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4.2三角形[过关演练](30分钟75分)1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C=(C)A.45°B.60°C.75°D.90°【解析】∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∴设∠A=3x,则∠B=4x,∠C=5x,∴3x+4x+5x=180°,即12x=180°,解得x=15°,∴∠C=5x=75°.2.下列长度的三条线段能组成三角形的是(A)A.5,6,10B.5,6,11C.2,4,8D.4a,4a,8a(a>0)【解析】A项,∵10-5<6<10+5,∴三条线段能组成三角形,故正确;B项,∵5+6=11,∴三条线段不能组成三角形;C项,∵2+4=6<8,∴三条线段不能组成三角形;D项,∵4a+4a=8a,∴三条线段不能组成三角形.3.一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3,则这个三角形一定是(B)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形【解析】设三角形三个内角分别为x,2x,3x,则x+2x+3x=180°,解得x=30°,则3x=90°,所以该三角形是直角三角形.4.如图,下列条件中,不能证明△ABC≌△DCB的是(D)A.AB=DC,AC=DBB.AB=DC,∠ABC=∠DCBC.BO=CO,∠A=∠DD.AB=DC,∠A=∠D【解析】对于A项,由题中隐含BC=CB,利用SSS可判定其全等;对于B项,由题中隐含BC=CB,利用SAS可判定其全等;对于C项,由题中隐含BC=CB,利用AAS可判定其全等;对于D项,根据已知条件不能证明其全等.5.(2018·某某)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A=54°,∠B=48°,则∠CDE的大小为(C)A.44°B.40°C.39°D.38°【解析】∵∠A=54°,∠B=48°,∴∠ACB=180°-54°-48°=78°,∵CD平分∠ACB交AB于点D,∴∠D CB=×78°=39°,∵DE∥BC,∴∠CDE=∠DCB=39°.6.(2018·某某)如图,AB⊥CD,且,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD 的长为(D)A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c【解析】∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,∴∠A=∠C,∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,BF=DE=b,∵EF=c,∴AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c.7.已知a,b,c是△ABC的三条边长,化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为(D)A.2a+2b-2cB.2a+2bC.2cD.0【解析】根据三角形三边满足的条件:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,即可确定a+b-c>0,c-a-b<0,所以|a+b-c|-|c-a-b|=a+b-c+c-a-b=0.8.如图,有一X三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=x°,按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开,可能得不到全等三角形纸片的是(C)【解析】由全等三角形的判定定理SAS证得选项A中两个小三角形全等,故A不符合题意;由全等三角形的判定定理SAS证得选项B中两个小三角形全等,故B不符合题意;选项D中能判定两个小三角形全等,故D不符合题意.9.小明把一副含45°,30°的直角三角板如图摆放,其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠α+∠β等于210°.【解析】∵∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,∴∠B=45°,∠E=60°,∴∠2+∠3=120°,∴∠α+∠β=∠A+∠1+∠4+∠B=∠A+∠B+∠2+∠3=90°+120°=210°.10.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC.若AC=6,则四边形ABCD的面积为18.【解析】过点A作AE⊥AC交CD的延长线于点E,∴∠CAE=∠BAD=90°,即∠CAD+∠DAE=∠CAD+∠BAC,∴∠DAE=∠BAC,又∵∠ADE+∠ADC=180°,∠ADC+∠B=360°-∠BAD-∠BCD=180°,∴∠ADE=∠B,又∵AB=AD,∴△AED≌△ACB,∴AE=AC=6,且四边形ABCD的面积等于△ACE的面积,即四边形ABCD的面积=AC×AE=×6×6=18.11.在△ABC中,AB=5,AC=3,AD是△ABC的中线,设AD长为m,则m的取值X围是1<m<4.【解析】延长AD至点E,使DE=AD,连接EC,∵BD=CD,DE=AD,∠ADB=∠EDC,∴△ABD≌△ECD,∴CE=AB=5,∵AC=3,AE=2AD=2m,∴2<2m<8,∴1<m<4.12.(8分)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2.求证:BC=DE.解:∵∠1=∠2,∴∠DAC+∠1=∠2+∠DAC,∴∠BAC=∠DAE,在△ABC和△ADE中,∴△ADE≌△A BC(ASA),∴BC=DE.13.(10分)(2018·某某模拟)如图,AD与BC相交于点F,FA=FC,∠A=∠C,点E在BD的垂直平分线上.(1)如图1,求证:∠FBE=∠FDE;(2)如图2,连接CE分别交BD,AD于点H,G,当∠FBD=∠DBE=∠ABF,CD=DE时,直接写出所有与△ABF全等的三角形.解:(1)在△BAF和△DCF中,∴△BAF≌△DCF(ASA),∴BF=DF,∴∠FBD=∠FDB,又∵点E在BD的垂直平分线上,∴EB=ED,∴∠EBD=∠EDB,∵∠FBE=∠FBD+∠EBD,∠FDE=∠FDB+∠EDB,∴∠FBE=∠FDE.(2)△HBE,△CDF,△DCH,△GED.14.(10分)操作示例如图1,在△ABC中,AD为BC边上的中线,则S△ABD=S△ADC.实践探究(1)在图2中,E,F分别为矩形ABCD的边AD,BC的中点,则S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为;(2)在图3中,E,F分别为平行四边形ABCD的边AD,BC的中点,则S阴和S▱ABCD之间满足的关系式为;(3)在图4中,E,F分别为任意四边形ABCD的边AD,BC的中点,则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为.解决问题(4)在图5中,E,G,F,H分别为任意四边形ABCD的边AD,AB,BC,CD的中点,并且图中阴影部分的面积为20平方米,求图中四个小三角形的面积和,即S1+S2+S3+S4=平方米.解:(1)连接BD,∵E,F分别为AD,BC的中点,∴S△BDE=S△ABD,S△BDF=S△BCD,∵S阴=S△BDE+S△BDF,S矩形ABCD=S△ABD+S△BCD,∴S阴=S矩形ABCD.(2)连接BD,∵E,F分别为AD,BC的中点,∴S△BED=S△ABD,S△DBF=S△DBC,∵S阴=S△BED+S△DBF,S▱ABCD=S△ABD+S△DBC,∴S阴=S▱ABCD.(3)S阴=S四边形AB CD.(4)设空白处面积分别为x,y,m,n(如图),由“实践探究”得S四边形BEDF=S四边形ABCD,S四边形AHCG=S四边形ABCD,∴S△BCG+S△ADH=S四边形ABCD,S△ABE+S△CDF=S四边形ABCD,∴S1+x+S2+S3+y+S4=S四边形ABCD,S1+m+S4+S2+n+S3=S四边形ABCD,∴(S1+x+S2+S3+y+S4)+(S1+m+S4+S2+n+S3)=S四边形ABCD,∴(S1+x+S2+S3+y+S4)+(S1+m+S4+S2+n+S3)=S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S阴,∴S1+S2+S3+S4=S阴=20平方米.[名师预测]1.已知三角形的三边长分别为4,x,15,若x为正整数,则这样的三角形共有(A)【解析】∵15-4=11,15+4=19,∴11<x<19,∵x为正整数,∴x的可能取值是12,13,14,15,16,17,18,共7个,故这样的三角形共有7个.2.如图,在△ABC中,∠B+∠C=100°,AD是△ABC的角平分线,则∠BAD的度数是(B)A.20°B.40°C.60°D.80°【解析】∵∠B+∠C=100°,根据三角形的内角和定理∠BAC=180°-100°=80°,又∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=∠BA C=40°.3.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件,使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能为(C)A.BE=DFB.BF=DEC.AE=CFD.∠1=∠2【解析】由AB∥CD,可得∠ABE=∠CDF,而AB=CD,添加选项A的BE=DF,满足SAS;由选项B中BF=DE可得到BE=DF,满足SAS;添加选项D中的∠1=∠2,满足ASA,都能判断△ABE≌△CDF.添加选项C中的AE=CF,不能判断△ABE≌△CDF.4.下列各图中a,b,c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是(B)A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙【解析】在△ABC和图乙的三角形中,满足SAS,所以乙和△ABC全等;在△ABC和图丙的三角形中,满足AAS,所以丙和△ABC全等;不能判定甲与△ABC全等.5.如图,两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起,AB⊥CE,有以下结论:①∠ACH=30°;②△ACH≌△DCG;③F为AB的中点;④CG=EF;⑤AH∶BF∶DE=1∶2∶4.其中错误的结论有(D)A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】∵AB⊥CE,∠A=60°,∴∠ACH=30°,故①正确;∵∠ACB=∠ECD,∴∠ACH=∠DCG,∵∠A=∠D,AC=CD,∴△ACH≌△DCG,故②正确;点F不一定是AB的中点,故③错误;CG不一定等于EF,故④错误;只有F为AB的中点时,AH∶BF∶DE=1∶2∶4成立,故⑤错误.6.如图,已知在△ABC和△BAD中,∠CAB=∠DBA,要使△ABC≌△BAD,需添加的条件是本题答案不唯一,如CA=DB或∠C=∠D或∠CBA=∠DAB.(写出一个条件即可)【解析】在△ABC和△BAD中,∠CAB=∠DBA,AB=BA,根据全等三角形的判定定理SAS,ASA,AAS 添加条件即可.7.如图,点A,C,D在同一直线上,在△ABC中,∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶5∶10,若△EDC≌△ABC,则∠BCE∶∠BCD=1∶4.【解析】∵∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶5∶10,∴∠ACB=180°×=100°,∵△EDC≌△ABC,∴∠ECD=∠ACB=100°,∴∠ECA=180°-∠ECD=180°-100°=80°,∠BCE=∠ACB-∠ECA=100°-80°=20°,∴∠BCD=80°,∴∠BCE∶∠BCD=20°∶80°=1∶4.8.在如图所示的2×2方格中,连接AB,AC,则∠1+∠2的度数为90°.【解析】利用网格证明两个三角形全等,得到∠1+∠2=180°-90°=90°.9.如图,CB,CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线,且AC=AB,给出下列结论:①AE=2AC;②CE=2CD;③∠ACD=∠BCE;④CB平分∠DCE.请写出正确结论的序号①②④.(将你认为正确结论的序号都填上)【解析】根据三角形的中线的概念得AE=2AB=2AC,故①正确;作CE的中点F,连接BF,根据三角形的中位线定理得AC=2BF,又AC=AB=2BD,所以BF=BD.根据三角形的中位线定理得到BF∥AC,则∠CBF=∠ACB=∠ABC.根据SAS得到△BCD≌△BCF,所以CF=CD,即CE=2CD,故②正确;由△BCD≌△BCF得∠BCD=∠BCE,若∠ACD=∠BCE,则需∠ACD=∠BCD,而CD只是△ABC的中线,所以③错误,④正确.10.如图1,AD平分∠BAC,AE⊥BC,∠B=40°,∠C=70°.(1)求∠DAE的度数;(2)如图2,若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上,FE⊥BC”,其他条件不变,求∠DFE 的度数;(3)如图3,若把“AE⊥BC”变成“AE平分∠BEC”,其他条件不变,∠DAE的大小是否变化,并请说明理由.解:(1)∵∠B=40°,∠C=70°,∴∠BAC=70°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=35°,∴∠ADE=∠B+∠BAD=75°,∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°,∴∠DAE=90°-∠ADE=15°.(2)同(1)可得∠ADE=75°,∵FE⊥BC,∴∠FEB=90°,∴∠DFE=90°-∠ADE=15°.(3)∠DAE的大小不变.理由:∵AE平分∠BEC,∴∠AEB=∠AEC,∴∠C+∠CAE=∠B+∠BAE,∵∠CAE=∠CAD-∠DAE,∠BAE=∠BAD+∠DAE,∴∠C+∠CAD-∠DAE=∠B+∠BAD+∠DAE,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴2∠DAE=∠C-∠B=30°,∴∠DAE=15°。
4.3特殊三角形[过关演练](30分钟80分)1.(2018·某某某某)如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是(B)A.20°B.35°C.40°D.70°【解析】∵AD是△ABC的中线,AB=AC,∠CA D=20°,∴∠CAB=2∠CAD=40°,∠B=∠ACB=(180°-∠CAB)=70°.∵CE是△ABC的角平分线,∴∠ACE=∠ACB=35°.2.(2018·某某宿迁)若实数m,n满足等式|m-2|+=0,且m,n恰好是等腰△ABC的两条边的边长,则△ABC的周长是(B)A.12B.10C.8D.6【解析】∵|m-2|+=0,∴m-2=0,n-4=0,解得m=2,n=4,当m=2作腰时,三边为2,2,4,不符合三边关系定理;当n=4作腰时,三边为2,4,4,符合三边关系定理,周长为2+4+4=10.3.(2018·某某)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为 (A)A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米【解析】∵52+122=132,∴三条边长分别为5里,12里,13里,构成了直角三角形,∴这块沙田面积为×5×500×12×500=7500000(平方米)=7.5(平方千米).4.(2018·某某)如图,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足为D,∠ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为(C)A.B.2C.D.3【解析】∵AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°.在Rt△ADC中,AC=8,∠C=45°,∴AD=CD,∴AD=AC=4.在Rt△ADB中,AD=4,∠ABD=60°,∴BD=AD=.∵BE平分∠ABC,∴∠EBD=30°.在Rt△EBD中,BD=,∠EBD=30°,∴DE=BD=,∴AE=AD-DE=.5.若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为(A)A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm【解析】(1)若底边长为2 cm,则腰长为(10-2)÷2=4(cm),4+2>4,符合三角形三边关系,所以该等腰三角形的底边长为2 cm;(2)若腰长为2 cm,则底边长为10-2×2=6(cm),2+2<6,不符合三角形三边关系,所以该等腰三角形的底边长为6 cm应舍去.6.如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则△BDC的周长是(C)【解析】∵AB的垂直平分线交AC于点D,∴AD=BD,∴△BDC的周长=BD+BC+CD=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是(B)A.BCB.CEC.ADD.AC【解析】由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B 与点C关于直线AD对称,连接CP,则BP=CP,所以BP+EP=CP+EP≥CE,所以BP+EP的最小值为CE.8.(2018·某某东营)如图,点E在△DBC的边DB上,点A在△DBC的内部,∠DAE=∠BAC=90°,AD=AE,AB=AC.给出下列结论:①BD=CE;②∠ABD+∠ECB=45°;③BD⊥CE;④BE2=2(AD2+AB2)-CD2.其中正确的是(A)A.①②③④B.②④C.①②③D.①③④【解析】∵∠DAE=∠BAC=90°,∴∠DAB=∠EAC,∵AD=AE,AB=AC,∴△DAB≌△EAC,∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,故①正确;∴∠ABD+∠ECB=∠ACE+∠ECB=∠ACB=45°,故②正确;∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°,∴∠CEB=90°,即CE⊥BD,故③正确;∴BE2=BC2-EC2=2AB2-(CD2-DE2)=2AB2-CD2+2AD2=2(AD2+AB2)-CD2,故④正确.9.(2018·某某某某)如图,在△ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点.若∠CAE=16°,则∠B的度数为37°.【解析】∵AD=AC,点E是CD的中点,∴AE⊥CD,∴∠AEC=90°,∴∠C=90°-∠CAE=74°,∵AD=AC,∴∠ADC=∠C=74°,∵AD=BD,∴2∠B=∠ADC=74°,∴∠B=37°.10.如图,把等边△ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,且DP⊥BC,若BP=4 cm,则EC=2+2cm.【解析】根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD=8,再由勾股定理求得DP=4.根据折叠的性质可得∠DPE=∠A=60°,DA=DP=4,易得∠EPC=30°,∠PEC=90°,所以EC=PC=(8+4-4)=2+2.11.如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为2或2或2.【解析】当∠APB=90°时,①如图1,∵AO=BO,∴PO=BO,∵∠AOC=60°,∴∠BOP=60°,∴△BOP为等边三角形,∵AB=BC=4,∴AP=AB·sin 60°=4×=2;②如图2,∵AO=BO,∠APB=90°,∴PO=AO,∵∠AOC=60°,∴△AOP为等边三角形,∴AP=AO=2.当∠ABP=90°时,如图3,∵∠AOC=∠BOP=60°,∴∠BPO=30°,∴BP==2,在Rt△ABP中,AP==2.综上,AP的长为2或2或2.12.(2018·某某)在△ABC中,AB=,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为9或1.【解析】有两种情况:①如图1,∵AD是△ABC的高,∴∠ADB=∠ADC=90°,由勾股定理得BD==5,CD==4,∴BC=BD+CD=5+4=9;②如图2,同理得CD=4,BD=5,∴BC=BD-CD=5-4=1.综上,BC的长为9或1.13.(8分)(2018·某某庐阳区一模)《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何”.大意是说,已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度为7,乙的速度为3.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲、乙各走了多远?解:设经x秒二人在B处相遇,这时乙共行AB=3x,甲共行AC+BC=7x,∵AC=10,∴BC=7x-10,又∵∠A=90°,∴BC2=AC2+AB2,∴(7x-10)2=102+(3x)2,∴x=0(舍去)或x=3.5,∴AB=3x=10.5,AC+BC=7x=24.5.答:甲走了24.5步,乙走了10.5步.14.(10分)在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=25°,求∠CFE的度数.解:(1)∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中,∵AE=CF,AB=CB,∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).(2)由(1)得Rt△ABE≌Rt△CBF,∴∠AEB=∠CFB,BE=BF,∴∠BFE=45°,∵∠ABC=90°,AB=BC,∴∠BCA=45°,又∵∠AEB=45°+∠CAE,∠CFB=45°+∠CFE,∴∠CFE=∠CAE=25°.15.(10分)(1)已知△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE.若∠A=60°(如图1),求证:EB=AD;(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图2),(1)中的结论是否成立,并说明理由;(3)若将(1)中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”,其他条件不变,则的值是多少?(直接写出结论,不要求写解答过程)解:(1)作DF∥BC交AC于点F.则∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE,∵△ABC是等腰三角形,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∴∠DBE=120°,∠ADF=∠AFD=60°=∠A,∴△ADF是等边三角形,AD=DF,∠DFC=120°,∵∠DEC=∠DCE,∴∠FDC=∠DEC,ED=CD,在△DBE和△CFD中,∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∴EB=AD.(2)EB=AD成立.理由:作DF∥BC交AC的延长线于点F,则∠DCE=∠CDF,△ABC与△ADF是等边三角形,∴AD=DF.∵∠DEC=∠DCE,∴DE=CD,∠DEC=∠CDF,又∵∠DBE=∠DFC=60°,∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∴EB=AD.(3).提示:作DF∥BC交AC于点F.同(1)得△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF.∵△ABC是等腰直角三角形,DF∥BC,∴△ADF是等腰直角三角形,∴DF=AD,∴,∴.[名师预测]1.等边三角形的两条中线相交所成钝角的度数是(B)A.105°B.120°C.135°D.150°【解析】等边三角形的每一个内角都等于60°,而等边三角形的中线就是内角的平分线,所以等边三角形的两条中线相交所成钝角就是等边三角形两个内角平分线相交所成钝角,其度数为180°-30°-30°=120°.2.如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于(A)A.15°B.30°C.45°D.60°【解析】∵等边三角形ABC中,AD⊥BC,∴BD=CD,即AD是BC的垂直平分线,∵点E在AD上,∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB,∵∠EBC=45°,∴∠ECB=45°,∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°.3.如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为(B)A.4B.6C.4D.8【解析】∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB,MN∥BC,且MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,∴∠ACB=2∠B,NM=NC,∴∠B=30°,∵AN=1,∴MN=2,∴AC=AN+NC=3,∴BC=6.4.在△ABC中,AB=13 cm,AC=20 cm,BC边上的高为12 cm,则△ABC的面积为(D)A.63 cm2B.126 cm2C.63 cm2或126 cm2D.66 cm2或126 cm2【解析】当∠B为锐角时(如图1),在Rt△ABD中,BD==5,在Rt△ADC中,CD==16,∴BC=21,∴S△ABC=·BC·AD=×21×12=126(cm2);当∠B为钝角时(如图2),在Rt△ABD中,BD==5,在Rt△ADC中,CD==16,∴BC=CD-BD=16-5=11,∴S△ABC=·BC·AD=×11×12=66(cm2).综上,△ABC的面积为66 cm2或126 cm2.5.如图,在△ABC中,AB=AC=10,∠BAC的角平分线交BC边于点D,AD=8,则BC=12.【解析】由AB=AC,AD平分∠BAC,根据等腰三角形的性质知AD⊥BC,BD=CD,又由勾股定理得CD==6,所以BC=2CD=12.6.如图,已知BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,S△ABC=105 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,则DE的长是7cm.【解析】由角平分线的性质知DE=DF,由三角形面积公式知×18×DE+×12×DE=105,解得DE=7 cm.7.如图,AB=AC=AD=4 cm,DB=DC,若∠ABC=60°,则BE=2 cm,∠ABD=75°.【解析】∵AB=AC,∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形,∴BC=4 cm,∵AB=AC,DB=DC,∴AE是BC边的垂直平分线,∴BE=BC=2 cm,∠BAD=30°,∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,∴∠ABD=(180°-∠BAD)=×(180°-30°)=75°.8.已知两条互不平行的线段AB,A'B'关于直线l对称,AB,A'B'所在的直线交于点P,下面四个结论:①AB=A'B';②点P在直线l上;③若A,A'是对称点,则AA'垂直平分直线l;④若点Q是直线l上任一点,则QB=QB'.其中正确的是①②④.(只填序号)【解析】由轴对称的性质知AB=A'B',故①正确;点P在直线l上,故②正确;直线l是线段BB'的垂直平分线,所以QB=QB',故④正确;③是错误的.9.如图,一只蜘蛛在等腰Rt△ABC钢梁上织网纲,∠BAC=90°,AB=AC=8,点E在AB上,BE=2,要在顶梁柱AD(中线)上定一点F,从点B到点F拉网纲,再从点F到点E拉网纲.(1)点F在AD(中线)上何处时网纲(BF+FE)最短,并证明.(2)在(1)中,求最短网纲(BF+FE)的长度.(3)在AB上还有点E1,E2,已知BE=EE1=E1E2=E2A=2,现在蜘蛛要在B,E两点之间,E,E1两点之间,E1,E2两点之间都要到顶梁柱AD上定一次点拉网纲,直到点E2结束,求这些网纲之和最短时的长度?解:(1)如图1,作点E关于直线AD的对称点E',连接BE',交AD于点F,点F即为所求.证明:由对称的性质可得EF=FE',此时BE'在一条直线上,在AD上任取一点与点B,E'构成三角形,利用三角形两边之和大于第三边可得BE'最小,即可得出BF+FE最短.(2)如图1,过点E'作E'N⊥BC于点N,∵∠BAC=90°,AB=AC=8,∴BC=8,∵BE=2,则CE'=2,∴E'N=NC=,∴BN=7,在Rt△BNE'中,BE'==10.∴最短网纲(BF+FE)的长度为10.(3)如图2,由(2)可得BF+EF=10,同理可得EF1+E1F1=EM==2,E1K=E1F2+E2F2==2,故这些网纲之和最短时的长度为10+2+2.。
单元综合检测四三角形(80分钟120分)一、选择题(每小题4分,满分32分)1.如图,直线a∥b,∠1=50°,∠2=28°,则∠3的度数是(A)A.22°B.28°C.50°D.30°【解析】如图,∵a∥b,∴∠4=∠1=50°,由三角形的外角性质得∠3=∠4-∠2=50°-28°=22°.2.在△ABC中,∠ABC=30°,AB边长为10,AC边的长度可以在3,5,7,9,11中取值,满足这些条件的互不全等的三角形的个数是(D)A.3B.4C.5D.6【解析】如图,过点A作AD⊥BC于点D,∵∠ABC=30°,AB=10,∴AD=AB=5.当AC=3时,没有符合条件的三角形;当AC=5时,可作1个三角形;当AC=7时,可作2个三角形;当AC=9时,可作2个三角形;当AC=11时,可作1个三角形.所以满足条件的互不全等的三角形共有1+2+2+1=6个.3.若一个角的补角比它余角的4倍还多15°,则这个角的度数是(C)A.45°B.55°C.65°D.75°【解析】设这个角的度数是x,根据题意得180-x=4(90-x)+15,解得x=65.4.如图,BC∥EF,AC∥DF,添加下列一个条件,仍不能判断△ABC≌△DEF的是(B)A.AD=BEB.∠C=∠FC.AC=DFD.BC=EF【解析】∵BC∥EF,AC∥DF,∴∠ABC=∠DEF,∠BAC=∠EDF,根据全等三角形的判定方法,添加选项B中的∠C=∠F,不能判断△ABC≌△DEF.5.如图,四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶OA'=2∶3,则四边形ABCD和A'B'C'D'的面积比为(A)A.4∶9B.2∶5C.2∶3D.【解析】四边形ABCD和A'B'C'D'的相似比为2∶3,所以四边形ABCD和A'B'C'D'的面积比为4∶9.6.点D,E分别在等边△ABC的边BC,AC上,BD=CE,AD与BE相交于点O,则∠AOE的度数是(C)A.30°B.45°C.60°D.75°【解析】由等边△ABC得∠ABC=60°,易证△ABD≌△BCE,得∠BAD=∠CBE,∴∠AOE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=60°.7.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将直角边AC绕点A逆时针旋转至AC',连接BC',E为BC'的中点,连接CE,则CE的最大值为(B)A. B.+1C.+1D.+1【解析】取AB的中点M,连接CM,EM,∴当CE=CM+EM时,CE的值最大,∵将直角边AC绕点A 逆时针旋转至AC',∴AC'=AC=2,∵E为BC'的中点,∴EM=AC'=1,∵∠ACB=90°,AC=BC=2,∴AB=2,∴CM=AB=,∴CM+EM=+1.8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,O是AB的中点,D,E分别是边AC,BC上的动点.下列结论:①若∠DOE=90°,则四边形CDOE的面积是定值;②若AD=CE,则∠DOE=90°;③若∠DOE=45°,则△AOD与△BEO相似;④若△AOD与△BEO相似,则∠DOE=45°.其中正确的是(C)A.①②B.①③④C.①②③D.①②③④【解析】连接OC.∵AC=BC,O是AB的中点,∴OC⊥AB,∵∠ACB=90°,∴OC=AO=BO,∴∠A=∠ACO=∠BCO=∠B=45°.∵∠DOE=90°,∴∠AOD=∠COE,∴△AOD≌△COE,∴S四边形CDOE=S△COE+S△COD=S△AOD+S△COD=S△AOC=S△ABC,即四边形CDOE的面积是定值,故①正确;∵AD=CE,易证△AOD≌△COE,由OC⊥AB可得∠DOE=90°,故②正确;∵∠DOE=45°,∴∠AOD+∠BOE=135°,∵∠AOD+∠ADO=135°,∴∠BOE=∠ADO,∵∠A=∠B,∴△AOD∽△BEO,故③正确;△AOD与△BEO相似分两种情况:△AOD∽△BEO或△AOD∽△BOE,故④不正确.二、填空题(每小题5分,满分15分)9.如图,AB=AC,AB的垂直平分线ED交AC于点D,若∠CBD=30°,则∠A的度数为40°.【解析】设∠A的度数为x,∵ED垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD=x,又AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=x+30,根据题意得x+2(x+30)=180,解得x=40,即∠A=40°.10.如图,在平行四边形ABCD中,E是AD边上的一点,连接BE并延长,交CD的延长线于点F,若AE∶ED=2∶1且平行四边形ABCD的面积为24,则△DEF的面积是2.【解析】∵ED∶AE=1∶2,AB∥CD,∴△DEF∽△AEB,∴,∵AD∥BC,AD=BC,∴△DEF∽△CBF,,∴,∴S△AEB=4S△DEF,S四边形BCDE=8S△DEF,∴4S△DEF+8S△DEF=24,解得S△DEF=2.11.如图,D,E分别是△ABC的边BC和AB上的点,△ABD与△ACD的周长相等,△CAE与△CBE 的周长相等.设BC=a,AC=b,AB=c,给出以下几个结论:①如果AD是BC边中线,那么CE是AB边中线;②AE的长度为;③BD的长度为;④若∠BAC=90°,△ABC的面积为S,则S=AE·BD.其中正确的结论是②③④.(将正确结论的序号都填上)【解析】当AD是BC边中线时,则BD=CD,∵△ABD与△ACD的周长相等,∴AB=AC,但此时不能得出AC=BC,即不能得出CE是AB的中线,故①不正确;∵△ABD与△ACD的周长相等,BC=a,AC=b,AB=c,∴AB+BD+AD=AC+CD+AD,∴AB+BD=AC+CD,∵AB+BD+CD+AC=a+b+c,∴AB+BD=AC+CD=,∴BD=-c=,同理AE=,故②③正确;当∠BAC=90°时,则b2+c2=a2,∴AE·BD=[a+(c-b)][a-(c-b)]=[a2-(c-b)2]=[a2-(c2+b2-2bc)]=×2bc=bc= S,故④正确.三、解答题(满分73分)12.(8分)计算:sin245°+3tan 30°-3tan 60°·cos 30°.解:原式=+3×-3×==-4+.13.(12分)如图1,直线l上有两个点A,B,图中有=1条线段;如图2,直线l上有三个点A,B,C,图中有=3条线段;如图3,直线l上有四个点A,B,C,D,图中有=6条线段;….(1)图4中有多少条线段?(2)猜想:若直线l上有n个不同的点,则图中有条线段.(用含n的代数式表示)(3)应用:春节期间,10位朋友之间互通电话问候,且每两位朋友之间只通一次电话,则这10位朋友之间需通多少次电话?解:(1)=10(条).(2).(3)当n=10时,=45(次).∴这10位朋友之间需通45次电话.14.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E.(1)求证:△BDE∽△CAD.(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.解:(1)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∠B=∠C,∵DE⊥AB,∴∠DEB=∠ADC,∴△BDE∽△CAD.(2)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,在Rt△ADB中,AD==12,∵·AD·BD=·AB·DE,∴DE=.15.(13分)《男生女生向前冲》是安徽卫视重磅推出的大型户外竞技类真人秀节目,一经推出就受到全国电视观众的青睐.体育爱好者小张站在200米高的楼房(CD)的顶端C处测得冲关赛道“亚洲一号”的起点A的俯角是45°,测得终点B的俯角是30°.(1)求冲关赛道“亚洲一号”AB的长度.(结果保留根号)(2)预计冲关时间在60秒之内(含60秒)即可夺得2018年冲关王.小张在保证不落水的前提下,要想夺得2018年冲关王,他冲关的平均速度至少是多少米/秒?(结果精确到0.1,参考数据:≈1.41,≈1.73)解:(1)在Rt△ACD中,∵tan 45°=,∴AD=CD=200.在Rt△BCD中,∵tan 30°=,∴BD==200.∴AB=BD-AD=(200-200)米.答:冲关赛道“亚洲一号”AB的长度为(200-200)米.(2)设小张冲关的平均速度为x米/秒,根据题意,得60x≥200-200,解得x≥2.4.答:小张要想夺得2018年冲关王,他冲关的平均速度至少是2.4米/秒.16.(14分)已知在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,且AC⊥BD,作BF⊥CD,垂足为F,BF与AC交于点G,∠BGE=∠ADE.(1)如图1,求证:AD=CD;(2)如图2,BH是△ABE的中线,若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍.解:(1)∵∠BGE=∠ADE,∠BGE=∠CGF,∴∠ADE=∠CGF,∵AC⊥BD,BF⊥CD,∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF,∴∠DAE=∠GCF,∴AD=CD.(2)△ACD,△ABE,△BCE,△BHG.17.(14分)已知在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图1,若点E,F分别为AB,AC上的点,且DE⊥DF,求证:BE=AF.(2)若点E,F分别为AB,CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗?请利用图2说明理由.解:(1)连接AD.∵∠A=90°,AB=AC,∴△ABC为等腰直角三角形,∠EBD=45°.∵D为BC的中点,∴AD=BC=BD,∠FAD=45°.∵∠BDE+∠EDA=90°,∠EDA+∠ADF=90°,∴∠BDE=∠ADF.在△BDE和△ADF中,∴△BDE≌△ADF(ASA),∴BE=AF.(2)BE=AF.理由:连接AD,如图所示.∵∠ABD=∠BAD=∠CAD=45°,∴∠EBD=∠FAD=135°.∵∠EDB+∠BDF=90°,∠BDF+∠FDA=90°,∴∠EDB=∠FDA.在△EDB和△FDA中,∴△EDB≌△FDA(ASA),∴BE=AF.。
