甘肃省白银市靖远县第四中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学(文)试题

甘肃省白银市会宁县第四中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知数列,21,n -11是这个数列的（ ）A. 第5项B. 第6项C. 第7项D. 第8项【答案】B 【解析】 【分析】根据数列最后一项可知通项公式，即可确定解.【详解】数列,21,n -通项公式为n a ==解得6n =， 故选：B.【点睛】本题考查了由通项公式求数列项数，属于基础题. 2.函数()f x =的定义域为（ ） A. []0,3B. ()0,3C. (][),03,-∞⋃+∞D.()(),03,-∞+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义条件，解一元二次不等式即可求得定义域. 【详解】函数()f x =， 所以定义域满足230x x -≥， 解不等式可得03x ≤≤，即定义域为[]0,3， 故选：A.【点睛】本题考查了函数定义域的求法，一元二次不等式的解法，属于基础题. 3.命题：“x R ∀∈，210x x -+>”的否定是（ ） A. x R ∀∈，210x x -+≤B. 0x R ∃∈，20010x x -+> C. 0x R ∃∈，20010x x -+≤D. 0x R ∃∈，20010x x -+>【答案】C 【解析】 【分析】根据含有量词命题的否定即可得解. 【详解】由含有量词命题的否定可知，“x R ∀∈，210x x -+>”的否定为0x R ∃∈，20010x x -+≤故选：C.【点睛】本题考查了含全称量词命题的否定，属于基础题.4.等差数列{}n a 中，14736939,27a a a a a a ++=++=，则数列{}n a 前9项的和9S 等于（ ） A. 66 B. 99C. 144D. 297【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列性质，结合条件可得46,a a ，进而求得5a .再根据等差数列前n 项和公式表示出9S ，即可得解.【详解】等差数列{}n a 中，14736939,27a a a a a a ++=++=， 则46339,327a a ==， 解得4613,9a a ==，因而4651391122a a a ++===， 由等差数列前n 项和公式可得()199599992a a S a ⨯+===，故选：B.【点睛】本题考查了等差数列性质的应用，等差数列前n 项和公式的用法，属于基础题. 5.“0a b >>”是 “22a b >”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】解:因为0a b >>能推出22a b >，而22a b >不能推出0a b >>， 所以“0a b >>”是“22a b >”的充分不必要条件,故选:A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件与充要条件的判断，属于基础题型. 6.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（ ）A.1122a b c ++ B. 1122a b c --+ C.1122a b c -+ D.1122-++a b c【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，用,,a b c 作基底表示BM 即可得解. 【详解】根据空间向量的线性运算可知11BM BB B M =+ 11112AA B D =+()1111112AA B A A D =++()112AA AB AD =+-+因为,AB a AD b ==,1AA c =，则()112AA AB AD +-+ 1122a b c =-++即1122BM a b c =-++，故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题. 7.曲线1xy xe =+在点()0,1处的切线方程是( )A. 10x y -+=B. 210x y -+=C. 10x y --=D. 220x y -+=【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，求出切线方程的斜率，即可得到切线方程．【详解】曲线1xy xe =+，解得y′=e x +xe x ，所以在点(0,1)处切线的斜率为1． 曲线1xy xe =+在点（0，1）处的切线方程是：y ﹣1=x ． 即x ﹣y+1=0．【点睛】本题考查曲线的切线方程的求法，考查计算能力 8.若0,0,31x y x y >>+=，则113x y+的最小值为（ ） A. 2 B. 22C. 4D. 23【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式求最值. 【详解】111133()(3)22243333y x y x x y x y x y x y x y+=++=++≥+⋅=,当且仅当132x y ==时取等号，故113x y +的最小值为4，选C.【点睛】本题考查根据基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.9.已知双曲线222212(,0)y x e y px e -==的离心率为，且抛物线的焦点坐标为,则p 的值为（ ） A. －2 B. －4C. 2D. 4【答案】D 【解析】由双曲线方程可得双曲线为等轴双曲线，其离心率为，则抛物线焦点坐标为，所以，则.10.双曲线2214x y -=的渐近线方程为( )A. 2x y =±B. y x =±C. 3y x =D. 2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的方程2214x y -=，可得2,1a b ==，再根据双曲线的渐近线的方程的形式，即可求解【详解】由双曲线的方程2214x y -=，可得双曲线的焦点在x 轴上，且2,1a b ==，所以双曲线的渐近线方程为12b y x x a =±=±，即12y x =±，故选A.【点睛】本题主要考查了根据双曲线的方程求解其渐近线的方程，其中解答中熟记双曲线的标准方程及其简单的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 11.已知ABC 中，三内角,,A B C 依次成等差数列，三边,,a b c 依次成等比数列，则ABC 是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中三个角依次成等差数列，可得B ；由三边成等比，可得2b ac =，代入余弦定理可求得,a c 关系，结合三角形判定方法即可得解. 【详解】ABC 中，三内角,,A B C 依次成等差数列， 则2B A C =+，因为A B C π++=， 则3B π=，三边,,a b c 依次成等比数列， 则2b ac =，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-， 代入可得22122ac a c ac =+-⨯化简可得()20a c -=，即a c =， 而3B π=，由等边三角形判定定理可知ABC ∆为等边三角形， 故选：C.【点睛】本题考查了等差中项与等比中项的简单应用，余弦定理求边的关系，三角形形状的判断，属于基础题. 12.函数()f x 由下表定义：若()112,,1,2,3,n n a a f a n +===，则数列{}n a 的前2010项的和2010S =（ ）A. 6021B. 6023C. 6025D. 6027【答案】D 【解析】 【分析】根据递推公式，代入计算可知数列{}n a 为周期数列.求得周期并根据一个周期内的和，即可求得2010S .【详解】()112,,1,2,3,n n a a f a n +===，结合表格可得()()2121a f a f ===， ()()3214a f a f ===， ()()4345a f a f ===， ()()5452a f a f ===，()()6521a f a f ===，由以上可知，数列{}n a 是以4为周期的周期数列，一个周期内的和为214512+++=， 而201050242=⨯+，所以201050212216027S =⨯++=，【点睛】本题考查了数列的周期性应用，数列递推公式的应用，属于基础题.13.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ≠1，若a 1=1，且对任意的n ∈N*都有a n+2+a n+1=2a n ，则S 5等于（ ） A. 12 B. 20C. 11D. 21【答案】C 【解析】 【分析】n 2n 1n a a 2a +++=等价于2n n n a q a q 2a +=，即22q q +=，由此可解得q 的值，进而求得5S【详解】解：设等比数列的公比为q则n 2n 1n a a 2a +++=等价于2n n n a q a q 2a += 因为0n a ≠故220q q +-=，即()()q 2q 10+-= 因为1q ≠ 所以2q =-故(())()55112S 1112•--==-- 故选C ．【点睛】本题考查了等比数列的通项知识，等比数列问题的常见解法是借助于基本量进行解题；求等比数列的前n 项和时，要对q 的范围进行讨论．14.已知1F 、2F 是椭圆22221x y a b＋＝（a>b>0）的两个焦点，以线段1F 2F 为边作正三角形M 1F 2F ，若边M 1F 的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是11【答案】B【分析】设边PF 1的中点为Q ，连接F 2Q ，Rt △QF 1F 2中，算出|QF 1|＝c 且|QF 2|3=c ，根据椭圆的定义得2a ＝|QF 1|+|QF 2|＝（13+）c ，由此不难算出该椭圆的离心率． 【详解】解：由题意，设边PF 1的中点为Q ，连接F 2Q 在△QF 1F 2中，∠QF 1F 2＝60°，∠QF 2F 1＝30° Rt △QF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c （椭圆的焦距）， ∴|QF 1|12=|F 1F 2|＝c ，|QF 2|3=|F 1F 2|3= c 根据椭圆的定义，得2a ＝|QF 1|+|QF 2|＝（13+）c ∴椭圆的离心率为e ()313c a c===-+ 1 故选：B ．点评：解决该试题的关键是对于定义的灵活运用，以及正三角形中线是高线的性质的运用，属于基础题．15.已知抛物线216x y =上的点P 到焦点F 的距离为8，则OPF ∆（O 为坐标原点）的面积为（ ） A. 16 B. 8C. 4D. 2【答案】A 【解析】 【分析】设点(,)P x y ，根据抛物线的定义和抛物线的标准方程，求得(8,4)P ±，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】设点(,)P x y ，因为抛物线216x y =上的点P 到焦点F 的距离为8， 根据抛物线的定义，可得82py +=，即484y y +=⇒=， 代入抛物线的方程，得216464x =⨯=，解得8x =±，即(8,4)P ±， 所以OPF ∆的面积为11481622P S OP x ==⨯⨯=，故选A. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，及抛物线的标准方程的应用，其中解答中合理利用抛物线的定义和标准方程，求得点P 的坐标是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16.若关于x 的不等式250x a -≤的正整数解有且只有1，2，3，则实数a 的取值范围是 A. 4580a ≤< B. 4580a <<C. 80a <D. 45a >【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式5x 2﹣a ≤0的正整数解，得出a ＞0，≤x ≤a 的取值范围．【详解】解：关于x 的不等式5x 2﹣a ≤0的正整数解是1，2，3， ∴a ＞0， 解不等式得x 25a ≤，∴≤x ≤∴3≤4， ∴95a≤＜16， 即45≤a ＜80，∴实数a 的取值范围是[45，80）．故答案为：[45，80）．二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共20分）17.已知x，y满足421xx yx y⎧⎪+⎨⎪-⎩，若2x y+的最小值为________.【答案】5【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z＝x+2y对应的直线进行平移，可得当x ＝3且y＝1时，z取得最小值．【详解】作出不等式组421xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，其中421x yx y+=⎧⎨-=⎩解得A（3，1）设z＝x+2y，将直线l：z＝x+2y进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z最小值＝3+2＝5故答案为5．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z＝x+2y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．18.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________．【答案】3π 【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cos B 的值，即得B 角.【详解】由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A . ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B .∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B .又sin B ≠0，∴cos B ＝.∴B ＝.∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ，∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝.又0<B <π，∴B ＝.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.19.若函数()2f x x ax b =++的两个零点是-2和3，则不等式()20f x -<的解集是______________.【答案】312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】根据函数零点，求得函数解析式；并求得()2f x -的解析式，解一元二次不等式即可求得不等式的解集.【详解】函数()2f x x ax b =++的两个零点是-2和3，即20x ax b ++=的解为2,3x x =-=，代入方程可得420930a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解方程组可得16a b =-⎧⎨=-⎩ 所以()26f x x x =--，则()()()22226f x x x -=---- 2426x x =+-则24260x x +-<，即()()2310x x +-<， 解得312x -<<， 所以()20f x -<的解集为312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭， 故答案为：312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查了由函数零点确定参数，函数零点与方程的关系，一元二次不等式的解法，属于基础题.20.已知()3231f x ax x x =+-+在R 上是减函数，则a 的取值范围为______________. 【答案】(],3-∞-【解析】【分析】先求得导函数()f x '，由函数()f x 在R 上是减函数可得一元二次不等式；由一元二次不等式恒成立问题，即可求得a 的取值范围.【详解】函数()3231f x ax x x =+-+在R 上是减函数， 则()2361f x ax x '=+- 当0a =时，()610f x x '=-≤在R 上不能恒成立，所以不成立；当0a ≠时，()23610f x ax x '=+-≤在R 上恒成立，需()2064310a a <⎧⎨∆=-⨯⨯-≤⎩，解得3a ≤- 即a 的取值范围为(],3-∞-故答案为：(],3-∞-.【点睛】本题考查了导函数与函数单调性关系，一元二次不等式恒成立问题的解法，属于基础题.21.给出如下四种说法：①四个实数a b c d ,,,依次成等比数列的必要而不充分条件是ad bc =. ②命题“若3x ≥且2y ≥，则1x y -≥”为假命题.③若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题.④若数列{}n a 的前项n 和232n S n n =-，则该数列的通项公式65n a n =-.其中正确说法的序号为________.【答案】①②④【解析】【分析】对于①当出现0项时，不能为等比，结合充分必要条件的概念即可判断；对于②利用命题与否命题真假关系即可判断；对于③由复合命题真假的性质可判断；对于④根据1n n n a S S -=-的性质可求得通项公式.【详解】对于①，若四个实数a b c d ,,,依次成等比数列，则由等比数列性质可得ad bc =；当ad bc =时，若0,0a b ==，则不满足等比数列条件，所以ad bc =是a b c d ,,,依次成等比数列的必要而不充分条件，故①正确；对于②，命题“若3x ≥且2y ≥，则1x y -≥”，当5,8x y ==，满足3x ≥且2y ≥，但是不满足1x y -≥，即命题为假命题，所以②正确；对于③，若p q ∧为假命题，则,p q 中至少有一个为假命题，所以③错误；对于④，若数列{}n a 的前项n 和232n S n n =-，则()()2213121385n S n n n n -=---=-+ 由1n n n a S S -=-可得65n a n =-，当1n =时，1321S =-=，也符合通项公式，即65n a n =-，故④正确；综上可知，正确的为①②④故答案为：①②④【点睛】本题考查了充分必要条件的判定，命题真假的判断，由1n n n a S S -=-求数列通项公式，综合性强，属于中档题.三、解答题（本题共5小题,共70分，解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.22.已知0c >，设命题:p 函数x y c =在R 上为单调函数；命题:q 曲线242y x cx c =++与x 轴交于不同两点，若命题p q ∨为真，q ⌝为真，求c 的取值范围. 【答案】012c <≤【解析】【分析】根据已知条件可得p 真，q 假，由指数函数单调性及二次函数性质可得不等式组，即可求得c 的取值范围.【详解】因为命题p q ∨为真，q ⌝为真，可得p 真，q 假，∵p 为真命题，则01c <<，∵q 为假命题，则21680c c ∆=-≤.又∵0c >， 得012c <≤. 因为p 真q 假，则：01102c c <<⎧⎪⎨<≤⎪⎩得012c <≤. 综上c 的取值范围为012c <≤. 【点睛】本题考查了复合命题真假判断，由复合命题真假确定参数取值范围，属于基础题.23.在ABC ∆中，3,sin 2sin BC AC C A ===．(1)求边长AB 的值；(2)求ABC ∆的面积．【答案】（1）AB =（2）132ABC S ∆==. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由正弦定理sin sin AB BC C A =得sin 2sin 2sin sin BC C BC A AB BC A A====（2）由余弦定理cos C ==sin C =所以13225ABC S ∆=⨯⨯= 考点：正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积．点评：中档题，本题考查知识点较多，但解题思路比较明确，牢记公式（定理），细心计算是关键．24.某村计划建造一个室内面积为800m 2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？【答案】648【解析】【分析】设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，可得出800ab =，并利用a 、b 表示出蔬菜的种植面积S ，再利用基本不等式求出S 的最大值，并利用等号成立的条件求出a 与b 的值，即可对问题进行解答．【详解】设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则800.ab =蔬菜的种植面积()(4)(2)42880822S a b ab b a a b =--=--+=-+，所以2808648().S m ≤-=当2a b =时，即当()40a m =，()20b m =时，()max 648S m =.答：当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m 2.【点睛】本题考查基本不等式的实际应用，考查利用基本不等式求最值，在解题过程中寻找定值条件，解题的关键就是对代数式进行合理配凑，同时特别要注意等号成立的条件，考查计算能力与应用能力，属于中等题．25.如图，直棱柱111ABC A B C -中，D E ，分别是1,AB BB 的中点，12AA AC CB ===，22AB =（1）证明：1//BC 平面1A CD ；（2）求二面角1D A C E --的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】 （1）连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，连接DF ，则BC 1∥DF ，由此能证明BC 1∥平面A 1C ．（2）以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系C ﹣xyz ，利用向量法能求出二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．【详解】（1）如图，连接1AC 交1A C 于点F ，则点F 为1AC 的中点，连接DF .因为D 是AB 的中点，所以在1ABC ∆中，DF 是中位线，所以1//DF BC .因为1BC⊂平面1A CD，1BC⊄平面1A CD，所以1//BC平面1A CD .（2）因为22AC CB AB==，所以90ACB ︒∠=，即AC BC⊥.则以C为坐标原点，分别以CA，CB，1CC为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设12AA AC CB===，则(0,0,0)C，(1,1,0)D，(0,2,1)E，1(2,0,2)A则(1,1,0)CD=，(0,2,1)CE=，1(2,0,2)CA=.设111(,,)m x y z=是平面1DA C的一个法向量，则1m CDm CA⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111220x yx z+=⎧⎨+=⎩，取11x=，则11y=-，11z=-，则(1,1,1)m=--.设222(,,)n x y z=是平面1EA C的一个法向量，则1n CEn CA⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220220y zx z+=⎧⎨+=⎩，取22x=，则21y=，22z=-，则(2,1,2)n=-.所以cos,m n〈〉==，所以6sin,m n〈〉=即二面角1D AC E--的正弦值为3.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．26.若函数3()4=-+f x ax bx,当2x=时,函数()f x有极值为43-.(1)求函数()f x的解析式；(2)若()f x k=有3个解,求实数k的取值范围.【答案】（1）31()443f x x x=-+；（2）42833k-<<.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用函数在某个点取得极值的条件，得到方程组，求得,a b的值，从而得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性以及极值，通过()f x k=有三个不等的实数解，求得k的取值范围.【详解】（1）因为()34f x ax bx=-+，所以2'()3f x ax b=-，由2x=时，函数()f x有极值43-，得()()20423ff⎧=⎪⎨=-'⎪⎩，即12048243a ba b-=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得134ab⎧=⎪⎨⎪=⎩所以()31443f x x x=-+；（2）由（1）知()31443f x x x=-+，所以2'()4(2)(2)f x x x x=-=+-，所以函数()f x 在(,2)-∞-上是增函数，在(2,2)-上是减函数，在(2,)+∞上是增函数，当2x =-时，()f x 有极大值283； 当2x =时，()f x 有极小值43-， 因为关于x 的方程()f x k =有三个不等实根，所以函数()y f x =的图象与直线y k =有三个交点，则k 的取值范围是42833k -<<. 【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0，利用条件求函数解析式，利用导数研究函数的单调性与极值，将方程根的个数转化为图象交点的个数来解决，属于中档题目.27.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4416,7S a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求122320192020111a a a a a a +++的值. （3）设n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）20194039；（3）232n n n T += 【解析】【分析】（1）根据等差数列性质及416,S =即可求得首项与公差，进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）根据裂项求和法，即可求得122320192020111a a a a a a +++的值. （3）将数列合并后，根据等差数列求和公式即可求解.【详解】（1）因为{}n a 是等差数列，所以当n m k l +=+时，则n m k l a a a a +=+，所以()4123414S 216a a a a a a +++=+==，由47,a =11,2a d ∴==，所以数列{}n a 的通项公式是21n a n =-.（2）由（1）得21n a n =-，111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭， 12232019202011111111111201911233540374039240394039a a a a a a ⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以12232019202011120194038a a a a a a +++=. （3）由（1）得2131n nb a n n n n =+=-+=-所以1212n n T a a a n =++++++ ()2312n n +-= 232n n +=【点睛】本题考查了等差数列的性质应用，等差数列前n 项和公式应用，裂项求和法的应用，属于基础题.28.已知椭圆的中心为坐标原点O，长轴长为e =，过右焦点F 的直线l 交椭圆于,P Q 两点，且直线l 的斜率0k >.（1）求椭圆的方程；（2）若OP OQ ⊥，求直线l 的方程. 【答案】（1）2212x y +=；（20y -= 【解析】【分析】（1）设出椭圆方程，根据题意求得,,a b c ，即可得椭圆的标准方程.（2）设直线l 的方程为()1y k x =-，()()1122,,,P x y Q x y ，联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出1212,x x x x +.由直线方程可得12y y .由OP OQ ⊥可得0OP OQ ⋅=，结合平面向量数量积的坐标表示，即可求得斜率，进而得直线方程.【详解】（1）因为有右焦点，所以椭圆方程可设为()222210x y a b a b +=>>.∵长轴长为2e =，即2a =，c e a ==，1a b c ∴=== 所求椭圆方程为2212x y +=.（2）设直线l 的方程为()1y k x =-，()()1122,,,P x y Q x y由2222(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，可得()2222124220k x k x k +-+-=.22121222422,1212k k x x x x k k -∴+==++()()11221,1y k x y k x =-=-，()()()22212121212211112k y y k x x k x x x x k -⎡⎤∴=--=-++=⎣⎦+.因为OP OQ ⊥，所以0OP OQ ⋅=， 由221212222201212k k OP OQ x x y y k k --⋅=+=+=++，得22k =，0k >，k ∴.0y -=.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，由韦达定理求参数的应用，平面向量数量积的坐标表示，属于中档题.。

【详解】
解：集合 A {0 ，1，2， 3}， B {x | x2 2x 3 0} (1,3) ，
所以， A B (1,3]
故选： B ．
4
【点睛】 此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． ★★2．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本 三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1 丈=10 尺）, 现被风折断，尖端落 在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.
Sn Tn
2n 3n
1
，则
a5 b5
（
）
2
A．
3
9
B．
14
【答案】B
20
C．
31
11
D．
17
【解析】
a5 b5
2a5 2b5
a1 a9 b1 b9
9 a1 a9 2
9 b1 b9
S9 2 9 9 T9 3 9 1 14
,选 B.
2
点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题
2
16．已知三角形两边长分别为 1 和 3，第三边上的中线长为 1，则三角形的外接圆半径为 __________． 解答题
17．已知{an} 是各项均为正数的等比数列， a1 2, a3 2a2 16 . （1）求{an} 的通项公式； （2）设 bn log2 an ，求数列{bn} 的前 n 项和.
由正弦定理知 AM ＝100 2， sin60° sin45°
∴AM＝100 3. 在 Rt△AMN 中，∠NAM＝60°，
∴MN＝AM·sin60°＝100 3× 3＝150(m)． 2

高二数学试卷（文科）考生注意：1 .本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟o 2. 请将各题答案填写在答题卡上。

3. 本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 A={x|x2—3xW0}, B = {x|x —1>0},则 Af!B = A.（0, 3）B.（l, 3]C.[0, 3]D.[0, +°°）2. 复数z 满足z （2+i ）=2—i ，则z 的虚部为 4 4 . 4 4 . A, — —B. — iC.—D. — — i55553.2021年3月18日“2021亚太地区自然指数”发布，中国机构整体表现强劲。

在2020年亚 太地区科研产出贡献份额排名前5位中有4家中国机构，它们分别是中国科学院（第一），中国 科学技术大学（第二），北京大学（第四），中国科学院大学（第五），相应的贡献份额（取整数）分别 为1904, 486, 456, 422,则这四个数的极差、中位数分别是 A.-1482, 472B.1482, 472C.-1482, 471D.1482, 4714.双曲线x 2-8y 2=32的离心率为9 B.- 3^2 3,8 42^2D. -------> 业心(e + l)cosx 5. --------------------- 函数 f(x)= ------------------ ----------e x -1的大致图象为 0yo]6.在等比数列{an}中,a2, a8是方程x2—10x+9=0的两个根，则as1 1A.OB.eC.lD.—I—e 28.已知方程x+3x—3=0, x+log4X—4=0的根分别为xi, x2,则A.1<X2<X1B.X2<X I<1C.X1<X2<1D.X I<1<X29.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB = 2DC = 4AE , BD 交CE 于点G, <|AB|=4, ZDAB10.等差数列｛an｝与｛bn｝的前n项和分别为Sn与Tn，若月L =竺±2 ,则冬=T n 3n-l b95 4 7 7A,—B,—C,— D.—7 7 5 311.己知函数f(x)=2 A/3 COS2X+(cosx—sinx)2—A/3 ,贝I」A.f(x)的最小正周期为亏TTB.f(x)的图象关于点(一，0)中心对称6TT 9,77C.f(x)在［―,——］上单调递减6 37TD.把函数y=2sin2x图象上所有的点先向左平移;个单位长度，再向上平移1个单位长度，可得到y=f(x)的图象12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为正视图例视图9遥兀 41〃八17妪兀 19石A,—— B.—— C. ----------- D.^—4 4 2 2第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2020-2021学年度靖远四中期中考试题高一数学第I 卷（选择题）一、单选题1．下列集合表示正确的是( ) A ．{}2,4 B ．{}2,4,4C ．()1,2,3D ．{高个子男生}【答案】A【解析】选项A:符合集合的表示方法，符合集合的三性，本选项是正确的； 选项B:不符合集合元素的互异性，有二个4，故本选项是错误的；选项C:集合用大括号{}把集合的元素括起来，而不是小括号，故本选项是错误的； 选项D:不符合集合的确定性，因为不知道高个子男生的标准是什么，没法确定，故本选项是错误的，故本题选A.2．已知log 92a =-，则a 的值为（ ） A ．3- B ．13- C ．3D ．13【答案】D【解析】∵log 92a =-，0a >，∴29a -=， 解得13a =， 故选：D. 【点睛】3．设()ln 2f x x x =+-，则函数()f x 的零点所在的区间为（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】B【解析】()ln 2f x x x =+-在(0,)+∞单调递增， 且(1)10,(2)ln20f f =-<=>， 根据零点存在性定理，得()f x 存在唯一的零点在区间(1,2)上. 故选：B4．已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（ ） A ．2π B ．8π C ．12π D ．16π【答案】B【解析】因为圆柱的底面半径和高都是2， 所以圆柱的侧面积2228S ππ=⨯⨯⨯=，故选：B.5．与y x =为相等函数的是（ ）A ．2y =B ．y =C ．,0,0x x y x x >⎧=⎨-<⎩ D ．y【答案】B【解析】y x =的定义域为R ；A 选项，2y =的定义域为[)0,+∞，与y x =定义域不同，故不是相等函数，排除A ；B 选项，y =R ，且y x ==，所以y =y x =是相等函数，B 正确；C 选项，,0,0x x y x x >⎧=⎨-<⎩的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，与y x =定义域不同，故不是相等函数，排除C ；D 选项，y 的定义域为R ，当y x ==与y x =对应关系不一致，排除D. 故选：B.6．下列各式，运算正确的是（ ） A ．()235aa -=B ．3339a a ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．246a a a ⋅=D ．33222a b a b ab -=【答案】C【解析】对于A ，()236a a -=，故A 不正确；对于B ，33327a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 不正确；对于C ，24246a a a a +⋅==，故C 正确；对于D ，()332222221a b a b a b ab -=-，故D 错误；故选：C7．()()24log 8log 2⋅=（ ） A ．2 B ．32C ．23D ．6【答案】B【解析】原式()()2322log 2log 2=⋅=13322⨯=.故选：B8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A ．72B ．48C ．27D ．36【答案】D【解析】由题可得直观图为三棱柱，故体积为：V Sh ==1463362⨯⨯⨯=，故选D. 9．已知函数()lg |1|lg |1|f x x x =++-，则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(1,)+∞上是增函数 B ．是奇函数，且在(1,)+∞上是减函数 C ．是偶函数，且在(1,)+∞上是增函数 D ．是偶函数，且在(1,)+∞上是减函数 【答案】C【解析】()lg 1lg 1f x x x -=-++()f x =，()f x ∴是偶函数；当1x >时，()()()2()lg 1lg 1lg 1f x x x x =++-=-，设()21t x x =-，则()t x 在(1,)+∞上单增，又()lg f t t =为增函数，所以()2()lg 1f x x =-在(1,)+∞上单增，()f x ∴是偶函数，且在(1,)+∞上是增函数.故选：C.10．已知幂函数()f x x α=的图象过点()93，，若()2f t =，则实数t 的值为（ ） AB ．C ．4±D ．4【答案】D【解析】由题意得：93a =，解得12a =，所以12()2f t t ==，解得：4t =，故选：D11．若函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在[]2,1-上的最大值为4，最小值为m ，实数m 的值为（ ）A ．12B ．14或12C ．116D ．12或116【答案】D【解析】函数()x f x a =在[]2,1-上： 当01a <<时，()f x 单调递减：最大值为2(2)4f a --==，最小值(1)f a m ==，即有12m =； 当1a >时，()f x 单调递增：最大值为(1)4f a ==，最小值2(2)f a m --==，即有116m =； 综上，有12m =或116m =；故选：D12．若一个圆锥的轴截面是正三角形，则此圆锥侧面展开图扇形的圆心角大小为（ ）． A ．60︒ B ．90︒ C ．120︒ D ．180︒【答案】D【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为R ，由该圆锥的轴截面是正三角形，得2r R =，∴π22π180n r r ⨯=︒，解得180n =︒． 故选D ．第II 卷（非选择题）二、填空题13．设函数()2111x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，，，则()4f f -=⎡⎤⎣⎦ _________．【答案】15【解析】∵函数()2111x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，，，∴()416f -=，()()41616115f f f -==-=⎡⎤⎣⎦． 故答案为：1514．函数()log (43)(0a f x x a =->且1)a ≠的图象所过定点的坐标是________.【答案】()1,0【解析】由log 10a =可令431x -=，解得1x =，所以图象所过定点的坐标是()1,015．定义在(,0)-∞上的函数()f x 是增函数，若(1)(lg )f f x -<，则实数x 的取值范围是___． 【答案】1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因为在(,0)-∞上的函数()f x 是增函数，且(1)(lg )f f x -<，所以lg 001lg x x x <⎧⎪>⎨⎪-<⎩，解得11010x <<，所以x 的取值范围为1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故答案为：1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭16．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为 ．【答案】1:8【解析】试题分析：由求得表面积公式24S R π=得半径比为1:2，由体积公式343V R π=可知体积比为1:8三、解答题17．已知函数()23,0,033,3x x f x x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩． （1）画出函数图象并写出单调区间；（2）依据图象写出函数在区间[]3,3-的最值．【答案】（1）图象见解析，单调增区间有(]1,032⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦，，，单调减区间有()103+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，，，；（2）最小值为14-，最大值为6．【解析】解：（1）利用描点法得函数图象如图，……5分由图可知，函数的单调增区间为(]1,032⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦，，，单调减区间为()103+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，，，；……5分 （2）由图可知， 函数的最小值为211112224f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数的最大值为()23336f =-=．……10分18．求下列函数的定义域、值域.y ＝313xx +【答案】（1）定义域为R ；值域为(0，1)【解析】∵对一切x ∈R ，3x ≠－1；∴函数的定义域为R ；.……5分∵y ＝13113x x +-+＝1－113x +；又∵3x >0，1＋3x >1；∴0<113x +<1，∴－1<－113x+<0； ∴0<1－113x+<1，∴值域为(0，1).……12分 19．函数f （x ）＝x 2－ax －b 的两个零点是1和2，求函数g （x ）＝ax 2－bx －1的零点．【答案】－1和13.【解析】因为函数f （x ）＝x 2－ax －b 的两个零点是1和2，所以123122a a b b =+=⎧⎧⇒⎨⎨-=⨯=-⎩⎩，所以g （x ）＝3x 2＋2x －1，……6分令()0g x =，解得1x =-或13，故函数g （x ）的零点为－1和13．……12分20222，求：（1）长方体的体对角线的长；（2）长方体的表面积.【答案】（1.（2）2S cm =表【解析】（1）设长方体的长，宽，高分别为cm,cm,cm a b c ，如图.可令2,3,6,ab bc ac ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得2,1,3.ab c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩2222222221116BD DD BD DD AD AB a b c =+=++=++=，16cm BD ∴=6cm .……6分（2）2(222326)cm S =表..……12分21．已知函数1()f x x x =+，（1）证明()f x 在[)1,+∞上是增函数；（2）求()f x 在[]1,4上的最大值及最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）当1x =时，有最小值2；当4x =时，有最大值174. 【解析】（1）证明：在[)1,+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，12121211()()()f x f x x x x x -=+-+1212121()x x x x x x -=-⋅12x x <，120x x ∴-<，[)11,x ∈+∞，[)21x ∈+∞,，1210x x ∴->，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <，故()f x 在[)1,+∞上是增函数；……6分（2）解：由（1）知：()f x 在[]1,4上是增函数，∴当1x =时，有最小值2；当4x =时，有最大值174.……12分 22．已知函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且满足()()()f xy f x f y =+，()21f =.（1）求()8f ；（2）求不等式()()23f x f x -->的解集．【答案】（1）3 （2）1627x << 【解析】（1）由题意可得f （8）=f （4×2）=f （4）+f （2）=f （2×2）+f （2）=3f （2）=3.……5分（2）原不等式可化为f （x ）＞f （x-2）+3=f （x-2）+f （8）=f （8x-16）∵f（x ）是定义在（0，+∞）上的增函数∴解得：1627x <<.……12分。