摄像机模型及坐标变换分解

单目相机标定展开全文相机标定目的：获取摄像机的内参和外参矩阵，同时也会得到每一副标定图像的旋转和平移矩阵。

内参和外参可以对之后相机拍摄的图像就进行矫正，得到畸变相对很小的图像。

原理：成像模型的坐标系为：世界坐标系 --> 相机坐标系 --> 图像坐标系 --> 像素坐标系先说从相机坐标系到图像坐标系的变换：从针孔成像模型说起：————————————————————————————相机坐标系中实际的点坐标为Q（X, Y, Z）对应的图像（坐标系）平面上的点为 q（x, y , f）理想情况如上所示，但实际上成像芯片的中心通常不在光轴上。

原本的焦距是f，这里把f拆成2个不同的焦距，一个是x轴的焦距，一个是y轴的焦距因此最终计算的结果为：将实际中的点Q（X, Y, Z）映射到投影平面上坐标为（x , y）的点的过程称为投影变换。

这种变换可以使用齐次坐标。

给q(x, y)增加了一个维度w，即为q(x, y, w)下图所示，网上一些资料中也有这种形式：x0、y0为在图像平面上的主点坐标，是Cx，Cy的另一种形式，其中s为坐标轴倾斜参数，理想情况下为0，其他参数都是一样的。

—————————————————————————————————我们已经得到了内参矩阵，能够从相机坐标系转换到图像坐标系上，接下来说如何得到外参矩阵，将其从世界坐标系转换到相机坐标系上从世界坐标系转换到相机坐标系上属于刚体变换，即不会发生形变，也就是说只有旋转和平移。

公式符号说明：带有下标 w 的是世界坐标系带有下标 c 的是相机坐标系设旋转矩阵为 R，平移矩阵为 T再把偏移矩阵T加上即可，偏移矩阵T为 [Tx, Ty, Tz]的转置，是X、Y、Z方向上的平移。

将旋转矩阵R和偏移矩阵T合起来即得外参矩阵即为:——————————————————————————————————图像坐标系和像素坐标系之间的转换：像素坐标系和图像坐标系都在成像平面上，只是各自的原点和度量单位不一样。

相机坐标系与世界坐标系转换公式
相机坐标系与世界坐标系是计算机视觉和计算机图形学中重要的概念之一。

在三维场景中，相机坐标系是以相机为原点建立的坐标系，而世界坐标系是以场景中某一个固定点为原点建立的坐标系。

在进行三维物体的渲染和图像处理时，常常需要将相机坐标系中的坐标转换为世界坐标系中的坐标，或者将世界坐标系中的坐标转换为相机坐标系中的坐标。

以下是相机坐标系与世界坐标系转换公式：
1. 将世界坐标系中的点P(xw, yw, zw)转换为相机坐标系中的点Pc(xc, yc, zc)：
Pc = R * (P - T)
其中，R是旋转矩阵，T是平移向量，可以通过相机的位置和姿态计算得到。

2. 将相机坐标系中的点Pc(xc, yc, zc)转换为图像坐标系中的点Pp(u, v)：
Pp = (fu * xc / zc + cu, fv * yc / zc + cv)
其中，fu和fv是相机的焦距，cu和cv是相机的像素中心点，可以通过相机的内部参数矩阵计算得到。

3. 将图像坐标系中的点Pp(u, v)转换为像素坐标系中的点Ppix(x, y)：
Ppix = round(Pp)
其中，round表示四舍五入操作，将浮点数坐标转换为整数坐
标。

以上是相机坐标系与世界坐标系转换的基本公式，在实际应用中需要根据具体情况进行修正和优化。

、四个坐标系简介和转换相机模型为以后一切标定算法的关键，只有这边有相当透彻的理解，对以后的标定算法才能有更好的理解。

本人研究了好长时间，几乎每天都重复看几遍，最终才会明白其推导过程。

我觉得首先我们要理解相机模型中的四个平面坐标系的关系：像素平面坐标系（u,v ）、像平面坐标系（图像物理坐标第（x,y ）、相机坐标系（Xc,Yc,Zc ）和世界坐标系（Xw,Yw,Zw）,在每一篇介绍相机模型的文章中都有介绍。

我刚开始理解时，看着那一堆的公式十分的头晕，我相信很多初学者和我一样，但仔细想想，只不过是，我们假设了一些参数，使四个坐标系之间的坐标联系起来，这样我们就可以从拍摄的图片上一个点坐标一路反推出世界中的那个点的坐标，这样就达到了我们的目的，三维重建。

而那些我们假设的参数，就是我们要标定的内外参数。

1、像素坐标与像平面坐标系之间的关系确定他们的关系之前，我们可以假设每一个像素在u轴和v轴方向上的物理尺寸为dx和dy。

仔细看下他们的模型可以推出以下公式（这个还是比较好理解的）：解释：1、dx,dy,u0,v0 其实都是我们假设出来的参数，dxdy 表示感光芯片上像素的实际大小，是连接像素坐标系和真实尺寸坐标系的，u0,v0 是图像平面中心，最终是要我们求的内外参数。

得出这个公式后我们可以运用线性代数的知识把方程用矩阵形式表示：当然我们也可以用另一种矩阵形式表示：2、相机坐标系与世界坐标系之间的关系这两个坐标系之间的关系我们可以旋转矩阵R 和平移矩阵T 来得到以下关系：公式4解释：1、在这个公式中，R为3*3矩阵，T为3*1 , 0 为（0, 0, 0）,简化用Lw表示后为4*4矩阵。

3、成像投影关系（相机坐标系与像平面坐标系）在相机模型中我们可以得到以下公式：公式5解释：1、同样我们用矩阵形式表示：公式64、得到公式而我们可以将以上公式综合一下就可以得到：因此，内参数矩阵可以表示为：=外参矩阵可以表示为：，由旋转矩阵R 和平移向量T 组成当然在好多资料上都有这种做法：上图中表示的情况是像素坐标系和图像物理坐标系的两个坐标轴不是平行的关系，像素坐标系的两个坐标轴也不是垂直90°的关系，而图像物理坐标系的两个坐标轴是垂直关系。

多视角几何5-相机模型-射影相机一般射影相机P通过x=PX将世界点X映射到图像点x。

基于这种映射，我们将对相机模型进行分解，进一步展示几何实体，如相机中心，如何起作用。

我们所考虑的一些性质仅应用于有限射影相机和它们的推广，而其他性质则适用于一般相机。

这种区别在上下文中很容易区分，有关性质参考下表：5.2.1 相机模型拆解一般射影相机可分解为若干部分，P=[M | p4]，其中M是3×3矩阵。

我们可以证明，如果M是非奇异矩阵，那么这是一个有限相机，否则不是。

相机中心.矩阵P有一维零空间，因为它的秩是3，并且有4列。

假设零空间是由4维向量C组成，即PC=0。

现在可以证明，C是相机中心，并以4维齐次向量组成。

考虑包含C 和三维空间中任意点A的直线。

该直线上的点可以通过连接表示，X(λ)=λA+(1-λ)C。

在映射x=P X作用下，该直线上的点投影是，x=Px=PX(λ)=λPA+(1-λ)PC=λPA因为PC=0。

直线上所有点均映射到同一个图像点PA，这表示，该直线一定是经过相机中心的射线，也推出C是相机中心的齐次表达式，因为对于A的所有选择，直线X(λ)都是通过相机中心的一条射线。

这个结果在预料之内，因为图像点(0,0,0)T=PC并未定义，相机中心是空间中唯一的图像没有定义的点。

在有限相机情况下，可直接求得相机中心，因为C=(T,1)T显然是P=KR[ I | -]的零向量。

这个结论是正确的，即使P的3×3子矩阵M 是奇异的。

在奇异情况下，尽管零向量的形式C=(d T,0)T，其中Md=0。

相机中心是无穷远点，这种相机模型会在5.3中讨论。

列向量.射影相机的列是三维向量，是具有几何意义代表着某个图像点。

采用记号p i 表示P的各列，i=1....4，那么p1，p2，p3分别表示X/Y/Z轴的消失点。

这是因为这些点是轴方向的图像。

例如，x轴的方向D=(1,0,0,0)T，它成像在p1=PD，参考图。

摄像机标定原理一、引言摄像机标定是计算机视觉领域中的一个重要任务，它对于摄像机内部参数和外部参数的估计非常关键。

摄像机标定可以将摄像机图像中的像素坐标与实际世界中的物理坐标进行映射，从而实现图像与物理世界之间的准确对应关系。

本文将深入探讨摄像机标定的原理及应用。

二、摄像机模型在开始讨论摄像机标定原理之前，首先需要了解摄像机模型。

常用的摄像机模型有针孔相机模型和透视投影模型。

2.1 针孔相机模型针孔相机模型是一个简化的模型，它假设摄像机的成像过程就像光线通过一个非常小的孔洞进入观察平面一样。

在针孔相机模型中，摄像机与观察平面之间的距离被称为焦距。

该模型可以用于计算摄像机的内部参数，例如焦距、主点等。

2.2 透视投影模型透视投影模型是一种更接近真实的摄像机模型，它考虑了透视变换对于摄像机成像的影响。

透视投影模型通过将物体在三维空间中的坐标投影到成像平面上，得到图像中的像素坐标。

透视投影模型由内部参数和外部参数组成，内部参数包括焦距、主点等，外部参数包括摄像机的位置和姿态。

三、摄像机标定方法3.1 传统标定方法传统的摄像机标定方法主要基于棋盘格标定板。

标定板是一个特制的平面，上面有一些已知的特征点，比如角点。

通过将标定板放置在不同位置和角度下，利用摄像机拍摄的图像中的特征点，可以计算出摄像机的内部参数和外部参数。

传统标定方法的流程如下： 1. 放置标定板：将标定板放在与摄像机平行的平面上。

2. 拍摄照片：调整摄像头的位置和角度，拍摄多张包含标定板的照片。

3. 提取特征点：利用图像处理算法提取照片中的标定板上的特征点。

4. 计算参数：通过特征点的像素坐标和三维空间中的物理坐标，使用标定算法计算摄像机的内部参数和外部参数。

3.2 基于深度学习的标定方法近年来，基于深度学习的摄像机标定方法也得到了广泛的关注。

这些方法利用深度学习模型学习摄像机的内部参数和外部参数的映射关系。

相比传统的标定方法，基于深度学习的方法可以减少对标定板的依赖，提高标定的准确性。

相机坐标系和机器人坐标系变换关系全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：相机坐标系和机器人坐标系变换关系是机器人视觉领域中非常重要的概念之一。

在机器人与相机之间进行坐标系变换，可以帮助机器人在视觉识别、导航、定位等方面达到更高的精度和效率。

下面我们就来详细介绍一下相机坐标系和机器人坐标系的概念，以及它们之间的变换关系。

我们来看一下相机坐标系。

相机坐标系是相机本身所在的坐标系，通常以相机的光心为原点，相机光轴的方向为Z轴，相机平面的法向量方向为X轴，Y轴则为相机平面上与X轴垂直的方向。

相机坐标系的建立需要考虑到相机的内外参数，内参数包括焦距、主点坐标等，外参数包括相机在世界坐标系中的位置和朝向等。

通过相机坐标系，我们可以得到相机拍摄的图像在相机坐标系中的位置和姿态。

在机器人视觉系统中，通常需要将相机坐标系中的图像信息转换到机器人坐标系中进行处理。

这就需要进行坐标系之间的变换。

变换包括两个部分，即相机坐标系到世界坐标系的变换和世界坐标系到机器人坐标系的变换。

相机坐标系到世界坐标系的变换通常需要考虑相机的内外参数。

内参数变换通常通过相机的标定来获取，外参数变换通常通过相机的姿态估计来获取。

通过纹理匹配算法可以估计相机位姿，从而得到相机在世界坐标系中的位置和朝向。

这样就可以将相机坐标系中的图像信息转换到世界坐标系中。

相机坐标系和机器人坐标系之间的变换关系对于机器人视觉系统的性能和精度有着重要的影响。

只有深入研究相机坐标系和机器人坐标系的表示方法、变换规则等，才能更好地实现机器人在复杂环境中的感知和操作任务。

相信随着机器人技术的不断发展和进步，相机坐标系和机器人坐标系的变换关系将得到更好地应用和推广，为机器人技术的发展带来新的突破和进步。

第二篇示例：相机坐标系和机器人坐标系变换关系是机器人视觉领域重要的内容之一。

在机器人和相机的协作中，理解和掌握相机坐标系和机器人坐标系之间的变换关系，对于机器人在视觉任务中的准确定位和操作具有关键意义。

一种倾斜摄影实景三维模型的空间坐标系统转换方法本文提出了一种新的的倾斜摄影实景三维模型的空间坐标系统转换方法，旨在提高倾斜摄影实景三维模型中的空间坐标系的精度和准确性。

本文首先介绍了倾斜摄影实景三维模型的基本概念，然后介绍了本方法的实现流程和核心算法，最后通过实验验证了本方法的有效性。

倾斜摄影实景三维模型是一种通过采集真实场景的倾斜摄影影像数据，并利用三维重建技术生成的三维模型。

由于摄影影像数据通常包含多个角度和位置拍摄的影像，因此倾斜摄影实景三维模型包含了丰富的空间信息和几何特征。

在实际应用中，倾斜摄影实景三维模型广泛用于城市规划、工程测量和建筑设计等领域。

在倾斜摄影实景三维模型中，空间坐标系统的转换是一个非常重要的问题。

传统的空间坐标系统转换方法通常采用高精度的全站仪或GPS等测量设备进行，但这些设备需要高昂的成本和复杂的操作，不利于实际应用。

因此，本文提出了一种基于图像匹配和控制点约束的空间坐标系统转换方法，可以利用倾斜摄影实景三维模型中的自然特征和控制点信息进行坐标转换，具有成本低、操作简单和精度高等优点。

本方法的实现流程如下：首先，在倾斜摄影实景三维模型中选取若干组控制点，其中至少一组控制点需具有已知坐标，通过三维重建技术在模型中标记出来。

然后，在影像数据中利用SIFT算法提取自然特征点，并利用RANSAC算法进行特征匹配和筛选，得到特征点匹配对。

接着，在特征点匹配对中筛选出与控制点匹配的对应特征点对，并通过二元线性方程组求解旋转矩阵、平移矢量和尺度因子，最终实现空间坐标系的转换。

本方法的核心算法即是旋转、平移和尺度的求解。

旋转矩阵R的求解可以通过选取三对匹配的特征点，按照对应的像素坐标和模型空间坐标进行线性重心变换，得到一个3×3的线性方程组，通过奇异值分解或QR分解求解得到旋转矩阵。

平移向量t的求解可以通过控制点的坐标和模型空间坐标的距离关系求解，即计算控制点在模型坐标系下的均值和影像坐标系下的均值之间的差值。

摄像机模型和参数标定方法1.摄像机模型：在计算机视觉中，常用的摄像机模型有针孔摄像机模型和透视投影模型。

a.针孔摄像机模型：针孔摄像机模型是最简单的摄像机模型。

它基于针孔成像原理，假设摄像机传感器与物体之间存在一个无限小的光学孔隙，通过这个光学孔隙将物体的光线投射到图像平面上。

针孔摄像机模型忽略了透镜的形状和光线的折射，只关注光线的投射。

b.透视投影模型：透视投影模型是将物体的三维坐标映射到二维图像平面的模型。

它考虑了透镜的形状和光线的折射。

透视投影模型采用了透视变换，使得离摄像机更远的物体在图像中变小，离摄像机近的物体在图像中变大，从而产生透视效果。

2.摄像机参数标定方法：摄像机参数标定是通过已知的物体尺寸和相应的图像坐标计算出摄像机的内参和外参参数。

a.内部参数标定：内部参数指的是摄像机特有的参数，如焦距、主点、径向畸变系数等。

常用的内部参数标定方法包括棋盘格标定、张正友标定、N点共线标定等。

其中，棋盘格标定是最常见和简单的方法，通过在不同位置和角度下拍摄棋盘格图案，从而获得图像中棋盘格角点的图像坐标以及棋盘格的实际尺寸，通过求解相应的线性方程组，得到摄像机的内部参数。

b.外部参数标定：外部参数指的是摄像机与物体之间的相对位置和姿态关系。

常用的外部参数标定方法包括单应性矩阵标定、基础矩阵标定、相机位姿估计等。

单应性矩阵标定是一种基于图像中平面特征点的方法，通过计算平面特征点在图像平面和物体平面上的对应关系，从而获得摄像机的外部参数。

基础矩阵标定是一种基于图像匹配的方法，通过计算图像中特征点的对应关系，求解基础矩阵，从而获得摄像机的外部参数。

相机位姿估计是一种基于多视图几何的方法，通过不同视图下的特征点匹配或者特征描述子匹配，计算相机位姿的旋转矩阵和平移向量。

3.标定结果评估：在进行摄像机参数标定之后，需要对标定结果进行评估。

常用的评估指标包括重投影误差、标定误差、畸变参数等。

重投影误差是指标定点在标定之后，重新投影回图像上的点与原始标定点的像素距离。

相机纠偏计算公式相机纠偏是指将摄像机捕捉到的图像进行校正，使其达到更加真实、准确的效果。

相机纠偏计算公式是相机校正的核心，其涉及到许多数学知识与概念。

在本文中，将详细解析相机纠偏计算公式，并给出计算实例。

首先，需要明确的是，相机纠偏的计算公式是基于一组标定点的。

这些标定点可以是三维物体的某些特征点，也可以是二维图像中的点。

1. 相机模型在进行相机纠偏计算之前，需要先了解相机的基本模型。

相机模型是指将三维空间映射到二维像素图像的数学模型，通常采用针孔相机模型或透视相机模型。

针孔相机模型假设相机与三维物体之间只有一个小孔，而透视相机模型则假设相机与三维物体之间有一段距离，向外发出一束光线。

在针孔相机模型中，将三维空间点和二维像素点进行坐标变换，可以得到如下公式：s * [u, v, 1] = K * [R|t] * [X, Y, Z, 1]其中，s是缩放因子，K是内参矩阵，[R|t]是外参矩阵，[X, Y, Z, 1]是三维空间点坐标，[u, v, 1]是二维像素点坐标。

2. 相机标定在进行相机纠偏计算之前，需要对相机进行标定。

相机标定是指通过拍摄一组已知数值的图像，来对相机的内参和外参进行估计。

相机标定通常采用棋盘格标定法或多视角标定法。

棋盘格标定法通常采用黑白相间的棋盘格为标定板，通过摄像机拍摄多个不同角度的图像，并提取出棋盘格上的角点坐标来进行标定。

多视角标定法则是通过三维物体的某些特征点，将多个视角下的图像进行匹配和三维点重建，从而得到相机的内参和外参。

3. 相机纠偏计算公式相机纠偏的计算公式通常使用多项式函数进行拟合，使用的是以像素坐标为自变量，以实际坐标为因变量的非线性函数拟合。

以二维鼠标点击为例，假设相机准确拍摄了一个鼠标点击的图像，并且鼠标点击的实际坐标已知。

那么可以得到以下公式：x' = (x - c_x) / f_xy' = (y - c_y) / f_y其中，x'和y'是图像坐标，x和y是实际坐标，c_x和c_y是主点，f_x和f_y是焦距。

超高清摄像机制高点监控点位布设模型建立及分析超高清摄像机因其能够提供远距离、大场景全域覆盖监控的特点,被智慧公安及智慧城市广泛引入使用。

然而,使用现有摄像机监控模型来测算超高清摄像机覆盖范围时均会出现很大的误差。

因此,本文研究超高清摄像机监控全参数模型,旨在能够较为精确地测算超高清摄像机监控覆盖区域进而评估其实际监控效果,同时也为工程设计研发简易的实用工具奠定理论基础。

本文比较了超高清摄像机与常规摄像机在实际应用中的区别,得出的结论是:在考虑了摄像机安装高度与角度后,现有标清、高清摄像机监控模型对目标物距的测算存在很大误差。

在分析超高清摄像机实际参数的基础上,做出了摄像机成像面与目标截面相互平行的假设,基于小孔成像原理重新确定了目标物距为目标截面最低点至摄像机光心的距离,构建完成超高清摄像机监控全参数模型。

利用卡方检验对模型计算值与实际测量值的偏离程度进行分析,发现模型仍具有改进的空间。

本文根据超高清摄像机在工程中实际的安装情况,建立了具有相对位置的三个坐标系,即摄像机安装空间坐标系、摄像机坐标系以及成像坐标系,基于刚体变换、投影变换及齐次坐标理论,构建了摄像机监控覆盖区域内任意点与其像点之间映射变换的数学关系,并对目标物距进行了精确求解,完成了对全参数模型的修正。

超高清摄像机监控模型可以实现根据实际监控工程需求,较精确地求解摄像机安装高度、图像传感器尺寸、安装角度及镜头焦距等安装参数;同时也能够对安装完毕的超高清摄像机能否达到“全域覆盖”与能否对目标有效识别进行较准确地评估。

本文使用Visual Studio 2010编程工具,基于C++语言,完成模型的计算软件,通过实际应用举例,验证了模型具有较高的精确性,达到模型的构建目标。

图像鉴别等级是监控工程设计时需要确定的设计目标。

本文通过构建模型,计算出摄像机成像区域内任意位置目标截面的图像分辨力大小,首次完成了不同图像鉴别等级的划分,从而能够得到最佳的超高清摄像机安装方案,避免监控工程的盲目设计与施工。

第二次作业机器视觉中坐标系转换和图像平移一、坐标系转换1.1、世界坐标系和相机坐标系世界坐标系，也称为测量坐标系，它是一个三维直角坐标系(Xw,Yw,Zw)。

在世界坐标系中可以描述相机和待测物体的空间位置。

世界坐标系的位置根据实际情况自行确定。

相机坐标系也是一个三维直角坐标系(xc,yc,zc)。

相机坐标系的原点是镜头的光心，x 、y 轴分别与相面的两边平行，z 轴为镜头的光轴，与像平面垂直。

世界坐标系到相机坐标系的变换是刚体变换，也就是只改变物体的空间位置（平移）和朝向（旋转），而不改变物体的形状。

用旋转矩阵R 和平移向量t 可以表示这种变换。

在齐次坐标下，旋转矩阵R 是正交矩阵，可通过Rodrigues 变换转换为只有三个独立变量的旋转向量。

因此刚体变换用6个参数就可以表示（3个旋转向量，3个平移向量），这6个参数就是相机的外参。

相机外参决定了空间点从世界坐标系到相机坐标系的变换。

t z y x R z y x w w w c c c +⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡齐次坐标系下可表示为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101101333231232221131211w w w z y x w w w Tz y x t r r r t r r r t r r r z y x t Rz y x 1.2、相机坐标系和图像坐标系根据相似三角形原理c c z x f x =二、图像平移图像的平移变换就是将图像所有的像素坐标分别加上指定的水平偏移量和垂直偏移量。

平移变换根据是否改变图像大小分为两种，直接丢弃或者通过加目标图像尺寸的方法使图像能够包含这些点。

2.1平移变换原理假设原来的像素的位置坐标为（x0,y0），经过平移量（△x ，△y ）后，坐标变为（x1,y1），如下所示：用数学式子表示可以表示为：x1=x0+△x,y1=y0+△y ；用矩阵表示为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆∆=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1100100110011y x y x y x △x 和△y 为平移量平移后图像的大小变化：。