全等三角形之辅助线(习题)
例题示范
例1:已知:如图,在△ABC 中,∠C =90°,D 是AB 边上一点,AD =AC ,过点D 作DE ⊥AB ,交BC 于点E .
求证:CE =DE .
【思路分析】1
读题标注:2梳理思路:
要证CE =DE ,考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等,利用全等三角形对应边相等来证明.
观察图形,发现不存在全等的三角形.
结合条件,AC =AD ,∠C =∠ADE =90°,考虑连接AE ,证明△ACE ≌△ADE .
【过程书写】
证明:如图,连接AE
∵DE ⊥AB
∴∠ADE =90°
∵∠C =90°
∴∠C =∠ADE
在Rt △ACE 和Rt △ADE 中
AE AE AC AD =??=?(公共边)(已知)∴Rt △ACE ≌Rt △ADE (HL )
∴CE =DE (全等三角形对应边相等)
过程规划:1.描述辅助线:连接AE 2.准备条件:∠C =∠ADE =90°3.证明△ACE ≌△ADE 4.由全等性质得,CE =
DE
巩固练习1.已知:如图,B ,C ,F ,E 在同一条直线上,AB ,DE 相交于点G ,且BC =EF ,GB =GE ,∠A =∠D .求证:DC =AF .
2.已知:如图,∠C =∠F ,AB =DE
,DC =
AF ,BC =EF .求证:AB ∥DE .过程规划:
过程规划:
3.已知:如图,AB∥CD,AD∥BC,E,F分别是AD,BC的
中点.求证:BE=DF.
4.已知:如图,在正方形ABCD中,AD=AB,∠DAB=∠B=90°,
点E,F分别在AB,BC上,且AE=BF,AF交DE于点G.求证:DE⊥AF.
5.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,AC
与BD相交于点O,过O作EF交AD于点E,交BC于点F,则图中的全等三角形共有()
A.5对B.6对C.7对D.8对6.如图,C为线段AB上一点,△MAC和△NBC均是等边三角
形,连接AN,交CM于点E,连接BM,交CN于点F.有下列结论:①∠AMB=∠ANB;②△ACE≌△MCF;③CE=CF;
④EN=FB.其中正确结论的序号是_________________.
思考小结
1.根据本章知识结构图回答下列问题:
(1)补全知识结构图.
(2)要证明两条边相等或者两个角相等,可以考虑它们所在的三角形________;如果所在的三角形不全等或者不在三角形中,则可以把一条边转移或者重新整合条件去构造全等三角形.
(3)要证明两个三角形全等需要准备______组条件,这三组条件里面必须有______;然后依据判定进行证明,其中AAA,SSA不能证明两个三角形全等,请举出对应的反例.
(4)由全等三角形的性质可知:全等三角形__________相等,__________相等,所以全等关系是转移边和角的有力工具.
【参考答案】
巩固练习
1.证明:如图,过点G 作GH ⊥BE 于点
H
∵GH ⊥BE
∴∠GHB =∠GHE =90°
在Rt △GHB 和Rt △GHE 中,
GB GE GH GH =??=?(已知)(公共边)
∴Rt △GHB ≌Rt △GHE (HL )
∴∠B =∠E (全等三角形对应角相等)
∵BC =EF
∴BC +CF =EF +CF
即BF =EC
在△ABF 和△DEC 中,
A D
B E BF E
C ∠=∠??∠=∠??=?
(已知)(已证)(已证)∴△ABF ≌△DEC (AAS )∴DC =AF
2.证明:如图,连接
BE
在△AEF 和△DBC 中,
AF DC F C EF BC =??∠=∠??=?
(已知)(已知)(已知)
∴△AEF ≌△DBC (SAS )
∴AE =DB (全等三角形对应边相等)
在△ABE 和△DEB 中,
AE DB AB DE EB BE =??=??=?
(已证)(已知)(公共边)∴△ABE ≌△DEB (SSS )
∴∠ABE =∠DEB (全等三角形对应角相等)
∴AB ∥DE
3.证明:如图,连接
BD
∵AB ∥CD ,AD ∥BC
∴∠ABD =∠CDB ,∠ADB =∠CBD
在△ABD 和△CDB 中,
ABD CDB BD DB ADB CBD ∠=∠??=??∠=∠?
(已证)(公共边)(已证)∴△ABD ≌△CDB (ASA )
∴AD =CB (全等三角形对应边相等)
∵E ,F 分别是AD ,BC 的中点
∴DE =BF
在△BED 和△DFB 中,
DE BF ADB CBD BD DB =??∠=∠??=?
(已证)(已证)(公共边)∴△BED ≌△DFB (SAS )
∴BE =DF (全等三角形对应边相等)
4.证明:如图,
在△DAE 和△ABF 中
AD BA DAE B AE BF =??=??=?
(已知)∠∠(已知)
(已知)∴△DAE ≌△ABF (SAS )
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)
∵∠DAB =90°
∴∠2+∠3=90°
∴∠1+∠3=90°
∴∠AGD =90°
∴DE ⊥AF
5.B
6.②③④
思考小结
1.(1)SAS ,SSS ,ASA ,AAS
SAS ,SSS ,ASA ,AAS ,HL
相等;
相等.
(2)全等
(3)3,边;AAA 反例:大小三角板;SSA 反例:作图略
(4)对应边,对应角.