2020学年甘肃省白银市靖远县高三最后一次联考数学（文）试题一、单选题 1．62i2i+=-（ ） A ．144i 55-+ B ．42i 5+C ．22i +D ．142i 5+ 【答案】C【解析】利用复数的四则运算即可求解. 【详解】()()()()62i 2i 62i 1010i22i 2i 2i 2i 5++++===+--+. 故选：C 【点睛】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}|B x y x ==-，则A B =I （ ）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--【答案】D【解析】先利用定义域的求法，求得集合B 的范围，然后求两个集合的交集. 【详解】因为{}2,1,0,1,2A =-- ,{}0B x x =≤，所以{}2,1,0A B =--I .故选D. 【点睛】本题考查集合交集运算，考查运算求解能力，属于基础题. 3．函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；根据()0,1x ∈时，()0f x <，排除,A C ，从而得到正确选项. 【详解】()f x Q 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 本题正确选项：B 【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除. 4．已知等比数列{}n a 满足14a =，123450a a a a a =>，则公比q =（ ） A 2B 32C 42D ．2【答案】A【解析】利用14a =以及等比数列的通项公式，化简12345a a a a a =得到44q =，由此求得q 的值. 【详解】由14a =及123450a a a a a =>，可得44,2q q ==故选A.【点睛】本题考查等比数列的性质，考查化归与转化的思想.属于基础题.5．已知抛物线C ：22(0)x py p =>的准线l 与圆M ：22(1)(2)16x y -+-=相切，则p =（ ） A ．6 B ．8C ．3D ．4【答案】D【解析】先由抛物线方程得到准线方程，再由准线与圆相切，即可得出结果.【详解】因为抛物线2:2C x py =的准线为2p y =-， 又准线l 与圆()()22:1216M x y -+-=相切， 所以242p+= ，则4p =. 故选D 【点睛】本题考查抛物线与圆的几何性质，熟记抛物线与圆的性质即可，属于常考题型. 6．若31log 2m =，0.17n -=，4log 25p =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A ．m p n >> B ．p n m >> C ．p m n >> D ．n p m >>【答案】B【解析】分别出,,m n p 的取值范围，由此比较出三者的大小. 【详解】()31log 1,02∈-,()0.170,1-∈ ，()42log 25log 52,3=∈ ，故p n m >> .故选B.【点睛】本题考查指数、对数的运算，考查运算求解能力.属于基础题.7．已知函数π()cos()(0)3f x x ωω=+>的最小正周期为π，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】先根据最小正周期求得ω的值，然后利用余弦函数的单调区间列不等式，由此求得a 的最大值. 【详解】22πωπ==， ()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得ππππ,63k x k k Z -+≤≤+∈，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π.故选B. 【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.属于基础题.8．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（ ）（参考数据：32.0946≈）A ．3.1419B ．3.1417C ．3.1415D ．3.1413【答案】A【解析】先设圆的半径为r ，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果. 【详解】设圆的半径为r ，则圆的面积为2r π，正六边形的面积为2133362r ⨯⨯=，因而所求该实验的概率为22333320.8269r π==，则33 3.1419π=≈.故选A 【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 9．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u v u u u v，13CE AB AC μ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+=（ ）A ．13B ．13-C ．76D ．76-【答案】B【解析】将CE u u u r 利用平面向量的加法和减法运算，转化为以CD uuu r 和CA u u u r为基底表示出来，根据E 是AD 的中点列方程，求得,λμ的值.()1111133333CE CB CA AC CB CA CD CA λμμμ+⎛⎫⎛⎫=-+=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为E 是AD 的中点， 所以1132λ+=，1132μ--=，解得15,26λμ==- ，13λμ+=-.故选B. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理，考查推理论证的能力.属于中档题10．在四棱锥P ABCD -中，所有侧棱都为O 是P 在平面ABCD 内的射影，M 是PC 的中点，则异面直线OP 与BM 所成角为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【解析】先取N 为OC 的中点，得到OP MN P ，则BMN ∠是异面直线OP 与BM 所成的角，根据题意，求出MNBM =，解三角形，即可得出结果. 【详解】由题可知O 是正方形ABCD 的中心， 取N 为OC 的中点，所以OP MN P ， 则BMN ∠是异面直线OP 与BM 所成的角. 因为OP ⊥平面ABCD ， 所以MN ⊥平面ABCD ，因为在四棱锥P ABCD -中，所有侧棱都为，底面是边长为所以OC =OP ==MN =又在PBC ∆中，2223232245cos 22328PB PC BC BPC PB PC +-+-∠===•⨯，所以22252cos 3282208BM PB PM PB PM BPC =+-••∠=+-⨯=，即BM =， 所以1cos 2MN BMN MB ∠==， 则异面直线OP 与BM 所成的角为60o .【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，熟记几何法作出异面直线所成的角，再求解即可，属于常考题型.11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若()21210F F F A F A +⋅=u u u u v u u u u v u u u v，则此双曲线的标准方程可能为（ ） A ．22143x y -=B ．22134x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=【答案】D【解析】先由()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r 得到1222F F F A c ==，根据2AF 的斜率为247，求出217cos 25AF F ∠=-，结合余弦定理，与双曲线的定义，得到c a ，求出ab ，进而可得出结果. 【详解】由()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r，可知1222F F F A c ==，又2AF 的斜率为247，所以易得217cos 25AF F ∠=-， 在12AF F ∆中，由余弦定理得1165AF c =， 由双曲线的定义得16225c c a -=， 所以53c e a ==，则:3:4a b =， 所以此双曲线的标准方程可能为221916x y -=.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，熟记双曲线的几何性质与标准方程即可，属于常考题型. 12．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，满足1n a =，则516810024246810011111(1)11111a a a a a S S S S S +++++-+-++-=-----L （ ） A ．100101B ．102101C ．200201D ．202201【答案】A【解析】先求得1a 的值.然后利用1n n S S --，证得数列n a 是等差数列，由此求得通项公式和前n 项和公式.利用裂项相消法求得所求表达式的值. 【详解】当1n =时，11a =，解得11a =；当2n ≥时，()()22114141n n n n S a S a --⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，两式相减可得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，221122n n n n a a a a --+=- ，可得12n n a a --=，所以()12121na n n =+-=-，()2214nna S n +==.212111111n n a n S n n n +==+---+ ，所以682424681111 (1111)a a a a S S S S ++++-+-+----()511001001111111111001 (113355799101101)a S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+++--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选A. 【点睛】本题考查数列的递推关系以及数列的求和，考查运算求解和推理论证能力.属于中档题二、填空题13．设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -⎧⎪+⎨⎪+-≤⎩……，则z x y =+的最小值是________.【答案】0【解析】画出可行域，平移基准直线0x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知当:0l x y +=平移到过点(2,2)-时，min 0z =.【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力. 14．某公司对2019年1~4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示： 月份x 1 2 3 4 利润y /万元 566.58利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为________.【答案】ˆ0.954yx =+. 【解析】先由题中数据求出x ，y ，结合题意，列出方程组，求出ˆb 与ˆa ，即可得出结果. 【详解】设线性回归方程为ˆˆˆy bx a =+，因为52x =，518y =， 由题意可得551ˆ288ˆ11.6ˆˆb a b a⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得ˆ0.95b =，ˆ4a =，即ˆ0.954yx =+. 故答案为ˆ0.954yx =+ 【点睛】本题主要考查线性回归方程，熟记回归方程的特征即可，属于常考题型.15．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______. 【答案】8π.【解析】作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即可得出结果. 【详解】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：设圆柱的底面圆半径为r ，则2BC r =，所以轴截面的面积为()224ABCD S r ==正方形，解得1r =，因此，该圆柱的外接球的半径2222222BD R +=== 所以球的表面积为2428S ππ==.故答案为8π 【点睛】本题主要考查圆柱外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型. 16．设函数1()ln 2f x x a x =++，1[,]x a a ∈，若函数()f x 的极小值不大于32a+，则a 的取值范围是__________． 【答案】31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】根据函数的定义域求得110a a>>>，求得函数的导数，进而求得1x =时函数取得极小值，利用极小值列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】由题可知10a a >>，则110a a >>>，由()22111x f x x x x-'=-=，可知函数1x =时函数()f x 取得极小值，所以()31212f a a=+≤+，解得312a <≤.【点睛】本题考查导数与极值问题，考查化归与转化以及运算求解能力.属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求A 的大小； （2）若a =π3B =，求ABC ∆的面积. 【答案】(1) 4A π=.(2) 34ABC S ∆+=【解析】（1）先由正弦定理，将sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭化为22b c a a ⎫+=⎪⎭，结合余弦定理，即可求出角A ；（2）先求出sin C ，再由正弦定理求出b ，根据三角形面积公式，即可得出结果. 【详解】（1）因为sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：22b c a a ⎫+=⎪⎭，即222b c a +-，再由余弦定理可得2cos bc A =，即cos 2A =所以4A π=；（2）因为3B π=，所以()sin sin 4C A B =+=， 由正弦定理sin sin a bA B=，可得b =133sin 24ABC S ab C ∆+==. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、余弦定理即可，属于常考题型.18．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E ，124AA AD AB ===.（1）证明：AE ⊥平面ECD . （2）求点1C 到平面AEC 的距离. 【答案】(1)见解析.(2) 26h =. 【解析】（1）先通过直四棱柱的几何性质，证得1AA CD ⊥，由此证得CD ⊥平面11AA D D ，从而有CD AE ⊥，根据四边形11AA D D 是正方形得到AE ED ⊥，从而证得AE ⊥平面ECD .（2）利用等体积法1111C AD C A C D C V V --=列方程，求得1C 到平面1AD C 的距离，也即求得点1C 到平面AEC 的距离. 【详解】（1）证明：因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱， 所以1AA ⊥平面ABCD ，则1AA CD ⊥ . 又CD AD ⊥，1AA AD A =I ，所以CD ⊥平面11AA D D ，所以CD AE ⊥.因为1AA AD ⊥，1AA AD =，所以11AA D D 是正方形，所以AE ED ⊥. 又CD ED D =I ，所以AE ⊥平面ECD .（2）连接1CD ，点1C 到平面AEC 的距离及点1C 到平面1AD C 的距离. 在1ACD ∆中，25AC =142D A =125CD =，()()1221252242462ACD S ∆=⨯-⨯= ，又因为AD CD ⊥，1AD DD ⊥ ，1DD CD D =I ，所以AD ⊥平面11CDD C , 设点1C 到平面1AD C 的距离为h .因为1111C AD C A C D C V V --= ，所以111133AD C C DC S h S AD ∆∆⋅=⋅， 424642h ⨯=⨯，即26h =.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，考查利用等体积法求点到面的距离，属于中档题. 19．某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，从中抽取50名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分别五个评分标准：1分(很不满意)；2分(不满意)；3分(一般)；4分(满意)；5分(很满意)，其统计结果如下表(住宿满意度为x ，餐饮满意度为y )． 餐饮满意度y 人数住宿满意度x 123451 1 12 1 0 2 2 13 2 1 3 1 2 5 34 4 0 35 4 3 5 0123（1）求“住宿满意度”分数的平均数；（2）求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差；（3）为提高对酒店的满意度，现从23x ≤≤且12y ≤≤的会员中随机抽取2人征求意见，求至少有1人的“住宿满意度”为2的概率． 【答案】（1）3.16．（2）2．（3）45【解析】（1）由表格数据计算出“住宿满意度”分数，进而可求平均数. （2）“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的平均数1253435++++=，利用方程公式即可求解.（3）符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的3人分别记为a ，b ，c “住宿满意度”为3的3人分别记为d ，e ，f ，从这6人中抽取2人，列举出基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】 （1）5192153154653.1650⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）当“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的平均数为1253435++++=，其方差为()()()()()22222132353334325-+-+-+-+-=．（3）符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的3人分别记为a ，b ，c ，“住宿满意度”为3的3人分别记为d ，e ，f ．从这6人中抽取2人有如下情况，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ．共15种情况．所以至少有1人的“住宿满意度”为2的概率124155P ==． 【点睛】本题主要考查了平均数、方差以及古典概型的概率计算公式，考试了学生对数据的处理能力，属于基础题.20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，焦距为（1）求C 的方程；（2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．【答案】(1) 2214x y +=.(2)见解析.【解析】（1）根据题中条件，得到22c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，再由222b a c =-，求解，即可得出结果；（2）先设直线l 的方程为12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ,联立直线与椭圆方程，结合判别式、韦达定理等，表示出1212OP OQ y y k k x x =，只需和2PQ k 相等，即可证明结论成立. 【详解】（1）由题意可得22c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2{a c ==， 又2221b ac =-=，所以椭圆方程为2214x y +=.（2）证明：设直线l 的方程为12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y , 由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得()222210x mx m -+-= 则()()222481420m m m∆=--=->，且1220x xm +=>，()212210x x m =->故()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()212122121212111424OP OQPQ x x m x x m y y k k k x x x x -++==== 即直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列.【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及椭圆的应用，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型. 21．已知函数23()2f x ax x =+-． （1）若2a =，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围．【答案】(1) 函数()f x 在()),0,-∞+∞上单调递增，()f x 在(上单调递减.(2) ,9⎛-∞- ⎝⎭. 【解析】（1）先求得函数的导数，然后利用导数的正负求出函数的单调区间.（2）先令()0f x =，得32230ax x -+=，构造函数()3223g x ax x =-+，对a 分成0,0,0a a a =><三类，利用导数研究函数()g x 的单调区间，根据函数()g x 存在唯一的零点0x ，且00x >，列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】 （1）()()23220f x x x x =+-≠，()362f x x '=- 令()0f x '=，解得x =当()),0x ∈-∞+∞U时，()0f x '>；当(x ∈时，()0f x '<.故函数()f x 在()),0,-∞+∞上单调递增，()f x 在(上单调递减.（2）令()0f x =，可得32230ax x -+=，令()3223g x ax x =-+，且()030g =≠，本题等价于函数()g x 存在唯一的零点0x ，且00x > .当0a =时，()2230g x x =-+=，解得x =，函数()g x 有两个零点，不符合题意，当0a ≠时，()()23434g x ax x x ax '=-=-，令()0f x '=，解得0x =或43x a=， 当0a >时，函数()g x 在()4,0,,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()g x 在40,3a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又()03g =，又x →-∞，()g x →-∞，所以函数()g x 存在负数零点，不符合题意当0a <时，函数()g x 在()4,,0,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()g x 在4,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 又()03g =，故32444230333g a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得9a <- ， 综上，a的取值范围为,⎛-∞ ⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 的极坐标方程为6cos 0ρθ-=． （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点()1,0M ，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求22MP MQ +的值．【答案】(1) 10x y --=；()2239x y -+=.(2)18.【解析】（1）由极坐标与直角坐标的互化公式，可直接得出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）先由题意得直线l 的参数方程，代入曲线的直角坐标方程，根据参数的方法求解，即可得出结果. 【详解】（1）因为直线:cos 42l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故cos sin 10ρθρθ--=. 即直线l 的直角坐标方程为10x y --=.因为曲线:6cos 0C ρθ-=，则曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=，即()2239x y -+=.（2）设直线l的参数方程为12x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将其代入曲线C的直角坐标系方程得250t --=.设,P Q 对应的参数分别为1t ，2t ，则12125,t t t t =-+= 所以()22222121212218MP MQ t t t t t t +=+=+-= .【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，以及参数的方法求两点间距离，熟记公式即可，属于常考题型.23．已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集；（2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++…恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1) {}|22x x -<<.(2) 22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果；（2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得22a a ≥+，求解，即可得出结果. 【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+， 当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解； 当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤；当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<， 综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是{}|22x x -<<. （2）因为()()22f x a f x x a x a ++=++++≥又x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥ 恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-.所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.。
