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二项式定理复习总结一、二项式定理的定义和公式推导1.定义：二项式定理是指对于任意实数a、b及非负整数n，有以下公式成立：(a+b)ⁿ=C(n,0)*aⁿ*b⁰+C(n,1)*aⁿ⁻¹*b¹+C(n,2)*aⁿ⁻²*b²+...+C(n,n-1)*a¹*bⁿ⁻¹+C(n,n)*a⁰*bⁿ其中，C(n,r)表示组合数，即从n个元素中选取r个元素的组合数。
2.公式推导：利用组合数的性质，可以对二项式定理进行推导。
首先，根据组合数的性质C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)，可以得到以下关系式：C(n,0)=1C(n,n)=1C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)(r=1,2,...,n-1)将上述关系式代入二项式定理的公式中，可以得到：(a+b)ⁿ=C(n,0)*aⁿ*b⁰+C(n,1)*aⁿ⁻¹*b¹+C(n,2)*aⁿ⁻²*b²+...+C(n,n-1)*a¹*bⁿ⁻¹+C(n,n)*a⁰*bⁿ二、二项式定理的应用1.求二项式展开式：利用二项式定理，可以将一个数的n次方展开成多个项的和。
这在计算复杂的多项式、计算高次方等问题时非常有用。
例如，将(x+y)⁶展开，可以直接利用二项式定理的公式进行计算：(x+y)⁶=C(6,0)*x⁶*y⁰+C(6,1)*x⁵*y¹+C(6,2)*x⁴*y²+C(6,3)*x³*y³+C(6 ,4)*x²*y⁴+C(6,5)*x¹*y⁵+C(6,6)*x⁰*y⁶将组合数代入并进行计算，最终可以得到(x+y)⁶的展开式。
2.计算排列组合问题：二项式定理中的组合数C(n,r)可以表示从n 个元素中选取r个元素的组合数，因此可以应用于计算排列组合问题。
例如，班有10个学生，要从中选择5个学生组成一个小组，求不同小组的个数。
第十章第三讲二项式定理(理)课前预习：教科书选修2-3P 26-30 总结杨辉三角形结论【知识梳理】1、二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝；(2)通项公式：T r＋1＝它表示第项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2、二项展开式形式上的特点(1)项数为_____.(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为_____.(3)字母a按_____排列，从第一项开始，次数由n逐项减小1直到零；字母b按_____排列，从第一项起，次数由零逐项增加1直到n.3、二项式系数的性质（1）对称性：与首末等距离的两个二项式系数相等，即（0≤k≤n）（2）增减性：二项式系数C k n，当k＜n＋12(n∈N*)时，是的当k＞n＋12(n∈N*)时，是的（3）二项式系数最大值：当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项与取得最大值（4）各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝_，C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝.【重要结论】1．二项式定理中，通项公式T k＋1＝C k n a n－k b k是展开式的第k＋1项，不是第k项．2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk＋1＝C kna n－kb k中，C kn是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关．(2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关．当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．1考点一 通项公式及其应用角度1 求二项展开式中的特定项或项的系数【例1】(2018·全国Ⅲ卷)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80201·____(___o _)c s 612019a dx axx π⎰【变式】茂名模拟已知＝，则(ax+)展开式中，常数项为．角度2 求(a+b)m (c+d)n二项展开式中的特定项或项的系数【例2】(2017·全国Ⅰ卷)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为( )A.15B.20C.30D.35【变式1】 (2019·信阳二模)(x 2＋1)⎝⎛⎭⎫1x －25的展开式的常数项是( ) A.5 B.－10C.－32D.－42【变式2】(2017·全国Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．80【变式3】(2019·山东枣庄二模)若(x 2－a)(x ＋1x)10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A ．13B ．12 C ．1 D ．2【规律方法】：角度3 求形如(a ＋b ＋c)n三项展开式中特定项【例3】(2015·全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y)5的展开式中，x 5y 2的系数为( )A ．10B ．20C ．30 D．60(2018)10【变式2】江苏无锡期末 2321()(·2)()22019x A 20B 0C D x x+-陕西黄陵中学模拟展开【式中的系数为 ．．-2．1变】5式1．-153【变式2】(2018·河南鹤壁)(x －y)(x ＋2y ＋z)6的展开式中，x 2y 3z 2的系数为( )A ．－30 B ．120 C ．240 D ．420【变式3】 (2019·山西太原模拟)(2x ＋1x －1)5的展开式中常数项是______.【规律方法】考点二 二项式系数与各项的系数问题【例4】(2019·烟台模拟)已知⎝⎛⎭⎫x 3＋2x n的展开式的各项系数和为243，则展开式中x 7的系数为( ) A.5 B.40 C.20 D.10【变式1】(2019·湘潭三模)若(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 9x 9，x ∈R ， 则a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29的值为( ) A.29 B.29－1 C.39D.39－1【变式2】(2018·沈阳质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9， 且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39， 则实数m 的值为________.【变式3】（2010江西高三质检）若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n 等于( )A.34(3n －1) B.34(3n －2) C.32(3n －2) D.32(3n －1)规律方法 ：考点三 二项式定理的综合应用1、 (2019·马鞍山二模)二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( ) A.3B.5C.6D.72、(2018·四川仁寿模拟)在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( ) A ．15 B ．45 C ．135 D ．4053、 (2019·江西联考)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．－87C ．1D ．874、（2019潍坊模拟）设a ∈Z ，0≤a<13，若512019＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．125、(2018河南师大附中)已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－ (2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( ) A ．39 B ．310 C ．311 D ．312 【课后练习】1、在(1－3x )7＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 6的展开式中，若x 2的系数为19，则a ＝________. 2、若(2＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 3的展开式中的常数项为a ，则⎠⎛0a (3x 2－1)d x ＝________.3、(2019·福建厦门联考)在⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 201810的展开式中，x 2的系数为( ) A ．10 B ．30 C ．45 D ．1204、在⎝⎛⎭⎪⎫2＋x －x 2018201712的展开式中x 5的系数为________．5。
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
二项式定理复习（配答案）Ltt一、 知识梳理1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0nC ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n mn nC C -=）． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2nnC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC-，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++ ，令1x =，则0122n r n n n n n nC C C C C =++++++ 二、 例题讲解1.展开(a+2b)5；并求第三项；第三项的二项式系数；第三项的系数。
解析：第三项的二项式系数，第三项系数40.2.数11100－1的末尾连续出现零的个数是（ ）A ．0B ．3C ．5D ．7【解析】11100－1＝（10＋1）100－1＝0100C ×10100＋1100C ×1099＋…＋99100C ×10＋1－1＝0100C ×10100＋1100C ×1099＋…＋99100C ×10，末尾连续出现3个零．【答案】B3. (1)求展开式中x 3的系数；(2)求展开式中第四项的二项式系数及系数；(3)求展开式中的有理项；(4)求展开式中x 3的系数。
第3讲二项式定理1．二项式定理的内容(1)(a＋b)n＝01C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n b n(n∈N*).(2)第r＋1项，T r＋1＝02C r n a n－r b r.(3)第r＋1项的二项式系数为03C r n(r＝0,1，…，n).2．二项式系数的性质(1)0≤r≤n时，C r n与C n－r的关系是04相等.(2)二项式系数先增后减，中间项最大，且n为偶数时，第05n2＋1项的二项式系数最大，最大为06C n2n，当n为奇数时，第07n－12＋1或n＋12＋1项的二项式系数最大，最大为08C n－12n或Cn＋12n.(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋...＋C n＝092n，C0n＋C2n＋C4n＋ (102)－1，C1n＋C3n＋C5n＋…＝112n－1.1．注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题．2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同．3．切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念．1．(2020·东莞调研测试)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1x26的展开式的常数项为( )A ．±15B ．15C ．±20D ．－20答案 B解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1x26的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x2r＝C r 6·(－1)r ·x 6－3r.令6－3r ＝0，求得r ＝2，∴展开式的常数项是C 26＝15，故选B. 2．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24答案 A解析 解法一：(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为1×C 34＋2C 14＝12.故选A. 解法二：∵(1＋2x 2)(1＋x )4＝(1＋2x 2)(1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋x 4)，∴x 3的系数为1×4＋2×4＝12.故选A.3．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6答案 B解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＝8.4．(2020·海南模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －134x 6的展开式的中间项为()A ．－40B ．－40x 2C ．40D ．40x 2答案 B解析⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －134x 6的展开式的中间项为C 36(2x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－134x 3＝－40x 2.5．设(5x －x )n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，M －N ＝240，则展开式中x 3的系数为( )A ．500B ．－500C ．150D ．－150答案 C解析 由题意可得N ＝2n ，令x ＝1，则M ＝(5－1)n ＝4n ＝(2n )2.∴(2n )2－2n ＝240,2n ＝16，n ＝4.展开式中第r ＋1项T r ＋1＝C r 4·(5x )4－r·(－x )r＝(－1)r·C r 4·54－r·x 4－r2.令4－r 2＝3，得r ＝2，∴展开式中x 3的系数为C 24·52·(－1)2＝150. 6．(2019·浙江高考)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 .答案 162 5解析 由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r ·x r ，r ∈N ，0≤r ≤9，当为常数项时，r ＝0，T 1＝C 09·(2)9·x 0＝(2)9＝162.当项的系数为有理数时，9－r 为偶数，可得r ＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.考向一 求展开式中的特定项或特定项系数例1 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为( ) A ．153 B ．－153 C ．17 D ．－17答案 C解析 T r ＋1＝C r 18x 18－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13r C r 18·x 18－32r ，令18－32r ＝15，解得r ＝2，所以含x 15的项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－132C 218＝17.(2)若(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13 B ．12C ．1D ．2答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4的系数为C 310；令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6的系数为C 210，所以(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2.故选D.(3)(2020·全国卷Ⅱ)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋2x 6的展开式中常数项是 (用数字作答)．答案 240解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋2x 6展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(x 2)6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x r＝C r 62r ·x 12－3r .令12－3r ＝0，解得r ＝4，所以⎝⎛⎭⎪⎪⎫x2＋2x 6的展开式中常数项是C 46·24＝15×16＝240.求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将T r ＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r .(3)代回通项公式得所求．1.(2021·新高考八省联考)(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )9的展开式中x 2的系数是( )A ．60B ．80C ．84D ．120答案 D解析 (1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )9的展开式中x 2的系数是C 2＋C 23＋C 24＋…＋C 29，因为C m －1n ＋C m n ＝C m n ＋1且C 2＝C 3，所以C 2＋C 23＝C 3＋C 23＝C 34，所以C 2＋C 23＋C 24＝C 34＋C 24＝C 35，以此类推，C 2＋C 23＋C 24＋…＋C 29＝C 39＋C 29＝C 310＝10×9×83×2×1＝120.故选D.2．(2020·全国卷Ⅰ)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．20答案 C解析 (x ＋y )5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r y r (r ∈N 且r ≤5)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y2x (x＋y )5展开式的项可表示为xT r ＋1＝x C r 5x5－r y r＝C r 5x6－r y r或y2x T r ＋1＝y2xC r 5x 5－r y r ＝C r 5x 4－r y r＋2.在xT r ＋1＝C r 5x 6－r y r 中，令r ＝3，可得xT 4＝C 35x 3y 3＝10x 3y 3，该项中x 3y 3的系数为10，在y2x T r ＋1＝C r 5x 4－r y r ＋2中，令r ＝1，可得y2x T 2＝C 15x 3y 3＝5x 3y 3，该项中x 3y 3的系数为5，所以x 3y 3的系数为10＋5＝15.故选C.3．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫ax －x 29的展开式中x 3的系数为94，则a ＝ .答案 4 解析 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a x－x 29的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a x 9－r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－x 2r＝(－1)r ·a 9－r·2－r 2·C r 9·x 32r －9.令32r －9＝3，得r ＝8，则(－1)8·a ·2－4·C 89＝94，解得a ＝4.多角度探究突破考向二 二项式系数与各项的系数问题 角度1 二项展开式中系数的和例2 (1)若二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x2－2x n 的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( )A ．－1B ．1C ．27D ．－27答案 A解析 由题意，得C 0n ＋C 1n ＋…＋C n ＝2n ＝8，即n ＝3， 所以⎝⎛⎭⎪⎪⎫x2－2x 3的展开式的系数之和为(1－2)3＝－1，故选A.(2)(多选)(2020·泰安三模)若(1－2x )2020＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 2020x 2020(x ∈R )，则( )A ．a 0＝1B ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝32019＋12C ．a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2020＝32020＋12D.a12＋a222＋a323＋…＋a202022020＝－1 答案 ACD解析 由题意，当x ＝0时，a 0＝12020＝1，当x ＝1时，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2020＝(－1)2020＝1，当x ＝－1时，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2019＋a 2020＝32020，所以a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2019＝－32020－12，a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2020＝32020＋12，a12＋a222＋…＋a202022020＝a 1×12＋a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋…＋a 2020×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122020，当x ＝12时，0＝a 0＋a 1×12＋a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋…＋a 2020×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122020，所以a 1×12＋a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋…＋a 2020×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122020＝－a 0＝－1.赋值法的应用(1)对形如(ax ＋b )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1.(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1. (3)一般地，对于多项式(a ＋bx )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令g (x )＝(a ＋bx )n ，则(a ＋bx )n的展开式中各项的系数和为g (1)，(a ＋bx )n的展开式中奇数项的系数和为12[g (1)＋g (－1)]，(a ＋bx )n的展开式中偶数项的系数和为12[g (1)－g (－1)]．4.若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝( )A ．0B ．1C ．32D ．－1答案 A解析 由(1－x )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r C r 5x r ，可得a 1，a 3，a 5为负数，a 0，a 2，a 4为正数，故有|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(1－1)5＝0.故选A.5．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x 2的系数为 .答案 90解析 令x ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3x n ＝4n ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和为4n ，又二项式系数和为2n，所以4n 2n＝2n ＝32，解得n ＝5.二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x r ＝C r 53r x 5－32r ，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90. 角度2 二项式系数的最值问题例3 (1)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 B解析 由题意，得a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1， 则13C m 2m ＝7C m 2m ＋1，∴错误!＝错误!，∴错误!＝13，解得m ＝6，经检验m ＝6为原方程的解，故选B.(2)二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( )A ．3B ．5C ．6D ．7答案 D解析根据⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20，∴⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 20·(3x )20－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝(3)20－r·C r 20·x 20－4r3，要使x 的指数是整数，需r 是3的倍数，∴r ＝0，3,6,9,12,15,18，∴x的指数为整数的项共有7项．故选D.求二项式系数最大项(1)如果n 是偶数，那么中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫第⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n 2＋1项的二项式系数最大．(2)如果n 是奇数，那么中间两项⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫第n ＋12项与第⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．6.已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29答案 D解析 因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，所以根据二项式系数和的相关公式可知，奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.7．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋2x2n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．180B ．120C ．90D ．45答案 A解析 由只有第6项的二项式系数最大，可知n ＝10，于是展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10(x )10－r ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x2r ＝2rC r 10·x 5－5r 2，令5－5r 2＝0，得r ＝2，所以展开式中的常数项是22C 210＝180.故选A.角度3 项的系数的最值问题例4 (1)(2021·承德摸底)若(1＋2x )6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A.112<x <15B ．16<x <15C.112<x <23D ．16<x <25答案 A解析 ∵错误!∴错误!即错误!<x <错误!.(2)若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x3＋1x2n 的展开式中只有第6项系数最大，则不含x 的项为( )A ．210B ．10C ．462D ．252答案 A解析 ∵只有第6项系数最大，且其项的系数为二项式系数，∴n 的值是10.展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x 3(10－r )x －2r ＝C r 10x 30－5r ，令30－5r ＝0，得r ＝6，故不含x 的项为T 7＝C 610＝210.求展开式系数最大项如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧Ak≥Ak－1，Ak≥Ak＋1，从而解出k 来．8.(2020·宜昌高三测试)已知(x 23＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比值为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．解 令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n . 又展开式中二项式系数和为2n ， ∴22n2n ＝2n ＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)设展开式中第k ＋1项的系数最大，则由T k ＋1＝C k 5(x 23)5－k(3x 2)k＝3kC k 5x10＋4k 3，得⎩⎪⎨⎪⎧3kCk 5≥3k－1Ck －15，3kCk5≥3k＋1Ck ＋15，∴72≤k ≤92，∴k ＝4，∴第5项系数最大，即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(x 23)(3x 2)4＝405x 263.考向三 二项式定理的应用例5 (1)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512020＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12答案 D解析 由于51＝52－1，(52－1)2020＝C 020********－C 12020522019＋…－C 20192020521＋1，又13能整除52，所以只需13能整除1＋a ，0≤a <13，a ∈Z ，所以a ＝12.(2)0.9910的第一位小数为n 1，第二位小数为n 2，第三位小数为n 3，则n 1，n 2，n 3分别为( )A ．9,0,4B ．9,4,0C ．9,2,0D ．9,0,2 答案 A解析 0.9910＝(1－0.01)10＝C 010×110×(－0.01)0＋C 10×19×(－0.01)1＋C 210×18×(－0.01)2＋…＝1－0.1＋0.0045＋…≈0.9045.二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n 不很大，|x |比较小时，(1＋x )n ≈1＋nx .9.1－90C 10＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 10除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87答案 B解析 1－90C 10＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 10＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 10×889＋…＋C 910×88＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.10．1.028的近似值是 (精确到小数点后三位)． 答案 1.172解析 1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18×0.02＋C 28×0.022＋C 38×0.023≈1.172.二项式定理破解三项式问题1．(2020·柳州摸底)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60答案 C解析 由二项展开式通项易知T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，对于二项式(x 2＋x )3，由T t ＋1＝C t 3(x 2)3－t ·x t ＝C t 3x 6－t ，令t ＝1，所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.2.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式中的常数项为 (用数字作答)． 答案6322解析 解法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋22x ＋22x 5＝132x5·[(x ＋2)2]5＝132x5(x ＋2)10.求原式的展开式中的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5项的系数，即C 510·(2)5.所以所求的常数项为错误!＝错误!.解法二：要得到常数项，可以对5个括号中的选取情况进行分类： ①5个括号中都选取常数项，这样得到的常数项为(2)5.②5个括号中的1个选x 2，1个选1x ，3个选2，这样得到的常数项为C 1512C 14C 3(2)3.③5个括号中的2个选x 2，2个选1x ，1个选2，这样得到的常数项为C 25⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122C 232.因此展开式的常数项为(2)5＋C 1512C 14C 3(2)3＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122C 232＝6322.答题启示二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．对点训练1．(x 2－x ＋1)10的展开式中x 3的系数为( ) A ．－210 B ．210 C ．30 D ．－30答案 A解析 (x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 10(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)9＋C 10(x －1)10，所以展开式中x 3的系数为－C 910C 89＋C 10(－C 710)＝－210.故选A.2.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋1x2－23的展开式中x 2的系数是 (用数字作答)．答案 15解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x2＋1x2－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1x 6，所以T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x r ＝C r 6(－1)r x 6－2r，令6－2r ＝2，解得r ＝2，所以展开式中x 2的系数是C 26(－1)2＝15.一、单项选择题1．(2020·河北保定期末)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －1x 6的展开式中，有理项共有( ) A ．1项 B ．2项 C ．3项 D ．4项答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·(－1)r ·36－r ·x 6－32r ，令6－32r 为整数，求得r ＝0,2,4,6，共计4项．2．(2020·广东普宁一中期末)若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x6＋1x x n(n 为正整数)的展开式中含有常数项，则n 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x6＋1x x n 的展开式的通项公式为C r n (x 6)n －r ·(x －32)r ＝C r n x 6n －152r ，r ＝0,1,2，…，n ，则依题设，由6n －152r ＝0，得n ＝54r ，∴n 的最小值为5.故选C.3．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x2－1x n的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x 项的系数是( )A ．－84B ．－14C ．14D ．84答案 A解析 由二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x2－1x n 的展开式中所有二项式系数的和是128，得2n ＝128，即n ＝7，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x2－1x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x2－1x 7，则T r ＋1＝C r 7·(2x 2)7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·27－r ·C r 7·x 14－3r.令14－3r ＝－1，得r ＝5.∴展开式中含1x项的系数是－4×C 57＝－84.故选A.4．在(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ∈N *)的展开式中一次项系数为( ) A ．C 2n B ．C 2n ＋1 C ．C －1n D ．12C 3n ＋1答案 B解析 1＋2＋3＋…＋n ＝错误!＝C 错误!.5．(2020·济宁二模)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12x 6(x ＋3)的展开式中，常数项为( )A ．－152B ．152C ．－52D ．52答案 A解析 原式＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12x 6＋3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12x 6 ①，而⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12x 6的通项公式为T k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12kC k 6x6－2k，当6－2k ＝－1时，k ＝72∉Z ，故①式中的前一项不会出现常数项，当6－2k＝0，即k ＝3时，可得①式中的后一项的常数项乘以3即为所求，此时原式常数项为3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123C 36＝－152.故选A.6．设n 为正整数，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －2x3n 的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为( )A ．－112B ．112C ．－60D ．60答案 B解析 依题意，得n ＝8，所以展开式的通项公式T r ＋1＝C r 8x 8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2x3r ＝C r 8x 8－4r(－2)r ，令8－4r ＝0，解得r ＝2，所以展开式中的常数项为T 3＝C 28(－2)2＝112.故选B.7．若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40答案 D解析 令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －1x 5的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r .令5－2r ＝1，得r ＝2.令5－2r ＝－1，得r ＝3.∴展开式的常数项为(－1)2×23×C 25＋(－1)3×22×C 35＝80－40＝40.8．已知(2x －1)4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，则a 2＝( ) A ．18 B ．24 C ．36 D ．56答案 B解析 (2x －1)4＝[1＋2(x －1)]4，故a 2(x －1)2＝C 24[2(x －1)]2＝4C 24(x －1)2，a 2＝4C 24＝24.9．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n ＝( )A ．63B ．64C ．31D ．32答案 A解析 逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n ＝(1＋2)n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n ＝26－C 0n ＝63.故选A.10．(2020·德州二模)(x 2－x －a )5的展开式的各项系数和为－32，则该展开式中含x 9项的系数是( )A ．－15B ．－5C ．5D ．15答案 B解析 ∵(x 2－x －a )5的展开式的各项系数和为－32，令x ＝1，可得(12－1－a )5＝－32，故(－a )5＝－32，解得a ＝2，故(x 2－x －a )5＝(x 2－x －2)5＝(x －2)5·(x ＋1)5.设(x －2)5展开式的通项公式为T i ＋1＝C i 5x 5－i (－2)i ，(x ＋1)5展开式的通项公式为M r ＋1＝C r 5x 5－r 1r，则(x －2)5(x ＋1)5展开式中含x 9项，即C i 5·x 5－i ·(－2)i ·C r 5·x 5－r ·1r ＝C i 5·C r 5·(－2)i ·x 5－r·x 5－i ＝C i 5·C r 5·(－2)i ·x 10－i －r 中x 的幂是9，故10－i －r ＝9，可得i ＋r ＝1，又∵0≤i ≤5，0≤r ≤5且i ，r ∈N ，可得⎩⎪⎨⎪⎧i ＝0，r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧i ＝1，r ＝0.当⎩⎪⎨⎪⎧i ＝0，r ＝1时，C i 5·C r 5·(－2)i ·x 10－i －r ＝C 05·C 15·(－2)0·x 9＝5x 9；当⎩⎪⎨⎪⎧i ＝1，r ＝0时，C i 5·C r 5·(－2)i ·x 10－i －r ＝C 15·C 05·(－2)1·x 9＝－10x 9.该展开式中含x 9项的系数为－10＋5＝－5.故选B.二、多项选择题11．(2020·济南模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1x 6的展开式中，下列说法正确的有( )A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为0C ．常数项为20D ．二项式系数最大的项为第4项 答案 ABD解析 所有项的二项式系数和为26＝64，故A 正确；令x ＝1得所有项的系数和为(1－1)6＝0，故B 正确；常数项为C 36x 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 3＝－20，故C 错误；展开式有7项，二项式系数最大的项为第4项，故D 正确．故选ABD.12．(2020·南京调研)已知(2＋x )(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则( )A ．a 0的值为2B ．a 5的值为16C ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6的值为－5D ．a 1＋a 3＋a 5的值为120答案 ABC解析 对于A ，令x ＝0，得a 0＝2×1＝2，故A 正确；对于B ，(1－2x )5的展开式的通项公式T r ＋1＝C r 5(－2x )r ＝(－2)r C r 5x r ，所以a 5＝2×(－2)5C 5＋1×(－2)4C 45＝－64＋80＝16，故B 正确；对于C ，令x ＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6 ①，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝－3－a 0＝－3－2＝－5，故C 正确；对于D ，令x ＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6 ②，由①②解得a 1＋a 3＋a 5＝－123，故D 不正确．综上所述，选ABC.三、填空题13．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝ . 答案 3解析 设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，①令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.14．(2020·济南模拟)设(1－ax )2020＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2020x 2020，若a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2020a 2020＝2020a (a ≠0)，则实数a ＝ .答案 2解析 已知(1－ax )2020＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2020x 2020，两边同时对x 求导，得2020(1－ax )2019·(－a )＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋2020a 2020x 2019，令x ＝1得，－2020a (1－a )2019＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2020a 2020＝2020a ，又a ≠0，所以(1－a )2019＝－1，即1－a ＝－1，故a ＝2.15．(2020·上海浦东新区摸底)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则n ＝ ，展开式中的第五项为 .答案 8 358x 解析 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中，前三项的二项式系数之和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝1＋n ＋错误!＝37，则n ＝8，故展开式中的第五项为C 错误!·错误!x ＝错误!x .16．S ＝C 127＋C 27＋…＋C 27除以9的余数为 .答案 7解析 依题意S ＝C 127＋C 27＋…＋C 27＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 9－1＝9×(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2.∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是正整数，∴S 被9除的余数为7.四、解答题17．已知(x －3x )n 的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512.(1)求展开式中的所有有理项；(2)求(1－x )3＋(1－x )4＋…＋(1－x )n 的展开式中x 2的系数． 解 (1)∵(x －3x )n 的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512，∴2n －1＝512＝29，∴n －1＝9，解得n ＝10.∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r (－3x )r ＝(－1)r C r 10x 10－r 2＋r 3 ＝(－1)rC r 10x 5－r 6(r ＝0,1，…，10)． 由5－r6∈Z ，得r ＝0,6.∴展开式中的所有有理项为T1＝C010x5＝x5，T7＝C610x4＝210x4.(2)展开式中x2的系数为C23＋C24＋…＋C210＝(C34－C3)＋(C35－C34)＋…＋(C311－C310)＝C311－C3＝164.。
高三一轮复习《二项式定理》考纲考点：1、掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和证明2、会用二项式的通项公式求展开式中的指定项3、能用二项式定理证明组合恒等式及解决某些关于数的整除问题。
重、难点：二项式定理和性质的应用，求展开式中的指定项。
考情分析：二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活但比较基础，高考对二项式定理的考查，多为选择题、填空题，注意二项式定理在近似计算中的应用。
考查的内容以二项式展开式及通项公式运用为主，要注意展开式的通向公式正、反两个方面的应用：（1）直接运用通项公式求特定项或特定项的系数或与系数有关的问题；（2）需用转化思想化归为二项式问题来处理的问题。
⒈二项展开式(a+b) n = 。
⒉二项展开式的通项：T r+1= . T r+1表示第r+1项⒊二项式系数为0n C ，1n C ，2n C ，…，r n C ，…，n n C .其性质有：⑴m n n m n C C -=；⑵r n r n C r r n C 11+-=+； ⑶0n C +1n C +2n C +……+n n C =2 n ；（4） +++=+++531420n n n n n n C C C C C C = 。
（5）当n 是偶数时， 的二项式系数最大；当n 是奇数时， 的二项式系数相等且最大。
⒋在运用二项式定理解题时，要注意下列问题：⑴展开式的通项是第r+1项，不是第r 项；⑵要区分展开式中某一项．与项的系数．．，区分某一项的系数．．．．．．与二项式系数．．．．．； ⑶注意(a −b) n 展开式中各项的符号；⑷二项式定理对任何实数a 、b 都成立，应注意赋值法的应用.题型一、求二项展开式中的指定项和相关系数的问题（1）18)31(x x -的展开式中含15x 的项的系数为 。
（2）)()24(6R x x x ∈--的展开式中的常数项为 。
（3）设=+++++=-11102121221021,)1(a a x a x a x a a x 则 。
二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的； 第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 跟踪训练1.在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++x x (x ＞0)的展开式中的常数项为________.考点二 二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( ) A.63x B.4x C.4x 6x D.4x或4x 6x(2)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解题技法] 1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如： (1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可. (2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A.1B.243C.121D.1222.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.3.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三二项展开式的应用例、设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列. (1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。
高考数学总复习考点知识专题讲解专题9 二项式定理知识点一 二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，展开式中一共有n ＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数． 知识点二 二项展开式的通项(a ＋b )n 展开式的第k ＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝C k n an －k b k . 【例1】（2023•上海）设423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则04a a +=．【例2】（2022•上海）二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n =．【例3】（2021•浙江）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =；234a a a ++=．知识点三二项展开式的通项 求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【例4】（2022•新高考Ⅰ）8(1)()y x y x-+的展开式中26x y 的系数为（用数字作答）．【例5】（2022•天津）523)x 的展开式中的常数项为．【例6】（2023•驻马店期末）若7102910012910(2)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x +-=+-+-+⋯⋯+-+-，则5a =．【例7】（2023•海淀区模拟）已知5()x a +的展开式为5432543210p x p x p x p x p x p +++++，若3415p p -=，则a =．知识点四余数和整除的问题利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．【例8】（2022秋•杨浦区校级期末）504除以17的余数为．【例9】（2023•沈阳模拟）若20232023012023(1)x a a x a x +=++⋯+，则0242022a a a a +++⋯+被5除的余数是．【例10】（2022•多选•庆阳期末）下列命题为真命题的是() A ．61()x x -展开式的常数项为20B ．1008被7除余1 C ．61()x x-展开式的第二项为46x -D ．1008被63除余1知识点五 二项式系数的性质1.对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －mn2.增减性与最大值 增减性：当k <n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k >n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的． 最大值：（1）当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C n n最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12C n n-，12C n n+相等，且同时取得最大值（2）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (3)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项． 3.各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －14.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可，对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.【例11】（2022•北京）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024(a a a ++=) A ．40B ．41C ．40-D ．41-【例12】（2023•新乡开学）若二项式*(2()n x n N∈的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中2x 项的系数为() A ．1120-B ．1792-C ．1792D ．1120【例13】（2023•慈溪市期末）若二项式*(12)()n x n N +∈的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是() A ．3448x B ．41120x C ．51792x D ．61792x【例14】（2022秋•葫芦岛期末）设n ∈N +，化简=+++-12321666n n n n n n C C C C （ ）A ．7nB ．C ．7n ﹣1D ．6n ﹣1【例15】已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|；(3)a 1＋a 3＋a 5.(4)a 0＋a 2＋a 4；(5)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (6)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.【例16】（2023•泰州期末）若6652360136()x y a y a xy a x y a x +=++⋯++⋯+，则220246135()()a a a a a a a +++-++的值为()A ．0B ．32C ．64D ．128【例17】（2023•静安区期末）在23(3)nx x -+的二项展开式中，533r n r n rnC x--称为二项展开式的第1r +项，其中0r =，1，2，3，⋯，n ．下列关于23(3)nx x -+的命题中，不正确的一项是()A ．若8n =，则二项展开式中系数最大的项是1426383C xB ．已知0x >，若9n =，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x 的取值范围是3540()3x <…C ．若10n =，则二项展开式中的常数项是44103C D ．若27n =，则二项展开式中x 的幂指数是负数的项一共有12项 【例18】（2023秋•泰兴市月考）设*n N ∈，0101(1)(1)(2)(2)n n n n n x a a x a x b b x b x =+-++-=+-++-，则()A ．001132n n n n b a b a b a -+-++-=-B ．0101012()nn nb b b a a a a a a +++=+++ C ．0101111()211n n a a a a a a n n +++=+++++D ．21201(1)4()4n n n n b b n b a a a ++++=+++【例19】（2023•江宁区期末）二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉，由二项式定理可得：0122*1111(1)(,),1n nn m mn n n n n n C C x C x C x x n N x R C C m n -+++++=+∈∈=+等，则012111231nn n n n C C C C n ++++=+．【例20】（2022•玄武区期末）在231(1)(1)(1)n x x x +++++⋯++的展开式中，含2x 的系数是n a ，8a =；若对任意的*n N ∈，*n N ∈，20n n a λ⋅-…恒成立，则实数λ的最小值是．【例21】（2019•江苏）设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，4n …，*n N ∈．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1n a =+a ，*b N ∈，求223a b -的值．同步训练1.（2021•上海）已知二项式5()x a +展开式中，2x 的系数为80，则a =．2.（2021•上海）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为．3．（2020•浙江）二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则4a =，135a a a ++=．4．（2020•新课标Ⅲ）262()x x+的展开式中常数项是（用数字作答）．5．（2020•天津）在522()x x+的展开式中，2x 的系数是．6.（2023•郫都区模拟）已知921001210(1)(1)x x a a x a x a x --=+++⋯+，则8a =45-．7.（2020•新课标Ⅰ）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为()A ．5B ．10C ．15D ．208.（2023•湖北模拟）51(1)(12)x x+-的展开式中，常数项是() A ．9-B ．10-C ．9D ．109.（2023•曲靖模拟）已知4520222023(1)(12)(12023)(12022)x x x x -++++-展开式中x 的系数为q ，空间有q 个点，其中任何四点不共面，这q 个点可以确定的直线条数为m ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p ，则(m n p ++=) A ．2022B ．2023C ．40D ．5010.（2023•徐汇区期末）1002被9除所得的余数为() A ．1B ．3C ．5D ．711.已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．12（2023•河源期末）5(21)x y --的展开式中含22x y 的项的系数为() A ．120-B ．60C ．60-D ．3013.（2023•怀化期末）已知10111012n n C C =，设2012(23)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，下列说法：①2023n =，②20233n a =-，③0121n a a a a +++⋯+=，④展开式中所有项的二项式系数和为1．其中正确的个数有() A ．0B ．1C ．2D ．314（2023•青原区期末）若28(1)(1)ax x x -+-的展开式中含2x 的项的系数为21，则(a =) A ．3-B ．2-C ．1-D ．115.（2023•常熟市月考）今天是星期五，经过7天后还是星期五，那么经过1008天后是()A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六16.（2023•南海区月考）已知012233222281n n n nn n n C C C C C +++++=，则123nn n n n C C C C ++++等于()A ．15B ．16C ．7D ．817.（2022•浙江）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =，12345a a a a a ++++=．。
高中数学二项式定理知识梳理与题型归纳知识点梳理一、定理内容nn n r r n r n n n n n n n n b b a b a b a a b a C C C C C )(222110+⋯++⋯+++=+---二、基本概念 ①二项式展开式等式右边的多项式叫作(a +b )n 的二项展开式. ①二项式系数展开式中各项的系数中的)210(C n r rn ，，，，⋯=. ①项数展开式第r +1项，是关于a ，b 的齐次多项式. ①通项展开式的第r +1项，记作)210(C 1n r b a T rr n r n r ，，，，⋯==-+. 三、几个提醒①项数展开式共有n +1项. ①顺序注意正确选择a 与b ，其顺序不能更改，即：(a +b )n 和(b +a )n 是不同的. ①指数a 的指数从n 到0, 降幂排列；b 的指数从0到n ,升幂排列；各项中a ，b 的指数之和始终为n .①系数正确区分二项式系数与项的系数；二项式系数指各项前面的组合数；项的系数指各项中除去变量的部分（含二项式系数）. ①通项通项)210(C 1n r b a T rr n r n r ，，，，⋯==-+是指展开式的第r +1项. 四、常用结论令a =1，b =x ，有：nn n r r n n n n n x x x x x C C C C C )1(2210+⋯++⋯+++=+令a =1，b =-x ，有：n n n n r r n n n n n x x x x x C )1(C C C C )1(2210-+⋯++⋯-+-=+由此可得贝努力不等式.当x >-1时，有： n ≥1时，(1+x )n ≥1+nx ; 0≤n ≤1时，(1+x )n ≤1+nx .（贝努力不等式常用于函数不等式证明中的放缩） 五、几个性质①二项式系数对称性展开式中，与首末两项等距的任意两项二项式系数相等.rn n r n -=C C①二项式系数最大值展开式的二项式系数nn r n n n n C C C C C 210，，，，，，⋯⋯中，最中间那一项（或最中间两项）的二项式系数最大.即：n 为偶数时，最大二项式系数为2C nn；n 为奇数时，最大二项式系数为21C-n n，21C+n n.①二项式系数和二项展开式中，所有二项式系数和等于2n ，即：nn n n n n 2C C C C 210=+⋯+++.奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即：15314202C C C C C C -=⋯+++=⋯+++n n n n n n n . （注：凡系数和问题均用赋值法处理） ①杨辉三角中的二项式系数r n r n r n 11C C C +-=+题型归纳一、求二项展开式【例1】求413⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式.方法一：()()()()224443342224314404411254108811C 13C 13C 13C 3C 13x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+方法二：5411210881)3(C )3(C )3(C )3(C )3(C )13(1322244134224314404244++++=++++=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx x x x x x x x x x x x x二、求展开式的指定项在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式)210(C 1n r b aT rr n r n r ，，，，⋯==-+，然后依据条件先确定r 的值，进而求出指定的项. 【例2】求613⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式的常数项.解：由)210(C 1n r b a T rr n r n r ，，，，⋯==-+得： ()()rr rr rrrr x x xT 2666661)1(3C 13C ----+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=因此6-2r =0，则r =3，故常数项为5403C 3636-=--.说明：凡二项展开式中指定项的问题，均直接使用通项公式处理.【例3】在二项式nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+3241的展开式中倒数第3项的系数为45，求x 3的项的系数.解：由条件知45C 2=-n n，即45C 2=n ，n 2-n -90=0解得n =-9（舍去）或n =10. 由r r r rrr r x x x T 3241010321041101C C +----+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，由题意332410=+--r r ，解得r =6. 则含有x 3的项是第7项3361016210C x x T ==+，系数为210.说明：对于位置指定的展开项问题，要注意用原式，底数中项的顺序不得随意调整. 【例4】求(x -1)-(x -1)2+(x -1)3-(x -1)4+(x -1)5的展开式中x 2的系数.解：由(x -1)n 得通项rr n r n r x T )1(C 1-=-+.则所求项的系数为20)1(C )1(C )1(C C 2352241302-=-+---+-.【例5】求()56)12(1-+x x 的展开式中x 6项的系数.解：()61+x 的通项为()rrx -66C ，(2x -1)5的通项为s ss x )1()2(C 56--.则展开式的通项为()221655655662C C )1()1()2(C C sr ss r sss rr xx x -----•-=-•.由62216=--sr ，得r +2s =4，解得⎩⎨⎧==20s r ，⎩⎨⎧==12s r 或⎩⎨⎧==04s r . 故x 6的系数为6402C C 2C C 2C C 505464152632506=••+••-••.说明：积的展开式问题，一般分别计算两个因式的通项.。
二项式定理知识点总结二项式定理专题一、二项式定理：二项式定理是一个重要的恒等式，它表示了任意实数a,b 和正整数n之间的关系。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下恒等式成立：a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b +。
+ C(n,n-1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是n个元素中取k个元素的方案数。
右边的多项式叫做(a+b)的二项式展开式，其中各项的系数C(n,k)叫做二项式系数。
二项式定理的理解：1）二项展开式有n+1项。
2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n。
3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立。
通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
例如，当a=1，b=x时，有以下恒等式成立：1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)*x +。
+ C(n,n-1)*x^(n-1) +C(n,n)*x^n4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式(a+b)展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式(a+b)^n。
二、二项展开式的通项公式：二项展开式的通项公式是指，二项式展开式中第k+1项的系数C(n,k)的公式。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下通项公式成立：T(k+1) = C(n,k)*a^(n-k)*b^k其中，T(k+1)表示二项式展开式中第k+1项的系数。
通项公式体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心。
它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用。
三、二项展开式系数的性质：在二项式展开式中，二项式系数具有以下性质：①对称性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C(n,0) = C(n,n)。
