高中数学《导数及其应用》同步练习1 新人教A版选修1-1

第三章《导数及其应用》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1.已知曲线y = |x2-2上一点P(屈一$,则过点P切线的倾斜角为()乙乙A.30°B. 45°C. 60°D. 120°2.设P为曲线C： y = F+2x + 3上的点，且曲线c在点P处切线倾斜角的取值范围7T 7T为则点P横坐标的取值范围为()4 2( JiA. —co,—B. [—1,0]1D. , + 823.定义在(0, +8)上的函数f(x)的导函数为广(无)，且对VxG (0,+oo)都有c. [0,1]/z(x)lnx<^/'(x),则(A. 4/(e) > e3/(e4) > 2e/(e2) C. e3/(e4) > 4/(e) > 2e/(e2) )(其中e«2. 7)B.e3/(e4) > 2e/(e2) > 4/(e) D. 4/(e) > 2e/(e2) > e3/(e4)4.曲线/(x) = (x + l)e x在点(0, f(0))处的切线方程为()A. y = % 4- 1B. y = 2x 4- 1C. y = + 1D.y 弓x+15.对于函数/(x)=—,下列说法正确的有()①f(兀)在x = €处取得极大值》②f(x)有两个不同的零点；③门4) < f (兀)< /(3); @7T4 < 4兀.A.4个B.3个C.2个D. 1个6.定义在R上的奇函数f (x)满足f (・1)=0,且当x>0时，f (x) >xf (x),则下列关系式中成立的是()A. 4f (i) >f (2)B. 4f (2) <f (2)C. f (i) >4f (2)D. f (i) f (2) > 2 2 2 27.定义在［0, +oo)的函数fO)的导函数为f(x),对于任意的%>0,恒有/Xx) </(%),m = n = 则m, zi的大小关系是()・e e zA. m > nB. m < nC. m = nD.无法确定&函数/(x) = e x + x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是().A. 0B. 1C. 2D. 39 .在平面直角坐标系xOy中，已知好一In%! - = 0 , x2 - y2 ~ 2 = 0 ,则(%i -x2)2 +(7i -y2)2的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知直线2是曲线y = e x与曲线y = e2x-2的一条公切线，2与曲线y =/x 一2切于点(a,b),且a是函数£仗)的零点，贝”仗)的解析式可能为()A. /(%) = e2x(2x + 21n2 -1)-1B. f(x) = e2x(2x + 21n2 -1)-2C.f(x) = e2x(2x一21n2 -1)-1D. /(x) = e2x(2x一21n2 -1)-2二、填空题设函数fd)的导数为f f (x),且f(x)=f‘(^sinx + cosx,则f' (? = _____________________ 12.如图，函数y = f(x)的图象在点P处的切线方程是y = -兀+ 5,则/'⑶+厂⑶=_. Array13._____ 函数y=f (x)的导函数y = f(jc)的图象如图所示，则函数y=f (x)的图象可能是_________ (填序号).(D ②③④14.已知函数/(x)=xlnx + i%2, %是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：乙@0 < %0 < -；②尢o>2；+ X o < 0；④fOo) + Xo>0;e e其中正确的命题是______________ •(填出所有正确命题的序号)、215 .已知函数/(X)= X3 +OT2 +/?JC+C在X =——与兀=1时都取得极值，若对xe[-l,2],不等式f(x)<c2恒成立，则c的取值范围为___________________________ o三、解答题16.求下列函数的导函数®y = X4—3x2—5x + 6 ③y = x2cos x ②y二x+古@y = tan x17.已知函数/'(兀)=|%2一(a + l)x + a\nx.(1)当a VI时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(X) + (a + l)x n牛+対+ 1 一对于任意x G [e~1,e]成立，求正实数a 的取值范围.18.已知函数f (尤)=^x3— ax1 2 + l(a 6 /?).(1)若曲线y = /(%)在(l,f(l))处的切线与直线x-y + l = 0垂直，求a的值.(2)若a>0,函数y = /(%)在区间(a,a2 - 3)±存在极值，求a的取值范圉.(3)若a >2,求证：函数y = f(x)在(0,2)上恰有一个零点.19.已知函数f^x) = a x^-x2-x\na (a>0,且aHl).(I )求函数/(兀)的单调区间；(II)求函数/(兀)在［-2,2］上的最大值.20.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P~A\B\G从, 下部的形状是正四棱柱ABCD-A限Cd (如图所示)，并要求正四棱柱的高"0是正以棱锥的高％的4倍.1 若AB=6 m, n =2 m,则仓库的容积是多少？2 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当〃为多少时，仓库的容积最大?参考答案I.C2. D3. D4・ B5. C6. A7. B8. B9. B10・ BII.- A/212. 113.④14.①③15.(-00,-1) U(2,4-oo)16.解析：(l)y z = 4x3— 6x — 5(2)y‘ = % 4- x~2(3)y‘ = (x2ycosx + x2(cosx)f = 2xcosx-x2sinx, sinx , (sinx),cosx — sinx(cosx)' cos2% + sin2% 1(4)-------------- y =( ----------------- )= ----- = = :—cos2%cosx cos2%cos2% cos2%17.(1)当a<0时，函数门切在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当ova VI时, 函数f(x)在@,1)上单调递减，在(0卫)和(1,+8)上单调递增.(2) (0,1]解析：(1)函数/'仗)的定义域为(0,+s),广(％)=兀 _ @ + 1)+ 兰=*一@+1央+。

第三章导数及其应用【理解整合】1. ★导数定义中，自变量x 的增量x ∆（ ）A ．0x ∆> B ．0x ∆< C ．0x ∆= D ．0x ∆≠2.★★抛物线2y x =上何处的切线和直线310x y -+=的夹角是045（ ） A ．()1,1- B ．11,416⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()1,1 D ． ()1,1-或11,416⎛⎫ ⎪⎝⎭3.★★匀速运动规律常用s kt b =+表示，则该匀速运动的平均速度与任何时刻的瞬时速度（ ）A ．不等B ．相等C ．有时相等D ．视具体情况而定4.★★★自由落体运动在5t s =时的瞬时速度是指（ ）A ．在第5s 开始时的速度B ．在第5s 末时的速度C ．在第5s 开始到第5s 末间任何时刻的速度D ．在第4s 到第5s 时的平均速度5.★★函数()321y x =+在0x =处的导数（ ）A ．0 B ．1 C ．3 D ．6 6．★★已知函数2()21f x x =-的图象上一点()1,1以及邻近一点()1,1x y +∆+∆，则y x∆∆等于（ ） A ．4 B ．4x C ．42x +∆ D ．()242x +∆7．★★★一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7/米秒B ．6/米秒C ．5/米秒D ．8/米秒 8.★★函数32y x =-图象上两点,A B （其中1,2A B x x ==）的直线的斜率为 。

9.★★已知()4f x kx =+(0)k ≠，则()f x 在区间[]1,2-上的平均变化率是 。

10.★★★求曲线3()21f x x x =++在点()2,13处的切线方程。

【拓展创新】11.★★★已知函数2()f x x x =+。

（1）求'()f x ；（2）求函数2()f x x x =+在2x =处的导数。

12.★★已知函数()21f x x =+，求()f x 在区间[]2,2-上的平均变化率。

《导数及其应用》单元检测题(文科）一、选择题（本题共12题，每题4分,共48分）1. 一个物体的运动方程为S=1+t+t 2其中s 的单位是米，t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是（ A ）A 7米/秒B 6米/秒C 5米/秒D 8米/秒 2 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ A ） A sin α B cos α C sin cos αα+D 2sin α3．曲线3()2f x x x在0p 处的切线平行于直线41y x ,则0p 点的坐标为( C ）A (1,0)B (2,8)C (1,0)和(1,4)--D (2,8)和(1,4)-- 4。

函数2()2ln f x x x =-的递增区间是( C ）A.1(0,)2 B 。

11(,0)(,)22-+∞及 C 。

1(,)2+∞ D 。

11(,)(0,)22-∞-及5。

'()0((,))f x x a b ≥∈是可导函数y =f(x ）在区间(,)a b 内单调递增的 ( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 6. 函数323922yxxx x 有（ C )A 极大值5，极小值27-B 极大值5，极小值11-C 极大值5，无极小值D 极小值27-，无极大值 7。

函数y=2x 3—3x 2-12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（a ）A 。

5，-15B . 5,—4C . —4,-15D . 5,-168。

设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于 ( B ）A 、0B 、4-C 、2-D 、29. 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数，则实数的取值范围是（ B ）A ),3[]3,(+∞--∞B ]3,3[-C ),3()3,(+∞--∞D )3,3(-10.已知函数)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下,则 （ A ）A ．函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点B ．函数)(x f 有2个极大值点，2个极小值点C ．函数)(x f 有3个极大值点，1个极小值点D ．函数)(x f 有1个极大值点,3个极小值点11．函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点为 （ B ）A ．)3,3(-B ．)11,4(-C ．)3,3(-或)11,4(-D ．不存在12．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是 （C ）A ．①、②B ．①、③C ．③、④D ．①、④二、填空题(本题共4个题，每题4分，共16分） 13。

第三章 导数及其应用 单元测试一、选择题1 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ）A s i n αB c o s αC sin cos αα+D 2sin α2 若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ),3[]3,(+∞--∞B ]3,3[-C ),3()3,(+∞--∞D )3,3(-4 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A (0)(2)2(1)f f f +<B (0)(2)2(1)f f f +≤ C(0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +>5 若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A 430x y --=B 450x y +-=C 430x y -+=D 430x y ++= 6 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个二、填空题1 若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 2 函数x x y sin 2+=的单调增区间为3设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则ϕ=__________ 4 设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为5 对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 三、解答题1 求函数3(1cos 2)y x =+的导数2 求函数y =3 已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围4 已知23()log x ax bf x x++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由参考答案一、选择题1 A ''()sin ,()sin f x x f αα== 2 A 对称轴'0,0,()22bb f x x b -><=+，直线过第一、三、四象限 3 B '2()3210f x x ax =-+-≤在),(+∞-∞恒成立，24120a a ∆=-≤⇒≤≤4 C 当1x ≥时，'()0f x ≥，函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；当1x <时，'()0f x ≤，()f x 在(,1)-∞上是减函数，故()f x 当1x =时取得最小值，即有(0)(1),(2)(1),f f f f ≥≥得(0)(2)2(1)f f f +≥5 A 与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1,1)处导数为4，此点的切线为430x y --=6 A 极小值点应有先减后增的特点，即'''()0()0()0f x f x f x <→=→> 二、填空题1 6 '22'2()34,(2)8120,2,6f x x c xc f c c c =-+=-+==或，2c =时取极小值2 (,)-∞+∞ '2c o s 0y x =+>对于任何实数都成立 36π''()))f x ϕϕϕ=-++=+()())3f x f x πϕ'+=++要使()()f x f x '+为奇函数，需且仅需,32k k Z ππϕπ+=+∈，即：,6k k Z πϕπ=+∈ 又0ϕπ<<，所以k 只能取0，从而6πϕ=4 (7,)+∞ ]2,1[-∈x 时，max ()7f x =5 122n +- ()()/11222,:222(2)n nn x y n y nx --==-++=-+-切线方程为， 令0x =，求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012ny n =+，所以21n na n =+，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和()12122212n n n S +-==-- 三、解答题1 解：3236(1cos 2)(2cos )8cos y x x x =+=='5'548cos (cos )48cos (sin )y x x x x =⋅=⋅-548sin cos x x =-2 解：函数的定义域为[2,)-+∞，'y ==当2x ≥-时，'0y >，即[2,)-+∞是函数的递增区间，当2x =-时，min 1y =- 所以值域为[1,)-+∞3 解：（1）32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++由'2124()0393f a b -=-+=，'(1)320f a b =++=得1,22a b =-=-'2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，函数()f x 的单调区间如下表：所以函数()f x 的递增区间是(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是2(,1)3-； （2）321()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，222()327f c -=+为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2(),[1,2]f x c x <∈- 恒成立，则只需要2(2)2c f c >=+，得1,2c c <->或4 解：设2()x ax bg x x++=∵()f x 在(0,1)上是减函数，在[1,)+∞上是增函数 ∴()g x 在(0,1)上是减函数，在[1,)+∞上是增函数∴⎩⎨⎧==3)1(0)1('g g ∴⎩⎨⎧=++=-3101b a b 解得⎩⎨⎧==11b a经检验，1,1a b ==时，()f x 满足题设的两个条件。