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秘密★启用前 试卷类型：A2022届高三模拟考试数 学 试 题 2022．3本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合R ==∈A y y x x {|2cos ,}，满足B A 的集合B 可以是A ．−[2,2]B ．−[2,3]C ．−[1,1]D ．R2．命题“Z ∀n ，Q n ”的否定为A ．Z ∀n ，Q nB ．Q ∀n ，Z nC ．Z n，Q nD ．Z n，Q n3．设z 1，z 2是方程x x 102在复数范围内的两个解，则A．−=z z ||12B．=z ||1C ．+=z z 112D ．=z z 1124．下图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的25%分位数为 A ．66.5 B ．67C ．67.5D ．685．在长方形ABCD中，=AB =AD 2，点M 满足AMMC ，点N 满足NC DN 2，则MN ACA ．1B ．0.5C ．3D ．1.56．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点−(3,4)，则=α2tanA ．−21或2B ．2C ．−31或3D ．37．已知双曲线−=>>a ba b x y 1(0,0)2222的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为双曲线在第二象限上的一点，B 关于坐标原点O 的对称点为C ，直线CA 与直线BF 的交点M 恰好为线段BF 的中点，则双曲线的离心率为A ．2B ．3C D8．已知=−⨯a 5log 922log 65，=+b log 6log 25530，+=b b c 51213，则A ．<<c b aB ．<<b c aC ．<<a c bD ．<<a b c二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知正数a ，b 满足+=a b 122，则A ．+a bB ．ab 的最大值是21C ．−a b 的最小值是−1D ．−b a 2的最小值为−310．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件=R 1“第一次摸到红球”，事件=R 2“第二次摸到红球”，=G “两次都摸到绿球”， =R “两个球中有红球”， 则 A ．<P R P R ()()1B ．=+P R P R P R ()()()12C ．<−P G P R ()1()D ．+=+P G R P G P R ()()()22A11．如图，平行六面体ABCDA B C D 1111中，以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60，则 A ．AC 61B ．AC BD 1C ．四边形BDD B 11的面积为2D ．平行六面体ABCD A B C D 111112．已知椭圆E ：+=x y 43122，过椭圆E 的左焦点F 1的直线l 1交E 于A ，B 两点（点A 在x 轴的上方），过椭圆E 的右焦点F 2的直线l 2交E 于C ，D 两点，则 A ．若=AF F B 211，则l 1的斜率=k 2B ．+AF BF ||4||11的最小值为427C ．以AF 1为直径的圆与圆+=x y 422相切D ．若⊥l l 12，则四边形ADBC 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数=+−f x x a x ()ln(e 1)是偶函数，则实数a 的值为 ．14．如图，等腰△PAD Rt 与矩形ABCD 所在平面垂直， 且===PA PD AB 2，则四棱锥−P ABCD 的外接球的表面积为 ．15．已知随机变量X ～B (6,0.8)，若=P X k ()最大，则+=D kX (1) ． 16．已知函数=>ωωf x x ()2sin (0)在−44[,]ππ3上单调递增， 且直线=−y 2与f x ()的图象在−,0]π[2上有且仅有一个 交点，则实数ω的取值范围是 . （用区间．．表示）A 1E 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知R =−∈+λλS n n 2()1是等比数列a n {}的前n 项和．(1) 求λ及a n ； （2）设=+a b a nn n log 12，求b n {}的前n 项和T n ． 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且b a B B C2sin sin ．求：(1) A ； （2）b a c的取值范围．19．（本小题满分12分）已知正方体ABCD A B C D 1111中，点E ，F 分别是棱AA 1，A D 11的中点，过点D 1作出正方体ABCDA B C D 1111的截面，使得该截面平行于平面BEF ．（1）作出该截面与正方体表面的交线，并说明理由；（2）求BD 1与该截面所在平面所成角的正弦值．截面：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形．20．（本小题满分12分）已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．（1）如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测．已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是12，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率．（2）假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为12，选择两个选项的概率为13，选择三个选项的概率为16．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记X 表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求： ①(0)P X =；②X 的分布列及数学期望．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，动点G 到点(4,0)F 的距离比到直线60x 的距离小2， （1）求G 的轨迹的方程；（2）设动点G 的轨迹为曲线C ，过点F 作斜率为1k ,2k 的两条直线分别交C 于M ,N 两点和P ,Q 两点，其中122k k ．设线段MN 和PQ 的中点分别为A ,B ，过点F 作FD AB ，垂足为D ．试问：是否存在定点T ， 使得线段TD 的长度为定值．若存在，求出点T 的坐标及定值；若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数()e sin x f x x a x =−（a ∈R ）．（1）若[0,π]x ∀∈，()0f x ，求a 的取值范围； （2）当59a −时，试讨论()f x 在(0,2π)内零点的个数，并说明理由．2022届高三模拟考试数学试题参考答案及评分标准 2022．3一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．CDDC ABBC二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．ABD 10．AD 11．ABD 12．BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2 14．12π 15．24 16．1[4，2]3四、解答题：本题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分）．解：由12n n S λ+=-，得14a λ=-． ················································· 1分 当2n 时，11(2)(2)2n n n n n n a S S λλ+-=-=---=． ····························· 3分 于是，14a λ=-，24a =，38a =． ·················································· 4分 由1a ，2a ，3a 成等比数列，得2132a a a =，即(4)816λ-⋅=．解得2λ=． ·················································································· 5分 当2λ=时，1122a ==．又2n 时，2n n a =．可见，当2λ=时，{}n a 为等比数列．2λ=即为所求，且2nn a =．·········· 6分 （2）211log 2n n n n b a n a =+=+． ································································· 7分 211111(1)(2)[(1)]()2222nn nT n n2111()(12)222nn ··················································· 8分 111(1)1(1)2221122212n nn n n n． ········································· 10分18．解：（1）由b a B B C2sinsin 及B C A π得B A B A 2sin sinsin sin π，即B A B A2sin cos sin sin ．······················ 2分 因为B sin 0，所以A A 2cossin ，即A A A222cos 2sin cos ． 又A 22(0,)π，A 2cos0，所以A 22sin1． ····································· 3分 所以A26π，即A 3π． ································································ 4分 （2）由正弦定理，得b B ac A Csin sin sin ····················································· 5分BB sin 33sinsin()π2π ············································ 6分BB B sin 233(sin cos cos sin )π2π2 ·························· 8分B B 2sin 231cos 1 ··············································· 9分 B B B 222sin cos222311(12sin )2B222tan 31················· 10分 因为B30π2，所以B230π,所以B 20tan3， ·························· 11分所以B 2222tan 1131．所以b a c 的取值范围是2(,1)1． ················ 12分19．（1）设G ，H 分别是棱BC ，CC 1的中点，顺次连接D 1，A ，G ，H ，则四边形D AGH 1即为所求的截面． ······································································ 2分理由如下：因为点G ，H 分别是棱BC ，CC 1的中点，故BC GH 1．又BC D A 11，所以D A GH 1．而两平行直线确定一个平面，所以四边形1D AGH 为平面图形． ··············· 3分 因为点E ，F 分别是棱1AA ，11A D 的中点， 故1D AEF ． ·································· 4分又1D A 平面BEF ，EF平面BEF ，所以1D A 平面BEF ． ···················· 5分因为EB AB AE ，1111D H D C HC ，11AB D C ，1AE HC ，所以1EBD H ．又E ，B ，1D ，H 不共线，所以1EB D H ． ····································· 6分又1D H 平面BEF ，EB 平面BEF ，所以1D H平面BEF ． ··············· 7分 又111D AD H D ，1D A 平面1D AGH ，1D H平面1D AGH ，所以平面1D AGH平面BEF ． ························································· 8分（2）解法1：建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ．不妨设正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，则(2,2,0)B ，1(0,0,2)D ，(2,0,0)A ，(0,2,1)H ． ························· 9分故1(2,0,2)AD ，1(0,2,1)HD ．设平面1AGHD 的一个法向量为(,,)x y z m ， 则110,0,AD HD m m 即220,20.x z y z令2z，可得(2,1,2)m ．····························································· 10分 又1(2,2,2)BD , 所以11123cos ,9||||323BD BD BD m m m ．故BD 1． ································ 12分 解法2：BD 1与该截面所在平面所成角的正弦值，即BD 1与平面BEF 所成角的正弦值．建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ．设正方体ABCDA B C D 1111的棱长为2，则B (2,2,0)，D (0,0,2)1，E (2,0,1)，F (1,0,2)．······························· 9分 故BE (0,2,1)，EF (1,0,1)．设平面BEF 的一个法向量为m x y z (,,)，则m m EF BE 0,0,即x z y z 0.20,令z2，可得m (2,1,2)．····························································· 10分 又BD (2,2,2)1, 所以m m m BD BD BD 323||||9cos ,23111． 故BD 1与平面BEF，即BD 1与该截面所在平面所成角的正弦值为9． ······················································································· 12分 20．（1）解：记事件A 为“题目答对了”，事件B 为“知道正确答案”，则=P A B (|)1，=P A B 4(|)1，==P B P B 2()()1． ······························································· 2分 由全概率公式，=+=⨯+⨯P A P B P A B P B P A B 2248()()(|)()(|)1=1115． ········ 4分所求概率为====⨯P A P A P B A P BA P B P A B 8()()55(|)2()()(|)411． ·························· 6分 注：计算概率值时，给出公式占1分，代入数据并给出正确结果占1分．（2）设事件A i 表示小明选择了i 个选项，i 1,2,3．C 表示选到的选项都是正确的． ············································································································ 7分解法1： 由互斥事件的概率加法公式，123(0)()()()P X P A C P A C P A C ==++112233()(|)()(|)()(|)P A P C A P A P C A P A P C A =++241111125(1)1223C 636=⨯+⨯-+⨯=； ········································· 8分 111111(2)()()(|)224P X P AC P A P C A ====⨯=； ····································· 9分 22224111(5)()()(|)3C 18P X P A C P A P C A ====⨯=． ································ 10分 随机变量的分布列为·································· 11分 25117()025364189E X =⨯+⨯+⨯=． ··················································· 12分 解法2：设事件表示小明选择了个选项，．表示选到的选项都是正确的．··································································································· 7分111111(2)()()(|)224P X P AC P A P C A ====⨯=； ····································· 8分 22224111(5)()()(|)3C 18P X P A C P A P C A ====⨯=． ································· 9分 1125(0)1(5)(2)118436P X P X P X ==-=-==--=． ······························ 10分 下同解法1. 21．（本小题满分12分）（1） 因为动点G 到点(4,0)F 的距离比到直线60x 的距离小2，所以点G 到点(4,0)F 的距离和它到直线4x 的距离相等， ··················· 1分 点G 的轨迹是以(4,0)F 为焦点，以直线4x为准线的抛物线． ············· 2分设抛物线方程为y px 22p (0)．由p24，得p 8．所以G 的轨迹的方程为y x 162． ······················································· 4分 （2）由题意，直线MN 的方程为y k x (4)1．由题意k 01，k 02，且k k 12． 由y k x y x 416()12 消去y 并整理得k x k x k (816)1601112222． 该方程的判别式k =256(1)0112．设M x y (,)11，N x y (,)22， 则k k x x k 81681611221212，k k x x y k y 4)16(4)(1112121． 所以k k A (4,)88112．········································································· 6分 同理k k B (4,)88222．AB 的斜率k k k k k k k k k AB (4)(4)88882122122112． ··········· 7分 直线AB 的方程为k k k k y x k k (4)881211212 k k k k x k k (4)8121212x k k 2(4)412． ··················· 8分 下分两种方法：法1： 直线AB 的方程为y x k k 2(4)412． 可见直线AB 过定点E (4,4)． ····· 9分 又FD AB ，所以点D 在以EF 为直径的圆x y (4)(2)422上． ·········· 11分 故存在定点T (4,2)，使得线段TD 的长度为定值2．········································ 12分法2： 由题意，直线FD 的方程为k k y x (4)212． 令t k k 212，则直线AB ：y tx t 44，直线FD ：t yx (4)1． 联立t y x y tx t (4),144,得t t y x t 1.444122 所以点t D t 44(12，t 1)42． ·································································································· 10分 消去参量t ，可得x y y (4)4022，即x y (4)(2)422． ··········· 11分 所以点D 在以(4,2)为圆心，半径为2的圆上．故存在定点T (4,2)，使得线段TD 的长度为定值2． ···························· 12分22．（1）解：=+-'f x x a x x ()(1)e cos ． ······················································ 1分 ① 若a 0，当∈x ]π[0,时，-a 0，x sin 0，=+--f x x a x a x x ()e ()sin ()sin 0， 当且仅当=x 0时取等号．可见，a 0符合题意． ······································ 2分② 若<a 01，当∈x 2[0,]π时，+--'f x x a x a ()(1)e cos 100； 当∈x 2]π(,π时，<x cos 0，=++⋅->'f x x a x x ()(1)e (cos )0． 可见，当∈x ]π[0,时，'f x ()0，当且仅当=a 1，且=x 0时取等号．所以f x ()在]π[0,上单调递增，所以=f x f ()(0)0． 所以<a 01符合题意． ······································································ 4分 ③ 若>a 1，因为=+y x x(1)e 在]π[0,上单调递增，=-y a x cos 在]π[0,上单调递增，所以=+-'f x x a x x ()(1)e cos 在]π[0,上单调递增． ··································· 5分 或：若>a 1，当∈x ]π[0,时，x sin 0，=+++>''f x x a x x x x ()(2)e sin (2)e 0，所以=+-'f x x a x x ()(1)e cos 在]π[0,上单调递增． ··································· 5分又=-<'f a (0)10，=+>'f 22()(1)e 0ππ2π，由零点存在定理及'f x ()的单调性， 存在唯一的∈x 2(0,)π0，使得='f x ()00．当∈x x (0,)0时，<=''f x f x ()()00，f x ()单调递减，所以<=f x f ()(0)0．可见，>a 1不符合题意． ···································································· 6分 综上，a 的取值范围是-∞(,1]． ···························································· 7分（2）① 若-a 590，由（1），∈x (0，]π时，>f x ()0，f x ()在]π(0,内无零点． 当∈x )π,2π(时，-<x 1sin 0，<-x 0sin 1，-a x a sin ，=->+>->⨯-=>f x x a x a x e 3e 593 2.7590.0490π()e sin 33π．可见，若-a 590，f x ()在)π(0,2内无零点． ··································· 9分 ② 若<a 01，由（1），∈x (0，]π时，>f x ()0，f x ()在]π(0,内无零点． 当∈x )π,2π(时，->x sin 0，=+->>f x x a x x x x ()e (sin )e 0．可见，若<a 01，f x ()在)π(0,2内无零点． ········································ 10分 ③ 若>a 1，由（1），存在唯一的∈x 2(0,)π0，当∈x x (0,)0时，<=''f x f x ()()00， f x ()单调递减；当∈x x )π(,0时，>=''f x f x ()()00，f x ()单调递增．又=f (0)0，所以<=f x f ()(0)00．又=>f e 0π)π(π，由零点存在定理及f x ()的单调性，存在唯一的∈x x )π(,10，使得=f x ()01．可见，f x ()在]π(0,内存在唯一的零点．当∈x )π,2π(时，<x sin 0，->a x sin 0，所以=->>f x x a x x x x ()e sin e 0．可见，f x ()在)π(0,2有且仅有1个零点． ·············································· 11分 综上所述，若-a 591，f x ()在)π(0,2内无零点；若>a 1，f x ()在)π(0,2内有且仅有1个零点． ······················································································ 12分。
20正视图侧视图808080山东省高考数学仿真模拟试题及答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 设全集I 是实数集R ，{|ln(2)}M x y x ==-与3{|0}1x N x x -=≤-差不多上I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为（ ） （A ）{2}x x < （B ）{21}x x -≤< （C ）{12}x x <≤（D ）{22}x x -≤≤2.i 是虚数单位，已知(2)5i z i -=，则z =（ ）（A ） i 21+ （B ）i 21-- （C ）i 21- （D ）i 21+- 3．△ABC 中，︒=∠==30,1,3B AC AB ，则△ABC 的面积等于（ ）A ．23 B ．43 C ．323或 D ．4323或 4．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率 ( ) A ．4B ．41C ．－4D ．－145.某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的三面护墙，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为（制作过程合板的损耗和合板厚度忽略不计）( ) A. 240000cm B. 240800cmC. 21600(2217)cm +D. 241600cm6．已知10<<<<a y x ，y x m a a log log +=，则有( )A 0<mB 10<<mC 21<<mD 2>m7.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的y 等于（ ）A ．7B ．15C ．31D ．638．已知7722107)21(x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-，那么=+++++765432a a a a a a ( )A ．－2B ．2C ．－12D ．129．已知函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f ，其导函数)(x f '的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为( )A ．)421sin(2)(π+=x x fB ．)421sin(4)(π+=x x fC ．)4sin(2)(π+=x x fD ．)4321sin(4)(π+=x x f10．从抛物线x y 42=上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为 （ ）A ．5B ．10C ．20D ．1511．若实数x ，y 满足不等式11,02240+-=⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤-≥x y y x y x y ω则的取值范畴是（ ）A ．]31,1[-B ．]31,21[-C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2,21 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21 12．设函数()f x 的定义域为R ，且(2)(1)()f x f x f x +=+-，若(4)1f <-，3(2011)3a f a +=-，则a 的取值范畴是（ ） A. (－∞, 3) B. (0, 3)C. (3, +∞)D. (－∞, 0)∪(3, +∞)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请直截了当在答题卡上相应位置填写答案. 13．两曲线x x y y x 2,02-==-所围成的图形的面积是________。
山东省（新高考）2021届高三第二次模拟考试卷数 学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，{}(,)1B x y y x =>+，则AB 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．()31i +=（ ） A ．22i --B ．22i -+C ．22i +D ．22i -3．已知直线m ，n ，平面α，β，n αβ=，m α∥，m n ⊥，那么“mβ”是“αβ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设约束条件15122y x y x y x ⎧⎪≤+⎪≤-+⎨⎪⎪≥-+⎩，则1y x +的最大值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．45．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ） A ．300种B ．240种C ．144种D ．96种6．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()6f x f x +-=，当0x >时，()223f x x x =--+，若()350f m -≤，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．(],3-∞D ．[)3,+∞7．在ABC △中，点M 是AB 的中点，23AN AC =，线段CM 与BN 交于点O ，动点P 在BOC △内部活动（不含边界），且AP AB AN λμ=+，其中λ、μ∈R ，则λμ+的取值范围是（ ）A ．3411,8⎛⎫⎪⎝⎭ B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．111,8⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭8．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数从小到大组成数列{}n a ，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列{}n b ，把数{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，则下列说法正确的是（ ）A ．122a b c +=B ．824b a c -=C ．228b c =D ．629a b c =二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．以下四个命题表述正确的是（ ）A ．直线()()34330m x y m m ++-+=∈R 恒过定点()3,3--B ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:20l x y -+=的距离都等于1C ．曲线221:20C x y x ++=与曲线222:480C x y x y m +--+=恰有三条公切线，则4m = D ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点()1,210．在ABC △中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号B ．存在ABC △满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC △为钝角三角形D ．若π2C >，则22sin sin sin C A B >+11．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，A 、B 、C 、D 四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（ ） A ．A 地：中位数为2，极差为5B ．B 地：总体平均数为2，众数为2C ．C 地：总体平均数为1，总体方差大于0D ．D 地：总体平均数为2，总体方差为312．已知函数222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则下列结论正确的是（ ） A ．121x x +=- B ．341x x =C ．412x <<D ．123401x x x x <<第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线22:143x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()4,3M ，则12F MF ∠的角平分线所在直线的斜率为______．14．对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x "是()f x '的导数，若方程()0f x "=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若()3211533212f x x x x =-+-，则函数()f x 的对称中心为________，1234201820192019201920192019f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．15．函数()cos 22f x x x =，x ∈R ，有下列命题：①()y f x =的表达式可改写为2cos 2π3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②直线π12x =是函数()f x 图象的一条对称轴； ③函数()f x 的图象可以由函数2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到； ④满足()f x ≤x 的取值范围是3πππ,124πx k x k k ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ．其中正确的命题序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）16．在棱长为的正四面体A BCD -中，点,E F 分别为直线,AB CD 上的动点，点P 为EF 中点，Q 为正四面体中心（满足QA QB QC QD ===），若PQ =EF 长度为_________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知222sin sin sin sin sin B A C A C --=． （1）求B ；（2）若3b =，当ABC △的周长最大时，求它的面积．18．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知1π3BCC ∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：BC ⊥平面1ABC ； （2）求二面角11A B E A --的余弦值．19．（12分）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的．魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹．通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为333⨯⨯的正方体结构，由26个色块组成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒．（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下数据：x（天）1234567y（秒）99994532302421现用y ax=+作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y约为多少秒(精确到1) ? 参考数据（其中1iizx=）71i iiz y=∑z72217iiz z=-⨯∑184.50.370.55参考公式：对于一组数据()11,u v，()22,u v，…，(),n nu v，其回归直线ˆˆˆv a uβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni iiniiu v nuvu nuβ==-=-∑∑，ˆˆa v uβ=-．（2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面．某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90︒，记顶面白色色块的个数为X，求X的分布列及数学期望()E X．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别为,A B ，P 为直线2y =上的动点，当点P 位于点()1,2时，ABP △的面积1ABP S =△，椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点1F 的最1． （1）求椭圆C 的方程；（2）连接,PA PB ，直线,PA PB 分别交椭圆于,M N （异于点,A B ）两点，证明：直线MN 过定点．21．（12分）已知正三角形ABC ，某同学从A 点开始，用擦骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动．设掷骰子n 次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为：()n P A ，()n P B ，()n P C ，例如：掷骰子一次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为()10P A =，()112P B =，()112P C =． （1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到A ，B ，C 处的概率()3P A ，()3P B ，()3P C ；22．（12分）已知函数()()211ln 2f x x a x a x =-++． （1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()()22ln 12xg x e a x a x f x =-++--，若()g x 在[]1,2内有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．数 学答 案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】依题意()()()()()()(){}1,7,2,6,3,5,4,4,5,3,6,2,7,1A =， 其中满足1y x >+的有()1,7，()2,6，()3,5， 所以()()(){}1,7,2,6,3,5AB =，有3个元素，故选B ．2．【答案】B【解析】()()()()321i 1i 1i 2i 1i 22i +=++=+=-+，故选B ． 3．【答案】C 【解析】若mβ，过直线m 作平面γ，交平面α于直线m '，∵m α∥，∴m m '∥， 又mβ，∴m β'⊥，又∵m α'⊂，∴αβ；若αβ，过直线m 作平面γ，交平面α于直线m '，∵m α∥，∴m m '∥， ∵m n ⊥，∴m n '⊥， 又∵αβ，n αβ，∴m β'⊥，∴m β⊥， 故“mβ”是“αβ”的充要条件，故选C ．4．【答案】D【解析】画出约束条件15122y x y x y x ⎧⎪≤+⎪≤-+⎨⎪⎪≥-+⎩所表示的平面区域，如图所示，设目标函数110y y z x x ++==-，则1y x +-表示平面区域内一动点到定点(0,1)M -连线的斜率，结合图象可得，取点A 时，能使得z 取得最大值，又由1122y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得25(,)33A ， 所以1y x +的最大值为5134203+=-，故选D ． 5．【答案】B【解析】分两步：首先从4人中选1人去巴黎游览，共有14C 4=种， 其次从剩余5人中选3人到其它三个城市游览，共有35A 60=种，共有1345C A 240=种，故选B ． 6．【答案】B【解析】令0x <，则0x ->，()223f x x x -=-++，因为()()6f x f x +-=，所以()2236f x x x -++=，()223x x x f =-+，即当0x <时，()223x x x f =-+，取0x =，则()()006f f +=，()03f =，当0x <时，()()222312f x x x x =-+=-+，此时()0f x ≤无解；当0x =时，()03f =，此时()0f x ≤无解； 当0x >时，()()222314f x x x x =--+=-++， 若()0f x ≤，则()2140x -++≤，解得1≥x ，故()350f m -≤，即351m ，解得2m ≥， 实数m 的取值范围为[)2,+∞，故选B ． 7．【答案】D【解析】如下图所示，连接BP 并延长交AC 于点G ，设NG mAN =，PG nBG =，则102m <<，01n <<， ()1AG m AN=+，()()()11AP AG GP m AN nGB m AN n AB AG=+=++=++-()()()111m AN nAB nAG m AN nAB n m AN =++-=++-+ ()1m mn n AN nAB =+--+，又AP AB AN λμ=+，n λ∴=，1m mn n μ=+--，()111m mn m n λμ∴+=+-=-+，102m <<，011n <-<，则()1012m n <-<， 即()31112m n <-+<，即312λμ<+<，因此，λμ+的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭，故选D ．8．【答案】C【解析】根据题意数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，23(1)31n a n n =+-=-； 数列{}n b 是首项为2，公差为5的等差数列，25(1)53n b n n =+-=-；数列{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，故数列{}n c 是首项为2，公差为15的等差数列，215(1)1513n c n n =+-=-．对于A ，1222539a b +=+⨯-=，21521317c =⨯-=，122a b c +≠，错误； 对于B ，8258332132b a -=⨯--⨯+=，41541347c =⨯-=，824b a c -≠，错误； 对于C ，225223107b =⨯-=，815813107c =⨯-=，228b c =，正确；对于D ，()()62361523119a b =⨯-⨯⨯-=，915913122c =⨯-=，629a b c ≠，错误， 故选C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．【答案】BCD【解析】对于选项A ：由()()34330m x y m m ++-+=∈R 可得()33430m x x y +++-=，由303430x x y +=⎧⎨+-=⎩，可得33x y =-⎧⎨=⎩，所以直线恒过定点()3,3-，故选项A 不正确；对于选项B ：圆心()0,0到直线:0l x y -+=的距离等于1，圆的半径2r，平行于:0l x y -+=且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切， 故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，故选项B 正确；对于选项C ：由22120C :x y x ++=，可得()2211x y ++=，圆心()11,0C -，11r =，由222480C :x y x y m +--+=，可得()()2224200x y m -+-=->，圆心()22,4C ，2r由题意可得两圆相外切，所以1212C C r r =+，1=4m =，故选项C 正确；对于选项D ：设点P 坐标为(),m n ，所以142m n+=，即24m n +=， 因为PA 、PB 分别为过点P 所作的圆的两条切线，所以CA PA ⊥，CB PB ⊥， 所以点,A B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的方程为222222m n x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理可得220x y mx ny +--=，与已知圆22:4C x y +=相减可得4mx ny，消去m ，可得()424n x ny -+=，即()2440n y x x -+-=，由20440y x x -=⎧⎨-=⎩，可得12x y =⎧⎨=⎩，所以直线AB 经过定点()1,2，故选项D 正确， 故选BCD ． 10．【答案】ACD【解析】对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >， 故A 选项正确；对于B 选项，由πA B +<，则πA B <-，且(),π0,πA B -∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误； 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos π2A B ⎛⎫-<⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减，此时：若π02A <<，则π2A B ->，则π2A B +<，于是π2C >； 若π2A >，则πcos cos 2A B ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则π2A B ->，于是π2A B >+，故C 选项正确； 对于D 选项，由π2C >，则π2A B +<，则ππ022A B <<-<，sin y x =在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是πsin sin 2A B ⎛⎫<-⎪⎝⎭，即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B =+=+>⋅+⋅22sin sin A B =+，所以D 选项正确， 故选ACD ． 11．【答案】AD【解析】对A ，因为A 地中位数为2，极差为5，故最大值不会大于257+=．故A 正确； 对B ，若B 地过去10日分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，则满足总体平均数为2，众数为2， 但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B 错误；对C ，若C 地过去10日分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，则满足总体平均数为1，总体方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C 错误；对D ，利用反证法，若至少有一天疑似病例超过7人，则方差大于()2182 3.6310⨯-=>，与题设矛盾，故连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故D 正确， 故选AD ． 12．【答案】BCD【解析】由()f x 函数解析式可得图象如下：∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即12x =或2， ∴341122x x <<<<， 而34()()f x f x =，知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=，∴341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈，故选BCD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1【解析】由题意知，C 的半焦距7c =，()17,0F -，()27,0F ，故()221473227MF =++=+，()222473272MF =-+=-．设12F MF ∠的角平分线与x 轴交于(),0N x ，由角平分线定理可知1122NF MF NF MF =7277272x =--，解得1x =， 即()1,0N ，故12F MF ∠的角平分线所在直线的斜率30141MN k -==-，故答案为1． 14．【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭，2018 【解析】因为()3211533212f x x x x =-+-，所以()23f x x x ='-+，()21f x x "=-， 由()0f x "=，即210x -=，解得12x =，3211111153123222212f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由题中给出的结论，所以函数()f x 的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭． 所以11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ，即()()12f x x +-=． 故12018220192019f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22017220192019f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32016220192019f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， …，20181220192019f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以123420181201920192019202201819201982201f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⨯=⎭⨯，故答案为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，2018． 15．【答案】①④【解析】π()cos 222cos(2)3f x x x x ==+，故①正确；当π12x =时，ππ()2cos 0122y f ===，故②错误；因为函数2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到ππ)2sin 2(2sin(2)63y x x =-=-，而ππ2sin(2)2cos(2)33x x -≠+，故③错误；由()3f x ≤可得π2cos(2)33x +≤，解得π3cos(2)3x +≤， 所以ππ11π2π22π,636k x k k +≤+≤+∈Z ，解得3πππ,124πk x k k -+≤≤+∈Z ， 故④正确， 故答案为①④． 16．【答案】26【解析】将正四面体放在棱长为4的正方体中，则AB CD ⊥，Q 为正方体的中心， 设,M N 分别是,AB CD 的中点，则Q 是MN 的中点，MN AB ⊥，MN CD ⊥， 连接EN ，设EN 的中点为S ，连接,,QS SP PQ ， 因为QS 是NME △的中位线，所以//QS ME ，12QS ME =， 同理//SP NF ，12SP NF =， 因为AB CD ⊥，所以ME NF ⊥，所以QS SP ⊥，即90QSP ∠=︒， 则()22222124QS SP ME NF PQ +=+==，所以228ME NF +=， 因为MN ME ⊥，所以222216NE MN ME ME =+=+， 因为NF ME ⊥，NF MN ⊥，MNME M =，所以NF ⊥平面MNE ，所以NF NE ⊥， 在NEF Rt △中，22221626EF NF NE NF ME =+=++=，故答案为26．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）2π3B =；（2）93ABC S =△． 【解析】（1）由正弦定理得222b ac ac --=，2221cos 22a cb B ac +-∴==-，()0,πB ∈，2π3B ∴=． （2）由余弦定理得()()222222cos 29b a c ac B a c ac ac a c ac =+-=+-+=+-=，()2292a c ac a c +⎛⎫∴=+-≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a c =时取等号），6a c ∴+≤， ∴当3a c ==时，ABC △取得最大值，此时19393sin 2224ABC S ac B ==⨯=△．18．【答案】（1）证明见解析；（2）255． 【解析】（1）证明：1π3BCC ∠=，1BC =，12CC =， ∴由余弦定理可知2211123BC BC C CC BC C =+-⋅=，22211BC BC CC ∴+=，1BC BC ∴⊥，AB ⊥侧面11BB C C ，且BC ⊂面11BB C C ，AB BC ∴⊥，又1ABBC B =，1,AB BC ⊂平面1ABC ，BC ∴⊥平面1ABC ．（2）由（1）知，以B 为坐标原点，BC 为x 轴，1BC 为y 轴，BA 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,2A ，()1,0,0C，()1C，1,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1B -，()1A -，1,22EA ⎫⎛∴=--⎪ ⎪⎝⎭，13,22EB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面1AEB 的法向量为(),,x y z =n ，由10EA EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得()=n ； 同理，设平面11A EB 的法向量为()111,,x y z =m，1223EA ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭， 由110EA EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，得()=m ，故cos ,5⋅===⋅m n m n m n ，由题意二面角11A B E A --是锐二面角，故二面角11A B E A --的余弦值为5． 19．【答案】（1）100ˆ13y x=+，每天魔方还原的平均速度y 约为13秒；（2）分布列见解析，509． 【解析】（1）由题意，根据表格中的数据，可得99994532302421507y ++++++==，可得7172217184.570.375055ˆ1000.550.557i ii i i z y z ybz z==-⋅-⨯⨯====-∑∑，所以501000.3713a y bz =-=-⨯=，因此y 关于x 的回归方程为100ˆ13yx=+， 所以最终每天魔方还原的平均速度y 约为13秒． （2）由题意，可得随机变量X 的取值为3,4,6,9，可得141(3)669A P X ===⨯，142A 2(4)669P X ⨯===⨯，()111142241A A A 205(6)63A 669P X ++====⨯，1122A A 1(9)669P X ⨯===⨯，所以X 的分布列为：所以()346999999E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为椭圆的上、下顶点分别为,A B ，点()1,2P ，ABP △的面积1ABP S =△，所以1212ABP S b =⨯=△，基底1b =， 又因为椭圆C 上任意一点到椭圆的左焦点1F 1， 设(), M x y 是椭圆上任意一点，(,0)F c -，则2222222()2c MF x c y x cx a a =++=++，对称轴2a x a c=-<-，所以在区间[,]x a a ∈-上递增， 则x a =-时，min MF a c =-，即1a c -=，又222a b c =+，解得a =所以椭圆方程为2212x y +=．（2）设(,2)P t ，由题意得，直线P A ，PB 的斜率存在， 设1:1PA l y x t =+，3:1PB l y x t=-， 由221112y x tx y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22242,22t t M t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭；由223112y x tx y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2221218,1818t t N t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以22222222218224182:12422182MNt t t t t t l y x t t t t t t ----⎛⎫++-=+ ⎪++⎝⎭+++，化简得26182t y x t -=+， 所以直线MN 过定点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 21．【答案】（1）()314P A =，()338P B =，()338P C =；（2）843128a =． 【解析】（1）A B C A →→→；A C B A →→→， 所以()311111112222224P A =⨯⨯+⨯⨯=； A B A B →→→；A C A B →→→；A B C B →→→，所以()31111111113++2222222228P B =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=； A B A C →→→；A C A C →→→；A C B C →→→，所以()31111111113++2222222228P C =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=． （2）∵n n b c =，即11n n b c --=，2n ≥，又()1112n n n b a c --=+， ∴2n ≥时，()()11111122n n n n n b a c a b ----=+=+，又∵1111n n n a b c ---++=，可得121n n b b -+=， 由11111111322323n n n b b b --⎛⎫-=-+-=-- ⎪⎝⎭， 可得数列13n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16，公比为12-的等比数列， 1111362n n b -⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，即1111362n n b -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又11111111212136232n n n n a b --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+⋅-=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故843128a =． 22．【答案】（1）见解析；（2）25,22e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，所以()()()()()2111a a x x a x f a x a x x x x x-+-+'=-++-==． （ⅰ）当01a <<时，由()0f x '<，得1<<a x ，则()f x 的减区间为(),1a ； 由()0f x '>，得x a <或1x >，则()f x 的增区间为()0,a 和()1,+∞． （ⅱ）当1a =时，()0f x '≥，则()f x 的增区间为()0,∞+．（ⅲ）当1a >时，由()0f x '<，得1x a <<，则()f x 的减区间为()1,a ； 由()0f x '>，得1x <或x a >，则()f x 的增区间为()0,1和(),a +∞． （2）()()()222ln 121xxg x e a x a x f x e x ax =-++--=-+-，()g x 在[]1,2内有且仅有一个零点，即关于x 方程21xx e a x-+=在[]1,2上有且仅有一个实数根．令()21x x e h x x -+=，[]1,2x ∈，则()()()211x x x e h x x-+-'=，令()1xp x x e =+-，[]1,2x ∈，则()10xp x e '=-<，故()p x 在[]1,2上单调递减，所以()()120p x p e ≤=-<， 即当[]1,2x ∈时，()0h x '≤，所以()h x 在[]1,2上单调递减．又()12h e =-，()2522e h -=，则()2522e h x e -≤≤-，所以a 的取值范围是25,22e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．。
山东高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.为虚数单位，复平面内表示复数的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知集合,，则=" "A．B．C．D．3.若，则函数的图像大致是A. B. C. D.4.已知等比数列的公比为正数，且，=1，则=" "A．B．C．D．25.已知变量、满足约束条件，则的最大值为A． B C. D.46.过点（0,1）且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为A．B．C．D．7.下图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是A．B．C．D．8.为了得到函数的图像，只需把函数的图像A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位9.关于直线与平面，有以下四个命题：①若且，则；②若且，则；③若且，则；④若且，则.其中真命题有A．1个B．2个C．3个D．4个10.设偶函数对任意，都有，且当时，,则=" "A．10B．C．D．11.设点P是双曲线与圆在第一象限的交点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且，则双曲线的离心率A．B．C．D．12.已知函数，则关于的方程有5个不同实数解的充要条件是A．且B．且C．且D．且13.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且，若，其中，则 _________.二、填空题1.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中A种型号产品有18件，那么此样本的容量=" "2.二项式的展开式中的常数项为．3.如图，矩形内的阴影部分是由曲线及直线与轴围成，向矩形内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是．三、解答题1.已知向量.（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为，若,求 ()的取值范围.2.已知矩形与正三角形所在的平面互相垂直，、分别为棱、的中点，,，(1)证明：直线平面；(2)求二面角的大小．3.在数列中，，并且对于任意n∈N*，都有．（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求使得的最小正整数.4.济南市开展支教活动，有五名教师被随机的分到A、B、C三个不同的乡镇中学，且每个乡镇中学至少一名教师，（1）求甲乙两名教师同时分到一个中学的概率；（2）求A中学分到两名教师的概率；（3）设随机变量X为这五名教师分到A中学的人数，求X的分布列和期望．5.已知椭圆C：的短轴长为，右焦点与抛物线的焦点重合，为坐标原点（1）求椭圆C的方程；（2）设、是椭圆C上的不同两点，点，且满足，若，求直线AB的斜率的取值范围.6.已知函数 .（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：.山东高三高中数学高考模拟答案及解析一、选择题1.为虚数单位，复平面内表示复数的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】略2.已知集合,，则=" "A．B．C．D．【答案】D【解析】略3.若，则函数的图像大致是A. B. C. D.【答案】B【解析】略4.已知等比数列的公比为正数，且，=1，则=" "A．B．C．D．2【答案】B【解析】略5.已知变量、满足约束条件，则的最大值为A． B C. D.4【答案】D【解析】略6.过点（0,1）且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】略7.下图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是A．B．C．D．【答案】A【解析】略8.为了得到函数的图像，只需把函数的图像A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【答案】A【解析】略9.关于直线与平面，有以下四个命题：①若且，则；②若且，则；③若且，则；④若且，则.其中真命题有A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】略10.设偶函数对任意，都有，且当时，,则=" "A．10B．C．D．【答案】B【解析】略11.设点P是双曲线与圆在第一象限的交点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且，则双曲线的离心率A．B．C．D．【答案】D【解析】略12.已知函数，则关于的方程有5个不同实数解的充要条件是A．且B．且C．且D．且【答案】C【解析】略13.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且，若，其中，则 _________.【答案】【解析】略二、填空题1.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中A种型号产品有18件，那么此样本的容量=" "【答案】81【解析】略2.二项式的展开式中的常数项为．【答案】【解析】略3.如图，矩形内的阴影部分是由曲线及直线与轴围成，向矩形内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是．【答案】【解析】略三、解答题1.已知向量.（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为，若,求 ()的取值范围.【答案】解：（1）…………2分…………6分（2）+由正弦定理得…………………9分,,所以 --------------------12分【解析】略2.已知矩形与正三角形所在的平面互相垂直，、分别为棱、的中点，,，(1)证明：直线平面；(2)求二面角的大小．【答案】（1）证明：方法一：取EC的中点F，连接FM，FN，则，，，………………………2分所以且，所以四边形为平行四边形，所以，…………………………………4分因为平面，平面，所以直线平面；…………………………………6分（2）解：由题设知面面，，又，∴面，作于，则，作，连接，由三垂线定理可知，∴就是二面角的平面角，…………………………………9分在正中，可得，在中，可得，故在中，，…………………………………11分所以二面角的大小为…………………………………12分方法二：如图以N为坐标原点建立空间右手直角坐标系,所以…1分（1）取EC的中点F ，所以，设平面的一个法向量为，因为，所以，；所以，……………3分因为，，所以………………………5分因为平面，所以直线平面………………………7分（2）设平面的一个法向量为，因为，所以，；所以……………9分………………………………11分因为二面角的大小为锐角,所以二面角的大小为………………………………12分【解析】略3.在数列中，，并且对于任意n∈N*，都有．（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求使得的最小正整数.【答案】解：(1)，因为，所以，∴数列是首项为1，公差为2的等差数列，………………………………………4分∴，从而. …………………………………………………6分(2)因为………………… 8分所以……………………………………………10分由，得，最小正整数为91. …………………12分【解析】略4.济南市开展支教活动，有五名教师被随机的分到A、B、C三个不同的乡镇中学，且每个乡镇中学至少一名教师，（1）求甲乙两名教师同时分到一个中学的概率；（2）求A中学分到两名教师的概率；（3）设随机变量X为这五名教师分到A中学的人数，求X的分布列和期望．【答案】.解：（1）设甲乙两位教师同时分到一个中学为事件A，基本事件总数N=.所以P（A）==. ----------4分（2）设A中学分到两名教师为事件B，所以P（B）==. ------8分（3）由题知X取值1，2，3.P（X=1）=， P（X=2）=,P（X=3）=.所以分布列为3-------------------------12分【解析】略5.已知椭圆C：的短轴长为，右焦点与抛物线的焦点重合，为坐标原点（1）求椭圆C的方程；（2）设、是椭圆C上的不同两点，点，且满足，若，求直线AB的斜率的取值范围.【答案】解:（1）由已知得，所以椭圆的方程为………4分（2）∵,∴三点共线,而,且直线的斜率一定存在，所以设的方程为，与椭圆的方程联立得由，得. …………………6分设，①又由得: ∴②.将②式代入①式得:消去得:…………………9分当时, 是减函数, ,∴,解得,又因为，所以,即或∴直线AB的斜率的取值范围是…………12分【解析】略6.已知函数 .（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：.【答案】解：（1）的定义域为（0，+∞），…2分当时，＞0，故在（0，+∞）单调递增；当时，＜0，故在（0，+∞）单调递减；……………4分当-1＜＜0时，令=0，解得.则当时，＞0；时，＜0.故在单调递增，在单调递减. …………6分（2）因为，所以当时，恒成立令，则, ……………8分因为，由得，且当时，；当时，.所以在上递增，在上递减.所以，故……………………10分（3）由（2）知当时，有，当时，即，令，则，即…………12分所以，，…，，相加得而所以，.……………………14分【解析】略。
绝密★启用并使用完毕前高考针对性训练数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设12i2iz -=+，则z =（）A ．iB ．i-C ．4i 5+D ．4i 5-2．若sin cos αα-=，则tan α=（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）A ．5-B ．5C ．15D ．354．已知{}n a 是等比数列，且27844a a a a =-=-，则3a =（）A ．B ．C ．2-D ．2±5．某单位设置了a ，b ，c 三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c 档高，乙的工资比b 档高，丙领取的不是b 档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为（）A ．a ，b ，cB ．b ，a ，cC ．a ，c ，bD ．b ，c ，a6．三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（）A B C ．18D ．367．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P在C 上，且2122PF PF a ⋅= ，PO = ，则C 的离心率为（）A B C ．3D ．28．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()yf x xf y xy x y -=-，则下列结论一定成立的是（）A ．()11f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 有最小值D ．()f x 在[]0,1上单调递增二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某同学投篮两次，第一次命中率为23．若第一次命中，则第二次命中率为34；若第一次未命中，则第二次命中率为12．记()1,2i A i =为第i 次命中，X 为命中次数，则（）A ．22()3P A =B ．4()3E X =C ．4()9D X =D ．123(|)4P A A =10．已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ．若1a =，且()sin sin sin A b B c b C -=+，则（）A ．3sin 2A =B ．ABC △面积的最大值为34C ．3R =D ．BC 边上的高的最大值为611．已知函数()sin ln f x x x =⋅，则（）A ．曲线()y f x =在πx =处的切线斜率为ln πB ．方程()2024f x =有无数个实数根C ．曲线()y f x =上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于1eD ．2()2x y f x =-在()1,+∞上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则数列{}n a 的前20项的和为______．13．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，16AA =，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，则平面1MNC 截该四棱柱所得截面的周长为______．14．已知抛物线22x y =与圆()()22240x y rr +-=>相交于四个不同的点A ，B ，C ，D ，则r 的取值范围为______，四边形ABCD 面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y a bx =+和2y c dx =+哪一个适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．参考公式及数据；1221ˆni ii ni i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，52155i i x ==∑，541979ii x ==∑，51390i i y ==∑，511221i i i x y ==∑，5214607.9i i i x y ==∑16．（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ABC ⊥平面BCFE ，AF DE ⊥，45ABC CBF ∠=∠=︒，1AC AB >=．（1）求三棱台ABC DEF -的高；（2）若直线AC 与平面ABF 所成角的正弦值为155，求BC ．17．（本小题满分15分）已知函数()22xxf x a =+-，其中0a >且1a ≠．（1）若()f x 是偶函数，求a 的值；（2）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围．18．（本小题满分17分）已知点21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，A 到E的两焦点的距离之和为．（1）求E 的方程；（2）过抛物线()2:1C y x m m =->上一动点P ，作E 的两条切线分别交C 于另外两点Q ，R ．（ⅰ）当P 为C 的顶点时，求直线QR 在y 轴上的截距（结果用含有m 的式子表示）；（ⅱ）是否存在m ，使得直线QR 总与E 相切．若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分17分）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设,y q ∈R ，*n ∈N ，记[]11n n q q-=++⋅⋅⋅+，[][][][]!11n n n =⨯-⨯⋅⋅⋅⨯，并规定[]0!1=．记1(,)()()()()n n q F x n x y x y x qy x q y -=+=++⋅⋅⋅+，并规定()0,0()1q F x x y =+=．定义[][][](,),0(,)11(),1,2,,kqn kq F x n k D F x n n n n k x y k n-=⎧⎪=⎨-⋅⋅⋅-++=⋅⋅⋅⎪⎩（1）若1y q ==，求(),2F x 和1(,2)q D F x ；（2）求[][]!(0,)!k qn k D F n n -；（3）证明：[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑．2024年5月济南市高三模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ABACBCDC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDADBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．21013．14．4)；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）2y c dx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：52211()115i i x x ===∑，511785i i y y ===∑，52215222221553905()4607.95317.9550.8537455()5()9795ˆ5i ii ii xy x ydx x ==-⨯-⨯⨯====⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，239055()0.8568.655ˆ5ˆcy d x =-⨯=-⨯=，所以，268.65ˆ0.85y x =+．（3）令6x =，268.650.85699.25ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为99.25亿元．另解（此种解法酌情给分）：（1）y a bx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：1234535x ++++==，511785i i y y ===∑，()()515222151221537851 5.13ˆ555105i ii i i x yx ybx x==-⨯-⨯⨯====-⨯-⨯∑∑，()78 5.1362.7ˆˆa y b x =-⨯=-⨯=，所以，7ˆ62. 5.1yx =+．（3）令6x =，62.7 5.1693.3ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为93.3亿元．16．【解析】解：（1）作FO BC ⊥于点O ，因为平面ABC ⊥平面BCFE ，所以FO ⊥平面ABC ，FO 即为三棱台ABC DEF -的高．又因为AB ⊂平面ABC ，所以FO AB ⊥．连接AO ，因为AB DE ∥，AF DE ⊥，所以AB AF ⊥，FO AF F = ，所以AB ⊥平面AFO ，又AO ⊂平面AFO ，所以AB AO ⊥．45ABC CBF ∠=∠=︒，1AB =．所以1AO =，BO FO ==ABC DEF -．（2）以O 为原点，在面ABC 内，作OG BC ⊥，以OG ，OB ，OF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B，F，,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，FB =，设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =则022n FB n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()1,1,1n = ，设BC BO λ=，则22,022AC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线AC 与平面ABF 所成角为α，15sin cos ,5AC n α===，化简得281890λλ-+=，解得32λ=或34λ=（舍去，因为AC AB >，所以1λ>），所以BC =．17．【解析】（1）由题意，()()11f f -=，即112222a a +-=+-，解得，12a =或2a =-（舍）又经检验，12a =时，()f x 是偶函数．所以，a 的值为12．（2）当12a =时，0x ∀>，1()22202x xf x ⎛⎫=+->= ⎪⎝⎭成立；当12a >且1a ≠时，0x ∀>，1()22222xx x xf x a ⎛⎫=+->+- ⎪⎝⎭，又12202xx⎛⎫+-> ⎪⎝⎭已证，故此时符合题意；当102a <<时，()ln 2ln 2x xf x a a '=+，易知，此时()f x '在R 上单调递增，且(0)ln(2)0f a =<'．故存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，从而()f x 单调递减，所以，存在02x >，使得0(0)02x f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故此时不合题意．综上所述，12a ≥且1a ≠．18．【解析】（1）由题意2a =，得a =又21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在E 上，得221112a b +=，从而1b =．故E 的方程为2212x y +=．（2）（ⅰ）当P 为C 的顶点时，()0,P m ，不妨设R 在第一象限，直线PR 的方程为y kx m =-，联立E 的方程为2212x y +=可得222(21)4220k x kmx m +-+-=．由22222Δ(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m =-+-=-+=可得2221k m +=．联立直线PR 的方程y kx m =-与抛物线2:C y x m =-的方程可得x k =，则R 点的纵坐标为22212122R m m m y k m m ---=-=-=，由对称性知2212Q m m y --=，故直线QR 在y 轴上的截距为2212m m --．（ⅱ）要使（2）中的直线QR 与E 相切，必有22112m m b --==，即2230m m --=，解得3m =或1-（舍去）．设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,R x y ，则2113y x =-，2223y x =-，2333y x =-．直线PQ 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，即1212()3y x x x x x =+--．联立椭圆方程2212x y +=可得222121212122()14()(3)2(3)20x x x x x x x x x x ⎡⎤++-++++-=⎣⎦．由[]22212121212Δ4()(3)42()12(3)2x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++-+++-⎣⎦⎣⎦22221212128(2228)0x x x x x x =+---=可得222212*********x x x x x x +---=，即121212250x x y y y y ++++=．同理可得131313250x x y y y y ++++=．因为直线1112(1)50x x y y y ++++=同时经过点QR ，所以QR 的直线方程为1112(1)50x x y y y ++++=．联立椭圆方程2212x y +=可得222111118(1)8(5)16480x y x x y x y ⎡⎤++++++=⎣⎦，于是[]2222211111111Δ8(5)48(1)(1648)64(1)(3)0x y x y y y x y ⎡⎤=+-+++=+--=⎣⎦．故直线QR 与椭圆相切，因此3m =符合题意．19．【解析】（1）若1y q ==，222(,2)()()(1)(1)F x x y x qy x q xy y x =++=+++=+，而[]11(,2)2()(1)()2(1)q q D F x x y q x y x =+=++=+．（2）当0k =时，[][](1)2!(0,)(0,)(0,)!n n k n q q n k D F n D F n F n q y n --===．当0k ≠时，由[][][](0,)11(0)kn kq qD F n n n k y -=-⋅⋅⋅++[][][][][]()(1)()(1)/22!11!n k n k n k n k n kn k n n n n k qyqy n k --------=-⋅⋅⋅-+=-，可得[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=．因此[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=，0,1,2,,k n = ．（3）要证[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑，只需证[][][][][]1()(1)/2(1)/200!!()()()![]!!!nnn n k n k n k kk k n k k k k n n x y x qy x qy q y x q x y n k k n k k -------==++⋅⋅⋅+==--∑∑．令1()()()()nn k k k G y x y x qy x q y a y -==++⋅⋅⋅+=∑，一方面，110101()()()()n nkkk k k n n k k k n k k x y G qy x y a q y xa xq a q a y a q y -+-==+=+=+++∑∑，另一方面，10101()()()()n nnnkn k n n k k k n k k x q y G y x q y a y xa xa q a y a q y +-==+=+=+++∑∑，当1q ≠且0x ≠时，由于()()()()nx y G qy x q y G y +=+，比较两式中ky 的系数可得111k k n k k k k xq a q a xa q a ---+=+，则[]1111(1)[]k n k k kk q n k a q q a x q x k ----+-==-⋅，由0na x =可知[][][](1)1120120!!!k k n k k k k k k n a a a a a q x a a a n k k -----=⋅⋅⋅⋅⋅=-．当1q =时，由[]11n n q qn -=++⋅⋅⋅+=，[]!!n n =可知()[][]00!C ![]!nn nn k k k n k kn k k n x y y x yx n k k --==+==-∑∑，此时命题也成立．当0x =时，[](1)/2(0,)(,)(0,)!k nq n n nk qk D F n F x n qy D F n x k -====∑也成立．综上所述，()()[]00,,!knq k k D F n F x n x k ==∑．。
2024年高考诊断性测试数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合R U =，集合{}{}2230,02A xx x B x x =+−<=≤≤∣∣，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.()3,0−B.()1,0−C.()0,1D.()2,32.若5250125(12)x a a x a x a x −=++++L ，则24a a +=（ ）A.100B.110C.120D.1303.若点()1,2A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，则AF =（ ） A.1 B.2 C.3 D.44.若π1cos 43α⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ） A.59−B.59C.79− D.795.将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）A.3B.6C.10D.156.设,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A.若a ∥,b α∥α，则a ∥b B.若,a b 与α所成的角相等，则a ∥bC.若,a αβ⊥∥,b α∥β，则a b ⊥D.若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a b ⊥7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x −=，当01x ≤≤时，()21xf x =−，则()2log 12f =（ ） A.13−B.14− C.13 D.128.在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B −，向量OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r，且40m n −−=.若P 为椭圆2217y x +=上一点，则PC u u u r 的最小值为（ ）D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知12,z z 为复数，下列结论正确的有（ ） A.1212z z z z +=+ B.1212z z z z ⋅=⋅C.若12z z ⋅∈R ，则12z z =D.若120z z ⋅=，则10z =或20z =10.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为,x y ，设事件A =“(1)log x y +为整数”，B =“x y +为偶数”，C =“2x y +为奇数”，则（ ） A.()16P A =B.()112P AB = C.事件B 与事件C 相互独立 D.()718P AC =∣ 11.给定数列{}n a ，定义差分运算：2*11Δ,ΔΔΔ,n n n n n n a a a a a a n N ++=−=−∈.若数列{}n a 满足2n a n n =+，数列{}n b 的首项为1，且()1*Δ22,n n b n n N −=+⋅∈，则（ ）A.存在0M >，使得Δn a M <恒成立B.存在0M >，使得2Δn a M <恒成立C.对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得n b M >D.对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得2Δnnb M b > 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若圆22()(1)1x m y −+−=关于直线y x =对称的圆恰好过点()0,4，则实数m 的值为__________. 13.在三棱锥P ABC −中，2PB PC ===，且,,APB BPC CPA E F ∠∠∠==分别是,PC AC 的中点，90BEF ∠=o ，则三棱锥P ABC −外接球的表面积为__________，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为__________.（本小题第一空2分，第二空3分.）14.若函数()sin 1f x x x ωω=+−在[]0,2π上佮有5个零点，且在ππ,415⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增，则正实数ω的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已如曲线()()22ln ,f x ax x x b a b =+−+∈R 在2x =处的切线与直线210x y ++=垂直.（1）求a 的值：（2）若()0f x ≥恒成立，求b 的取值范围.16.（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，,3,2AB AC AB AD DB ⊥===，O 为BC 的中点，1A O ⊥平面ABC .（1）求证：1AA OD ⊥；（2）若1AA =1B AA O −−的余弦值.17.（15分）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分：抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分：两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别41,53，乙答对两道题的概率分别为21,32，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为12，甲答对任意一题的概率为512，乙答对任意一题的概率为34，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立（1）在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率： （2）在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率：（3）若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X 道题抢答后比赛结束，求随机变量X 的分布列及数学期望.18.（17分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>经过点()2,0A −l 过点()3,0D 且与双曲线C 交于两点,P Q （异于点A ）.（1）求证：直线AP 与直线AQ 的斜率之积为定值.并求出该定值：（2）过点D 分别作直线,AP AQ 的垂线.垂足分别为,M N ，记,ADM ADN V V 的面积分别为12,S S ，求12S S ⋅的最大值.19.（17分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆A 沿着x 轴正向无滑动地滚动，点M 为圆A 上一个定点，其初始位置为原点,O t 为AM 绕点A 转过的角度（单位：弧度，0t ≥）.（1）用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ：（2）设点M 的轨迹在点()()0000,0M x y y ≠处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：1cos2y θ+为定值： （3）若平面内一条光滑曲线C 上每个点的坐标均可表示为()()()[],,,x t y t t αβ∈，则该光滑曲线长度为()()F F βα−，其中函数()F t 满足()F t ='.当点M 自点O 滚动到点E时，其轨迹»OE为一条光滑曲线，求»OE 的长度.2024年高考诊断性测试数学参考答案及评分标准一、选择题A CBC BD A A 二、选择题9.ABD 10.BCD 11.BC 三、填空题12.4 13.10π214.95[,]42四、解答题15.解：（1）x ax x f 212)('−+=, ··································· 2分 直线210x y ++=的斜率21−=k ,由题意知2)2('=f ， ··································· 4分 即2114=−+a ，所以21=a . ···································· 5分 （2）)(x f 的定义域为)0(∞+，. ··································· 6分 因为()0f x ≥，所以x x x b ln 2212+−−≥.设),0(,ln 221)(2+∞∈+−−=x x x x x g ，则max ()b g x ≥.························ 8分 xx x x x x x x x g )2)(1(221)('2++−=+−−=+−−= ··················· 9分 当)1,0(∈x 时，0)('>x g ，所以)(x g 在)1,0(单调递增，当),1(+∞∈x 时，0)('<x g ，所以)(x g 在),1(+∞单调递减， ··············· 11分 所以max 3()(1)2g x g ==−. 所以23−≥b . ······························· 13分16.解：（1）因为AB AC ⊥，3AB ==，所以60ACB ∠=，12OA BC == ············································ 1分因为3AB =，2AD DB =，所以1DB =.在DBO 中，30DBO ∠=，1DB =，OB =，由余弦定理222121cos301OD ︒=+−⨯=，所以1OD =. ········· 3分在ADO 中，1OD =，2AD =，AO =AO OD ⊥. ····· 4分因为1AO ⊥平面ABC ，OD ⊂平面ABC ， 所以1A O OD ⊥. ····················································· 5分因为1AOAO O =，所以OD ⊥平面1AOA . ······································ 6分 因为1AA ⊂平面1AOA ，所以1AA OD ⊥； ····································· 7分 （2）由（1）可知，1,,OA OD OA 两两垂直，以O 为坐标原点，1,,OA OD OA 方向分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −. ······ 8分因为1AA =AO =13AO =. ············· 9分则A ， 1(0,0,3)A，3(,,0)22B −. ··········· 10分可得133(,,3)22BA =−，333(,,0)22BA =−， 设(,,)x y z =m 为平面1ABA 的一个法向量，则33023022x y z x y −+=⎨⎪−=⎪⎩，取x =，则3y =，1z =， 故=m ， ····························· 12分 由题意可知，(0,1,0)=n 为平面 ······················· 13分因为3cos ,||||13<>===m n m n m n ，所以二面角1B AA O −−的余弦值为13. ······························· 15分17.解：（1）两人得分之和大于100分可分为甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三种情况，所以得分大于100分的概率112141114121753325332533245p =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. ·························· 4分（2）抢答环节任意一题甲得15分的概率15111212243p =⨯+⨯=. ············ 7分 （3）X 的可能取值为2,3,4,5.因为甲任意一题得15分的概率为13，所以任意一题乙得15分的概率为23. ····· 8分 211(2)()39P X ===， 121214(3)33327P X C ==⨯⨯⨯=， 1243121228(4)()()333381P X C ==⨯⨯⨯+=， 13334412121232(5)()()33333381P X C C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. ··················· 12分所以的分布列为·································· 13分所以142832326()2345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ····················· 15分 18.解：（1）由题意知，2a =，c a= 又因为222=+c a b ， ··················· 2分解得4=b .所以，双曲线C 的方程为221416x y −=. ············································· 3分 设直线l 的方程为3x my =+，联立2214163x y x my ⎧−=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得，22(41)24200m y my −++=. ··············· 4分不妨设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则12m ≠±，且1222441m y y m −+=−，1222041y y m =−. ························· 5分 所以12122121212225()25AP AQ y y y y k k x x m y y m y y =⋅=+++++ ····················· 7分 45=−. ····························· 9分 （2）设直线AP 的方程为(2)y k x =+，则直线1:(3)DM y x k=−−，联立(2)1(3)y k x y x k =+⎧⎪⎨=−−⎪⎩，解得251M k y k =+， ····································· 11分 用45k −替换上式中的k 可得21002516N ky k −=+. ······························· 13分 故21222253125||4(1)(2516)M N k S S y y k k ⋅==++ ································· 15分 223125162541k k=++.因为22162540k k +≥=，当且仅当5k =±时，“=”成立，所以12312581S S ⋅≤， 故12S S ⋅的最大值为312581. ························· 17分 19.解：（1）由题意可得1cos y t =−，||OB BM t ==，所以||sin sin x OB t t t =−=−， ································ 2分所以sin x t t =−，1cos y t =−. ································ 4分（2）证明：由复合函数求导公式t x t y y x '''=⋅，所以sin 1cos x tt x t t y x y t y x x t '''⋅'===''−. ·········································· 7分 所以sin tan 1cos ttθ=−，因为222222cos 21cos 22cos sin cos tan 1θθθθθθ+===++ 20222(1cos )1cos sin 22cos ()11cos t t y t t t −===−=−+−，所以01+cos2y θ为定值1. ········································· 10分（3）由题意，()2|sin |2t F t '===. ·········· 13分因为02t ≤≤π，sin 02≥所以()2sin 2tF t '=，所以()4cos 2tF t c =−+（c 为常数）， ······································ 15分(2)(0)(4cos )(4cos0)8F F c c π−=−π+−−+=,所以OE 的长度为8. ································· 17分。
