下载文档原格式
1 《幂函数》教案
一、教学目的：
使学生掌握幂函数的概念，会画幂函数的图象，能判定一个幂函数是增函 数还是减函数，能判断一个幂函数的奇偶性。
二、教学重难点：
1.教学重点：幂函数的图象、幂函数的增减性的证明。
2.教学难点：幂函数增减性的证明。
三、教学过程：
（一）新课引入
课本P90，p=w, S=a 2, V=a 3 ,a=S 21,v=t -1,
上述问题中的函数具有什么共同特征？
（二）新课讲授：
上述问题中涉及的函数，都是形如y ＝x a 的函数。
一般地，函数y ＝x a 叫做幂函数（power function ）。
其中x 是自变量，a 是常数。
当a ＝1,2，3，2
1，－1时，得到下列的幂函数，画出它们的图象，并观察图象， 将你发现的结论写在下表中：
y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 2
1
y ＝x －1 定义域 R R R ［0，＋∞） （－∞，0）∪（0，＋∞） 值域 R ［0，＋∞） R ［0，＋∞） （－∞，0）∪（0，＋∞） 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 ［0，＋∞）增 增 增 （－∞，0）减
（－∞，0）减 ［0，＋∞）减
定点 （1,1） （1,1） （1,1） （1,1） （1,1）
例1、证明幂函数f （x ）＝x 在［0，＋∞）上是增函数。
高中数学必修一幂函数教案教案主题：幂函数教案目标：1.了解幂函数的定义和性质；2.掌握幂函数图像的特点以及对称性；3.准确理解幂函数的增减性质并能应用到解题中；4.能够分析幂函数与线性函数、指数函数和对数函数的关系。
教学准备：1.多媒体教学工具；2.手写板或黑板；3.课本及教学参考书。
教学过程：一、导入（5分钟）教师利用多媒体工具或手写板呈现一幂函数的图像，并提问学生对于该图像的感受和认知。
引导学生逐渐了解幂函数。
二、输入与解释（10分钟）教师在黑板上写下幂函数的定义，并对每一部分进行解释。
幂函数定义：幂函数是指以自变量x为底数，以常数a（a>0且a≠1）为指数的函数。
它可以表示为y=x^a。
三、图像特点与对称性（20分钟）1.通过幂函数的图像和函数表达式的关系，教师解释幂函数的图像特点：（1）当a>1时，函数图像在x轴正半轴上逐渐上升；当0<a<1时，函数图像保持下降的趋势。
（2）当a为整数时，函数图像在坐标原点有一个翻转对称轴，如a为奇数，则函数图像在原点处且坐标原点是函数图像的一个特殊点。
2.教师通过实例讲解幂函数图像的对称性，并要求学生在黑板上绘制出幂函数图像，并观察其对称轴和特殊点。
四、增减性质与应用（30分钟）1.幂函数的增减性质：（1）a>1时，函数递增；（2）0<a<1时，函数递减。
教师通过函数的图像和定义，对幂函数的增减性质进行讲解，强调函数图像的上升和下降趋势。
2.教师通过例题引导学生应用增减性质去解题。
五、幂函数与其他函数的关系（20分钟）1.幂函数与线性函数的关系：幂函数的特殊情况即a=1时，函数变为y=x。
教师通过图像和式子对比，指出线性函数就是幂函数的特殊情况。
2.幂函数与指数函数及对数函数的关系：幂函数与指数函数和对数函数正好是互为反函数，即幂函数和指数函数是对方的反函数。
3.教师通过例题和实例分析，引导学生理解以上关系。
六、总结与归纳（10分钟）教师与学生共同总结幂函数的定义、图像特点以及与其他函数的关系。
2023高中数学幂函数教学教案（7篇）高中数学必修1《幂函数》教案篇一1、教学目标学问目标：（1）把握幂函数的形式特征，把握详细幂函数的图象和性质。
（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简洁问题。
力量目标：培育学生发觉问题，分析问题，解决问题的力量。
情感目标：（1）加深学生对讨论函数性质的根本方法和流程的阅历。
（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培育学生运用详细问题详细分析的方法分析问题、解决问题的力量。
2、教学重点：从详细函数归纳熟悉幂函数的一些性质并简洁应用。
教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。
3、教学方法和教学手段：探究发觉法和多媒体教学4、教学过程：问题情境问题1写出以下y关于x的函数解析式：①正方形边长x、面积y②正方体棱长x、体积y③正方形面积x、边长y④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。
（二）新课讲解幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。
为了加深对定义的理解，请同学们判别以下函数中有几个幂函数？①y=②y=2x2我们了解了幂函数的概念以后我们一起来讨论幂函数的性质。
问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法讨论这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起讨论了哪些性质呢？（学生争论，教师引导）（引发学生作图讨论函数性质的兴趣。
函数单调性的推断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。
）在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。
依据你的学习经受，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？（学生作图，教师巡察。
将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。
教师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。
人教版高中必修一《幂函数》教案一、教学目标1.了解幂函数的定义和特点；2.学习叠加思想，并掌握简单的幂函数叠加方法；3.能够解决一些实际问题。
二、教学重难点1.幂函数的定义及其特点；2.幂函数的叠加思想；3.幂函数的绘图方法；三、教学过程1.引入幂函数的定义：$y=x^p(p\\in \\mathbb{R})$让学生发现x的取值范围对函数图象的影响，并对函数图象进行描述。
2. 概念讲解1.首先讲解幂函数的定义，指出它是一种基本函数；2.介绍幂函数的性质，让学生知道幂函数的图像不可能横切x轴；3.引入幂函数的叠加思想，让学生知道可以将不同的函数图像叠加在一起。
3. 具体例子讲解1.书写公式，说明函数图象的性质；2.给出幂函数的图象，描出函数的图象；3.确定函数图象的性质，让学生明白函数图象的变化。
4. 例题解析1.给出实际问题，提供数据；2.根据实际问题列出函数式，确定函数图象；3.通过实际问题，解释函数图象的意义。
5. 分组讨论1.将学生分成若干小组，每组做一道练习题；2.每组向其他组展示自己的想法、方法及结果；3.学生之间相互交流，共同探讨出最佳答案。
四、教学方法1.板书法：结合具体例子进行讲解；2.案例法：让学生通过实际问题练习解题思路；3.分组讨论法：提高学生探究问题、思考问题和解决问题的能力。
五、教学帮助1.帮助学生理解定义和性质；2.尤其帮助学生掌握幂函数的叠加思想，找出函数图象的变化规律。
六、课堂反馈1.倾听学生提出的疑问和问题；2.鼓励并指导学生提出自己的解决方案；3.搜集学生反馈，及时调整教学进度和方法。
七、课堂作业1.完成教师布置的作业；2.阅读教材给出的例题；3.自己找出一些幂函数的例子进行探究。
高一数学教案：幂函数指数函数和对数函数教学目标1．使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性．2．通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力．通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力．3．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育．教学重点与难点教学重点：函数单调性的概念．教学难点：函数单调性的判定．教学过程设计一、引入新课师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？（用投影幻灯给出两组函数的图象．）第一组：第二组：生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组函数，函数值y随x的增大而减小．师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对．他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区别．当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小．虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质．我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质．而这些研究结论是直观地由图象得到的．在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容．（点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意．）二、对概念的分析（板书课题：）师：请同学们打开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍．（学生朗读．）师：好，请坐．通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？生：我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少．师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！（通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣．）师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象，体会这种魅力．（指图说明．）师：图中y=f1（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数y=f1（x）的单调增区间；而图中y=f2（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数y=f2（x）的单调减区间．（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．）师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师．）生：较大的函数值的函数．师：那么减函数呢？生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数．（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整．）师：好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？（学生思索．）学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力．（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时，给以适当的提示．）生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？生：不能．因为此时函数值是一个数．师：对．函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？生：不能．比如二次函数y=x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数．（在学生回答问题时，教师板演函数y=x2的图像，从“形”上感知．）师：好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间．师：还有没有其他的关键词语？生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语．师：你答的很对．能解释一下为什么吗？（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．）师：“属于”是什么意思？生：就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取．师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？生：可以．师：那么“任意”和“都有”又如何理解？生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？（让学生思考片刻．）生：可以构造一个反例．考察函数y=x2，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值x1=-2，x2=1，显然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的减函数，那就错了．师：那么如何来说明“都有”呢？生：y=x2在[-2，2]上，当x1=-2，x2=-1时，有f（x1）＞f（x2）；当x1=1，x2=2时，有f（x1）＜f（x2），这时就不能说y=x2，在[-2，2]上是增函数或减函数．师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定函数的增减性．（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解．在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力．）师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小．即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．这恰是辩证法中一般和特殊的关系．（用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的`能力．）三、概念的应用例1图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？（用投影幻灯给出图象．）生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间．生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，（增或减）．反之不然．例2证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数．师：从函数图象上观察固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径．（指出用定义证明的必要性．）师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程．（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较f（x1）和f（x2）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．）师：对于f（x1）和f（x2）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b 就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．生：（板演）设x1，x2是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当x1＜x2时，f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，所以f（x）是增函数．师：他的证明思路是清楚的．一开始设x1，x2是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设x1＜x2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看f（x1）-f（x2），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么f（x1）-f（x2）＜0，没有用到开始的假设“x1＜x2”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以x1-x2＜0，从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以小．（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的．）调函数吗？并用定义证明你的结论．师：你的结论是什么呢？上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数．生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2显然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，显然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定义域内的减函数．生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间．上是减函数．（教师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可依据学生的问题，给出下面的提示：（1）分式问题化简方法一般是通分．（2）要说明三个代数式的符号：k，x1·x2，x2-x1．要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变．对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视．）四、课堂小结师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？（请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示．）生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明时，应该注意证明的四个步骤．五、作业1．课本P53练习第1，2，3，4题．数．=a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2）=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]．（*）+b＞0．由此可知（*）式小于0，即f（x1）＜f（x2）．课堂教学设计说明是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．对学生来说，早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理．另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点．因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用．还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助．另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫．。
高一数学教案：《幂函数》高一数学教案：《幂函数》一．教材分析幂函数是继指数函数和对数函数后讨论的又一基本函数。
通过本节课的学习，同学将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性讨论一个函数的意识，因而本节课更是一个对同学讨论函数的方法和力量的综合检测。
二．学情分析同学通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步把握了如何去讨论一类函数的方法，即由几个特别的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。
三．教学目标1．学问目标（1）通过实例，了解幂函数的概念；（2）会画简洁幂函数的图象，并能依据图象得出这些函数的性质；（3）了解幂函数随幂指数转变的性质改变状况。
2．力量目标在探究幂函数性质的活动中，培育同学观查和归纳力量，培育同学数形结合的意识和思想。
3．情感目标通过师生、生生彼此之间的商量、互动，培育同学合作、沟通、探究的意识品质，同时让同学在探究、解决问题过程中，获得学习的成就感。
四．教学重点常见的幂函数的图象和性质。
五．教学难点画幂函数的图象引导同学概括出幂函数性质。
六．教学用具多媒体七．教学过程（一）创设情境（多媒体投影）问题一：下列问题中的函数各有什么特征？（1）假如张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付p＝w元．这里p是w的函数．（2）假如正方形的边长为a，那么正方形的面积为s＝a2．这里s是a的函数．（3）假如立方体的边长为a，那么立方体的体积为v＝a3．这里v是a的函数．（4）假如一个正方形场地的面积为s，那么这个正方形的边长为a＝．这里a是s的函数．（5）假如某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为v＝t-1（km／s）．这里v是t的函数．由同学商量、总结，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝，v＝t-1都是自变量的若干次幂的形式．问题二：这五个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？这时，同学观查可能有些困难，老师提示，可以用x表示自变量，用y表示函数值，上述函数式变成：y＝xa的函数，其中x是自变量，a是实常数．由此揭示课题：今日这节课，我们就来讨论：2.3幂函数（二）、建立模型定义：一般地，函数y＝xa叫作幂函数，其中x 是自变量，a是实常数。
3.5.1幂函数学习目标：通过具体实例了解幂函数的图象和性质，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.学习重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质.学习难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质.学习过程：一、新课引入：（1）边长为的正方形面积，这里是的函数；（2）面积为的正方形边长，这里是的函数；（3）边长为的立方体体积，这里是的函数；（4）某人内骑车行进了1，则他骑车的平均速度，这里是的函数；（5）购买每本1元的练习本本，则需支付元，这里是的函数.观察上述五个函数，有什么共同特征？（指数定，底变）二、学习新课：1、学习幂函数的图象与性质① 给出定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.② 练：判断在函数中，哪几个函数是幂函数？③ 作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．④ 引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律：（Ⅰ）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（Ⅱ）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（Ⅲ）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．2、例题学习：例1（P78例1）．证明幂函数上是增函数证：任取＜则==因＜0，＞0所以，即上是增函数.例2. 比较大小：与；与；与.三、巩固练习：1、论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．2. 比较下列各题中幂值的大小：与；与；与.四、小结：提问方式：（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？五、作业P79页1、2、3题3.5.2基本初等函数习题课课型：复习课学习要求：掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质，了解五个幂函数的图象及性质.学习重点：指数函数的图象和性质.学习难点：指数函数、对数函数、幂函数性质的简单应用.学习过程：一、复习准备：1. 提问：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质.2. 求下列函数的定义域：；；3. 比较下列各组中两个值的大小：；；二、典型例题：例1：已知＝，54b＝3，用的值例2、函数的定义域为 .例3、函数的单调区间为 .例4、已知函数.判断的奇偶性并予以证明.例5、按复利计算利息的一种储蓄，本金为元，每期利率为，设本利和为元，存期为，写出本利和随存期变化的函数解析式. 如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到1元）？（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息. ）（小结：掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，会用函数性质解决一些简单的应用问题. ）三、巩固练习：1.函数的定义域为 .，值域为 .2. 函数的单调区间为 .3. 若点既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，则=______，=_______4. 函数(，且)的图象必经过点 .5. 计算.6. 求下列函数的值域：;;;四、小结本节主要是通过讲炼结合复习本章的知识提高解题能力五、课后作业：教材P82 复习参考题A组1——8题答案：3.5.2基本初等函数习题课例1：已知＝，54b＝3，用的值解法1：由＝3得＝b∴＝＝解法2：由设所以即：所以因此得：。
高中数学幂函数的教案
一、教学目标：
1. 理解幂函数的基本概念和特点；
2. 掌握幂函数的图像特征和性质；
3. 能够解决幂函数相关的问题。
二、教学重点：
1. 幂函数的定义和基本特点；
2. 幂函数的图像性质。
三、教学难点：
1. 幂函数的特殊情况的解决方法；
2. 幂函数的应用问题的解决。
四、教学过程：
1. 导入：通过实际生活中的例子引入幂函数的概念，引发学生的兴趣。
2. 概念讲解：介绍幂函数的定义和基本特点，解释幂函数的图像特征和性质。
3. 实例演练：通过案例分析，让学生运用所学知识解决幂函数相关的问题。
4. 拓展应用：引导学生探讨幂函数在实际问题中的应用，开拓思维。
五、课堂讨论：组织学生讨论幂函数的特殊情况和解决方法，促进学生之间的交流和思考。
六、练习测试：布置与幂函数相关的习题，检验学生对知识的掌握程度。
七、总结反思：引导学生总结本节课的重点知识，反思学习过程中的问题和感悟。
八、课后复习：提醒学生及时复习幂函数相关知识，完成作业，并准备下节课内容。
九、教学手段：采用多媒体教学、案例分析、讨论互动等方式，激发学生学习兴趣。
十、教学评估：根据学生的学习情况和表现，及时调整教学策略，确保教学效果。
十一、教学延伸：鼓励学生主动学习，拓展幂函数相关知识，提高数学思维能力。
以上是高中数学幂函数的教案范本，仅供参考。
祝教学顺利！。
数学辅导教案学生姓名 性别年级高一学科数学 授课教师上课时间 年 月 日第（ ）次课 共（ ）次课课时：2课时教学课题人教版 高一数学 必修一 幂函数 复习教案教学目标知识目标：通过实例，了解幂函数的概念，结合函数的图像，了解他们的变化情况，掌握研究一 般幂函数的方法和思想. 能力目标：使学生通过观察函数的图像来总结性质，并通过已学的知识对总结出的性质进行解释，从而达到掌握研究幂函数性质的一般方法.情感态度价值观：通过引导学生主动参与作图，分析图像的过程，培养学生的探索精神，在研究函数的变化过程中渗透辩证唯物主义观点.教学重点与难点【教学重点】幂函数的概念、图像和性质.【教学难点】将函数图像的感性认识上升到理性认识，归纳概括成函数的性质.【知识梳理】一、幂函数的定义一般地，形如y xα=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x-===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.二、幂函数的图像幂函数ny x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握ny x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数．③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．n y x =奇函数 偶函数 非奇非偶函数1n >01n <<0n <三、幂函数基本性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）0>α时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）0<α时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 规律总结：1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2．对于幂函数αx y =，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型．四、幂函数的应用OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyxOy【典型例题】考点1 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【例1】在函数22031,3,,y y x y x x y x x===-=中，幂函数的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【例2】已知幂函数αx x f =)(的图象经过点)21,2(，则函数)(x f 的定义域为（ ）A ．)0,(-∞B ．),0(+∞C ．)0,(-∞⋃),0(+∞D ．),(+∞-∞【变式1】幂函数αx k x f ⋅=)(的图象过点)22,21(，则α+k =（ ） A ．21B ．1C ．23D ．2【变式2】已知1222)()(--+=m m x m m x f ，当m 取什么值时（1）)(x f 是正比例函数； （2）)(x f 是反比例函数； （3）)(x f 是幂函数.考点2 幂函数的图象【例3】幂函数nmy x =（m 、n N ∈，且m 、n 互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有 （ ）()A m 、n 为奇数且1mn<()B m 为偶数，n 为奇数，且1mn >()C m 为偶数，n 为奇数，且1mn <()D m 奇数，n 为偶数，且1mn >【变式1】当),1(+∞∈x 时，幂函数αx y =的图象恒在x y =的下方，则α的取值范围______________.xOy a y x = b y x = c y x =【变式2】右图为幂函数y x α=在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是 （ ）()A a b c d >>> ()B b a d c >>> ()C a b d c >>>()D a d c b >>>考点3 幂函数的性质【例4】比较下列各组数的大小： （1）131.5，131.7，1；（2）()372-，()373-，()375-；（3）2322-⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1--．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．【例5】已知幂函数)(x f y =的图象过点)2,2(. （1）求)(x f y =的解析式；（2）判断)(x f y =在其定义域上的单调性，并加以证明.)()(213Z k xx f k k ∈=-+),0(+∞)(x f______________.【变式2】已知函数)()(322Z m x x f m m∈=++-为偶函数，且)5()3(f f <；（1）求m 的值，并确定)(x f 的解析式；（2）若)1,0]()([log ≠>-=a a ax x f y a 在区间]3,2[上为增函数，求实数a 的取值范围.考点4 幂函数的实际应用 【例6】已知22)(xx f =，(1)判断)(x f 在(0，＋∞)上的单调性并证明；(2)当),1[+∞∈x x∈[1，＋∞)时，求)(x f 的最大值．【变式1】求函数)32(425152-≥++=x x x y 值域．【变式2】已知幂函数)()(42Z m x x f mm∈=-的图象关于y 轴对称，且在区间),0(+∞为减函数；（1）求m 的值和函数)(x f 的解析式； （2）解关于x 的不等式)21()2(x f x f -<+.【课堂训练】2、函数])2,1[(log 2)(2∈+=x x x f x的值域为______________. 3、)1(log )(2m xx x f ++=的值域为R ，则m 的取值范围是____________. 4、幂函数1-=x y 及直线x y =，1=y ，1=x 将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数21x y =的图象经过的“卦限”是（ ）A ．④⑦B ．④⑧C ．③⑧D ．①⑤5、如图所示的曲线是幂函数nx y =在第一象限内的图象，已知n 分别取21,2±±四个值，则与曲线4321,,,c c c c 相应的n 分别为（ ） A ．2,21,21,2-- B ．212,21,2--，C ．21,2,2,21--D ．2,21,21,2-- 6、已知21)(x x f =，若10<<<b a ，则下列各式中正确的是（ ）A ．)1()1()()(b f a f b f a f <<<B ．)()()1()1(a f b f bf a f <<<C ．)1()1()()(a f b f b f a f <<<D ．)()1()()1(b f bf a f a f <<< 7、若()()1133132a a --+<-，则实数a 的取值范围是__________________.8、已知函数122)2()(-++=m m x m m x f 为幂函数且是奇函数，则实数m 的值是________________.9、已知函数)(32-2Z n x y n n ∈=-的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数图象.10、函数322)(--=ax xx f 是偶函数.（1）是确定a 的值，及此时的函数解析式；（3）当]0,2[-∈x 时，求函数322)(--=ax x x f 的值域.11、一直幂函数)(322*--∈=N m x y m m 的图象关于y 轴对称，且在),0(+∞上是减函数.（1）求m 的值； （2）求满足33)23()1(m m a a ---<+的a 的取值范围.【课后作业】1. 下列函数中不是幂函数的是（ ） A ．y x =B ．3y x =C ．2y x =D ．1y x -=2. 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ）A ．13y x = B ．2y x = C ．3y x = D ．2y x -=3. 下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（ ） A ．23y x = B ．32y x = C ．23y x -= D ．32y x-=4．函数212)2(--=x x y 的定义域是（ ）A ．{x |x ≠0或x ≠2}B ．（－∞，0） （2，＋∞）C ．（－∞，0）］ ［2，＋∞］D ．（0，2） 5．函数212)1(x y -=的值域是（ ）A ．［0，＋∞］B ．（0，1）C ．（0，1）D ．［0，1］ 6．函数y ＝52x 的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，1）B ．（－∞，0）C ．［0，＋∞］D ．（－∞，＋∞）7．若a 21＜a21－，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ．a ＞0C ．1＞a ＞0D ．1≥a ≥0 8．函数y ＝32)215(x x －＋的定义域是_____________________。
