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1.3.4十进制化k进制

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进位制

进位制

进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。 比如：
满二进一，就是二进制； 满十进一，就是十进制； 满二进一，就是二进制； 满十进一，就是十进制； 满十二进一，就是十二进制； 满六十进一，就是六十进制 满十二进一，就是十二进制； 满六十进一，
基数： 基数：
所以， 所以，89=324（5）
）、非十进制之间的转换 （4）、非十进制之间的转换
借助十进制来转化 你能将1234 转化为八进制吗? 你能将1234(5)转化为八进制吗?
1234(5) =1×5 +2×5 +3×5 +4×5 =194
3 2 1 0
8 8
194 24 8 3 0
余数 2 0 3
∴ 1234(5) = 194 = 302 (8)
89=2×44+1 × 89=2×44+1 × 44=2×22+0 =2×(2×22+0)+1 × × × 22=2×11+0 =2×(2×(2×11+0)+0)+1 × × × × 11=2×5+1 =2×(2×(2×(2×5+1)+0)+0)+1 × × × × × 5= 2×2+1 × =2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1 × × × × × 所以89=2×(2×(2×(2×(2 ×2+1)+1)+0)+0)+1 所以 × × × × =2×(2×(2×(2×(22+1)+1)+0)+0)+1 × × × × =2×(2×(2×(23+2+1)+0)+0)+1=2×(2×(24+22+2+0)+0)+1 × × × × × =2×(25+23+22+0+0)+1=26+24+23+0+0+20 × 89=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20 × × × × × × × 所以： 所以：89=1011001（2） ） 除2取余法

算法例十化K制

算法例十化K制

否
INPUT a，k b=0 i=0 DO q=a\k r=a MOD k b=b+r*10∧i i=i+1 a=q LOOP UNTIL q=0 PRINT b END
练习 将十进制数258分别转化为四进制数和六进制数.
4 4 4 4 4
258
余数
64 16 4 1 0
2 0 0 0 1
6 6 6 6
第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步；否则， 输出全部余数r排列得到的k进制数.
开始
程序框图
输入a，k
求a除以k的商q 求a除以k的余数r
把所得的余数依次从右到左排列 a=q q=0？ 是 输出全部余数r排 列得到的k进制数 结束 否
开始 输入a，k 求a除以k的商q
求a除以k的余数r
把所得的余数依次从右到左排列 a=q q=0？ 是 输出全部余数r排 列得到的k进制数 结束
所以89＝2×（2×（2×（2×（2 × 2 ＋1）＋1）＋0）＋0）＋1 ＝2×（2×（2×（2×（22＋1）＋1）＋0）＋0）＋1 ＝2×（2×（2×（23＋2＋1）＋0）＋0）＋1
＝2×（2×（24＋22＋2＋0）＋0）＋1
＝2×（25＋23+22＋0＋0）＋1
＝26＋24+23＋0＋0＋20. 89＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20.
二、二进制与十进制的转换
1、二进制数转化为十进制数 例1 ： 将二进制数110011(2)化成十进制数. 解： 根据进位制的定义可知
110011(2) 1 25 1 24 0 23 0 22 1 21 1 20
1 32 1 16 1 2 1 = 51.

进位制之间的转换

进位制之间的转换

2021/3/10
讲解：XX
33
将十六进制转换为二进制
方法：取一分四法，即将一位十六进制数分解成四位二进制数，用四位二进制按权相 加去凑这位十六进制数，小数点位置照旧。
2021/3/10
讲解：XX
34
四、八进制与十六进制的转换
方法：一般不能互相直接转换，一般是将八进制（或十六进制）转换为二进制，然后再将二进 制转换为十六进制（或八进制），小数点位置不变。那么相应的转换请参照上面二进制与八进 制的转换和二进制与十六进制的转
2021/3/10
讲解：XX
41
“十进制转k进制”的算法步骤：
• 给定十进制正整 数a，确定转化后 的进位k；
第1步
第2步
• 求出a除以k所得 的余数、商，并 分别赋值给r、a；
• 若a≠0，则重复 第2步, 直到a=0；
第3步
第4步
• 将依次得到的余 数从右往左排列 起来，则得到k进 位数.
2021/3/10
2021/3/10
讲解：XX
22
（3） 二进制转换为十进制 不分整数和小数部分
方法：按权相加法，即将二进制每位上的数乘以权，然后相加之和即是十进制数。例 将二进制数101.101转换为十进制数。 得出结果：（101.101）2=(5.625)10
大家在做二进制转换成十进制需要注意的是
1） 要知道二进制每位的权值 2） 要能求出每位的值
2021/3/10
讲解：XX
7
什么是权？
权：把一种记数系统中相应于每一位数字的基数的幂次成为该位数 字的权
如：十进制数按从低位到高位的次序，各位的权分别是： 100,101,102,103，根据权的定义可知，一个数的每位数字乘以其权所 得的乘积之和即为该数的真实值。

1.3.4《算法案例(进位制)》(上)

1.3.4《算法案例(进位制)》(上)

1.请列举你知道的进制方式.（至少列四个） 提示：一年十二个月，采用十二进制计数法； 一星期有七天，采用七进制计数法； 一年有四季，采用四进制计数法； 一季度有三个月，采用三进制计数法； 30天为一个月，采用30进制计数法； 24小时为一天，采用24进制计数法。
十进制：
我们最常用最熟悉的就是十进制数，它的数值部分是十个不 同的数字符号0，1，2，3，4，5，6，7，8，9来表示的。
(2) 10212(3)
(4)１０１０.１０１(2)
2、已知k进制的数１３２（k）与十进制的数 ３０相等，那么k等于_______
3、判断下列数表达是否正确？ (1) 12(2) (2) 061(7) (3) 291(8)
例2.若1
0y1(2)=x02(3)，求数字x,y的值及与此两数等值的十进
制数.
LOOP UNTIL i>n PRINT b END
**上面的程序如采用get函数,可简化为：
INPUT a,k,n i=1 b=0 WHILE i<=n t=GET a[i] b=t*k^(i-1)+b i=i+1 WEND PRINT b END
备注:GET函数用于取出a的右数第i位数
例：
例1 在十进制数中，3058.72 可表示为： 3058.72==3×103+0×102+5×101+8×100 + 7×10-1+2×10-2 • 例2 在二进制数中，10111.01 可表示为： 10111.01==1×24+0×23+1×22+1×21+1× 20+0×2-1+1×2-2
1.3.4《算法案例（进位制）》(上)

算法案例----进位制

算法案例----进位制

2、如何将十进制数转化为二进制数？ 例 把89化为二进制数
这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示: 解： 89＝2×44＋1 44＝ 2×22＋0 22＝ 2×11＋0 11＝ 2× 5＋1 5＝ 余数 2＝ 2× 1＋0 2 89 2× 2＋1 1＝ 2× 0＋1 44 1 2 所以89＝2×（2×（2×（2×（2 × 2 ＋1）＋1）＋0）＋0）＋1 2 22 0 ＝2×（2×（2×（2×（22＋1）＋1）＋0）＋0）＋1 2 11 0 3＋2＋1）＋0）＋0）＋1 ＝2×（2×（2×（2 5 1 2 ＝2×（2×（24＋22＋2＋0）＋0）＋1 1 ＝2×（25＋23 ＋2 2＋0＋0）＋1 2 2 2 1 ＝26＋24 ＋ 23＋0＋0＋20 0 1 89＝1×26＋0×25＋1×240 ＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20 注意： 所以：89=1011001 1.最后一步商为0， （2）
3721 3 103 7 102 2 101 1100 为了区分不同的进位制,
常在数的右下角标明基数, 与十进制类似,其他的进位制也可以按照位置原则计数.由 十进制数一般不标注基数. 于每一种进位制的基数不同,所用的数字个数也不同.如二进制 用0和1两个数字,七进制用0～6七个数字. 一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：
用k连续去除该十进制数或所得的商，直到商为零 为止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数，就是 相应的k进制数.
课后作业
P48习题A组2、3
设计一个程序，把k进制化为十进制.
开始
设计一个算法,把k 进制数a(共有n位)化为十进制数？
输出a,k,n
算法步骤如下:

2021-2022学年人教版数学四年级上册1-3十进制计算法(教师版)

2021-2022学年人教版数学四年级上册1-3十进制计算法(教师版)

人教版数学四年级上册1.3十进制计算法1.3十进制计数法一、选择题1.1枚1元的硬币大约重6克．照这样计算，1000枚1元的硬币大约重6千克，100万枚1元的硬币大约重6吨，1亿枚1元的硬币大约重多少吨？合适的答案是（）A. 6吨B. 60吨C. 600吨C【考点】十进制计数法2.100个一百万是（）。

A. 100万B. 1亿C. 1000万B【考点】十进制计数法按照10进制，10个一百万是一千万，10个一千万是一亿【分析】考查位数的进制3.一个数是由10个十组成的，这个数是（）。

A. 10B. 100C. 0B【考点】十进制计数法根据整数的加法和减法，由10个十组成的数是100。

【分析】考查整数的加法和减法。

4.一千万一千万地数，数到第10次时是（）。

A. 一亿B. 一千万C. 十亿A【考点】十进制计数法解：数到第10次时是10个一千万，10个一千万是一亿。

故A。

【分析】10个一是十，10个十是一百，10个一百是一千，10个一千是一万，10个一万是十万，10个十万是百万，10个百万是千万，10个千万是一亿，所以在自然数里，每相邻两个计数单位间的进率是十。

这种计数方法就叫做十进制计数法。

5.0、1、2、3、4、5、6、7、8、9属于（）。

A. 阿拉伯数字B. 古埃及象形文字C. 玛雅数字A【考点】十进制计数法解：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9属于阿拉伯数字。

故A【分析】阿拉伯数字，是现今国际通用数字。

最初由古印度人发明，后由阿拉伯人传向欧洲，之后再经欧洲人将其现代化。

正因阿拉伯人的传播，成为该种数字最终被国际通用的关键节点，所以人们称其为“阿拉伯数字”。

二、判断题6.因为自然数中，相邻的两个计数单位之间的进率都是十，所以将“5”写在十万位上比写在万位上多10。

（）错误【考点】自然数的认识，十进制计数法解：因为自然数中，相邻的两个计数单位之间的进率都是十，所以将“5”写在十万位上比写在万位上多45万，所以说法错误。

k进制与十进制互化解析

新课讲解：
一、进位制
1、什么是进位制？
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。
进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位 置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基 数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。
比如：
满二进一，就是二进制； 满十进一，就是十进制； 满十二进一，就是十二进制； 满六十进一，就是六十进制
3、十进制的构成
十进制由两个部分构成 十进制：“满十进一”
第一、它有0～9十个数字；
(用10个数字来记数，称基数为10)
第二、它有“数位”，即从右往左为个位、十位、 百位、千位等等。 例如：3721 表示有：1个1，2个十， 7个百即7个10的平方，3 个千即3个10的立方
3721 3103 7102 2101 1100
INPUT a,k,n i=1 b=0 WHILE i<=n
t=GET a[i] b=t*k^(i-1)+b i=i+1 WEND PRINT b END
备注:GET函数用于取出a的右数第i位数
例：
例 1 在 十 进 制 数 中 ， 3058.72 可 表 示 为 ： 3058.72==3×103+0×102+5×101+8×100+ 7×10-1+2×10-2
b=b+t*ki-1
i=i+1 否
i>n?
是 输出b 结束
(3)程序：
INPUT “a,k,n=”;a,k,n b=0 i=1 t=a MOD 10 DO
b=b+t*k^(i-1) a=a\10 t=a MOD 10 i=i+1 LOOP UNTIL i>n PRINT b END

1.3第三课时进位制


思考1:十进制使用0～9十个数字，那
么二进制、五进制、七进制分别使用 哪些数字？ 二进制可使用：0,1 0,1,2,3,4 五进制可用：
七进制可用：0,1,2,3,4,5,6
点击进入相应模块
2．不同进位制之间的互化 （1）k进制化为十进制的方法 a1a2„an-1an（k） a ×k +a ×k +„+a ×k+a =__________________________ （an，an-1，„,a1∈N,0＜an＜k， 0≤an-1，„，a1＜k）. （2）十进制化为k进制的方法—— 除k取余数. ___________
十进制数转化为k进制数 【技法点拨】 1.十进制数转化为k进制数的方法（除k 取余法） 用k连续去除该十进制数得到商，直到 商为零为止，然后把每次所得的余数倒 着排成一个数(即从下到上取)，就是相 应的k进制数.
2.十进制数转化为k进制数的步骤
【典例训练】
1.将194化为八进制数为______. 【解析】1.
1 n-1 2 n-2 n-1 n
进位制的表示 若一个数为十进制数，则其基数可 以省略不写，若是其他进位制的数， 在没有特别说明的前提下，其基数 必须写出，常在数的右下角标明基 数.
点击进入相应模块
1.任何进位制中均有的基数是几？ 提示：是0. 2.不同进位制下的数如何比较大小？ 提示：不同进位制下的数要转化为 同一进位制下的数才能比较大小.
所以194化为八进制数为302（8）. 答案：302（8）
2.将十进制数458转化为四进制数. 解：
458=13 022（4）.
3.将389化成四进制数的末位是（ ） （A ）1 （B ）2 （ C ）3 （D ） 0 【解析】选A.389化成四进制数的运算过 程如图，所得的四进制数是12011（4） ，

进位制

2 89 44 2 2 22 2 11 2 5 2 2 2 1 0 余数 1 0 0 1 1 0 1
思考3:上述方法也可以推广为把十进制 思考3:上述方法也可以推广为把十进制 3: 数化为k进制数的算法，称为除 取余法， 数化为k进制数的算法，称为除k取余法， 那么十进制数191 191化为五进制数是什么 那么十进制数191化为五进制数是什么 数？
思考2:利用除k取余法，将十进制数a 思考2:利用除k取余法，将十进制数a化 2:利用除 进制数的算法步骤如何设计？ 为k进制数的算法步骤如何设计？ 第一步，输入十进制数a和基数k的值. 第一步，输入十进制数a和基数k的值. 第二步，求出a除以k所得的商q 余数r. 第二步，求出a除以k所得的商q，余数r. 第三步， 第三步，把所得的余数依次从右到左排 列. 第四步， q≠0， a=q，返回第二步； 第四步，若q≠0，则a=q，返回第二步； 否则，输出全部余数r 否则，输出全部余数r排列得到 进制数. 的k进制数.
i- 1
，i=i+1.
第四步，判断i>n 是否成立.若是， 第四步，判断i>n 是否成立.若是，则 输出b的值；否则，返回第三步. 输出b的值；否则，返回第三步.
思考4:上述把 思考4:上述把 4: k进制数
开始
输入a， ， 输入 ，k，n b=0 i=1 的右数第i位数字赋给 把a的右数第 位数字赋给 的右数第 位数字赋给t
思考1:二进制数110011 思考1:二进制数110011（2）化为十进制 1:二进制数 数是什么数？ 数是什么数？ 110011（2） =1× +1× +0× +0× +1× +1× =1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20 =32+16+2+1=51. 思考2:二进制数右数第i位数字a 思考2:二进制数右数第i位数字ai化为十 2:二进制数右数第 进制数是什么数？ 进制数是什么数？

小学奥数教程：进制的应用_全国通用（含答案）

⼩学奥数教程：进制的应⽤_全国通⽤（含答案）1. 了解进制；2. 会对进制进⾏相应的转换；3. 能够运⽤进制进⾏解题⼀、数的进制1.⼗进制：我们常⽤的进制为⼗进制，特点是“逢⼗进⼀”。

在实际⽣活中，除了⼗进制计数法外，还有其他的⼤于1的⾃然数进位制。

⽐如⼆进制，⼋进制，⼗六进制等。

2.⼆进制：在计算机中，所采⽤的计数法是⼆进制，即“逢⼆进⼀”。

因此，⼆进制中只⽤两个数字0和1。

⼆进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，⼆进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在⼆进制中表⽰为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

⼆进制的运算法则：“满⼆进⼀”、“借⼀当⼆”，乘法⼝诀是：零零得零，⼀零得零，零⼀得零，⼀⼀得⼀。

注意：对于任意⾃然数n ,我们有n 0=1。

3.k 进制：⼀般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进⼀”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，．如⼆进位制的计数单位是02，12，22，，⼋进位制的计数单位是08，18，28，．4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=?+?++?+（）⼗进制表⽰形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；⼆进制表⽰形式：1010222n n n n N a a a --=+++；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下⽅写上k ，表⽰是k 进位制的数如：8352（），21010（），123145（）,分别表⽰⼋进位制，⼆进位制，⼗⼆进位制中的数．5.k 进制的四则混合运算和⼗进制⼀样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

⼆、进制间的转换：⼀般地，⼗进制整数化为k 进制数的⽅法是：除以k 取余数，⼀直除到被除数⼩于k 为⽌，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k 进制数化为⼗进制数的⼀般⽅法是：⾸先将k 进制数按k的次幂形式展开，然后按⼗进制数相加即可得结果．如右图所⽰:知识点拨教学⽬标5-8-2.进制的应⽤模块⼀、进制在⽣活中的运⽤【例 1】有个吝啬的⽼财主，总是不想付钱给长⼯。

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=(22×2+0)×2+1
或所得商(一直到商为 0为止),然后取余数
=((11×2+0)×2+0)×2+1 ---除2取余法.
=(((5×2+1)×2+0)×2+0)×2+1
=((((2×2+1)×2+1)×2+0)× 2+0)×2+1
=(((((1×2)+0)×2+1)×2+1)×2+0)× 2+0)×2+1
……
qn-1除以2所得的商是0，余数是rn， 即qn-1= rn，
那么十进制数a化为二进制数是什么ห้องสมุดไป่ตู้？
a=rnrn-1…r1r0(2)
思考4:该程序框图对应的程序如何表述？
开始
输入a，k
求a除以k的商q
求a除以k的余数r
把所得的余数依次从右到左排列
a=q q=0？ 否
是 输出全部余数r排 列得到的k进制数
89=44×2+1, 44=22×2+0, 22=11×2+0, 11=5×2+1, 5=2×2+1, 2=1×2+0, 1=0×2+1,
89=44×2+1, 44=22×2+0, 22=11×2+0,
11=5×2+1, 5=2×2+1, 2=1×2+0, 1=0×2+1,
89=44×2+1,
可以用2连续去除89
例1:把89化为二进制的数. 分析:把89化为二进制的数,需想办法将89
先写成如下形式
89=an×2n+an-1×2n-1+…+a1×21+a0×20 .
89=64+16+8+1=1×26+0×25+1×24 +1×23+0×22+0×21+1×20
=1011001(2). 但如果数太大,我们是无法这样凑出来的,怎么办?
这种方法也可以推广为把 十进制数化为k进制数的 算法,称为除k取余法.
练习:十进制数191化为五进制数是什么
数？
5 191
余数
5 38
1
57
3
51
2
0
1
191=1231（5）
思考:若十进制数
a
除以2所得的商是q0，余数是r0， 即a=2·q0+ r0；
q0除以2所得的商是q1，余数是r1， 即q0=2·q1+ r1；
2.通过k进制数与十进制数的转化， 我们也可以将一个k进制数转化为另一个 不同基数的k进制数.
62 0
余数
2 4 0 2
458=13022（4）=2042（6）
例2 将五进制数30241（5）转化为七 进制数.
30241（5） =3×54+2×52+4×5+1=1946.
7 1946 7 278 7 39
75 0
余数
0 5 4 5
30241（5）=5450（7）
小结作业
1.利用除k取余法，可以把任何一个 十进制数化为k进制数，并且操作简单、 实用.
结束
INPUT a，k b=0 i=0 DO
q=a\k r=a MOD k b=b+r*10∧i i=i+1 a=q
LOOP UNTIL q=0 PRINT b END
理论迁移
例1 将十进制数458分别转化为四进 制数和六进制数.
4 458 4 114 4 28
47 41
0
余数
2 2 0 3 1
6 458 6 76 6 12
=1×26+0×25+1×24 +1×23+0×22+0×21+1×20=1011001(2).
知识探究(一):除k取余法
我们可以用下面的除法算式表示除2取余法:
2 89
2 44 2 22 2 11 25
22 21
0
余数
1 0 0 1 1 0 1
把算式中各步所得的余数 从下到上排列,得到
89=1011001(2).