|t 2−t +1| =2√2|(t −12)2+34|，∴ 当t =12时，A ，B 两点到直线l 的距离之和最小，最小值为3√22. 【考点】直线与抛物线结合的最值问题 二次函数在闭区间上的最值 抛物线的标准方程 直线与圆的位置关系【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ 直线l ：x −y +1=0与抛物线C 相切. 由{x −y +1=0，y 2=2px ，得y 2−2py +2p =0，从而Δ=4p 2−8p =0， 解得p =2.∴ 抛物线C 的方程为y 2=4x . (2)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为ty =x −1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由{ty =x −1，y 2=4x ，消去x 得y 2−4ty −4=0，∴ y 1+y 2=4t ，从而x 1+x 2=4t 2+2， ∴ 线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2+1,2t). 设点A 到直线l 的距离为d A ， 点B 到直线l 的距离为d B ， 点M 到直线l 的距离为d ， 则d A +d B =2d =2⋅2√2=2√2|t 2−t +1| =2√2|(t −12)2+34|，∴ 当t =12时，A ，B 两点到直线l 的距离之和最小，最小值为3√22. 22. 【答案】（1）根据题意，椭圆的离心率为12，即e =ca =2，则a ＝2c ． 又∵ a 2＝b 2+c 2，∴ b =√3c ． ∴ 椭圆的标准方程为：x 24c 2+y 23c 2=1． 又∵ 点P(1, 32)为椭圆上一点，∴ 14c 2+943c 2=1，解得：c ＝1．∴ 椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．（2）由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx +1． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．联列方程组：{x 24+y 23=1y =kx +1 ，消去y 可得：(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0． ∴ 由韦达定理可知：x 1+x 2=−8k 3+4k2，x 1x 2=−83+4k 2．∵ k 1=y 1x 1+2，k 2=y 2x 1−2，且k 1＝2k 2，∴y 1x 1+2=2y 2x 2−2，即y 12(x 1+2)2=4y 22(x 2−2)2．①又∵ M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)在椭圆上， ∴ y 12=34(4−x 12)，y 22=34(4−x 22)．② 将②代入①可得：2−x 12+x 1=4(2+x 2)2−x 2，即3x 1x 2+10(x 1+x 2)+12＝0．∴ 3(−83+4k 2)+10(−8k3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0． 解得：k =16或k =32． 又由k >1，则k =32． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）根据题意，由椭圆离心率可得a ＝2c ，进而可得b =√3c ，则椭圆的标准方程为x 24c 2+y 23c 2=1，将P 的坐标代入计算可得c 的值，即可得答案； （2）根据题意，设直线l 的方程为y ＝kx +1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，将直线的方程与椭圆联立，可得(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0，由根与系数的关系分析，：x 1+x 2=−8k 3+4k 2，x 1x 2=−83+4k 2，结合椭圆的方程与直线的斜率公式可得3(−83+4k 2)+10(−8k3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0，解可得k 的值，即可得答案． 【解答】（1）根据题意，椭圆的离心率为12，即e =c a=2，则a ＝2c ．又∵ a 2＝b 2+c 2，∴ b =√3c ． ∴ 椭圆的标准方程为：x 24c 2+y 23c 2=1． 又∵ 点P(1, 32)为椭圆上一点，∴ 14c 2+943c 2=1，解得：c ＝1．∴ 椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．（2）由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx +1． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．联列方程组：{x 24+y 23=1y =kx +1 ，消去y 可得：(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0．∴ 由韦达定理可知：x 1+x 2=−8k 3+4k 2，x 1x 2=−83+4k 2．∵ k 1=y 1x1+2，k 2=y 2x 1−2，且k 1＝2k 2，∴ y 1x 1+2=2y 2x 2−2，即y 12(x 1+2)2=4y 22(x 2−2)2．①又∵ M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)在椭圆上， ∴ y 12=34(4−x 12)，y 22=34(4−x 22)．② 将②代入①可得：2−x12+x 1=4(2+x 2)2−x 2，即3x 1x 2+10(x 1+x 2)+12＝0．∴ 3(−83+4k 2)+10(−8k 3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0．解得：k =16或k =32． 又由k >1，则k =32．。

章末检测一、选择题1.抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A.1B.2C.4D.8 [答案] C[解析] 抛物线的焦点到准线的距离为p ＝4.2.已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( ) A.y ＝±5x B.y ＝±55xC.y ＝±3xD.y ＝±33x[答案] D[解析] ∵y 2＝8x 焦点是(2,0)，∴双曲线x 2a 2－y 2＝1的半焦距c ＝2，又虚半轴长b ＝1且a >0，所以a ＝22－12＝3，∴双曲线的渐近线方程是y ＝±33x .3.已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于P 点，则点P 的轨迹方程为( ) A.x 2－y 28＝1(x >1) B.x 2－y 28＝1(x <－1) C.x 2＋y 28＝1(x >0) D.x 2－y 210＝1(x >1) [答案] A[解析] 设圆与直线PM ，PN 分别相切于E ，F ， 则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |. ∴|PM |－|PN |＝(|PE |＋|ME |)－(|PF |＋|NF |) ＝|MB |－|NB | ＝4－2＝2，所以点P 的轨迹是以M (－3,0)，N (3,0)为焦点的双曲线的右支，且a ＝1， ∴c ＝3，b 2＝8，所以双曲线方程是x 2－y 28＝1(x ＞1).4.抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( ) A.43B.75C.85D.3 [答案] A[解析] 设与直线4x ＋3y －8＝0平行的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，与抛物线联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋c ＝0y ＝－x 2，消去y 得3x 2－4x －c ＝0，Δ＝(－4)2－4×3×(－c )＝0，解得c ＝－43，则抛物线与直线4x ＋3y －8＝0平行的切线是4x ＋3y －43＝0，问题转化为两平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得d ＝|－43＋8|42＋32＝43，故选A. 5.设k <3，k ≠0，则二次曲线x 23－k －y 2k ＝1与x 25＋y 22＝1必有( )A.不同的顶点B.不同的准线C.相同的焦点D.相同的离心率[答案] C[解析] 当0<k <3时，则0<3－k <3，∴x 23－k －y 2k ＝1表示实轴为x 轴的双曲线，a 2＋b 2＝3＝c 2.∴两曲线有相同焦点； 当k <0时，－k >0且3－k >－k ，∴x 23－k ＋y 2－k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆. a 2＝3－k ，b 2＝－k . ∴a 2－b 2＝3＝c 2 与已知椭圆有相同焦点.6.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.1＋32D.1＋52[答案] D[解析] 不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则可令F (c,0)，B (0，b )，直线FB ：bx＋cy －bc ＝0与渐近线y ＝b a x 垂直，所以－b c ·ba ＝－1，即b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，即e 2－e－1＝0，所以e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去).7.已知点A (0,2)，B (2,0).若点C 在抛物线x 2＝y 的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( ) A.4B.3C.2D.1 [答案] A[解析] 由已知可得|AB |＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2)，而l AB ：x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点； 当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点. 因此满足条件的C 点有4个，故应选A.8.已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( )A.233B.263 C.3D.2[答案] A[解析] 如图所示，双曲线的渐近线方程为：y ＝±2ax ，若∠AOB ＝π3，则θ＝π6，tan θ＝2a ＝33，∴a ＝6> 2. 又∵c ＝6＋2＝22，∴e ＝c a ＝226＝233.9.如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62[答案] D[解析] 设|AF 1|＝x ，|AF 2|＝y ，因为点A 为椭圆C 1：x 24＋y 2＝1上的点，所以2a ＝4，b ＝1，c ＝3；所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4，即x ＋y ＝4.① 又四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2， 即x 2＋y 2＝(2c )2＝(23)2＝12，②由①②得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4x 2＋y 2＝12，解得x ＝2－2，y ＝2＋2，设双曲线C 2的实轴长为2a ′，焦距为2c ′，则2a ′＝|AF 2|－|AF 1|＝y －x ＝22，2c ＝222－12＝23，所以双曲线C 2的离心率e ＝c ′a ′＝32＝62. 10.已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( ) A.316B.38C.233 D.433[答案] D[解析] 经过第一象限的双曲线的渐近线为y ＝33x .抛物线的焦点为F (0，p2)，双曲线的右焦点为F 2(2,0).y ′＝1p x ，所以在M (x 0，x 202p )处的切线斜率为33，即1p x 0＝33，所以x 0＝33p ，即三点F (0，p 2)，F 2(2,0)，M (33p ，p 6)共线，所以p 2－00－2＝p 6－p233p ，即p ＝433，选D.二、填空题11.双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________.[答案] y ＝±34x[解析] a ＝4，b ＝3.∴y ＝±34x12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________. [答案] x 216＋y 28＝1[解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，由e ＝22知，c a ＝22，∴b 2a 2＝12.∵△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16， ∴a ＝4，∴b 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.13.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________. [答案] 2[解析] 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2) 抛物线y 2＝4x ，焦点为(1,0)，准线为x ＝－1. |AF |＝x 1－(－1)＝2，所以x 1＝1. 则AF 与x 轴垂直，|BF |＝|AF |＝2.14.抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称，则m 的范围是________. [答案] (－10，10)[解析] 设抛物线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝m (x －3)对称，A ，B 中点M (x ，y )，则当m ＝0时，有直线y ＝0，显然存在点关于它对称.当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2⇒y 1－y 2x 1－x 2＝1y 1＋y 2＝12y ＝－1m ，所以y ＝－m 2，所以M 的坐标为(52，－m 2)，∵M 在抛物线内，则有52>(－m2)2，得－10<m <10且m ≠0，综上所述，m ∈(－10，10). 三、解答题15.如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A . (1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1. (2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0， 解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1.故点A (2,1)，因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2， 所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.16.炮弹在某处爆炸，在F 1(－5000,0)处听到爆炸声的时间比在F 2(5000,0)处晚30017s.已知坐标轴的单位长度为1m ，声速为340m/s ，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程.解 由声速为340m/s 可知F 1、F 2两处与爆炸点的距离差为340×30017＝6000(m)，因此爆炸点在以F 1、F 2为焦点的双曲线上.因为爆炸点离F 1处比F 2处更远，所以爆炸点应在靠近F 2处的一支上. 设爆炸点P 的坐标为(x ，y )，则|PF 1|－|PF 2|＝6000，即2a ＝6000，a ＝3000. 而c ＝5000，∴b 2＝50002－30002＝40002，∵|PF 1|－|PF 2|＝6000>0，∴x >0， 所求双曲线方程为x 230002－y 240002＝1(x >0).17.已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2). (1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积.解 (1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4. 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2) (x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4；因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.18.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过P 点作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值. 解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1得y ＝±b 2a，由题意知2b 2a ＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知：PF 1→·PM →|PF 1→||PM →|＝PF 2→·PM →|PF 2→||PM →|，PF 1→·PM →||PF 1→＝PF 2→·PM→||PF 2→，设P (x 0，y 0)，其中x 20≠4， 将向量坐标代入并化简得：m (4x 20－16)＝3x 30－12x 0，因为x 20≠4,所以m ＝34x 0，而x 0∈(－2,2)，所以m ∈(－32，32) .(3)由题意可知，l 为椭圆的在p 点处的切线， 由导数法可求得，切线方程为： x 0x 4＋y 0y ＝1，所以k ＝－x 04y 0， 而k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0x 0－3，代入1kk 1＋1kk 2中得1kk 1＋1kk 2＝－4(x 0＋3x 0＋x 0－3x 0)＝－8. 因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.。

第二章圆锥曲线与方程单元综合测试班别： 姓名： 成绩：一、选择题(每小题5分，共60分) 1．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )A.32B.34C.22D.232．双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是( )A ．－1B ．1C ．－1020D.1023．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)4．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且12|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段6．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB | 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．37．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 8．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y ＋4＝0D ．x ＋2y －8＝0 9．过椭圆x 24＋y 22＝1的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，已知双曲线的焦点在x 轴 上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A 、B 两点，则双曲线的离心率e 为( )A.12B.22C.62D.3210．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则m ＋n 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．以上都不对11．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b <0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，若 PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c ＝a 2＋b 2)，则双曲线的离心率为( ) A.1＋52 B.1＋32 C ．2 D.1＋2212．已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意 一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2]C ．(1，3]D ．(1,3] 二、填空题(每小题5分，共20分)13．若双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方程是．14．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__________， ∠F 1PF 2的大小为________．15．已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，交F 2P 的延长线于M ，则点M 的轨迹方程是 ． 16．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作倾斜角为3π4的直线交抛物线于P ，Q 两点，O 为坐标原点，则△POQ 的面积等于__________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共60分)17．(10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．18、（12分）知抛物线xy42 ，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．19．(12分)已知双曲线中心在原点，且一个焦点为(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN的中点的横坐标为－23，求此双曲线的方程．20．(12分)已知A (2，0)、B (－2，0)两点，动点P 在y 轴上的射影为Q ，P A →·PB→＝2PQ →2.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)设直线m 过点A ，斜率为k ，当0<k <1时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m 的距离为2，试求k 的值及此时点C 的坐标．21．（14分）已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－13. （1）求动点P 的轨迹方程；（2）设M (0，－1)，若斜率为k (k ≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ，若要使|MA |＝|MB |，试求k 的取值范围．第二章圆锥曲线与方程单元综合测试参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．A 解析：∵a ＝1，b ＝12，∴c ＝a 2－b 2＝32，∴e ＝c a ＝32，故选A.2．A 解析 把方程化为标准形式－x 2－1m ＋y 2－3m＝1，则a 2＝－3m ，b 2＝－1m ，∴c 2＝a 2＋b 2＝－4m ＝4，∴m ＝－1.3．B 解析：∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c 2a 2＝4－k4∈(1,4)，k ∈(－12,0)．4．D 解析：设M (2,0)，由题设可知，把直线x ＝－1向左平移一个单位即为直线x ＝－2， 则点P 到直线x ＝－2的距离等于|PM |，所以动点P 的轨迹为抛物线，故选D. 5．D 解析：依题意知|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝2，作图可知点P 的轨迹为线段，故选D. 6．B 解析：不妨设双曲线C 为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，并设l 过F 2(c,0)且垂直于x 轴，则 易求得|AB |＝2b 2a ，∴2b 2a ＝2×2a ，b 2＝2a 2，∴离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝3，故选B.7．B 解析：由定义|AB |＝5＋2＝7，∵|AB |min ＝4，∴这样的直线有且仅有两条．8．D 解析：设l 与椭圆的两交点分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则得y 21－y 22x 21－x 22＝－936，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12.故方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.9．C 解析：A (2，1)，B (2，－1)，设双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±b a x ，因为A 、B 在渐近线上，所以1＝b a ·2，b a ＝22，e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝62.10．C 解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，故双曲线x 2m －y 2n ＝1中m >0，n >0，且m ＋n ＝c 2＝1.11．A 解析：由PF 1→·PF 2→＝0可知△PF 1F 2为直角三角形，则由勾股定理，得 |PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2，① 由双曲线的定义，得(|PF 1→|－|PF 2→|)2＝4a 2，② 又|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，③ 由①②③得c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)． 12．D 解析：|PF 1|2|PF 2|＝2a ＋|PF 2|2|PF 2|＝4a 2|PF 2|＋|PF 2|＋4a ≥4a ＋4a ＝8a ，当且仅当4a 2|PF 2|＝|PF 2|，即|PF 2|＝2a 时取等号．这时|PF 1|＝4a .由|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，得6a ≥2c ，即e ＝ca ≤3， 得e ∈(1,3]，故选D. 二、填空题(每小题5分，共20分)13．x 29－y 2＝1 解析：由双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，知b a ＝13，它的一个焦点是 (10，0)，知a 2＋b 2＝10，因此a ＝3，b ＝1，故双曲线的方程是x 29－y 2＝1.14．2；120° 解析：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×3＝6，因为|PF 1|＝4，所以|PF 2|＝2.在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°.15．(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 2 解析：由题意知|MP |＝|F 1P |，∴|PF 1|＋|PF 2|＝|MF 2|＝2a .∴点M 到点F 2的距离为定值2a .∴点M 的轨迹是以点F 2为圆心，以2a 为半径的圆，其方程为(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 2.16．2 2 解析 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，F 为抛物线焦点，由2(1)4y x y x=--⎧⎨=⎩,得y 2＋4y －4＝0，∴|y 1－y 2|＝()()221212444442y y y y +-=-+⨯=∴S △POQ ＝12|OF ||y 1－y 2|＝2 2. 三、解答题17．解：由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1. （10分）18． [解析]：设M （y x ,），P （11,y x ），Q （22,y x ），易求x y 42=的焦点F 的坐标为（1，0）∵M 是FQ 的中点，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=22122y y x x ⇒⎩⎨⎧=-=y y x x 21222，又Q 是OP 的中点 ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==221212y y x x ⇒⎩⎨⎧==-==yy y x x x 422422121，∵P 在抛物线x y 42=上，∴)24(4)4(2-=x y ，所以M 点的轨迹方程为212-=x y . （12分）19．解：设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，依题意c ＝7，∴方程可以化为x 2a 2－y 27－a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2，∵x 1＋x 22＝－23，∴－a 27－2a 2＝－23，解得a 2＝2. ∴双曲线的方程为x 22－y 25＝1. （12分）20．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，则点Q (0，y )，PQ →＝(－x,0)，P A →＝(2－x ，－y )， PB →＝(－2－x ，－y )，P A →·PB→＝x 2－2＋y 2.① ②∵P A →·PB →＝2PQ →2，∴x 2－2＋y 2＝2x 2， 即动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2. (2)设直线m ：y ＝k (x －2)(0<k <1)，依题意，点C 在与直线m 平行且与m 之间的距离为2的直线上，设此直线为 m 1：y ＝kx ＋b . 由|2k ＋b |k 2＋1＝2，即b 2＋22kb ＝2.① 把y ＝kx ＋b 代入y 2－x 2＝2，整理，得(k 2－1)x 2＋2kbx ＋(b 2－2)＝0， 则Δ＝4k 2b 2－4(k 2－1)(b 2－2)＝0，即b 2＋2k 2＝2.② 由①②，得k ＝255，b ＝105. 此时，由方程组⎩⎨⎧y ＝255x ＋105，y 2－x 2＝2，解得⎩⎨⎧x ＝22，y ＝10，即C (22，10)．（12分）21． [解析]：(1)∵x 2－y 2＝1，∴c ＝ 2.设|PF 1|＋|PF 2|＝2a (常数a ＞0)， 2a ＞2c ＝22，∴a ＞ 2由余弦定理有cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝2a 2－4|PF 1||PF 2|－1∵|PF 1||PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝a 2，∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，|PF 1||PF 2|取得最大值a 2. 此时cos ∠F 1PF 2取得最小值2a 2－4a 2－1，由题意2a 2－4a 2－1＝－13，解得a 2＝3，123222=-=-=∴c a b∴P 点的轨迹方程为x 23＋y 2＝1.(2)设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)，则由 ⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 1322 将②代入①得：(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－1)＝0 (*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点Q (x 0，y 0)的坐标满足：x 0＝x 1＋x 22＝－3km 1＋3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋3k 2 即Q (－3km 1＋3k 2，m1＋3k 2) ∵|MA |＝|MB |，∴M 在AB 的中垂线上，∴k l k AB ＝k ·m1＋3k 2＋1－3km 1＋3k 2＝－1 ，解得m ＝1＋3k 22 …③又由于(*)式有两个实数根，知△＞0，即 (6km )2－4(1＋3k 2)[3(m 2－1)]＝12(1＋3k 2－m 2)＞0 ④ ，将③代入④得12[1＋3k 2－(1＋3k 22)2]＞0，解得－1＜k ＜1，由k ≠0， ∴k 的取值范围是k ∈(－1，0)∪(0，1). （14分）。