【2021模块复习】第十二章 第1节 第2课时 参数方程+参考答案

第1课时 坐标系1．平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x λ＞，y ′＝μ·y μ＞的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．常见曲线的极坐标方程考点一 极坐标与直角坐标的互化[例1] (1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎫－5，π6化成直角坐标； (2)把点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标． 解：(1)∵x ＝－5cos π6＝－52 3，y ＝－5sin π6＝－52，∴点M 的直角坐标是⎝⎛⎭⎫－52 3，－52. (2)ρ＝－32＋－2＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33.∵点M 在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝7π6.因此，点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎫2，7π6 [方法引航]在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，π3 B.⎝⎛⎭⎫2，43π C.⎝⎛⎭⎫2，－π3 D.⎝⎛⎭⎫2，－43π 解析：选C.因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3. 2．若点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，则P 到x 轴的距离为________． 解析：y ＝ρsin θ＝2×sin π3＝ 3.答案： 3考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化及应用[例2] 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)∵ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1.∴12x ＋32y ＝1. 即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233.∴M (2,0)，N ⎝⎛⎭⎫0，233.∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)∵M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，∴P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．[例3] 在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝⎛⎭⎫1，π4，圆的半径为1. (1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．解：(1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，OA ＝OD cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ或OA ＝OD cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4， 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (2)由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1， ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0， 又圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22，22满足直线l 的方程， ∴直线l 过圆C 的圆心，故直线被圆所截得的弦长为直径2.[方法引航] 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境.在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.[高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝t sin α，(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 2．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos ty ＝5＋5sin t，消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 3．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝ t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0)．课时规范训练1．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4， 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2， 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 2．将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1， 故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12， 于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ.3．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求实数a 的值．解：由ρ＝4sin θ，得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4， 由直线ρsin θ＝a ，得直线的直角坐标方程为y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ， ∴B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫33a ，a .又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上， ∴⎝⎛⎭⎫33a 2＋a 2－4a ＝0， 解得a ＝3(a ＝0舍)．4．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，求|RP |的最小值．解：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程． (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程， 得x 2＋y 2＝3x ，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝⎝⎛⎭⎫322， 知P 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫32，0为圆心，半径为32的圆． 直线l 的直角坐标方程是x ＝4. 结合图形(图略)易得|RP |的最小值为1.第2课时 参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f ty ＝g t，就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程考点一 参数方程与普通方程的互化及应用[例1] (1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：(1)圆的半径为12，记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2)求直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝3sin α，(α为参数)的交点个数．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α，消去参数α得圆x 2＋y 2＝9.又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22＜3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．[方法引航] 1.由普通方程求参数方程，要根据参数的意义建立关系．2．由参数方程得到普通方程的思路是消参，消去参数的方法要视情况而定，一般有三种情况：(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数，或直接利用加减消元法消参；利用三角恒等式消去参数，一般是将参数方程中的两个方程分别变形，使得一个方程一边只含有sin θ，另一个方程一边只含有cos θ，两个方程分别平方后两式左右相加消去参数；根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数.,将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f t 和g t 的值域，即x 和y 的取值范围.1．若将本例(1)改为：圆上的任一点P 与圆心的连线的旋转角为参数θ，求圆的参数方程．解：圆心为⎝⎛⎭⎫12，0，r ＝12. 设P (x ，y )，则x ＝12＋12cos θ，y ＝12sin θ(0≤θ≤2π) ∴圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋12cos θ，y ＝12sin θ.2．若将本例(2)的曲线变为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝4sin α，其余不变，求交点个数．解：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝4sin α，即⎩⎨⎧x3＝cos α，y4＝sin α.∴x 29＋y 216＝1.而直线x ＋y －1＝0，过点(1,0)，点在椭圆x 29＋y 216＝1内，故直线与曲线有两个交点．考点二 极坐标方程与参数方程的综合应用[例2] (1)(2016·高考全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.①说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；②直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：①消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2.所以C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.②曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.(2)(2016·高考全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. ①写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；②设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：①C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.②由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. [方法引航] 对于曲线方程为极坐标方程或参数方程时，一般都化为平面直角坐标系中的普通方程f x ，y ＝0再应用.如果直接应用，要明确极坐标ρ，θ及参数的意义.1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程． 得⎝⎛⎭⎫3－22t 2＋⎝⎛⎭⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0. 由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.2．(2017·甘肃三校联考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，在极坐标系 (与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝6sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(1,2)，求|P A |＋|PB |的最小值． 解：(1)由ρ＝6sin θ得ρ2＝6ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6y ，即x 2＋(y －3)2＝9. 所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α－sin α)t －7＝0. 由已知得Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7＞0，所以可设t 1，t 2是上述方程的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－α－sin α，t 1·t 2＝－7.由题意得直线l 过点(1,2)，结合t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2| ＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝α－sin α2＋28＝32－4sin 2α≥32－4＝27. 所以|P A |＋|PB |的最小值为27.[高考真题体验]1．(2015·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.2．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 点的坐标．解：(1)C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同． tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32. 3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.4．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．故M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2αy ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．课时规范训练1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时， |AB |取得最大值，最大值为4.2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y －2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1.所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.3．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上． (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程； (2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1， 所以直线l 与圆C 相交．4．在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B . (1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． 解：(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程为x 24＋y 2＝1.当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0.直线l 的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1213，－313.(2)将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 因为|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7，所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)＞0， 故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.。

选修4－4 坐标系与参数方程第2课时 参 数 方 程(理科专用)1. 曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t 2(t 为参数，t ≠0)，求它的普通方程． 解：1－x ＝1t ，t ＝11－x ，而y ＝1－t 2，则y ＝1－⎝⎛⎭⎫11－x 2＝x （x －2）（x －1）2(x ≠1)．2. 求曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋5t ，y ＝1－2t (t 为参数)与坐标轴的交点． 解：当x ＝0时，t ＝25，而y ＝1－2t ，即y ＝15，得与y 轴的交点为⎝⎛⎭⎫0，15； 当y ＝0时，t ＝12，而x ＝－2＋5t ，即x ＝12，得与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫12，0.3. 直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A 、B 两点，求AB 的中点坐标． 解：⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫－33＋32t 2＝16，得t 2－8t ＋12＝0，t 1＋t 2＝8，t 1＋t 22＝4.中点为⎩⎨⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3.即AB 中点坐标为(3，－3)． 4. 已知圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θ，y ＝4sin θ－3cos θ(θ为参数)，求此圆的半径． 解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θ，y ＝4sin θ－3cos θ，得x 2＋y 2＝25，则圆的半径为5. 5. 已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos θ，y ＝tsin θ与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α相切，求直线的倾斜角． 解：直线为y ＝xtan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，作出图形，相切时，易知倾斜角为π6或5π6. 6. 求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－2t (t 为参数)被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)截得的弦长．解：把直线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－2t ，化为普通方程为x ＋y ＝2.将圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α化为普通方程为x 2＋y 2＝9.圆心O 到直线的距离d ＝22＝2，故弦长L ＝2R 2－d 2＝29－2＝27.所以直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－2t 被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α截得的弦长为27. 7. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线C 1的方程为ρ2＝8ρsin θ－15，曲线C 2的方程为⎩⎨⎧x ＝22cos α，y ＝2sin α(α为参数)． (1) 将C 1的方程化为直角坐标方程；(2) 若C 2上的点Q 对应的参数为α＝3π4，P 为C 1上的动点，求PQ 的最小值． 解：(1) x 2＋y 2－8y ＋15＝0.(2) 当α＝3π4时，得Q(－2，1)，点Q 到C 1的圆心的距离为13，所以PQ 的最小值为13－1.8. 已知点P 在椭圆x 216＋y 29＝1上，求点P 到直线3x －4y ＝24的最大距离和最小距离． 解：设P(4cos θ，3sin θ)，则d ＝||12cos θ－12sin θ－245， 即d ＝⎪⎪⎪⎪122cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－245， 当cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1时，d max ＝125(2＋2)； 当cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1时，d min ＝125(2－2)． 9. 已知直线l 经过点P(1，1)，倾斜角α＝π6. (1) 写出直线l 的参数方程；(2) 设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．解：(1) 直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋tcos π6，y ＝1＋tsin π6，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t.(2) 把直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t ，代入x 2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＝4，化简，得t 2＋(3＋1)t －2＝0，故t 1t 2＝－2，则点P 到A 、B 两点的距离之积为2.10. 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝7＋32t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1) 将曲线C 的参数方程转化为普通方程；(2) 若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，试求线段AB 的长．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝16cos 2θ，y 2＝16sin 2θ.故曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2) (解法1)把⎩⎨⎧x ＝3＋12t y ＝7＋32t (t 为参数)代入方程x 2＋y 2＝16，得t 2＋83t ＋36＝0，∴ t 1＋t 2＝－83，t 1t 2＝36.∴ 线段AB 的长为|AB|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4 3.(解法2)由⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝7＋32t (t 为参数)，得l 的普通方程为3x －y ＋4＝0. 由(1)知圆心的坐标为(0，0)，圆的半径R ＝4，∴ 圆心到直线l 的距离d ＝|4|（3）2＋（－1）2＝2，∴ |AB|＝2R 2－d 2＝216－4＝4 3. 11. 已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos α，y ＝3＋sin α(α为参数), C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)． (1) 将C 1、C 2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2) 若C 1上的点P 对应的参数为α＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值． 解：(1) C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1.C 1为圆心是(－4，3)，半径是1的圆． C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2) 当α＝π2时，P(－4，4)，Q(8cos θ，3sin θ)，故M ⎝⎛⎭⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ.C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|.从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取得最小值为855.。

参数方程一．解答题（共23小题）1．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t 是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．2．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4．（1）若l的参数方程中的时，得到M点，求M的极坐标和曲线C直角坐标方程；（2）若点P（0，2），l和曲线C交于A，B两点，求．3．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C1的参数方程为，（α为参数，且α∈[0，π）），曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．（1）求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；（2））若P是C1上任意一点，过点P的直线l交C2于点M，N，求|PM|•|PN|的取值范围．4．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A、B，求的最小值．5．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．6．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l的参数方程为，其中t为参数，求直线l被曲线C截得的弦长．7．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a的值．8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．9．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），P点的极坐标为（2，π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（Ⅰ）试将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C的焦点坐标；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于两点A，B，点M为AB的中点，求|PM|的值．10．已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求的最小值．11．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值．12．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．13．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．14．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若点 P是曲线C上的动点，求 P到直线l的距离的最小值，并求出 P点的坐标．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知C 1：（θ为参数），将C 1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C 2以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ（cosθ+sinθ）=4（1）试写出曲线C 1的极坐标方程与曲线C 2的参数方程；（2）在曲线C 2上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求此最小值．16．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角 坐标系，直线l 的参数方程为（t 为参数）．（Ⅰ）写出直线l 与曲线C 的直角坐标系下的方程； （Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M （x ，y ），求的取值范围．17．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．（1）写出直线l 的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P 是直线l 上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小．18．已知直线C 1：（t 为参数），圆C 2：（α为参数）（Ⅰ）若直线C 1经过点（2，3），求直线C 1的普通方程；若圆C 2经过点（2，2），求圆C 2的普通方程；（Ⅱ）点P 是圆C 2上一个动点，若|OP|的最大值为4，求t 的值．19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的参数方程为（α为参数），曲线C 2的极坐标方程为ρ2（sin 2θ+4cos 2θ）=4． （1）求曲线C 1与曲线C 2的普通方程；（2）若A 为曲线C 1上任意一点，B 为曲线C 2上任意一点，求|AB|的最小值．20．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线； （Ⅱ）若P 是直线l 上的一点，Q 是曲线C 上的一点，当|PQ|取得最小值时，求P 的直角坐标．21．已知曲线C：9x2+4y2=36，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin （）=2．（Ⅰ）分别将曲线C的参数方程和直线l的极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程；（Ⅱ）动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P的坐标为（﹣2，2），求|PB|+|AB|的最小值．参数方程参考答案与试题解析一．解答题（共23小题）1．（2017•惠州模拟）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．2．（2017•达州模拟）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4．（1）若l的参数方程中的时，得到M点，求M的极坐标和曲线C直角坐标方程；（2）若点P（0，2），l和曲线C交于A，B两点，求．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化的方法得到结论；（2）利用参数的几何意义，求．（1）l的参数方程中的时，M（﹣1，1），极坐标为，【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ=4，曲线C的直角坐标方程：x2+y2=16…（5分）（2）由得，…（10分）3．（2017•湖北模拟）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C的参数方程为1，（α为参数，且α∈[0，π）），曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．（1）求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；（2））若P是C1上任意一点，过点P的直线l交C2于点M，N，求|PM|•|PN|的取值范围．【分析】（1）求出C1的普通方程，即可求C1的极坐标方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化方法得出C2的直角坐标方程；（2）直线l的参数方程为：（t为参数），代入C2的直角坐标方程得（x0+tcosα）2+（y+tsinα+1）2=1，由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|•|PN|=|1+2y|，即可求|PM|•|PN|的取值范围．【解答】解：（1）消去参数可得x2+y2=1，因为α∈[0，π），所以﹣1≤x≤1，0≤y≤1，所以曲线C1是x2+y2=1在x轴上方的部分，所以曲线C1的极坐标方程为ρ=1（0≤θ≤π）．…（2分）曲线C2的直角坐标方程为x2+（y+1）2=1…（5分）（2）设P（x0，y），则0≤y≤1，直线l的倾斜角为α，则直线l的参数方程为：（t为参数）．…（7分）代入C2的直角坐标方程得（x+tcosα）2+（y+tsinα+1）2=1，由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|•|PN|=|1+2y|，因为0≤y≤1，所以|PM|•|PN|=∈[1，3]…（10分）4．（2017•泸州模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A、B，求的最小值．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，求圆C的直角坐标方程；（2）利用参数的几何意义，求的最小值．【解答】解：（1）圆C的方程为ρ=6sinθ，可化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9；（2）直线l的参数方程为为参数），代入x2+（y﹣3）2=9，可得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，∴t1+t2=﹣2（cosα﹣sinα），t1t2=﹣7，∴===≥，∴的最小值为．5．（2016•延安校级二模）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与C分别交于M，N．（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【分析】（1）首先，对于曲线C：根据极坐标与直角坐标变换公式，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，化成直角坐标方程，对于直线l：消去参数t即可得到普通方程；（2）首先，联立方程组，消去y整理，然后，设点M，N分别对应参数t1，t2，从而，得到|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|，然胡，结合一元二次方程根与系数的关系，建立含有a的关系式，求解a的取值．【解答】解：（1）∵，方程ρsin2θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax（a＞0）；直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0．（2）联立方程组，消去y并整理，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0 （*）△=8a（4+a）＞0．设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．则|PM|=|t1|，|PN|=|t2|，|MN|=|t1﹣t2|．由题设得（t1﹣t2）2=|t1t2|，即（t1+t2）2﹣4t1t2=|t1t2|．由（*）得t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a）＞0，则有（4+a）2﹣5（4+a）=0，得a=1，或a=﹣4．∵a＞0，∴a=1．6．（2016•陕西校级模拟）已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l的参数方程为，其中t为参数，求直线l被曲线C截得的弦长．【分析】（1）先消去参数，求出曲线的普通方程，然后利用普通方程和极坐标方程之间的关系进行转化求解即可．（2）直线方程的极坐标为，代入曲线C的极坐标方程求出ρ即可．【解答】解（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为，将代入并化简得：，即曲线C的极坐标方程为；（2）将代入得弦长为．7．（2016•开封四模）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若|PA|•|PB|=|AB|2，求a的值．【分析】（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程、直线l的参数方程化为普通方程即可；（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得关于t的一元二次方程，由根与系数的关系，求出t1、t2的关系式，结合参数的几何意义，求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程ρsin2θ=acosθ（a＞0），可化为ρ2sin2θ=aρcosθ（a＞0），即y2=ax（a＞0）；（2分）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，化为普通方程是y=x﹣2；（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax（a＞0）中，得；设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，则；（6分）∵|PA|•|PB|=|AB|2，∴t1•t2=，∴=+4t1•t2=5t1•t2，（9分）即；解得：a=2或a=﹣8（不合题意，应舍去）；∴a的值为2．（12分）8．（2016•福建模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【分析】解法一：（Ⅰ）由参数方程消去参数α，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角．（Ⅱ）设出直线l的参数方程，代入椭圆方程并化简，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，利用参数的几何意义求解即可．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用直线l的普通方程与椭圆的方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，即C的普通方程为．（2分）由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）（3分）将代入（*），化简得y=x+2，（4分）所以直线l的倾斜角为．（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数），（7分）代入并化简，得．（8分）．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t1＜0，t2＜0，（9分）所以．（10分）解法二：（Ⅰ）同解法一．（5分）（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．由消去y得10x2+36x+27=0，（7分）于是△=362﹣4×10×27=216＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，（8分）故．（10分）9．（2016•平顶山二模）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），P点的极坐标为（2，π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（Ⅰ）试将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求曲线C的焦点坐标；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于两点A，B，点M为AB的中点，求|PM|的值．【分析】（Ⅰ）把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的方程ρcos2θ=sinθ，可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）设点A，B，M对应的参数为t1，t2，t，由题意可知．把直线l的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，利用韦达定理求得t1+t2的值，可得|PM|=|t|的值．【解答】解：（Ⅰ）把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρcos2θ=sinθ，可得曲线C 的直角坐标方程为x2=y，它是开口向上的抛物线，焦点坐标为．（Ⅱ）点P的直角坐标为（﹣2，0），它在直线l上，在直线l的参数方程中，设点A，B，M对应的参数为t1，t2，t，由题意可知．把直线l的参数方程代入抛物线的直角坐标方程，得．因为，所以．10．（2016•汕头模拟）已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求的最小值．【分析】（1）利用ρ2=x2+y2，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2（x﹣1）代入下式消去参数t即可；（2）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入，根据三角函数的辅助角公式求出最小值．【解答】解：（1）直线l的参数方程为为参数）．由上式化简成t=2（x﹣1）代入下式得根据ρ2=x2+y2，进行化简得C：x2+y2=1（2分）（2）∵代入C得∴（5分）设椭圆的参数方程为参数）（7分）则（9分）则的最小值为﹣4．（10分）11．（2017•自贡模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值．（Ⅰ）消去参数t即可得到直线l的普通方程；利用x=ρcosθ，y=ρsinθ【分析】将曲线C转化为普通方程；（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，求出P到直线l的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P点的坐标，得到本题结论．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（其中t为参数），消去参数t得普通方程y=x﹣4．由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ．由x=ρcosθ，y=ρsinθ以及x2+y2=ρ2，得y2+（x﹣2）2=4；（Ⅱ）由y2+（x﹣2）2=4得圆心坐标为（2，0），半径R=2，则圆心到直线的距离为：d==3，而点P在圆上，即O′P+PQ=d（Q为圆心到直线l的垂足），所以点P到直线l的距离最小值为3﹣2．12．（2014•新课标Ⅰ）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P 到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．13．（2016•太原三模）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．【分析】（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．14．（2016•衡阳三模）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若点 P是曲线C上的动点，求 P到直线l的距离的最小值，并求出 P点的坐标．【分析】本题（1）可以先消参数，求出直线l的普通方程，再利用公式将曲线C的极坐标方程化成平面直角坐标方程，（2）利用点到直线的距离公式，求出P 到直线l的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P点的坐标，得到本题结论．【解答】解：（1）∵，∴x﹣y=1．∴直线的极坐标方程为：ρcosθ﹣ρsinθ=1．即，即．∵，∴，∴ρcos2θ=sinθ，∴（ρcosθ）2=ρsinθ即曲线C的普通方程为y=x2．（2）设P（x0，y），，∴P到直线的距离：．∴当时，，∴此时，∴当P点为时，P到直线的距离最小，最小值为．15．（2016•衡水校级二模）在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．【分析】（1）把C1消去参数化为普通方程为 x2+y2=1，再化为极坐标方程．根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程，再化为极参数方程．（2）先求得直线l的直角坐标方程，设点P（cosθ，2sinθ），求得点P到直线的距离为d=，故当sin（θ+）=1时，即θ=2kπ+，k∈z时，点P到直线l的距离的最小值，从而求得P的坐标以及此最小值【解答】解：（1）把C1：（θ为参数），消去参数化为普通方程为 x2+y2=1，故曲线C1：的极坐标方程为ρ=1．再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程为+=1，即+=1．故曲线C2的极参数方程为（θ为参数）．（2）直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4，即x+y﹣4=0，设点P（cosθ，2sinθ），则点P到直线的距离为d==，故当sin（θ+）=1时，d取得最小值，此时，θ=2kπ+，k∈z，点P（1，），故曲线C上有一点P（1，）满足到直线l的距离的最小值为﹣．216．（2016•晋中模拟）选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M（x，y），求的取值范围．【分析】（I）利用ρ2=x2+y2，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2（x﹣1）代入下式消去参数t即可；（II）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入，根据三角函数的辅助角公式求出其范围即可．【解答】解：（Ⅰ）直线l的普通方程x+y﹣2﹣1=0曲线C的直角坐标方程x2+y2=4；…（4分）（Ⅱ）曲线C经过伸缩变换得到曲线C'的方程为，则点M参数方程为，代入x+y得，x+y=•2cosθ+=2sin=4sin（）∈[﹣4，4]∴x+y的取值范围是[﹣4，4]…（10分）17．（2016•池州一模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小．【分析】（1）由已知得t=x﹣3，从而y=，由此能求出直线l的普通方程；由，得，由此能求出圆C的直角坐标方程．（2）圆C圆心坐标C（0，），设P（3+t，），由此利用两点间距离公式能求出点P的坐标，使P到圆心C 的距离最小．【解答】解：（1）∵在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，∴t=x﹣3，∴y=，整理得直线l的普通方程为=0，∵，∴，∴，∴圆C的直角坐标方程为：．（2）圆C：的圆心坐标C（0，）．∵点P在直线l：=0上，设P（3+t，），则|PC|==，∴t=0时，|PC|最小，此时P（3，0）．18．（2016•龙岩二模）已知直线C1：（t为参数），圆C2：（α为参数）（Ⅰ）若直线C1经过点（2，3），求直线C1的普通方程；若圆C2经过点（2，2），求圆C2的普通方程；（Ⅱ）点P是圆C2上一个动点，若|OP|的最大值为4，求t的值．【分析】（I）直线C1：（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=（x﹣1）tanα+2，把点（2，3）代入，解得tanα，即可得出直线C1的普通方程．由圆C2：（α为参数），利用cos2α+sin2α=1消去参数α化为普通方程，把点（2，2）代入解得t2，即可得出圆C2的普通方程．（II）由题意可得：|OP|max =|OC2|+|t|，代入解得t即可得出．【解答】解：（I）直线C1：（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=（x﹣1）tanα+2，∵直线C1经过点（2，3），∴3=tanα+2，解得tanα=1．∴直线C1的普通方程为y=x+1．圆C2：（α为参数），化为普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=t2，∵圆C2经过点（2，2），∴t2=1，∴圆C2的普通方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1．圆心C2=（1，2），半径r=1．（II）由题意可得：|OP|max =|OC2|+|t|，∴4=+|t|，解得t=±（4﹣）．19．（2016•河南三模）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ2（sin2θ+4cos2θ）=4．（1）求曲线C1与曲线C2的普通方程；（2）若A为曲线C1上任意一点，B为曲线C2上任意一点，求|AB|的最小值．【分析】（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得普通方程．曲线C2的极坐标方程为ρ2（sin2θ+4cos2θ）=4，利用y=ρsinθ，x=ρcosθ即可化为直角坐标方程．（2）设B（cosβ，2sinβ），则|BC1|==，利用三角函数的单调性与值域、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得：x2+（y﹣1）2=．圆心C（0，1）．曲线C2的极坐标方程为ρ2（sin2θ+4cos2θ）=4，可得直角标准方程：y2+4x2=4，即+y2=4．（2）设B（cosβ，2sinβ），则|BC1|==≥，当sin时取等号．∴|AB|的最小值=﹣．20．（2016•武昌区模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；（Ⅱ）若P是直线l上的一点，Q是曲线C上的一点，当|PQ|取得最小值时，求P的直角坐标．【分析】（Ⅰ）由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，即可得到直角坐标方程．（II）由题设条件知，|PQ|+|QC|≥|PC|，当且仅当P，Q，C三点共线时，等号成立，即|PQ|≥|PC|﹣，可得：|PQ|min =|PC|min﹣．设P（﹣t，﹣5+t），又C（，0），利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，从而有x2+y2=2x，∴（x﹣）2+y2=3．∴曲线C是圆心为（，0），半径为的圆．（Ⅱ）由题设条件知，|PQ|+|QC|≥|PC|，当且仅当P，Q，C三点共线时，等号成立，即|PQ|≥|PC|﹣，∴|PQ|min =|PC|min﹣．设P（﹣t，﹣5+t），又C（，0），则|PC|===．当t=1时，|PC|取得最小值，从而|PQ|也取得最小值，此时，点P的直角坐标为（﹣，﹣）．21．（2016•黔东南州模拟）已知曲线C：9x2+4y2=36，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【分析】（I）曲线C：9x2+4y2=36，化为=1，利用cos2θ+sin2θ=1可得参数方程．直线l：（t为参数），即，即可化为普通方程．（II）点P（2cosθ，3sinθ）到直线l的距离d==∈，利用|PA|==2d即可得出．【解答】解：（I）曲线C：9x2+4y2=36，化为=1，可得参数方程：（θ∈[0，2π））．直线l：（t为参数），即，化为：2x+y﹣6=0．（II）点P（2cosθ，3sinθ）到直线l的距离d==∈，|PA|==2d∈．∴|PA|的最大值与最小值分别为，．22．（2016•重庆模拟）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin（）=2．（Ⅰ）分别将曲线C的参数方程和直线l的极坐标方程转化为直角坐标系下的普通方程；（Ⅱ）动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P的坐标为（﹣2，2），求|PB|+|AB|的最小值．【分析】（1）消参数，根据cos2α+cos2α=1得出曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标的对应关系得到直线l的普通方程；（2）求出P关于直线l的对称点P′，则|PB|+|AB|的最小值为P′到圆心的距离减去曲线C的半径．【解答】解：（1）∵，∴，∴（x﹣1）2+y2=1．∴曲线C的普通方程是：（x﹣1）2+y2=1．∵ρsin（）=2，∴ρsinθ+ρcosθ=2，即ρsinθ+ρcosθ=4．∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣4=0．（2）设点P关于直线l的对称点为P′（x，y），则，解得P′。

参数方程一、单项选择题：本大题共148小题，从第1小题到第148小题每题分小计分；共计分。

一、参数方程中, 参数t的几何意义是[ ]A.定点M0(x0,y0)到原点距离.B.动点M(x,y)到原点距离.C.有向线段的数量.D.有向线段长度.二、直线(t为参数)上两点A、B对应的参数别离为t1和t2,│AB│等于[ ]A. |t1-t2|B.│t1-t2│C.D.3、假设直线参数方程为(t为参数)那么直线的倾斜角为[ ] (-)B.π-arctanD.π-arctan4、直线的参数方程为(t为参数)那么此直线的倾斜角是[ ]五、设为平面上两个定点, 方程(λ≠-1,λ为参数)表示的曲线是[ ]A.以为端点的线段B.直线C.直线除去点D.直线除去点六、参数方程(t是参数)所表示的图形是[ ] A.直线 B.射线 C.线段 D.圆锥曲线7、已知P1,P2是直线(t为参数)上的两点它们所对应的参数别离为t1、t2, 那么线段P1P2的中点P到(1,-2)的距离是 [ ]A.|t1+t2|B.|t1-t2|C.│t1│+│t2│D.八、直线 (t为参数)的倾角为[ ]九、过点(1,-2)倾角为150°的直线l的以t为参数的方程为 [ ]A.B.C.D.10、直线与圆x2+y2＝16相交所得的弦长为[ ]1一、已知直线l1的参数方程为(t为参数) l2: ρsin(θ-)＝2, 那么直线l1与l2的夹角为[ ]1二、直线(t为参数)与直线x+y-2＝0交于P点, 那么点M(7,5)必然[ ]A.在P点上方,│PM│＝2B.在P点下方,│PM│＝2C.在P点上方,│PM│＝2D.在P点下方,│PM│＝213、直线(t为参数)上有参数别离为t1,t2的对应点为A和B, 那么A,B两点之间的距离为[ ] A.|t1+t2| B.|t1-t2|C.|t1|+|t2|D.|t1|-|t2|14、直线(t为参数)的倾斜角是[ ] °°°°1五、已知直线(t为参数)与双曲线x2-2y2-8＝0相交于P1、P2两点, 那么|P1P2|的长为[ ]1六、已知直线(t为参数)与椭圆x2+2y2＝8交A,B两点, 那么│AB│值为[ ] B.D.17、已知一直线方程是(t为参数), 另一直线方程是x-y-2＝0, 那么两直线交点与P(1,-5)间的距离是[ ]C.1八、假设直线mx+4y＝8与3x+2y＝8的交点在第一象限, 那么m的取值范围是[ ]＜3 ＜6 ＞6 ＜m＜61九、动直线(2k-1)x+(k+l)y-(k-5)＝0(k∈R)恒过定点是 [ ]A.(5,2)B.(2,-3)C.(5,9)D.(-,3)20、直线上到点(-2,3)的距离等于的点的坐标是[ ] A.(-4,5) B.(-3,4)C.(-4,5)或(0,1)D.以上结果都不对2一、直线(t为参数)的倾斜角是[ ] A. 20° B. 70° C. 110° D. 160°2二、已知直线方程(t为参数), 那么以下说法中错误的是[ ]A. 直线的斜率是B. 直线过点(3,-4)C. 直线不通过第二象限D. 当t＝1时, 直线方程所确信的点到(3,-4)点的距离是123、设直线的参数方程为(t为参数)那么此直线在y轴上截距是[ ]C.24、若是直线的参数方程为(t为参数)那么此直线截抛物线=3x所得弦长是[ ]2五、直线(t为参数)上到点(-2,3)距离等于的点的坐标是[ ] A.(-4,5) B.(-3,4)C.(-4,5)和(0,1)D.(-3,4)和(-1,2)2六、已知：,那么方程(λ为参数，且λ≠-1)表示的曲线是[ ] A.线段 B.直线C.直线，但不含点D.直线，但不含点27、直线(t为参数)的倾角是[ ]2八、直线(t为参数)被圆截得的线段长度是[ ]D.与α有关的数值2九、直线(t为参数)的倾斜角等于[ ]30、直线(t为参数)与圆相交弦的长是[ ]3一、假设点P在过点M(1,5)且斜率为的直线1上运动，那么以的数量t为参数的1的方程为[ ]3二、直线(t为参数)的倾斜角是[ ]33、假设方程(k为参数)与(t为参数)，表示同一条直线，那么t与k之间的关系是：[ ]34、直线(t为参数)与直线的交点到点M(1,5)的距离是[ ]3五、通过点P(4,1),且倾角为的直线ι,被圆所截得的弦长是[ ]3六、已知P、Q是直线(t为参数)与曲线的两个交点那么M(1,-)到P、Q两点距离之差为[ ]37、直线(t为参数)被双曲线所截得弦长是[ ]3八、直线(t为参数)与直线10x+5y+7=0交于B，又有点A(-2,1).那么有向线段AB的数量是[ ]D.3九、直线l的参数方程为(t为参数)那么以下参数方程(t为参数)表示的直线与直线l不同是[ ]40、直线l过点M(-1,2),倾角．l上动点为P(x,y).假设以PM=t为参数,那么l的参数方程是[ ]4一、直线(t为参数)的倾斜角为[ ]4二、直线(t为参数)(ab≠0)上有一点P(x,y),它对应的参数t=T,那么P与点Q的距离是[ ]43、参数方程(t为参数)表示的曲线是[ ] A.椭圆 B.圆,但除去(1,0)C.圆D.圆,但除去(-1,0)44、设直线l过点(1，5)，倾斜角为，M为直线l上任意一点，以有向线段的数量t为参数，那么它的参数方程为[ ] A．B．C．D．4五、己知直线(t为参数)，以下命题中错误的选项是[ ] A．直线过点(7，－1)B．直线的倾斜角为C．直线只是第二象限D．|t|是定点(3，－4)到该直线上对应点M的距离4六、方程中，t为非零常数，θ为变量，那么方程表示的曲线是[ ] A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线47、若表示的曲线是[ ] A．线段B．四分之一个圆C．半圆D．圆4八、直线(t为参数)与圆(θ为参数)相交所得的弦长为[ ] A ．B ．C ．D ．4九、椭圆9x2+4y2-36＝0的参数方程为［］A. x＝2sinθy＝3cosθB. x＝2cosθy＝3sinθC. x＝2sinθy＝3secθD.x＝2cscθy＝3cosθ50、假设方程x2sinα+y2cosα＝1表示椭圆且核心在y轴上, 那么α∈ []5一、参数方程(θ为参数)表示的图形是[ ] A.中心为(-1,2)的椭圆 B.一条直线C.中心为(-1,2)的半个椭圆D.一条线段5二、圆锥曲线(ψ为参数)的焦距等于[ ] B.D.53、当│t│≤1时,动点M(sin(arcsint), cos(arcsint))的轨迹是 [ ]A.直线B.圆C.椭圆D.半圆54、线段AB的长为2,端点A,B别离在x,y轴上滑动, 假设P分AB的比值为-, 那么点P轨迹的一般方程是[ ] A.+y2＝1 B.+y＝1＝1 ＝15五、椭圆的两个核心坐标是[ ] A. (-3,5), (-3,-3) B. (3,3), (3,-5)C. (1,1), (-7,1)D. (7,-1), (-1,-1)5六、椭圆的参数方程为(θ为参数)，那么它的核心坐标是[ ] A．(－5，3)和(1，3)B．(－1，－3)和(5，－3)C．(－1，0)和(5，0)D．(3，0)和(－3，0)57、已知:A＝｛(x,y)|(x-1)2+y2＝1｝B＝｛(x,y)│＝-1｝D＝｛(x,y)│(θ为参数)θ≠kπ,k∈Z｝那么正确的选项是[ ]A. A=BB. B=DC. C=AD. B=C5八、交于A,B两点那么AB中点所对应的参数值为[ ]5九、参数方程(t为参数.t∈R)代表的曲线是[ ] A.直线 B.射线 C.椭圆 D.双曲线60、参数方程(θ是参数)表示的图形是[ ] A.中心为(1,-2)的椭圆 B.一条直线C.一条线段D.中心为(1,-2)的半个椭圆6一、方程(t为参数)的图形是[ ]6二、以下各点中在曲线上的点是[ ] A.(0,2) B.(-1,6) C.(1,3) D.(3,4)63、曲线(t为参数)与(θ为参数,0≤θ＜2π)的交点对应于参数θ的值是[ ]64、已知集合M＝｛(x,y) │(0＜θ＜π)｝与集合N＝｛(x,y)│y＝x+b｝知足M∩N≠φ,那么b知足[ ] ≤b≤3≤b≤3＜b≤3＜b≤36五、直线x+2y＝0与椭圆x2+4y2-4mx-8my＝0 (m为参数,m≠0)的位置关系是[ ]A.无公共点.B.只有一个公共点.C.总有两个公共点.D.公共点的多少与m有关.6六、[ ]67、那么直线与圆的位置关系是[ ] A.过圆心 B.相交而只是圆心C.相切D.相离6八、以下参数方程(t为参数)中与方程y2＝x表示同一曲线的是[ ]6九、曲线的参数方程是(t是参数,t≠0),它的一般方程是[ ] A. (x-1)2(y-1)＝1B. y＝C. y＝-1D. y＝+170、以下各组方程中, 表示同一条曲线的是[ ]B. xy＝1与(α∈(0,))7一、曲线(t为参数，t∈R)与（θ是参数，0≤θ＜2π）交点对应的参数θ值是[ ]7二、已知：方程①当t是参数②λ是参数③θ是参数；那么以下结论中成立的是[ ]A.①②③均为直线B.只能②是直线C.①②是直线，③是圆锥曲线D.①是直线，①③是圆锥曲线73、直线(t为参数)上不同两点A、B对应的参数别离是、，那么｜AB｜等于[ ]]74、假设抛物线(p＞0,t为参数)上两点E、F所对应的参数知足.那么E、F两点间距离等于[ ]7五、已知曲线(t为参数)上的A、B两点对应的参数别离为。

【高三】2021高考数学坐标系与参数方程总复习测试(含答案)2021年高考数学总复习12-2坐标系与参数方程但因为测试新人教b版1.（海淀中期，北京，2022年）在极坐标系中，已知圆C的方程为ρ＝2cosθ，那么在以下几点中，圆C上的方程为（）a．(1，－π3)b．(1，π6)c、（2,3π4）d.（2,5π4）[答案] a[analysis]将替代答案代入圆C的方程中，因为2cos（-π3）=2×12=1，所以a成立2．(2021湖南，4)极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程x＝－1－ty＝2＋t(t为参数)所表示的图形分别是( )a、直线，直线B.直线，圆c．圆、圆d．圆、直线[答：]d[解析] 由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2－x＝0.此方程所表示的图形是圆．通过消除方程x=-1-ty=2+t，x+Y-1=0中的参数t。

这个方程式所代表的图形是一条直线3．()(2021湖南十二校联考)若直线的参数方程为x＝1＋3ty＝2－3t(t为参数)，则直线的倾斜角为( )a、30°b.60°c．120°d．150°[答：]d[解析] 由直线的参数方程知，斜率k＝y－2x－1＝－3t3t＝－33＝tanθ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°.（理论上）直线的参数方程为x=tsin50°-1y=-tcos50°（t为参数），则直线的倾角为（）a．40°b．50°c、140°d.130°[答案] c【分析】对直线的参数方程进行变形，得到x=-1-tcos 140°，y=-Tsin 140°，倾角为140°4．()(2021皖中地区示范高中联考)在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为x＝ty＝t＋1(t∈r)，圆的参数方程为x＝cosθ＋1y＝sinθ(θ∈[0,2π))，则圆心c到直线l的距离为( )a、 0b.2c.2d.22[答：]C[解析] 化直线l的参数方程x＝ty＝t＋1(t∈r)为普通方程为x－y＋1＝0，化圆的参数方程x＝cosθ＋1y＝sinθ(θ∈[0,2π))为普通方程为(x－1)2＋y2＝1，则圆心c(1,0)到直线l的距离为1－0＋112＋－12＝2.（原因）（上海市奉贤区2022年）如果已知点P（3，）位于以点F为焦点的抛物线x=4t2y=4T（t为参数）上，则pf=（）a．1 b．2c、三,d、四,[答案] d【分析】将抛物线的参数方程转化为一般方程，即y2=4x，然后焦点f（1,0），拟线性方程为x=-1，P（3，）在抛物线上。

人教版选修4-41．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2ty ＝3＋2t ，(t 为参数)上与点A (－2,3)的距离等于2的点的坐标是________．解析：(－3,4)或(－1,2) 由题意知(－2t )2＋(2t )2＝(2)2，所以t 2＝12，t ＝±22，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2t y ＝3＋2t ，(t 为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．2．(xx·陕西高考)圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝t 2y ＝2t ，(t 为参数)的焦点坐标是________．解析：(1,0) 由⎩⎨⎧x ＝t2y ＝2t ，消去t 得y 2＝4x ，故曲线表示为焦点(1,0)的抛物线．3．若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋cos θy ＝sin θ，(参数θ∈R )有唯一的公共点，则实数k ＝________.解析：±33曲线C 化为普通方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r ＝1.由已知l 与圆相切，则r ＝|2k |1＋k2＝1，解得k ＝±33.4．直线3x ＋4y －7＝0截曲线⎩⎨⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α，(α为参数)的弦长为________．解析：85 曲线可化为x 2＋(y －1)2＝1，圆心到直线的距离d ＝|0＋4－7|9＋16＝35，则弦长l ＝212－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝85.5．(xx·宝鸡检测)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t y ＝－22t (t 为参数)．以Ox 为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝5⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为________．解析：(2,1) 依题意得曲线C 1为直线，其方程为x －y －1＝0，曲线C 2为圆x 2＋y 2＝5的四分之一，联立两曲线方程，可得交点为(2,1)．6．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋cos φy ＝sin φ，(φ为参数，0≤φ<2π)，以坐标原点为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是________．解析：ρ＝2cos θ 将参数方程化为普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，它表示以点(1,0)为圆心、1为半径的圆，从而在极坐标系中，圆心是(1,0)，半径为1，故极坐标方程为ρ＝2cos θ.7．(xx·广东高考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos ty ＝2sin t，(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．解析：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2 因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t y ＝2sin t ，(t为参数)，所以其普通方程为x 2＋y 2＝2.又点(1,1)在曲线C 上，因此切线l 的斜率k ＝－1.故直线l 的方程为x ＋y －2＝0，化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2，即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2. 8．(xx·湖北八市调研)设直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋ty ＝a ＋3t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，另一直线l 2的方程为ρsinθ－3ρcos θ＋4＝0，若直线l 1与l 2间的距离为10，则实数a 的值为________．解析：9或－11 由⎩⎨⎧x ＝1＋ty ＝a ＋3t(t 为参数)消去t 得3x －y ＋a －3＝0，由ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0化为普通方程得3x －y －4＝0，由平行线间的距离公式可得|a －3＋4|10＝10整理得|a ＋1|＝10解得a ＝9或a ＝－11.9．(xx·广州调研)已知圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θy ＝sin θ＋2，(θ为参数)，以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsinθ＋ρcos θ＝1，则直线l 截圆C 所得的弦长是________．解析： 2 圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝1，其圆心C 的坐标为(0,2)，半径r ＝1，直线l 的直角坐标方程为x ＋y －1＝0，点C 到直线l 的距离d ＝|0＋2－1|2＝22，因此直线l 截圆C 所得的弦长2 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝ 2.10．如果曲线C ：⎩⎨⎧x ＝a ＋2cos θy ＝a ＋2sin θ，(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是________．解析：(－22，0)∪(0,22) 将曲线的参数方程转化为普通方程，即(x －a )2＋(y －a )2＝4，由题意可知，以原点为圆心，以2为半径的圆与圆C 总相交，根据两圆相交的充要条件，得0<2a 2<4，∴0<a 2<8，解得0<a <22或－22<a <0.故所求范围为(－22，0)∪(0,22)．11．(xx·汕头质检)已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2＋ty ＝t －2，(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)，则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值是________．解析：22＋2 方法一：直线l 方程是x －y －4＝0，圆C 方程为x 2＋y 2＝4，圆心C (0,0)到直线l 的距离d ＝|0－0－4|2＝22>2. 所以圆C 上的点到直线l 的距离最大值是d ＋r ＝22＋2. 方法二：直线l 的方程是x －y －4＝0，所以圆C 上的点到直线l 的距离d ＝|2cos θ－2sin θ－4|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π42，所以圆C 上的点到直线l 的距离的最大值是|22×－1－4|2＝22＋2.12．已知在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝sin θ，(θ是参数)有两个不同的交点P 和Q ，则k 的取值范围为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 曲线C 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝sin θ，(θ是参数)化为普通方程：x 22＋y 2＝1，故曲线C 是一个椭圆．由题意，利用点斜式可得直线l 的方程为y ＝kx ＋2，将其代入椭圆的方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ，所以Δ＝8k 2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.13．(xx·中原名校联盟摸底)已知在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (2,3)，倾斜角为π3. (1)写出直线l 的参数方程和圆的标准方程；(2)设直线l 与圆相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． 解：(1)圆的标准方程为x 2＋y 2＝16① 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t y ＝3＋32t (t 为参数)②(2)把②代入①得，t 2＋(2＋33)t －3＝0③ 设t 1，t 2是方程③的两个实根，则t 1t 2＝－3， 所以|PA |·|PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.14．(xx·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程； (2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos αy ＝sin α，(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．15．(xx·福州八中质检)已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t y ＝－4＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρsin 2 θ＝4cos θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，定点P (0，－4)，求|PA |＋|PB |的值． 解：(1)由ρsin 2 θ＝4cos θ，得ρ2sin 2 θ＝4ρcos θ， ∴y 2＝4x .(2)把C 1的参数方程代入y 2＝4x ，得12t 2－62t ＋16＝0，即t 2－122t ＋32＝0， ∴t 1＋t 2＝122，t 1t 2＝32.∴|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝12 2.16． (xx·河南调研)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2cos αy ＝－1＋2sin α，(α为参数)，点Q 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，74π.(1)化圆C 的参数方程为极坐标方程；(2)若直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当|MN |最小时，直线l 的直角坐标方程．解：(1)圆C 的直角坐标方程为： (x －1)2＋(y ＋1)2＝4，展开得：x 2＋y 2－2x ＋2y －2＝0， 化为极坐标方程是：ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0.(2)点Q 的直角坐标为(2，－2)，且点Q 在圆C 内，易知当l ⊥CQ 时，|MN |最小．又圆C 的圆心C 的坐标为(1，－1)，∴k CQ ＝－2－－12－1＝－1.∴k l ＝1.∴直线l 的直线坐标方程为：y ＋2＝x －2. 即x －y －4＝0.17．(xx·盐城模拟)已知椭圆C 的极坐标方程为ρ2＝123cos 2θ＋4sin 2θ，点F 1，F 2为其左，右焦点，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t .(t 为参数，t ∈R )．(1)求直线l 和曲线C 的普通方程； (2)求点F 1，F 2到直线l 的距离之和．解：(1)将直线l 的参数方程消去t 得y ＝x －2，即为所求的普通方程． 椭圆C 的极坐标方程为3ρ2cos 2 θ＋4ρ2sin 2 θ＝12.∴3x 2＋4y 2＝1.∴x 24＋y 23＝1. 故椭圆的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴点F 1到直线l 的距离d 1＝|－1－0－2|2＝322，点F 2到直线l 的距离d 2＝|1－0－2|2＝22，∴d 1＋d 2＝2 2.18．(xx·东北三校联考)在直角坐标系xOy 中，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32作倾斜角为α的直线l 与曲线C ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点M ，N .(1)写出直线l 的参数方程；(2)求1|PM |＋1|PN |的取值范围．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋t cos αy ＝32＋t sin α，(t 为参数)．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32＋t cos αy ＝32＋t sin α，(t 为参数)代入x 2＋y 2＝1，得t 2＋(3cos α＋3sin α)t ＋2＝0， 由直线l 与曲线C 交于不同两点M ，N 得 Δ＝(3cos α＋3sin α)2－8>0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤23sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π62－8>0， 解得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6>63或sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6<－63(舍去)． ∴1|PM |＋1|PN |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝3cos α＋3sin α2 ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6. ∵63<sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6≤1， ∴2<3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6≤3， ∴1|PM |＋1|PN |的取值范围为(2，3)．2 24661 6055 恕39758 9B4E 魎V31721 7BE9 篩 24746 60AA 悪c|28764 705C 灜27871 6CDF 泟28149 6DF5 淵6。

第二节 参数方程[最新考纲] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．(对应学生用书第208页)1．曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22. ③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( )(3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )[答案](1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、教材改编1．曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上B [由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆， 所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．]2．直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线l 的斜率为________．－3 [将直线l 的参数方程化为普通方程为y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.]3．曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为________．y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1) [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)．]4．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则a ＝________. 3 [直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)，则3－a ＝0，∴a ＝3.](对应学生用书第209页)⊙考点1参数方程与普通方程的互化将参数方程化为普通方程的方法将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin2θ＋cos2θ＝1等)．将下列参数方程化为普通方程(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(e t ＋e －t)，y ＝12(e t－e－t)(t 为参数)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－sin 2θ，y ＝12(sin θ＋cos θ)(θ为参数)．(3)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t 21＋t 2，y ＝4－2t 21＋t 2(t 为参数)(4)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝6t 1＋t 2(t 为参数)．[解](1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(e t ＋e －t )，y ＝12(e t －e －t)得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝e t ＋e －t ，2y ＝e t －e －t ，∴4x 2－4y 2＝(e t ＋e －t )2－(e t －e －t )2＝4，∴x 2－y 2＝1.(2)由⎩⎨⎧x ＝－1－sin 2θ，y ＝12(sin θ＋cos θ)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－sin 2θ，2y ＝sin θ＋cos θ，∴(2y )2＋x ＝(sin θ＋cos θ)2＋(－1－sin 2θ)＝0， ∴y 2＝－x 4，又－2≤－1－sin 2θ≤0，即－2≤x ≤0， ∴y 2＝－x4(－2≤x ≤0)． (3)∵x ＝2t 21＋t 2， y ＝4－2t 21＋t 2＝4(1＋t 2)－6t 21＋t 2＝4－3×2t 21＋t2＝4－3x ， 又x ＝2t 21＋t 2＝2(1＋t 2)－21＋t2＝2－21＋t 2∈[0,2)，∴x ∈[0,2)， ∴所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(0≤x ＜2)． (4)∵－1＜1－t 21＋t2≤1，即－1＜x ≤1， 且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2(1＋t 2)2＝1.∴普通方程为x2＋y29＝1(x≠－1)．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解．⊙考点2参数方程的应用1．应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值(即系数平方和等于1)，否则参数不具备该几何含义．2．圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键．(·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝4t 1＋t 2(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．[解](1)因为－1＜1－t 21＋t 2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2(1＋t 2)2＝1，所以C 的直角坐标方程为x 2＋y24＝1(x ≠－1)．l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π＜α＜π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7.求椭圆上的点到直线的距离的最值问题，常用三角代换法求解．在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6. (1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值． [解](1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝π6， 所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t代入x 2＋y 2＝16，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12t 2＝16，t 2＋(3＋2)t －11＝0，所以t 1t 2＝－11，由参数方程的几何意义，|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝11. ⊙考点3 极坐标、参数方程的综合应用处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2＋3t (t 为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，设M (1,2)，求1|MA |＋1|MB |的值． [解](1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝2＋3t 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t ，y －2＝3t ，消去参数t 得3(x －1)＝y －2，即3x －y －1＝0，所以直线l 的普通方程为3x －y －1＝0. 由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，化为直角坐标方程得x 2＋y 2＝4x ，即x 2＋y 2－4x ＝0， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0.(2)把x ＝1＋t ，y ＝2＋3t 代入x 2＋y 2－4x ＝0，得(1＋t )2＋(2＋3t )2－4(1＋t )＝0，整理得10t 2＋10t ＋1＝0，Δ＝102－4×10＞0，设方程10t 2＋10t ＋1＝0的两个根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－1，t 1t 2＝110，显然t 1＜0，t 2＜0， 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝2＋3t ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋110×(10t )，y ＝2＋310×(10t )，所以1|MA |＋1|MB |＝1|10t 1|＋1|10t 2|＝－110⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 1＋1t 2＝－t 1＋t 210t 1t 2＝－－11010＝10.解答本例第(2)问时，易误认为|MA |＝|t 1|，|MB |＝|t 2|，导致解题错误．应把直线的参数方程化为标准的参数方程，然后再求解．1.(·衡水模拟)在直角坐标系xOy中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ＝3.(1)求曲线C 的直角坐标方程，并说明它为何种曲线；(2)设点P 的坐标为(3,3)，直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |的最大值．[解](1)将⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x代入ρ2－2ρcos θ＝3中得x 2＋y 2－2x ＝3，即(x －1)2＋y 2＝4，曲线C 是一个以(1,0)为圆心，2为半径的圆．(2)由直线l 的参数方程，知其过定点P (3,3)，由于直线l 与曲线C 相交，由图像知其倾斜角α为锐角．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝3＋t sin α与(x －1)2＋y 2＝4，整理得到关于t 的二次方程t 2＋(4cosα＋6sin α)t ＋9＝0.由Δ＞0知(4cos α＋6sin α)2－36＞0，则4cos α＋6sin α＞6或4cos α＋6sin α＜－6(舍)．又由于点A ，B 均在点P 的下方，由参数t 的几何意义，知|P A |＋|PB |＝－(t 1＋t 2)＝4cos α＋6sin α＝213sin(α＋φ)∈(6,213]⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝23.所以|P A |＋|PB |的最大值为213.2．(·汕头模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos αy ＝3a sin α(α为参数，a ＞0)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设P 是曲线C 上的一个动点，若点P 到直线l 的距离的最大值为32，求a 的值．[解](1)依题意得曲线C 的普通方程为x 2a 2＋y 23a 2＝1， 因为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，所以ρcos θ＋ρsin θ＝4，因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4，即x ＋y －4＝0， (2)设点P (a cos α，3a sin α)，则点P 到直线l 的距离 d ＝||a cos α＋3a sin α－42＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－42，因为a ＞0，所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d max ＝2a ＋42＝32，所以a ＝1.。

第12章 选修4系列 第2讲A 组 基础关1．(2019·四川达州模拟)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t 为参数，t ∈R )，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝a sin θ(a ≠0)．(1)求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； (2)设直线l 截圆C 的弦长为半径长的3倍，求a 的值．解 (1)圆C 的直角坐标方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －a 22＝a24.直线l 的普通方程为4x ＋3y －8＝0.(2)圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －a 22＝14a 2，直线l ：4x ＋3y －8＝0，∵直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的3倍，∴圆心C 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3a 2－85＝12×|a |2，解得a ＝32或a ＝3211.2．(2018·芜湖模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a,1)，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －22t ，y ＝1＋22t (t 为参数，a ∈R )，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋2cos θ－ρ＝0.(1)写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点(P 在A ，B 之间)，且|PA |＝2|PB |，求实数a 的值．解 (1)将C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －22t ，y ＝1＋22t 消参得普通方程为x ＋y －a －1＝0，C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋2cos θ－ρ＝0两边同乘ρ得ρ2cos 2θ＋2ρcos θ－ρ2＝0即y 2＝2x .(2)将曲线C 1的参数方程代入曲线C 2：y 2＝2x 得12t 2＋22t ＋1－2a ＝0，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，由题意得|t 1|＝2|t 2|，且P 在A ，B 之间，则t 1＝－2t 2，由⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝－42，t 1t 2＝－2a ，解得a ＝332.3．(2018·石家庄一模)在平面直角坐标系中，将曲线C 1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2.(1)求曲线C 2的参数方程；(2)过坐标原点O 且关于y 轴对称的两条直线l 1与l 2分别交曲线C 2于A ，C 和B ，D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线l 1的普通方程．解 (1)由ρ＝2，得ρ2＝4，所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 故由题意可得曲线C 2的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.所以曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(2)设四边形ABCD 的周长为l ，点A (2cos θ，sin θ)，则l ＝8cos θ＋4sin θ＝45sin(θ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝25，cos φ＝15，所以当θ＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，l 取得最大值，最大值为45，此时θ＝2k π＋π2－φ(k ∈Z )，所以2cos θ＝2sin φ＝45，sin θ＝cos φ＝15，此时A ⎝⎛⎭⎪⎫45，15. 所以直线l 1的普通方程为x －4y ＝0. 4．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 是参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求圆心C 的直角坐标；(2)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 解 (1)∵ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22cos θ－22sin θ，∴ρ2＝22ρcos θ－22ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－22x ＋22y ＝0， 即(x －2)2＋(y ＋2)2＝4.∴圆心C 的直角坐标为(2，－2)． (2)由直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t ＋42＋22－4＝t 2＋8t ＋48 ＝t ＋2＋32，又t ＋2＋32≥42，∴由直线l 上的点向圆C 引切线，切线长的最小值为4 2.B 组 能力关1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t ，y ＝22t(t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρsin 2θ＝cos θ，将曲线C 上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，然后再向右平移一个单位得到曲线C 2，又已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点．(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)设定点P (2,0)，求1|PA |＋1|PB |的值．解 (1)曲线C 的直角坐标方程为y 2＝x ，将曲线C 上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到曲线y 2＝2x ，然后再向右平移一个单位得到曲线C 2：y 2＝2(x －1)．(2)将曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t ，y ＝22t(t 是参数)代入曲线C 2的方程得t 2＋22t －4＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－22，t 1t 2＝－4， 1|PA |＋1|PB |＝|PA |＋|PB ||PA |·|PB |＝|t 1－t 2||t 1t 2| ＝t 1＋t 22－4t 1t 2|t 1t 2|＝8＋164＝62.2．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.3．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋t cos α，y ＝t sin α(t 是参数)．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝4cos θ.(1)当m ＝－1，α＝30°时，判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)当m ＝1时，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设P (1,0)，且||PA |－|PB ||＝1，求直线l 的倾斜角．解 (1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以曲线C 是以点M (2,0)为圆心，2为半径的圆． 由直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)，得直线l 的直角坐标方程为x －3y ＋1＝0. 由圆心M 到直线l 的距离d ＝|2－0＋1|1＋3＝32<2，可知直线l 与曲线C 相交．(2)由题意可得直线l 是经过点P (1,0)，倾斜角为α的直线，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α代入(x －2)2＋y 2＝4，整理得t 2－2t cos α－3＝0，Δ＝(－2cos α)2＋12>0. 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3<0，所以t 1，t 2异号， 则||PA |－|PB ||＝|t 1＋t 2|＝|2cos α|＝1， 所以cos α＝±12.又α∈[0，π)，所以直线l 的倾斜角为π3或2π3.4．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2<1， 解得k <－1或k >1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4. 综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4. (2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin2α，y ＝－22－22cos2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.。

高三数学参数方程试题答案及解析1.在平面直角坐标系中，曲线（为参数）的普通方程为___________.【答案】【解析】联立消可得,故填.【考点】参数方程2.直线与直线为参数）的交点到原点O的距离是（）A．1B．C．2D．2【答案】C【解析】将直线化普通方程为.解得两直线交点为，此交点到原点的距离为.故C正确.【考点】1参数方程和普通方程间的互化；2两点间的距离公式.3.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和，则曲线C1与C2的交点坐标为_______。

【答案】【解析】由参数方程知: 曲线C1与C2的普通方程分别为,,所以解方程组可得交点坐标为.【考点】本题考查直线与圆的参数方程与普通方程的互化,以及它们交点坐标的求解.4.在平面直角坐标系中，直线经过点P（0，1），曲线的方程为，若直线与曲线相交于，两点，求的值．【答案】1【解析】利用直线的参数方程的几何意义，可简便解决有关线段乘积问题. 设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）设，两点对应的参数值分别为，．将代入，整理可得．所以．【解】设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）设，两点对应的参数值分别为，．将代入，整理可得． 5分（只要代入即可，没有整理成一般形式也可以）所以． 10分【考点】直线的参数方程5.如图,以过原点的直线的倾斜角为参数,则圆的参数方程为 .【答案】(为参数)【解析】x2+y2-x=0圆的半径为，圆心为C（，0）.连接CP，则∠PCx=2所以P点的坐标为:(为参数)6.在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值为________．【答案】1【解析】圆的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为，圆心到直线的距离，圆上的点到直线的距离的最小值为.【考点】直角坐标与极坐标、距离公式.7.已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线．（1）求曲线的普通方程；（2）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式等基础知识，考查学生的转化能力、分析能力、计算能力.第一问，将曲线C的坐标直接代入中，得到曲线的参数方程，再利用参数方程与普通方程的互化公式，将其转化为普通方程；第二问，设出P、A点坐标，利用中点坐标公式，得出，由于点A在曲线上，所以将得到的代入到曲线中，得到的关系，即为中点的轨迹方程.试题解析：（1）将代入，得的参数方程为∴曲线的普通方程为． 5分（2）设，，又，且中点为所以有：又点在曲线上，∴代入的普通方程得∴动点的轨迹方程为． 10分【考点】参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式.8.若直线的参数方程为，(t为参数)，求直线的斜率．【答案】－【解析】k＝.∴直线的斜率为－.9.将参数方程化为普通方程，并说明它表示的图形．【答案】y＝1－2x2，抛物线的一部分．【解析】由可得即＋x2＝1，化简得y＝1－2x2.又－1≤x2＝sin2θ≤1，则－1≤x≤1，则普通方程为y＝1－2x2，在时此函数图象为抛物线的一部分．10.已知点P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点．(1)求2x＋y的取值范围；(2)若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）－＋1≤2x＋y≤＋1.（2）a≥－1【解析】(1)设圆的参数方程为2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1＝sin(θ＋φ)＋1，∴－＋1≤2x＋y≤＋1.(2)x＋y＋a＝cosθ＋sinθ＋1＋a≥0，∴a≥－(cosθ＋sinθ)－1＝－sin－1，∴a≥－1.11.在椭圆＝1上找一点，使这一点到直线x－2y－12＝0的距离最小．【答案】(2，－3)【解析】设椭圆的参数方程为，d＝，当cos＝1时，dmin＝，此时所求点为(2，－3)12.在平面直角坐标系xOy中，若直线l1： (s为参数)和直线l2： (t为参数)平行，则常数a的值为________．【答案】a＝4【解析】由消去参数s，得x＝2y＋1. 由消去参数t，得2x＝ay＋a.∵l1∥l2，∴＝，∴a＝4.13.已知点P是曲线为参数，上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为，则点的直角坐标为．【答案】【解析】不妨设点(),则由两点斜率的计算公式得,由题知(),则,故填【考点】参数方程倾斜角14.在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线l：x＝2的距离是到点F(1,0)的距离的倍．(1)求动点P的轨迹方程；(2)设直线FP与(1)中曲线交于点Q，与l交于点A，分别过点P和Q作l的垂线，垂足为M，N，问：是否存在点P使得△APM的面积是△AQN面积的9倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）x2＋2y2＝2（2）存在点P为(0，±1)【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)．由题意知＝|2－x|，化简，得x2＋2y2＝2，所以动点P的轨迹方程为x2＋2y2＝2.(2)设直线FP的方程为x＝ty＋1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为△AQN∽△APM，所以有PM＝3QN，由已知得PF＝3QF，所以有y1＝－3y2，①由得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0，Δ＝4t2＋4(t2＋2)＝8>0y 1＋y2＝－②，y1·y2＝－③，由①②③得t＝－1，y1＝1，y2＝－或t＝1，y1＝－1，y2＝，所以存在点P为(0，±1)．15.过点M（3，4），倾斜角为的直线与圆C：（为参数）相交于A、B两点，试确定的值.【答案】15【解析】将过点M（3，4），倾斜角为的直线写成参数方程.再将圆的参数方程写成一般方程，联立后求得含t的一元二次方程.将的值转化为韦达定理的根的乘积关系.即可得结论.本小题主要就是考查直线的参数方程中t的几何意义.试题解析：直线l的参数方程为.代入C：.方程得到：.设为方程两根，则.【考点】1.直线的参数方程.2.圆的参数方程.16.将参数方程（为参数,）化成普通方程为 ______ ．【答案】【解析】由已知得，将两式平方相加有，，所以普通方程为.【考点】参数方程与普通方程的互化.17.已知直线l过点P(2,0)，斜率为直线l和抛物线y2=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M,求：(1)|PM|； (2)|AB|.【答案】（1）；（2）【解析】（1）写出过点P（2,0）的直线方程的参数方程，联立抛物线的方程得到一个含参数t 二次方程.通过韦达定理即定点到中点的距离可得故填.（2）弦长公式|AB|＝|t2－t1|再根据韦达定理可得故填.本题主要知识点是定点到弦所在线段中点的距离.弦长公式.这两个知识点都是参数方程中的长测知识点.特别是到中点的距离的计算要理解清楚.试题解析：(1)∵直线l过点P(2，0)，斜率为设直线的倾斜角为α,tanα=sinα=cosα=∴直线l的参数方程为 (t为参数)(*) 1分∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2=2x中，整理得8t2－15t－50＝0,且Δ=152+4×8×50>0,设这个一元二次方程的两个根为t1、t2,由根与系数的关系，得t1＋t2＝t1t2＝ 3分由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得 4分(2)|AB|＝|t2－t1|＝ 7分【考点】1.直线的参数方程的表示.2.定点到中的距离公式.3.弦长公式.18.在直角坐标系xOy中，过椭圆（为参数）的右焦点，斜率为的直线方程为【答案】【解析】由，即，所以右焦点坐标为（4,0）.又斜率为，故易得所求直线方程为.即.【考点】参数方程、直线的点斜式方程19.已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．在极坐标系（与直角坐标取相同的长度单位，且以原点为极点，轴的非负半轴为极轴）中，曲线的方程为．（Ⅰ）求曲线直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线、交于A、B两点，定点，求的值．【答案】（Ⅰ）曲线直角坐标方程为；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由已知，两边都乘以，得，结合即可求得曲线的直角坐标方程（普通方程）；（Ⅱ）由已知条件，把的参数方程为参数）代入，得由韦达定理可得：，进一步可计算出的值．试题解析：（Ⅰ）由已知，得，．3分（Ⅱ）把的参数方程代入，得．5分．7分【考点】直线的参数方程与极坐标方程．20.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是 .【答案】.【解析】化圆的方程为直角坐标方程为，化为标准方程为，圆心坐标为，直线的直角坐标方程为，它的一般方程为，故圆的圆心到直线的距离是.【考点】1.极坐标方程与直角坐标方程之间的转化；2.点到直线的距离21.（坐标系与参数方程选做题）圆的极坐标方程为，则圆的圆心的极坐标是.【答案】【解析】圆的圆心为，半径为的圆的极坐标方程为.因为，所以此圆的圆心坐标为.【考点】圆的极坐标方程22.在平面直角坐标系中，过椭圆的右焦点，且与直线（为参数）平行的直线截椭圆所得弦长为．【答案】【解析】椭圆的普通方程为，则右焦点为（1,0）；直线的普通方程为，过（1,0）与直线平行的直线为，由得，所以所求的弦长为.【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.两点间的距离公式和弦长公式.23.以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为：，曲线C2的参数方程为：，点N的极坐标为．（Ⅰ）若M是曲线C1上的动点，求M到定点N的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C1与曲线C2有有两个不同交点，求正数的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）．【解析】分别将极坐标方程与参数方程转化为普通方程，根据点与圆的几何意义求的最小值；根据曲线C1与曲线C2有有两个不同交点的几何意义，求正数的取值范围．试题解析：解：（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，可得点，曲线为圆，圆心为，半径为1，∴=3，∴的最小值为．（5分）（Ⅱ）由已知，曲线为圆，曲线为圆，圆心为，半径为t，∵曲线与曲线有两个不同交点，，解得，∴正数t的取值范围是．（10分）【考点】极坐标与普通方程的互化，参数方程与普通方程的互化．24.以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为：，曲线C2的参数方程为：，点N的极坐标为．（Ⅰ）若M是曲线C1上的动点，求M到定点N的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C1与曲线C2有有两个不同交点，求正数的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）．【解析】分别将极坐标方程与参数方程转化为普通方程，根据点与圆的几何意义求的最小值；根据曲线C1与曲线C2有有两个不同交点的几何意义，求正数的取值范围．试题解析：解：（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，可得点，曲线为圆，圆心为，半径为1，∴=3，∴的最小值为．（5分）（Ⅱ）由已知，曲线为圆，曲线为圆，圆心为，半径为t，∵曲线与曲线有两个不同交点，，解得，∴正数t的取值范围是．（10分）【考点】极坐标与普通方程的互化，参数方程与普通方程的互化．25.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为（）（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）直线： (为参数)过曲线与轴负半轴的交点，求与直线平行且与曲线相切的直线方程【答案】（Ⅰ）、；（Ⅱ）或【解析】(Ⅰ) 利用参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程来求；(Ⅱ)利用点到直线的距离来求试题解析：（Ⅰ）曲线的普通方程为：； 2分由得，∴曲线的直角坐标方程为： 4分(或：曲线的直角坐标方程为： )（Ⅱ）曲线：与轴负半轴的交点坐标为，又直线的参数方程为：，∴，得，即直线的参数方程为：得直线的普通方程为：， 6分设与直线平行且与曲线相切的直线方程为： 7分∵曲线是圆心为，半径为的圆，得，解得或 9分故所求切线方程为：或 10分【考点】参数方程化普通方程、极坐标方程转化为直角坐标方程，考查学生分析问题、解决问题的能力26.已知圆的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．(1)将圆的参数方程化为普通方程，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)圆,是否相交？若相交，请求出公共弦长，若不相交，请说明理由．【答案】（1），；（2）相交，两圆的相交弦长为.【解析】本题考查坐标系与参数方程、极坐标与直角坐标方程的互化，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，利用互化公式将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程；第二问，通过数形结合，利用几何性质求相交弦长.试题解析：（1）由（为参数），得，由，得，即，整理得，. 5分（2）由于圆表示圆心为原点，半径为2的圆，圆表示圆心为，半径为2的圆，又圆的圆心在圆上，由几何性质易知，两圆的相交弦长为. 10分【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标方程与直角坐标方程的互化；3.相交弦问题.27.在直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，则曲线的极坐标方程可写为________________.【答案】或【解析】曲线的标准方程为，令，得到极坐标方程为，也可转化为.【考点】圆的参数方程和极坐标方程.28.已知直线的参数方程为：（为参数），圆的极坐标方程为，那么，直线与圆的位置关系是 ( )A．直线平分圆B．相离C．相切D．相交【答案】D【解析】先把参数方程化为，再把圆的极坐标方程化成，再利用圆心到直线的距离.【考点】1.参数方程；2.极坐标.29.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），曲线的参数方程为，（为参数），试求直线和曲线的普通方程，并求它们的公共点的坐标.【答案】.【解析】因为直线的参数方程为，（为参数），由，得代入得到直线的普通方程为.同理得曲线的普通方程为.联立方程组，解得公共点的坐标为，.【考点】本小题主要考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查转化问题的能力.30.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程是（t为参数）。

曲线的参数方程【学习目标】1. 了解参数方程，了解参数的意义。

2. 能利用参数法求简单曲线的参数方程。

3. 掌握参数方程与普通方程的互化。

4. 能选择适当的参数写出圆和圆锥曲线的参数方程【要点梳理】要点一、参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数，即()...........()x f ty g t=⎧⎨=⎩①，并且对于t的每一个允许值，方程组①所确定的点(,)M x y都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系yx,间的关系的变数t叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程(,)0F x y=，叫做曲线的普通方程。

要点诠释：（1）参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．（2）一条曲线是用直角坐标方程还是用参数方程来表示，要根据具体情况确定．（3）曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系。

要点二、求曲线的参数方程求曲线参数方程的主要步骤：第一步，画出轨迹草图，设M（x，y）是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以便于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标（x，y）都能由参数取某一值唯一地确定出来；例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的有向距离、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程，但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少．二是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．要点诠释：普通方程化为参数方程时，（1）选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．（2）参数的选取不同，得到的参数方程是不同的． 要点三、参数方程与普通方程的互化 1、参数方程化为普通方程（1）把参数方程化为普通方程的基本思想是消去参数，消去参数的常用方法有： ①代入法．先由一个方程求出参数的表达式（用直角坐标变量表示），再代入另一个方程． ②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如：对于参数方程1cos 1sin x a t t y a t t θθ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ+cos 2θ=1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m+n)2－(m －n)2=4mn 消参．③其他方法：加减消参法、乘除消参法、平方和（差）消参法、混合消参法等.要点诠释：注意：一般来说，消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．2、普通方程化为参数方程（1）把曲线C 的普通方程(,)0F x y =化为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系式()x f t =，再代入普通方程求得另一个关系式()y g t =。

高考数学一轮复习 第十二章12.2 参数方程考试要求 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．知识梳理1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t ，并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么此方程就叫做这条曲线的参数方程． 2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α·(x －x 0)⎝⎛⎭⎫α≠π2 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) 抛物线 y 2＝2px (p >0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t 中的x ，y 都是参数t 的函数．( √ )(2)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( √ )(3)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( × )(4)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数且θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2)表示的曲线为椭圆．( × ) 教材改编题1．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1) 答案 C解析 代入法，将方程化为y ＝x －2，但x ∈[2,3]，y ∈[0,1]．2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心坐标为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．3．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，若l 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0交于A ，B两点，且|AB |＝3，则直线l 的斜率为________． 答案 ±1515解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，得y ＝x tan α，设k ＝tan α，得直线的方程为y ＝kx ，由x 2＋y 2－4x ＋3＝0，得(x －2)2＋y 2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径为1， ∴圆心到直线y ＝kx 的距离为 12－|AB |24＝12＝|2k |k 2＋1， 得k ＝±1515.题型一 参数方程与普通方程的互化例1 (2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心为C (2,1)，半径为1. (1)写出⊙C 的一个参数方程；(2)过点F (4,1)作⊙C 的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．解 (1)因为⊙C 的圆心为(2,1)，半径为1，所以⊙C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)．(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x ＝4，此时圆心到直线距离为2>r ，舍去； 当直线斜率存在时，设切线为y ＝k (x －4)＋1，即kx －y －4k ＋1＝0， 故|2k －1－4k ＋1|1＋k 2＝1，即|2k |＝1＋k 2，4k 2＝1＋k 2，解得k ＝±33.故直线方程为y ＝33(x －4)＋1或y ＝－33(x －4)＋1. 故两条切线的极坐标方程为 ρsin θ＝33ρcos θ－433＋1或 ρsin θ＝－33ρcos θ＋433＋1. 即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋5π6＝2－32或ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝2＋32. 教师备选在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值． 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ， 即(x －2)2＋y 2＝4.直线l 的普通方程为x －y ＋25＝0.(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得(2x －2)2＋y 2＝4， 即(x －1)2＋y 24＝1，再将所得曲线向左平移1个单位长度， 得曲线C 1：x 2＋y 24＝1， 则曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设曲线C 1上任一点P (cos θ，2sin θ)， 则点P 到直线l 的距离 d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5sin θ＋φ|2，其中φ满足sin φ＝－55，cos φ＝255， 由三角函数知，当sin(θ＋φ)＝1时，d 取最小值102， 所以点P 到直线l 的距离的最小值为102. 思维升华 消去方程中的参数一般有三种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数． (2)利用三角恒等式消去参数．(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活地选用一些方法从整体上消去参数．跟踪训练1 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，2 5 ]． 题型二 参数方程的应用例2 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．解 (1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，得⎩⎨⎧cos θ＝x 2，sin θ＝y4，所以⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫y 42＝1，即x 24＋y 216＝1， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1. (2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.① 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－42cos α＋sin α1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2. 教师备选(2022·安阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 过点M (1,0)且倾斜角为α.(1)求出直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |||MA |－|MB ||＝33，求cos α的值．解 (1)曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，转换为普通方程为x 22＋y 2＝1；直线l 过点M (1,0)且倾斜角为α，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)代入x 22＋y 2＝1.得到(1＋sin 2α)t 2＋2t cos α－1＝0， 所以t 1＋t 2＝－2cos α1＋sin 2α，t 1t 2＝－11＋sin 2α(t 1和t 2分别为A 和B 对应的参数)，t 1t 2<0，则t 1，t 2异号，||MA |－|MB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|，由|MA |·|MB |||MA |－|MB ||＝33，整理得|t 1＋t 2|＝⎪⎪⎪⎪－2cos α1＋sin 2α＝3|t 1t 2|＝31＋sin 2α，解得cos α＝±32.思维升华 (1)解决直线与曲线的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与曲线的位置关系来解决．(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋ρ2sin 2θ＝2，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)已知点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4，求|P A |·|PB |的值．解 (1)l 的普通方程为x ＋y －1＝0. ∵ρ2＋ρ2sin 2θ＝2， ∴x 2＋y 2＋y 2＝2，即曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.(2)方法一 P ⎝⎛⎭⎫12，12在直线l 上， 直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12－22t ′，y ＝12＋22t ′(t ′为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程得⎝⎛⎭⎫12－22t ′2＋2⎝⎛⎭⎫12＋22t ′2－2＝0，即32t ′2＋22t ′－54＝0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t ′1，t ′2，则 |P A |·|PB |＝|t ′1|·|t ′2|＝|t ′1t ′2|＝56.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，x 2＋2y 2＝2，消去y ，得3x 2－4x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝43.不妨设A (0,1)，B ⎝⎛⎭⎫43，－13， 又P ⎝⎛⎭⎫12，12， 则|P A |＝⎝⎛⎭⎫0－122＋⎝⎛⎭⎫1－122＝22，|PB |＝⎝⎛⎭⎫43－122＋⎝⎛⎭⎫－13－122＝526， |P A |·|PB |＝22×526＝56. 题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用例3 (2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos θ. (1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为(1,0)，M 为C 上的动点，点P 满足AP →＝2AM →，写出P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点． 解 (1)由ρ＝22cos θ，得ρ2＝22ρcos θ， 即x 2＋y 2＝22x ， 整理得(x －2)2＋y 2＝2. (2)设P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x －1，y )，因为AP →＝2AM →，所以AM →＝⎝⎛⎭⎫22x －22，22y ，所以M ⎝⎛⎭⎫22x －22＋1，22y ，因为M 为C 上的动点， 所以⎝⎛⎭⎫22x －22＋1－22＋⎝⎛⎭⎫22y 2＝2， 化简得(x ＋2－3)2＋y 2＝4，即P 点的轨迹C 1的方程为(x ＋2－3)2＋y 2＝4， 化成参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos t －2，y ＝2sin t(t 为参数)， 圆心C 1(3－2，0)，r 1＝2， C (2，0)，r ＝2，因为|3－2－2|<2－2，所以C 与C 1没有公共点． 教师备选(2022·郑州模拟)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，曲线C 的极坐标方程为ρ2()1＋3sin 2θ＝4. (1)写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点A (1,0)，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，PQ 的中点为M ，求|AP |＋|AQ ||AM |的值．解 (1)因为直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22， 故ρcos θ－ρsin θ－1＝0，即直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0， 因为曲线C ：ρ2()1＋3sin 2θ＝4， 则曲线C 的直角坐标方程为x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1. (2)点A (1,0)在直线l 上，设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程得 5t 2＋22t －6＝0.设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1t 2＝－65，t 1＋t 2＝－225，所以M 对应的参数t 0＝t 1＋t 22＝－25，故|AP |＋|AQ ||AM |＝|t 1|＋|t 2||t 0|＝|t 1－t 2||t 0|＝⎝⎛⎭⎫－2252－4×⎝⎛⎭⎫－6525＝8.思维升华 参数方程和极坐标的综合应用涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．跟踪训练3 (2022·石嘴山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α (α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线C 1上的动点，点B 在线段OA 的延长线上且满足|OA |·|OB |＝8，点B 的轨迹为C 2. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)设点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π2，求△ABM 面积的最小值． 解 (1)由曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，消去参数，可得普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0， 又由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入可得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，设点B 的极坐标为(ρ，θ)，点A 点的极坐标为(ρ0，θ0)， 则|OB |＝ρ，|OA |＝ρ0，ρ0＝2cos θ0，θ＝θ0， 因为|OA |·|OB |＝8， 所以ρ·ρ0＝8，即8ρ＝2cos θ，即ρcos θ＝4， 所以曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＝4. (2)由题意，可得|OM |＝2，则S △ABM ＝S △OBM －S △OAM ＝12|OM |·|x B －x A |＝12×2×|4－2cos 2θ|＝|4－2cos 2θ|，即S △ABM ＝4－2cos 2θ，当cos 2θ＝1时，可得S △ABM 的最小值为2.课时精练1．(2020·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t －t 2，y ＝2－3t ＋t 2(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点． (1)求|AB |；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 解 (1)令x ＝0，则t 2＋t －2＝0， 解得t ＝－2或t ＝1(舍去)， 则y ＝2＋6＋4＝12，即A (0,12)． 令y ＝0，则t 2－3t ＋2＝0， 解得t ＝2或t ＝1(舍去)，则x ＝2－2－4＝－4， 即B (－4,0)． ∴|AB |＝0＋42＋12－02＝410.(2)由(1)可知k AB ＝12－00－－4＝3，则直线AB 的方程为y ＝3(x ＋4)， 即3x －y ＋12＝0.由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，直线AB 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ＋12＝0.2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，α∈[0，π))，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)写出曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，若|PQ |＝15，求直线l 的斜率． 解 (1)∵ρ＝4sin θ， ∴ρ2＝4ρsin θ，由ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ， 得x 2＋y 2＝4y .∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α代入x 2＋y 2＝4y ，整理得t 2－2t sin α－3＝0，设P ，Q 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝2sin α，t 1t 2＝－3， ∴|PQ |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝4sin 2α＋12＝15，得sin α＝32，α＝π3或α＝2π3，∴直线l 的斜率为±3.3．(2022·曲靖模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心的极坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π4，半径r ＝ 3. (1)求圆C 的极坐标方程；(2)已知过点P (0,1)且倾斜角为α的直线l 交圆C 于A ，B 两点，且|P A |＋|PB |＝11，求角α. 解 (1)圆心C ⎝⎛⎭⎫2，π4的直角坐标为C (1,1)，圆C 的半径r ＝3， 则圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝3.将公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －1)2＋(y －1)2＝3中，整理得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－1＝0.(2)过点P (0,1)且倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 是参数)，代入圆C 的直角坐标方程(x －1)2＋(y －1)2＝3中整理得t 2－2t cos α－2＝0.设交点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－2<0， 则|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝11， 平方得(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝11， 则4cos 2α＋8＝11，所以cos α＝±32(0≤α<π)，α＝π6或α＝5π6.4．(2022·宝鸡模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋cos α，y ＝3sin θ＋sin α(θ∈R ，α为参数)．(1)求曲线C 1的普通方程并说明曲线C 1的形状；(2)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝0，求曲线C 1的对称中心到曲线C 2的距离的最大值．解 (1)由曲线C 1的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋cos α，y ＝3sin θ＋sin α(θ∈R ，α为参数)可知，⎩⎪⎨⎪⎧x －4cos θ＝cos α，y －3sin θ＝sin α(θ∈R ，α为参数)， 消去参数α得曲线C 1的普通方程为(x －4cos θ)2＋(y －3sin θ)2＝1， ∴曲线C 1是以C 1()4cos θ，3sin θ为圆心，1为半径的圆． (2)将曲线C 2的极坐标方程ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝0， 即ρsin θ－ρcos θ＝0， 化为直角坐标方程为x －y ＝0.曲线C 1的对称中心即为圆心C 1(4cos θ，3sin θ)， ∴曲线C 1的对称中心到曲线C 2的距离 d ＝|4cos θ－3sin θ|2＝|5sinθ－φ|2， 其中φ满足sin φ＝－45，cos φ＝－35，∵－1≤sin(θ－φ)≤1，∴曲线C 1的对称中心到曲线C 2的距离的最大值为522.5．(2022·萍乡模拟)在平面直角坐标系中，P 为曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝sin α(α为参数)上的动点，将P 点的横坐标变为原来的一半(纵坐标不变)得Q 点，记Q 点的轨迹为C 2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)A ，B 是曲线C 2上异于极点的两点，且∠AOB ＝π6，求|OA |－3|OB |的取值范围．解 (1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝sin α化为普通方程为x －224＋y 2＝1，设P 点坐标为(x ，y )，Q 点坐标为(x ′，y ′)，则有x －224＋y 2＝1，x ′＝x2，y ′＝y ，消去x ，y 有(x ′－1)2＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝2x ′，此式即为C 2的普通方程． ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (2)设A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π6⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π3， ∴|OA |－3|OB |＝ρ1－3ρ2 ＝2cos θ－23cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6 ＝3sin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∵θ－π6∈⎝⎛⎭⎫－2π3，π6， ∴|OA |－3|OB |的取值范围是[－2,1)．。

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12。

2 参数方程[基础送分 提速狂刷练]1．(2017·山西太原一模）在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为错误!（其中φ为参数），曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0）与曲线C 1,C 2分别交于点A ，B （均异于原点O ）．（1）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（2）当0<α<错误!时，求|OA ｜2＋|OB |2的取值范围．解 (1）C 1的普通方程为错误!＋y 2＝1，C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋2ρ2sin 2θ－2＝0，C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ。

(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得｜OA |2＝错误!，联立θ＝α（ρ≥0)与C 2的极坐标方程得｜OB ｜2＝4sin 2α，则|OA ｜2＋|OB |2＝错误!＋4sin 2α＝错误!＋4（1＋sin 2α)－4，令t ＝1＋sin 2α，则|OA ｜2＋|OB |2＝错误!＋4t －4，当0〈α<错误!时，t ∈（1，2）．设f (t )＝2t＋4t －4，易得f （t ）在（1，2）上单调递增， ∴|OA |2＋｜OB |2∈（2，5)．2．(2017·辽宁模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为错误!（t 为参数，0〈α〈π)，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ.(1）求曲线C 的直角坐标方程;(2)设点P 的直角坐标为P （2,1)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，并且|PA ｜·｜PB |＝283，求tan α的值． 解 (1）将方程ρsin 2θ＝4cos θ两边同乘以ρ，得 ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得y 2＝4x .经检验，极点的直角坐标(0,0）也满足此式．所以曲线C的直角坐标方程为y2＝4x。

参数方程姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos (2sin x tt y t =⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，直线l 的直角坐标(1)求曲线1C 的极坐标方程；(2)若曲线2C 的极坐标方程为8cos 0ρθ+=，与直线l 在第三象限交于A 点，直线l 与1C 在第一象限的交点为B2.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>;过点(2,4)P --的直线lt 为参数),直线l 与曲线C 分别交于M N 、两点.(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2),求a 的值.3.在直角坐标系xOy 中。

直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN 的面积4.已知直线lt 为参数),以坐标原点为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,椭圆C 且直线l 经过椭圆C 的右焦点F .（1）求椭圆C 的内接矩形PMNQ 面积的最大值; （2）若直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,.5.[选修4—4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,直线l 过点(1,0),倾斜角为α,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程;（2l 与曲线C 交于,A B 两点,求AOB △的面积.6.在极坐标系中,曲线C（1）以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程,R 点的极坐标化为直角坐标;（2）设P 为曲线C 上一动点,以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于x 轴,求矩形PQRS 周长的最小值,及此时P 点的直角坐标. 7.[选修4—4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为224x y +=,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是2cos21ρθ=.（1）求圆O 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程;（2）已知,M N 是曲线C 与x 轴的两个交点,点P 为圆O 上的任意一点,证明.8.在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.直线l 的参数方程为),圆C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数). (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的极坐标方程;(2)已知点()1,0M ,直线l 与圆C 交于,A B 两点,.9. (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.1.将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;2.设点M直线l 与曲线C 的交点为A ,B ,.10.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin (0)a a ρθ=≠． 1.求圆C 的直角坐标系方程与直线l 的普通方程；2.设直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值．11.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（P 为参数），将曲线1C 经过伸缩变换2x xy y '=⎧⎨'=⎩后得到曲线2C ．在以原点为极点，P 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=．（1）说明曲线2C 是哪一种曲线，并将曲线2C 的方程化为极坐标方程；（2）已知点M 是曲线2C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值12.在直角坐标系«Skip Record If...»xOy 中，直线«Skip Record If...»，圆«Skip Record If...»，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12C C «Skip Record If...»的极坐标方程.（2）若直线«Skip Record If...»的极坐标方程为«Skip Record If...»，设«Skip Record If...»的交点为,M N «Skip Record If...»，求«Skip Record If...»的面积.13.在极坐标系中,直线π:cos()26l ρθ-=,圆:2sin C ρθ=。

高三数学参数方程试题答案及解析1.（参数方程与极坐标）已知在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数且），在以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线的极坐标方程为，则曲线与交点的直角坐标为__________．【答案】（2，2）【解析】由曲线的参数方程为（为参数且），消去参数得到曲线的普通方程为：；曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程得；由方程组：解得，（舍去），故曲线与交点的直角坐标为（2，2）．【考点】1．参数方程与普通方程的互化；2．极坐方程与直角坐标方程的互化；３．曲线的交点．2.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位,已知直线的参数方程为（t为参数，），曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程。

（Ⅱ）设直线与曲线C相交于A，B两点，当a变化时，求的最小值【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4【解析】（Ⅰ）将两边乘以得，，将代入上式得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）将将直线的参数方程代入曲线C的普通方程中，整理关于t的二次方程，设M，N两点对应的参数分别为，利用一元二次方程根与系数将，用表示出来，利用直线参数方程中参数t的几何意义得，|AB|=，再转化为关于与的函数，利用前面，关于的表示式，将上述函数化为关于的函数，利用求最值的方法即可求出|AB|的最小值．试题解析：（Ⅰ）由,得所以曲线C的直角坐标方程为（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入,得设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则t 1+t2=,t1t2=,∴|AB|=|t1-t2|==,当时,|AB|的最小值为4 （10分）【考点】极坐标方程与直角坐标互化，直线与抛物线的位置关系，直线的参数方程中参数t的几何意义，设而不求思想3.直线与直线为参数）的交点到原点O的距离是（）A．1B．C．2D．2【答案】C【解析】将直线化普通方程为.解得两直线交点为，此交点到原点的距离为.故C正确.【考点】1参数方程和普通方程间的互化；2两点间的距离公式.4.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【答案】(1)(2)(, ),(2, )【解析】(1)将消去参数t,化为普通方程 , 即C1:.将代入得.所以C1的极坐标方程为.(2)C2的普通方程为 .由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为(, ),(2, )5.已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．设直线与轴的交点是,是曲线上一动点,求的最大值.【答案】【解析】首先将曲线的极坐标方程、直线的参数方程转化为直角坐标方程，可知，曲线是以为圆心，1为半径的圆，由直线的直角坐标方程得，令，可求出点的坐标，则点与圆心的距离可以求，从而可得曲线上的动点与定点的最大值为.试题解析：曲线的直角坐标方程为，故圆的圆心坐标为(0,1)，半径直线l的直角坐标方程, 令,得,即点的坐标为(2,0).从而,所以.即的最大值为。

2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第12章第2讲参数方程含解析第2讲参数方程［考纲解读］了解参数方程及参数的意义，掌握直线、圆及椭圆的参数方程,并能利用参数方程解决问题．(重点、难点）[考向预测]从近三年高考情况来看,本讲是高考中的一个必考点．预测2021年将会考查参数方程与普通方程的互化及直线与椭圆参数方程的应用。

1.曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数错误!错误!，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα（x－x0)错误!（t为参数）圆x2＋y2＝r2错误!（θ为参数）椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）错误!（φ为参数)提醒：直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为:|t｜是直线上任一点M（x，y)到M0（x0,y0）的距离．1．概念辨析（1）直线错误!（t为参数）的倾斜角α为30°。

()（2)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为错误!(t 为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y）为终点的有向线段错误!的数量．(）(3)方程错误!表示以点（0,1)为圆心，以2为半径的圆．()(4)已知椭圆的参数方程错误!（t为参数)，点M在椭圆上,对应参数t＝错误!，点O为原点,则直线OM的斜率为错误!。

(）答案(1）√(2)√(3)√（4）×2．小题热身（1）若直线的参数方程为错误!（t为参数），则直线的斜率为________．答案－32解析因为错误!所以3x＋2y＝7，因此直线的斜率为－错误!.（2)椭圆错误!（θ为参数)的离心率为________．答案错误!解析将｛x＝5cosθ消去参数θ，得椭圆错误!＋错误!＝1。