高中数学人教A版选修2-1双曲线部分测试题.docx

双曲线基础训练题1.平面内有定点1(5,0)F - 和2(5,0)F ，动点P 满足条件126PF PF -=,则动点P 的轨迹方程是（）。

A 221(4)169x y x -=≤-B 221(3)916x y x -=≤-C 221(4)916x y x -=≥ D 221(3)916x y x -=≥2. 双曲线2213649x y-=的渐近方程是 ( ) (A) 03649xy ±= (B) 03649y x ±= （C ）067x y ±= (D) 076x y±=3. 直线3y x =+与曲线22144x y -+= 的交点的个数是 （ ）(A) 0个 (B) 1个 （C ） 2个 (D)3个4. 双曲线 221x ay -= 的焦点是 （ ）(A) (1,0),(1,0)a a +-+ (B) (1,0),(1,0)a a ---（C ）11(,0),(,0)a a a a ++- (D) 11(,0),(,0)a aa a ---5. 若双曲线221x y -=右支上一点(,)p a b 到直线的y x =距离是2，则a b +的值为 （ ） (A) 12- (B) 12 （C ）1122-或 (D) 2-或26. 以(2,0)F 为一个焦点， 渐近线是3y x =±双曲线方程是 （ ）(A) 2213y x -= (B) 2213y y -= （C ）22123x y -= (D) 22132y y -=7. 方程 22132x y m m -=-+ 表示双曲线， 则m 的取值范围是 （ ）(A) 2m <- (B) 3m > （C ）23m m <->或 (D) 23m -<<8． 和椭圆221259x y +=有共同焦点，且离心率为2的双曲线方程是 （ ） (A) 221414x y -= (B) 221412x y -= （C ）221614x y -= (D) 221612x y -= 9. 设双曲线22221(0)x y a b a b-=<< 的半焦距为c 直线l 过(a,0),(0,b) 两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为 （ ）。

高中新课标选修（2-1）双曲线部分测试题一、选择题1．动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为（ ）Ａ．221916x y -=Ｂ．221169x y -+=Ｃ．221(3)169x y y -+=≥Ｄ．221(3)169x y y -+=-≤答案：Ｄ2．如果双曲线的渐近线方程为34y x =±，则离心率为（ ）Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或54Ｄ．3答案：Ｃ3．过原点的直线l 与双曲线221y x -=有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） Ａ．(11)-， Ｂ．(1)(1)--+，，∞∞Ｃ．(10)(01)-，，Ｄ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭，答案：Ｂ4．已知双曲线2214x y k+=的离心率为2e <，则k 的范围为（）Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<< Ｄ．120k -<< 答案：Ｄ5．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为（ ） Ａ．152x y =± Ｂ．152y x =± Ｃ．34x y =± Ｄ．34y x =±答案：Ｃ6．已知双曲线的中心在原点，两个焦点12F F ，分别为(50)，和(50)-，，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为1，则双曲线的方程为（ ）Ａ．22123x y -=Ｂ．22132x y -=Ｃ．2214x y -=Ｄ．2214y x -=答案：Ｃ二、填空题7．若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线的倾斜角为π02αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，其离心率为 ．答案：sec α8．双曲线22221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ． 答案：29．设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为 ． 答案：710．若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(215)，，则双曲线的标准方程为 ．答案：2213y x -+=11．若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F ，，点P 是两条曲线的一个交点，则12PF PF ·的值为 ．答案：m a -12．P 是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，左支上的一点，12F F ，为其左、右焦点，且焦距为2c ，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标为 ．答案：a -三、解答题13．已知双曲线2221()4x y b b*-=∈N 的左、右焦点分别为12F F ，，P 为双曲线上一点，若21212PF PF F F =·且24PF <，求双曲线的方程．答案：解：设所求抛物线的标准方程为22(0)x py p =>，11()0022p p A x y F M ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，则221122112111729422p x y p x y p x py⎧⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫+-=⇒=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎪⎪⎩，，或2p =． 故所求方程为28x y =或24x y =．14．如图，某农场在M 处有一堆肥料沿道路MA 或MB 送到大田ABCD 中去，已知6MA =，，8MB =，3BC =，且AD BC≤，90AMB ∠=°，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧沿MB 送肥料较近？若能，请建立适当坐标系求出这条界线方程．解：设MO kMF=，动点M 的坐标为()02p x y F ⎛⎫⎪⎝⎭，，，， 则22232242p p x p x pk p x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭．令12t p x =+，则20t p ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，22324433k p t p ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，显然当23t p =，即x p =时，k 有最大值233，M 为原点时，k 取得最小值0． 故MO MF的取值范围为2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．方程x 22＋m －y 22－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围为( )A ．－2＜m ＜2B ．m ＞0C ．m ≥0D ．|m |≥2【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0.∴－2＜m ＜2.【答案】 A2．设动点P 到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3)D.x 29－y 216＝1(x ≥3)【解析】 由题意知，轨迹应为以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)． 【答案】 D3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1C.x 24－y 2＝1D ．x 2－y24＝1【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝（25）2，⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C4．已知椭圆方程x 24＋y 23＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3【解析】 椭圆的焦点为(1，0)，顶点为(2，0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝21＝2.【答案】 C5．若k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在x 轴上的双曲线【解析】 原方程化为标准方程为x 2k 2－11－k ＋yk 2－1＝1，∵k ＞1，∴1－k ＜0，k 2－1＞0， ∴此曲线表示焦点在y 轴上的双曲线． 【答案】 C 二、填空题6．设点P 是双曲线x 29－y 216＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________．【解析】 由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝a 2＋b 2＝5.(1)若点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6＋|PF 1|＝16； (2)若点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 2|＝|PF 1|－6＝10－6＝4. 综上，|PF 2|＝16或4. 【答案】 16或47．已知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是下列数据中的________．(填序号)①2；②－1；③4；④－3.【解析】 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则c ＝3，∵2a <2c ＝6，∴|2m －1|<6，且|2m －1|≠0，∴－52<m <72，且m ≠12，∴①②满足条件．【答案】 ①②8．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于________. 【导学号：18490058】【解析】 由方程x 216－y 29＝1知a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，c ＝16＋9＝5.在△ABP 中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sin A －sin B |sin P ＝||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝2×42×5＝45.【答案】 45 三、解答题9．求与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2，1)的双曲线的方程．【解】 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上． 依题意，设所求双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 又两曲线有相同的焦点，∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6. ①又点P (2，1)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上， ∴4a 2－1b 2＝1.②由①②联立得a 2＝b 2＝3， 故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1.10．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．【解】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．[能力提升]1．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A ．1B.2C ．2D ．3【解析】 由题意知椭圆、双曲线的焦点在x 轴上，且 a >0.∵4－a 2＝a ＋2，∴a 2＋a －2＝0， ∴a ＝1或a ＝－2(舍去)．故选A. 【答案】 A2．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 不妨设P 是双曲线右支上一点， 在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝1，b ＝1，c ＝2， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝22，∵|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2， ∴8＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·12，∴8＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， ∴8＝4＋|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝4.故选B. 【答案】 B3．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________．【解析】 设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|，又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.【答案】 －14．已知双曲线x 216－y 24＝1的两焦点为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求点M 到x 轴的距离； 【导学号：18490059】(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．【解】 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0， 则MF 1⊥MF 2， 设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8， ① 又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ，∴h ＝255. (2)设所求双曲线C 的方程为x2 16－λ－y24＋λ＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C过点(32，2)，所以1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线C的方程为x212－y28＝1.。

绝密★启用前2.4.1抛物线及其标准方程一、选择题1．【题文】抛物线()20y ax a =>的焦点坐标为（ ） A ．(),0a B ．1,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,8a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2．【题文】抛物线214y x =的准线方程是（） A ．1y = B ．1y =- C ．1x =- D ．1x = 3．【题文】抛物线24y x =的焦点坐标为（）A.()0,1B.()1,0C.10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭4．【题文】顶点在原点，经过圆22:2220C x y x y +-+=的圆心，且准线与x 轴垂直的抛物线方程为（）A.22y x =-B.22y x =C.22y x =D.22y x =-5．【题文】已知点F 是抛物线24y x =的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2，则PF =（）A ．2B ．3C ．4D ．56．【题文】抛物线()220y px p =>上一点()0,8M x 到焦点的距离是10，则0x =（） A ．2或8 B ．1或9 C ．1或8 D ．2或9 7．【题文】以x 轴为对称轴，以原点为顶点且过圆222690x y x y +-++=的圆心的抛物线的方程是（）A ．23y x =或23y x =-B ．23y x =C ．29y x =-或23y x =D ．29y x =8．【题文】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹是（）A. 直线B.圆C.双曲线D.抛物线 二、填空题9．【题文】抛物线2116y x =的焦点与双曲线2213x y m -=-的上焦点重合，则m =________.10．【题文】抛物线()20y nx n =>的准线方程为________．11．【题文】抛物线2x my =的准线与直线2y =的距离为3，则此抛物线的方程为__________. 三、解答题12．【题文】已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线22142x y -=上，求抛物线的方程.13.【题文】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)焦点在直线3150x y ++=上；(2)开口向下的抛物线上一点(),3Q m -到焦点的距离等于5.14．【题文】某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，问此车能否通过此隧道？说明理由．2.4.1抛物线及其标准方程 参考答案及解析1. 【答案】C【解析】()20y ax a =>变形为2111,2,24p x y p a a a =∴=∴=，焦点为10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.考点：由抛物线的方程求焦点坐标. 【题型】选择题 【难度】一般2. 【答案】B【解析】将抛物线方程214y x =变成标准方程为24x y =，所以其准线方程是1y =-， 故选B.考点：由抛物线方程求准线方程. 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】C【解析】抛物线方程变形为2111,2,44216p x y p =∴=∴=，焦点坐标为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭. 考点：根据抛物线方程求焦点坐标. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】B【解析】圆C 的圆心坐标为()1,2-，依题意抛物线方程可设为2y mx =，把坐标()1,2-代入得222m y x =⇒=.考点：求抛物线方程. 【题型】选择题 【难度】一般 5. 【答案】B【解析】由抛物线方程可知()1,0F ，由点P 的横坐标是2得22y =±，即点()2,22P ±，3PF ∴=，故选B.考点：抛物线上的点及抛物线的定义. 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】A【解析】抛物线的焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()22080102p x ⎛⎫∴-+-= ⎪⎝⎭，又0642px =，所以02x =或8，故选A.考点：已知方程求抛物线上点的坐标. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】D【解析】圆的圆心坐标为()1,3-，则可设抛物线方程为22y px =，将圆心坐标代入抛物线方程解得92p =，所以抛物线的方程为29y x =. 考点：求抛物线的方程. 【题型】选择题 【难度】一般 8. 【答案】D【解析】如图所示，连接1PC ，过P 作PH BC ⊥于H ，∵11C D ⊥平面11BB C C ，1PC ⊂面11BB C C ，∴111PC C D ⊥，∴1PC PH =，故点P 的轨迹是以1C 为焦点，BC所在直线为准线的抛物线，故选D.考点：抛物线的定义. 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】13 【解析】抛物线2116y x =的焦点为()0,4，所以23413.m m +=⇒= 考点：抛物线的焦点. 【题型】填空题 【难度】较易 10. 【答案】()104y n n=-> 【解析】由()20y nx n =>得21x y n =，所以112,,2p p n n ==124p n=，准线方程为()104y n n =->，所以应填()104y n n=->． 考点：根据抛物线方程求准线方程． 【题型】填空题 【难度】一般11. 【答案】220x y =-或24x y = 【解析】准线方程为4m y =-，∴234m--=，∴20m =-或4m =，∴220x y =-或24x y =．考点：抛物线的定义与标准方程. 【题型】填空题 【难度】一般12. 【答案】28y x =或28y x =-【解析】由题意知抛物线的焦点为双曲线22142x y -=的顶点，即为()2,0-或()2,0，因为抛物线关于x 轴对称，所以可设抛物线的标准方程为()220y px p =±>，则2,42pp ==，所以抛物线的标准方程为28y x =或28y x =-. 考点：求抛物线的标准方程． 【题型】解答题 【难度】较易13. 【答案】(1)260y x =-或220x y =-(2)28x y =-【解析】(1)∵直线3150x y ++=与x 轴的交点为()15,0-，与y 轴的交点为()0,5-， ∴抛物线方程为260y x =-或220x y =-.(2)∵(),3Q m -到焦点的距离等于5，∴Q 到准线的距离也等于5. ∴准线方程为2y =，即2p＝2，∴4p =，抛物线标准方程为28x y =-. 考点：根据条件求抛物线的标准方程． 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】此车不能通过隧道【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则()3,3B --，()3,3A -．设抛物线方程为()220x py p =->，将B 点的坐标代入得32p =，∴抛物线方程为()2330x y y =--≤≤． ∵车与箱共高4.5 m ，∴集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m .则可设抛物线上点D 的坐标为()0,0.5x -，则()2030.5x =-⨯-，解得03622x =±=±.∴'0263DD x ==<，故此时车不能通过隧道． 考点：抛物线方程的应用. 【题型】解答题 【难度】一般。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高中新课标选修（2-1）双曲线部分测试题一、选择题1．动点P与点1(05)F，与点2(05)F-，满足126PF PF-=，则点P的轨迹方程为（）Ａ．221 916x y-=Ｂ．221 169x y-+=Ｃ．221(3) 169x yy-+=≥Ｄ．221(3) 169x yy-+=-≤答案：Ｄ2．如果双曲线的渐近线方程为34y x=±，则离心率为（）Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或54Ｄ．3答案：Ｃ3．过原点的直线l与双曲线221y x-=有两个交点，则直线l的斜率的取值范围为（）Ａ．(11)-，Ｂ．(1)(1)--+，，∞∞Ｃ．(10)(01)-，，Ｄ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭，答案：Ｂ4．已知双曲线2214x y k+=的离心率为2e <，则k 的范围为（ ） Ａ．121k -<< Ｂ．0k <Ｃ．50k -<< Ｄ．120k -<<答案：Ｄ5．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为（ ） Ａ．152x y =±Ｂ．152y x =± Ｃ．34x y =±Ｄ．34y x =±答案：Ｃ6．已知双曲线的中心在原点，两个焦点12F F ，分别为(50)，和(50)-，，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为1，则双曲线的方程为（ ） Ａ．22123x y -= Ｂ．22132x y -= Ｃ．2214x y -= Ｄ．2214y x -=答案：Ｃ二、填空题7．若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线的倾斜角为π02αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，其离心率为 ．答案：sec α8．双曲线22221x y a b-=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ． 答案：29．设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为 ．答案：710．若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(215)，，则双曲线的标准方程为 ．答案：2213y x -+=11．若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F ，，点P 是两条曲线的一个交点，则12PF PF ·的值为 ．答案：m a -12．P 是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，左支上的一点，12F F ，为其左、右焦点，且焦距为2c ，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标为 ．答案：a -三、解答题13．已知双曲线2221()4x y b b*-=∈N 的左、右焦点分别为12F F ，，P 为双曲线上一点，若21212PF PF F F =·且24PF <，求双曲线的方程．答案：解：设所求抛物线的标准方程为22(0)x py p =>，11()0022p p A x y F M ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，则221122112111729422p x y p x y p x py ⎧⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫+-=⇒=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎪⎪⎩，，或2p =． 故所求方程为28x y =或24x y =．14．如图，某农场在M 处有一堆肥料沿道路MA 或MB 送到大田ABCD 中去，已知6MA =，， 8MB =，3BC =，且AD BC ≤，90AMB ∠=°，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧沿MB 送肥料较近？若能，请建立适当坐标系求出这条界线方程．解：设MO k MF =，动点M 的坐标为()02p x y F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，， 则22232242p p x p x p k p x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 令12t p x =+，则20t p ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，22324433k p t p ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 显然当23t p =，即x p =时，k 有最大值233，M 为原点时，k 取得最小值0． 故MO MF 的取值范围为2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．。

2．3．1双曲线及其标准方程双基限时练(十二)1．双曲线x 29－y 2m ＝1的焦距是10，则实数m 的值为( ) A ．－16 B ．4 C ．16D ．81解析 2c ＝10，∴c ＝5，∴9＋m ＝25，∴m ＝16. 答案 C2．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．3B ．5C ．6D ．9解析 由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝6，观察选项知D 正确． 答案 D3．若k ∈R ，则“k ＞3”是“方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 当k >3时，k －3>0，k ＋3>0，∴方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线．反之，若该方程表示双曲线，则(k －3)(k ＋3)>0，∴k >3，或k <－3.故k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案 A4．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )A ．16B ．18C ．21D ．26解析 如图所示，由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝8，(1)|BF 2|－|BF 1|＝8，(2) 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝5，(3) ∴由(1)，(2)，(3)得|AF 2|＋|BF 2|＝21. 故△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝26. 答案 D5．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( ) A ．3 2 B ．4 2 C ．3 3D ．4 3解析 由双曲线x 210－y 22＝1，知c 2＝12，∴c ＝23，∴2c ＝4 3. 答案 D6．已知双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线5x －2y ＋20＝0上，两焦点关于原点对称，c a ＝53，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 264＝1 B.x 264－y 236＝1 C.x 236－y 264＝－1D.x 264－y 236＝－1解析 令x ＝0，y ＝10，∴双曲线的焦点坐标F 1(0，－10)，F 2(0,10)，∴c ＝10，又c a ＝53，∴a ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝100－36＝64，故双曲线方程为y 236－x 264＝1，故选D.答案 D7．双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，则点P 到x 轴的距离为________．解析 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m >n )．由x 29－y 216＝1， 得a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴m －n ＝6. 又PF 1⊥PF 2，∴m 2＋n 2＝4c 2.∴m 2＋n 2－(m －n )2＝2mn ＝4×25－36＝64. ∴mn ＝32.由△F 1PF 2的面积相等得2c |y |＝mn . ∴|y |＝165.答案 1658．双曲线x 2m 2－4－y 2m ＋1＝1的焦点在y 轴上，则m 的取值范围是__________．解析依题意得⎩⎨⎧m ＋1<0，m 2－4<0⇒⎩⎨⎧m <－1，－2<m <2⇒－2<m <－1. 答案 (－2，－1)9．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________________．解析 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 由PF 1→·PF 2→＝0，知PF 1⊥PF 2， 则|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2. 又c ＝5，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20. 又由双曲线的定义知 |PF 1|－|PF 2|＝±2a .平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4a 2. ∴4a 2＝20－2×2＝16， a 2＝4，从而b 2＝c 2－a 2＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1. 答案 x 24－y 2＝110．已知定点A (3,0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．解 设P 的坐标为(x ，y )． ∵圆P 与圆C 外切且过点A ， ∴|PC |－|PA |＝4. ∵|AC |＝(3＋3)2＋0＝6＞4，∴点P 的轨迹是以C ，A 为焦点，实轴长为2a ＝4的双曲线的右支，∵a ＝2，c ＝3， ∴b 2＝c 2－a 2＝5.∴动圆圆心P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．11．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C .(1)求线段AB 的长度． (2)求顶点C 的轨迹方程．解 (1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1，∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4，依题意可得A (－2,0)，B (2,0)，故|AB |＝4.(2)∵sin B －sin A ＝12sin C ，由正弦定理，得 |CA |－|CB |＝12|AB |＝2<|AB |＝4，即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值，∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1，∴b 2＝c 2－a 2＝3.故顶点C 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x >1)．12．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5.故可设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5.解得a 2＝3，b 2＝2.故双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设M 在双曲线的右支上， 则有|MF 1|－|MF 2|＝2 3. 又|MF 1|＋|MF 2|＝63，解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝2 3. 又|F 1F 2|＝2c ＝25，因此在△MF 1F 2中，|MF 1|边最长， 由余弦定理可得cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2||F 1F 2|＝(23)2＋(25)2－(43)22×23×25<0.所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2是钝角三角形．。

本册综合测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知p ：2x －3<1，q ：x 2－3x <0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 p ：x <2，q ：0<x <3.∴pD ⇒/q ，qD ⇒/p .∴p 是q 的既不充分也不必要条件．答案 D2．抛物线y ＝14x 2的焦点坐标为( )A ．(116，0)B ．(－116，0)C ．(0,1)D ．(0，－1)解析 由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，∴焦点坐标为(0,1)．答案 C3．已知命题p ：3是奇数，q ：3不是质数．由它们构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”形式的命题中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 命题p 为真，q 为假，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”、“綈p ”为假，故应选B.答案 B4．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－3,0)C ．(－12,0)D ．(－60，－12)解析 由x 24＋y 2k ＝1表示双曲线知，k <0，且a 2＝4，b 2＝－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k 4，∵1<e <2，∴1<4－k 4<4.∴4<4－k <16，∴－12<k <0.答案 C5．下列结论正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是平行四边形”是特称命题；②命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”是全称命题；③若p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0.A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①是全称命题，②是全称命题，③綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1>0.∴①不正确，②正确，③不正确．答案 B6．设α，β，γ是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ①正确，②不正确，③正确，④正确．答案 C7．已知a ＝(m ＋1,0,2m )，b ＝(6,2n －1,2)，若a ∥b ，则m 与n 的值分别为( )A.15，12 B ．5,2 C ．－15，－12 D ．－5，－2解析 ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＝6λ，0＝λ(2n －1)，2m ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝15，n ＝12，λ＝15.∴m ＝15，n ＝12.答案 A8．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．4 2解析 设双曲线的焦距为2c ，由双曲线方程知c 2＝3＋p 216，则其左焦点为(－3＋p 216，0)．由抛物线方程y 2＝2px 知其准线方程为x ＝－p 2，由双曲线的左焦点在抛物线的准线上知，3＋p 216＝p 24，且p >0，解得p ＝4.答案 C 9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.32C.53 D ．2解析 由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝8a 3，|PF 2|＝2a 3.又|PF 2|≥c －a ，即2a 3≥c －a .∴c a ≤53.即e ≤53.答案 C10．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点EF 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析 建立空间直角坐标如图所示．设AB ＝2，则EF →＝(0，－1,1)．BC 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈EF →·BC 1→〉＝EF →·BC 1→|EF →||BC 1→|＝28·2＝12， 故EF 与BC 1所成的角为60°.答案 B11．给出下列曲线，其中与直线y ＝－2x －3有交点的所有曲线是( )①4x ＋2y －1＝0；②x 2＋y 2＝3；③x 22＋y 2＝1；④x 22－y 2＝1. A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④解析 直线y ＝－2x －3与4x ＋2y －1＝0平行，所以与①不相交．②中圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋3＝0的距离d ＝35< 3.所以与②相交．把y ＝－2x －3代入x 22＋y 2＝1，得x 22＋4x 2＋12x ＋9＝1，即9x 2＋24x ＋16＝0，Δ＝242－4×9×16＝0，所以与③有交点．观察选项知，应选D. 答案 D12．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2两点，设线段P 1P 2的中点为P .若直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1·k 2等于( )A ．－12 B.12 C ．－2 D ．2解析 设直线l 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，代入x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 211＋2k 21， 而y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2＋4)＝4k 11＋2k 21. ∴k 2＝y 1＋y 22x 1＋x 22＝－12k 1，∴k 1·k 2＝－12. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________．解析 命题“存在一个三角形没有外接圆”是特称命题，它的否定是全称命题“任意一个三角形都有外接圆．”答案任意一个三角形都有外接圆14．已知命题p：1≤x≤2，q：a≤x≤a＋2，且綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．解析“p是q的必要不充分条件”的逆否命题是“q是p的必要不充分条件”．∴{x|1≤x≤2}{x|a≤x≤a＋2}，∴0≤a≤1.答案0≤a≤115．已知直线l1的一个方向向量为(－7,4,3)，直线l2的一个方向向量为(x，y,6)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.答案－14816．如图在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面ABCD所成角的余弦值为________．解析由题意知，AC1＝22＋22＋1＝3，AC＝22＋22＝22，在Rt△AC1C中，cos∠C1AC＝ACAC1＝22 3.答案22 3三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．解 由|x －1|>m －1的解集为R ，知m －1<0，∴m <1.即p ：m <1.又f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，∴5－2m >1，即m <2，即q ：m <2.若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ m <1，m ≥2，m 不存在． 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m <2，∴1≤m <2. 综上知，实数m 的取值范围是[1,2)．18．(12分)求证：a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．证明 充分性：当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2，直线x ＋by＋2＝0的斜率k 2＝－1b ，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1.故两直线互相垂直．必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1，所以a ＋2b ＝0，若两条直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0，所以a ＋2b ＝0.综上可知，a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．19．(12分)抛物线y ＝－x 22与过点M (0，－1)的直线l 相交于A ，B 两点，O 为原点，若OA 和OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程．解 显然直线l 垂直于x 轴不合题意，故设所求的直线方程为y ＝kx －1，代入抛物线方程化简，得x 2＋2kx －2＝0.由根的判别式Δ＝4k 2＋8＝4(k 2＋2)>0，于是有k ∈R .设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则y 1x 1＋y 2x 2＝1.① 因为y 1＝kx 1－1，y 2＝kx 2－1，代入① ，得2k －(1x 1＋1x 2)＝1.② 又因为x 1＋x 2＝－2k ，x 1x 2＝－2，代入②得k ＝1.所以直线l 的方程为y ＝x －1.20．(12分)已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP ||OM |＝e (e 为椭圆C 的离心率)，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，P (x ，y 1)，其中x ∈[－4,4]．由已知得x 2＋y 21x 2＋y2＝e 2. 而e ＝34，故16(x 2＋y 21)＝9(x 2＋y 2)．①由点P 在椭圆C 上得y 21＝112－7x 216，代入①式并化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)，它是两条平行于x轴的线段．21．(12分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B 1的中点，点E 在A 1C 1上，且DE ⊥AE .(1)证明：平面ADE ⊥平面ACC 1A 1；(2)求直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值．解 (1)证明：由正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的性质知AA 1⊥平面A 1B 1C 1.又DE ⊂平面A 1B 1C 1，所以DE ⊥AA 1.而DE ⊥AE ，AA 1∩AE ＝A ，所以DE ⊥平面ACC 1A 1.又DE ⊂平面ADE ，故平面ADE ⊥平面ACC 1A 1.(2)如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)，D (32，－12，2)．易知AB →＝(3，1,0)，AC 1→＝(0,2，2)，AD →＝(32，12，2)． 设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝3x ＋y ＝0，n ·AC 1→＝2y ＋2z ＝0. 解得x ＝－33y ，z ＝－2y .故可取n ＝(1，－3，6)．所以cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n ||AD →|＝2310×3＝105. 由此可知，直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值为105.22．(12分)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；(2)求二面角A1—BD—C1的余弦值．解(1)证明：在图中连接B，E，则四边形DABE为正方形，∴BE＝AD＝A1D1，且BE∥AD∥A1D1.∴四边形A1D1EB为平行四边形．∴D1E∥A1B.又D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A 1BD，∴D1E∥平面A1BD.(2)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA＝1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,2,2)，A1(1,0,2)．∴DA1→＝(1,0,2)，DB→＝(1,1,0)．设n＝(x，y，z)为平面A1BD的一个法向量，由n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2z ＝0，x ＋y ＝0， 取z ＝1，则n ＝(－2,2,1)．又DC 1＝(0,2,2)，DB →＝(1,1,0)， 设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面C 1BD 的一个法向量，由m ⊥DC 1→，m ⊥DB →，得⎩⎪⎨⎪⎧2y 1＋2z 1＝0，x 1＋y 1＝0，取z 1＝1，则m ＝(1，－1,1)． 设m 与n 的夹角为α，二面角A 1－BD －C 1为θ，显然θ为锐角，∴cos α＝m ·n |m ||n |＝－39×3＝－33. ∴cos θ＝33，即所求二面角A 1－BD －C 1的余弦值为33.。