欧拉方程的求解
1、引言
在数学研究领域,我们经常会瞧到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等,让人敬佩跟羡慕、但就是,迄今为止,哪位数学家的名字出现得最多呢？她就就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一,人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉(Leonhard Euler,1707--1783)、
几乎在每一个数学领域都可以瞧到她的名字,譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”L L 欧拉还就是许多数学符号的发明者,例如用π表示圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求与、i 表示虚数单位L L
以欧拉命名的数学名词有很多,本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”、
在文献[1]中,关于欧拉方程的求解通常采用的就是变量变换的方法、变量变换法就就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程,然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解,亦即求其形如K y x =的解,进而求得欧拉方程的解、
但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难、本文在所学的欧拉方程的求解的基础上,对欧拉方程进行了简单的分类,并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理、最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明、
2、几类欧拉方程的求解
定义1 形状为
()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++=L (1)
的方程称为欧拉方程、 (其中1a ,2a ,L ,1n a -,n a 为常数)
2、1二阶齐次欧拉方程的求解(求形如K y x =的解)
二阶齐次欧拉方程: 2120x y a xy a y '''++=、 (2) (其中1a ,2a 为已知常数)
我们注意到,方程(2)的左边y ''、y '与y 的系数都就是幂函数(分别就是
2x 、1a x 与02a x ),且其次依次降低一次、
所以根据幂函数求导的性质,我们用幂函数K y x =来尝试,瞧能否选取适当的常数K ,使得K y x =满足方程(2)、 对K y x =求一、二阶导数,并带入方程(2),得
212()0K K K K K x a Kx a x -++=
或
212[(1)]0K K a K a x +-+=,
消去K x ,有 212(1)0K a K a +-+=、 (3)
定义 2 以K 为未知数的一元二次方程(3)称为二阶齐次欧拉方程(2)的特征方程、
由此可见,只要常数K 满足特征方程(3),则幂函数K y x =就就是方程(2)的解、
于就是,对于方程(2)的通解,我们有如下结论:
定理1 方程(2)的通解为
(i) 1112ln K K y c x c x x =+, (12K K =就是方程(3)的相等的实根)
(ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠就是方程(3)的不等的实根)
(iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=、(1,2K i αβ=±就是方程(3)的一对
共轭复根)
(其中1c 、2c 为任意常数)
证明 (i)若特征方程(3)有两个相等的实根: 12K K =,则
1
1K x y =就是方程(2)的解, 且设2()u x y =,11()K y x u x =(()u x 为待定函数)也就是方程(2)的解(由于21
()y u x y =,即1y ,2y 线性无关),将其带入方程(2),得 11122111112[()2]()0K K K x K K u K xu x u a x K u xu a x u ''''-+++++=,
约去1K x ,并以u ''、u '、u 为准合并同类项,得
22111112(2)[(1)]0x u K a xu K a K a u '''++++-+=、
由于1K 就是特征方程(3)的二重根,
因此
21112(1)0K a K a +-+=
或
112(1)0K a +-=,
于就是,得
20x u ux '''+=
或
0xu u '''+=,
即 ()0xu ''=,
故 12()ln u x c x c =+、
不妨取()ln u x x =,可得方程(2)的另一个特解
12ln K y x x =,
所以,方程(2)的通解为
1112ln K K y c x c x x =+、
(其中1c ,2c 为任意常数)
(ii)若特征方程(3)有两个不等的实根: 12K K ≠,则
11K x y =,2
2K y x =就是方程(2)的解、 又2211()21K K K K y x x y x
-==不就是常数,即1y ,2y 就是线性无关的、 所以,方程(2)的通解为
12
12K K x c x y c +=、 (其中1c ,2c 为任意常数)
(iii)若特征方程(3)有一对共轭复根:1,2K i αβ=±(0β≠),则
()1i x y αβ+=,()2i y x αβ-=就是方程(2)的两个解,
利用欧拉公式,有
()ln 1(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ+===+,
()ln 2(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ--===-,
显然,
12cos(ln )2
y y x x αβ+= 与
12sin(ln )2y y x x i
αβ-=
就是方程(2)的两个线性无关的实函数解、 所以,方程(2)的通解为
12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+、
(其中1c ,2c 为任意常数)
例1求方程20x y xy y '''-+=的通解、
解 该欧拉方程的特征方程为
(1)10K K K --+=,
即 2(1)0K -=,
其根为: 121K K ==,
所以原方程的通解为
12(ln )y c c x x =+、
(其中1c ,2c 为任意常数)
例2 求方程280x y xy y '''--=的通解、
解 该欧拉方程的特征方程为
2(11)80K K +---=,
即 2280K K --=,
其根为: 12K =-,24K =,
所以原方程的通解为
4122c y c x x
=+、 (其中1c ,2c 为任意常数)
例3 求方程的通解2350x y xy y '''++=、
解 该欧拉方程的特征方程为
(1)350K K K -++=,
即 2250K K ++=,
其根为: 1,212K i =-±,
所以原方程的通解为
121
[cos(2ln )sin(2ln )]y c x c x x =+、
(其中1c ,2c 为任意常数)
2、2二阶非齐次欧拉方程的求解(初等积分法)
二阶非齐次欧拉方程:212()x y a xy a y f x ++='''、 (4) (其中1a ,2a 为已知实常数,()f x 为已知实函数)
为了使方程(4)降阶为一阶线性微分方程,不妨设
1121a K K =--,212a K K =, (5)
则方程(4)变为
212122)(1()K a x y K K xy K y f x +--+=''',
即
212()()()x xy K y K xy K y f x ---=''', (6)
根据韦达定理,由(5)式可知,1K ,2K 就是一元二次代数方程
212(1)0K a K a +-+= (3) 的两个根、
具体求解方法:
定理2 若1K ,2K 为方程(2)的两个特征根,则方程(4)的通解为
212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=??、 (7)
证明 因为1K ,2K 为方程(2)的两个特征根,
于就是方程(4)等价于方程(6),
令 2xy K y p '-=,
代入方程(6)并整理,得
1()K f x p x x
p =-' 与 2K p y y x x '-
=, 解之,得方程(4)的通解为
212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=??、
由定理2知,只需要通过两个不定积分(当(7)式中的积分可积时)即可求得方程(4)的通解、为了方便计算,给出如下更直接的结论、
定理3 若1K ,2K 为方程(2)的两个特征根,则
(i)当12K K =就是方程(2)的相等的实特征根时,方程(4)的通解为 111
11[ln ()ln ()]K K K x x f x dx x x f x dx y x -----?=??, (ii)当12K K ≠就是方程(2)的互不相等的实特征根时,方程(4)的通解为
11221112
1[()()]K K K K x x f x dx x x f x dx K K y ------=??, (iii)当1,2K i αβ=±就是方程(2)的共轭复特征根时,方程(4)的通解为
111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]y x x x x f x dx x x x f x dx αααβββββ
----=-?? 证明 (ii)当12K K ≠就是方程(2)的互不相等的的实特征根时,
将方程(1)的通解(7)进行分部积分,得
2121
2112212121121111211212112111[()]1[()]1{[()]}1[]()()()K K K K K K K K K K K K K K K K K K K x x x f x dx dx x x f x dx dx K K x x x d x f x dx K K x x K K y x f x dx x f x dx x f x dx -------------------=-==
=--???????
??
(8) (iii)当1,2K i αβ=±就是方程(2)的共轭复特征根时,122K K i β-=, 再由欧拉公式有
1
ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ+===+, 2
ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ--===-, 将其代入(8)式,整理可得方程(4)的通解为
111
[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]x x x x f x dx x x x f x dx y αααβββββ-----=??(i)的证明与(ii)类似、
例1求方程22234ln y xy y x x x x '''-+=+的通解、
解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2440K K -+=, 特征根为 122K K ==,
所以由定理3,原方程的通解为
23223222232122223212[ln (ln )ln (ln )]
111
{ln [(ln )ln ][(ln )(ln )]}2
32
11ln [(ln )(ln )]62x x x x x dx x x x x x dx x x x c x x c x x c x x x x y x x c --+-?+++-+-+++===?? (其中1c ,2c 为任意常数)
例2求方程2322x x y xy y x e -+='''的通解、
解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为
2320K K -+=,
特征根为 12K =,21K =,
所以由定理3,原方程的通解为
23323212212()()
x x x x x x
x x e dx x x x e dx
x e c x xe e c c x c x xe y x ---=+---=++=??
(其中1c ,2c 为任意常数)
例3求方程2cos(ln )2x x x y xy y -+='''的通解、 解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为
2220k k -+=,
特征根为 1,21K i =±,
所以由定理3,原方程的通解为
212122cos(ln )]cos(ln )cos(ln )
11sin(ln )cos(ln )cos(ln ))sin(ln )cos(ln )sin(ln )cos(ln )sin(ln )[sin(ln )]{sin(ln )(ln )cos(ln )[ln(cos(ln )]}
[][sin(ln )ln x x x x dx dx x x x dx x dx x x x x c x y x x x x x x x x x x c x x c x c x x x ----+===+++=++????
cos(ln )ln(cos(ln ))]x x (其中1c ,2c 为任意常数)
在定理3中,若令()0f x =,则得到二阶齐次欧拉方程(2)的通解、 推论 方程(2)的通解为
(i)1112ln K K x c x x y c +=, (12K K =就是方程(2)的相等的实特征根)
(ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠就是方程(2)的不等的实特征根)
(iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=、(1,2K i αβ=±就是方程(2)的共轭复特征根)
(其中1c ,2c 为任意常数)
2、3三阶非齐次欧拉方程的求解(常数变易法)
三阶非齐次欧拉方程:32123()x y a x y a xy a y f x +++=''''''、 (9) (其中1a ,2a ,3a 为常数)
(9)对应的齐次方程为321230x y a x y a xy a y +++=''''''、 (10) 特征方程为321123(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=、 (11)
定理4 设1K 就是方程(11)的根,2K 就是方程
22122112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=
的根,则(9)的通解为
12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=??? 、 (12)
证明 根据条件1K y cx =(c 为任意常数)就是方程(10)的解、 设1()K y c x x =就是方程(9)的解(其中()c x 就是待定的未知数), 将其代入方程(9),整理得
1121111112(3)3231111213()(3)()[3(1)2]()[(3)(2)]()()K c x K a x c x K K a K a x c x K a K a a K a x c x x f x ---+-''''''+++-++++-+-++= (13)
因为1K 就是(11)的根,则
3
21111213(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=,
于就是(13)式化为
1(3)121111112()(3)()[3(1)2]()()K c x K a x c x K K a K a x c x x f x -+--''''''+++-++=(14) 这就是以()c x '为未知函数的二阶欧拉方程、 设2K 为(14)对应的齐次方程的特征方程
21111112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=, (15)
的根,则
221121(23)(2)()[()]K K K a K K c x x x x f x dx dx -+++-'=??、
从而2211211(23)(22){[()]}()K K K a K K a x x x f x dx dx dx c x -++++-=???、 故方程(1)的通解为
12211211
(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=???、 定理5 设1K 就是方程(11)的根,2K 就是方程(15)的根,则 (i)当1K 就是方程(11)的单实根,2K 就是方程(15)的单实根,则(9)的通解为
1212121121(2)1(3)(2)121[()()](32)1
K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++=-++-???(ii)当1K 就是方程(11)的单实根,2K 就是方程(15)的单虚根,则(9)的通解为
111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x x x f x dx x x x f x dx dx y x αααβββββ-++-++-=???
(其中11132K a α--=,β=(iii)当1K 就是方程(11)的单实根,2K 就是方程(15)的重实根,则(9)的通解为
121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-?=???, (iv)当1K 就是方程(11)的三重实根,方程(15)变为2210K K ++=,有
欧拉方程的求解 1.引言 在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（Leonhard Euler,1707--1783）. 几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数” 欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用π表示 圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求和、i 表示虚数单位 以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”. 在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如K y x =的解，进而求得欧拉方程的解. 但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明. 2.几类欧拉方程的求解 定义1 形状为 ()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++= （1） 的方程称为欧拉方程. （其中1a ，2a ， ，1n a -，n a 为常数）
2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解） 二阶齐次欧拉方程： 2120x y a xy a y '''++=. （2） (其中1a ,2a 为已知常数） 我们注意到，方程（2）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、1a x 和02a x ） ，且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数K y x =来尝试，看能否选取适当的常数K ，使得K y x =满足方程（2）. 对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得 212()0K K K K K x a Kx a x -++= 或 212[(1)]0K K a K a x +-+=, 消去K x ，有 212(1)0K a K a +-+=. （3） 定义2 以K 为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程. 由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幂函数K y x =就是方程（2）的解. 于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论： 定理1 方程（2）的通解为 (i) 1112ln K K y c x c x x =+, （12K K =是方程（3）的相等的实根） (ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠是方程（3）的不等的实根) (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（3）的一对共轭复根） （其中1c 、2c 为任意常数）
本科生毕业论文 论文题目：图解刚体力学——欧拉运动学方程 学生姓名：罗加宽 学号： 2008021152 专业名称：物理学 论文提交日期： 2012年05月17日 申请学位级别：理学学士 论文评审等级： 指导教师姓名：陈洛恩 职称：教授 工作单位：玉溪师范学院 学位授予单位：玉溪师范学院 玉溪师范学院理学院物理系 2012年05月
图解刚体力学—欧拉运动学方程 罗加宽 （玉溪师范学院理学院物理系 08级物理1班云南玉溪 653100） 指导教师：陈洛恩、杨春艳 摘要：本文阐述了描述刚体定点转动的欧拉角及欧拉运动学方程的图解，以期让复杂的问题转 化得简单清晰而易于学习者的理解，抽象的概念变得直观具体而易于学习者的掌握；并能在一 定程度上对提高学习者的空间思维能力、引导和培养学习者的创新思维能力有一定的帮助。 关键字：图解；刚体；欧拉角；欧拉运动学方程 1.引言 理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学；依照牛顿的说法，理论力学“是关于力产生的运动和产生任何运动的力的理论，是精确的论述和证明” [1]。理论力学作为使用数学方法的自然知识的一部分，不仅研究实际物体，而且研究其模型—质点、质点系、刚体和连续介质。从研究次序来看，通常先研究描述机械运动现象的运动学，然后再进一步研究机械运动应当遵循哪些规律的动力学。至于研究平衡问题的静力学，对理科来讲可以作为动力学的一部分来处理，但在工程技术上，静力学却是十分的重要，因此，常把它和动力学分开，自成一个系统[2]。本文图解的内容为刚体力学运动学问题之一的刚体的绕定点的转动。 “图解”的方法,较早见于上海科学技术出版社1988年翻译出版的《图解量子力学》，原书名为The Picture Book of Quantum Mechanics，由Springer-Verlag 出版；类似的书还有Springer-Verlag出版的Visual Quantum Mechanics。其特点是通过将理论物理与数值计算相结合实现可视化来讲解物理知识。国外对物理的可视化教学十分重视，早在1995-1996年间Wiley出版社出版了9本有关物理多媒体教学的丛书,是由大学高等物理软件联盟(The Consortium for Upper-Level Physics Software，CUPS)编写该丛书及其所用的教学软件[3]。如今，图解法已经广泛应用于力学、电磁学、模拟电子技术等方面，理论力学方面同样也有不少人已经采用了图解法。如赵宗杰使用3dsmax建立质点外弹道运动规律的虚拟模型和场景[4]；乐山师范学院王峰等利用Matlab分别对质点受力仅为位置、速度或时间的函数进行了图解，并说明了Matlab在理论力学中的应用[5]；阜阳师范学院孙美娟、韩修林利用Mathematica进行编程作出了落体的位移—时间图像[6]。通过图解，使很多抽象繁难的物理问题在解析时达到空间立体直观，概念形成清晰，逻辑链路晓畅明朗，数式转换准确易见。 理论力学因理论性较强，与高等数学联系密切，一些概念的形成、公式的推导、逻辑推理等较抽象、繁难、复杂，往往使教授者感到教学很难达到预期的效果，学
关于欧拉方程的理解 1755年,瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。 形如：)(1)1(11)(x f y x p y x p y x n n n n n ='+++--- (1) 的方程称为欧拉方程, 其中n p p p ,,,21 为常数。 欧拉方程的特点是： 方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同。 现阶段欧拉方程的应用领域很广，现只结合流体力学来探讨我对于欧拉方程的理解。 欧拉方程提出采用了连续介质的概念，把静力学中压力的概念推广到了运动流体中。 流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的规律及其在工程实际中的应用。 这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时，称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标系静止时，称流体处于相对静止状态。 流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。 流体静压强的特性 1静压强的方向—沿作用面的内法线方向 2任一点的流体静压强的大小与作用面的方向无关，只与该点的位置有关
由上图可以推到出流体平衡微分方程式，即欧拉平衡方程 x y z p f x p f y p f z ρρρ??=?????=?????=??? 当流体处于平衡状态时，单位体积质量力在某一轴向上的分力，与压强沿该轴的递增率相平衡。 这里的fx 、fy 、fz 是流体质量力在x 、y 、z 轴上的投影，且质量力中包含以下两项：重力和惯性力。在这里如果假定fx 、fy 、fz 仅仅是重力在三个坐标轴上的投影，那么惯性力在x 、y 、z 轴上的投影分别为:-du/dt ，-dv/dt 和-dw/dt 。于是，上式便可写成 d d d d d d x y z u p f t x v p f t y w p f t z ρρρ????-= ???? ??????-=? ??? ??????-=? ??? ?? 上式整理后可得：
泛函的欧拉方程(by zhengpin1390) (二)、泛函的欧拉方程 欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问题转化为微分问题。 （1）最简单的欧拉方程： 设函数F(x,y,y') 是三个变量的连续函数，且点(x,y)位于有界闭区域B 内，则对形如 的变分，若其满足以下条件： c) 在有界闭区域B内存在某条特定曲线y。(x) ，使泛函取极值，且此曲线具有二阶连续导数。 则函数y。(x) 满足微分方程： 上式即为泛函Q[y]的欧拉方程。 （2）含有自变函数高阶倒数的泛函的欧拉方程 一般来说，对于下述泛函： 在类似条件下，可以得到对应的欧拉方程为： （3）含有多个自变函数的泛函的欧拉方程
对于下述泛函： 其欧拉方程组为： （4）多元函数的泛函及其欧拉方程 此处仅考虑二元函数的情况，对如下所示多元函数的泛函： 其欧拉方程为： 泛函分析 泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和 代数条件的映射的分支学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。 泛函分析的产生 十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。
本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。 由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。 非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。 这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。 这里我们先介绍一下算子的概念。算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。
关于欧拉方程变量代换后系数递推关系的一点总结 光信1104 李号 ) (0' 1) 1(1 1) (x f y a xy a y x a y x a n n n n n n =++++--- 程我们知道，对于欧拉方 不全为0 ,,,(32n a a a 可以通过变量代换x t e x t ln ==或化简。本文主要介绍如何用 低阶导数来表示高阶导数以及线性表示时的系数递推关系。 先用一个例子来说明我们要探讨的问题。 已知：' ''''2'3 3 22 ,,,,,,xy y x xy dt y d dt y d dt dy e x t 求=（此处均为对x 的导数）。 显然，由x dx dt x t e x t 1,ln = ==则可知 dt dy xy dt dy x dx dt dt dy dx dy y = ?? = ? = = ' ' 1 dt dy dt y d y x dt dy dt y d x dx dt dt y d x dt dy x dt dy x dx d dx dy dx d dx y d y -=?-=??+?-=?=== 2 2 ' '22222222 2 ' ')(111)1()()1 1(1 )( 2)]( 1 [ )(2 2 3322 2 3 2 2 2 22 ' ''x dt y d x dt y d x dt dy dt y d x dt dy dt y d x dx d dx y d dx d y ?-?+-- =- = = dt dy dt y d dt y d y x dt dy dt y d dt y d x 2 3)23( 122 3 3 ' ''322 3 33+-= ?+-= 同理可求出dt dy dt y d dt y d dt y d y x 6 11 6 2 2 3 3 4 4 ) 4(4 -+-= 我们把系数提出，如下排列： n=1 1 n=2 1 -1 n=3 1 -3 2 n=4 1 -6 11 -6 为了方便讨论，我们作出以下两点规定： i) 用“m n B ”表示第n 排第m 列的数（显然m n ≥）； ii) !n -!n 1-)!1()!1() 1(n 1 ）（）即（=-=---n n n 由上文中的迭代求导不难得出下面三点规律： i) 11 =n B ； ii) 1 1)1(---=n n n n B n B ; iii) ()1)1(1 11+≥-+=---m n B n B B m n m n m n
欧拉方程的求解 1、引言 在数学研究领域,我们经常会瞧到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等,让人敬佩跟羡慕、但就是,迄今为止,哪位数学家的名字出现得最多呢？她就就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一,人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉(Leonhard Euler,1707--1783)、 几乎在每一个数学领域都可以瞧到她的名字,譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”L L 欧拉还就是许多数学符号的发明者,例如用π表示圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求与、i 表示虚数单位L L 以欧拉命名的数学名词有很多,本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”、 在文献[1]中,关于欧拉方程的求解通常采用的就是变量变换的方法、变量变换法就就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程,然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解,亦即求其形如K y x =的解,进而求得欧拉方程的解、 但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难、本文在所学的欧拉方程的求解的基础上,对欧拉方程进行了简单的分类,并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理、最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明、 2、几类欧拉方程的求解 定义1 形状为 ()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++=L (1) 的方程称为欧拉方程、 (其中1a ,2a ,L ,1n a -,n a 为常数)
2、1二阶齐次欧拉方程的求解(求形如K y x =的解) 二阶齐次欧拉方程: 2120x y a xy a y '''++=、 (2) (其中1a ,2a 为已知常数) 我们注意到,方程(2)的左边y ''、y '与y 的系数都就是幂函数(分别就是 2x 、1a x 与02a x ),且其次依次降低一次、 所以根据幂函数求导的性质,我们用幂函数K y x =来尝试,瞧能否选取适当的常数K ,使得K y x =满足方程(2)、 对K y x =求一、二阶导数,并带入方程(2),得 212()0K K K K K x a Kx a x -++= 或 212[(1)]0K K a K a x +-+=, 消去K x ,有 212(1)0K a K a +-+=、 (3) 定义 2 以K 为未知数的一元二次方程(3)称为二阶齐次欧拉方程(2)的特征方程、 由此可见,只要常数K 满足特征方程(3),则幂函数K y x =就就是方程(2)的解、 于就是,对于方程(2)的通解,我们有如下结论: 定理1 方程(2)的通解为 (i) 1112ln K K y c x c x x =+, (12K K =就是方程(3)的相等的实根) (ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠就是方程(3)的不等的实根) (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=、(1,2K i αβ=±就是方程(3)的一对
欧拉方程的求解 1. 引言 在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕. 但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉( Leonhard Euler,1707--1783 ) . 几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数” L L 欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用表示圆周率、e表示自然对数的底、f(x)表示函数、表示求和、i表示虚数单位L L 以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”. 在文献[1] 中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法. 变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如y x K的解，进而求得欧拉方程的解. 但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难. 本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理. 最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明. 2. 几类欧拉方程的求解 定义 1 形状为 n (n) n 1 ( n 1) n y(n)a1x n 1y(n 1)L a n 1xy a n y 0 (1) x 的方程称为欧拉方程. (其中a i, a2, L , a ni, a.为常数)
2.1 二阶齐次欧拉方程的求解（求形如 y x K 的解） 二阶齐次欧拉方程： x 2y a i xy a 2y 0. （ 其中 a 1, a 2 为已知常数） 我们注意到，方程（2）的左边y 、y 和y 的系数都是幕函数（分别是x 2 a i x 和a 2X °）,且其次依次降低一次.所以根据幕函数求导的性质，我们用幕 函数y x K 来尝试，看能否选取适当的常数 K ,使得y x K 满足方程（2）. x K 求一、二阶导数，并带入方程（2），得 由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幕函数y x K 就是方程（2） 共轭复根） （其中C i 、c 为任意常数） 证明(i )若特征方程(3)有两个相等的实根：? K 2，贝U 2） 消去 x K ，有 (K 2 [K 2 K 2 定义 2 以 K 为未知数的 的特征方程. K)X K (a 1 (a 1 KK a i Kx a 2 x 0 K i)K a 2]x K 0, 1)K a 2 0. 3) 元二次方程（ 3）称为二阶齐次欧拉方程（ 2） 的解. 于是，对于方程（ 2）的通解， 定理 i 方程（ 2）的通解为 y c i x Ki 我们有如下结论： (i) c 2X K1 ln X , （K i K 2是方程（3）的相等的实根） (ii) K 1 y c 1X 1 c2X K2 K i K 2是方程（3）的不等的实根） (iii) y c 1 X cos( ln X) c 2X sin( ln X). (K 1,2 i 是方程（ 3）的一对
一类含对数函数的欧拉方程的解法 车茂林 (内江师范学院 数学与信息科学学院，四川 内江 641112)1 摘 要:利用变量代换,将一类含对数函数的欧拉方程转化成可求解的常系数非齐次微分方程,从而可以得到所讨论的方程的通解. 关键词:对数函数;欧拉方程;特殊解. 引言与引理说明 在文献[1] 中,论述了六类初等函数的基本形式.而且在解决某些问题时,通常用到如下的变量代换: t e x =,x t ln =,0>x 在文献[2] 中,讨论了常系数齐次线性微分方程 A x a dt dx a dt x d a dt x d a dt x d n n n n n n n n 01222111=+++++----- 与对应的常系数非齐次线性微分方程 B t f x a dt dx a dt x d a dt x d a dt x d n n n n n n n n )(1222111=+++++----- 的通解的求法问题.其中)(t f 满足下列两种形式: t m m m m k e b t b t b t b t t f λ)()(1110++++=-- t k e t t B t t A t t f βαα]sin )(cos )([)(+= )(t A ,)(t B 为带实系数的t 的多项式.且为次数为有限次. 由文献[3]中,有非齐次线性微分方程的叠加原理:设)(1t x ,)(2t x 分别是非齐次线性微分方程 )()()()()(11222111t f x t a dt dx t a dt x d t a dt x d t a dt x d n n n n n n n n =+++++----- , )()()()()(21222111t f x t a dt dx t a dt x d t a dt x d t a dt x d n n n n n n n n =+++++----- 的解，则)()(21t x t x +是方程 1 车茂林（1989-），男，汉，四川达州人，内江师范学院数学与信息科学学院本科生.
精心整理 欧拉方程的求解 1.引言 在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（LeonhardEuler,1707--1783）. 式”、i 表示形如2.2.1二阶齐次欧拉方程：2120x y a xy a y '''++=.（2） (其中1a ,2a 为已知常数） 我们注意到，方程（2）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、1a x 和02a x ），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数K y x =来尝试，看能否选取适当的常数K ，使得K y x =满足方程（2）.
对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得 或 212[(1)]0K K a K a x +-+=, 消去K x ，有212(1)0K a K a +-+=.（3） 定义2以K 为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程. 由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幂函数K y x =就是方程（2）的解. (i)y (ii)(iii)证明1x y =且设，2y 线约去由于1K 是特征方程（3）的二重根， 因此 或 112(1)0K a +-=, 于是，得 或 0xu u '''+=,
即()0xu ''=, 故12()ln u x c x c =+. 不妨取()ln u x x =，可得方程（2）的另一个特解 12ln K y x x =, 所以，方程（2）的通解为 1112ln K K y c x c x x =+. （ii 1x y =又21y y （iii 1x y =和 是方程（2）的两个线性无关的实函数解. 所以，方程（2）的通解为 12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+. （其中1c ，2c 为任意常数） 例1求方程20x y xy y '''-+=的通解.
4.3 欧拉方程、非齐次高阶线性方程特解的待定系数方法 (How to Solve Euler equation, Use the method of undetermined coefficients to find particular solution to nonhomogeneous higher order Linear ODE) [教学内容] 1. 介绍欧拉方程及其解法. 2. 介绍非齐次线性方程特解的待定系数求法. 3. 介绍非齐次线性方程特解的常数变易法. [教学重难点] 重点是知道欧拉方程的特征方程，并能获得原欧拉方程的基本解组；如何运用待定系数法或常数变易法求解非齐次线性方程的特解； 难点是如何由非齐次线性方程中 f(t)的形式合适选择特解的形式. [教学方法] 预习1、2、3；讲授1、2、3 [考核目标] 1. 能写出欧拉方程的特征方程的形式 2. 能由欧拉方程的特征方程的特征根写出原微分方程基本解组; 3. 知道待定系数法求解非齐次线性方程的特解； 4. 知道运用常数变易法求解非齐次线性方程的特解. 1. 认识欧拉方程. (1) 称形如0qy px y''y'x 2 =++为欧拉等量纲方程（Euler ’s equi-dimensional equation ），其中p 和q 都是常数. (2) 解法：令自变量替换t e x =将原方程化为常系数方程： dt dy e (dx /dt)1dt dy dx dt dt dy dx dy t -=?=?=； dt dy dt dy xe dx dy x t ==-； )dx dt dt y d (e dt dy )dx dt e ()dt dy (e dx d dx y d 22t t t 22---+?-==； 2222 t 2t 2222 dt y d dt dy -)dx dt dt y d (e x dt dy )dx dt e (x dx y d x +=+?-=--； 因此，原方程化为0qy dt dy 1) (p dt y d 22=+-+，这是一个常系数线性微分方程. 令)x (y e y λ λt ==代入方程得到，方程为0q)1)λ(p (λe 2 t =+-+λ（或 0q p λ1)λ(λ=++-），称0q p λ1)λ(λ=++-为欧拉方程的特征方程. 由此得到新方程的基本解组为t λt λ21e ,e 或t λt λ11 te ,e ，或)sin(),cos(t e t e t t ββαα. 返回原变量得到欧拉方程的基本解组为2 1λλ x ,x 或1 1λλ x |x |ln ,x ，或 |)|ln sin(|),|ln cos(x x x x ββαα.
欧拉方程与纳维-斯托克斯方程 一发展历史 以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及重力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。它们可以用于模拟天气、洋流、管道中的水流、星系中恒星的运动、翼型周围的气流；它们也可以用于飞行器和车辆的设计、血液循环的研究、电站的设计、污染效应的分析等等。 纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。 实际上，只有最简单的情况才能用上述方法解答，而它们的确切答案是已知的。这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。 虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。 二表达式 1纳维-斯托克斯方程
在此处键入公式。欧拉方程组——守恒形式： ?U ?t +?F(U) ?x =0，U= ρ ρu E ，F U= ρu ρu2+P (E+P)u 。 令m=ρu，则 P=γ?1ρe=γ?1E?1 2ρu2=(γ?1)(E?1 2 m2 ρ )， 且U=ρ m E ，F U= m γ?1E+3?γ 2 m2 ρ γmE ρ ?γ?1 2 m2 ρ 。 进一步有： (γ?1E+3?γ 2m2 ρ )x=γ?1E x+(3?γ)m ρ m x?3?γm2 2ρ2 ρx=0, (γmE ρ?(γ?1)m3 2ρ )x=γm ρ E x+γE ρ ?3γ?1m2 2ρ m x?3?γm2 2ρ ρx=0. 所以有， ??t ρ m E +A? ?x ρ m E =0， 其中 A= 010 (γ?3)m2 2ρ2 (3?γ)m ρ γ?1 (γ?1)m3 ρ ?γmE ρ γE ρ ?3(γ?1)m2 2ρ γm ρ . 又m ρ=u,E ρ =ρe+ 1 2 ρu2 ρ P=γ?1ρe,c=γP c2 γ(γ?1) +1 2 u2 则 A= 010 (γ?3)u2 2 (3?γ)uγ?1γ?2 2 u3?c2u γ?1 c2 γ?1 +3?2γ 2 u2γu 计算特征值：
μE?A= μ?10 3?γ u2μ+γ?3u1?γ c2 u? γ?2 u3 2γ?3 u2? c2 μ?γu =μ?γu μ2+γ?3uμ+3?γ 2 u2 +γ?12γ?3 u2? c2 μ+ c2 u? γ?2 u3 =μ3?3uμ2+3u2?c2μ+c2u?u3 =(μ?u)(μ?(u+c))(μ?(u?c)) 其特征值为：μ1=u?c，μ2=u，μ3=u+c。 计算右特征向量：r= r1,r2,r3=r11r12r13 r21r22r23 r31r32r33 当μ1=u?c时，有： u?c?10 3?γ2u2γ?2u?c1?γ c2γ?1u? γ?2 2 u3 2γ?3 2 u2? c2 γ?1 1?γu?c r11 r21 r31 = 进一步得 u?c r11?r12=0 3?γ 2 u2r11+γ?2u?c r12+1?γr13=0 所以可得r1= 1 u?c 1 2 u2?uc+c2 γ?1 = 1 u?c H?uc , 同理可得r2= 1 u 1 2 u2 ，r3= 1 u+c H+uc ，其中H=E+P ρ =c2 γ?1 +1 2 u2. 计算左特征向量：l=(l1,l2,l3)T=l11l12l13 l21l22l23 l31l32l33
欧拉方程的求解.
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欧拉方程的求解 1.引言 在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等,让人敬佩跟羡慕.但是,迄今为止,哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一,人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉(Leo ｎhard E ｕler,1707-－1783）. 几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数” 欧拉还是许多数学符号的发明者,例如用π表示 圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求和、i 表示虚数单位 以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”. 在文献[1］中,关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如K y x =的解，进而求得欧拉方程的解. 但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明． ２.几类欧拉方程的求解 定义１ 形状为 ()1(1)110 n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++ ++= (1) 的方程称为欧拉方
欧拉方程 (刚体运动) 莱昂哈德·欧拉用欧拉角来描述刚体在三维欧几里得空间的取向。对于任何一个参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。所以，刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。换句话说，任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。 静态的定义 三个欧拉角：() 。蓝色的轴是xyz-轴，红色的轴是XYZ-坐标轴。绿色的线是交点线(N) 。 对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。参考系又称为实验室参考系，是静止不动的。而坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。 参阅右图。设定 xyz-轴为参考系的参考轴。称 xy-平面与 XY-平面的相交为交点线，用英文字母（Ｎ）代表。zxz 顺规的欧拉角可以静态地这样定义: ?α是x-轴与交点线的夹角， ?β是z-轴与Z-轴的夹角， ?γ是交点线与X-轴的夹角。
很可惜地，对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常规。科学家对此从未达成共识。每当用到欧拉角时，我们必须明确的表示出夹角的顺序，指定其参考轴。 实际上，有许多方法可以设定两个坐标系的相对取向。欧拉角方法只是其中的一种。此外，不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的名字表示同样的欧拉角。因此，使用欧拉角前，必须先做好明确的定义。 [编辑]角值范围 ?值从0 至2π弧度。 ?β值从0 至π弧度。 对应于每一个取向，设定的一组欧拉角都是独特唯一的；除了某些例外： ?两组欧拉角的α，一个是0 ，一个是2π，而β与γ分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。 ?两组欧拉角的γ，一个是0 ，一个是2π，而α与β分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。 [编辑]旋转矩阵 前面提到，设定刚体取向的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵合成的： 单独分开作用，每个矩阵各自代表绕着其转动轴的旋转；但是，当它们照次序相乘， ?最里面的(最右的) 矩阵代表绕着z 轴的旋转。 ?最外面的(最左的) 矩阵代表绕着Z 轴的旋转。 ?在中间的矩阵代表绕着交点线的旋转。 经过一番运算, 的逆矩阵是：
编辑词条 欧拉公式 [编辑本段] 欧拉公式 (Euler公式) 在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做 欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。 （1）分式里的欧拉公式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c （2）复变函数论里的欧拉公式： e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。 它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。 将公式里的x换成-x，得到： e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到： sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2. 这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到： e^i∏+1=0. 这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：
虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。 （3）三角形中的欧拉公式： 设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d＾2=R＾2-2Rr （4）拓扑学里的欧拉公式： V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P 的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。 如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。 X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。 （5）初等数论里的欧拉公式： 欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。 欧拉证明了下面这个式子： 如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中众pj(j=1,2,……, m)都是素数，而且两两不等。则有 φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm) 利用容斥原理可以证明它。 此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。 欧拉方程 [编辑本段] 欧拉方程Euler’s equation 对无粘性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微 分方程。欧拉方程是无粘性流体动力学中最重要的基本 方程,应用十分广泛。1755年,瑞士数学家L.欧拉在《流
有限体积法求解二维可压缩Euler方程 ——计算流体力学课程大作业 老师：夏健、刘学强 学生：徐锡虎 学号：SQ0901******* 日期：2010年2月5日
目录 一、内容摘要 (2) 二、流动控制方程 (2) 三、有限体积法的空间离散 (2) 四、人工耗散 (3) 五、时间离散 (4) 六、边界条件 (5) 七、计算结果 (8) 八、结论与展望 (11) 参考文献 (11)
一、内容摘要 本文通过运用JAMESON 有限体积法求解了二维定常和非定常可压缩Euler 方程。程序实现语言为C++。其中，使用的网格是三角形非结构网格。在时间推进上使用的是四步龙—库塔推进格式。推进的时间步长取的是当地的时间步长。为了消除迭代误差、round-off 等误差，本文采用了添加人工耗散项的办法。另外，本文计算了NACA0012翼型在跨音速下不同迎角的情况，并与fluent 软件的计算结果进行了比较，来验证程序的准确性。 二、流动控制方程 守恒形式的Euler 方程： 0=-+Ω?? ??Ω Gdx Fdy wd t S （1） 其中x 和y 代表笛卡儿坐标系。W 是守恒变量。 ???? ? ???????=E V U W ρρρρ (2) F,G 表示通量 ????????????+=UH UV P U U F ρρρρ2, ???? ? ???????+=VH P V UV V G ρρρρ2 (3) ρ,P , H 和E 表示密度，压强，单元总焓和单元总能量。U,V 表示笛卡儿坐标系下 的速度矢量。这些量由理想气体的单位体积的总能量和总焓相互联系。 2/122）（）（V U P E ++-=ργρ (4) P E H +=ρρ (5) 三、有限体积法的空间离散 计算域被划分为互不重叠的单元。在每个单元运用守恒形式的Euler 方程。由于每个单 元相对于时间都是不变的，所以等式（1）可以写成： ??Ω Ω --=??d Gdx Fdy t W S ) ( （8） 其中Ω和S 是单元的体积和边界。W 是单元的平均值。 在对上述方程进行时间离散前，先对空间进行离散，则方程（6）可以写为： k k k Q dt dW Ω-= （9）