线性模型摄像机定标

摄像机标定的几种方法摄像机标定是计算机视觉和机器视觉领域中的一项重要技术，用于确定相机的内参矩阵和外参矩阵，从而实现图像的准确测量与三维重建。

本文将介绍几种常用的摄像机标定方法，包括直接线性变换（DLT）、Zhang的标定法、Tsai的标定法、径向畸变模型等。

1.直接线性变换（DLT）方法：直接线性变换方法是摄像机标定最基础的方法之一，通过在物体平面上放置多个已知几何形状的标定物体，测量它们的图像坐标和真实坐标，通过最小二乘法求解相机的投影矩阵。

DLT方法简单直接，但对噪声敏感，容易产生误差。

2. Zhang的标定法：Zhang的标定法是一种常用的摄像机标定方法，通过在平面上放置一系列平行的标定板，根据不同位置姿态下的标定板的图像坐标和物理坐标，运用最小二乘法求解相机的内参矩阵和外参矩阵。

Zhang的标定法提高了标定的精度和稳定性，但要求标定板在不同位置姿态下具有较大的变化。

3. Tsai的标定法：Tsai的标定法是一种基于摄像机的投影模型的标定方法，通过摄像机的旋转和平移矩阵，以及曲率和径向畸变的参数，对图像坐标和物理坐标之间的映射关系进行数学推导和求解。

Tsai的标定法可以对畸变进行校正，提高图像测量的精度。

4. Kalibr工具包：Kalibr是一个开源的摄像机标定和多传感器校准工具包，结合了多种摄像机标定方法，例如DLT、Tsai、Zhang等。

Kalibr工具包不仅可以标定单目相机，还可以标定双目和多目视觉系统，对相机的内参、外参、畸变等参数进行标定和优化，同时还能进行相机的手眼标定、IMU与相机的联合标定等。

5. Di Zhang的自标定方法：Di Zhang提出了一种基于相对边界点的自标定方法，通过提取图像中的特定点边界，通过对这些边界点位置的检测与分析，实现对相机内参和外参的求解。

这种方法不需要使用标定板等外部标定物体，只需要相机自身可以看到的物体边界即可进行标定。

6.径向畸变模型：径向畸变是摄像机成像中常见的一种畸变形式，主要表现为物体边缘呈弯曲的形式。

摄像机标定方法综述摘要：首先根据不同的分类方法对对摄像机标定方法进行分类，并对传统摄像机标定方法、摄像机自标定方法等各种方法进行了优缺点对比，最后就如何提高摄像机标定精度提出几种可行性方法。

关键字：摄像机标定，传统标定法，自标定法，主动视觉引言计算机视觉的研究目标是使计算机能通过二维图像认知三维环境，并从中获取需要的信息用于重建和识别物体。

摄像机便是3D 空间和2D 图像之间的一种映射，其中两空间之间的相互关系是由摄像机的几何模型决定的，即通常所称的摄像机参数，是表征摄像机映射的具体性质的矩阵。

求解这些参数的过程被称为摄像机标定[1]。

近20 多年，摄像机标定已成为计算机视觉领域的研究热点之一，目前已广泛应用于三维测量、三维物体重建、机器导航、视觉监控、物体识别、工业检测、生物医学等诸多领域。

从定义上看，摄像机标定实质上是确定摄像机内外参数的一个过程，其中内部参数的标定是指确定摄像机固有的、与位置参数无关的内部几何与光学参数，包括图像中心坐标、焦距、比例因子和镜头畸变等；而外部参数的标定是指确定摄像机坐标系相对于某一世界坐标系的三维位置和方向关系，可用3 ×3 的旋转矩阵R 和一个平移向量t 来表示。

摄像机标定起源于早前摄影测量中的镜头校正，对镜头校正的研究在十九世纪就已出现，二战后镜头校正成为研究的热点问题，一是因为二战中使用大量飞机，在作战考察中要进行大量的地图测绘和航空摄影，二是为满足三维测量需要立体测绘仪器开始出现，为了保证测量结果的精度足够高，就必须首先对校正相机镜头。

在这期间，一些镜头像差的表达式陆续提出并被普遍认同和采用，建立起了较多的镜头像差模型，D.C.Brown等对此作出了较大贡献，包括推导了近焦距情况下给定位置处径向畸变的表达式及证明了近焦距情况下测得镜头两个位置处的径向畸变情况就可求得任意位置的径向畸变等[2]。

这些径向与切向像差表达式正是后来各种摄像机标定非线性模型的基础。

计算机视觉中摄像机标定精度评估方法《计算机视觉中摄像机标定精度评估方法》摄像机标定（camera calibration）是计算机视觉中的重要环节，关系到图片的质量，是确定图片的世界坐标与像素坐标的关系的过程，是一个非常复杂的过程。

由于每一个摄像机都有其摄像机内参数，因此，开展摄像机标定是必须的。

摄像机标定精度的评估是摄像机标定的一个重要环节，也是检验摄像机标定结果的重要手段。

摄像机标定精度评估一般可以采用以下几种方法。

一、重投影误差法重投影误差法，也叫误差拟合法，是将实际的观测坐标与重投影模型的观测坐标之间的误差用回归法拟合，以获得总体的标定精度。

重投影误差法适用于误差分布满足正态分布和均值为0的原理。

它的优点是能有效的提取出标定系统的整体参数，对误差概率分布有一定要求，但该方法受实际质量影响较大，当误差分布不满足设定的条件时，结果不可靠。

二、多旋转法多旋转法是根据摄像机标定参数的某种随机变换模型，来评估标定精度。

它的基本原理是，当标定结果输出后，首先应用一组随机旋转向量对标定参数进行改变，再将改变后的参数带入标定系统中将原图片重投影，如果重投影结果与实际观测值偏差不大的话，则说明标定精度是比较可靠的。

多旋转法的优点是，无论误差分布是正态分布还是非正态分布，它都能够很好的反映标定系统的整体参数，且根据实际情况，可以采用任意的旋转模型，但它的缺点是，标定结果依赖于随机旋转向量的产生，且旋转向量的取值范围较为复杂。

三、迭代收敛法迭代收敛法通过反复迭代，计算出迭代结果与真实结果之间的偏差，从而评估摄像机标定精度。

它的优点是不受误差分布形态的影响，能很好的反映标定系统的整体参数，而且容易理解和实现；缺点是，结果受运算器的影响较大。

标定精度评估是计算机视觉中一个重要环节，在评估标定结果之前，应了解标定的原理，以及采用哪种评估方法，以及怎样评估，才能得出准确的标定精度评估结果。

《2D-3D 定位算法》笔记中英对照：世界坐标系或实体坐标系(3D)：object coordinate system 。

摄像机坐标系(3D): camera coordinate system 。

图像坐标系(2D): image coordinate system ，在摄像机坐标系下取x 和y 坐标即为图像坐标系。

2D-3D 点对：2D-3D correspondences ，根据投影变换将3D 点投影为2D 点。

平移变换：translation projection 旋转变换：rotation projection 比例变换：scale projection透视投影变换：perspective projection 正交投影变换：orthographic projection2D-3D 定位算法：根据 已给出的若干对 3D 点p i （在世界坐标系或实体坐标系下）和 相对应的 2D 点p i '（在图像坐标系下或在摄像机坐标系下取x 和y 坐标），求出之间的投影变换矩阵（旋转变换和平移变换）。

文献1：《A Comparison of 2D-3D Pose Estimation Methods 》 文献2：《A Comparison of Iterative 2D-3D Pose Estimation Methods for Real-Time Applications 》 文献3：《计算机视觉》-马颂德一、CamPoseCalib(CPC)1、基本思想：根据非线性最小二乘法，最小化重投影误差求出投影参数),,,,,(γβαθθθθθθθz y x =。

2、算法过程：（1）已给出若干点对)'~,(i i p p ，其中i p 是实体坐标系下的3D 点，'~i p 我理解为事先给出的图像坐标系下的2D 点，应该是给出的测量值 。

（2）将i p 先经过旋转变换 i z y x p R R R ⋅⋅⋅)()()(γβαθθθ 和平移变换 Tz y x ),,(θθθ ，得到摄像机坐标系下的点i z y x Tz y x i p R R R p m ⋅⋅⋅+=)()()(),,(),(γβαθθθθθθθ 。

学位论文独创性声明本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的研究成果。

其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。

作者签名：日期：学位论文使用授权声明本人完全了解南京财经大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。

保密的论文在解密后遵守此规定。

作者签名：导师签名：日期：第一章绪论1.1国内外研究方法和现状在计算机视觉领域中，摄像机标定技术是从二维图像中获取三维空间信息的重要且必要的步骤，因此该技术被广泛用于摄影测量、三维重建、导航系统以及视觉监控等一些科研和工程中。

就摄像机标定分类而言，其主要可分为三类: 传统标定[1-4]、主动视觉标定[5-11]和自标定[12-21]。

但此三种标定方法都存在某些方面的优缺点，其具体分析如下：1.1.1传统标定方法1．最优化算法标定方法最优化算法标定方法的优点是，在确定摄像机内参和外参的过程中，可以假设复杂摄像机模型，其中成像的过程亦可假设其复杂性。

但前面起初阶段的假设复杂性却给后面的求解过程带来的不便，归纳如下:1)：优化算法程序运行时间可能较长与一般线性的求解方法相比，无法实时得到精确的标定结果，而在一定情况下不能较快的得到准确的结果，则此算法就无实用性可言；2)：求解摄像机内参和外参最终结果一定程度上取决于所给参数的初值，如所给参数和理想求解值相差较大，则优化算法也较难标定出准确的摄像机参数。

在传统的摄影测量学方法中构造摄像机成像模型如文献[10]的算法。

此方法在进行摄像机标定和三维重建时精度较高，但计算过程复杂且计算量较大。

其中直接线性变换方法(DLT)也属最优化算法标定方法。

如Abdal-Aziz和Karara[11]，提出DLT摄像机定标的方法，此方法中几何关系的线性模型的建立于图像和环境物体之间的关系，但整个求解过程都是在没有考虑到摄像机非线性畸变的情况下，确定方程的线性解和线性模型参数的估计。

摄像机标定一、 概述计算机视觉的基本任务之一是从摄像机获取的图像信息出发计算三维空间中物体的几何信息，并由此重建和识别物体，而空间物体表面某点的三维几何位置与其在图像中对应点之间的相互关系是由摄像机成像的几何模型决定的，这些几何模型参数就是摄像机参数。

在大多数条件下，这些参数必须通过实验与计算才能得到，这个过程被称为摄像机定标(或称为标定)。

标定过程就是确定摄像机的几何和光学参数，摄像机相对于世界坐标系的方位。

标定精度的大小，直接影响着计算机视觉（机器视觉）的精度。

迄今为止，对于摄像机标定问题已提出了很多方法，摄像机标定的理论问题已得到较好的解决，对摄像机标定的研究来说，当前的研究工作应该集中在如何针对具体的实际应用问题，采用特定的简便、实用、快速、准确的标定方法。

二、 摄像机标定分类1 根据是否需要标定参照物来看，可分为传统的摄像机标定方法和摄像机自标定方法。

传统的摄像机标定是在一定的摄像机模型下，基于特定的实验条件，如形状、尺寸已知的标定物，经过对其进行图像处理，利用一系列数学变换和计算方法，求取摄像机模型的内部参数和外部参数（分为最优化算法的标定方法、利用摄像机透视变换矩阵的标定方法、进一步考虑畸变补偿的两步法和采用更为合理的摄像机模型的双平面标定法）；不依赖于标定参照物的摄像机标定方法，仅利用摄像机在运动过程中周围环境的图像与图像之间的对应关系对摄像机进行的标定称为摄像机自标定方法，它又分为：基于自动视觉的摄像机自标定技术（基于平移运动的自标定技术和基于旋转运动的自标定技术）、利用本质矩阵和基本矩阵的自标定技术、利用多幅图像之间的直线对应关系的摄像机自标定方以及利用灭点和通过弱透视投影或平行透视投影进行摄像机标定等。

自标定方法非常地灵活,但它并不是很成熟。

因为未知参数太多,很难得到稳定的结果。

一般来说，当应用场合所要求的精度很高且摄像机的参数不经常变化时，传统标定方法为首选。

而自标定方法主要应用于精度要求不高的场合，如通讯、虚拟现实等。

基于Scheimpflug定律的线结构光系统摄像机标定方法王平江;吴娟娟【摘要】建立了基于倾斜镜头的摄像机标定模型,给出了利用HALCON软件的简便标定方法.以线结构光传感器模型为基础,深入研究了满足Scheimpflug定律的恒聚焦光路系统,Scheimpflug定律使光敏元件和镜头之间产生了一个夹角,镜头相对于相机是倾斜放置的.针对倾斜镜头的标定做了相应的研究,利用传统摄像机标定的线性与非线性模型建立了基于倾斜镜头的摄像机数学模型,并利用HALCON机器视觉软件给出流程化的标定步骤.【期刊名称】《制造业自动化》【年(卷),期】2017(039)010【总页数】6页(P10-14,19)【关键词】Scheimpflug定律;恒聚焦光路;倾斜镜头;线结构光;标定;HALCON 【作者】王平江;吴娟娟【作者单位】华中科技大学机械科学与工程学院国家数控系统工程技术研究中心,武汉 430000;华中科技大学机械科学与工程学院国家数控系统工程技术研究中心,武汉 430000【正文语种】中文【中图分类】TP290 引言在光电检测领域，激光三角法以其快速、非接触、高精度的特点，被广泛使用，其中市场上出现最多的是基于线结构光的激光三角测量系统，已经有相应的产品，如北京大恒公司代理国外厂商LMI Technologies INC的Gocator智能传感器系列产品，通过投射线结构光达到测距、测截面轮廓等目的。

线结构光三维测量系统的标定是获取三维信息的关键步骤，有许多学者都对其进行了研究，但是多数都不是恒聚焦光路，对摄像机的标定采用传统的线性模型与非线性模型，有如学者周富强、张广军[1]，提出了一种新的基于自由移动平面参照物的表面视觉传感器全部参数的高精度简易标定方法；学者陈新禹等[2]提出的提出了一种基于单一圆形标靶标定线结构光视觉传感器的方法，他们的系统都是基于摄像机和透镜平行放置来建立的。

本文以线结构光三维测量系统为支撑，为达到高精度测量，设计了满足恒聚焦光路条件的硬件系统，由于光路条件的改变，原有的摄像机标定的线性模型以及非线性模型不足以描述本系统摄像机模型，因此本文深入研究了恒聚焦光路的数学模型，并建立了基于倾斜镜头的摄像机标定模型。

基于单幅立方体图的摄像机内参数标定作者：赵越王娟汪世敏来源：《现代电子技术》2009年第22期摘要:从图像中物体的度量结构确定摄像机内参数是不可缺少的步骤。

根据透视投影正交灭点的形成原理和摄像机线性标定原理,提出一种基于灭点的摄像机标定方法。

该方法的靶标为立方体,只需要单幅图像所获得的正交灭点即可线性地求解摄像机的内参数。

实验表明,该算法能准确、可靠地估计摄像机的内参数,并与实际情况吻合得较好。

关键词:摄像机标定;正交;灭点;靶标;内参数中图分类号:TP3910 引言摄像机标定在计算机视觉中有着重要的意义,它是获取三维空间信息的前提和基础。

精确标定摄像机内外参数不仅可以直接提高测量精度,而且为后继的立体图像匹配与三维重建奠定了良好的基础;同时,标定的实时性可以更好地满足导航等工业机器视觉的需要。

目前的标定方法很多,经典的算法包括:Tsai提出的DLT标定法;Heikkila提出的RAC标定法;张正友提出的基于平面标定法。

文献[1[CD*2]3]提出了多种线性标定方法,但是需要拍摄的图片数量多,且需要移动摄像机或靶标,对实验的要求较高。

文献[4]提出了一种基于平面镜的摄像机标定方法,需要移动摄像机或平面镜。

文献[5]采用主动发光的光点阵列标定靶,利用2D标定靶的精确移动来实现基于3D立体靶标的摄像机标定,它对实验的要求较高。

文献[6]提出了利用灭点属性求解摄像机内外方位角的方法,对实验的测量精度较高。

文献[7]提出了基于共线点的线性标定方法,但求解过程复杂。

文献[8]提出了基于圆环点的标定,但求解过程也相对较复杂。

确定灭点有多种方法:Barnard在1983 年首先提出了基于高斯球的灭点表达方法;E Lutton 在此基础上通过Hough变换确定了灭点;Criminisi A等等利用了最小二乘法整体平差模型,较精确地提取空间平行线在平面透视图中的灭点。

首先利用单幅图平行直线簇的交点拟合出灭点,再利用灭点理论,得出主点坐标,进而求得全部内参数。

CCD摄像机的标定论文导读：摄像机标定在机器视觉中有着重要的意义。

确定这些参数的过程就是摄像机标定。

来计算摄像机的内外参数。

线性模型，CCD摄像机的标定。

关键词：机器视觉，摄像机标定，线性模型，内参数，外参数0. 引言摄像机标定在机器视觉中有着重要的意义，它是由二维图像提取三维空间信息必不可少的关键一步。

博士论文，线性模型。

空间物体表面某点的三维几何位置与其在图像中对应点之间的相互关系是由摄像机成像的几何模型决定的。

博士论文，线性模型。

构成这一几何模型的参数就是摄像机参数。

确定这些参数的过程就是摄像机标定。

摄像机标定要确定摄像机内部几何与光学特征参数即内部参数及摄像机在三维空间坐标系中位置和方向即外部参数。

目前摄像机的标定大致可归结为传统标定方法和摄像机自标定方法两类。

传统的摄像机标定技术需要一个标定参照物，即需要在摄像机前放置一个已知物体。

在标定过程中，利用物体上一些已知点的三维坐标和它们相应的图像坐标，来计算摄像机的内外参数；摄像机自标定技术不需要标定块，仅需多幅图像对应点之间的关系即可直接进行标定，客服了传统方法的一些缺点，灵活性强，潜在的应用范围也比较广，缺点是鲁棒性差，精度不高。

自标定方法主要用在精度要求不高的场合，如通讯、虚拟现实等。

传统摄像机标定方法是在一定的摄像机模型下，在一定的实验条件下，利用形状、尺寸已知的标定物，经过对其图形进行处理，并利用数学变换和计算方法来计算摄像机内外参数，算法复杂但精度高。

标定计算的复杂度与摄像机成像几何模型的复杂度有关。

1.摄像机标定模型摄摄像机标定一般采用针孔模型。

理想的针孔模型是线性模型，然而线性模型不能很精确的描述成像过程，通常还要对其进行补偿。

博士论文，线性模型。

1.1计算机图像与摄像机图像如图表示以像素为单位的计算机图像坐标系的坐标，表示以毫米为单位的摄像机图像坐标系的坐标。

在坐标系中，原点定义在摄像机光轴与图像平面的交点，该点一般位于图像中心，当由于摄像机制作的原因，也会有些偏离。

摄像机标定的几种方法摄像机标定是计算机视觉和图像处理中非常重要的一环，它是通过对图像上已知几何形状的目标进行测量和分析，从而确定摄像机的内参和外参参数的过程。

摄像机标定的目的是为了减小或排除摄像机和图像采集设备的误差，使得图像处理和计算机视觉算法能够更精确地分析和处理图像。

目前，摄像机标定有多种方法，可以根据不同的需求和场景选择适合的方法。

下面将介绍常见的几种摄像机标定方法。

1.二维标定方法二维标定方法是最简单的一种方法，它可以通过对图像中已知平面上的特定点进行测量和分析来确定摄像机的内参参数。

这种方法适用于单目摄像机的标定，通常使用棋盘格或者三维坐标系的特征点标定图像。

2.三维标定方法三维标定方法是一种比较常用的摄像机标定方法，它可以通过对场景中已知三维点和其在图像中的投影进行测量和分析，确定摄像机的外参参数。

通常使用标定板或者特殊形状的物体作为标定点，通过测量物体在图像中的位置和姿态来确定摄像机的外参参数。

3.立体标定方法立体标定方法适用于双目摄像机或者多目摄像机的标定，它可以通过对左右两个摄像机图像中的已知点进行测量和分析，确定摄像机的内参和外参参数。

立体标定方法通常使用立体标定板或者多个标定点，通过匹配左右图像中对应点的位置和姿态来确定摄像机的内参和外参参数。

4.鱼眼镜头标定方法鱼眼镜头标定方法适用于鱼眼摄像机的标定，它可以通过对鱼眼图像中的已知点进行测量和分析，确定摄像机的内参和畸变参数。

鱼眼镜头标定方法通常使用特殊的标定板和算法，通过减少或者消除鱼眼镜头的畸变效果来提高图像的质量和准确性。

5.自动标定方法自动标定方法是一种通过计算机算法自动计算和确定摄像机内参和外参参数的方法。

这种方法通常使用特殊的标定板或者标定物体，通过分析图像中的特征点和线条等信息来确定摄像机的内参和外参参数。

总结：摄像机标定是计算机视觉和图像处理中重要的一环，有多种方法可选。

常见的摄像机标定方法包括二维标定、三维标定、立体标定、鱼眼镜头标定和自动标定方法等。

1.摄像机标定技术的发展和研究现状计算机视觉的研究目标是使计算机能通过二维图像认知三维环境，并从中获取需要的信息用于重建和识别物体。

真实的3D场景与摄像机所拍摄的2D图像之间有一种映射关系，这种关系是由摄像机的几何模型或者参数决定的。

求解这些参数的过程就称为摄像机标定。

摄像机标定实质上是确定摄像机内外参数的一个过程，其中内部参数的标定是指确定摄像机固有的、与位置参数无关的内部几何与光学参数，包括图像中心坐标、焦距、比例因子和镜头畸变等；而外部参数的标定是指确定摄像机坐标系相对于某一世界坐标系的三维位置和方向关系。

总的来说, 摄像机标定可以分为两个大类: 传统的摄像机标定方法和摄像机自标定法。

传统摄像机标定的基本方法是, 在一定的摄像机模型下, 基于特定的实验条件如形状、尺寸已知的参照物, 经过对其进行图像处理, 利用一系列数学变换和计算方法, 求取摄像机模型内部参数和外部参数。

另外, 由于许多情况下存在经常性调整摄像机的需求, 而且设置已知的参照物也不现实, 这时就需要一种不依赖参照物的所谓摄像机自标定方法。

这种摄像机自标定法是利用了摄像机本身参数之间的约束关系来标定的, 与场景和摄像机的运动无关, 所以相比较下更为灵活。

1966年，B. Hallert研究了相机标定和镜头畸变两个方面的内容，并首次使用了最小二乘方法，得到了精度很高的测量结果。

1975年，学者W. Faig建立的一种较为复杂的相机成像模型，并应用非线性优化算法对其进行精确求解，但是仍存在两个缺点，一是由于加入了优化算法导致速度变慢，二是标定精度对相机模型参数的初始值的选择有严重的依赖性，这两个缺点就导致了该标定方法不适于实时标定。

1986年Faugeras提出基于三维立方体标定物通过拍摄其单幅图像的标定方法，该方法是基于理想线性模型的，标定精度较高，但是对标定立方体的制作和加工的精度要求太高，维护起来困难且并未考虑畸变参数的影响。

射影几何基础人类视觉构造角膜、巩膜；脉络膜、睫状体、虹膜视网膜>黄斑>中央凹锥体细胞－明视觉细胞杆体细胞－暗视觉细胞视网膜=中心直径约6毫米的中央区+周边区；中央区内有直径2毫米的黄斑（呈黄色）；黄斑中央是中央凹(fovea)，面积约1平方毫米。

中央凹没有杆体细胞，只有锥体细胞，其密度高达每平方毫米150,000．离开中央凹，锥体细胞急剧减少，而杆体细胞急剧增多，在离开中央凹20度的地方，杆体细胞最多．中央凹的锥体细胞密度很高，是产生最清晰视觉的地方．杆体细胞主要是在黑暗的条件下起作用，同时还负责察觉物体的运动．射影几何直角坐标系和仿射坐标系直角坐标系仿射坐标系交比不变EI AI EI AO I O E A R x :),,,(==一维与二维射影坐标系yy y y y y y y y y xx x x x x x x x x I E I A I E O A I O E A R y I E I A I E O A I O E A R x :),,,(:),,,(====不变量定理•射影变换保持直线，直线与点的接合性以及直线上点列的交比不变•仿射变换除具有以上不变性外，还保持直线与直线的平行性、直线上点列的简比不变•欧氏变换除具有仿射变换的不变性外，还保持两条相交直线的夹角不变，任意两点的距离不变齐次坐标直线上的齐次坐标无穷远点齐次坐标和非齐次坐标•在n 维射影空间中，若某点的非齐次坐标为，则称为它的齐次坐标，其中•射影坐标),,,(21n x x x x =),,,,(121+=n n x x x x x 1/+=n i i x x x摄影机定标一、基础知识摄像机模型•针眼摄像机•成像模型：三维空间中的物体到视平面（成像平面）的投影关系针眼相机模型小孔成像几何模型ss s s Z Y f y Z X f x ==,透视投影倒立成像几何示意图透视投影几何示意图z f y y x x ='='x z f x ='y zf y ='视觉系统坐标系•像素坐标：表示图像阵列中图像像素的位置；•图像平面坐标：表示场景点在图像平面上的投影；•摄象机坐标：即以观察者为中心的坐标，将场景点表示成以观察者为中心的数据形式．(x,y,z)•场景坐标：也称作绝对坐标(或世界坐标)，用于表示场景点的绝对坐标；(X,Y,Z)21-=m c x 21-=n c y 21--='m j x ⎪⎭⎫ ⎝⎛---='21n i y '=--⎛⎝ ⎫⎭⎪x s j m x 12'=---⎛⎝ ⎫⎭⎪y s i n y 12摄影机坐标系和世界坐标系⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111011w w w w w w T c c c Z Y X M Z Y X t R Z Y X二、定标基本概念•定义：确定摄像机成像几何模型参数–图像中每一点的亮度反映了空间物体表面对应点反射光的强度–该点在图像上的位置与空间物体表面对应点的几何位置有关摄影机参数：表达上述成像几何变换关系的几何模型的参数•线性摄影机定标•非线性摄影机定标与摄像机标定有关的视觉计算任务立体视觉中的摄像机定标：在立体视觉（三维重建）中，一般需要使用两个或更多的摄像机，所以还需要知道各摄像机之间的几何关系机器人手眼定标(手眼坐标转换hand-eye calibration)：在机器人视觉中，摄像机一般固定在机器人的末端执行器上(end effector)，因此，还需知道摄像机与末端执行器的相对位置机器人的两坐标转换(头眼定标(head-eye calibration))：主动视觉系统中的摄像机平台相当于机器人的末端执行器，其原理同于机器人手眼定标自标定方法：不需要使用标定物线性摄影机定标0v dyy v u dx x u +=+=；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11001001100y x v dy u dx v u ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110000100v u dy v dy dx u dx y x摄影机坐标系和世界坐标系⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111011w w w w w w Tc c c Z Y X M Z Y X t R Z Y X透视投影几何示意图zf y y x x ='='xzfx ='yzf y ='线性摄影机模型c cZ fX x =ccZ fY y =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10100000001c c c c Z Y X f fy x Z ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11001000000001001001100w w w T c Z Y X t R f f v dy u dx v u Z ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110010000000w w w T y x Z Y X t R v a u a ww MX X M M ==21摄影机坐标系和世界坐标系⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111011w w w w w w Tc c c Z Y X M Z Y X t R Z Y X归一化投影关系及坐标•归一化投影关系•归一化坐标⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11111wwwyxZYXvaua⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1vuZc⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1111vuvauayxyxnn线性摄影机定标标定参照物⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11343332312423222114131211wi wi wi i i ci Z Y X m m m m m m m m m m m m v u Z 14131211m Z m Y m X m u Z wi wi wi i ci +++=24232221m Z m Y m X m v Z wi wi wi i ci +++=34333231m Z m Y m X m Z wi wi wi ci +++=3433323114131211m u m Z u m Y u m X u m m Z m Y m X i wi i wi i wi i wi wi wi =---+++3433323124232221m v m Z u m Y u m X u m m Z m Y m X i wi i wi i wi i wi wi wi =---+++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------34343413413332312423222114*********1111111111111111000001100000001m v m u m v m u m m m m m m m m m m m Z u Y v X v Z Y X Z u Y u X u Z Y X Z u Y v X v X X X Z u Y u X u X X X n n wn n wnn wnn wnwnwnwn n wn n wn n wn wn wn w w w w w w w w w w w wKm ＝Um ＝(K T K)-1K T U⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1001000000132100324214134Tz T y Tx Tyx T T T t r t r t r v u m m m m m m αα⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡zT z y y T Ty z x x TT x T T Tt r t v t r v r t u t r u r m m m m m m 3030203013242141341 αααα3343m m r =()3123433013300m m m r r u r r r u u T T T x T =+==α()3223433023300m m m r r v r r r v v T T T y T =+==α()31234330131m m m r r u r r r x x x ⨯=⨯+=⨯=ααα()31234330131m m m r r u r r r x x x ⨯=⨯+=⨯=ααα()301341m u m m r x-=α()302342m v m m r y -=α34m t z =()01434u m m t xx -=α()02434v m m t y y -=α12345678910需要注意的问题•M矩阵确定了空间点坐标和对应图像点坐标之间的关系，但其本身没有物理意义。