三角函数定义全面版
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三角函数的基本概念三角函数是数学中重要的概念之一,它们是描述角度与三角形之间关系的函数。
在数学和物理学中,三角函数广泛应用于各种领域,包括几何、导数、微积分、辐射传输等。
一、正弦函数正弦函数是最基本的三角函数之一,通常用sin表示。
对于任意角度θ,正弦函数的值定义为对边与斜边的比值:sin(θ) = 对边/斜边。
正弦函数的定义域为整个实数集,值域为[-1,1]。
二、余弦函数余弦函数是另一种常见的三角函数,通常用cos表示。
对于任意角度θ,余弦函数的值定义为邻边与斜边的比值:cos(θ) = 邻边/斜边。
余弦函数的定义域为整个实数集,值域也为[-1,1]。
三、正切函数正切函数是正弦函数与余弦函数的比值,通常用tan表示。
对于任意角度θ,正切函数的值定义为对边与邻边的比值:tan(θ) = 对边/邻边。
正切函数的定义域为除了90度和270度的整数倍角之外的所有实数,值域为整个实数集。
四、余切函数余切函数是余弦函数与正弦函数的比值,通常用cot表示。
对于任意角度θ,余切函数的值定义为邻边与对边的比值:cot(θ) = 邻边/对边。
余切函数的定义域为除了0度和180度的整数倍角之外的所有实数,值域为整个实数集。
五、正割函数正割函数是正弦函数的倒数,通常用sec表示。
对于任意角度θ,正割函数的值定义为斜边与邻边的比值:sec(θ) = 斜边/邻边。
正割函数的定义域为除了90度和270度的整数倍角之外的所有实数,值域为(-∞,-1]和[1,+∞)。
六、余割函数余割函数是余弦函数的倒数,通常用csc表示。
对于任意角度θ,余割函数的值定义为斜边与对边的比值:csc(θ) = 斜边/对边。
余割函数的定义域为除了0度和180度的整数倍角之外的所有实数,值域为(-∞,-1]和[1,+∞)。
三角函数除了以上六种基本函数外,还有诸如反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等反三角函数,它们的定义域和值域不同于基本三角函数。
三角函数在数学上有丰富的性质和运算规律,如正弦函数和余弦函数的和差公式、倍角公式等,这些规律在解决实际问题时起着重要的作用。
三角函数定义及三角函数公式大全三角函数是数学中重要的概念,它们与三角形的角度和边长之间的关系密切相关。
在此,我们将介绍三角函数的定义以及一些重要的三角函数公式。
三角函数的定义:三角函数是用来描述角度与边长之间关系的函数,主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
1. 正弦函数(sin)正弦函数描述了一个角的对边与斜边之间的比值,即 sin(A) = a/c,其中A为角A的弧度值,a为角A的对边长度,c为角A的斜边长度。
2. 余弦函数(cos)余弦函数描述了一个角的邻边与斜边之间的比值,即 cos(A) = b/c,其中A为角A的弧度值,b为角A的邻边长度,c为角A的斜边长度。
3. 正切函数(tan)正切函数描述了一个角的对边与邻边之间的比值,即 tan(A) = a/b,其中A为角A的弧度值,a为角A的对边长度,b为角A的邻边长度。
4. 余切函数(cot)余切函数描述了一个角的邻边与对边之间的比值,即 cot(A) = b/a,其中A为角A的弧度值,b为角A的邻边长度,a为角A的对边长度。
5. 正割函数(sec)正割函数描述了一个角的斜边与邻边之间的比值,即 sec(A) = c/b,其中A为角A的弧度值,c为角A的斜边长度,b为角A的邻边长度。
6. 余割函数(csc)余割函数描述了一个角的斜边与对边之间的比值,即 csc(A) = c/a,其中A为角A的弧度值,c为角A的斜边长度,a为角A的对边长度。
下面列出了一些重要的三角函数公式,包括诱导公式、和差公式、倍角公式、半角公式以及倒数公式。
1.诱导公式:sin(-A) = -sin(A)cos(-A) = cos(A)tan(-A) = -tan(A)cot(-A) = -cot(A)sec(-A) = sec(A)csc(-A) = -csc(A)2.和差公式:sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A)tan(B))tan(A - B) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B))3.倍角公式:sin(2A) = 2sin(A)cos(A)cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A) tan(2A) = 2tan(A) / (1 - tan^2(A))4.半角公式:sin(A/2) = ±√[(1 - cos(A)) / 2]cos(A/2) = ±√[(1 + co s(A)) / 2]tan(A/2) = ±√[(1 - cos(A)) / (1 + cos(A))]5.倒数公式:sin(A) = 1 / csc(A)cos(A) = 1 / sec(A)tan(A) = 1 / cot(A)这些三角函数的定义和公式是数学中计算角度和边长之间关系的基础,它们被广泛应用于几何、物理、工程等领域的问题求解中。
三角函数详细讲解
三角函数是基本初等函数之一,是以角度(最常用的单位是弧度制)为自变量,角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
它也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用,也是研究周期性现象的基础数学工具。
三角函数中的正弦函数、余弦函数和正切函数是最常见的。
这些函数的定义可以通过直角三角形来解释,其中θ是要找的角度,对边是指与θ所对应的直角三角形中的最短边,邻边是指与θ所对应的直角三角形中的最长边,斜边是指三角形的最长边。
正弦函数的定义为sinθ=对边/斜边,余弦函数的定义为cosθ=邻边/斜边,正切函数的定义为tanθ=对边/邻边。
这些函数的值是固定的,不会因为三角形的大小改变而改变。
例如,tan45°的值总是等于1,无论三角形的大小如何变化。
这是因为我们用的是直角三角形,所以每个三角形都有成比例的关系。
三角函数不仅用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度,在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。
另外,以三角函数为模版,可以定义一
类相似的函数,叫做双曲函数。
常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。
以上是关于三角函数的详细讲解,如需了解更多信息,建议查阅数学书籍或咨询专业人士。
三角函数基本概念与图形意义一、三角函数的定义与基本概念1.三角函数的定义:三角函数是描述直角三角形各边长度与角度之间关系的函数。
2.基本三角函数:主要包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)、余切函数(cot)、正割函数(sec)和余割函数(csc)。
3.角度制与弧度制:角度制是度、分、秒的单位,弧度制是以圆的半径为1,以弧长等于半径的圆心角所对应的弧度值为1。
4.象限与坐标系:平面直角坐标系分为四个象限,第一象限(x>0,y>0)、第二象限(x<0, y>0)、第三象限(x<0, y<0)、第四象限(x>0,y<0)。
5.周期性:三角函数具有周期性,周期是指函数值重复出现的最小正数。
正弦函数、余弦函数的周期为2π,正切函数的周期为π。
6.奇偶性:根据函数的定义,可以判断三角函数的奇偶性。
正弦函数、余弦函数为偶函数,正切函数、余切函数为奇函数。
二、三角函数的图形意义1.正弦函数的图形意义:正弦函数表示单位圆上某一点的纵坐标值,随着角度的增大,正弦函数的值在-1与1之间波动。
2.余弦函数的图形意义:余弦函数表示单位圆上某一点的横坐标值,随着角度的增大,余弦函数的值在-1与1之间波动。
3.正切函数的图形意义:正切函数表示直角三角形中,对边与邻边的比值,随着角度的增大,正切函数的值在-∞与∞之间波动。
4.余切函数的图形意义:余切函数表示直角三角形中,邻边与对边的比值,随着角度的增大,余切函数的值在-∞与∞之间波动。
5.正割函数的图形意义:正割函数表示直角三角形中,斜边与对边的比值,随着角度的增大,正割函数的值在1与∞之间波动。
6.余割函数的图形意义:余割函数表示直角三角形中,斜边与邻边的比值,随着角度的增大,余割函数的值在1与∞之间波动。
三、三角函数的性质与变化规律1.奇偶性:正弦函数、余弦函数为偶函数,正切函数、余切函数为奇函数。
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1:三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数,包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
考点2:三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。
考点3:正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。
考点4:函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。
此外,该函数的图像还可以通过一定的变换得到。
一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0),则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2),若sin=1/2,则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为(sinθ。
cosθ)(θ∈(π/2,π)),则sin=-cosθ。
3.化简求值例3.已知为第二象限角,且sin=15/17,求sin(+π/4)的值。
练:1.已知sin=1/5,则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2,求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。
4.配凑求值例4.已知,∈(π/3,π/2),且sin(+)=-√3/2,sin(-)=1/2,求cos(+)的值。
练:1.设α∈(π/12,π/3),β∈(0,π/6),且sin(α+β)=-√3/2,sin(β-α)=-1/2,则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值,求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$,$cos\beta = \frac{3}{5}$,$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$,$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$,求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。