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B全等性质和判定导引（罗）一、 基本认识在一个三角形中有六个主要元素,就是三角和三边.我们知道，要证明两个三角形全等，只要指出在这两个三角形中有三个（适当选择的）元素相等就行了，其余的三个元素也因此就相等了.首先要注意的是，要证明两个三角形全等，无论如何都不能缺一组对应边相等。
若只有3组角对应相等（其实2组就够了），最多能得到两三角形相似.其次，一定要当心“对应”这两个字.1）“△ABC 和△DEF 全等”与“△ABC ≌△DEF ”这两者需要表达的意义是有很大区别的.前者没有要求对应点字母对应，后者严格要求对应点的字母对应.2）“两三角形有两角分别相等且有一组边相等，这两个三角形全等。
”这句话是不正确的，因为可能存在不对应的情况。
例如：Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是BC 边上的高。
对于△ABD 和△ACD 来说，∠ADB = ∠BAC =90°，∠ABD = ∠DAC ，AD = AD ，但这两个三角形并不全等。
最后，几何证明的特色就在于“解无定法”，思考问题时，一定要避免这道题“非得”这么做才可以的想法。
某种方法可能对于这道题很好，但是对其他题也许就不行了。
所以平时练习时，一定要强调一题多解，加强转换问题的能力，从各个角度来切入问题。
二、 等式性质公共边等长加等长（平移）等角加等角（旋转）三、常用模型导引（重点）由于只要获取3组对等关系即可证明全等，故本节的重点在于能够迅速地从图形中找到直接的、有用的信息。
而熟悉常见的全等模型的构图方法，掌握处理这些模型的方法，对于解决全等证明具有很大的帮助。
全等三角形的构造，一部分是从具有良好对称性的图形（如：平行四边形或等腰三角形）中构造而来；一部分是经过几何变换（平移、翻折、旋转）获得的；还有一部分是利用某些图形良好的角度特性（角平分线、高线、圆），再加上特殊的条件使得一组对应边相等，从而构造出全等三角形。
观察题目给出的图形时，一定要见树木更见森林（第三境界），知道它是怎样从整体中分离出来的，知道它是怎样构造的。
本节主要针对全等三角形的相关概念和性质及全等三角形的判定进行讲解，重点是全等三角形的性质的运用和判定两个三角形全等的四个判定定理，要求同学们可以达到灵活运用判定定理进行说明三角形全等的理由．本节课是几何说理的基础，综合性不高，相对简单．全等形、全等三角形及其相关的概念（1） 全等形：能够重合的两个图形叫做全等形.（2） 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边．如下图所示：已知：△ABC ≌DFE ，A 与D ，B 与F 是对应顶点，则：(C 与E 是对应顶点) 对应边有：AB 与DF ，AC 与DE ，BC 与FE ． 对应角有：A D B F C E ∠∠∠∠∠∠与，与，与．全等三角形的概念性质和判定内容分析知识结构模块一：全等三角形的概念和性质知识精讲AB C DE全等三角形的数学语言：三角形ABC与三角形A′B′C′全等，记作△ABC≌△A′B′C′，读作“三角形ABC 全等于三角形A′B′C′”．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的面积相等，周长相等；（3）全等三角形的对应线段（高线、中线、角平分线）相等．全等三角形中应注意的问题：（1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义；（2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等；（3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上；画三角形：确定三角形形状、大小的条件：六个元素（三条边、三个角）中的如下三个元素：两角及其夹边；两边及其夹角；三边.例题解析【例1】下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的三角形B．全等三角形是指面积相等的三角形C．全等三角形的周长和面积都相等D．所有的等边三角形都全等【难度】★【答案】【解析】【例2】直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A．形状相同B．周长相等C．面积相等D．全等【难度】★【答案】【解析】【例3】 如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（ ） A ．∠1＝∠2 B ．AC ＝CA C ．∠B ＝∠D D ．AC ＝BC【难度】★ 【答案】 【解析】【例4】 下列各条件中，不能作出唯一的三角形的是 （ ）A ．已知两边和夹角B ．已知两角和夹边C ．已知两边和其中一边的对角D ．已知三边 【难度】★ 【答案】 【解析】【例5】 练习画出下列条件的三角形：（1） 画,ABC ∆使40,45,4A B AB cm ∠=︒∠=︒=； （2） 画,ABC ∆使6,8,10AB cm BC cm AC cm ===； （3） 画,ABC ∆使4,3,45AB cm AC cm A ==∠=︒； （4） 画,ABC ∆使8,5,50AB cm AC cm B ==∠=︒． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例6】 下列说法：①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个三角形是全等三角形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④在△ABC 和△DEF 中，若∠A =∠D ，∠B =∠E ，∠C =∠F ，AB =DE ，BC =EF ，AC =DF ，则两个三角形的关系，可记作△ABC ≌△DEF ，其中说法正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【难度】★★ 【答案】 【解析】21ABCD【例7】 下列说法中错误的是（）A ．全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角B ．全等三角形的公共边也是对应边C ．全等三角形的公共顶点是对应顶点D ．全等三角形中相等的边所对应的角是对应角，相等的角所对的边是对应边 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例8】 如图所示，ABE ADC ABC ∆∆∆和是分别沿着AB AC 、边翻折形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为 （ ） A ．80° B ．100° C ．60° D ．45° 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例9】 如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠DAB 交DC 于点E ，连接BE ，过E 作EF ⊥BE交AD 于F .（1）∠DEF 和∠CBE 相等吗?请说明理由；（2）请找出图中与ED 相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由. 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例10】 如图所示，30255ADF BCE B F BC cm ∆≅∆∠=︒∠=︒=，，，，14CD cm DF cm ==，．求：（1）1∠的度数；（2）AC 的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】α321AB CDEP1ABEF【例11】 如图，在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠ACB =2:5:11，若将△ABC 绕点C 逆时针旋转，试旋转前后的△A ’B ’C ’中的顶点B ’在原三角形的边AC 的延长线上，求∠BCA ’的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例12】 如图，已知△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交AD 于点F ，交AE 的延长线于G ，∠ACB =1050，∠CAD =100，∠ADE =250，求∠DFB 和∠AGB 的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例13】 如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时.（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角； （2）设∠AED 的度数为x ，∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少?（用含有x 或y 的代数式表示）（3）∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCA’B ’A BCDEF G 21A B C DEA ’【例14】 如图（1）所示，把△ABC 沿直线BC 移动线段BC 那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置；如图（3）所示，以点A 为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换，问题：如图（4），△ABC ≌△DEF ，B 和E 、C 和F 是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角．ABC DE（1）ABCD（2）A BCDE（3）ABC（4）DEF【难度】★★★ 【答案】 【解析】本模块复习了全等三角形的4个判定定理，主要是已知条件为“两边及夹角对应相等（SAS ）”，“两角及夹边对应相等（ASA ）”，“两角及其中一角的对边对应相等（AAS ）”“三边对应相等（SSS ）”的两个三角形全等．模块二：全等三角形的判定知识精讲【例15】 如图，已知∠B =∠D ，∠1=∠2，AC =AE ，说明△ABC ≌△ADE 的理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例16】 如图，已知∠C =∠E ，BE =CD ，说明△ABE 与△ADC 全等的理由，AB 与AD相等吗?为什么? 【难度】★ 【答案】 【解析】【例17】 如图，已知AD =BC ，AE =BE ．说明AC =BD ，∠C =∠D 的理由． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例18】 如图，已知AB =CD ，AD =BC ，说明∠A =∠C 的理由． 【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析ABCDEFA B CD21AB CDEABCDE【例19】 如图，已知BD 是△ABC 的中线，B 、D 、E 、F 在一条直线上，且AE ∥CF ，说明△ADE 与△CDF 全等的理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例20】 如图，已知AC ∥BD ，AC =BD ，（1）说明△AOC 与△BOD 全等的理由；（2）说明EO =FO 的理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例21】 如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，OD =OE ，说明AB =AC 的理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例22】 如图，已知AD ∥BC ，BF ∥DE ，AE =CF ．（1） △ADE 与△CBF 全等吗，为什么? （2） 说明AB =CD 的理由； （3） 图中有哪几对全等三角形? 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABC D EFABCD EFO ABC DEOABCDEF【例23】 如图，已知AB =CD ，BM =CM ，AC =BD ，说明AM =DM 的理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例24】 如图，∠1=∠2，AC =BD ，E 、A 、B 、F 在同一条直线上，说明：∠CAD =∠DBC 的理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例25】 如图所示，AB =AC ，CE =BE ，连结AE 并延长交BC 于D ，说明AD ⊥BC 的理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例26】 如图所示，BE 、CD 相交于O ，AB =AC ，AD =AE ，说明OD =OE 的理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】21ABC DEFACDABCDE ABC DEO【例27】 如图，已知AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE ．试说明：AC ⊥CE ，若将CD 沿CB 方向平移得到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余的条件不变， 结论AC 1⊥C 2E 还成立吗?请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例28】 如图，线段BE 上有一点C ,以BC 、CE 为边分别在BE 的同侧作等边三角形ABC 、DCE ，连结AE 、BD ，分别交CD 、CA 于Q 、P ．（1）找出图中的一组相等的线段(等边三角形的边长相等除外)，并说明你的理由； （2）取AE 的中点M 、BD 的中点N ，连结MN ，试判断△CMN 的形状． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】2121A BDQP ABCDEMNPQ ABCD EMAB C 2D EC 1AB C 1D EM AB C 2 DEM C 1MAB C 1D EC 2【例29】 如图，△ABC 是等腰直角三角形，其中CA =CB ，四边形CDEF 是正方形，连接AF 、BD ．（1）观察图形，猜想AF 与BD 之间有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）若将正方形CDEF 绕点C 按顺时针方向旋转，使正方形CDEF 的一边落在△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立?若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题1】 下列命题中正确的是 （ ）A ．全等三角形的高相等B ．全等三角形的中线相等C ．全等三角形的角平分线相等D ．全等三角形对应角的平分线相等 【难度】★ 【答案】 【解析】随堂检测A BCD EF【习题2】 如图，△ABD ≌△CDB ，且AB 、CD 是对应边；下面四个结论中不正确的是（ ）A ．△ABD 和△CDB 的面积相等 B ．△ABD 和△CDB 的周长相等C ．∠A +∠ABD =∠C +∠CBD D ．AD ∥BC ，且AD =BC【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】 如图，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD =7厘米，DM =5厘米，∠DAM =390，则AN = 厘米，NM =____________厘米，∠NAB = ． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题4】 尺规作图作AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题5】 如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，（1）若AC //DB ，且AC =DB ，则△ACE ≌△BDF ，根据__________； （2）若AC //DB ，且AE =BF ，则△ACE ≌△BDF ，根据__________； （3）若AE =BF ，且CE =DF ，则△ACE ≌△BDF ，根据__________； （4）若AC =BD ，AE =BF ，CE =DF ．则△ACE ≌△BDF ，根据__________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDA BCD MNABCDPOA BCEDF【习题6】 如图，已知△ABC ≌△ADE , ∠CAD =150，∠DFB =900，∠B =250．求∠E 和∠DGB 的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题7】 如图：A 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AE =CF ，过E 、F 分别作BE ⊥AC 、DF ⊥AC ，且AB ∥CD ，AB =CD ．试说明：BD 平分EF ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题8】 如图所示，△ABC 绕顶点A 顺时针旋转，若∠B ＝40°，∠C ＝30°，（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB 'C '的顶点C '与原三角形的顶点B 和A 在同一直线上?（原△ABC 是指开始位置）（2）再继续旋转多少度时，点C 、A 、C '在同一直线上? 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题9】 已知：如图，△ABC 是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG ∥BC ，交AC于点G ，•在GD 的延长线上取点E ，使DE =DB ，连结AE 、CD ． 试说明：△AGE ≌△DAC ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDE F G ABDEFGABCDE FG【习题10】 在∠O 的两边上分别取点A 、D 和B 、C ，连接AC 、BD 相交于P ．（1）若∠A ＝∠B ，P A ＝PB ，试说明OA ＝OB 的理由； （2）若OA ＝OB ，P A ＝PB ，试说明PC ＝PD 的理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题11】 如图，△ABC 、△ADE 都是等腰直角三角形，绕着顶点A 旋转后位置如下：（1） 当C 、A 、D 在同一直线上，说明CE 与BD 有何关系?为什么?（2） 当△ADE 再继续旋转到（2）、（3）、（4）的位置后，CE 与BD 又有何关系． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDPOAB CDP OAB CD E（1）（2）ABDCE（3） （4）AB CE DABCDE【作业1】 如图，△ABC ≌△ABD ，C 和D 是对应顶点，若AB =6cm ，AC =5cm ，BC =4cm ，则AD 的长为_________cm ． 【难度】★ 【答案】 【解析】【作业2】 如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF ===∠∠，，； ③B E BC EF C F ===∠∠∠∠，，； ④AB DE AC DF B E ===∠∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有 （ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组【难度】★ 【答案】 【解析】【作业3】 下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（ ）A ．已知两边和夹角B ．已知两角和夹边C ．已知两边和其中一边的对角D ．已知三边【难度】★ 【答案】 【解析】【作业4】 已知△ABC ≌△DEF ,若△ABC 的周长为32，AB =8，BC =12，则DE =_______，DF =_______，EF = _______． 【难度】★★【答案】 【解析】课后作业A B C DEABCD【作业5】 如图△ACE ≌△DBF ，AE =DF ，CE =BF ，AD =8，BC =2．（1）求AC 的长度；（2）说明CE ∥BF 的理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业6】 如图，已知△ABC ≌△AED ，AE =AB ，AD =AC ， ∠D -∠E =200，∠BAC =600，求∠C 的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业7】 如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，点C 在线段AB 上，AE 、BD 分别与CD 、 CE 交于点M 、 N ，有如下结论①△ACE ≌△DCB ；② CM =CN ；③ AC =DN ．其中正确的结论是_______________，证明正确的结论． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】 如图，AD ⊥AB ，AC ⊥AE ，且AD ＝AB ，AC ＝AE ． 试说明：DC ＝BE ，DC ⊥BE ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDABCD EM NA BCDEGABCDEE【作业9】 如图，已知AE =CF ，∠DAF =∠BCE ，AD =CB ． （1）问△ADF 与△CBE 全等吗?请说明理由；（2）如果将△BEC 沿CA 边方向平行移动，可有图中3幅图，如上面的条件不变， 结论仍成立吗?请选择一幅图说明理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业10】 如图，以△ABC 的边AB 、AC 为边向外作等边△ABD 和等边△ACE ，BE与CD 相交于点F ．（1）请说明△ABE ≌△ADC 的理由； （2）求∠1的度数． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCD EF A BC D E FAB CDEC （A ）BD。
人教版数学七年级上册《三角形全等的判定(1)SSS》教案一. 教材分析《三角形全等的判定(1)SSS》是人教版数学七年级上册的一章，主要介绍了三角形全等的判定方法之一——SSS(Side-Side-Side)。
本节课通过讲解和实例分析，让学生理解并掌握SSS判定方法，能够运用SSS证明两个三角形全等。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，能够识别和判断三角形的类型。
但是，对于三角形全等的判定方法，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握SSS判定方法。
三. 教学目标1.让学生理解三角形全等的概念，掌握SSS判定方法。
2.培养学生运用SSS判定方法解决实际问题的能力。
3.提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.教学重点：SSS判定方法的理解和运用。
2.教学难点：对于复杂图形的SSS判定方法的运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生自主探究和小组讨论，培养学生的解决问题能力和团队合作精神。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备一些实际的三角形图形，用于讲解和练习。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个实际问题引出三角形全等的概念，例如：“在拼图游戏中，如何判断两个三角形是否完全一样？”让学生思考和讨论，引导学生认识到三角形全等的重要性。
2.呈现(10分钟)讲解三角形全等的定义和SSS判定方法。
通过PPT和实物图形，让学生直观地理解SSS判定方法。
举例说明SSS判定方法的应用，让学生初步掌握如何判断两个三角形全等。
3.操练(10分钟)让学生分组练习，每组提供一些实际的三角形图形，要求学生运用SSS判定方法判断两个三角形是否全等。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固(10分钟)通过一些综合性的题目，让学生运用SSS判定方法解决问题。
教师引导学生思考和讨论，帮助学生巩固所学知识。
12.2全等三角形的判定（1）知识点一：全等三角形的判定1、全等三角形的判定一：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”． 用数学语言表述：在△ABC 和'''A B C ∆中,∵''AB A B AC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌'''A B C ∆（SSS ） 2、这个判定方法告诉我们：当三角形的三边都确定后，其形状、大小都随之确定，这就是三角形的稳定性． 3、全等三角形的判定二：两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”． 用数学语言表述：在△ABC 和'''A B C ∆中,∵''AB A B B BC =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌'''A B C ∆（SAS ） 知识点二：全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等，全等三角形的周长、面积相等. 例题一：1、已知：如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF .求证：∠A ＝∠D ．2、如图，已知AB=CD ，AC=BD ，求证：∠A=∠D ．3、如图，AD=CB ，E 、F 是AC 上两动点，且有DE=BF.（1）若E 、F 运动至如图①所示的位置，且有AF=CE ，求证：△ADE ≌△CBF.（2）若E 、F 运动至如图②所示的位置，仍有AF=CE ，那么△ADE ≌△CBF 还成立吗？为什么？ （3）若E 、F 不重合，AD 和CB 平行吗？说明理由.A ’C ’B ’C ’ B ’C ’ ∠B ’D FCBAEDFCBA EC 'B 'A 'C BA C 'B 'A 'C B A练习一：1、如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠1=∠2．2、如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．证明△ABC≌△FDE.3、如图，CE＝DE，EA＝EB，CA＝DB，求证：△ABC≌△BAD．例题二：4、已知：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．5、如图所示，AD为△ABC的高，且AD＝BD，F为AD上一点，连结BF并延长AC于E，CD＝FD，求证：BE⊥AC.6、(1)小明做了一个如图所示的风筝，测得DE=DF，EH=FH，你能发现哪些结论？并说明理由. FDCBEAABCED(2)如图，∠1=∠2，AB=AD ，AE=AC ，求证BC=DE. 练习二：4、已知：如图，AB ＝AC ，BE ＝CD ．求证：∠B ＝∠C ．5、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．6、已知：如图，AC ⊥BD ，BC=CE ，AC=DC ，求证：∠B+∠D=90°.第二部分：能力拓展例题：7、如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，点E 在AD 上，找出图中全等的三角形，并说明理由.8、如图，已知CA=CB ，AD=BD ，M 、N 分别是CA、CB 的中点，求证：DM=DN.跟进练习：7、已知，如图A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF= CD ，AB ∥DE ，且AB= DE ，求证：（1）△ABC ≌△DEF ；（2）CBF=FEC.8、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。
全等三角形 全等三角形 知识梳理一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理 （一）、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
DCB AED C BA F EDCB AODCBAFE DC B A2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA ）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)5. 经典例题透析证明图形全等基础版——“SSS ”（1）已知：AB=DC ，AD=BC ，求证：∠A=∠C（2）如图，E 是AD 上的一点，AB=AC ，AE=BD ，CE=BD+DE ，求证：∠CED=∠B+∠C基础版—— “SAS ”（3）如图，AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF ，求证：BE=DF（4） 已知：如图，点A B C D 、、、在同一条直线上，EA AD ⊥，FD AD ⊥，AE DF =，AB DC =．求证：ACE DBF ∠=∠．基础版—— “ASA ”与“AAS ”（5）如图，已知：AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，∠B ＝∠C ，求证：BD ＝CENM ED CB A OEDCBA（6）如图，△ABC 中，∠BAC=90︒，AB ＝AC ，直线MN 过点A ，BD ⊥MN 于D ，CE ⊥MN 于E ，求证：DE ＝BD+CE基础版——“HL ”（R t △） （7）如图，AB ⊥AC ，AB//CD ，AC=CD ，BC=DE ，BC 与DE 相交于点O ，求证：DE ⊥BC类型一：全等三角形性质的应用1、如图，△ABD ≌△ACE ，AB =AC ，写出图中的对应边和对应角.举一反三：【变式1】如图，△ABC ≌△DBE .问线段AE 和CD 相等吗？为什么？2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数与EC 的长。
第八讲全等三角形综合（一）板块一倍长中线倍长过中点的线段，构造全等三角形：（图形的运动——旋转180°，中心对称）C'A O BCCBA如图，O为线段AB的中点。
【常用辅助线】延长CO至'C，使得'OC OC=，联结'BC.在AOC∆和'BOC∆中⎧⎪⎨⎪⎩∴AOC∆≌'BOC∆（）∴A B∠=∠（）∴//'AC BC（）【例题1】 在ABC ∆中，a 5AB =，a 3AC =(0>a )，求中线AD 的取值范围.BCA【例题2】 如图，AD 是ABC ∆的中线，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且DE DF ⊥，试判断BE CF +与EF 的大小关系，并证明你的结论。
CD B FEA【例题3】在ABC∆中，AD平分BAC∠，E为BC中点，过E作EF AD∥交AB于G，交CA的延长线于F，求证：BG CF=板块二截长补短【例题4】如图，ABC∆中，2,12C B∠=∠∠=∠，求证：.AB AC CD=+AB CD【例题5】【基础、提高】如图，已知：在四边形ABCD中，//,AB CD BE平分,ABC AB CD BC∠+=求证：CE平分BCD∠.BACDGFE D CBA【尖子】如图，在四边形ABCD 中，已知,60,120AB AD BAD BCD =∠=∠=o o . 求证：BC DC AC +=.DBA【例题6】 【基础、提高】如图60ABD ACD ∠=∠=o ，1902ADB BDC ∠=-∠o 。
求证：AB BD CD =+.【尖子】 如图，已知：在ABC ∆外作正方形ABDE 和,ACGF M 是BC 的中点.求证：12AM EF =.DC BAB CAFGDEM（基础、提高） （尖子）【例题7】【基础】求证：等腰三角形底边上的任意一点，到两腰的距离之和等于定长。
【提高】如果这个点在底边延长线上，你可以得到什么结论？给出你得出的命题，并证明。
人教版数学七年级上册《全等三角形》教学设计（第一课时）》教学设计一. 教材分析人教版数学七年级上册《全等三角形》是初中的重要知识点，主要让学生了解全等三角形的概念、性质和判定。
本节课的教学内容主要包括全等三角形的定义、性质以及SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法。
通过对全等三角形的学习，为学生后续学习几何证明和三角形相似打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了平行线、相交线等基本几何知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但学生在学习全等三角形的过程中，可能会对概念和判定方法的理解存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，逐步掌握全等三角形的知识。
三. 教学目标1.理解全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质。
2.学会使用SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法判断两个三角形是否全等。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
4.学会运用全等三角形的知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.全等三角形的概念和性质。
2.SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法的掌握和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究全等三角形的性质和判定方法。
2.利用多媒体课件和实物模型，帮助学生直观地理解全等三角形的概念和性质。
3.采用合作学习的方式，让学生在小组讨论中互相启发，共同解决问题。
4.注重练习与反馈，及时巩固所学知识。
六. 教学准备1.多媒体课件和实物模型。
2.练习题和学习资料。
3.黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中常见的全等三角形例子，如两只完全一样的铅笔、两块相同的饼干等，引导学生思考：如何判断这两个物体是否完全相同？从而引入全等三角形的概念。
2.呈现（10分钟）教师简要介绍全等三角形的定义和性质，如全等三角形的对应边相等、对应角相等。
同时，展示SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并通过动画演示让学生直观地理解这四种判定方法的应用。
BPAa专题 三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA%③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .，【例2】作一个角等于已知角。
已知：如图，∠AOB 。
求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形 已知：如图，线段a ，b ，c.'求作：△ABC ，使AB = c ，AC = b ，BC = a. 作法：【例4】已知两边及夹角作三角形 已知：如图，线段m ，n, ∠ .求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.…【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.@随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．3．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角#C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半%C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。
