第三章 机械零件的强度

• 变应力的应力比保持不变，即：r = C
• 变应力的平均应力保持不变，即：sm = C • 变应力的最小应力保持不变，即：smin = C
1.变应力的应力比保持不变，即 r C （如转轴）
s a s max s min 1 r C s m s max s min 1 r
一、疲劳破坏 机械零件在变应力作用下,即使变应力的 smax < sb ，而应
力的每次循环也仍然会对零件造成轻微的损伤。随应力循环次数的 增加，当损伤累积到一定程度时，在零件的表面或内部将出现（萌 生）裂纹。之后，裂纹又逐渐扩展直到发生完全断裂。这种缓慢形 成的破坏称为 “疲劳破坏”。
“疲劳破坏” 是循环应力作用下零件的主 要失效形式。
直线CG方程：
s ae s m e s s
三、单向稳定变应力时机械零件的疲劳强度计算
一般步骤：
1）由外载荷smax 、smin sm 、sa——工作应力；
2）将工作应力sm、sa标在零件极
限应力图上，得工作应力点：
M（ sm，sa ）
M s m e,s ae M s m,s a
在零件极限应力图上表示 为：平行 纵坐标 的一条 直线。
M s m e,s ae M s m,s a
1）如果此线与AG线交于M（ sme ，sae ），则有：
s m e s m
,
s ae

s 1
ss m
Ks
s lim s m ax s ae s m e s 1
M s m e,s ae
s a Cs m
显然，直线OM上任一点的应力
比均相同，M 就是零件的极限
应力点。
M s m,s a

a 受拉
对称循环变应力
▴ 变应力参数
σ σmax o 循环变应力 σa
静应力: σ = 常数 变应力: σ 随时间变化
σ
σa
σmin σm t o
σ=常数
t
max min 最大应力： max = m+ a m 平均应力:
2
应力幅:
a
max min 最小应力：min= m－a
§3-2
机械零件的疲劳强度计算
对于切应力的情况，只需用τ代替σ，就可以得到相 应的极限应力曲线方程：
1e
1
K
'ae e ' me
及： 'ae ' me s
k 1 1 K 1 q
或： 1 K 'ae 'me
弯 曲
σb =
32M πd3
D/d 1.30 1.20 1.15 1.10 2.39 2.28 2.14 1.99 1.79 1.69 1.63 1.56 1.59 1.53 1.48 1.44 1.49 1.44 1.40 1.37 1.43 1.37 1.34 1.31 1.39 1.33 1.30 1.28 D/d 2.0 1.50 1.20 1.10 2.33 2.21 2.09 2.00 1.73 1.68 1.62 1.59 1.55 1.52 1.48 1.46 1.44 1.42 1.39 1.38 1.35 1.34 1.33 1.31 1.30 1.29 1.27 1.26
σ e ---零件受弯曲的材料常数；
§3-2
机械零件的疲劳强度计算
综合影响系数Ｋσ 反映了：应力集中、尺寸因素、 表面加工质量及强化等因素的综合影响结果。其计算公 式如下：

§3-2 机械零件的疲劳强度 1. 由于零件的几何形状的变化、尺寸大小、加工质量及强化 由于零件的几何形状的变化、尺寸大小、 因素等影响，使零件的疲劳极限要小于材料试件的疲劳极限。 因素等影响，使零件的疲劳极限要小于材料试件的疲劳极限。 综合影响系数K 2. 若以弯曲疲劳极限的综合影响系数 σ 若以弯曲疲劳极限的综合影响系数 表示材料r 及零件r 的疲劳极限值之比， 表示材料 = －1及零件 = －1的疲劳极限值之比，即： 及零件 的疲劳极限值之比
§3-4 机械零件的接触强度
1、接触应力 、 两圆柱体接触——线接触 两圆柱体接触——线接触 ——
F 1 1 ( ± ) B ρ1 ρ2 σH = 2 2 1− µ1 1− µ2 π( + ) E1 E2
F：作用于接触面上的总压力
（3-36） ）
B：初始接触线长度
零件1和零件2初始接触处的曲率半径。 ρ1和ρ2：零件1和零件2初始接触处的曲率半径。 公式中， 号为外接触， 为内接触。 公式中，+号为外接触，- 为内接触。 μ和 E：分别为材料的泊松比和弹性模量
3.零件的极限应力图 3.零件的极限应力图
有影响， 无影响， 由于 k 只对 有影响，而对 σ 无影响，∴在材料 m σ 的极限应力图 A´D´G´C上几个特殊点的坐标计入 影响 σ 零件对称循环疲劳点
k
（一）、单向稳定变应力时的疲劳强度计算 ）、单向稳定变应力时的疲劳强度计算 1、 r = σ
σ−1 Kσ = σ−1e
若r≠－1时 , － 时
（3-7） ）
则
σ−1e =
σ−1
Kσ
3-8） （3-8）
′ σa Kσ = ′ σ ae
因此将零件材料的极限应力线图按比值下移， 因此将零件材料的极限应力线图按比值下移，则折线 ADGCO 即为零件的极限应力线图。 即为零件的极限应力线图 零件的极限应力线图。

变载荷：随时间作周期性或非周期性变化的载荷.如
汽车的齿轮和轴所承受的动载荷。
注意:在设计计算中，载荷又可分为名义载荷和计 算载荷，计算载荷等于载荷系数乘以名义载荷。
名义载荷： 根据机器在稳定和理想工作条件下的工作阻力，
按力学公式求出的载荷称为名义载荷. 计算载荷：
考虑机器在工作中载荷的变化和载荷在零件上
s
m rN
N

C (NC

N

ND)
D点以后(无限寿命区间):
s rN s r （N ND )
用N0及其相对应的疲劳极限σr来近
似代表ND和 σr∞,有：
s
m rN
N

s
m r
N0

C
s－N疲劳曲线
§3-1 材料的疲劳特性 疲劳曲线
２、 s－N疲劳曲线
有限寿命区间内循环次数N与
疲劳极限srN的关系为：
CＧ'直线的方程为：
s a s m s s
σ为试件受循环弯曲 应力时的材料常数，其值 由试验及下式决定：
s

2s 1 s 0 s0
对于碳钢，σ≈0.1~0.2，对于合金钢，σ≈0.2~0.3。
§3-2 机械零件的疲劳强度计算
1、零件的极限应力线图
如设弯曲疲劳极限的综合影响系数 Ｋσ ，且 s 1 ―材料对称循环弯曲疲劳极限
s rN s r
m
N0 N
KNsr
式中， N0为循环基数；
sr为与N0相对应的疲劳极限
s－N疲劳曲线
m为材料常数，值由材料试验确定。
疲劳曲线的意义
s rN
sr m
N0 N
KNsr

1.最大应力 s max s m s a
2.最小应力 s min s m s a
3.平均应力
sm
s max
s min
2
4.应力幅
sa
s max
s min
2
5.应力循环特性
s min s max
第三章 机械零件的强度
(a)非对称循环变应力
(b)脉动循环变应力
(c)对称循环变应力
疲劳曲线
s max
s min
2
sa
s max
s min
2
r s min
s max
1 r 1 (r 0)
smax
sm
0
t
sm
sa
s max
2
s min 0
r0
sa= smax
0
t
smin
sm 0
s a s max s min
r 1
二、应力的描述
第三章 机械零件的强度
稳定循环变应力的基本参数 共有５个基本参数，知其２就能求其他
应力循环特性 r 一定的条件下，记录出在 不同最大应力σmax下引起试件疲劳破坏所经历 的应力循环次数N，即可得到σ-N疲劳曲线 。
静应力强度（AB段）：N≤103， σmax几乎不 随N变化，可近似看作是静应力强度。
(ND,σr∞)
低周疲劳（BC段）：N↑→ σmax↓。C点对应 的循环次数约为104。
（非周期变化）
循环变应力
（周期变化）
符合统计规律
稳定循环变应力
（等幅变应力）
非稳定循环变应力
（变幅变应力）
非对称循环变应力 对称循环变应力 脉动循环变应力
s
1、非循环变应力 符合统计规律

应力幅： σ a =
σ max − σ min
2
平均应力： σ m =
σ max + σ min
2
Well begun is half done. 好的开始等于成功的一半。
机械设计
Design of Machinery
强度计算
静应力强度 变应力强度
2、静应力时的机械零件的强度 σ lim σ ≤ [σ ] = S
—— AG 的方程 ′ ′ 2. CG方程：
' ' σ ae + σ me = σ s
σ +σ =σs
' a ' m
—— CG′的方程
Well begun is half done. 好的开始等于成功的一半。
机械设计
Design of Machinery
1. 单向稳定变应力时机械零件的疲劳强度计算 机械零件应力的变化规律： ①变应力的循环特性不变 ②变应力的平均应力不变 ③变应力的最小应力不变
′ ′ AG 的方程：
' ' σ−1 =σa +ϕσσm
其中：
ϕσ =
2 −1 −σ0 σ
σ0
CG′ 的方程：
材料的极限应力线图
' ' σa +σm =σs
Well begun is half done. 好的开始等于成功的一半。
机械设计
Design of Machinery
§3-2 机械零件的疲劳强度计算
机械设计
Design of Machinery
第三章 机械零件的强度
1.载荷和应力的分类 静载荷、变载荷 静应力、变应力
静载荷：大小和方向不随时间变化或变化缓慢的载荷。 变载荷：随时间周期性变化或非周期性变化的载荷。 静应力：不随时间变化或变化缓慢的应力。 （只在静载荷作用下产生） 变应力：随时间变化的应力。 （可由变载荷产生，也可由静载荷产生） σ

AB（103前）：最大应力值变化很小，相当于静强度状况； BC（103-104）：N增加，σmax减小，有塑性变形特征—应变疲
劳，低周疲劳，不讨论； CD（>104）：有限寿命疲劳阶段 ,任意点的疲劳极限--有限寿
命疲劳极限σrN ，该曲线近似双曲线。
公式描述：
c,m—材料常数 D点后：材料不发生疲劳破坏，无限寿命疲劳阶段,
件的疲劳极限，用综合影响系数Kσ 表示。 如：对称循环弯曲疲劳极限的综合影响系数Kσ。 则：
σ －1试件的对称循环弯曲疲劳极限； σ －1e零件的对称循环弯曲疲劳极限。
不对称时：Kσ 是试件与零件的极限应力幅的比值。
零件的极限应力线图—ADGC 试件线图A’ D’ G’C—综合修正系数Kσ—零件线图ADGC
机械设计
第三章：机械零件的强度（疲劳强度）
主讲老师：吴克勤
第三章 机械零件的强度（疲劳）
一、材料的疲劳特性 1、 σ － N曲线 ①疲劳断裂：变应力下的零件损坏形式，与循环次数有关。 ②特征： σmax< σlim； 脆性材料和塑性材料都突然断裂； 损伤的积累。 ③疲劳极限：循环特征r一定时，应力循环N次后，材料不 发生破坏的最大应力σrN ； ④疲劳曲线：r一定的条件下，表示N与σrN 关系的曲线。
零件的极限应力曲线：
φσe－零件受循环弯曲应力时的材料常数； σ’ae －零件受循环弯曲应力时的极限应力幅； σ’me－零件受循环弯曲应力时的极限平均应力。
Kσ 为弯曲疲劳极限的综合影响系数
kσ－零件的有效应力集中系数（σ 表示在正应力条 件下）；
εσ － 零件的尺寸系数； βσ －零件的表面质量系数； βq －零件的强化系数。 上面所有的计算公式，同样适用于剪切应力。

∴过工作应力点M（N）作与横坐标成45°的直线，则这直线任一
点的最小应力 min m 均a 相同，∴直线与极限应力线图交
点 M 3 (N3即) 为所求极限应力点。
a) 工 作 应 力 点 位 于 OJGI区域内
极限应力为疲劳极限， 按疲劳强度计算
求AG与MM3´的交点:
1e
1
k
ae
e
等寿命曲线或极限应力线图（σ－ N 曲线）
在特定寿命条件下，最大应力σmax =σm +σa与应力比
m a 的关系。
m a
(二)等寿命疲劳曲线(疲劳极限应力线图)
材料试验一般只给出r=-1及r=0时的疲劳极限，即σ－1、σ0。为获得各 种不同循环特性r时的疲劳极限，常借助简化的疲劳极限应力图。
•曲线CD段代表有限寿命疲劳阶段，有限寿命疲劳极限用符号 rN 表示。
•D点以后称为无限寿命疲劳阶段，无限寿命疲劳极限用 r 表示。
m rN
N
C
NC N ND
rN r
N ND
ND 106 ~ 25107
在做疲劳试验时，常规定一个循环次数 N0 （称为循环基数）。
用N0和与N0相对应的疲劳极限 rN（0 简写脉动循环） 1 r （1 非对称循环）
r = -1 对称循环应力
r=0 脉动循环应力
r=1 静应力
m
max
min
2
a
max
min
2
r min max
几种典型变应力的循环特征和应力特点
循环名称 循环特性
应力特点
对称循环 r=-1 脉动循环 r=0 非对称循环 -1<r<1
q — —强化系数
注：求K时，将式中换成

45° B
C
σm
σS σB
AＧ直线上任意点代表了一定循环特性时的疲劳极限。
已知C点坐标：（σS ， 0） CG直线的斜率： k=tan135°=-1
CＧ直线的方程：
a m s
CＧ直线上任意点的最大应力达到了屈服极限应力。
§3.1 材料的疲劳特性
疲劳破坏的判据：
1. 当循环应力参数（ σm，σa ）
静应力只能由静载荷产生。 注意： 静载荷和变载荷均可能产生变应力。
绝大多数机械零件都是处于变应力状态下工作的。
§3.1 材料的疲劳特性
四、 变应力的描述
平均应力：
m
max
min
2
应力幅值：
a
max
min
2
-1，对称循环应力
应力比 (循环特性)：
r
min max
=
0，脉冲循环应力 描述规律性的变应力有5个参数，但
由于实际零件的几何形状、尺寸大小、加工质量及强化因素等与材料 标准试件有区别，使得零件的疲劳极限要小于材料标准试件的疲劳极限。
1. 应力集中
由于零件形状突然变化而引起的局部应力增大现象。 应力集中的存在会降低零件的疲劳极限。
2. 零件尺寸
其他条件相同的情况下，零件的绝对尺寸越大，其疲劳强度 越低。
零件的表面状态包括表面粗糙度和表面处理。
二、名义载荷与计算载荷
➢名义载荷Fn ：根据额定功率用力学公式计算出作用在零件上的载荷。 ➢计算载荷Fca：考虑载荷的时间不均匀性、分布的不均匀性以及其它
影 响因素对名义载荷进行修正得到的载荷。
Fca K Fn
K—— 载荷系数
§3.1 材料的疲劳特性
三、应力

第三章 机械零件的强度
学习要求：
1． 了解疲劳曲线及极限应力曲线的来源，意义及用途， 能从材料的几个基本机械性能及零件的几何特性，绘 制零件的极限应力简化线图
2． 学会单向变应力时的强度计算方法 3． 了解疲劳损伤累积假说的意义及其应用
4． 学会双向变应力时的强度校核方法
学习重点：
极限应力线图的绘制及含义
强度准则是设计机械零件的最基本准则。
通用机械零件的强度分为静应力强度和变应力 强度两个范畴。
在机械零件整个工作寿命期间应力变化次数小 于103的通用零件，均按静应力强度进行设计。
即使是承受变应力的零件，在按疲劳强度进行 设计的同时，还有不少情况需要根据受载过程 中作用次数很少而数值很大的峰值载荷作静应 力强度校核。本章以下只讨论零件在变应力下的疲劳、低应力下 的脆断和接触强度等问题。
根据零件载荷的变化规律以及零件与相邻零件互相约 束情况的不同，可能发生的典型的应力变化规律通常 有下述三种：
a)变应力的应力比保持不变，即r=C(例如绝大 多数转轴中的应力状态)；
b)变应力的平均应力保持不变，即σm=C(例如 振动着的受载弹簧中的应力状态)；
c)变应力的最小应力保持不变， σmin=C(例如 紧螺栓联接中螺栓受轴向变载荷时的应力状 态)。以下分别讨论这三种情况。
e 可用下式计算
e
K
1 K
2 1 0 0
(3 11)
Kσ——弯曲疲劳极限的综合影响系数
K
k
1
1
1
q
(3 12)
式中：kσ——零件的有效应力集中系数 εσ——零件的尺寸系数； βσ——零件的表面质量系数； βq——零件的强化系数。
(一)单向稳定变应力时机械零件的疲劳强度计算

σ ca = σ max
杜永平 机械零件的强度
b、双向应力 、
σca = σx + σy 2 + ( σx − σy 2
2 )2 + τxy
②
最大剪应力理论（第三强度理论） 最大剪应力理论（第三强度理论）
σ ca = σ 2 + 4τ 2
③ 最大形变能理论（第四强度理论） 最大形变能理论（第四强度理论）
σ min σm - σa = C=r = σ max σm + σa
σa σa = (1- ) (1 + ) σm σm
σa ⇒ = C ' = 常数 σm
杜永平 机械零件的强度
' ' （σme，σae ）
（σm，σa ）
M点的极限应力为 点的极限应力为
σ
' max
= σ +σ
' ae
' me
σ−1(σm +σa ) σ−1σmax = = Kσσa +ϕσσm Kσσa +ϕσσm
σmax + σmin 平均应力σ（τ m）= m 2 σmax − σmin 应力幅σ（τ a）= a 2
杜永平 机械零件的强度
σmin 应力循环特 性 r = σmax
疲劳极限 循环特性r一定时，应力循环 次后 次后， 循环特性 一定时，应力循环N次后， 一定时 材料不发生疲劳破坏时的最大应力
用[σ ]表示
杜永平 机械零件的强度
3. 安全系数（safety factor） 安全系数（ ） 安全系数 极限应力与许 用应力的比值
σ lim S = [σ ]
安全系数计算值
极限应力与计 S = σ lim ca σ ca 算应力的比值

根据零件载荷的变化规律以及零件与相邻零件互相约 束情况的不同，可能发生的典型的应力变化规律通常 有下述三种：
a)变应力的应力比保持不变，即r=C(例如绝大 多数转轴中的应力状态)；
b)变应力的平均应力保持不变，即σm=C(例如 振动着的受载弹簧中的应力状态)；
c)变应力的最小应力保持不变， σmin=C(例如 紧螺栓联接中螺栓受轴向变载荷时的应力状 态)。以下分别讨论这三种情况。
(3—9)
直线CG的方程为
σa＇+σm＇=σs
(3—10)
式中：σae＇——零件受循环弯曲应力时的极限应力幅； σme＇——零件受循环弯曲应力时的极限平均应力； e ——零件受循环弯曲应力时的材料常数。
e 可用下式计算
e
K
1 K
2 1 0 0
(3 11)
Kσ——弯曲疲劳极限的综合影响系数
S a
ae a
1 m K a
对应于N点的极限应力由N2＇点表示，它位于直线CG上，故 仍只按式(3—18)进行静强度计算，分析图3—7可知，凡是工 作应力点位于CGH区域内时，在σm=C的条件下，极限应力 统为屈服极限，也是只进行静强度计算。
3．σmin=C的情况
当σmin=C时，需找到一个其最小应力与零件工 作应力的最小应力相同的极限应力。因为
分别是： 1 K ae m e
1 K ae m
ae
1
m
K
m ax
ae
m e
1
m
K
m
1
K
K
m
Sca
lim
m ax max
1 (K ) m
K
也有文献上建议，在σm=C的情况下，按照应力幅来 校核零件的疲劳强度，即按应力幅求得安全系数计算 值为

3、发动机连杆横截面上的应力变化规律如图所示，则该变应力的应力比r
为 2。
（1）0.24；（2）-0.24；（3）-4.17；（4）4.17。

0
31.2N/mm2 t
-130N/mm2
4、发动机连杆横截面上的应力变化规律如题3图所示，则其应力幅a和平
均应力m分别为 2 。
（1）a = －80.6Mpa，m = 49.4Mpa；（2）a = 80.6Mpa，m = -49.4Mpa； （3）a = 49.4Mpa，m = －80.6Mpa；（4）a = －49.4Mpa，m = － 80.6Mpa。
200 100 2
150
200
a
50 0 min
-100
max
m
t
例2 已知：a= 80N/mm2，m=－40N/mm2 求：max、min、r、绘图。
解：
max m a 40 (80) 120
min m a 40 (80) 40 r min 40 1 max 120 3
a m s
说明CＧ‘直 线上任意点的最大应力达到了屈服极限应力。
当循环应力参数（ σm，σa ）落在OA’G’C以内时，
表示不会发生疲劳破坏。
σa
当应力点落在OA’G’C以外 时，一定会发生疲劳破坏。
A’
D’ G’
σ-1 σ0 /2
而正好落在A’G’C折线上 时，表示应力状况达到疲 劳破坏的极限值。
（1）专用零件和部件；（2）在高速、高压、环境温度过高或过低 等特殊条件下工作的以及尺寸特大或特小的通用零件和部件；（3） 在普通工作条件下工作的一般参数的通用零件和部件；（4）标准化 的零件和部件。

的受载弹簧应力状态） 的受载弹簧应力状态）
• • •
• •
当σm =C时，需找到一个其平均应力与零件工作应力的平均 时 应力相同的极限应力。 应力相同的极限应力。 在图3－ 中 作平行线MM’2（或NN’2），则该 ），则该 在图 －7中，过M(或N）点，作平行线 或 ） 线上的任何点所代表的应力循环都具有相同的平均应力值。 线上的任何点所代表的应力循环都具有相同的平均应力值。 σ 联解MM’2和AG两直线方程，求出 2的坐标的： me 、 σ ′ 两直线方程， 联解 两直线方程 求出M’ 的坐标的： ′ ae 点的疲劳极限应力： 则M点的疲劳极限应力： 点的疲劳极限应力 ψσ σ −1 + ( K σ − ψ σ )σ m ′ ′ ′ σ max = σ ae + σ me = σ −1e + σ m (1 − )= Kσ Kσ σ −ψ σ ′ σ ae = −1 σ m 零件的极限应力幅： 零件的极限应力幅： Kσ 计算安全系数： 计算安全系数：
•
E1、E2－－为零件1、零件2材料的弹性模量。
在接触点、线连续改变位置时，显然 对于零件上任一点处的接触应力只能在 0～σH之间变化。 • 接触应力是脉动循环变应力。 • 在作接触疲劳计算时，极限应力也应 是脉动循环的极限接触应力。 •
总结： 1．材料的极限应力线图帮助我们了解零件的失 效的可能形式，要记住三个区域的意义，它是 讨论其它线图的基础。 σ−1 2．Sca = ≥ S 适用于各种循环特性的疲劳破坏。
§3-1 材料的疲劳特性
• 材料疲劳特性描述：最大应力 σ max • 应力循环次数 N σ min • 应力比（循环特性） r = σ • 其它符号：极限平均应力 • 极限应力幅值 • • 材料屈服极限

lim rN
第三章 机械零件的强度
CD段代表有限寿命疲劳阶段，CD曲线上任何一点所
代表的疲劳极限，称为有限寿命疲劳极限，用 rN 表
示，脚标r表示该变应力的应力比，N表示应力循环次 数。
CD段可用下式来描述:

m rN
N

C
(NC N ND)
σmax
σB A
B C
N=1/4 103 104
m

max
2

a
、
r

0
σ r =-1
σ
σmax
r =0 σa
σmax σmin
σa σa
σa σm
o
to
σmin
t
3) 非对称循环变应力：
4）静应力：
r =+1 σ
σ =常数
o
t
m
min
min max m 、 r 1
第三章 机械零件的强度
二、材料的疲劳特性
变应力下，零件的损坏形式是疲劳断裂。
r m ax m a
试件的试验条件： 1）光滑、无应力集中源； 2）标准尺寸。
第三章 机械零件的强度
在作材料试验时，求出对称循环和脉动循环时的疲劳极限
1和 0 ，把这两个极限应力标在 m a 图上。在对称循环 中：
σa
对称循环疲劳极限可以
用纵坐标上的A’点表示。
疲劳断裂过程：
很多机械零件受变应力作用。即使变应力的 max b 或 s 。而变应力的每次循环也仍然会对零件造成轻微的损
伤。随应力循环次数的增加，当损伤累积到一定程度时， 零件表层产生微小裂纹；随着循环次数增加，微裂纹逐 渐扩展；当剩余材料不足以承受载荷时，突然脆性断裂。