固体物理第三章1-2

3.1 在单原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如图所示相间变化，且21。

试证明在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为21221221212)2(sin 411M）（qa 证明：第2n 个原子所受的力121122221212121222)()()(n nn n nn nnuu u u u u u F 第2n+1个原子所受的力nn n n nn nnu u u u u u u F 22121122112221222112)()()(这两个原子的运动方程：212222112121122112222()()n n n n nn n nmu u u u mu u u u &&&&方程的解qan t inqan t in Beu Aeu 2)12(122)2(2代入到运动方程，可以得到BA e eBmAB eeAmqaiqa iq a i q a i )()(21222122122212经整理，有)()(22122212221221B mA eeB eeAmqa iqa iqa iq ai 若A ，B 有非零解，系数行列式满足22212122221212,,aai q i q a a i q i q me eee m根据上式，有21221221212)2(sin 411M）（qa 3.3(a) 设单原子链长度L=Na波矢取值2qhNa每个波矢的宽度2qNa，状态密度2Na dq 间隔内的状态数2Nadq ，对应±q ，ω取相同值因此22Na dqdq一维单原子链色散关系，4sin 2aqm 令4,sin2aq m两边微分得到cos22aaq ddq将220cos12aq 代入到0cos22aaq ddq22222,2a dq ddq da频率分布函数2222122122Na NaN dadq3.4三维晶格振动的态密度为3(2)V 根据态密度定义3()(2)|()|qV dS q r ＝对2qAq两边微分得到2d q Aqdq在球面上2qd Aq dq，半径01qA代入到态密度函数得到21/23323/2144,2422qV qV AV AAAq最小截止频率m001/223/234mmV dd NA可得2/32min 06N AV所以1/2min 023/2,4VA在0min或时，是不存在频率ω的分布的，也就不会有频率分布的密度。

《电子工程物理基础》课后习题参考答案第一章 微观粒子的状态1-1一维运动的粒子处在下面状态(0,0)()0(0)xAxe x x x λλψ-⎧≥>=⎨<⎩①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率分布函数；③在何处找到粒子的概率最大? 解：（1）由归一化条件，可知22201xAx edx λ∞-=⎰，解得归一化常数322A λ=。

所以归一化波函数为：322(0,0)()0(0)xxex x x λλλψ-⎧⎪≥>=⎨⎪<⎩（2）粒子坐标的概率分布函数为：32224(0,0)()()0(0)xx e x w x x x λλλψ-⎧≥>==⎨<⎩（3）令()0dw x dx =得10x x λ==或，根据题意，在x=0处，()w x =0，所以在1x λ=处找到粒子的概率最大。

1-2若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n 。

①距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少? ②n 取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?③当n→∞时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题?解：（1）假设一维无限深势阱的势函数为U （x ），0x a ≤≤，那么在距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率为：22440211()()(sin )sin422a a n n P x x dx x dx a a n ππψπ===-⎰⎰。

（2）当n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大，且max 11()+46P x π=。

（3）当n→∞时，1()4P x =。

此时，概率分布均匀，接近于宏观情况。

1-3一个势能为221()2V x m x ω=的线性谐振子处在下面状态2212()()x m x Aeαωψα-=求：①归一化常数A ；②在何处发现振子的概率最大；③势能平均值2212U m x ω=。

解：（1）由归一化条件，可知2221x A e dx α+∞--∞=⎰，得到归一化常数4A απ=。

固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动，由于晶体内原子间存在着相互作用力，各个原子的振动也不是孤立的，而是相互联系的，因此在晶体内形成各种模式的波。

只有当振动微弱时，原子间非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是独立的。

由于晶格的周期性条件，模式所取的能量值不是连续的而是分立的。

对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列独立的简谐振子来描述。

和光子的情形相似，这些谐振子的能量量子称为声子。

这样晶格振动的总体就可以看成声子系综。

若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项，则声子间发生能量交换，并且在相互作用过程中，某些频率的声子产生，某些频率的声子湮灭。

当晶格振动破坏了晶格的周期性，使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加，可以看作电子受到声子的碰撞，晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系，在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合。

晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质，其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用，是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。

ωη§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出，若离开平衡位置的距离在一定限度，原子受力和该距离成正比。

这时该振动可以看成谐振动.用n μϖ表示原子偏离平衡位置（格点）位移矢量，对于三维空间，描述N 个原子的位移矢量需要3N 个分量，表为)3,,2,1(N i i Λ=μ将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开:高阶项+∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∑∂∂+===j i N j i j i i N i i V V V V μμμμμμ031,2031021)(第一项为平衡位置的势能，可取为零，第二项为平衡位置的力，等于零。

若忽略高阶项，因为势能仅和位移的平方成正比，即为简谐近似。

23121i N i i m T μ&∑==引入合适的正交变换，将动能和势能用所谓的简正坐标表示成仅含平方∑==N j j ij i i Q a m 31μ项而没有交叉项，即：由分析力学，基本形式的拉格朗日方程为：)32,1(,N i q Q T Q T dt d i i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂其中)32,1(,1N i q f q i j N j j i Λϖϖ=∂∂⋅∑==μ朗日方程：)32,1(,0N i Q L Q L dt d i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂则正则方程为：)3,2,1(,02N i Q Q i i i Λ&&==+ω其解为：)sin(δω+=t A Q i i 当考察某一个j Q 时，则：)sin(δωμ+=t A m a j i iji 晶体参与的振动，且它们的振动频率相同。

1 第三章 晶体的结合主要内容:● 大量原子聚合在一起形成晶体的原因● 晶体结合的类型内聚能和原子间的相互作用力内聚能是指在绝对零度下将晶体分解为相距无限远、静止的自由原子所需要的能量 原子间相互作用力：● 吸引力：不同的结合方式有不同的机理● 排斥力：库仑排斥+量子效应● 原子核之间的库仑排斥力● 电子壳层交叠时，由泡利不相容原理而产生的排斥力内聚能的计算设晶体中任意两个粒子的相互作用能可表示为：其中a 、b 、m 、n 均为大于零的常数，由实验确定，r 为两粒子之间的距离。

晶体内聚能视为粒子对间的互作用，设晶体中有N 个粒子，则晶体内聚能：这里，相互作用能视为粒子对间的互作用。

先计算两个粒子之间的互作用势，然后再把考虑晶体结构的因素，总和起来可以得到晶体的总结合能。

只有离子晶体和分子晶体可以这样处理。

此思想称为双粒子模型。

晶体结合的类型⏹ 根据化学键的性质，晶体可以分为离子晶体、原子晶体(共价晶体)、金属晶体、分子晶体。

⏹ 对于大多数晶体，结合力的性质是属于综合性的。

固体结合的性质取决于组成固体的原子结构。

离子晶体和离子键● 离子晶体：由正离子和负离子组成。

● 离子键：正、负离子间的静电相互作用产生● 晶体结构：氯化钠结构、氯化铯结构● 离子－离子相互作用能有两项：① 库仑相互作用能，正比于: ② 相临离子间排斥能，正比于: 离子晶体的内聚能 由N 对离子组成的离子晶体的内聚能：相邻离子间的最短距离 马德隆常数 最邻近离子数 n m r b r a r u +-=)((2)(2)(11∑∑--+-==N j n j m j N j j r b r a N r u N r U r1-nr 1)(N )4()4()(02'102'1n n jj n j j r B r A r Nz r a q N r r q N r U j +-=+±=+±=∑∑λπελπεr )1('∑±=j j a μz r a r j j =1λπεμz B q A ==0242分子晶体：● 基元：分子● 结合力：范德瓦尔斯力● 晶体结构：密积结构，惰性气体：面心立方● 结合能：相距为R 的一对分子间的总的相互作用势能为(称为Lennard-Jones 势)共价晶体和共价键：● 原子靠共价键结合。