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第1篇三角函数的概念教学设计一等奖三角函数一. 教学内容：三角函数【结构】二、要求（一）理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。
（二）掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）（三）能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
（四）会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin（ωx φ）的简图、理解A、ω、< 1271864542"> 的意义。
三、热点分析1. 近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2. 对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题3. 基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.4. 立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.四、复习建议本章内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：（1）首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理。
三角函数的定义及应用教学教案第一章：引言1.1 教学目标让学生了解三角函数在数学和科学领域的重要性。
引导学生理解三角函数的基本概念。
1.2 教学内容三角函数的定义与历史背景。
三角函数在不同领域的应用。
1.3 教学方法采用讲授法，介绍三角函数的定义和应用。
利用实例和实际问题，激发学生的学习兴趣。
1.4 教学评估课堂讨论：让学生分享对三角函数的理解和应用。
作业布置：要求学生完成相关练习题，巩固知识点。
第二章：正弦函数的定义及性质2.1 教学目标让学生掌握正弦函数的定义和性质。
培养学生运用正弦函数解决实际问题的能力。
2.2 教学内容正弦函数的定义和表达式。
正弦函数的周期性和对称性。
正弦函数的增减性和奇偶性。
2.3 教学方法采用讲解法，引导学生理解正弦函数的定义和性质。
利用图形和实例，让学生直观地感受正弦函数的特点。
2.4 教学评估课堂提问：检查学生对正弦函数定义和性质的理解。
作业布置：要求学生完成相关练习题，巩固知识点。
第三章：余弦函数的定义及性质3.1 教学目标让学生掌握余弦函数的定义和性质。
培养学生运用余弦函数解决实际问题的能力。
3.2 教学内容余弦函数的定义和表达式。
余弦函数的周期性和对称性。
余弦函数的增减性和奇偶性。
3.3 教学方法采用讲解法，引导学生理解余弦函数的定义和性质。
利用图形和实例，让学生直观地感受余弦函数的特点。
3.4 教学评估课堂提问：检查学生对余弦函数定义和性质的理解。
作业布置：要求学生完成相关练习题，巩固知识点。
第四章：正切函数的定义及性质4.1 教学目标让学生掌握正切函数的定义和性质。
培养学生运用正切函数解决实际问题的能力。
4.2 教学内容正切函数的定义和表达式。
正切函数的周期性和对称性。
正切函数的增减性和奇偶性。
4.3 教学方法采用讲解法，引导学生理解正切函数的定义和性质。
利用图形和实例，让学生直观地感受正切函数的特点。
4.4 教学评估课堂提问：检查学生对正切函数定义和性质的理解。
三角函数的定义及应用教学教案（优秀4篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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三角函数的定义教案教学目标：1. 理解三角函数的定义；2. 掌握常用三角函数的性质和图像；3. 能够利用三角函数的定义解决与角度和三角函数值有关的问题。
教学内容：1. 三角函数的定义；2. 三角函数的性质和图像；3. 解题方法和技巧。
教学步骤：第一步：引入教师引入三角函数的概念，提问学生是否听说过三角函数，它有哪些常用的函数。
第二步：三角函数的定义教师介绍正弦、余弦和正切三个常用的三角函数，并给出它们的定义：正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个角θ，它的正弦值等于对边与斜边的比值，即sinθ = 对边/斜边；余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个角θ，它的余弦值等于邻边与斜边的比值，即cosθ = 邻边/斜边；正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个角θ，它的正切值等于对边与邻边的比值，即tanθ = 对边/邻边。
第三步：三角函数的性质和图像教师介绍三角函数的性质和图像，例如：- 正弦函数的值域是[-1,1]，在区间[0,2π]上呈周期性变化；- 余弦函数的值域也是[-1,1]，在区间[0,2π]上呈周期性变化，与正弦函数的图像相位差90°；- 正切函数在某些角度上无定义，它在区间[-π/2,π/2]上呈周期性变化。
教师还可以通过实际的例子和问题，让学生对三角函数的图像和性质有更加深入的理解和认识。
第四步：解题方法和技巧教师通过一些实际问题的例子，引导学生掌握三角函数的解题方法和技巧，如：- 利用三角函数的定义和性质，求解角度；- 利用三角函数的图像和性质，求解三角函数的值；- 利用三角函数的关系，求解三角函数的等式或不等式。
第五步：小结和拓展教师对本节课的内容进行小结，并根据学生的掌握情况进行适当的拓展，如引入反三角函数的概念，讨论三角函数的其他性质等。
第六步：练习和讨论教师布置练习题，让学生在课后进行练习，并在下节课上进行讨论和解答。
同时，鼓励学生自主学习，查找和整理关于三角函数的更多相关资料。
三角函数的定义教案使学生理解并掌握三角函数线的作法，能利用三角函数线解决一些简单问题. 2.培养学生分析、探索、归纳和类比的能力，以及形象思维能力。
下面是我给大家整理的三角函数的定义教案5篇，希望大家能有所收获!三角函数的定义教案1教学准备教学目标1、知识与技能(1)了解周期现象在现实中广泛存在;(2)感受周期现象对实际工作的意义;(3)理解周期函数的概念;(4)能熟练地判断简单的实际问题的周期;(5)能利用周期函数定义进行简单运用。
2、过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象;从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义;根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
教学重难点重点:感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点:周期函数概念的理解，以及简单的应用。
教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题)【探究新知】1.我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片(投影图片)，注意波浪是怎样变化的?可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
(单摆运动、四季变化等)(板书：一、我们生活中的周期现象)2.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”?②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么?③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”?④对于周期函数的定义，你的理解是怎样?以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T;x 必须是定义域内的任意值;f(x+T)=f(x)。
三角函数概念及应用教案一、教学目标。
1. 知识目标。
了解三角函数的概念和性质，掌握三角函数的基本公式和图像特征。
2. 能力目标。
能够运用三角函数解决实际问题，理解三角函数在几何、物理等领域的应用。
3. 情感目标。
培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的热情，提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点和难点。
1. 教学重点。
三角函数的定义和性质，三角函数的图像特征，三角函数在实际问题中的应用。
2. 教学难点。
学生对三角函数的概念和性质的理解，以及如何运用三角函数解决实际问题。
三、教学过程。
1. 导入。
通过引入一个实际问题，如求解一个三角形的边长或角度，引出三角函数的概念和应用，并激发学生的学习兴趣。
2. 概念讲解。
介绍三角函数的定义和性质，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义公式和性质，以及它们的周期性、奇偶性和对称性等特点。
3. 图像特征。
分别讲解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特征，包括振幅、周期、相位差等，并通过实例讲解如何根据函数的图像特征求解实际问题。
4. 应用实例。
通过一些实际问题，如建筑物的倾斜角度、航空航天中的导航问题、声波的传播等，引导学生理解三角函数在实际问题中的应用，并通过实例讲解如何运用三角函数解决这些问题。
5. 练习。
给学生提供一些练习题，让他们运用所学的知识解决实际问题，巩固所学内容。
6. 总结。
对本节课所学的内容进行总结，强调三角函数在实际问题中的应用，并鼓励学生多多思考，多多实践，提高解决实际问题的能力。
四、教学手段。
1. 板书。
教师通过板书讲解三角函数的定义、性质和图像特征，方便学生理解和记忆。
2. 多媒体。
利用多媒体设备，播放相关的动画、视频等，直观地展示三角函数的图像特征，激发学生的学习兴趣。
3. 实物。
通过一些实物模型或实际物体，如三角形、建筑物、声波等，让学生直观地感受三角函数在实际问题中的应用。
五、教学反思。
通过本节课的教学，学生对三角函数的概念和性质有了更深入的理解，对三角函数在实际问题中的应用也有了一定的认识。
教学计划：《三角函数的概念》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够准确理解三角函数（正弦、余弦、正切）的基本定义，并能识别其在直角三角形中的表示。
o学生能够掌握三角函数值与角度之间的对应关系，理解三角函数是周期函数的特点。
o学生能够运用三角函数的基本性质进行简单的计算与推导。
2.过程与方法：o通过观察、比较和归纳，引导学生从实际情境中抽象出三角函数的概念。
o借助图像直观展示三角函数的周期性，培养学生的数形结合能力。
o通过小组讨论和合作学习，促进学生之间的交流与合作，共同探索三角函数的性质。
3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，感受数学与生活的紧密联系。
o培养学生的探究精神和创新思维，鼓励他们勇于提出问题并尝试解决。
o引导学生认识到数学在解决实际问题中的重要性，增强应用数学的意识。
二、教学重点和难点●重点：三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、图像及基本性质。
●难点：理解三角函数值与角度之间的对应关系，以及三角函数周期性的概念。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过展示如钟摆运动、海浪波动等自然界中的周期性现象，引导学生思考这些现象背后的数学规律，从而引出三角函数的概念。
●复习旧知：回顾直角三角形的相关知识，如勾股定理、锐角与钝角的定义，为学习三角函数做好铺垫。
●明确目标：简要介绍本节课的学习目标，即掌握三角函数的基本概念、图像及基本性质。
2. 讲授新知（15分钟）●定义讲解：详细讲解正弦、余弦、正切三种三角函数在直角三角形中的定义，强调它们与边长的比例关系。
●图像展示：利用多媒体设备展示三种三角函数的图像，引导学生观察图像特征，如正弦、余弦函数的周期性，正切函数的间断性等。
●性质归纳：结合图像，引导学生归纳出三角函数的基本性质，如定义域、值域、奇偶性、单调性等。
3. 互动探究（10分钟）●小组讨论：将学生分成若干小组，每组分配一个探究任务，如“探究正弦函数在哪些区间内是增函数？”、“尝试用三角函数表示一个圆上某点的坐标”。
新人教版九年级数学三角函数教案5篇最新三角形中的恒等式是我们经常在考试中遇到的题型，教师需要好的教案范围去教导学生，今天小编在这里整理了一些新人教版九年级数学三角函数教案5篇最新，我们一起来看看吧!新人教版九年级数学三角函数教案1教学目的1，使学生了解本章所要解决的新问题是：已知直角三角形的一条边和另一个元素(一边或一锐角)，求这个直角三角形的其他元素。
2，使学生了解“在直角三角形中，当锐角A取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。
重点、难点、关键1，重点：正弦的概念。
2，难点：正弦的概念。
3，关键：相似三角形对应边成比例的性质。
教学过程一、复习提问1、什么叫直角三角形?2，如果直角三角形ABC中∠C为直角，它的直角边是什么?斜边是什么?这个直角三角形可用什么记号来表示?二、新授1，让学生阅读教科书第一页上的插图和引例，然后回答问题：(1)这个有关测量的实际问题有什么特点?(有一个重要的测量点不可能到达)(2)把这个实际问题转化为数学模型后，其图形是什么图形?(直角三角形)(3)显然本例不能用勾股定理求解，那么能不能根据已知条件，在地面上或纸上画出另一个与它全等的直角三角形，并在这个全等图形上进行测量?(不一定能，因为斜边即水管的长度是一个较大的数值，这样做就需要较大面积的平地或纸张，再说画图也不方便。
)(4)这个实际问题可归结为怎样的数学问题?(在Rt△ABC中，已知锐角A和斜边求∠A的对边BC。
)但由于∠A不一定是特殊角，难以运用学过的定理来证明BC的长度，因此考虑能否通过式子变形和计算来求得BC的值。
2，在RT△ABC中，∠C=900，∠A=300，不管三角尺大小如何，∠A的对边与斜边的比值都等于1/2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A的对边BC的长。
类似地，在所有等腰的那块三角尺中，由勾股定理可得∠A的对边/斜边=BC/AB=BC/=1/=/2 这就是说，当∠A=450时，∠A的对边与斜边的比值等于/2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A 的对边BC的长。
三角函数的计算教案【教案一】一、教学目标：1. 了解三角函数的基本定义和常用的三角函数公式；2. 掌握三角函数的计算方法；3. 能够在实际问题中应用三角函数进行计算。
二、教学内容：1. 三角函数的基本概念及定义；2. 常用的三角函数公式；3. 三角函数的计算方法；4. 三角函数在实际问题中的应用。
三、教学过程：1. 概念讲解介绍三角函数的基本定义，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
解释三角函数的含义及其在数学和实际生活中的应用。
2. 常用公式介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的常用公式，如和差化积公式、倍角公式、半角公式等。
讲解公式的推导过程，并进行具体的计算演示。
3. 计算方法分别讲解三角函数的计算方法，包括角度计算和边长计算。
以具体的例题为例，详细讲解计算步骤和注意事项。
4. 应用实例列举一些实际问题，并结合三角函数的计算方法进行求解。
例如，计算船与岸边的夹角、计算建筑物的高度等。
通过实例的讲解，帮助学生理解三角函数的应用场景。
四、教学要点：1. 三角函数的概念和定义；2. 常用的三角函数公式；3. 三角函数的计算方法；4. 三角函数的应用实例。
五、教学辅助工具：黑板、粉笔、投影仪、计算器等。
六、教学评价方法：1. 课堂讨论：通过提问和回答的方式，检查学生对三角函数的理解程度；2. 作业批改：布置练习题，检查学生的计算能力；3. 小组活动：组织学生分为小组进行实际问题的解答，评价小组的合作能力和解决问题的能力。
七、教学反思与总结：通过本节课的教学，学生对三角函数的概念和计算方法有了更深入的理解。
通过实际问题的解答，学生对三角函数的应用也有了一定的掌握。
在今后的教学中，还可以引入更多的实际问题，激发学生的兴趣，提高学习效果。
同时，要注意培养学生的计算能力和团队合作能力，使学生能够灵活运用所学知识解决实际问题。
三角函数的定义教案一、知识要点1. 什么是三角函数三角函数，顾名思义，是与三角形相关的函数。
在初中和高中的数学和物理课程中，我们经常使用三角函数来描述和解决各种问题，如测量角度、计算三角形的周长和面积、分析周期性现象等等。
(1) 正弦函数：定义域为实数集合，值域为[-1,1]。
其定义式为：y=sin(x)。
二、教学过程1. 正弦函数的定义及简单应用(1) 导入：告诉学生三角函数是什么，引导学生回想初中时学习的正余弦函数的相关知识。
(2) 定义：正弦函数是指一个角的正弦值与该角的对边长度之比所确定的函数，通常用sin表示。
(3) 理解：图形辅助理解正弦函数的定义。
绘制一条半径为1的半圆，以圆心为原点建立平面直角坐标系，横坐标轴代表角度，纵坐标轴表示正弦值。
通过在半圆上移动一个点P，观察P 点的正弦值的变化，从而建立正弦函数的概念。
(4) 案例：分别计算在直角三角形中，已知角A=30°，对边长度为2时，斜边长度和邻边长度的值。
解：∠A=30°，则正弦值为sin30°=1/2。
斜边长度为：c=2/sin30°=4。
邻边长度为：b=√c²-a²=√4²-2²=√12。
对边长度为：a=b·tan60°=b·√3。
由a²+b²=c²，代入得b=√c²-a²=√3。
图形辅助理解正切函数的定义。
绘制直角三角形，以角A为例，角A的正切值是指该角的对边长度与邻边长度之比。
画出该角的对边和邻边，通过计算对边和邻边的长度，求出角A的正切值，从而建立正切函数的概念。
解：∠A=45°，对边长度为x，邻边长度为x·√3。
余切值为cot45°=1。
三角函数的概念
班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( ) A ．sin θ
2
B ．cos θ2
C ．tan θ2
D ．cos2θ
解析：∵2k π<θ<π
2
＋2k π(k ∈Z )，
∴k π<θ2<π
4
＋k π(k ∈Z )，4k π<2θ<π＋4k π(k ∈Z )．
可知θ2是第一、三象限角，sin θ2，cos θ2都可能取负值，只有tan θ
2能确定为正值．
2θ是第一、二象限角或y 轴正半轴上的角，cos2θ可能取负值． 答案：C
2．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫
π4，π
C.⎝⎛⎭⎫π4，54π
D.⎝⎛⎭⎫π4，π∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2
解析：在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在(0,2π)内，sin x >cos x ，则x ∈⎝⎛⎭⎫
π4，54π. 答案：C
3．已知角2α顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边过点⎝⎛⎭⎫－12，3
2，2α∈
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：∵A 、B 为锐角△ABC 的两内角， ∴A ＋B >90°
∴⎩⎪⎨⎪⎧
A >90°－
B B >90°
－A
∴sin A >sin(90°－B )＝cos B ，sin B >sin(90°－A )＝cos A ∴cos B －sin A <0，sin B －cos A >0 ∴点P 在第二象限． 答案：B
5．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4 解析：设中心角为θ，则根据题意得：
⎩⎪⎨⎪⎧
2r ＋θr ＝6 ①
12θr 2＝2 ②
由①得r ＝62＋θ，代入②得12θ·36(2＋θ)2
＝2
解得θ＝1或θ＝4，可知都适合． 答案：C
6．设a ＝sin π6，b ＝π6，c ＝cos π4，d ＝π4，e ＝π3，f ＝tan π
4，则下列各式中正确的是( )
A ．a >b >c >d >e >f
B ．e >f >d >c >b >a
C ．e >f >c >d >b >a
D ．以上答案都不对
解析：a ＝12，b ≈0.523，c ＝2
2＝0.707， d ≈0.78，e ＝1.046，f ＝1，故选B.
答案：B
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在内终边与θ
4角的终边相同的角是__________．
解析：由已知θ＝2k π＋8π
5(k ∈Z )，
∴θ4＝k π2＋2π
5
(k ∈Z )， 由0≤k π2＋2π5≤2π，得－45≤k ≤165，
∵k ∈Z ，∴k ＝0,1,2,3，
∴θ4依次为25π，910π，75π，1910π. 答案：25π，910π，75π，1910
π.
8．已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为13，则内切圆面积与扇形面积之比为__________．
解析：如右图，两半径之比为13， 即OA O ′B ＝31， ∴OO ′O ′B ＝21， ∴∠BOO ′＝π6，∠COD ＝π3，
S 圆
S 扇＝πr 12
12·π3·r 2
2＝2 3.
答案：2 3
9.下列4个判断：
①α∈⎝⎛⎭⎫0，π
2时，sin α＋cos α>1； ②α∈⎝⎛⎭⎫0，π
4时，sin α<cos α； ③α∈⎝⎛⎭⎫5π4，3π2时，sin α>cos α；
④α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，若sin α＋cos α<0，则|cos α|>|sin α|. 其中判断正确的序号是________(将正确的都填上)． 解析：①当α∈⎝⎛⎭
⎫0，π
2时，则sin α＋cos α>1正确；
②当α∈⎝⎛⎭⎫0，π
4时，则sin α<cos α正确； ③当α∈⎝⎛⎭⎫
5π4，3π2时，则sin α>cos α错误； ④当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，sin α>0，cos α<0. 又sin α<－cos α，即|cos α|>|sin α|正确． 综上所述，正确的序号为①②④. 答案：①②④ 10．已知下列四个命题
(1)若点P (a,2a )(a ≠0)为角α终边上一点，则sin α＝255；
(2)若α＞β且都是第一象限角，则tan α＞tan β； (3)若θ是第二象限角，则sin θ2cos θ
2＞0；
(4)若sin x ＋cos x ＝－7
5，则tan x ＜0.
其中正确命题的序号为____________． 解析：(1)取a ＝1，则r ＝5，sin α＝
25＝2
5
5； 再取a ＝－1，r ＝5，sin α＝
－25
＝－2
55，故(1)错误．
(2)取α＝2π＋π6，β＝π3，可知tan α＝tan π6＝3
3，tan β＝3，故tan α＞tan β不成立，(2)错
误．
(3)由θ是第二象限角，则2k π＋π
2＜θ＜2k π＋π，
则k π＋π4＜θ2＜k π＋π2即θ
2为一、三象限角，在一、三象限
sin θ2，cos θ2同号，故sin θ2·cos θ
2
＞0成立，(3)正确． (4)由sin x ＋cos x ＝－7
5＜－1可知x 为第三象限角，故tan x ＞0，(4)不正确．
答案：(3)
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点
P (－1,2)，求sin ⎝
⎛⎭⎫2α＋2π
3的值． 解析：∵P (－1,2)是角α终边上一点，得 r ＝|OP |＝
(－1)2＋22＝ 5.
∴sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－5
5，
sin2α＝2sin αcos α＝2×255×⎝⎛⎭⎫－5
5＝－45.
cos2α＝cos 2α－sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－1552－⎝⎛⎭⎫2552＝－3
5
， 那么sin ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3＝sin2αcos 2π3＋cos2αsin 2π
3 ＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－35×32＝4－3310.
12．设sin α|sin α|＋|cos α|cos α＋tan α|tan α|＋|cot α|
cot α＝0，确定sin(cos α)·tan ⎝⎛⎭⎫sin α2的符号． 解析：由sin α|sin α|＋|cos α|cos α＋tan α|tan α|＋|cot α|
cot α＝0，
知α是第三象限角，即2k π＋π<α<2k π＋3π
2(k ∈Z )，
∴k π＋π2<α2<k π＋3π
4(k ∈Z )，
当k ＝2n 时，α
2是第二象限角，
此时sin(cos α)<0，tan ⎝⎛⎭⎫sin α
2>0， 故原式为负值(n ∈Z )，
当k ＝2n ＋1时，α
2是第四象限角，
此时sin(cos α)<0，tan ⎝⎛⎭⎫sin α
2<0， 故原式为正值(n ∈Z )．
13．角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(ab ≠0)，角β的终边上的点Q 与点A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·sec β＋tan α·cot β＋sec α·csc β的值．
分析：由A 点坐标的对称性确定P ，Q 的坐标，按三角函数的定义确定三角函数值． 解析：∵P 和A (a ，b )关于x 轴对称， ∴P 点坐标为(a ，－b )．
又Q 和A (a ，b )关于直线y ＝x 对称， ∴Q 点坐标为(b ，a )．由三角函数定义，知
sin α＝
－b
a 2＋
b 2
，sec β＝
a 2＋
b 2b ，tan α＝－b a ，cot β＝b
a
，sec α＝a 2＋b 2
a
，csc β＝a 2＋b 2
a
. 故sin α·sec β＋tan α·cot β＋sec α·csc β
＝
－b a 2＋b
2
·a 2＋b 2b ＋－b a ·b a ＋
a 2＋
b 2a ·a 2＋b 2
a
＝－1－b 2a 2＋a 2＋b
2
a
2＝0.
点评：考查三角函数的定义及应用，根据三角函数的定义，用坐标表示各种三角函数值，将三角函数的运算转化为坐标的运算．。
