中考数学试题分类8 三角形(部分题含答案)

中考数学专题复习三角形问题（8字型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、单选题1．如图，AB 和CD 相交于点O ，∠A ＝∠C ，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）A ．∠B ＝∠D B ．∠1＝∠A ＋∠DC ．∠2＞∠D D ．∠C ＝∠D2．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，点C 落在边AB 上的点H 处，点D 落在点G 处，若111GEF ∠=︒，则AHG ∠的度数为（ ）．A ．42°B ．69°C ．44°D ．32°3．如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（ ）A ．240°B ．280°C ．360°D ．540°4．如图是由线段AB ，CD ，DF ，BF ，CA 组成的平面图形，D 28∠=，则A B C F ∠∠∠∠+++的度数为( )评卷人得分二、填空题 5．下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．6．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠I ＝__．7．如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠I +∠K 的度数为__．评卷人 得分三、解答题 8．如图，OAB 和OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝α，AC 、BD 交于M（1）如图1，当α＝90°时，∠AMD 的度数为 °； （2）如图2，当α＝60°时，求∠AMD 的度数；（3）如图3，当OCD 绕O 点任意旋转时，∠AMD 与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用α表示∠AMD ，并用图3进行证明；若不确定，说明理由．9．（1）已知：如图∠的图形我们把它称为“8字形”，试说明：A B C D ∠+∠=∠+∠．（2）如图∠，AP ，CP 分别平分BAD ∠，BCD ∠，若36ABC ∠=︒，16ADC ∠=︒，求P ∠的度数．（3）如图（3），直线AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B 、D ∠的数量关系是________；（4）如图（4），直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B 、D ∠的数量关系是________．10．在ABC 中，A ABC CB =∠∠，点D 在直线BC 上（不与,B C 重合），点E 在直线AC 上（不与,A C 重合），且ADE AED ∠=∠．（1）如图∠，若40,75ABC AED ∠=︒∠=︒，则CDE ∠=_____，此时，BADCDE∠=∠_____；（2）若点D 在BC 边上（点,B C 除外）运动（图∠），试探究BAD ∠与CDE ∠数量关系并说明理由：（3）若点D 在线段BC 的延长线上，点E 在线段AC 的延长线上（如图∠），其余条件不变，请直接写出BAD ∠与CDE ∠的数量关系：___；（4）若点D 在线段CB 的延长线上（如图∠），点E 在直线AC 上，22BAD ∠=︒，其余条件不变，则CDE ∠=_____．（友情提醒：可利用图∠画图分析）11．如图，BP 平分ABC ∠，交CD 于点F ，DP 平分ADC ∠交AB 于点E ，AB 与CD 相交于点G ，42A ∠=︒．（1）若60ADC∠=︒，求AEP∠的度数；（2）若38C∠=︒，求P∠的度数．12．阅读材料：如图1，AB、CD交于点O，我们把∠AOD和∠BOC叫做对顶三角形．结论：若∠AOD和∠BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．结论应用举例：如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在∠ACD中，∠∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∠∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五个内角之和为180°．解决问题：（1）如图∠，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如图∠，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如图∠，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如图∠，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；请你从图∠或图∠中任选一个，写出你的计算过程．13．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．14．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．15．（1）如图∠，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（2）如图∠，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；（3）如图∠，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．16．如图，求A B C D E∠+∠+∠+∠+∠的度数.17．如图，30F∠=︒，求A B C D E∠+∠+∠+∠+∠的度数. 18．如图所示，求A B C D E F∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数.19．如图，在直角ABC∆中，BD是ABC∠的平分线，3BAO OAD∠=∠,AO的延长线与BDC∠的平分线交于点F，求F∠的度数.20．如图，求A B C D E F∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数.21．如图，∠ABC∠∠ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数.参考答案：1．D 【解析】 【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可． 【详解】∠∠A ＋∠AOD ＋∠D ＝180°，∠C ＋∠COB ＋∠B ＝180°，∠A ＝∠C ，∠AOD ＝∠BOC ， ∠∠B ＝∠D ，∠∠1＝∠2＝∠A ＋∠D ， ∠∠2＞∠D ，故选项A ，B ，C 正确， 故选D ． 【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键． 2．A 【解析】 【分析】根据翻折的性质，及矩形的性质，求出AEG ∠，再利用“8”字模型求解即可． 【详解】由图形翻折的性质可知，111GEF DEF ∠=∠=︒，180111AEF ∴∠=︒-︒=69︒，1116942AEG GEF AEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 90A G ∠=∠=︒，利用“8”字模型， 42AHG AEG ∴∠=∠=︒，故选：A ． 【点睛】本题考查了矩形翻折问题，能够根据图形翻折的性质推理出AEG ∠是解决问题的关键，熟练运用“8”字模型是求最终结果的关键． 3．A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B 与∠C 的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可． 【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E ，∠2=∠F+∠D ， ∠∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°， ∠∠2+∠3=120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°， ∠∠B+∠C=120°，∠∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°． 故选A ．【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起． 4．C 【解析】 【详解】∠如图可知BED F B ∠=∠+∠，CGE C A ∠=∠+∠， 又∠BED D EGD ∠=∠+∠， ∠F B D EGD ∠+∠=∠+∠， 又∠180CGE EGD ∠+∠=︒， ∠180C A F B D ∠+∠+∠+∠-∠=︒， 又∠28D ∠=︒，∠18028208A B C F ∠+∠+∠+∠=︒+︒=︒， 故选C ．点睛：本题主要考查了三角形内角和定理即三角形外角与内角的关系，解答本题的关键是求出∠C +∠A +∠F +∠B ﹣∠D =180°，此题难度不大．5．减少10【解析】【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∠∠A+∠B=50°+60°=110°，∠∠ACB=180°-110°=70°，∠∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∠∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∠∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度；．故答案为：∠减少；∠10【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．6．900°【解析】【分析】根据多边形的内角和，可得答案．【详解】解：连EF，GI，如图，∠6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，∠∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，故答案为：900°．【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．7．1080°【解析】【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K ＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数．【详解】解：连KF，GI，如图，∠7边形ABCDEFK 的内角和＝（7－2）×180°＝900°，∠∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠K ＝900°－（∠1＋∠2），即∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠K ＋（∠1＋∠2）＝900°，∠∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H ＝180°，∠∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠K ＋（∠3＋∠4）＝900°，∠∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠K ＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H ＝900°＋180°， ∠∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠I ＋∠K ＝1080°．故∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠I ＋∠K 的度数为1080°．故答案为：1080°．【点睛】本题考查了n 边形的内角和定理：n 边形的内角和为（n －2）×180°（n ≥3的整数）． 8．（1）90；（2）120︒；（3）180α︒-【解析】【分析】（1）如图1，设OA 交BD 于K ，只要证明△≌△BOD AOC ，推出OBD OAC ∠=∠，由BKO AKM ∠=∠，可得90AMK BOK ∠=∠=︒；（2）如图2，设OA 交BD 于K ，只要证明△≌△BOD AOC ，推出OBD OAC ∠=∠，由BKO AKM ∠=∠，可得60AMK BOK ∠=∠=︒；（3）如图3，设OA 交BD 于K ，只要证明△≌△BOD AOC ，推出OBD OAC ∠=∠，由BKM AKO ∠=∠，可得BMK AOK α∠=∠=，可得180AMD α∠=︒-；【详解】解：（1）如图1中，设OA 交BD 于K∠OA OB OC OD==，，90AOB COD∠=∠=︒∠BOD AOC∠=∠∠△≌△()BOD AOC SAS∠OBD OAC∠=∠∠BKO AKM∠=∠∠90AMK BOK∠=∠=︒∠90AMD∠=︒故答案为90︒（2）如图2，设OA交BD于K，∠OA OB OC OD==，，60AOB COD∠=∠=︒∠BOD AOC∠=∠∠△≌△()BOD AOC SAS∠OBD OAC∠=∠∠BKO AKM∠=∠∠60AMK BOK∠=∠=︒∠180120AMD AMK∠=︒-∠=︒故答案为120︒（3）如图3，设OA交BD于K，∠OA OB OC OD ==，，AOB COD α∠=∠=∠BOD AOC ∠=∠∠△≌△()BOD AOC SAS∠OBD OAC ∠=∠∠AKO BKM ∠=∠∠BMK AOK α∠=∠=∠180180AMD BMK α∠=︒-∠=︒-故答案为180α︒-【点睛】本题考查了几何变换综合题，全等三角形的判定，三角形内角和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用“8字型”证明角相等．9．（1）见解析；（2）26°；（3）()1902P B D ∠=︒+∠+∠；（4）()11802P B D ∠=︒-∠+∠ 【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°和对顶角的性质即可得证； （2）设BAP PAD x ∠=∠=，BCP PCD y ∠=∠=，x ABC y P x P y ADC +∠=+∠⎧⎨+∠=+∠⎩解方程即可得到答案； （3）根据直线AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，得到1=2PAB PAD BAD ∠=∠∠，1=2PCB PCE PCD ∠=∠∠从而可以得到180°()2PAB PCB D B -∠+∠+∠=∠，再根据∠P +∠P AD =∠PCD +∠D ，∠BAD +∠B =∠BCD +∠D 得到=P B PAD PCB PAB PCB ∠-+=∠+∠∠∠∠即可求解；（4）连接PB ，PD 根据APB PBA PAB +∠+∠=∠180°，PCB PBC BPC +∠+∠=∠180°得到APC ABC PCB PAB ∠+∠+∠+=∠360°，同理得到：APC ADC PCD PAD ∠+∠+∠+=∠360°，再根据=PCE PCD ∠+∠180°，=PAB PAF +∠∠180°，FAP PAO ∠=∠，PCE PCB ∠=∠，即可求解.【详解】解：（1）A B AOB ∠+∠+∠=180°，C D COD ∠+∠+∠=180°，A B AOB C D COD ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠．AOB COD ∠=∠，A B C D ∴∠+∠=∠+∠；（2）AP ，CP 分别平分BAD ∠，BCD ∠，设BAP PAD x ∠=∠=，BCP PCD y ∠=∠=，则有x ABC y P x P y ADC +∠=+∠⎧⎨+∠=+∠⎩， ABC P P ADC ∴∠-∠=∠-∠，()1122P ABC ADC ∴∠=∠+∠=（36°+16°）=26°（3）直线AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，1=2PAB PAD BAD ∴∠=∠∠，1=2PCB PCE BCE ∠=∠∠， ∠2PAB B ∠+∠=180°-2PCB D ∠+∠，∠180°()2PAB PCB D B -∠+∠+∠=∠∠∠P +∠P AD =∠PCD +∠D ，∠BAD +∠B =∠BCD +∠D∠=P PAD BAD B PCD BCD ∠+---∠∠∠∠∠,P PAB B PCB ∴∠-∠-∠=∠∠P B PAB PCB ∠-=∠+∠∠∠180°()2P B D B -∠-∠+∠=∠，即P ∠=90°()12BD +∠+∠．（4）连接PB ，PD直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，FAP PAO ∴∠=∠，PCE PCB ∠=∠，∠APB PBA PAB +∠+∠=∠180°，PCB PBC BPC +∠+∠=∠180°∠APC ABC PCB PAB ∠+∠+∠+=∠360°同理得到：APC ADC PCD PAD ∠+∠+∠+=∠360°∠2APC ABC ADC PCB PAB PCD PAD ∠+∠+∠+∠++∠+=∠∠720°∠2APC ABC ADC PCE PAB PCD PAF ∠+∠+∠+∠++∠+=∠∠720°∠=PCE PCD ∠+∠180°，=PAB PAF +∠∠180°∠2APC ABC ADC ∠+∠+∠=360°，APC ∴∠=180°-()12ABC ADC ∠+∠【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.10．（1）35°，2；（2）∠BAD =2∠CDE ，理由见解析；（3）∠BAD =2∠CDE ；（4）79°或11°【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理以及三角形的外角的性质解决问题即可．（2）结论：∠BAD=2∠CDE．设∠B=∠C=x，∠AED=∠ADE=y，则∠BAC=180°-2x，∠CDE=y-x，∠DAE=180°-2y，推出∠BAD=∠BAC-∠DAE=2y-2x=2（y-x），由此可得结论．（3）如图∠中，结论：∠BAD=2∠CDE．解决方法类似（2）．（4）分两种情形：∠当点E在CA的延长线上，设∠ABC=∠C=x，∠AED=∠ADE=y，则∠BAC=180°-2x，∠CDE=180°-（y+x），∠DAE=180°-2y，由题意，∠BAD=180°-∠BAC-∠DAE=2x+2y-180°=22°，推出x+y=101°，可得结论．∠如图∠中，当点E在AC的延长线上时，同法可求．【详解】解：（1）如图∠中，∠∠ABC=∠ACB=40°，∠∠BAC=180°-40°-40°=100°，∠∠AED=∠CDE+∠C，∠∠CDE=75°-40°=35°，∠∠ADE=∠AED=75°，∠∠DAE=180°-75°-75°=30°，∠∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-30°=70°，∠BADCDE∠∠==2．故答案为35°，2．（2）结论：∠BAD=2∠CDE．理由：设∠B=∠C=x，∠AED=∠ADE=y，则∠BAC=180°-2x，∠CDE=y-x，∠DAE=180°-2y，∠∠BAD=∠BAC-∠DAE=2y-2x=2（y-x），∠∠BAD=2∠CDE．（3）如图∠中，结论：∠BAD=2∠CDE．理由：设∠B=∠ACB=x，∠AED=∠ADE=y，则∠BAC=180°-2x，∠CDE=180°-（y+x），∠DAE=180°-2y，∠∠BAD=∠BAC+∠DAE=360°-2（x+y），∠∠BAD=2∠CDE．故答案为∠BAD=2∠CDE．（4）如图∠中，设∠ABC=∠C=x，∠AED=∠ADE=y，则∠BAC=180°-2x，∠CDE=180°-（y+x），∠DAE=180°-2y，∠∠BAD=180°-∠BAC-∠DAE=2x+2y-180°=22°，∠x+y=101°∠∠CDE=180°-101°=79°．如图∠中，当点E在AC的延长线上时，设∠ABC=∠ACB=x，∠AED=∠ADE=y，则∠ADB =x -22°，∠CDE =y -（x -22°），∠∠ACB =∠CDE +∠AED ，∠x =y +y -（x -22°），∠x -y =11°，∠∠CDE =()2211x y ︒--=︒故答案为79°或11°．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．11．（1）72︒；（2）40︒．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP=12ADC ∠ ，然后利用三角形外角的性质即可得解； （2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，所以∠A+∠C=2∠P ，即可得解．【详解】解：（1）∠DP 平分∠ADC ，∠∠ADP=∠PDF=12ADC ∠，∠60ADC ∠=︒，∠30ADP ∠=︒，∠304272AEP ADP A ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（2）∠BP 平分∠ABC ，DP 平分∠ADC ，∠∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，∠∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∠∠A+∠C=2∠P，∠∠A=42°，∠C=38°，∠∠P=1（38°+42°）=40°．2【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．12．（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析【解析】【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；（3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论；（4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论．【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；（3）连接BH、DE，∠由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋∠ABH的内角和＝540°＋180°＝720°；（4）连接ND、NE，∠由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋∠AND的内角和＋∠NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．故答案为：360°；540°；720°；1080°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用∠AOD和∠BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键．13．540°【解析】【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案．【详解】解：如图所示：由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E ＋∠F＝∠GML，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键14．360°【解析】【分析】根据三角形内角和外角的性质可得：∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，再根据三角形内角和定理可得答案．【详解】解：∠∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，∠∠G＋∠D＋∠F＋∠C＋∠E＋∠H＝∠3＋∠4＋∠2，∠∠B＋∠2＋∠1＝180°，∠3＋∠5＋∠A＝180°，∠∠A＋∠B＋∠2＋∠4＋∠3＝360°，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°．【点睛】此题主要考查了三角形内角与外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．15．（1）360°；（2）720°；（3）540°【解析】【分析】（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和，（2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，（3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和．【详解】解：（1）如图∠，连接AD，由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，∠∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，∠∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，（2）如图∠，由（1）方法可得：∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，∠∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，（3）如图∠，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，∠∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，【点睛】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键．16．180︒.【解析】【分析】根据三角形的内角和定理即可求解【详解】解：连结BE，BC与DE相交成对顶三角形，∴∠+∠=∠+∠，C D CBE DEB∴∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠+∠A ABC C D AED A ABC CBE DEB AED=∠+∠+∠=︒180A ABE AEB【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键17．330︒.【解析】【分析】根据三角形的内角和定理即可求解【详解】解： 在ABM ∆中，31?80A B ∠+∠+∠=︒ 在CDP ∆中，11?80C D ∠+∠+∠=︒ 在EFN ∆中，21?80E F ∠+∠+∠=︒ 在PNM ∆中，1231?80∠+∠+∠=︒ ∠312?540A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒∠30F ∠=︒∠ 330A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠=︒【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键18．360︒.【解析】【分析】首先利用三角新的外角的性质，然后根据多边形的外角和定理即可求解．【详解】解：∠∠1=∠A+∠B ，∠2=∠C+∠D ，∠3=∠E+∠F ，又∠∠1+∠2+∠3=360°，∠∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和是360°，理解定理是关键． 19．22.5F ∠=︒【解析】【分析】设OAD x ∠=︒，则3BAO x ∠=︒，452ABO x ∠=︒-︒，22.5ODF x ∠=︒+︒，根据三角形ABO 与三角形DFO 的内角和相等即可建立方程，整理方程即可得出答案.【详解】解：设OAD x ∠=︒，则3BAO x ∠=︒，在直角ABC ∆中，904ABC x ∠=︒-︒，∠BD 是ABC ∠的平分线，∠452ABO x ∠=︒-︒，在直角DBC ∆中，22.5ODF x ∠=︒+︒.∠180OAB OBA AOB ODF F FOD ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒,又∠AOB FOD ∠=∠，∠OAB OBA ODF F ∠+∠=∠+∠，即345222.5x x x F ︒+︒-︒=︒+︒+∠，∠22.5F ∠=︒.【点睛】本题考查了对顶角相等、三角形内角和定理及其推论等知识.根据对顶三角形构建方程是解题的关键.20．360A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒.【解析】【分析】连接CD ，将A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠转化为四边形CDEF 的内角和即可求出答案.【详解】解：如图所示，连接CD .由对顶三角形得，A B ACD BDC ∠+∠=∠+∠，∠A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠360CDE DCF E F =∠+∠+∠+∠=︒.【点睛】本题考查了三角形、四边形的内角和定理、对顶角的性质等知识.将所求角的度数和转化为四边形内角和是解题的关键.21．90°；65°【解析】【详解】试题分析：由∠ABC∠∠ADE ，可得∠DAE=∠BAC=12（∠EAB-∠CAD ），根据三角形外角性质可得∠DFB=∠FAB+∠B ，因为∠FAB=∠FAC+∠CAB ，即可求得∠DFB 的度数；根据三角形内角和定理可得∠DGB=∠DFB-∠D ，即可得∠DGB 的度数．试题解析：∠∠ABC∠∠ADE ，∠∠DAE=∠BAC=12（∠EAB-∠CAD ）=12（120°-10°）=55°． ∠∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°．考点：1．三角形外角性质，2．三角形内角和定理。

全等三角形一选择题1.（2014•广东深圳，第8题3分）如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（）A．A C∥DF B．∠A=∠D C．A C=DF D．∠ACB=∠F考点：全等三角形的判定．分析：根据全等三角形的判定定理，即可得出答．解答：解：∵AB=DE，∠B=∠DEF，∴添加AC∥DF，得出∠ACB=∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；当添加∠A=∠D时，根据ASA，也可证明△ABC≌△DEF，故B都正确；但添加AC=DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C都不正确；故选C．点评：本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．2.（2014•福建厦门，第6题3分）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF考点：全等三角形的判定与性质．.分析：根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB与∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案．解答：在△ABC和△DEB中，，∴△ABC≌△DEB（SSS），∴∠ACB=∠DE B．∵∠AFB是△BCF的外角，∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，∠ACB=∠AFB，故选：C．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．二填空题1. （2014•广东广州，第15题3分）已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题（填“真”或“假”）．考点：命题与定理．分析：交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．解答：解：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，假．点评：本题考查逆命题的概念，以及判断真假命题的能力以及全等三角形的判定和性质．2. （2014•江苏淮安，第17题3分）如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为130°．考点：全等三角形的性质．分析：根据全等三角形对应角相等可得∠C=∠A，再根据四边形的内角和定理列式计算即可得解．解答：解：∵△ABD≌△CBD，∴∠C=∠A=80°，∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°．故答案为：130°．点评：本题考查了全等三角形的性质，四边形的内角和定理，根据对应顶点的字母写在对应位置上确定出∠C=∠A是解题的关键．3. （2014•湖北鄂州，第16题3分）如图，正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在BC，CD上，使得△CMN的周长为2，则△MAN的面积最小值为﹣1．考点：正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质．分析：如图，延长CB至L，使BL=DN，则Rt△ABL≌Rt△AND，故AL=AN，进而求证△AMN≌△AML，即可求得∠MAN=∠MAL=45°设CM=x，CN=y，MN=z，根据x2+y2=z2，和x+y+z=2，整理根据△=4（z﹣2）2﹣32（1﹣z）≥0可以解题．解答：解：延长CB至L，使BL=DN，则Rt△ABL≌Rt△AND，故AL=AN，∴△AMN≌△AML，∴∠MAN=∠MAL=45°，设CM=x，CN=y，MN=zx2+y2=z2，∵x+y+z=2，则x=2﹣y﹣z∴（2﹣y﹣z）2+y2=z2，整理得2y2+（2z﹣4）y+（4﹣4z）=0，∴△=4（z﹣2）2﹣32（1﹣z）≥0，即（z+2+2）（z+2﹣2）≥0，又∵z＞0，∴z≥2﹣2，当且仅当x=y=2﹣时等号成立此时S△AMN=S△AML=ML•AB=z因此，当z=2﹣2，x=y=2﹣时，S△AMN取到最小值为﹣1．故答案为﹣1．点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，考查了正方形各边相等，各内角是直角的性质，本题求证三角形全等是解题的关键．4. （2014•常德，第15题3分）如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为60°．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：可证明△COD≌△COB，得出∠D=∠CBO，再根据∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角平分线可得∠BAO=40°，从而得出∠DAO=140°，根据AD=AO，可得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，则∠ABC=40°，最后算出∠BCA=60°解答：解：∵△ABC三个内角的平分线交于点O，∴∠ACO=∠BCO，在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB，∴∠D=∠CBO，∵∠BAC=80°，∴∠BAD=100°，∴∠BAO=40°，∴∠DAO=140°，∵AD=AO，∴∠D=20°，∴∠CBO=20°，∴∠ABC=40°，∴∠BCA=60°，故答案为60°．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决此题的关键．5. （2014•柳州，第18题3分）如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE．设△ACD、△BCE、△ABC的面积分别是S1、S2、S3，现有如下结论：①S1：S2=AC2：BC2；②连接AE，BD，则△BCD≌△ECA；③若AC⊥BC，则S1•S2=S32．其中结论正确的序号是①②③．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：①根据相似三角形面积的比等于相似比的平方判断；②根据SAS即可求得全等；③根据面积公式即可判断．解答：①S1：S2=AC2：BC2正确，解：∵△ADC与△BCE是等边三角形，∴△ADC∽△BCE，∴S1：S2=AC2：BC2．②△BCD≌△ECA正确，证明：∵△ADC与△BCE是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACD，即∠ACE=∠DCB，在△ACE与△DCB中，，∴△BCD≌△ECA（SAS）．③若AC⊥BC，则S1•S2=S32正确，解：设等边三角形ADC的边长=a，等边三角形BCE边长=b，则△ADC的高=a，△BCE的高=b，∴S1=a a=a2，S2=b b=b2，∴S1•S2=a2b2=a2b2，∵S3=ab，∴S32=a2b2，∴S1•S2=S32．点评：本题考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，面积公式以及相似三角形面积的比等于相似比的平方．6. （2014•青海西宁,第20题，2分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB=，AG=1，则EB=．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：首先连接BD交AC于O，由四边形ABCD、AGFE是正方形，即可得AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG，然后利用SAS即可证得△EAB≌△GAD，则可得EB=GD，然后在Rt△ODG中，利用勾股定理即可求得GD的长，继而可得EB的长．解答：解：连接BD交AC于O，∵四边形ABCD、AGFE是正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG，∴∠EAB=∠GAD，在△AEB和△AGD中，，∴△EAB≌△GAD（SAS），∴EB=GD，∵四边形ABCD是正方形，AB=，∴BD⊥AC，AC=BD=AB=2，∴∠DOG=90°，OA=OD=BD=1，∵AG=1，∴OG=OA+AG=2，∴GD==，∴EB=．故答案为：．点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．7．（2014•齐齐哈尔，13题3分）如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是BD=CE．（只填一个即可）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如BD=CE，根据SAS推出即可；也可以∠BAD=∠CAE等．解答：解：BD=CE，理由是：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），故答案为：BD=CE．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目比较好，难度适中．三解答题1．（2014•辽宁本溪，第25题12分）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE 绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理；旋转的性质．分析：（1）因为AF是直角三角形ABE的中线，所以BE=2AF，然后通过△ABE≌△ACD 即可求得．（2）延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，证出△ABH≌△ACD从而证得BH=CD，然后根据三角形的中位线等于底边的一半，求得BH=2AF，即可求得．解答：（1）证明：如图①，∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，∴∠DAC=90°，在△ABE与△ACD中∴△ABE≌△ACD（SAS），∴CD=BE，∵在RT△ABE中，F为BE的中点，∴BE=2AF，∴CD=2AF．（2）成立，证明：如图②，延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，∵∠BAC+∠EAD=180°，∴∠EAB+∠DAC=180°，∵∠EAB+∠BAH=180°，在△ABH与△ACD中∴△ABH≌△ACD（SAS）∴BH=DC，∵AD=AE，AH=AD，∴AE=AH，∵EF=FB，∴BH=2AF，∴CD=2AF．点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质等．2. （2014•广东广州，第18题9分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E、F，求证：△AOE≌△COF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．专题：证明题．分析：根据平行四边形的性质得出OA=OC，AB∥CD，推出∠EAO=∠FCO，证出△AOE≌△COF即可．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）．点评：本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定的应用，关键是推出AO=CO．3. （2014•湖北鄂州，第18题8分）在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：（1）BH=DE．（2）BH⊥DE．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根据垂直的定义证明即可．解答：证明：（1）在正方形ABCD与正方形CEFH中，BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH，即∠BCH=∠DCE，在△BCH和△DCE中，，∴△BCH≌△DCE（SAS），∴BH=DE；（2）∵△BCH≌△DCE，∴∠CBH=∠CDE，∴∠DMB=∠BCD=90°，∴BH⊥DE．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记性质并确定出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．4. （2014•湖北潜江仙桃，第19题6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F为对角线AC上两点，连接ED，EB，FD，F B．给出以下结论：①BE∥DF；②BE=DF；③AE=CF．请你从中选取一个条件，使∠1=∠2成立，并给出证明．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：欲证明∠1=∠2，只需证得四边形EDFB是平行四边形或△ABF≌△CDE即可．解答：解：方法一：补充条件①BE∥DF．证明：如图，∵BE∥DF，∴∠BEC=∠DF A，∴∠BEA=∠DFC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴ED∥BF，∴∠1=∠2；方法二：补充条件③AE=CF．证明：∵AE=CF，∴AF=CE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAF=∠DCE，在△ABF与△CDE中，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴∠1=∠2．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．5. （2014•吉林，第18题5分）如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AE C．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：根据∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，再根据全等的条件可得出结论．解答：证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣BAE=∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△AEC中，∴△ABD≌△AEC（SAS）．点评：本题考查了全等三角形的判定，判断三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，以及判断两个直角三角形全等的方法HL．6. （2014•江苏淮安，第21题8分）如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．考点：菱形的判定；翻折变换（折叠问题）．专题：证明题．分析：由∠BAD=∠CAD，AO=AO，∠AOE=∠AOF=90°证△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF．解答：证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO和△AFO中，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO即EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形．点评：本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定等知识点，注意：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．7. （2014•江苏淮安，第26题10分）如图，在△ABC中，AC=BC，AB是⊙C的切线，切点为D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF=A C．（1）求∠ACB的度数；（2）若AC=8，求△ABF的面积．考点：切线的性质．分析：（1）连接DC，根据AB是⊙C的切线，所以CD⊥AB，根据CD=，得出∠A=30°，因为AC=BC，从而求得∠ACB的度数．（2）通过△ACD≌△BCF求得∠AFB=90°，已知AC=8，根据已知求得AF=!2，由于∠A=30°得出BF=AB，然后依据勾股定理求得BF的长，即可求得三角形的面积．解答：解：（1）连接CD，∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∵CF=AC，CF=CE，∴AE=CE，∴ED=AC=EC，∴ED=EC=CD，∴∠ECD=60°，∴∠A=30°，∵AC=BC，∴∠ACB=120°．（2）∵∠A=30°，AC=BC，∴∠ABC=30°，∴∠BCE=60°，在△ACD与△BCF中∴△ACD≌△BCF（SAS）∴∠ADC=∠BFC，∵CD⊥AB，∴CF⊥BF，∵AC=8，CF=A C．∴CF=4，∴AF=12，∵∠AFB=90°，∠A=30°，∴BF=AB，设BF=x，则AB=2x，∵AF2+BF2=AB2，∴（2x）2﹣x2=122解得：x=4即BF=4∴△ABF的面积===24，点评：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理的应用等，构建全等三角形是本题的关键．8 （2014•铜仁，第21题10分）如图所示，已知∠1=∠2，请你添加一个条件，证明：AB=A C．（1）你添加的条件是∠B=∠C；（2）请写出证明过程．考点：全等三角形的判定与性质．分析：（1）此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如∠B=∠C或∠ADB=∠ADC等；（2）根据全等三角形的判定定理AAS推出△ABD≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出即可．解答：解：（1）添加的条件是∠B=∠C，故答案为：∠B=∠C；（2）证明：在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS），∴AB=A C．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．9. （2014•长春，第22题9分）探究：如图①，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE=AD，连结CD，AE，求证：△ACE≌△CB D．应用：如图②，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE=AD，连结CD，EA，延长EA交CD于点G，求∠CGE的度数．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．分析：探究：先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BC=AC，∠ACB=∠ABC，再求出CE=BD，然后利用“边角边”证明即可；应用：连接AC，易知△ABC是等边三角形，由探究可知△ACE和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠E=∠D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGE=∠ABC即可．解答：解：探究：∵AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=∠ABC，∵BE=AD，∴BE+BC=AD+AB，即CE=BD，在△ACE和△CBD中，，∴△ACE≌△CBD（SAS）；应用：如图，连接AC，易知△ABC是等边三角形，由探究可知△ACE≌△CBD，∴∠E=∠D，∵∠BAE=∠DAG，∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG，∴∠CGE=∠ABC，∵∠ABC=60°，∴∠CGE=60°．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键，（2）作辅助线构造出探究的条件是解题的关键．10. （2014•柳州，第25题10分）如图，正方形ABCD的边长为l，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．（1）求线段PQ的长；（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：（1）由题意得：PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD的边长为l，易证得△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性质，求得线段PQ的长；（2）易证得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根据相似三角形的对应边成比例，可得证得P A=PB，则可求得答案．解答：解：（1）根据题意得：PD=PE，∠DPE=90°，∴∠APD+∠QPE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∴∠ADP=∠QPE，∵EQ⊥AB，∴∠A=∠Q=90°，在△ADP和△QPE中，，∴△ADP≌△QPE（AAS），∴PQ=AD=1；（2）∵△PFD∽△BFP，∴，∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，∴△DAP∽△PBF，∴，∴，∴P A=PB，∴P A=AB=∴当P A=时，△PFD∽△BFP．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11. （2014•辽宁大连,第19题，9分）如图：点A、B、C、D在一条直线上，AB=CD，AE∥BF，CE∥DF．求证：AE=BF．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠A=∠FBD，∠D=∠ACE，再求出AC=BD，然后利用“角边角”证明△ACE和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．解答：证明：∵AE∥BF，∴∠A=∠FBD，∵CE∥DF，∴∠D=∠ACE，∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，在△ACE和△BDF中，，∴△ACE≌△BDF（ASA），∴AE=BF．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形的判定方法并确定出全等的条件是解题的关键．12. （2014•辽宁沈阳，第18题，8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=CF，连接OE，OF．求证：OE=OF．考点：全等三角形的判定与性质；矩形的性质．专题：证明题．分析：欲证明OE=OF，只需证得△ODE≌△OCF即可．解答：证明：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BCD=90°，AC=BD，OD=BD，OC=AC，∴OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠ADC﹣∠ODC=∠BCD﹣∠OCD，即∠EDO=∠FCO，∴在△ODE与△OCF中，，∴△ODE≌△OCF（SAS），∴OE=OF．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．13. （2014•内蒙古赤峰，第19题10，分）如图，已知△ABC中AB=A C．（1）作图：在AC上有一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，使AE=AB，连AE，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠E=∠ACF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；作图—复杂作图．专题：作图题；证明题．分析：（1）以A为圆心，以AB长为半径画弧，与BD的延长线的交点即为点E，再以点A 为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AC、AE相交，然后以这两点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，两弧相交于一点，过点A与这一点作出射线与BE的交点即为所求的点F；（2）求出AE=AC，根据角平分线的定义可得∠EAF=∠CAF，再利用“边角边”证明△AEF和△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠E=∠ACF．解答：（1）解：如图所示；（2）证明：∵AB=AC，AE=AB，∴AE=AC，∵AF是∠EAC的平分线，∴∠EAF=∠CAF，在△AEF和△ACF中，，∴△AEF≌△ACF（SAS），∴∠E=∠ACF．点评：本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰三角形的性质，作一条线段等于已知线段，角平分线的作法，确定出全等三角形的条件是解题的关键．14. （2014•青海西宁,第24题，8分）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．考点：全等三角形的应用；勾股定理的应用．分析：（1）根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∴∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．（2）由题意得：AD=4a，BE=3a，根据全等可得DC=BE=3a，根据勾股定理可得（4a）2+（3a）2=252，再解即可．解答：（1）证明：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：AD=4a，BE=3a，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC=BE=3a，在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2，∴（4a）2+（3a）2=252，∵a＞0，解得a=5，答：砌墙砖块的厚度a为5cm．点评：此题主要考查了全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．15. （2014•山东济南，第27题，9分）如图1，有一组平行线l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD 的第四个顶点分别在l1，l2，l3，l4上，EG过点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F1，G1，EF=DG=1，DF=2．（1）AE=1，正方形ABCD的边长=；（2）如图2，将∠AEG绕点A顺时针旋转得到∠AE′D′，旋转角为α（0°＜α＜90°），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形A′B′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上①写出∠B′AD′与α的数量关系并给出证明；②若α=30°，求菱形AB′C′D′的边长．考点：几何变换综合题．分析：（1）利用已知得出△AED≌△DGC（AAS），即可得出AE，以及正方形的边长；（2）①过点B′作B′M垂直于l1于点M，进而得出Rt△AED′≌Rt△B′MA（HL），求出∠B′AD′与α的数量关系即可；②首先过点E作ON垂直于l1分别交l1，l2于点O，N，若α=30°，则∠ED′N=60°，可求出AE=1，EO，EN，ED′的长，进而由勾股定理可知菱形的边长．解答：解：（1）由题意可得：∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，在△AED和△DGC中，，∴△AED≌△DGC（AAS），∴AE=GD=1，又∵DE=1+2=3，∴正方形ABCD的边长==，故答案为：1，；（2）①∠B′AD′=90°﹣α；理由：过点B′作B′M垂直于l1于点M，在Rt△AED′和Rt△B′MA中，，∴Rt△AED′≌Rt△B′MA（HL），∴∠D′AE+∠B′AM=90°，∠B′AD′+α=90°，∴∠B′AD′=90°﹣α；②过点E作ON垂直于l1分别交l1，l2于点O，N，若α=30°，则∠ED′N=60°，AE=1，故EO=，EN=，ED′=，由勾股定理可知菱形的边长为：=．点评：此题主要考查了勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键．16.（2014•北京，第13题5分）如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=D B．求证：∠A=∠E．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△EDB，则对应角相等：∠A=∠E．解答：证明：如图，∵BC∥DE，∴∠ABC=∠BDE．在△ABC与△EDB中，∴△ABC≌△EDB（SAS），∴∠A=∠E．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．17.（2014•福建龙岩，第20题10分）如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P（1）求证：CE=BF；（2）求∠BPC的度数．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：（1）欲证明CE=BF，只需证得△BCE≌△ABF；（2）利用（1）中的全等三角形的性质得到∠BCE=∠ABF，则由图示知∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，所以根据三角形内角和定理求得∠BPC=120°．解答：（1）证明：如图，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，∴在△BCE与△ABF中，，∴△BCE≌△ABF（SAS），∴CE=BF；（2）∵由（1）知△BCE≌△ABF，∴∠BCE=∠ABF，∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，∴∠BPC=180°﹣60°=120°．即：∠BPC=120°．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．18.（2014•福建漳州，第19题8分）如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：先求出BC=EF，添加条件AC=DF，根据SAS推出两三角形全等即可．解答：AC=DE．证明：∵BF=EC，∴BF﹣CF=EC﹣CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目是一道开放型的题目，答案不唯一．19．（2014•齐齐哈尔，26题8分）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN 上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：（1）如答图2，作辅助线，构造全等三角形△BDF≌△PDA，可以证明BD=DP；（2）如答图3，作辅助线，构造全等三角形△BDF≌△PDA，可以证明BD=DP．解答：题干引论：证明：如答图1，过点D作DF⊥MN，交AB于点F，则△ADF为等腰直角三角形，∴DA=DF．∵∠1+∠FDP=90°，∠FDP+∠2=90°，∴∠1=∠2．在△BDF与△PDA中，∴△BDF≌△PDA（ASA）∴BD=DP．（1）答：BD=DP成立．证明：如答图2，过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，则△ADF为等腰直角三角形，∴DA=DF．∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°，∴∠1=∠2．在△BDF与△PDA中，∴△BDF≌△PDA（ASA）∴BD=DP．（2）答：BD=DP．证明：如答图3，过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，则△ADF为等腰直角三角形，∴DA=DF．在△BDF与△PDA中，∴△BDF≌△PDA（ASA）∴BD=DP．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识点，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．20．（2014•贵阳，第24题12分）如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点．若AB=6cm．（1）AE的长为4cm；（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；（3）求点D′到BC的距离．考点：几何变换综合题．分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案；（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC于点P，此时DP+EP值为最小，进而得出答案；（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．解答：解：（1）∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm，∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴CD=AC÷cos30°=12÷=12×=8（cm），∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=4cm．故答案为：4；（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，∵E为CD边上的中点，∴DE=AE，∴△ADE为等边三角形，∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°，∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EF A=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′，∴点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′，∵△ADE是等边三角形，AD=AE=4，∴DD′=2×AD×=2×6=12，即DP+EP最小值为12cm；（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，∵AE=EC，∴AD′=CD′=4，在△ABD′和△CBD′中，，∴△ABD′≌△CBD′（SSS），∴∠D′BG=45°，∴D′G=GB，设D′G长为xcm，则CG长为（6﹣x）cm，在Rt△GD′C中x2+（6﹣x）2=（4）2，解得：x1=3﹣，x2=3+（不合题意舍去），∴点D′到BC边的距离为（3﹣）cm．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质和锐角三角函数关系以及等边三角形的判定与性质等知识，利用垂直平分线的性质得出点E，D′关于直线AC对称是解题关键．。

初二数学三角形试题答案及解析1.如图，有两棵树，一棵树高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米【答案】B．【解析】如图：设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，在Rt△AEC中，AC=10（m），故小鸟至少飞行10m．故选B．【考点】勾股定理的应用．2.已知：如图：架在消防车上的云梯AB的坡比为，云梯AB的长为m，云梯底部离地面1.5m（即BC=1.5m）.求云梯顶端离地面的距离AE.【答案】5.5m.【解析】根据坡度的意义和勾股定理求出AD的长即可求得云梯顶端离地面的距离AE.如图，∵架在消防车上的云梯AB的坡比为，即AD：DB=，∴设DB=x，则AD=.∵AB=，∴由勾股定理，得，解得（舍去负值）.∴AD=（m）.∵DE=BC=1.5m，∴AE=5.5m.【考点】1.解直角三角形的应用-坡度问题；2.勾股定理．3.对“等角对等边”这句话的理解，正确的是 ( )A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等D．以上说法都是错误的【答案】C.【解析】“等角对等边”是等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等的简写形式，意思是：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等．故C正确；A、B可以举反例说明，如图：DE∥BC，∠ADE=∠B，但AE≠AC．故A、B都错误；故D也错误．故选C．考点: 等腰三角形的判定．4.如图，x轴、y轴上分别有两点A（3，0）、B（0，2），以点A为圆心，AB为半径的弧交x 轴负半轴于点C，则点C的坐标为（）A．（－1，0）B．（2－，0）C．（1，0）D．（3，0）【答案】D．【解析】∵A（3，0）、B（0，2），∴OA=3，OB=2，∴在直角△AOB中，由勾股定理得 AB=．又∵以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，∴AC=AB，∴OC=AC-OA=．又∵点C在x轴的负半轴上，∴C（，0）．故选D．考点: 1.勾股定理；2.坐标与图形性质．5.如图，△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，BE=BD，∠A=72°，则∠DEC=" _______."【答案】103.5°【解析】因为AB=AC，∠A=72°，所以∠ABC=∠C=54°.因为BD是角平分线，所以∠DBC=∠ABC= 27°.又BE=BD，所以∠BDE=∠BED=76.5°，所以∠DEC=180°76.5°=103.5°.6.如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？【答案】旗杆在离底部6 m处断裂【解析】旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底部的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的位置求出．解：设旗杆未折断部分的长为 m，则折断部分的长为m，根据勾股定理,得，解得： m，即旗杆在离底部6 m处断裂．7.如图，△ABD、△CBD都是等边三角形，DE、BF分别是△ABD的两条高，DE、BF交于点G.（1）求∠BGD的度数（2）连接CG①求证：BG+DG=CG②求的值【答案】（1）1200 （2）①见解析②【解析】（1）由△ABD、BDC是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°；（2）①∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG=CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG= CG，故可得出BG+DG=CG； 结合前面求得结论，设出未知数，根据勾股定理和等腰三角形的性质即可求出比例性质.试题解析：解：（1）因为△ABD是等边三角形，E是AB中点所以∠ADE=∠BDE=300 所以∠CDG=900 ,同理∠CBG=900,∠BGD=1200 ,（2）①CD=CB，CG=CG，由勾股定理可得BG=DG，易证△CBG与△CDG全等,得∠DCG=∠BCG=300所以在Rt△CGB和Rt△CGD中可得BG="DG=1/2CG" .所以BG+DG=CG（6分）②设BG=x,由（2)得CG=2x,在Rt△CGB中，BC2=CG2-BG2=4x2-x2=3x2，又因AB=BC所以AB2=BC2=3x2,所以=.【考点】1.等边三角形的判定与性质2.全等三角形的判定与性质；3.菱形的性质；4.勾股定理.8. 在边长为2的正三角形ABC 中，已知点P 是三角形内任意一点，则点P 到三角形的三边距离之和PD ＋PE ＋PF 等于（ ）A ．B ．2C ．4D ．无法确定【答案】A.【解析】此题考查了等边三角形的性质.易利用三角形的面积求解.如图，连接AP 、BP 、CP ，则、、；设等边三角形的高为h ，由勾股定理可得：，.而，根据等边三角形三边相等，可得：，即：由此等量关系可得到三角形的三边距离之和.故选A.【考点】等边三角形的性质.9. )△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有100个不同的点p 1,p 2,…p 100;记，求的值.【答案】400.【解析】作AD ⊥BC 于D ，则BC="2BD=2CD," 根据勾股定理可得结论. 试题解析：作AD ⊥BC 于D ，则BC=2BD=2CD ．根据勾股定理，得:AP i 2=AD 2+DP i 2=AD 2+（BD-BP i ）2=AD 2+BD 2-2BD•BP i +BP i 2， 又P i B•P i C=P i B•（BC-P i B ）=2BD•BP i -BP i 2，∴M i =AD 2+BD 2=AB 2=4，∴M 1+M 2+…+M 10+M 100=4×100=400．【考点】①勾股定理；②规律型.10. 如图，△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，则图中的等腰三角形共有（ ）个.【答案】3【解析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC 的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABD 的度数，然后得到∠A=∠ABD，再根据等角对等边的性质解答即可．因为AB=AC，∠A=36°，所以∠ABC=∠C=720.因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD=360.由∠A=∠ABD，得AD=BD．∠C=720，∠CBD=360，得∠CDB=720.所以CB=DB.所以图中的等腰三角形共有3个,即△ABC、△ADB、△CBD.故填3.【考点】等腰三角形的判定与性质．11.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE＝BE求证：AH＝2BD【答案】详见解析【解析】由等腰三角形的底边上的垂线与中线重合的性质求得BC=2BD，根据直角三角形的两个锐角互余的特性求知∠1+∠C=90°；又由已知条件AE⊥AC知∠2+∠C=90°，所以根据等量代换求得∠1=∠2；然后由三角形全等的判定定理SAS证明△AEH≌△BEC，再根据全等三角形的对应边相等及等量代换求得AH="2BD"试题解析：∵AD是高,BE是高∴∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°∴∠EBC=∠CAD 2分又∵AE＝BE∠AEH=∠BEC∴△AEH△BEC(ASA) 2分∴AH ＝BC∵AB＝AC，AD是高∴BC=2BD∴AH ＝2BD 2分【考点】1 等腰三角形的性质;2 全等三角形的判定与性质12.在△ABC中，∠A是锐角，那么△ABC是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】D【解析】举个例子,∠A=30°,∠B=70°,∠C=80°,为锐角三角形，∠A=30°,∠B=90°,∠C=60°, 为直角三角形，∠A=30°,∠B=120°,∠C=30°,为钝角三角形，故不确定.由题,在三角形中有一个角是锐角,无法判断另外两个角的情况,有可能另外两个角都是锐角,也有可能是一个锐角一个直角, 或者一个锐角一个钝角.【考点】三角形的分类.13.如图，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯的底部距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯的底部将平滑（）A．9分米B．15分米C．5分米D．8分米【答案】D【解析】先利用勾股定理计算出墙高，当梯子的顶端沿墙下滑4分米后，也形成一直角三角形，解此三角形可计算梯的底部距墙底端的距离，则可计算梯子的底部平滑的距离．解：墙高为：=24分米当梯子的顶端沿墙下滑4分米时：则梯子的顶部距离墙底端：24﹣4=20分米梯子的底部距离墙底端：=15分米，则梯的底部将平滑：15﹣7=8分米．故选D．点评：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．14.由于台风的影响，一棵树在离地面处折断，树顶落在离树干底部处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是________.【答案】16【解析】先根据勾股定理求得斜边的长，再根据树的长度的特征求解即可.由题意得斜边的长所以这棵树在折断前（不包括树根）长度.【考点】勾股定理的应用点评：勾股定理的应用是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.15.如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得∠α=______ __。

中考数学分类（含答案）解直角三角形应用一、选择题 1．（2010辽宁丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树 的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m 二、填空题1．（2010山东济宁）如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M （点M 在长边CD 上）出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点. 如果MC n =，CMN α∠=.那么P 点与B 点的距离为 .【答案】tan tan m n αα-⋅2．（2010重庆市潼南县）如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为 米（精确到0.1）.（参考数据：414.12≈732.13≈）【答案】82.0 3．（2010江西）如图，从点C 测得树的顶角为33º，BC ＝20米，则树高AB ＝ 米（用计算器计算，结果精确到0.1米）(第15题)13【答案】0.4．（2010 湖北孝感）如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里（不作近似计算）。

6【答案】35．（2010广东深圳）如图5，某渔船在海面上朝正方方向匀速航行，在A处观测到灯塔M 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。

【答案】156．（2010广东佛山）如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的政务时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是米。