三角函数的概念

三角函数的概念三角函数是数学中一种重要的函数类型，它描述了角度和长度之间的关系。

它在几何、物理、工程和计算机图形等领域中具有广泛的应用。

本文将介绍三角函数的概念以及它们的定义、性质和图像特征。

一、三角函数的定义1. 正弦函数（sine function）：正弦函数是指一个单位圆上任意角的对应坐标的纵坐标值，用sin表示。

在三角形中，正弦函数表示对边与斜边的比值。

2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数是指一个单位圆上任意角的对应坐标的横坐标值，用cos表示。

在三角形中，余弦函数表示邻边与斜边的比值。

3. 正切函数（tangent function）：正切函数是指一个单位圆上任意角的对应坐标的纵坐标值与横坐标值的比值，用tan表示。

在三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值。

二、三角函数的性质1. 周期性：三角函数都具有周期性，周期为360度或2π弧度。

例如，sin(θ)=sin(θ+360°)=sin(θ+2π)。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数（sin(-θ)=-sin(θ)），余弦函数和正切函数是偶函数（cos(-θ)=cos(θ)，tan(-θ)=tan(θ)）。

3. 值域：正弦函数和余弦函数的值域为[-1, 1]；正切函数的值域为全体实数。

三、三角函数的图像1. 正弦函数的图像呈现出周期性的波形，对于一个周期内的任意值，其取值范围在[-1, 1]之间。

2. 余弦函数的图像与正弦函数非常相似，只是在横坐标上有一个相位差。

3. 正切函数的图像在某些角度上会出现无穷大或无穷小，这些角度被称为正切函数的奇点。

四、三角函数的应用1. 几何学应用：三角函数在几何学中广泛应用于解决三角形相关的问题，如计算三角形的边长、角度和面积等。

2. 物理学应用：三角函数在物理学中用于描述波动、振动和周期性现象，如声音和光的传播。

3. 工程学应用：三角函数在工程学中用于解决各种实际问题，如测量、设计和建模等。

三角函数的基本概念三角函数是数学中重要的概念之一，它们是描述角度与三角形之间关系的函数。

在数学和物理学中，三角函数广泛应用于各种领域，包括几何、导数、微积分、辐射传输等。

一、正弦函数正弦函数是最基本的三角函数之一，通常用sin表示。

对于任意角度θ，正弦函数的值定义为对边与斜边的比值：sin(θ) = 对边/斜边。

正弦函数的定义域为整个实数集，值域为[-1,1]。

二、余弦函数余弦函数是另一种常见的三角函数，通常用cos表示。

对于任意角度θ，余弦函数的值定义为邻边与斜边的比值：cos(θ) = 邻边/斜边。

余弦函数的定义域为整个实数集，值域也为[-1,1]。

三、正切函数正切函数是正弦函数与余弦函数的比值，通常用tan表示。

对于任意角度θ，正切函数的值定义为对边与邻边的比值：tan(θ) = 对边/邻边。

正切函数的定义域为除了90度和270度的整数倍角之外的所有实数，值域为整个实数集。

四、余切函数余切函数是余弦函数与正弦函数的比值，通常用cot表示。

对于任意角度θ，余切函数的值定义为邻边与对边的比值：cot(θ) = 邻边/对边。

余切函数的定义域为除了0度和180度的整数倍角之外的所有实数，值域为整个实数集。

五、正割函数正割函数是正弦函数的倒数，通常用sec表示。

对于任意角度θ，正割函数的值定义为斜边与邻边的比值：sec(θ) = 斜边/邻边。

正割函数的定义域为除了90度和270度的整数倍角之外的所有实数，值域为(-∞,-1]和[1,+∞)。

六、余割函数余割函数是余弦函数的倒数，通常用csc表示。

对于任意角度θ，余割函数的值定义为斜边与对边的比值：csc(θ) = 斜边/对边。

余割函数的定义域为除了0度和180度的整数倍角之外的所有实数，值域为(-∞,-1]和[1,+∞)。

三角函数除了以上六种基本函数外，还有诸如反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等反三角函数，它们的定义域和值域不同于基本三角函数。

三角函数在数学上有丰富的性质和运算规律，如正弦函数和余弦函数的和差公式、倍角公式等，这些规律在解决实际问题时起着重要的作用。

高中数学-三角函数本文将详细介绍高中数学中的一章-三角函数。

三角函数是高中数学的重要内容之一，它包括三角函数的定义、性质、基本公式、图像以及应用等方面。

下面将分别进行详细介绍。

一、三角函数的定义三角函数是指在单位圆上，角度为x的点与x轴的交点的坐标值之间的比值。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

在三角函数的定义中，需要注意单位圆的概念以及对于不同象限的角度，三角函数的正负关系。

二、三角函数的性质三角函数具有很多重要的性质，包括周期性、奇偶性、单调性等。

三角函数的周期是2π，即在每一个周期内，函数值相同，并且具有对称性。

三角函数的奇偶性包括正弦函数和正切函数为奇函数，余弦函数为偶函数。

三角函数的单调性描述了函数图像的变化趋势，正弦函数和余弦函数在一个周期内都是周期性变化的，正弦函数在第一象限和第四象限单调上升，余弦函数在第一象限和第四象限单调下降。

三、三角函数的基本公式三角函数的基本公式包括正弦函数、余弦函数和正切函数的加减角公式、倍角公式、半角公式等。

在三角函数的基本公式中，需要注意加减角公式的正负关系，倍角公式的推导以及半角公式的应用。

四、三角函数的图像三角函数的图像对于理解三角函数的性质和应用非常重要。

正弦函数和余弦函数的图像在单位圆上是圆上点的纵、横坐标，而正切函数的图像则是从原点出发与x轴夹角为x 的射线与x轴的交点的纵坐标与横坐标之比。

五、三角函数的应用三角函数的应用非常广泛，包括求解三角形的各种角度和边长、计算物体运动的轨迹等。

在三角函数的应用中，需要注意如何将实际问题转化为数学问题，并且正确地运用三角函数的定义、性质、公式和图像。

六、总结三角函数是高中数学的重要内容之一，它包括三角函数的定义、性质、基本公式、图像以及应用等方面。

通过学习本章，可以使学生掌握三角函数的基本概念和应用方法，提高数学思维和解题能力，为学习后续知识打下坚实的基础。

三角函数的定义和计算方法三角函数是数学中的一个重要概念，它的定义和计算方法在解决几何问题和数学建模中起着重要的作用。

本文将介绍三角函数的定义以及常用的计算方法。

一、三角函数的定义1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，用sin表示。

对于任意实数x，它的正弦值表示为sin(x)。

正弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1, 1]。

2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数是另一个基本的三角函数，用cos表示。

对于任意实数x，它的余弦值表示为cos(x)。

余弦函数的定义域也是所有实数，值域也是[-1, 1]。

3. 正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中较为常用的函数，用tan表示。

对于任意实数x，它的正切值表示为tan(x)。

正切函数的定义域是所有实数，但在某些特殊点上它的值是无穷大或者无穷小。

二、三角函数的计算方法1. 单位圆上的定义三角函数的计算方法可以通过单位圆上的定义来了解。

单位圆是指半径为1的圆，在x轴上的坐标为1，即(1,0)。

对于任意角度θ，单位圆上的点P的坐标可以表示为(Px, Py) = (cosθ, sinθ)，其中Px和Py 分别表示点P在x轴和y轴上的坐标。

2. 用角度确定三角函数值三角函数的计算方法可以通过给定角度来确定对应的函数值。

以正弦函数为例，给定一个角度θ，可以使用特殊角的数值来计算sinθ。

特殊角的数值可以通过查表或者计算器获得，例如，sin30° = 0.5，sin45° = 0.707，sin60° = 0.866等等。

通过特殊角的数值，可以通过三角函数的性质计算出其他角度的函数值。

3. 用三角函数值确定角度反函数也是计算三角函数的重要方法之一。

给定一个三角函数的值，可以通过反函数来确定对应的角度。

例如，给定一个值0.5，可以使用反正弦函数来计算对应的角度，即sin^(-1)(0.5)。

三角函数定义及三角函数公式大全三角函数是数学中重要的概念，它们与三角形的角度和边长之间的关系密切相关。

在此，我们将介绍三角函数的定义以及一些重要的三角函数公式。

三角函数的定义：三角函数是用来描述角度与边长之间关系的函数，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。

1. 正弦函数（sin）正弦函数描述了一个角的对边与斜边之间的比值，即 sin(A) = a/c，其中A为角A的弧度值，a为角A的对边长度，c为角A的斜边长度。

2. 余弦函数（cos）余弦函数描述了一个角的邻边与斜边之间的比值，即 cos(A) = b/c，其中A为角A的弧度值，b为角A的邻边长度，c为角A的斜边长度。

3. 正切函数（tan）正切函数描述了一个角的对边与邻边之间的比值，即 tan(A) = a/b，其中A为角A的弧度值，a为角A的对边长度，b为角A的邻边长度。

4. 余切函数（cot）余切函数描述了一个角的邻边与对边之间的比值，即 cot(A) = b/a，其中A为角A的弧度值，b为角A的邻边长度，a为角A的对边长度。

5. 正割函数（sec）正割函数描述了一个角的斜边与邻边之间的比值，即 sec(A) = c/b，其中A为角A的弧度值，c为角A的斜边长度，b为角A的邻边长度。

6. 余割函数（csc）余割函数描述了一个角的斜边与对边之间的比值，即 csc(A) = c/a，其中A为角A的弧度值，c为角A的斜边长度，a为角A的对边长度。

下面列出了一些重要的三角函数公式，包括诱导公式、和差公式、倍角公式、半角公式以及倒数公式。

1.诱导公式：sin(-A) = -sin(A)cos(-A) = cos(A)tan(-A) = -tan(A)cot(-A) = -cot(A)sec(-A) = sec(A)csc(-A) = -csc(A)2.和差公式：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A)tan(B))tan(A - B) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B))3.倍角公式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A) tan(2A) = 2tan(A) / (1 - tan^2(A))4.半角公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cos(A)) / 2]cos(A/2) = ±√[(1 + co s(A)) / 2]tan(A/2) = ±√[(1 - cos(A)) / (1 + cos(A))]5.倒数公式：sin(A) = 1 / csc(A)cos(A) = 1 / sec(A)tan(A) = 1 / cot(A)这些三角函数的定义和公式是数学中计算角度和边长之间关系的基础，它们被广泛应用于几何、物理、工程等领域的问题求解中。

初中数学：三角函数三角函数是数学中经典的概念之一，是数学分析、数学物理、工程等领域的基础工具。

本篇文章将从初中三角函数的定义、性质、常见角度及其应用等方面进行介绍。

一、三角函数的定义1. 正弦函数正弦函数Sine，简写为sin，是一个经典的周期函数，它的周期是2π。

在数学上，正弦函数可以用一个圆上的角的对边长度与斜边长度之比来定义。

设一个半径为r的圆上有一个角α，则该角的正弦值为：sinα = 对边/ 斜边2. 余弦函数余弦函数Cosine，简写为cos，同样是一个经典的周期函数，它的周期也是2π。

在数学上，余弦函数可以用一个圆上的角的邻边长度与斜边长度之比来定义。

设一个半径为r的圆上有一个角α，则该角的余弦值为：cosα = 邻边/ 斜边3. 正切函数正切函数Tangent，简写为tan，用一个直角三角形的对边长度与邻边长度之比来描述。

设一个直角三角形中的一个角为α，则该角的正切值为：tanα = 对边/ 邻边4. 余切函数余切函数Cotangent，简写为cot，是正切函数的倒数，它用邻边长度与对边长度之比来描述。

设一个直角三角形中的一个角为α，则该角的余切值为：cotα = 邻边/ 对边二、三角函数的性质1. 正弦函数和余弦函数的特点正弦函数与余弦函数具有如下特点：（1）周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期均为2π。

（2）奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

（3）取值范围：正弦函数的取值范围是[-1,1]，余弦函数的取值范围也是[-1,1]。

2. 正切函数和余切函数的特点正切函数与余切函数具有如下特点：（1）周期性：正切函数和余切函数都是周期函数，周期均为π。

（2）奇偶性：正切函数是奇函数，余切函数也是奇函数。

（3）取值范围：正切函数的取值范围是R（实数集），余切函数的取值范围也是R，但余切函数的定义域不包括π的整数倍。

三、常见角度的三角函数值1. 30°、45°、60°三角函数值（1）30°角正弦函数：sin30° = 1/2余弦函数：cos30° = √3/2正切函数：tan30° = 1/√3余切函数：cot30° = √3（2）45°角正弦函数：sin45° = √2/2余弦函数：cos45° = √2/2正切函数：tan45° = 1余切函数：cot45° = 1（3）60°角正弦函数：sin60° = √3/2余弦函数：cos60° = 1/2正切函数：tan60° = √3余切函数：cot60° = 1/√32. 常用角度的三角函数值（1）0°和180°角正弦函数：sin0° = 0，sin180° = 0余弦函数：cos0° = 1，cos180° = -1正切函数：tan0° = 0，tan180° = 0余切函数：cot0° = 无穷大，cot180° = 无穷大（2）90°和270°角正弦函数：sin90° = 1，sin270° = -1余弦函数：cos90° = 0，cos270° = 0正切函数：tan90° = 无穷大，tan270° = 无穷大余切函数：cot90° = 0，cot270° = 0四、三角函数的应用1. 三角函数在直角三角形中的应用在直角三角形中，三角函数可以用来计算三角形的各个边与角。

数学中的三角函数概念及其应用三角函数是解决三角形相关问题的数学工具。

三角函数的概念通常可用一些基本函数来表示，比如正弦、余弦、正切。

这些函数在数学中广泛应用，对于计算和推导都有很大帮助。

一、三角函数的定义与性质1. 正弦函数在一个直角三角形中，正弦函数是指对于一个锐角，其对边与斜边的比值，记作sin。

即sin=a/c。

在三角形中，角度越小，正弦值越小。

也就是说，sin0=0，sin90=1。

知道sin的定义，我们可以推导出sin的周期与奇偶性质。

由于正弦函数是个周期函数，周期为2π。

另外，正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。

2. 余弦函数余弦函数是指对于一个锐角，其邻边与斜边的比值，记作cos。

即cos=b/c。

在三角形中，角度越小，余弦值越大。

也就是说，cos0=1，cos90=0。

与正弦函数类似，可以推导出余弦函数的周期与奇偶性质。

余弦函数同样是周期为2π的函数，但它是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。

3. 正切函数正切函数是指对于一个锐角，其对边与邻边的比值，记作tan。

即tan=a/b。

在三角形中，角度越小，正切值越小。

也就是说，tan0=0，tan90=undefined。

正切函数的周期同样为π，但是它的奇偶性质不同于之前的两个函数。

正切函数为奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。

二、三角函数的应用1. 三角函数在几何中的应用三角函数在几何中最常见的应用就是计算直角三角形中缺失的数值。

比如，在已知两边以及一个角度的情况下，可以求解第三边的长度；在已知三个角度的情况下，可以确定三角形是否为直角三角形。

2. 三角函数在物理中的应用三角函数在物理中应用广泛。

例如，当一个物体作周期运动时，其运动轨迹可以用正弦或余弦函数来表示。

这里，周期总是与角频率相关。

用正弦函数表示物体的位移函数，与角频率ω有关，即y=Asin(ωt+φ)。

而用余弦函数表示，则与角频率的关系为y=Acos(ωt+φ)。

三角函数的定义三角函数是数学中一个重要的概念，它们在几何和物理问题的求解中起着重要的作用。

它们被广泛应用于三角学、天文学、物理学、工程学等领域。

在这篇文章中，我们将介绍三角函数的定义及其基本性质。

一、正弦函数的定义正弦函数是三角函数中最基本的一个函数。

它的定义如下：对于任意实数x，正弦函数sin(x)等于直角三角形中对边的长度除以斜边的长度。

即：sin(x) = opposite/hypotenuse其中opposite表示直角三角形中对边的长度，hypotenuse表示斜边的长度。

二、余弦函数的定义余弦函数是三角函数中另一个重要的函数。

它的定义如下：对于任意实数x，余弦函数cos(x)等于直角三角形中邻边的长度除以斜边的长度。

即：cos(x) = adjacent/hypotenuse其中adjacent表示直角三角形中邻边的长度，hypotenuse表示斜边的长度。

三、正切函数的定义正切函数是三角函数中另一个常用的函数。

它的定义如下：对于任意实数x，正切函数tan(x)等于直角三角形中对边的长度除以邻边的长度。

即：tan(x) = opposite/adjacent其中opposite表示直角三角形中对边的长度，adjacent表示直角三角形中邻边的长度。

四、割函数、余割函数、余切函数的定义割函数sec(x)、余割函数csc(x)和余切函数cot(x)是三角函数的倒数函数，它们的定义如下：sec(x) = 1/cos(x)csc(x) = 1/sin(x)cot(x) = 1/tan(x)其中cos(x)、sin(x)和tan(x)分别为x的相应三角函数。

五、三角函数的周期性除了定义和基本性质，三角函数还具有一个重要的特性，即周期性。

正弦函数和余弦函数周期是2π，而正切函数、割函数、余割函数和余切函数周期是π。

周期性意味着三角函数在每个周期内的值相同。

利用这个特性，我们可以简化复杂的三角函数表达式，并进行更简洁的计算。

三角函数概念及定义三角函数可以定义为求解三角形边长和角度之间关系的数学函数，它是建立在极坐标系体系之上的、与圆形有关的一组特殊函数。

普通的几何学中，给定一个三角形，可以通过它的三边长进行计算，即求解三角形的外角。

三角函数就是利用这个原理，形成一系列函数关系，以此来计算三角形的外角和边长等几何数学问题。

三角函数的定义包括三个基本函数，即正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。

正弦函数指的是把一个角度（θ）分解为其对应的弧度，再把它映射到正弦函数上，此时正弦函数的值即为θ的正弦值，记为sinθ。

余弦函数与正弦函数类似，它也将一个角度（θ）分解为其对应的弧度，再把它映射到余弦函数上，此时余弦函数的值即为θ的余弦值，记为cosθ。

正切函数也是把一个角度（θ）分解为其对应的弧度，再把它映射到正切函数上，此时正切函数的值即为θ的正切值，记为tanθ。

此外，三角函数还有两个常用的反函数，即反正弦函数（arcsine）和反余弦函数（arccosine）。

反正弦函数可以用来将正弦函数的值映射回角度上，即从sinθ求解θ，称为反正弦函数，记为arcsinθ。

反余弦函数也是类似，它可以将余弦函数的值映射回角度上，即从cosθ求解θ，称为反余弦函数，记为arccosθ。

三角函数的值是固定的，也就是说，给定一个角度的值，三角函数的值都是一样的，这意味着我们可以通过建立一个将角度和三角函数的值之间的关系表来更有效地确定三角函数的值。

该表称为“三角函数表”，它包括上述三个基本函数的值以及反函数的值，并可以根据不同的角度计算出相应的函数值。

三角函数是圆形几何以及其他相关科学和数学问题中不可或缺的一部分，它可以用来计算角度、边长和位置等概念，并且还可以用来解决古典物理问题，比如电力的传输、圆的绘制等。

因此，三角函数的学习在数学中变得极为重要，它将会帮助我们更好地理解数学原理，解决实际问题，发掘科学的奥秘。

5.2.1 三角函数的概念知识点1 任意角的三角函数1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：sin y α=，cos x α=，tan (0)yx xα=≠． 2．推广：设点(,)P x y 是角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则：sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠． 注：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，我们只需计算点到原点的距离22r OP x y ==+，那么22sin x y α=+22cos x y α=+tan (0)yx xα=≠知识点2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．意为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．考点一 三角函数的定义及应用解题方略：(1)求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=. 注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ．(3)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ①注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(,)(0)a b a ≠，则对应角的正弦值22sin a b α=+，余弦值22cos a b α=+tan baα=. 注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况(点所在象限不同)进行分析．(4)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.(一)利用定义求角的三角函数值【例1-1】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(2,1)-，则sin α的值为( )A ．5B 5C ．25D 25【答案】B【解析】已知点()2,1P -，则()22215r OP ==-+5sin =5y r α=.变式1-1-1：若角α的终边经过点2(5,)1P -，则sin α=_______，cos α=______，tan α=________．【答案】1213-；513；125- 【解析】因为5,12x y ==-，所以225(12)13r =+-，则12512sin ,cos tan 13135y x y r r x ααα==-====-，．变式1-1-2：已知角α的终边过点()43-，，则2sin cos αα+=( ) A ．1 B ．25-C ．25D ．1-【答案】B【解析】因为角α的终边过点()43-，， 所以()()222234sin ,cos 554343αα=-==+-+-，所以3422sin cos 2555αα⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭，变式1-1-3：(多选)已知函数()()log 2401a f x x a a =-+>≠且的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则11tan sin θθ+的值可能是( ) A ．2 B ．3 C 171+ D 171+【答案】AC【解析】由题意，可知(3,4)A 或(1,4)A ，当点是(3,4)A 时，由三角函数的定义有2244tan ,sin 3534θθ==+，所以11352tan sin 44θθ+=+=； 当点是(1,4)A 时，由三角函数的定义有224tan 4,sin 11714θθ==+11117171tan sin 4θθ+∴+==变式1-1-4：(多选)若角α的终边上有一点(4,)P a -，且3sin cos αα⋅=，则a 的值为( ) A ．3 B 3 C ．43-D ．43【答案】CD【解析】由三角函数的定义可知，()22sin 4a α=-+()22cos 4a α=-+又3sin cos αα⋅=，则()22434a a -=-+43a =-433(二)由三角函数值求终边上的点或参数【例1-2】已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()02,y -，若π3α=，则0y 的值为( )． A ．3- B ．23C ．3D 23【答案】A【解析】因为角α终边经过点()02,y -，且3πα=，所以0πtan332y =-023y =-变式1-2-1：已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =( )A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】由题意31tan 2m m θ-==，解得2m =．变式1-2-2：已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是( ) A ．22B 22C ．434D 434【答案】D【解析】因为()2,P y -是角θ终边上一点，22sin 05θ=>，故点()2,P y -位于第二象限 所以0y >，2222sin (2)y θ==-+21732y =，因为0y >，所以434y =变式1-2-3：已知角θ的终边经过点()21,2a a +-，且3cos 5θ=，则实数的a 值是( )A ．2-B ．211C ．2-或211D ．1【答案】B2235(21)(2)a a =++-且210a +>，即12a >-，①2244195525a a a ++=+，则2112040a a +-=，解得2a =-或211a =，综上，211a =.变式1-2-4：已知角α的终边上有一点(3P m ，且2cos 4mα=，则实数m 取值为______．【答案】0或5【解析】因为角α的终边上有一点(3P m ， 所以22cos 43mm α==+，解得0m =或5±(三)由单位圆求三角函数值【例1-3】已知角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为( )A. 3 B ．12-C 3D ．12【答案】C【解析】因为角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，所以根据三角函数的定义可知，3sin y α==．变式1-3-1：角α的终边与单位圆的交点A 3sin α=________，若点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，则转过的角度为________． 132π 【解析】α的终边与单位圆的交点A 3可得：3cos α=sin 0α>，则有：22313sin 1cos 14αα⎛⎫=--=⎪⎝⎭点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，可得：2AOB π∠=变式1-3-2：已知角α的终边与单位圆交于点36(P ，则sin cos αα⋅=( ) A 3 B ．2C ．3D 2【答案】B【解析】α的终边与单位圆交于点36(P ,故36||1,r OP x y ====， 故636333sin cos 11y x r r αα==== 所以632sin cos 3αα⋅=（=-，(四)已知角α的终边在直线上求三角函数值【例1-4】已知角α的终边落在射线2(0)y x x =≥上，求sin α，cos α的值．【解析】设射线2(0)y x x =≥上任一点00(,)P x y ，则002y x =，220005OP r x y x ∴==+=，00025sin 55y r x α∴===，0005cos 55x r x α===.变式1-4-1：已知α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α的值255255【解析】①若α的终边在第一象限内，设点(,2)(0)P a a a >是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=>25sin 55y r a α∴===，5cos 55x r a α===①若α的终边在第三象限内，设点(,2)(0)P a a a <是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=-<25sin 5y r a α∴===-，5cos 5x r a α===-变式1-4-2：α是第二象限角，其终边上一点(5P x ，且2cos x α=，则sin α的值为( ) A 10 B 6 C 2 D ．10 【答案】A【解析】由题意可知0x <，22cos 5x x α=+，解得3x =-510sin 35α==+考点二 三角函数值符号的判定解题方略：三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．(一)已知角或角的范围确定三角函数式的符号【例2-1】坐标平面内点P 的坐标为()sin5,cos5，则点P 位于第( )象限.A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B 【解析】32π2π5<<，sin50,cos50∴<>，则点P 位于第二象限，变式2-1-1：若α为第四象限角，则( )A ．cos 2α＞0B ．cos 2α＜0C ．sin 2α＞0D ．sin 2α＜0 【答案】D【解析】法一：因为α为第四象限角，22,2k k k Z ππαπ∴-<<∈，424,k k k Z ππαπ∴-<<∈所以2α的终边在第三象限、第四象限或y 轴的负半轴上，所以sin 20α<.法二：因为α为第四象限角，sin 0α∴<，cos 0α>，sin 22sin cos 0ααα∴=<.变式2-1-2：下列各选项中正确的是( )A ．sin300>0︒B ．cos(305)0-︒<C ．22tan 03π⎛⎫-> ⎪⎝⎭D ．sin100<【答案】D【解析】30036060︒=︒-︒，则300︒是第四象限角，故sin3000︒<；30536055-︒=-︒+︒，则305-︒是第一象限角，故cos(305)0-︒>；222833πππ-=-+，则223π-是第二象限角，故22tan 03π⎛⎫-< ⎪⎝⎭； 73102ππ<<，则10是第三象限角，故sin100<，故选D.变式2-1-3：下列各式：①()sin 100-︒； ①()cos 220-︒； ①()tan 10-； ①cos π. 其中符号为负的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】100-︒，故()sin 1000-︒<；220-︒在第二象限，故()cos 2200-︒<；710,32ππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭在第二象限，故()tan 100-<，cos 10π=-<.(二)由三角函数式的符号确定角的范围或象限【例2-2】已知sin tan 0θθ⋅<，则角θ位于第________象限．【答案】二或三【解析】当θ为第一象限角时，sin 0θ>，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅>； 当θ为第二象限角时，sin 0θ>，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第三象限角时，sin 0θ<，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第四象限角时，sin 0θ<，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅> 综上，若sin tan 0θθ⋅<，则θ位于第二或第三象限变式2-2-1：已知sin 0θ<且tan 0θ<，则θ是( )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角【答案】D【解析】sin 0θ<，则θ是第三、四象限的角，tan 0θ<，则θ是第二、四象限的角 ①θ是第四象限的角变式2-2-2：若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】sin cos 0αα⋅<，α是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<； 当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意； 综上所述：α是第二象限角.变式2-2-3：若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】C【解析】由sin tan 0αα<可知sin α,tan α异号，从而α是第二或第三象限角．由cos 0tan αα<可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角． 综上可知，α是第三象限角．变式2-2-4：已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】因为点P 在第四象限，所以有tan 0cos 0αα>⎧⎨<⎩，由此可判断角α的终边在第三象限．变式2-2-5：若cos α与tan α同号，那么α在( )A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限 【答案】B【解析】因为cos α与tan α同号，则cos α与tan α的乘积为正，即正弦值为正，所以α在第一、二象限.变式2-2-6：在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】在ABC 中，A 为钝角，则B 为锐角，则cos 0,tan 0A B <>，则点()cos ,tan P A B 在第二象限变式2-2-7：已知角α的终边经过点(39,2)a a -+，且cos 0α≤，sin 0α>，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 【答案】A【解析】①cos 0α≤，sin 0α>，①角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ①39020a a -≤⎧⎨+>⎩ ①23a -<≤ .。

三角函数的概念和计算三角函数通常是中学数学中学习的一章，主要关注三角形中角度和边长之间的关系。

虽然三角函数的定义可能有些晦涩，但它们在现代数学和物理学中的应用非常广泛。

在本文中，我们将学习三角函数的定义、性质和常见的计算。

一、三角函数的定义三角函数主要由正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)组成。

在直角三角形中，我们可以根据三角形的两条边的长度来定义三角函数。

例如，对于一个角A，其正弦值是对边（与角A不相邻的边）的长度与斜边长度之比。

类似地，余弦值是邻边（与角A相邻的边）的长度与斜边长度之比，正切值是对边的长度与邻边长度之比。

这些定义可以表示为以下方程：sin(A) = opposite/hypotenusecos(A) = adjacent/hypotenusetan(A) = opposite/adjacent另外，我们还可以定义三角函数的余切函数(cot)、正割函数(sec)和余割函数(csc)，它们分别是正切函数、余弦函数和正弦函数的倒数，如下所示：cot(A) = 1/tan(A) = adjacent/oppositesec(A) = 1/cos(A) = hypotenuse/adjacentcsc(A) = 1/sin(A) = hypotenuse/opposite二、三角函数的性质三角函数具有许多基本性质，这些性质对于计算三角函数值非常重要。

下面列举了一些重要的性质：1. 周期性：三角函数是周期性的，即对于任何角A，它们的函数值在360度内重复。

例如，sin(30°)的值等于sin(390°)的值。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-A)=-sin(A)；余弦函数是偶函数，即cos(-A)=cos(A)。

正切函数是奇函数，即tan(-A)=-tan(A)。

3. 正负性：三角函数在不同象限中的符号不同。

在第一象限中，所有三角函数都是正数。

三角函数基本概念与图形意义一、三角函数的定义与基本概念1.三角函数的定义：三角函数是描述直角三角形各边长度与角度之间关系的函数。

2.基本三角函数：主要包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。

3.角度制与弧度制：角度制是度、分、秒的单位，弧度制是以圆的半径为1，以弧长等于半径的圆心角所对应的弧度值为1。

4.象限与坐标系：平面直角坐标系分为四个象限，第一象限（x>0,y>0）、第二象限（x<0, y>0）、第三象限（x<0, y<0）、第四象限（x>0,y<0）。

5.周期性：三角函数具有周期性，周期是指函数值重复出现的最小正数。

正弦函数、余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。

6.奇偶性：根据函数的定义，可以判断三角函数的奇偶性。

正弦函数、余弦函数为偶函数，正切函数、余切函数为奇函数。

二、三角函数的图形意义1.正弦函数的图形意义：正弦函数表示单位圆上某一点的纵坐标值，随着角度的增大，正弦函数的值在-1与1之间波动。

2.余弦函数的图形意义：余弦函数表示单位圆上某一点的横坐标值，随着角度的增大，余弦函数的值在-1与1之间波动。

3.正切函数的图形意义：正切函数表示直角三角形中，对边与邻边的比值，随着角度的增大，正切函数的值在-∞与∞之间波动。

4.余切函数的图形意义：余切函数表示直角三角形中，邻边与对边的比值，随着角度的增大，余切函数的值在-∞与∞之间波动。

5.正割函数的图形意义：正割函数表示直角三角形中，斜边与对边的比值，随着角度的增大，正割函数的值在1与∞之间波动。

6.余割函数的图形意义：余割函数表示直角三角形中，斜边与邻边的比值，随着角度的增大，余割函数的值在1与∞之间波动。

三、三角函数的性质与变化规律1.奇偶性：正弦函数、余弦函数为偶函数，正切函数、余切函数为奇函数。

三角函数定义及其三角函数公式大全1. 三角函数的定义三角函数是描述直角三角形内角与边之间关系的数学函数。

常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。

2. 正弦函数的定义正弦函数是一个周期函数，它表示直角三角形中对边与斜边的比值。

通常用sin表示。

在直角三角形ABC中，角A的正弦值为sinA=对边/斜边。

3. 余弦函数的定义余弦函数也是一个周期函数，它表示直角三角形中邻边与斜边的比值。

通常用cos表示。

在直角三角形ABC中，角A的余弦值为cosA=邻边/斜边。

4. 正切函数的定义正切函数是一个周期函数，它表示直角三角形中对边与邻边的比值。

通常用tan表示。

在直角三角形ABC中，角A的正切值为tanA=对边/邻边。

5. 三角函数公式大全5.1. 三角函数的和差化积公式sin(a ± b) = sinacosb ± cosasinbcos(a ± b) = cosa cosb ∓ sinasinbtan(a ± b) = (tana ± tanb)/(1 ∓ tanatanb)5.2. 三角函数的倍角公式sin2a = 2sinacosbcos2a = cos^2a - sin^2atan2a = (2tana)/(1 - tana^2)5.3. 三角函数的半角公式sin(a/2) = ±√((1 - cosα)/2)cos(a/2) = ±√((1 + cosα)/2)tan(a/2) = ±√((1 - cosα)/(1 + cosα))6. 个人观点和理解三角函数作为数学中重要的概念，对于理解和描述角度、周期性现象等具有重要意义。

学习三角函数不仅可以帮助我们解决几何问题，还可以应用在物理、工程等领域，具有广泛的实际意义。

总结通过本文的介绍，你已经了解了三角函数的定义及其相关公式。

三角函数的概念与定义三角函数是研究三角形中角和边之间的关系的一种数学函数。

它主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。

在解决几何问题以及电子学、声学、天文学和物理学等领域中的波动问题时，三角函数被广泛运用。

正弦函数（sin）是指一个角的对边与斜边的比值，即sinθ = opposite/hypotenuse。

其中θ为角度，opposite为该角的对边长度，hypotenuse为斜边长度。

正弦函数在数轴上的图像为周期性波动的曲线，其取值范围在-1到1之间。

余弦函数（cos）是指一个角的邻边与斜边的比值，即cosθ = adjacent/hypotenuse。

其中θ为角度，adjacent为该角的邻边长度，hypotenuse为斜边长度。

余弦函数同样为周期性波动的曲线，取值范围也在-1到1之间。

正切函数（tan）是指一个角的对边与邻边的比值，即tanθ = opposite/adjacent。

其中θ为角度，opposite为该角的对边长度，adjacent为邻边长度。

正切函数在图像上表现为射线，其取值范围从负无穷到正无穷。

余切函数（cot）是指一个角的邻边与对边的比值，即cotθ = adjacent/opposite。

其中θ为角度，adjacent为该角的邻边长度，opposite为对边长度。

余切函数同样为射线状图像，其取值范围也从负无穷到正无穷。

正割函数（sec）是指一个角的斜边与邻边的比值的倒数，即secθ = hypotenuse/adjacent。

其中θ为角度，hypotenuse为斜边长度，adjacent为邻边长度。

正割函数的图像是周期性的波动曲线，其取值范围不包括-1到1之间的部分。

余割函数（csc）是指一个角的斜边与对边的比值的倒数，即cscθ = hypotenuse/opposite。

其中θ为角度，hypotenuse为斜边长度，opposite为对边长度。

三角函数的概念与定义三角函数是指以正弦（Sin）、余弦（Cos）和正切（Tan）等函数为基础的一类函数，它们一般都使用一个单变量作为输入参数，然后输出一个实数值。

三角函数可以用来表示复杂的数学关系，也可以与物理、工程学中的事物联系起来。

例如，求解圆面积、计算机科学中的图形处理和人类认知研究中的视觉模拟等等。

正弦函数（Sin）y=sin(x)表示为某一角x的正弦值，其曲线的周期为2π，即x增加2π，y的值不变，当x增加π时，y的值变为-1。

也就是说，正弦函数可以用来描述等振动或圆周运动等物理系统中变量随时间变化的规律。

余弦函数（Cos）y=cos(x)表示为某一角x的余弦值，其图像只和正弦函数（Sin）相差π/2，曲线的周期与正弦函数相同，只是每次相差π/2。

当x增加π时，y的值变为-1，因此余弦函数也可以用来描述等振动或圆周运动等物理系统中变量随时间变化的规律。

正切函数（Tan）y=tan(x)表示某一角x的正切值，其图像也与正弦函数（Sin）和余弦函数（Cos）有相似之处。

它们的周期也是2π，但相差π/4，即当x增加π时，y的值变为0。

此外，正切函数也可以用来模拟旋转系统中变量随时间变化的规律。

三角函数的概念可以从三角形的概念来理解，以一个三角形的角α为例，它的对边和邻边可以分别表示为a和b，那么角α的正弦（Sin）、余弦（Cos）和正切（Tan）值就可以用以下公式来表示：Sin(α)=a/c Cos(α)=b/c Tan(α)=a/b由于三角函数具有无穷多个值，所以它们可以用来表示复杂的数学关系，通常与物理、工程学等学科有着密切的联系。

例如，三角函数可以用来表示复杂的波形，也可以用来求解圆面积，计算机科学中的图形处理以及人类认知研究中的视觉模拟等等。

三角函数大全三角函数是数学中的重要概念，它在几何、代数、物理等方面都有着广泛的应用。

本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细介绍，帮助读者更好地理解和掌握三角函数的知识。

一、三角函数的定义。

1. 正弦函数。

正弦函数是最基本的三角函数之一，它描述了直角三角形中对边与斜边的比值。

在直角三角形ABC中，角A的正弦定义为sinA=对边/斜边。

正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。

2. 余弦函数。

余弦函数也是常见的三角函数，它描述了直角三角形中邻边与斜边的比值。

在直角三角形ABC中，角A的余弦定义为cosA=邻边/斜边。

余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。

3. 正切函数。

正切函数是正弦函数和余弦函数的比值，它描述了直角三角形中对边与邻边的比值。

在直角三角形ABC中，角A的正切定义为tanA=对边/邻边。

正切函数的定义域为实数集，但在某些角度上可能不存在。

二、三角函数的性质。

1. 周期性。

三角函数具有周期性，即在一定范围内，函数值会重复出现。

正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。

2. 奇偶性。

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，而正切函数则既不是奇函数也不是偶函数。

3. 单调性。

在定义域内，三角函数具有不同的单调性。

例如，正弦函数在[0,π]上是单调递增的，而在[π,2π]上是单调递减的。

4. 互余关系。

正弦函数和余弦函数之间存在互余关系，即sinA=cos(π/2-A)，cosA=sin(π/2-A)。

三、三角函数的应用。

1. 几何应用。

三角函数在几何中有着广泛的应用，例如通过正弦定理和余弦定理可以解决三角形的边长和角度问题。

2. 物理应用。

三角函数在物理学中也有重要的应用，例如在描述波动、振动、周期运动等方面起着关键作用。

3. 工程应用。

在工程领域，三角函数常常用于测量、建筑、导航等方面，帮助解决实际问题。

结语。

通过本文的介绍，相信读者对三角函数有了更深入的了解。

三角函数作为数学中的重要概念，不仅有着丰富的性质，还在现实生活中有着广泛的应用。

初中数学三角函数知识点归纳三角函数是初中数学中的重要知识点之一，它涉及到了数学中的几何形状和数值关系。

了解和掌握三角函数的概念、性质和相关计算方法，对于学生理解几何形状和解决实际问题具有重要的作用。

一、三角函数的概念三角函数是以单位圆为基础，通过正弦和余弦的数值关系来描述角度与长度的关系。

常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

1. 正弦函数(sin)：在单位圆上，对于任意一点P(x, y)，以原点O为顶点的弧OP所对应的角的正弦值定义为y坐标。

2. 余弦函数(cos)：在单位圆上，对于任意一点P(x, y)，以原点O为顶点的弧OP所对应的角的余弦值定义为x坐标。

3. 正切函数(tan)：在单位圆上，对于任意一点P(x, y)，以原点O为顶点的弧OP所对应的角的正切值定义为y坐标与x坐标的比值。

二、三角函数的性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即对于任意实数x，有sin(x+2π) = sinx，cos(x+2π) = cosx。

而正切函数的周期是π，即tan(x+π) = tanx。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sinx；余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cosx；而正切函数既不是奇函数也不是偶函数，即tan(-x) ≠ -tanx。

3. 函数值的范围：对于正弦函数和余弦函数，函数值的范围是[-1, 1]；对于正切函数，函数值的范围是全体实数。

4. 特殊角的函数值：常用的特殊角如0°、30°、45°、60°和90°对应的三角函数值需要熟记，以便在计算中能够快速准确地使用。

三、三角函数的计算方法1. 根据已知角度计算三角函数值：根据已知角度，可以利用计算器或查表法来计算其对应的正弦、余弦和正切值。

需要注意的是，计算器需要设置为弧度制或角度制，以便得到正确的计算结果。

2. 根据已知三角函数值求解角度：根据已知的正弦、余弦或正切值，可以利用逆三角函数来求解对应的角度。