高中数学选修2-1同步练习题库：双曲线(简答题：较难)

高中新课标选修（2-1）双曲线部分测试题一、选择题1．动点P与点1(05)F，与点2(05)F-，满足126PF PF-=，则点P的轨迹方程为（）Ａ．221 916x y-=Ｂ．221 169x y-+=Ｃ．221(3) 169x yy-+=≥Ｄ．221(3) 169x yy-+=-≤答案：Ｄ2．如果双曲线的渐近线方程为34y x=±，则离心率为（）Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或54Ｄ．3答案：Ｃ3．过原点的直线l与双曲线221y x-=有两个交点，则直线l的斜率的取值范围为（）Ａ．(11)-，Ｂ．(1)(1)--+，，∞∞Ｃ．(10)(01)-，，Ｄ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭，答案：Ｂ4．已知双曲线2214x y k+=的离心率为2e <，则k 的范围为（ ） Ａ．121k -<< Ｂ．0k <Ｃ．50k -<< Ｄ．120k -<<答案：Ｄ5．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为（ ） Ａ．152x y =±Ｂ．152y x =± Ｃ．34x y =±Ｄ．34y x =±答案：Ｃ6．已知双曲线的中心在原点，两个焦点12F F ，分别为(50)，和(50)-，，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为1，则双曲线的方程为（ ） Ａ．22123x y -= Ｂ．22132x y -= Ｃ．2214x y -= Ｄ．2214y x -=答案：Ｃ二、填空题7．若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线的倾斜角为π02αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，其离心率为 ．答案：sec α8．双曲线22221x y a b-=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ．答案：29．设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为 ．答案：710．若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(215)，，则双曲线的标准方程为 ．答案：2213y x -+=11．若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F ，，点P 是两条曲线的一个交点，则12PF PF ·的值为 ．答案：m a -12．P 是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，左支上的一点，12F F ，为其左、右焦点，且焦距为2c ，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标为 ．答案：a -三、解答题13．已知双曲线2221()4x y b b*-=∈N 的左、右焦点分别为12F F ，，P 为双曲线上一点，若21212PF PF F F =·且24PF <，求双曲线的方程．答案：解：设所求抛物线的标准方程为22(0)x py p =>，11()0022p p A x y F M ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，则221122112111729422p x y p x y p x py ⎧⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫+-=⇒=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎪⎪⎩，，或2p =． 故所求方程为28x y =或24x y =．14．如图，某农场在M 处有一堆肥料沿道路MA 或MB 送到大田ABCD 中去，已知6MA =，， 8MB =，3BC =，且AD BC ≤，90AMB ∠=°，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧沿MB 送肥料较近？若能，请建立适当坐标系求出这条界线方程．解：设MO k MF =，动点M 的坐标为()02p x y F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，， 则22232242p p x p x p k p x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 令12t p x =+，则20t p ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，22324433k p t p ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 显然当23t p =，即x p =时，k 有最大值233，M 为原点时，k 取得最小值0． 故MO MF 的取值范围为2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．。

双曲线（选择题：较难）1、已知双曲线（，），过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B． C． D．2、已知抛物线的准线与轴交于点，焦点是，是抛物线上的任意一点，当取得最小值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．3、已知椭圆与双曲线的焦点重合,分别为的离心率,则的取值范围为A． B． C． D．4、是双曲线（，）上的点，，是其焦点，且，若的面积是，，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．5、双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与轴和双曲线右支分别交于两点，若点平分，则该双曲线的离心率是（）A． B． C．2 D．6、已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(1,2] C．(1，] D．(1,3]7、已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为、，且两条曲线在第一象限的焦点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是（）A． B． C． D．8、已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A． B． C． D．9、设双曲线的左右焦点分别为若在曲线的右支上存在点,使得的内切圆半径为,圆心记为，又的重心为，满足,则双曲线的离心率为（）．A． B． C． D．10、如图所示，已知二面角的平面角为，为垂足，且，，设到棱的距离分别为，当变化时，点的轨迹是下列图形中的（）A． B． C． D．11、设、分别为双曲线（，）的左、右焦点，为双曲线右支上任一点．若的最小值为，则该双曲线离心率的取值范围是（）．A． B． C． D．12、点是双曲线上的点，是其焦点，双曲线的离心率是，且,若的面积是9，则的值等于( )．A．4 B．7 C．6 D．513、设分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使，且，则双曲线离心率为（）A． B． C．2 D．14、点P是双曲线上的点，是其焦点，双曲线的离心率是，且,若的面积是9，则的值等于（）A．4 B．7 C．6 D．515、已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值是（）A． B． C．2 D．316、设双曲线：的右焦点为，过作渐近线的垂线，垂足分别为，，若是双曲线上任一点到直线的距离，则的值为（）A． B． C． D．无法确定17、已知是双曲线的两个焦点，以线段为边作正，若边的中点在双曲线时，双曲线的离心率__________．18、经过双曲线右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线的条数为（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条19、已知椭圆与双曲线的渐近线有4个交点，则以这个交点为顶点的四边形的面积是（）A． B． C． D．20、若双曲线上存在一点P满足以为边长的正方形的面积等于（其中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．21、已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右焦点，点为的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围为（）A． B． C． D．22、若双曲线上存在一点P满足以为边长的正方形的面积等于（其中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．23、已知不等式所表示的平面区域内一点到直线和直线的垂线段分别为，若三角形的面积为，则点轨迹的一个焦点坐标可以是（）A． B． C． D．24、已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为F1、F2，点M是双曲线右支上一点，且，延长交双曲线C于点P，若，则双曲线C的离心率为（）A． B．2 C． D．25、设双曲线在左右焦点分别为，若在曲线的右支上存在点，使得的内切圆半径，圆心记为，又的重心为，满足平行于轴，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．26、若圆与双曲线的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．27、过双曲线（，）的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点，若，则的取值范围为（）A． B． C． D．28、已知抛物线与双曲线（）的一个交点为为抛物线的焦点，若，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．29、设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．30、若以为焦点的双曲线与直线有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为（）A． B． C． D．31、已知抛物线，直线倾斜角是且过抛物线的焦点，直线被抛物线截得的线段长是16，双曲线：的一个焦点在抛物线的准线上，则直线与轴的交点到双曲线的一条渐近线的距离是（）A．2 B． C． D．132、如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是，在第二、四象限的公共点。

双曲线（简答题：容易）1、已知双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求双曲线方程．2、(本题满分6分)已知：方程表示双曲线，：过点的直线与椭圆恒有公共点，若为真命题，求的取值范围．3、已知双曲线中心在原点，离心率等于2，且一个焦点坐标为（4，0），求此双曲线方程．4、（本小题满分12分）是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右顶点，直线、的斜率之积为（I）求双曲线的离心率；（II）过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足，求的值．5、已知双曲线的右顶点为A,右焦点为F，右准线与轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，，，过点F的直线与双曲线右支交于点．（Ⅰ）求此双曲线的方程；（Ⅱ）求面积的最小值．6、已知双曲线的离心率且点在双曲线C上.(1)求双曲线C的方程；(2)记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程.7、（本小题满分12分）双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过点，椭圆以双曲线的焦点为焦点且椭圆上的点与焦点的最短距离为，求双曲线和椭圆的方程。

8、本题10分）双曲线的离心率等于4，且与椭圆有相同的焦点，求此双曲线方程.9、(本小题满分12分）（1）求直线被双曲线截得的弦长；（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程。

10、已知双曲线C的中心在原点，抛物线的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线经过点，又知直线与双曲线C相交于A、B两点.（1）求双曲线C的方程；（2）若，求实数k值.11、(本小题满分12分)已知双曲线C与椭圆有相同的焦点，实半轴长为.(Ⅰ)求双曲线的方程；(Ⅱ)若直线与双曲线有两个不同的交点和,且(其中为原点),求的取值范围.12、（本小题满分12分）双曲线的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A，B.(1)求双曲线的方程;(2)若是双曲线虚轴在轴正半轴上的端点,过作直线与双曲线交于两点,求时,直线的方程.13、过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，求此双曲线的离心率。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高中新课标选修（2-1）双曲线部分测试题一、选择题1．动点P与点1(05)F，与点2(05)F-，满足126PF PF-=，则点P的轨迹方程为（）Ａ．221 916x y-=Ｂ．221 169x y-+=Ｃ．221(3) 169x yy-+=≥Ｄ．221(3) 169x yy-+=-≤答案：Ｄ2．如果双曲线的渐近线方程为34y x=±，则离心率为（）Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或54Ｄ．3答案：Ｃ3．过原点的直线l与双曲线221y x-=有两个交点，则直线l的斜率的取值范围为（）Ａ．(11)-，Ｂ．(1)(1)--+，，∞∞Ｃ．(10)(01)-，，Ｄ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭，答案：Ｂ4．已知双曲线2214x y k+=的离心率为2e <，则k 的范围为（ ） Ａ．121k -<< Ｂ．0k <Ｃ．50k -<< Ｄ．120k -<<答案：Ｄ5．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为（ ） Ａ．152x y =±Ｂ．152y x =± Ｃ．34x y =±Ｄ．34y x =±答案：Ｃ6．已知双曲线的中心在原点，两个焦点12F F ，分别为(50)，和(50)-，，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为1，则双曲线的方程为（ ） Ａ．22123x y -= Ｂ．22132x y -= Ｃ．2214x y -= Ｄ．2214y x -=答案：Ｃ二、填空题7．若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线的倾斜角为π02αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，其离心率为 ．答案：sec α8．双曲线22221x y a b-=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ． 答案：29．设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为 ．答案：710．若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(215)，，则双曲线的标准方程为 ．答案：2213y x -+=11．若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F ，，点P 是两条曲线的一个交点，则12PF PF ·的值为 ．答案：m a -12．P 是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，左支上的一点，12F F ，为其左、右焦点，且焦距为2c ，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标为 ．答案：a -三、解答题13．已知双曲线2221()4x y b b*-=∈N 的左、右焦点分别为12F F ，，P 为双曲线上一点，若21212PF PF F F =·且24PF <，求双曲线的方程．答案：解：设所求抛物线的标准方程为22(0)x py p =>，11()0022p p A x y F M ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，则221122112111729422p x y p x y p x py ⎧⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫+-=⇒=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎪⎪⎩，，或2p =． 故所求方程为28x y =或24x y =．14．如图，某农场在M 处有一堆肥料沿道路MA 或MB 送到大田ABCD 中去，已知6MA =，， 8MB =，3BC =，且AD BC ≤，90AMB ∠=°，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧沿MB 送肥料较近？若能，请建立适当坐标系求出这条界线方程．解：设MO k MF =，动点M 的坐标为()02p x y F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，， 则22232242p p x p x p k p x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 令12t p x =+，则20t p ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，22324433k p t p ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 显然当23t p =，即x p =时，k 有最大值233，M 为原点时，k 取得最小值0． 故MO MF 的取值范围为2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．。

§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)1、双曲线的实轴长为 ；虚轴长为 ；焦距为 ；2、双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为 ；双曲线2222(0,0,0)x y k a b k a b -=>>≠的渐近线方程为 ；渐近线方程为0x ya b±=的双曲线方程为 ； 3、已知双曲线的渐近线方程为43y x =±，并且焦点都在圆22100x y +=上，则此双曲线的方程为 ； 4、已知双曲线的渐近线方程为12y x =±，焦距为10，则双曲线方程为 ； 5、以椭圆221259x y +=的焦点为焦点，离心率为2的双曲线方程为 ；6、1F 、2F 是双曲线的左右焦点，P 是双曲线上一点，且01260F PF ∠=，12F PF S ∆=又离心率2e =，则双曲线方程为 ；7、双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，012120FMF ∠=，则双曲线的离心率为（ ）A B C D8、在双曲线中，c a =，且双曲线与椭圆224936x y +=有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）A 、2214y x -=B 、2214x y -=C 、2214y x -=D 、2214x y -= 9、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ） A 、43 B 、53 C 、2 D 、7310、已知0a b >>，1e 、2e 分别是椭圆22221x y a b +=和双曲线22221x y a b-=的离心率，则12lg lg e e +的值（ ）A 、一定是正数B 、一定是负数C 、一定是零D 、以上答案均不正确11、双曲线2214x y k+=的离心率为e ，(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（ ） A 、(,1)-∞ B 、(3,0)- C 、(13,0)- D 、(60,12)-12、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若||4AB =，则这样的直线有（ ）条A 、1B 、2C 、3D 、413、点(,)M x y 到定点F 的距离和它到定直线x =点M 的轨迹方程。

直线与双曲线的地点关系一、选择题( 每题 5 分，共20 分)1．已知双曲线方程为y2x2－4＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()A． 4B． 3C． 2D． 1分析：数形联合知，过点P(1,0)有一条直线l与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点．答案：B2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，假如直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A. 2B. 33＋ 15＋ 1C. D.22x2y2分析：设双曲线方程为a2－b2＝1(a，b>0)，不如设一个焦点为F( c, 0)，虚轴端点为B(0， b)，则 k FB b＝－c.b又渐近线的斜率为±a，因此由直线垂直关系得－b b bc· a＝－1(－ a明显不切合) ，即 b2＝ ac，又 c2－ a2＝ b2，故 c2－a2＝ ac，两边同除以 a2，得方程 e2－ e－1＝0，解得＝5＋ 1＝1－ 5或(舍)．e2e2答案：Dx2y23．已知双曲线a2－b2＝ 1( a>0，b>0) 的右焦点为F，若过点 F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A． (1,2]B． (1,2)C． [2 ，＋∞ )D． (2 ，＋∞)分析：依据双曲线的性质，过右焦点 F 且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan 60 °＝b3，则c2－ a2e2e23，即≥2＝－ 1≥ 3，故有≥4，≥2.a a e应选 C.答案：C224． 是双曲线 x －y＝1 的右支上一点，、 分别是圆 ( x ＋5) 2＋y 2＝4 和( x －5) 2＋y 2＝ 1上的点，则| |P9 16 M NPM－| PN | 的最大值为 ()A ． 6B ． 7C ． 8D ． 9分析： 设双曲线的两个焦点分别是 F 1( － 5,0) 与 F 2(5,0) ，则这两点正好是两圆的圆心， 当且仅当点 P与 M 、 F 三点共线以及 P 与 N 、 F 三点共线时所求的值最大，此时 | PM |－ | PN |＝(| PF | ＋2) － (| PF | －1)＝61 2 1 2＋ 3＝ 9.答案： D二、填空题 ( 每题5 分，共 10 分)x 2 y 22225．过双曲线 C ： a 2－b 2＝ 1( a >0， b >0) 的一个焦点作圆 x ＋ y ＝ a 的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠＝120°( 是坐标原点 ) ，则双曲线 C 的离心率为 ________．AOBO分析： ∵∠ AOB ＝120° ? ∠ AOF ＝60° ? ∠ AFO ＝30° ? c ＝ 2a ，∴ e ＝c＝ 2.a答案：2x 2 y 26．已知双曲线 12－ 4 ＝ 1 的右焦点为 F ，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 ________．分析：由题意知 (4,0) ，双曲线的两条渐近线方程为y＝±3 ，F3x33当过 F 点的直线与渐近线平行时， 知足与右支只有一个交点，画出图形， 经过图形可知， － 3 ≤ k ≤ 3 .答案：3 3－3，3三、解答题 ( 每题 10 分，共 20 分 )7．已知双曲线22A 、B 两点，试问 A 、3x － y ＝ 3，直线 l 过右焦点 F ，且倾斜角为 45°，与双曲线交于2B 两点能否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的长．分析： ∵ a ＝1， ＝ 3， ＝ 2，b c又直线 l 过点 F 2(2,0) ，且斜率 k ＝tan 45 °＝ 1，∴ l 的方程为 y ＝ x － 2，由 y ＝ x － 2消去 y 并整理得 2x 2＋ 4x － 7＝ 0，3x 2 －y 2＝ 3设 A ( x 1，y 1) ， B ( x 2，y 2) ，7∵ x 1· x 2＝－ 2<0，∴ A 、B 两点分别位于双曲线的左、右两支上．7 ∵ x 1＋ x 2＝－ 2， x 1· x 2 ＝－ ，2∴ | AB | ＝ 1＋12| x 1－ x 2| ＝ 2·x 1＋ x 22－ 4x 1x 227＝ 2·－－4× －2 ＝6.22y8．已知双曲线 x －3 ＝ 1 上存在对于直线 l ： y ＝ kx ＋4 的对称点，务实数 k 的取值范围．分析： ①当 k ＝ 0 时，明显不建立．②当k ≠0时，在双曲线上随意取两点， ，设 的中点 的坐标为 ( 0， 0) ，由 l ⊥ ，A B AB M M x y AB1可设直线 AB 的方程为 y ＝－ k x ＋ b ，将其代入 3x 2－ y 2＝ 3 中，得 (3 k 2－1) x 2＋ 2kbx － ( b 2＋ 3) k 2＝0.明显 3k 2－1≠0，即 k 2b 2＋ 3k 2－ 1>0. ①由根与系数的关系得AB 的中点 M 的坐标为－ kb x ＝32－1，②ky 0＝3k 2b.③3k 2－ 1由于 M 均分 AB ，因此 M ( x 0， y 0) 在直线 l 上，3k 2b－ k 2b进而有 3k 2－ 1＝ 3k 2－1＋ 4，即 k 2b ＝3k 2－ 1，④将④代入①得2 2＋ 2 >0，∴ >0 或b <－1，k b k bb3 2－ 1 3 2－1即k 2>0 或k <－ 1，31∴ | k |> 3 或 | k |< 2，且 k ≠0，33 1 1∴ k > 3 或 k <－ 3 或－ 2<k <2，且 k尖子生题库☆☆☆9． (10 分 ) 设圆 C 与两圆 ( x ＋ 5) 2＋ y 2＝ 4， ( x － 5) 2＋y 2＝ 4 中的一个内切，另一个外切．(1) 求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程；(2) 已知点 M 3 5 45，(5，0) ，且 P 为 L 上动点，求 ||| －||| 的最大值及此时点P 的坐标．5，MPFP5 分析：(1) 设圆 C 的圆心坐标为 ( x ， y ) ，半径为 r .圆 ( x ＋22＝ 41，半径为 2，5) ＋ y 的圆心为 F (－ 5，0)圆 ( x － 5) 2＋ y 2＝ 4 的圆心为 F ( 5， 0) ，半径为 2.| CF 1| ＝ r ＋ 2， | CF 1| ＝ r － 2， 由题意得| CF | ＝ r － 2或| CF | ＝r ＋ 2，∴ || CF 1| － | CF || ＝4.15>4，∵|FF |＝2∴圆 C 的圆心轨迹是以 1， F ( 5， 0) 为焦点的双曲线，其方程为 x 22＝1.F (－ 5，0) 4 － y (2) 由图知， || MP |－ | FP || ≤|MF |，∴当 M ， P ， F 三点共线，且点 P 在 MF 延伸线上时， | MP | － | FP | 获得最大值 |MF |，且 |MF |＝355－ 5 2＋ 455－0 2＝2.直线 MF 的方程为 y ＝－ 2x ＋ 2 5，与双曲线方程联立得y ＝－ 2x ＋ 2 5，22整理得 15x －32 5x ＋ 84＝ 0.x－ y 2＝1，41456 5解得 x ＝ 15( 舍去 ) ， x ＝5.12此时 y＝－ 255.∴当|| |－||| 获得最大值 2 时，点P 的坐标为65 2 5 .MP FP 5，－5。

双曲线（填空题：较难）1、已知双曲线的左、右焦点分别为，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为______________．2、已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，是坐标原点，是以为顶点的等腰三角形，其面积是，则双曲线的离心率是______________.3、椭圆与双曲线有相同的焦点，，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆于双曲线的离心率分别为，，则的最小值为__________．4、已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为_______．5、已知椭圆：，双曲线：，以的短轴为一条最长对角线的正六边形与轴正半轴交于点，为椭圆右焦点，为椭圆右顶点，为直线与轴的交点，且满足是与的等差中项，现将坐标平面沿轴折起，当所成二面角为时，点在另一半平面内的射影恰为的左顶点与左焦点，则的离心率为__________．6、已知等腰梯形ABCD中AB//CD，AB=2CD=4，∠BAD=600，双曲线以A，B为焦点，且经过C、D两点，则该双曲线的离心率为_________．7、点是焦点为的双曲线上的动点，若点满足,则点的横坐标为____________8、点在曲线上，点在曲线上，线段的中点为，是坐标原点，则线段长的最小值是__________．9、已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，已知点坐标，双曲线上点满足，则__________．10、设、分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为__________．11、双曲线的左右两焦点分别是，若点在双曲线上，且为锐角，则点的横坐标的取值范围是________．12、已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，若直线与圆相切于点且，则双曲线的离心率值为__________．13、已知双曲线：（，）和圆：.过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为，.若可为正三角形，则双曲线离心率的取值范围是__________．14、过双曲线的右焦点且垂于轴的直线与双曲线交于,两点，与双曲线的渐近线交于,两点，若,则双曲线离心率的取值范围为__________．15、过双曲线（，）的左焦点向圆作一条切线，若该切线与双曲线的两条渐进线分别相交于第一、二象限，且被双曲线的两条渐进线截得的线段长为，则该双曲线的离心率为__________．16、已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________．17、给出如下命题:①已知随机变量，若，则②若动点到两定点的距离之和为，则动点的轨迹为线段;③设，则“”是“”的必要不充分条件;④若实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为;其中所有正确命题的序号是_________.18、设为双曲线右支上的任意一点，为坐标原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于,两点，则平行四边形的面积为__________．19、已知双曲线的离心率为，点是其左右焦点，点与点是双曲线上关于坐标原点对称的两点，则四边形的面积为__________．20、设分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上任一点，当的最小值为时，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．21、在平面直角坐标系中，的顶点分别是离心率为的圆锥曲线的焦点，顶点在该曲线上．一同学已正确地推得：当时，有．类似地，当时，有（________）．22、如果曲线与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是__________．23、已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，．若，且，则双曲线的离心率为＿＿＿＿．24、平面直角坐标系xoy中，抛物线的焦点为F，设M是抛物线上的动点，则的最大值是25、把离心率的双曲线称为黄金双曲线．给出以下几个说法：①双曲线是黄金双曲线；②若双曲线上一点到两条渐近线的距离积等于，则该双曲线是黄金双曲线；③若为左右焦点，为左右顶点，且，则该双曲线是黄金双曲线；④．若直线经过右焦点交双曲线于两点，且，，则该双曲线是黄金双曲线；其中正确命题的序号为 .26、已知双曲线的右焦点到其渐进线的距离为，则此双曲线的离心率为_________．27、已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右顶点，且该双曲线的渐近线方程为，则双曲线的方程为_________.28、过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，交其准线于点，若，则直线的斜率为___________．29、圆的切线过双曲线的左焦点，其中为切点，为切线与双曲线右支的交点，为的中点，则___________．30、已知动点与双曲线的两个焦点的距离之和为定值，且的最小值为，则动点的轨迹方程为______________．31、、是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，且，则△的面积为 .32、如图，已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，若，且，则双曲线的离心率为____________．33、已知双曲线的右焦点为,过点且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点,在直线上,且满足,则．34、如图，在中，，、边上的高分别为BD、AE，则以、为焦点，且过、的椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，则的值为 .35、过双曲线（，）的右焦点作渐进线的垂线，设垂足为（为第一象限的点），延长交抛物线（）于点，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为．36、已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值是____．37、已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为__________.38、已知,,动点满足,若双曲线的渐近线与动点的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 .39、在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：（a＞0）的一条渐近线与直线y＝2x＋1平行，则实数a的值是．40、过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点，若且，则双曲线的离心率为_____________．41、过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点.若，则双曲线的离心率为_______.42、已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点．设直线的斜率分别为，当最小时，双曲线的离心率为________________．43、已知点为双曲线右支上的一点，点分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为，若为的内心，且，则的值为．44、在平面直角坐标系中, 若双曲线的一条准线恰好与抛物线的准线重合，则双曲线的渐近线方程为．45、双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为．46、已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，且它的一个焦点在直线l上，则双曲线C的方程为．47、若圆与双曲线C：的渐近线相切, 双曲线C的渐近线方程是48、已知抛物线与双曲线有相同的焦点，是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率是 .49、已知双曲线的右焦点, 在双曲线的左支上,，当的周长最小值时,该三角形的面积为50、已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________51、设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，线段与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为_____．52、平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的渐近线方程为________．53、过点的直线与双曲线的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线的右支上到直线对的距离恒大于，则双曲线的离心率的最大值是_____.54、设F1，F2为双曲线的左右焦点，P为双曲线右支上任一点，当最小值为8a时，该双曲线离心率e的取值范围是．55、如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是．56、已知命题：在平面直角坐标系xOy中，椭圆，△ABC的顶点B在椭圆上，顶点A，C分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e，则，现将该命题类比到双曲线中，△ABC的顶点B在双曲线上，顶点A、C分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为．双曲线的离心率为e，则有________．57、在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在双曲线上，则为___________．58、已知点P为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，且，G为三角形的内心，若成立，则的值为（）B．C．D．A．59、设P是双曲线上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最大值为____________．60、如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二，第四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是．61、已知双曲线的焦点分别为，．则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．62、中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范围为，则椭圆离心率的取值范围是．63、中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范围为，则椭圆离心率的取值范围是．64、已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则．65、已知点是双曲线E：上的一点，M、N分别是双曲线的左右顶点，直线PM、PN的斜率之积为，则该双曲线的渐近线方程为___________________．66、在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。

2.3.1双曲线的标准方程一、选择题1．(2013·安阳高二检测)若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 若k >3，则方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1，表示双曲线；若方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧ k －3>0k ＋3>0或⎩⎪⎨⎪⎧k －3<0k ＋3<0解得k >3或k <－3.故选A. 2．已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝0B ．y ＝0(|x |≥13)C ．x ＝0(|y |≥13)D ．以上都不对[答案] C[解析] ||PF 1|－|PF 2||＝|F 1F 2|，∴x ＝0.3．已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值为( ) A.12 B.32 C.72 D ．5 [答案] C[解析] 点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支，如右图所示，当P 与双曲线右支顶点M 重合时，|P A |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.故选C. 4．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0.b >0)有相同的焦点，P 是两曲线上的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2 D.m －b[答案] A[解析] 由题意|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a 整理得|PF 1|·|PF 2|＝m －a ，选A. 5．(2014·广东理，4)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等[答案] A[解析] 本题考查双曲线的性质． ∵0<k <9，∴0<9－k,25－k >0， ∴曲线表示双曲线， 又∵25＋9－k ＝c 2， ∴焦距相等．选A.6．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点．若|PF 1| |PF 1|＝3 2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[答案] B[解析] 设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x y ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝4又|F 1F 2|＝213由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝16＋36－4×132×4×6＝0.∴S △PF 1F 2＝12x ·y ·sin ∠F 1PF 2＝4×6×12×1＝12.二、填空题7．(2013·大连高二检测)方程x 24－k ＋y 2k －1＝1表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①曲线C 不可能为圆；②若1<k <4，则曲线C 为椭圆；③若曲线C 为双曲线，则k <1或k >4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52，其中正确的命题是________．[答案] ③④[解析] 若曲线C 为圆，则4－k ＝k －1，解得k ＝52.故①错．若曲线C 为椭圆，则1<k <4且k ≠52，②错．曲线C 为双曲线，则k <1或k >4.③④对．8．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．[答案] 9[解析] 设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|＝4＋|PF 1|，所以当满足|PF 1|＋|P A |最小时就满足|PF |＋|P A |取最小值．由双曲线的图形可知当点A ，P ，F 1共线时，满足|PF 1|＋|P A |最小．而|AF 1|即为|PF 1|＋|P A |的最小值，|AF 1|＝5，故所求最小值为9.三、解答题9．如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解析] 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5.∴双曲线方程为49x 2－491y 2＝1(x ≤－32).一、选择题1．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且ab <0，则它表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的双曲线 B ．圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．椭圆[答案] C[解析] 原方程可变形为x 2b a －y 2b a ＝1，即y 2－b a －x 2－ba ＝1.可知它表示焦点在y 轴上的双曲线．2．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14 B.35 C.34 D.45[答案] C[解析] 本题考查双曲线定义．由|PF 1|＝2|PF 2|及|PF 1|－|PF 2|＝22知|PF 2|＝2 2 ∴|PF 1|＝42，而|F 1F 2|＝4，∴由余弦定理知cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.当点在圆锥曲线上时，很容易考虑到定义解决问题．3．已知平面内有一定线段AB ，其长度为4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|PO |的最小值为( )A ．1 B.32 C ．2 D ．4 [答案] B[解析] 由已知，P 点轨迹为以A ，B 为焦点，2a ＝3的双曲线一支，顶点到原点距离最小，∴|PO |的最小值为32，故选B.4．设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|的值等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8 [答案] A[解析] ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→. 又||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝20－2|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2. 二、填空题5．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y 227＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线，则|AF 2|＝________.[答案] 6[解析] 本小题考查的内容是双曲线的定义与角平分线定理的应用． 如图，F 1(－6,0)，F 2(6,0)，由角平分线定理知， |AF 1||AF 2|＝|F 1M ||MF 2|＝2 又|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝6，∴|AF 2|＝6.6．设圆过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．[答案]163[解析] 如图所示，设圆心P (x 0，y 0)，则|x 0|＝c ＋a 2＝4，代入x 29－y 216＝1，得y 20＝16×79， ∴|OP |＝x 20＋y 20＝163. 7．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．[答案] 2 3[解析] 本题考查了双曲线的概念．设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，根据双曲线的定义及已知条件可得|m －n |＝2a ＝2，m 2＋n 2＝4c 2＝8∴2mn ＝4∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝(m ＋n )2＝(m －n )2＋4mn ＝12 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2 3充分利用PF 1⊥PF 2, 将||PF 1|－|PF 2||＝2a ，转化到|PF 1|＋|PF 2|是解决本题的关键． 三、解答题8．一炮弹在某处爆炸，在F 1(－5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F 2(5 000,0)处晚30017s ，已知坐标轴的单位长度为1 m ，声速为340 m/s ，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程．[解析] 由声速为340 m/s 可知F 1、F 2两处与爆炸点的距离差为340×30017＝6 000 (m)，因此爆炸点在以F 1、F 2为焦点的双曲线上，因为爆炸点离F 1处比F 2处更远，所以爆炸点应在靠近F 2处的一支上，设爆炸点P 坐标为(x ，y )，则|PF 1|－|PF 2|＝6 000，即2a ＝6 000，a ＝3 000. 而c ＝5 000，∴b 2＝5 0002－3 0002＝4 0002. ∵|PF 1|－|PF 2|＝6 000>0，∴x >0.∴所求双曲线方程为x 23 0002－y 24 0002＝1(x >0)．9.如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A 、B 、C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．[解析] 如图，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， 则A (－22，0)、B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R .∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2，从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<AB .由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支，扣除(2，0)点的部分． ∵a ′＝2，c ′＝22， ∴b ′2＝c ′2－a ′2＝6.所以顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．。

双曲线 同步练习一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．θ是第三象限角，方程x 2+y 2sin θ=cos θ表示的曲线是 （ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线2．“a b<0”是“方程ax 2+b y 2 =c 表示双曲线”的（ ） A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件3．一动圆与两圆：x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都外切，则动圆心的轨迹为 （ ）A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆 4．双曲线虚半轴长为5，焦距为6，则双曲线离心率是（ ）A ．35 B ．53 C ．23 D ．325．过点P （2，-2）且与22x -y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是（ ）A ．14222=-x y B ．12422=-y xC ．12422=-x y D ．14222=-y x 6．双曲线191622=-y x 右支上一点P 到右准线距离为18，则点P 到右焦点距离为（ ）A ．245 B ．558 C ．229 D ．532 7．过双曲线x 2-22y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，这样的直线 有 （ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 8．双曲线3x 2-y 2=3的渐近线方程是（ ）A ．y =±3xB ．y =±31xC ．y =±3xD ．y =±33x 9．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为 （ ）A ．3B ．26C ．36 D ．33 10．设双曲线12222=-by a x （0<a <b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点，已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．332 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．11422=-+-t y t x 表示双曲线，则实数t 的取值范围是 ． 12．双曲线191622-=-y x 的准线方程是 ． 13．焦点为F 1（-4，0）和F 2（4，0），离心率为2的双曲线的方程是 ．14．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共76分）15．已知双曲线与椭圆1244922=+y x 共焦点，且以x y 34±=为渐近线，求双曲线方程．(12分)16．双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，两准线间距离为29，并且与直线)4(31-=x y 相交所得弦的中点的横坐标是32-，求这个双曲线方程．(12分)17．某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其中A 、A ′是双曲线的顶点，C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点,B 、B ′是下底直径的两个端点，已知AA ′=14m ，CC ′=18m ，BB ′=22m ，塔高20m ．建立坐标系并写出该双曲线方程．(12分)18．F 1、F 2是116922=-x y 双曲线的两个焦点，M 是双曲线上一点，且3221=⋅MF MF ，求三角形△F 1MF 2的面积．（12分）19．一炮弹在A 处的东偏北60°的某处爆炸，在A 处测到爆炸信号的时间比在B 处早4秒，已知A 在B 的正东方、相距6千米， P 为爆炸地点，（该信号的传播速度为每秒1千米）求A 、P 两地的距离．(14分)A A'BB'C'C 20m14m18m 22m20．如图，已知梯形ABCD 中|AB|=2|CD|，点E 分有向线段−→−AC 所成的比为118，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．求双曲线的离心率．(14分)参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案D A C C A A C C BA二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．t>4或t<1 12．y = 59± 13．112422=-y x 14．316三、解答题（本大题共6题，共76分）15．(12分) [解析]：由椭圆1244922=+y x 5=⇒c ．设双曲线方程为12222=-b y a x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+±=253422b a a b ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒16922b a 故所求双曲线方程为116922=-y x16．(12分) [解析]：设双曲线方程为12222=-by a x （a >0，b>0），∵两准线间距离为29，∴c a 22⋅=29，得=2a 49c ，c c b 4922-= ①∵双曲线与直线相交，由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-)4(3112222x y b y a x 得0)916(98)9(222222=+-+-a b x a x a b ， 由题意可知0922≠-a b ，且32)9(298222221-=--=+a b ax x 2297b a =⇒ ② AB E D CA A'BB'C'COxy联立①②解得：92=a ，72=b 所以双曲线方程为17922=-y x ．17．(12分) [解析]：（I ）如图建立直角坐标系xOy ，AA ′在x 轴上，AA ′的中点为坐标原点O ，CC ′与BB ′平行于x 轴． 设双曲线方程为),0,0(12222>>=-b a by a x 则.721='=A A a 又设B （11，y 1），C （9，y 2），因为点B 、C 在双曲线上，所以有,171122122=-by ① ,17922222=-by ② 由题意知.2012=-y y ③ 由①、②、③得.27,8,1221==-=b y y 故双曲线方程为.1984922=-y x18．（12分） [解析]：由题意可得双曲线的两个焦点是F 1（0，-5）、F 2（0，5）， 由双曲线定义得：621=-MF MF ，联立3221=⋅MF MF 得21MF +22MF =100=221F F ， 所以△F 1MF 2是直角三角形，从而其面积为S =162121=⋅MF MF19．(14分) [解析]：以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A （3，0）、B （－3，0） 3,5,2614||||===∴<⨯=-c b a PA PB15422=-∴y x P 是双曲线右支上的一点 ∵P 在A 的东偏北60°方向，∴360tan == AP k ．∴线段AP 所在的直线方程为)3(3-=x y解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-==-0)3(315422y x x y y x ⎩⎨⎧==358y x 得 ， 即P 点的坐标为（8，35） ∴A 、P 两地的距离为22)350()83(-+-=AP =10（千米）． 20．(14分) [解析]：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系，则CD ⊥Oy ．由题意可设A （-c ，0），C （2c ，h ），B （c ，0），其中c 为双曲线的半焦距，AB c 21=，h 是梯形的高． 由定比分点公式，得点E 的坐标为 c c c x E 19711812118-=+⨯+-=，h h y E 19811811180=+⨯+=． 设双曲线的方程为12222=-by a x ，由离心率a c e =． 由点C 、E 在双曲线上，得OxyA B PO x yA B E D C⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-⋅=-⋅.136********,14122222222b h a c b h a c 由①得1412222-⋅=a c b h ，代入②得922=a c 所以离心率322==ac e ① ②。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作《双曲线及其标准方程》同步测试题1、判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值： ①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y2、写出适合下列条件的双曲线的标准方程(1) a=2，b=1，焦点在x 轴上；(2)焦点坐标分别是(0，-6)，(0，6) ，且经过点(2，-5) ；(3)焦点坐标分别为(0，-5)，(0，5) ，a=4；(4)a+c=10，c-a=4(5)双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)(6)过点（3,2--），)2,315((7)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．(8)以椭圆x 216＋y 29＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点（9）焦点在坐标轴上，且经过(1，3)的等轴双曲线3、椭圆134222=+n yx 和双曲线116222=-y n x 有相同的焦点，则实数n 的值 4、双曲线22152x y -+=的焦点坐标为 5、到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线6、平面内有定点1(5,0)F - 和2(5,0)F ，动点P 满足条件126PF PF -=,则动点P 的轨迹方程是7、已知点)0,4(1-F 和)0,4(2F ，曲线上的动点P 到1F 、2F 的距离之差为6，则曲线方程为8、若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是 9、双曲线221102x y -=的焦距为 10、双曲线m y x =-222的一个焦点是)3,0(，则m 的值是_________11、双曲线 221x ay -= 的焦点是_________12、 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是_________13、若双曲线22142x y -=上一点P 到右焦点的距离是2，则点P 到y 轴的距离是 14、已知1F 、2F 是双曲线1201622=-y x 的焦点，P 为双曲线上一点，若P 点到焦点1F 的距离等于9，则点P 到焦点2F 的距离为15、过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是16、双曲线1422=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上21F PF ∆的面积为3，则21PF PF ⋅等于17、设P 为双曲线x 216－y 29＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为。