下载文档原格式
欧拉方程是一种描述流体力学中流体运动的基本方程，它是根据质量守恒和动量守恒原理导出的。
以下是欧拉方程的基本原理：
质量守恒原理：质量守恒原理是指在流体运动过程中，质量不会凭空消失或增加。
根据质量守恒原理，欧拉方程中的质量守恒项表示为流体密度和流速的乘积。
动量守恒原理：动量守恒原理是指在流体运动过程中，流体粒子的动量总量保持不变。
根据动量守恒原理，欧拉方程中的动量守恒项表示为流体的动量和流体受力的乘积。
基于这两个原理，欧拉方程可以表示为以下形式：
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0
∂(ρv)/∂t + ∇·(ρv⊗v) = -∇p + ∇·τ+ ρg
其中，ρ是流体密度，t是时间，v是流体速度矢量，p是压力，τ是应力张量，g是重力加速度，∇表示梯度运算符，⊗表示向量的张量积。
欧拉方程描述了流体在空间和时间上的变化，其中第一项表示质量守恒，第二项表示动量守恒。
欧拉方程是研究流体力学中流体运动行为的重要工具，通过求解欧拉方程，可以得到流体的速度、压力和流动特性等相关信息。
欧拉公式几种形式欧拉公式是关于函数 k的最小二乘。
对于欧拉函数，只有一个函数和一组参数是线性关系的，因此函数 k总是要以特定条件下，其中某个点为真的值。
对于任意时间 t,所有其他条件都不变。
因此该公式不成立。
可以根据下列情况求解：由二乘得欧拉公式为：如果 k=0,则 Q的值就是该数在求二次点处的最小二乘收敛时，对任意点 b均可以求出其最小值。
再由求得的结果求出对应于时间常数 a是一个二乘法，即 a, b的乘积为1,故也就是我们可以得到: n (a)=1或2。
然后将其代入式中 k (m)就可以得到：由此即可求得 f×2 d=(t+ k)/ε+4 d* r/2 dn (s)× t/3 s 2+ x/5π-β系数。
一、求解方程对于一个由方程(x, y或 a)的值组成的多解问题，求解时需要满足如下条件：a.对任意连续的两个数 n按一次运算求出他们的导数；b.当 k=0时，任意时间 t的值处必须具有一个不变点 e,否则取其最小值 f (0)则求解方程的方法如下：首先，如果 b的值为1,则 k=0;如果 b的值变化为1,则 k=0;1、首先求出任意连续两个数 n的导数，如果 k=1,就可求出 k=0;②如果 k=1,则对任意连续两个数 n按照相同的方式运算；③如果 k=0,对任意连续两个数n又按照相同的方式运算，则对任意连续两个数 n再进行一次运算即可求出 k=0。
②利用欧拉公式(4)求出任意多解问题（解）的基本解和具体解。
基本解是指一个已知多解方程中每个解（其中某些解是已知多解方程中的某一个解）都是其解。
在解任意多解问题时，首先要注意两个解之间可能存在的对应关系，其次要注意解各解之间可能存在的相对关系，这两个关系是求多解问题中不可缺少的。
相对关系是指求多解问题中求解几个问题的解之间可能存在的相对关系。
2、然后在条件完全满足的情况下，对 n进行一次一次不同的运算，直至对所有的常数求出导数；这样，当 n值为无穷大时，可以得到 k=0,反之为0。
eular方程欧拉方程是数学中的一种常见方程，也被称为常微分方程。
欧拉方程是一种特殊的二阶线性非齐次微分方程，它是由欧拉提出的，严格的说，这个方程叫做Cauchy-Euler方程。
欧拉方程是一个十分经典的方程，它用于描述物理学中很多自然现象。
如弹簧振动、电路分析、声学等等领域中的问题都可以归纳为欧拉方程的求解。
下面我们将根据欧拉方程的定义和求解方法，来一步步解析欧拉方程。
欧拉方程的标准格式为：$ax^2y''+bxy'+cy=f(x)$。
首先，我们需要知道的是欧拉方程中的各个参数含义是什么，分别是：$a，b，c$和$f(x)$。
其中，$a，b，c$都是常数，$f(x)$是欧拉方程的非齐次项。
接下来，我们来解释一下欧拉方程的求解方法。
Step 1：将欧拉方程的非齐次项$f(x)$化为初等函数。
这是欧拉方程求解的第一步。
由于欧拉方程中的非齐次项是一个函数，所以我们可以将它化为初等函数。
比较常见的情况有三类：常数项，正弦项和余弦项。
Step 2：求出欧拉方程的通解。
欧拉方程的通解有两个部分组成：一个是通解的齐次解，另一个是欧拉方程的非齐次解。
齐次解的求解过程比较简单，我们可以先假设欧拉方程的解是$y=x^r$，然后将这个解代入到欧拉方程中进行求解，得到的解为$r_1$和$r_2$。
我们可以对欧拉方程的非齐次解使用特殊方法，一般采用变易法。
变易法求解欧拉方程的非齐次解的具体步骤如下：Step 3：变易法求非齐次解的特解。
我们可以先设欧拉方程的非齐次解是一个特殊的函数，比如说$y_p=u(x)x^p$。
其中，$u(x)$是一个待求的函数。
Step 4：将$y_p=u(x)x^p$代入到欧拉方程中，求出$u(x)$和$p$的值。
Step 5：将欧拉方程的通解的齐次解和非齐次解合并，得到欧拉方程的最终解。
综上所述，欧拉方程是一种二阶线性非齐次微分方程，其标准格式为$ax^2y''+bxy'+cy=f(x)$。
一种欧拉方程的间断伽辽金有限元数值求解方法欧拉方程是一种常微分方程，描述了无粘流体的运动。
间断伽辽金有限元方法是一种数值求解偏微分方程的方法。
在本文中，我们将探讨一种欧拉方程的间断伽辽金有限元数值求解方法。
首先，让我们回顾一下欧拉方程的形式。
欧拉方程描述了流体的运动，它可以写为以下形式：∂ρ/∂t+∇·(ρu)=0其中，ρ是流体的密度，u是流体的速度，∇是梯度算子，·是散度算子。
接下来，我们将介绍欧拉方程的间断伽辽金有限元数值求解方法的步骤。
第一步是将欧拉方程转化为其弱形式。
为此，我们首先需要定义有限维空间，这个空间的基函数应满足配置空间的一组完备基的性质。
第二步是对方程进行离散化处理。
我们将配置空间划分为多个单元，并在每个单元上定义有限维子空间。
然后，在每个单元上，我们使用高级插值函数来近似原始方程的解。
第三步是使用逼近函数的近似解来代替原始方程，并计算数值解。
第四步是计算数值解的误差。
我们可以将数值解与解析解进行比较，从而评估我们的数值求解方法的准确性。
使用间断伽辽金有限元方法求解欧拉方程的一个关键步骤是确定适当的离散化方案。
我们可以使用交替方向隐式(ADI)方法或基于格点的方法等。
ADI方法是一种迭代方法，用于将偏微分方程离散为一系列的一维问题。
在每个迭代步骤中，我们将方程在一个方向上进行隐式离散化，然后在另一个方向上进行显式离散化。
基于格点的方法通过将计算网格和几何网格进行耦合来实现。
计算网格用于离散化方程，而几何网格用于插值和重构。
最后，我们需要解决离散化方程的线性系统。
采用适当的求解器，如共轭梯度法或LU分解，可以加快计算速度和准确性。
总结一下，欧拉方程的间断伽辽金有限元数值求解方法通过将欧拉方程转化为弱形式，离散化方程并解决离散化方程的线性系统来实现。
采用适当的离散化方案和求解器，我们可以得到数值解，并评估其误差。
欧拉方程的直接解法欧拉方程是研究拟线性微分方程组，以及它们的系数变化以估算解的一种有效方法。
欧拉方法是微分方程组的一种求解方法，是一种通用的数值求解技术，用于求解多维的微分方程组系统。
其形式为：∂u/∂t = F(t,u)，其中u和t分别为空间变量和时间变量，F为模型函数。
欧拉方法的实现主要依赖于分析研究被求解的问题的分析性质，估算出合适的斜率以及将时间变量拆分为许多部分来进行求解，然后使用多项式插值方法求取方程解。
欧拉方法从一个起始值u0起计算，根据给定的模型函数F(t,u)，在每一步中确定模型函数对于给定的时间和状态的斜率，并以该斜率估计出下一个时间步的状态值。
通过这样做，我们可以非常精确地估计出每一个时间步的状态值，从而求出拟线性微分方程组的解。
由于欧拉方法是一种直接求解法，它可以解决任何形式的多维拟线性微分方程组。
因此，它被广泛应用于各种经典模型，包括分子动力学模型、偏微分方程模型、气象模型以及生物学模型等等。
它的优点在于收敛较快、计算的次数较少、精度可靠以及比较容易实现。
尽管欧拉方法具有许多优点，它也存在许多缺点。
首先，方程组中的模型函数复杂程度过高时，欧拉方法就不能有效的求解；其次，多项式插值估计所产生的误差是随着t的增加而不断增加的，因此可能会导致求解结果不精确；最后，如果待求解的问题中有重要的杂散及暂变量时，欧拉方法也无法解决。
另外，欧拉方法仅适用于多维拟线性微分方程组，而对非线性微分方程组却无能为力，为此必须使用别的求解方法。
总而言之，欧拉方法是一种非常有用的数值求解技术，用于求解多维的拟线性微分方程组。
它具有收敛快、精度可靠、计算次数少利于实现等优点，在经典模型中有着广泛的应用。
尽管存在若干不足，但其他一些求解方法也存在类似的缺陷，因此仍可作为有效的求解算法，为科研提供了很大的帮助。
一种欧拉方程的间断伽辽金有限元数值求解方法欧拉方程是一类重要的非线性偏微分方程，广泛应用于流体力学、弹性力学、计算力学等领域。
为了数值求解欧拉方程，可以采用伽辽金有限元方法，该方法通过将连续的解空间离散化为有限个子域，从而得到一个有限维的问题。
然而，在某些情况下，伽辽金有限元方法会产生数值振荡或产生虚假解。
为了克服这些问题，在欧拉方程的数值求解中，可以采用间断伽辽金有限元方法。
间断伽辽金有限元方法采用了其他有限元方法所不具备的增加约束条件或变量的思想。
具体而言，它将求解域划分为多个子域，并通过引入间断单元来刻画子域之间的不连续性。
在间断单元内部，使用额外的自由度来解决梯度、跳跃和曲率的不连续性。
为了进行间断伽辽金有限元数值求解，首先需要对求解域进行网格划分。
之后，在每个子域内，选择适当的试探函数并限制其连续性。
对于曲率的不连续性，则使用间断单元内的附加自由度来进行描述。
通过选取适当的试探函数和自由度，可以对欧拉方程建立离散形式，从而得到一个线性代数方程组。
通过求解这个方程组，可以得到欧拉方程的数值解。
同时，通过对间断单元的适当处理，可以得到更准确的解，并避免数值振荡的产生。
间断伽辽金有限元数值求解方法能够有效地处理欧拉方程的不连续性和非线性性质。
它不仅适用于一维和二维问题，也可以扩展到更高维度的情况。
因此，该方法在流体力学、弹性力学、计算力学等领域具有广泛的应用价值。
总之，间断伽辽金有限元数值求解方法是一种处理欧拉方程的有效方法。
通过合理的离散化和约束条件设置，可以得到更准确、稳定和收敛的数值解。
这种方法在实际工程应用中具有很大的潜力，值得进一步研究和发展。
欧拉方程微分方程详解欧拉方程（Euler's equation）是一类具有特殊形式的二阶常系数线性微分方程。
它的一般形式为：ax^2 y'' + bxy' + cy = 0其中，a、b、c都是常数，且a不等于0。
欧拉方程是一种特殊的微分方程，它的解具有一定的特殊性。
下面我们将对欧拉方程的求解方法进行详细介绍。
首先，我们考虑求解形如x^m的解。
将x^m代入欧拉方程中，得到：a(m)(m-1)x^m + bm*x^m + cx^m = 0化简后得到：am(m-1)x^m + bmx^m + cx^m = 0整理得：am(m-1) + bm + c = 0这是一个关于m的二次方程，可以用求根公式来求解m的值。
当求解得到m的值时，我们就得到了一个形如x^m的解。
接下来，我们考虑求解形如x^m * ln(x)的解。
将x^m * ln(x)代入欧拉方程中，得到：a(m)(m-1)x^m * ln(x) + bmx^m * ln(x) + cx^m * ln(x) = 0将x^m分离出来，得到：x^m * [a(m)(m-1)ln(x) + bm ln(x) + c] = 0由于x不等于0，所以要使上式成立，必须有：a(m)(m-1)ln(x) + bm ln(x) + c = 0这是一个关于m的一次方程，可以用求解一次方程的方法来求解m的值。
当求解得到m的值时，我们就得到了一个形如x^m * ln(x)的解。
最后，我们考虑求解形如x^m * ln^2(x)的解。
将x^m * ln^2(x)代入欧拉方程中，得到：a(m)(m-1)x^m * ln^2(x) + bmx^m * ln^2(x) + cx^m * ln^2(x) = 0将x^m分离出来，得到：x^m * [a(m)(m-1)ln^2(x) + bm ln^2(x) + c] = 0由于x不等于0，所以要使上式成立，必须有：a(m)(m-1)ln^2(x) + bm ln^2(x) + c = 0这是一个关于m的二次方程，可以用求解二次方程的方法来求解m的值。
第七章常微分方程7.12* 欧拉方程数学与统计学院赵小艳1 2 欧拉方程的一般形式1主要内容欧拉方程的解法1 2 欧拉方程的一般形式1主要内容欧拉方程的解法求解： 1 欧拉(Euler)方程的一般形式 ()11111d d d d d d n n n n n n n n x x x t a t a t a x f t t t t----++++=.,,,21均为常数其中n a a a 特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的乘方次数相同．作变量变换 ,ln t e t ==ττ或t x t x d d d d d d ττ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=t x t t x d d d d d d 22 ,1τd d x t =,1222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ττd d d d x x t 代入得到以为自变量的常系数线性微分方程. τ1 2 欧拉方程的一般形式1主要内容欧拉方程的解法例1 求微分方程 02=+-x x t x t 的通解． 解作变量变换 ,ln t e t ==ττ或,1τττd d d d d d d d x t t x t x ==,122222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ττd d d d d d x x t t x 则 代入原方程, 得 该方程的通解为 其特征方程为 ,0122=+-λλ,121==λλ.)(21ττe C C x +=.0222=+-x x x ττd d d d 即得原方程的通解为代换成把,ln t τ.)ln (t C t C x +=2 欧拉(Euler)方程的解法解 令 ,ln t e t ==ττ或代入原方程, 得 .2223τe y y y =+-d d d ,2t x =+原方程变为 .122332=++ty t y t t y t d d d d d d 两端乘以t ，得 .222333t ty t t y t t y t =++d d d d d d 令 则 ,1τττd d d d d d d d y t t y t y ==,122222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ττd d d d d d y y t t y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2233t y t t y d d d d d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=τττd d d d d d y y y t 23122333⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ττd d d d y y t 2232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2332111ττd d d d 2y t y t t Euler 方程代入原方程, 得 .2223τe y y y =+-d d d 对应齐次方程的特征方程为 ,02223=+-λλλ.1,03,21i ±==λλ对应齐次方程的通解为 ).sin cos (321τττC C e C Y ++=设非齐次方程的特解为 ,τe a y =*则 .1=a 该方程的通解为 .)sin cos (321ττττe C C e C y +++=原方程的通解为].1)2ln(sin )2ln(cos )[2(321++++++=x C x C x C y。
欧拉方程的求解1.引言在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（Leonhard Euler,1707--1783）.几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用π表示圆周率、e表示自然对数的底、()f x表示函数、∑表示求和、i表示虚数单位以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如K=的解，进而求得欧y x拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.2.几类欧拉方程的求解定义1 形状为()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++= （1）的方程称为欧拉方程. （其中1a ，2a ，，1n a -，n a 为常数）2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）二阶齐次欧拉方程： 2120x y a xy a y '''++=. （2） (其中1a ,2a 为已知常数）我们注意到，方程（2）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、1a x 和02a x ），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数K y x =来尝试，看能否选取适当的常数K ，使得K y x =满足方程（2）. 对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得212()0K K K K K x a Kx a x -++=或212[(1)]0K K a K a x +-+=,消去K x ，有 212(1)0K a K a +-+=. （3）定义2 以K 为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程.由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幂函数K y x =就是方程（2）的解.于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论：定理1 方程（2）的通解为(i) 1112ln K K y c x c x x =+, （12K K =是方程（3）的相等的实根）(ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠是方程（3）的不等的实根) (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（3）的一对共轭复根）（其中1c 、2c 为任意常数）证明 （i ）若特征方程（3）有两个相等的实根: 12K K =，则11K x y =是方程（2）的解, 且设2()u x y =，11()K y x u x =（()u x 为待定函数）也是方程（2）的解（由于21()y u x y =，即1y ，2y 线性无关），将其带入方程（2），得 11122111112[()2]()0K K K x K K u K xu x u a x K u xu a x u ''''-+++++=,约去1K x ，并以u ''、u '、u 为准合并同类项，得22111112(2)[(1)]0x u K a xu K a K a u '''++++-+=.由于1K 是特征方程（3）的二重根，因此21112(1)0K a K a +-+=或112(1)0K a +-=,于是，得20x u ux '''+=或0xu u '''+=,即 ()0xu ''=,故 12()ln u x c x c =+.不妨取()ln u x x =，可得方程（2）的另一个特解12ln K y x x =,所以，方程（2）的通解为1112ln K K y c x c x x =+.（其中1c ，2c 为任意常数）（ii ）若特征方程（3）有两个不等的实根: 12K K ≠，则11K x y =，22K y x =是方程（2）的解. 又2211()21K K K K y x x y x-==不是常数，即1y ，2y 是线性无关的. 所以，方程（2）的通解为1212K K x c x y c +=.（其中1c ，2c 为任意常数）（iii ）若特征方程（3）有一对共轭复根：1,2K i αβ=±（0β≠），则 ()1i x y αβ+=，()2i y x αβ-=是方程（2）的两个解，利用欧拉公式，有()ln 1(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ+===+，()ln 2(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ--===-,显然，12cos(ln )2y y x x αβ+= 和12sin(ln )2y y x x iαβ-= 是方程（2）的两个线性无关的实函数解.所以，方程（2）的通解为12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+.（其中1c ，2c 为任意常数）例1求方程20x y xy y '''-+=的通解.解 该欧拉方程的特征方程为(1)10K K K --+=，即 2(1)0K -=,其根为： 121K K ==,所以原方程的通解为12(ln )y c c x x =+.（其中1c ，2c 为任意常数）例2 求方程280x y xy y '''--=的通解.解 该欧拉方程的特征方程为2(11)80K K +---=，即 2280K K --=,其根为： 12K =-，24K =，所以原方程的通解为4122c y c x x=+. （其中1c ，2c 为任意常数）例3 求方程的通解2350x y xy y '''++=.解 该欧拉方程的特征方程为(1)350K K K -++=，即 2250K K ++=,其根为： 1,212K i =-±,所以原方程的通解为121[cos(2ln )sin(2ln )]y c x c x x=+. （其中1c ，2c 为任意常数）2.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）二阶非齐次欧拉方程：212()x y a xy a y f x ++='''. （4） （其中1a ，2a 为已知实常数，()f x 为已知实函数）为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设1121a K K =--，212a K K =, （5）则方程（4）变为212122)(1()K a x y K K xy K y f x +--+='''，即212()()()x xy K y K xy K y f x ---=''', （6）根据韦达定理，由（5）式可知，1K ，2K 是一元二次代数方程 212(1)0K a K a +-+= （3） 的两个根.具体求解方法：定理2 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则方程（4）的通解为 212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰. （7）证明 因为1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，于是方程（4）等价于方程（6），令 2xy K y p '-=,代入方程（6）并整理，得1()K f x p x xp =-' 和 2K p y y x x'-=, 解之，得方程（4）的通解为212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰.由定理2知，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.定理3 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则（i ）当12K K =是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为 11111[ln ()ln ()]K K K x x f x dx x x f x dx y x -----⋅=⎰⎰, （ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解为112211121[()()]K K K K x x f x dx x x f x dx K K y ------=⎰⎰, （iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，方程（4）的通解为111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]y x x x x f x dx x x x f x dx αααβββββ----=-⎰⎰ 证明 （ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的的实特征根时，将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得 21212112212121121111211212112111[()]1[()]1{[()]}1[]()()()K K K K K K K K K K K K K K K K K K K x x x f x dx dx x x f x dx dx K K x x x d x f x dx K K x x K K y x f x dx x f x dx x f x dx -------------------=-===--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（8） （iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，122K K i β-=， 再由欧拉公式有1ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ+===+, 2ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ--===-, 将其代入(8)式，整理可得方程（4）的通解为 111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]x x x x f x dx x x x f x dx y αααβββββ-----=⎰⎰（i ）的证明和（ii ）类似.例1求方程22234ln y xy y x x x x '''-+=+的通解. 解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2440K K -+=， 特征根为 122K K ==,所以由定理3，原方程的通解为23223222232122223212[ln (ln )ln (ln )]111{ln [(ln )ln ][(ln )(ln )]}23211ln [(ln )(ln )]62x x x x x dx x x x x x dx x x x c x x c x x c x x x x y x x c --+-⋅+++-+-+++===⎰⎰ （其中1c ，2c 为任意常数）例2求方程2322x x y xy y x e -+='''的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2320K K -+=，特征根为 12K =，21K =， 所以由定理3，原方程的通解为23323212212()()x x x x x xx x e dx x x x e dxx e c x xe e c c x c x xe y x ---=+---=++=⎰⎰（其中1c ，2c 为任意常数）例3求方程2cos(ln )2x x x y xy y -+='''的通解. 解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2220k k -+=，特征根为 1,21K i =±, 所以由定理3，原方程的通解为212122cos(ln )]cos(ln )cos(ln )11sin(ln )cos(ln )cos(ln ))sin(ln )cos(ln )sin(ln )cos(ln )sin(ln )[sin(ln )]{sin(ln )(ln )cos(ln )[ln(cos(ln )]}[][sin(ln )ln x xx x dx dx x x x dx x dx x x x x c x y x x x x x x x x x x c x x c x c x x x ----+===+++=++⎰⎰⎰⎰cos(ln )ln(cos(ln ))]x x（其中1c ，2c 为任意常数）在定理3中，若令()0f x =，则得到二阶齐次欧拉方程（2）的通解.推论 方程（2）的通解为(i)1112ln K K x c x x y c +=, （12K K =是方程（2）的相等的实特征根） (ii)1212K K x c x y c +=, （12K K ≠是方程（2）的不等的实特征根） (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根）（其中1c ，2c 为任意常数）2.3三阶非齐次欧拉方程的求解（常数变易法）三阶非齐次欧拉方程：32123()x y a x y a xy a y f x +++=''''''. （9）（其中1a ，2a ，3a 为常数） （9）对应的齐次方程为321230x y a x y a xy a y +++=''''''. （10）特征方程为321123(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=. （11）定理4 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程22122112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=的根，则（9）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰ . （12）证明 根据条件1K y cx =（c 为任意常数）是方程（10）的解. 设1()K y c x x =是方程（9）的解（其中()c x 是待定的未知数）， 将其代入方程（9），整理得1121111112(3)3231111213()(3)()[3(1)2]()[(3)(2)]()()K c x K a x c x K K a K a x c x K a K a a K a x c x xf x ---+-''''''+++-++++-+-++= （13）因为1K 是（11）的根，则321111213(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=,于是（13）式化为1(3)121111112()(3)()[3(1)2]()()K c x K a x c x K K a K a x c x x f x -+--''''''+++-++=（14）这是以()c x '为未知函数的二阶欧拉方程. 设2K 为（14）对应的齐次方程的特征方程21111112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=, （15）的根，则221121(23)(2)()[()]K K K a K K c x x x x f x dx dx -+++-'=⎰⎰.从而2211211(23)(22){[()]}()K K K a K K a x x x f x dx dx dx c x -++++-=⎰⎰⎰. 故方程（1）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰.定理5 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程（15）的根，则（i ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单实根，则（9）的通解为1212121121(2)1(3)(2)121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++=-++-⎰⎰⎰（ii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单虚根，则（9）的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=，β= (iii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的重实根，则（9）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰,（iv ）当1K 是方程（11）的三重实根，方程（15）变为2210K K ++=，有21K =-，则（9）的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K y x x x x f x dx x x f x dx dx -+-+-=-⋅⎰⎰⎰. 证明 （i ）因为2K 是方程（15）的单实根，得（14）的通解为212121121(2)1(3)(2)31211[()()](32)1()K K K K K a K K a x x f x dx x x f x dx K K a c x -++-++++--++-='⎰⎰则（9）的通解为1212121121(2)1(3)(2)3121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++-=-++-⎰⎰⎰（ii ）因为2K 是方程（14）的单虚根，此时方程（15）有一对共轭虚根1,22K =得（14）的通解为11(2)(2)[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]()K K x x x x f x dx x x x f x dx c x αααβββββ-++-++-='⎰⎰则（9）的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=，β= （iii ）因为2K 是方程（15）的重实根，得（9）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰.（iv ）当1K 是方程（10）的三重实根（1133a K =-），方程（15）变为222210K K ++=，有21K =-，将1133a K =-，21K =-代入（12）式得11(1)11{[()]}K K y x x x x f x dx dx dx -+--=⎰⎰,对上式分部积分得（9）的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K x x x x f x dx x x f x dx dx y -+-+-⋅-⋅=⎰⎰⎰.例1 求三阶欧拉方程32366x y x y xy y x -+-=''''''的通解. 解 原方程对应的齐次方程为323660x y x y xy y -+-='''''',其特征方程为3261160K K K -+-=，解得其特征根为1，2，3，取 11K =， 将11K =，13a =-，26a =，代入方程（15），得2220K K -=,解得21K =或0，利用定理5（i ）的通解公式有323212311[]ln 22y x x x dx x dx dx x x c x c x c x --=-=+++⎰⎰⎰. （其中1c ，2c ，3c 为任意常数）例2 求三阶欧拉方程3241313x y x y xy y x ''''''-+-=的通解.解 原方程对应的齐次方程为32413130x y x y xy y ''''''-+-=,其特征方程为21613()()0K K K -+-=，从而解得特征单实根为11K =，将11K =，14a =-，213a =代入方程（15），得到222250K K -+=，解得 1,2212i K =±. 令212i K =+，则1α=，2β=， 利用定理5（ii ）的通解公式有33213{[sin(2ln )cos(2ln )cos(2ln )sin(2ln )]}211ln [sin(2ln )cos(2ln )]816xx x x dx x x x dx dxx x c x c x c x y x ---=+-+=⎰⎰⎰（其中1c ，2c ，3c 为任意常数）2.4 n 阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）令K y x =是方程（1）的解，将其求导（需要求出y '、y ''(1)n y -、()n y ）代入方程（1），并消去K x ，得1(1)(1)(1)(1)(2)0n n K K K n a K K K n a K a ---++--++++=. (16）定义3 以K 为未知数的一元n 次方程（16）称为n 阶齐次欧拉方程（1）的特征方程.由此可见，如果选取k 是特征方程（16）的根，那么幂函数k y x =就是方程（1）的解.于是，对于方程（1）的通解，我们有如下结论：定理6 方程（1）的通解为112211n n n n y c y c y c y c y --=++++（其中1c ，2c 1n c -，n c 为任意常数），且通解中的每一项都有特征方程（16）的一个根所对应，其对应情况如下表：例1 求方程4(4)3(3)281550x y x y x y xy '''+++=的通解.解 该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)8(1)(2)15(1)50K K K K K K K K K K ---+--+-+=,整理，得2(22)0K K K ++=，其根为120K K ==，3,41K i =-±，所以原方程的通解为3412ln cos(ln )sin(ln )c cy c c x x x x x=+++. （其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）例2 求方程(4)(3)432670x y x y x y xy y ++++='''的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)6(1)(2)7(1)10K K K K K K K K K K ---+--+-++=，整理，得410K +=，其根为1,2K i =-，3,4K i =（即一对二重共轭复根），所以原方程的通解为1234cos(ln )sin(ln )ln cos(ln )ln sin(ln )y c x c x c x x c x x =+++.（其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）3.结束语从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比，本文中的解决办法更直接、更简单.但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在0x >范围内对齐次欧拉方程求解的，如果要在0x <范围内对其求解，则文中的所有ln x 都将变为ln()x -，所得的结果和0x >范围内的结果相似.4.致谢经过这好几个月忙碌的学习跟工作，本次毕业论文的写作已经接近尾声了，但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.首先，自己要有很好的专业知识的储备，这也是写作的基础. 其次，自己要有严谨的思维逻辑.再次，自己要善于思考，遇到不懂得问题就要勤于思考，查资料，问老师.最后，自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过程，在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程，但我们不能因此就放弃，而要做到坚持.要相信“有付出就一定会有所收获”的.在这里首先要感谢我的指导老师胡宏昌教授.胡老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文阶段，他都给予了我悉心的指导，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩胡老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习，并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感谢大学四年来我的所有的老师跟领导，为我们打下了坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！5、参考文献[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].第3版.：高等教育出版社，.2006:142-144.[2]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].第3版.：高等教育出社,1999:87-199.[3]钟玉泉.复变函数论[M].第3版.：高等教育出版社，2003:10-11.[4]胡劲松.一类欧拉方程特解的求解.重庆科技学院学报[J],2009,11(2):143-144.[5]胡劲松，郑克龙.常数变易法解二阶欧拉方程.大学数学[J],2005,21(2):116-119.[6]米荣波，沈有建，汪洪波.三阶欧拉方程求解的简化常数变易方法.海南师范大学学报[J]，2008,21(3):260-263.[7]胡劲松.齐次欧拉方程的另一种求解方法.重庆工学院学报[J],2004,18(1):4-748.[8]冀弘帅.认识伟大的数学家----欧拉.数学爱好者[J],2006，10：52-53.[9]卓越科学家欧拉.中学生数理化(北师大版)[J],2007,Z2: 101-102..-。
