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专题13尺规作图知识回顾1.尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．2.基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．①直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．②圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度3.基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。
如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。
如图②（4）作已知角的角平分线．具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。
如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。
如图②。
即为角的平分线。
③连接OP，OP4.复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作。
5.设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图。
专题练习1．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．【分析】先在直线l上取点A，过A点作AD⊥l，再在直线l上截取AB＝m，然后以B点为圆心，n为半径画弧交AD于C，则△ABC满足条件．【解答】解：如图，△ABC为所作．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AD＝AE．【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD（ASA），∴AD＝AE．3．如图，已知线段AC和线段a．（1）用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）①作线段AC的垂直平分线l，交线段AC于点O；②以线段AC为对角线，作矩形ABCD，使得AB＝a，并且点B在线段AC的上方．（2）当AC＝4，a＝21ABCD的面积．【分析】（1）①按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可．②以点O为圆心，OA的长为半径画弧，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC上方交于点B，同理，以点O为圆心，OC的长为半径画弧，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC下方交于点D，连接AD，CD，AB，BC，即可得矩形ABCD．（2）利用勾股定理求出BC，再利用矩形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）①如图，直线l即为所求．②如图，矩形ABCD即为所求．（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，∵a＝2，∴AB＝CD＝2，∴BC＝AD＝＝＝，∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝2×＝．4．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于点D．（1）用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可．（2）由角平分线的定义和平行四边形的判定定理，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∴∠CBE＝∠BEC，∴BC＝EC，∵AB＝BC，∴AB＝EC，∴四边形ABCE为平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形．5．如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．（1）在图1中画一条线段垂直AB．（2）在图2中画一条线段平分AB．【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；（2【解答】解：（1）如图1中，线段EF即为所求（答案不唯一）；（2）如图2中，线段EF即为所求（答案不唯一）．6．“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等．（1）利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在图中格点处标出三个符合条件的停车位P1，P2，P3；（3）建立平面直角坐标系，设M（0，2），N（2，0），停车位P（x，y），请写出y与x之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点P（4，﹣4）是否在停车带上．【分析】（1）利用过直线外一点作垂线的方法作图即可；（2）根据停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等，可得点P1，P2，P3；（3）根据停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，得1﹣y＝，从而解决问题．【解答】解：（1）如图，线段FA的长即为所求；（2）如图，点P1，P2，P3即为所求；（3）∵停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，∴1﹣y＝，化简得y＝﹣，当x＝4时，y＝﹣4，∴点P（4，﹣4）在停车带上．7．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中△ABC的形状是；（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；（2（3）根据相似三角形的判定作出图形即可；（4）作出AB，BC的中点P，Q即可．【解答】解：（1）∵AC＝＝，AB＝＝2，BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；（2）如图①中，点D，点D′，点D″即为所求；（3）如图②中，点E即为所求；（4）如图③，点P，点Q即为所求．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．【分析】（1）过点A作AD⊥AO即可；（2）连接OB，OC．证明∠＝75°，利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．【解答】解：（1）如图，切线AD即为所求；（2）过点O作OH⊥BC于H，连接OB，OC．∵AD是切线，∴OA⊥AD，∴∠OAD ＝90°，∵∠DAB ＝75°，∴∠OAB ＝15°，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝15°，∴∠BOA ＝150°，∴∠BCA ＝∠AOB ＝75°，∵∠ABC ＝45°，∴∠BAC ＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，∵OB ＝OC ＝2，∴∠BCO ＝∠CBO ＝30°，∵OH ⊥BC ，∴CH ＝BH ＝OC •cos30°＝，∴BC ＝2．9．如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，分别以点A ，D 为圆心，大于21AD 的长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN AB ，AD ，AC 于点E ，O ，F ，连接DE ，DF ．（1）由作图可知，直线MN 是线段AD 的．（2）求证：四边形AEDF 是菱形．【分析】（1）根据作法得到MN 是线段AD 的垂直平分线；（2）根据垂直平分线的性质则AF ＝DF ，AE ＝DE ，进而得出DF ∥AB ，同理DE ∥AF ，于是可判断四边形AEDF 是平行四边形，加上FA ＝FD ，则可判断四边形AEDF 为菱形．【解答】（1）解：根据作法可知：MN 是线段AD 的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；（2）证明：∵MN 是AD 的垂直平分线，∴AF＝DF，AE＝DE，∴∠FAD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠BAD，∴DF∥AB，同理DE∥AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵FA＝FD，∴四边形AEDF为菱形．10．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，则利用等角的余角相等得到∠A＝∠DCA，则DC＝DA，然后利用等线段代换得到△BCD的周长＝AB+BC．【解答】解：（1）如图，DH为所作；（2）∵DH垂直平分BC，∴DC＝DB，∴∠B＝∠DCB，∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴DC＝DA，∴△BCD的周长＝DC+DB+BC＝DA+DB+BC＝AB+BC＝8+5＝13．11．已知：△ABC．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．【分析】（1）作∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，点O即为所求；（2）△ABC的面积＝（a+b+c）•r计算即可．【解答】解：（1）如图，点O即为所求；（2）由题意，△ABC的面积＝×14×1.3＝9.1（cm2）．12．已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．【分析】（1）如图1中，连接，BD交于点O，作直线OE即可；（2）如图2中，同法作出点O，连接BE交AC于点T，连接DT，延长TD交AB于点R，作直线OR即可．【解答】解：（1）如图1中，直线m即为所求；（2）如图2中，直线n即为所求；13．如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．【分析】（1）根据全等三角形的判定画出图形即可；（2）根据菱形的定义画出图形即可．【解答】解：（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．14．【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线OP即可；【问题联想】如图2，作线段MN的垂直平分线RT，垂足为R，在射线RT上截取RP＝RM，连接MP，NP，三角形MNP即为所求；【问题再解】方法一：构造等腰直角三角形OBE，作BC⊥OE，以O为圆心，OC为半径画弧交OB于点D，交OA于点F，弧DF即为所求．方法二：作OB的中垂线交OB于点C，然后以C为圆心，CB 长为半径画弧交OB中垂线于点D，再以O为圆心，OD长为半径画弧分别交OA、OB于点E、F．则弧EF即为所求．【解答】解：【初步尝试】如图1，直线OP即为所求；【问题联想】如图2，三角形MNP即为所求；【问题再解】如图3中，即为所求．15．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【分析】（1）把点B、A向右作平移1个单位得到CD；（2）作A点关于BC的对称点D即可；（3）延长CB到D使CD＝2CB，延长CA到E点使CE＝2CA，则△EDC满足条件．【解答】解：（1）如图1，CD为所作；（2）如图2，（3）如图3，△EDC为所作．。
1：尺规作出正三角形2尺规作出正方形3：尺规作出正六边形4：尺规作出正十边形5：尺规作出正十六边形6：尺规作出正十七边形7：尺规作出正十五边形8：尺规作出正五边形9：单尺作出正八边形10:单尺作出正方形11:单尺作出正六边形12:单尺作出正五边形13：单规找出两点间的三等分点14：单规找出两点间的中点15：单规作出等边三角形16：单规作出正八边形17：单规作出正方形18:单规作出正六边形19：单规作出正十边形20：单规作出正十二边形21：单规作出正十六边形22:单规作出正十五边形23单规作出正五边形24：只有两个刻度的直尺作出正三角形25：只有两个刻度的直尺作出正方形初中数学尺规作图专题讲解张远波尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。
平面几何作图,限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯。
他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。
这件事的重要性并不在于这个角的实际作出,而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约,最后总结在《几何原本》之中.初等平面几何研究的对象,仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种。
限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法。
用直尺可以画出第一条公法所说的直线;用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点。
一个作图题,不管多么复杂,如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题。
专题25 尺规作图解读考点会利用基本作图画较简单的图形．1．画三角形会利用基本作图画三角形较简单的图形．2．画圆会利用基本作图画圆．2年中考2015年题组1．2015深圳如图,已知△ABC,AB＜BC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC=BC,则下列选项正确的是A．B．C． D．答案D．考点：作图—复杂作图．2．2015三明如图,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以点A和B为圆心,以相同的长大于12AB为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN交AB于点D,交BC于点E,连接CD,下列结论错误的是A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC 答案D．解析试题分析：∵MN为AB的垂直平分线,∴AD=BD,∠BDE=90°；∵∠ACB=90°,∴CD=BD；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°,∴∠A=∠BED；∵∠A≠60°,AC≠AD,∴EC≠ED,∴∠ECD≠∠ED C．故选D．考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质；3．直角三角形斜边上的中线．3．2015福州如图,C,D分别是线段AB,AC的中点,分别以点C,D为圆心,BC长为半径画弧,两弧交于点M,测量∠AMB的度数,结果为A．80° B．90° C．100° D．105°答案B．解析试题分析：如图,AB是以点C为圆心,BC长为半径的圆的直径,因为直径对的圆周角是90°,所以∠AMB=90°,所以测量∠AMB的度数,结果为90°．故选B．考点：1．等腰三角形的性质；2．作图—基本作图．4．2015潍坊如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图：第一步,分别以点A、D为圆心,以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧,交于两点M、N；第二步,连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步,连接DE、DF．若BD=6,AF=4,CD=3,则BE的长是A．2 B．4 C．6 D．8答案D．考点：1．平行线分线段成比例；2．菱形的判定与性质；3．作图—基本作图．5．2015嘉兴数学活动课上,四位同学围绕作图问题：“如图,已知直线l 和l外一点P,用直尺和圆规作直线PQ,使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是A．B．C．D．答案A．考点：作图—基本作图．6．2015衢州数学课上,老师让学生尺规作图画Rt△ABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a．小明的作法如图所示,你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是A ．勾股定理B ．直径所对的圆心角是直角C ．勾股定理的逆定理D ．90°的圆周角所对的弦是直径 答案B ．解析试题分析：由作图痕迹可以看出O 为AB 的中点,以O 为圆心,AB 为半径作圆,然后以B 为圆心BC =a 为半径花弧与圆O 交于一点C ,故∠ACB 是直径所对的圆周角,所以这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是：直径所对的圆心角是直角．故选B ．考点：1．作图—复杂作图；2．勾股定理的逆定理；3．圆周角定理．7．2015自贡如图,将线段AB 放在边长为1的小正方形网格,点A 点B 均落在格点上,请用无刻度直尺在线段AB 上画出点P ,使AP =3172,并保留作图痕迹．备注：本题只是找点不是证明,∴只需连接一对角线就行答案作图见试题解析．考点：作图—应用与设计作图．8．2015北京市阅读下面材料：在数学课上,老师提出如下问题：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是．答案到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．考点：1．作图—基本作图；2．作图题．9．2015百色已知⊙O为△ABC的外接圆,圆心O在AB上．1在图1中,用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D保留作图痕迹,不写作法与证明；2如图2,设∠BAC的平分线AD交BC于E,⊙O半径为5,AC=4,连接OD交BC 于F．①求证：OD ⊥BC ；②求EF 的长．答案1作图见试题解析；2①证明见试题解析；②3217． 解析试题分析：1按照作角平分线的方法作出即可；2①由AD 是∠BAC 的平分线,得到CD BD =,再由垂径定理推论可得到结论；②由勾股定理求得CF 的长,然后根据平行线分线段成比例定理求得34EF FD CE AC ==,即可求得37EF CF =,继而求得EF 的长．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．圆周角定理；5．作图—复杂作图；6．压轴题．10．2015南京如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．要求：只要画出示意图,并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3答案答案见试题解析．解析试题分析：①以A为圆心,以3为半径作弧,交AD、AB两点,连接即可；②连接AC,在AC上,以A为端点,截取个单位,过这个点作AC的垂线,交AD、AB两点,连接即可；③以A为端点在AB上截取试题解析：满足条件的所有图形如图所示：考点：1．作图—应用与设计作图；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理；4．正方形的性质；5．综合题；6．压轴题．11．2015镇江图①是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．1如图②,AE是⊙O的直径,用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH 不写作法,保留作图痕迹；2在1的前提下,连接OD,已知OA=5,若扇形OAD∠AOD＜180°是一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径等于．答案1作图见试题解析；2158．解析试题分析：1作AE的垂直平分线交⊙O于C,G,作∠AOG,∠EOG的角平分线,分别交⊙O于H,F,反向延长FO,HO,分别交⊙O于D,B顺次连接A,B,C,D,E,F,G,H,八边形ABCDEFGH即为所求；2由八边形ABCDEFGH是正八边形,求得∠AOD的度数,得到AD的长,设这个圆锥底面圆的半径为R,根据圆的周长的公式即可求得结论．试题解析：1如图所示,八边形ABCDEFGH即为所求；2∵八边形ABCDEFGH是正八边形,∴∠AOD=3608×3=135°,∵OA=5,∴AD的长=1355180π⨯=154π,设这个圆锥底面圆的半径为R,∴2πR=154π,∴R=158,即这个圆锥底面圆的半径为158．故答案为：158．考点：1．正多边形和圆；2．圆锥的计算；3．作图—复杂作图．12．2015广安手工课上,老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形,聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线,并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积注：不同的分法,面积可以相等答案答案见试题解析．2正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,O是AC、BD的交点,连接OE、OF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式,求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；3正方形ABCD中,F、H分别是BC、DA的中点,O是AC、BD的交点,连接HF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式,求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；4正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,O是AC的中点,I是AO的中点,连接OE、OB、OF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式,求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．试题解析：根据分析,可得：．考点：1．作图—应用与设计作图；2．操作型．13．2015孝感如图,一条公路的转弯处是一段圆弧AB．1用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；要求保留作图痕迹,不写作法2若AB的中点C到弦AB的距离为20m,AB=80m,求AB所在圆的半径．答案1作图见试题解析；250m ．试题解析：1如图1,点O 为所求；2连接OA ,OC ,OC 交AB 于D ,如图2,∵C 为AB 的中点,∴OC ⊥AB ,∴AD =BD =12AB =40,设⊙O 的半径为r ,则OA =r ,OD =OD ﹣CD =r ﹣20,在Rt △OAD 中,∵222OA OD BD =+,∴222(20)40r r =-+,解得r =50,即AB 所在圆的半径是50m ．考点：1．作图—复杂作图；2．勾股定理；3．垂径定理的应用；4．作图题．14．2015宜昌如图,一块余料ABCD,AD∥BC,现进行如下操作：以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA,BC于点G,H；再分别以点G,H为圆心,大于12GH的长为半径画弧,两弧在∠ABC内部相交于点O,画射线BO,交AD于点E．1求证：AB=AE；2若∠A=100°,求∠EBC的度数．答案1证明见试题解析；240°．考点：1．作图—基本作图；2．等腰三角形的判定与性质．15．2015随州如图,射线PA切⊙O于点A,连接PO．1在PO的上方作射线PC,使∠OPC=∠OPA用尺规在原图中作,保留痕迹,不写作法,并证明PC是⊙O的切线；2在1的条件下,若PC切⊙O于点B,AB=AP=4,求AB的长．．答案1作图见试题解析,证明见试题解析；839解析试题分析：1按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可,连接OA,作OB⊥PC,由角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线；2先证明△PAB是等边三角形,则∠APB=60°,进而∠POA=60°,在Rt△AOP 中求出OA,用弧长公式计算即可．试题解析：1作图如右图,连接OA,过O作OB⊥PC,∵PA切⊙O于点A,∴OA⊥PA,又∵∠OPC=∠OPA,OB⊥PC,∴OA=OB,即d=r,∴PC是⊙O的切线；2∵PA、PC是⊙O的切线,∴PA=PB,又∵AB=AP=4,∴△PAB是等边三角形,∴∠APB=60°,∴∠AOB=120°,∠POA=60°,在Rt△AOP中,tan60°=4OA,∴OA=433,∴431203180ABlπ⨯⨯==839π．考点：1．切线的判定与性质；2．弧长的计算；3．作图—基本作图．16．2015广州如图,AC是⊙O的直径,点B在⊙O上,∠ACB=30°．1利用尺规作∠ABC的平分线BD,交AC于点E,交⊙O于点D,连接CD保留作图痕迹,不写作法；2在1所作的图形中,求△ABE与△CDE的面积之比．答案1作图见试题解析；212．试题解析：1如图所示；考点：1．作图—复杂作图；2．圆周角定理．17．2015吉林省图①,图②,图③都是4×4的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1．在图①,图②中已画出线段AB,在图③中已画出点A．按下列要求画图：1在图①中,以格点为顶点,AB为一边画一个等腰三角形；2在图②中,以格点为顶点,AB为一边画一个正方形；3在图③中,以点A为一个顶点,另外三个顶点也在格点上,画一个面积最大的正方形．答案1作图见试题解析；2作图见试题解析；3作图见试题解析．解析试题分析：1根据勾股定理,结合网格结构,5形即可；2根据勾股定理逆定理,结合网格结构,作出边长为5的正方形；3根据勾股定理逆定理,结合网格结构,作出最长的线段作为正方形的边长即可．试题解析：1如图①,符合条件的C点有5个：；3如图③,边长为10的正方形ABCD的面积最大．．考点：作图—应用与设计作图．18．2015哈尔滨图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点．1在图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上,且∠MON=90°；2在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD,使正方形ABCD面积等于1中等腰直角三角形MON面积的4倍,并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形,且正方形ABCD面积没有剩余画出一种即可．答案1答案见试题解析；2答案见试题解析．试题解析：1如图1所示；2如图2、3所示；考点：作图—应用与设计作图．19．2015六盘水如图,已知Rt △ACB 中,∠C ＝90°,∠BAC ＝45°．14分用尺规作图,在CA 的延长线上截取AD ＝AB ,并连接BD 不写作法,保留作图痕迹；24分求∠BDC 的度数；34分定义：在直角三角形中,一个锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA ,即的对边的邻边A A A ∠∠=cot ,根据定义,利用图形求°的值．答案1答案见试题解析；2°；321+．试题解析：1如图,2∵AD=AB,∴∠ADB=∠ABD,而∠BAC=∠ADB+∠ABD,∴∠ADB=12∠BAC=12×45°=°,即∠BDC的度数为°；3设AC=x,∵∠C=90°,∠BAC=45°,∴△ACB为等腰直角三角形,∴BC=AC=x,AB=2AC=2x,∴AD=AB=2x,∴CD=2x x+=(21)x+,在Rt△BCD中,cot∠BDC=DCBC=(21)xx+=21+,即°=21+．考点：1．作图—复杂作图；2．解直角三角形；3．新定义；4．综合题．20．2015山西省如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°．1尺规作图：作⊙C,使它与AB相切于点D,与AC相交于点E,保留作图痕迹,不写作法,请标明字母；2在你按1中要求所作的图中,若BC=3,∠A=30°,求DE的长．答案1作图见试题解析；232π．试题解析：1如图,⊙C为所求；2∵⊙C切AB于D,∴CD⊥AB,∴∠ADC=90°,∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°,∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°,在Rt△BCD中,∵cos∠BCD=CDBC,∴CD=3cos332DE的长33602180π⋅32．考点：1．作图—复杂作图；2．切线的性质；3．弧长的计算；4．作图题．21．2015济宁如图,在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的一个外角．实验与操作：根据要求进行尺规作图,并在图中标明相应字母保留作图痕迹,不写作法1作∠DAC的平分线AM；2作线段AC的垂直平分线,与AM交于点F,与BC边交于点E,连接AE,CF．猜想并判断四边形AECF的形状并加以证明．答案1作图见试题解析；2作图见试题解析,四边形AECF的形状为菱形．解析考点：1．作图—复杂作图；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质；4．作图题；5．探究型；6．菱形的判定．22．2015宁波在边长为1的小正方形组成的方格纸中,若多边形的各顶点都在方格纸的格点横竖格子线的交错点上,这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a ,边界上的格点数为b ,则格点多边形的面积可表示为1-+=nb ma S ,其中m ,n 为常数．1在下面的方格中各画出一个面积为6的格点多边形,依次为三角形、平行四边形非菱形、菱形；2利用1中的格点多边形确定m ,n 的值．答案1答案见试题解析；2112m n =⎧⎪⎨=⎪⎩．2∵格点多边形内的格点数为a ,边界上的格点数为b ,则格点多边形的面积可表示为：1-+=nb ma S ,其中m , n 为常数,∴三角形：3816S m n =+-=,平行四边形：3816S m n =+-=,菱形：5416S m n =+-=,则38165416m n m n +-=⎧⎨+-=⎩,解得：112m n =⎧⎪⎨=⎪⎩． 考点：作图—应用与设计作图．23．2015杭州“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三边分别为a ,b ,c ,并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．1用记号a ,b ,ca ≤b ≤c 表示一个满足条件的三角形,如2,3,3表示边长分别为2,3,3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形． 2用直尺和圆规作出三边满足a ＜b ＜c 的三角形用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹．答案1共9种：2,2,2,2,2,3,2,3,3,2,3,4,2,4,4,3,3,3,3,3,4,3,4,4,4,4,4；2答案见试题解析．解析试题分析：1应用列举法,根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形；2首先判断满足条件的三角形只有一个：a=2,b=3,c=4,再作图：①作射线AB,且取AB=4；②以点A为圆心,3为半径画弧；以点B为圆心,2为半径画弧,两弧交于点C；③连接AC、B C．则△ABC即为满足条件的三角形．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系．24．2015温州各顶点都在方格纸格点横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形．如何计算它的面积奥地利数学家皮克GPick ,1859～1942年证明了格点多边形的面积公式121-+=b a S ,其中a 表示多边形内部的格点数,b 表示多边形边界上的格点数,S 表示多边形的面积．如图,4=a ,6=b ,616214=-⨯+=S ．1请在图中画一个格点正方形,使它的内部只含有4个格点,并写出它的面积．2请在图乙中画一个格点三角形,使它的面积为27,且每条边上除顶点外无其它格点．注：图甲、图乙在答题纸上答案． 解析试题分析：1根据皮克公式画图计算即可；2根据题意可知a =3,b =3,画出满足题意的图形即可． 试题解析：1方法不唯一,如图①或图②所示：2方法不唯一,如图③或图④所示：考点：作图—应用与设计作图．25．2015青岛问题提出用n根相同的木棒搭一个三角形木棒无剩余,能搭成多少种不同的等腰三角形问题探究不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形,为探究m与n之间的关系,我们可以先从特殊入手,通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．探究一1用3根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形此时,显然能搭成一种等腰三角形．所以,当n=3时,m=1．2用4根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况,不能搭成三角形．所以,当n=4时,m=0．3用5根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒,则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒,则能搭成一种等腰三角形．所以,当n=5时,m=1．4用6根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒,则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形．所以,当n=6时,m=1．综上所述,可得：表①探究二1用7根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的三角形仿照上述探究方法,写出解答过程,并将结果填在表②中2用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形只需把结果填在表②中表②你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究,…问题解决：用n根相同的木棒搭一个三角形木棒无剩余,能搭成多少种不同的等腰三角形设n分别等于4k﹣1,4k,4k+1,4k+2,其中k是正整数,把结果填在表③中表③问题应用：用2016根相同的木棒搭一个三角形木棒无剩余,能搭成多少种不同的等腰三角形写出解答过程,其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒．只填结果答案探究二：2；1；2；2；问题解决：k；k﹣1；k；k；问题应用：672．试题解析：1用7根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形此时,能搭成二种等腰三角形,即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒,则能搭成一种等腰三角形用10根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形分成3根木棒、3根木棒和4根木棒,则能搭成一种等腰三角形分成4根木棒、4根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形所以,当n=10时,m=2．故答案为：2；1；2；2．问题解决：由规律可知,答案为：k；k﹣1；k；k．问题应用：2016÷4=504,504﹣1=503,当三角形是等边三角形时,面积最大,2016÷3=672,∴用2016根相同的木棒搭一个三角形,能搭成503种不同的等腰三角形,其中面积最大的等腰三角形每腰用672根木棒．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的判定与性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．2014年题组1．2014·安顺用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS答案B．考点：作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．2．2014涉县一模如图,AD为⊙O的直径,作⊙O的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别如下：甲：①作OD的垂直平分线,交⊙O于B,C两点．②连接AB,A C．△ABC即为所求作的三角形．乙：①以D为圆心,OD的长为半径作圆弧,交⊙O于B,C两点．②连接AB,BC,C A．△ABC即为所求作的三角形．对于甲、乙两人的作法,可判断A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误C．甲正确,乙错误 D．甲错误,乙正确答案A．解析试题分析：根据甲的思路,作出图形如下：连接OB,BD,∵OD=BD,OD=OB,∴OD=BD=OB,∴△BOD为等边三角形,∴∠OBD=∠BOD=60°,又BC垂直平分OD,∴OM=DM,∴BM为∠OBD的平分线,∴∠OBM=∠DBM=30°,又OA=OB,且∠BOD为△AOB的外角,∴∠BAO=∠ABO=30°,∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°,同理∠ACB=60°,∴∠BAC=60°,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC,∴△ABC为等边三角形,故乙作法正确,故选A考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．3．2014·玉林如图,BC与CD重合,∠ABC＝∠CDE＝90°,△ABC≌△CDE,并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O 保留作图痕迹,不写作法,注意最后用墨水笔加黑,并直接写出旋转角度是．答案90°．解析试题分析：如图所示：旋转角度是90°．考点：作图-旋转变换．4．2014河南如图,在△ABC中,按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心,以大于12BC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点；②作直线MN交AB于点D,连接CD,若CD=AC,∠B=25°,则∠ACB的度数为答案105°．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．5．2014梅州如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以A、C为圆心,大于12 AC长为半径画弧,两弧相交于点M、N,连结MN,与AC、BC分别交于点D、E,连结AE,则：1∠ADE= ；2AE EC；填“=”“＞”或“＜”3当AB=3,AC=5时,△ABE的周长=答案190°；2=；37．考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用．考点归纳归纳 1：作三角形基础知识归纳：利用基本作图作三角形1已知三边作三角形；2已知两边及其夹角作三角形；3已知两角及其夹边作三角形；4已知底边及底边上的高作等腰三角形；5已知一直角边和斜边作直角三角形．注意问题归纳：用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题．例1已知：线段a、c和∠β如图,利用直尺和圆规作△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠β．不写作法,保留作图痕迹．答案作图见解析．考点：作图—基本作图．归纳 2：用角平分线、线段的垂直平分线性质画图基础知识归纳：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．线段垂直平分线的性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等．基本做图如图：例2两个城镇A,B与两条公路ME,MF位置如图所示,其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条公路ME,MF的距离也必须相等,且在∠FME的内部．答案作图见解析．考点：作图—应用与设计作图．归纳 3：与圆有关的尺规作图基础知识归纳：1过不在同一直线上的三点作圆即三角形的外接圆；2作三角形的内切圆；3作圆的内接正方形和正六边形．注意问题归纳：关键是找准圆周心作出圆．例3如图,在△ABC中,先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D,再以AC边上的一点O为圆心,过A,D两点作⊙O用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔加黑答案考点：作图—复杂作图．1年模拟1．2015届山东省胶南市校级模拟已知：用直尺和圆规作图,不写作法,保留作图痕迹,如图,在∠AOB内,求作点P,使P点到OA,OB的距离相等,并且P点到M,N 的距离也相等．答案作图见解析．解析试题分析：点P到M、N两点的距离相等即作MN的垂直平分线；点P到OA、OB的距离也相等．即作角平分线,两线的交点就是点P的位置．试题解析：如图所示：考点：1．作图—复杂作图；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质．2．2015届广东省黄冈中学校级模拟已知△ABC中,∠C=90°,请利用尺规作出△ABC的内切圆O不写作法,请保留作图痕迹答案作图见解析．考点：1．三角形的内切圆与内心；2．作图—复杂作图．3．2015届湖北省宜昌市兴山县模拟考试如图：在△ABC中,AD⊥BC,垂足是D．1作△ABC的外接圆O,作直径AE尺规作图；2若AB=8,AC=6,AD=5,求△ABC的外接圆直径AE的长．答案1作图见解析；2．试题解析：1如图：2证明：由作图可知AE为⊙O的直径,∴∠ABE=90°,直径所对的圆周角是直角∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠ABE=∠ADC,∵AB AB=∴∠E=∠C,∴△ABE∽△ADC,∴AC ADAE AB=,即658AB=,∴AE=．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．作图—复杂作图．4．2015届江苏省盐城模拟考试实践操作：如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,利用直尺和圆规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母保留作图痕迹,不写作法1作∠BCA的角平分线,交AB于点O；2以O为圆心,OB为半径作圆．综合运用：在你所作的图中,1AC与⊙O的位置关系是直接写出答案2若BC=6,AB=8,求⊙O的半径．答案实践操作：画图见解析；综合运用：1相切；23．试题解析：实践操作：1如图所示：CO即为所求；2如图所示：⊙O即为所求；综合运用：1AC与⊙O的位置关系是：相切；。
尺规作图【命题趋势】中考对尺规作图的考查涉及多种形式,不再是单一的对作图技法操作进行考查,而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合,既体现了动手实践的数学思维活动,也考查了学生运用数学思考解决问题的能力.【中考考查重点】一、根据尺规作图的痕迹、步骤判断结论和计算。
二、尺规作图及相关证明与计算考点：五种基本尺规作图类型图示步骤作图依据1.作一条线段等于已知线段O A P （1）画射线OP（2）在射线OP上截取OA=a圆上的点到圆心的距离等于半径2.作一个角等于已知角（1）以点O为圆心.任意长为半径画弧.分别交OA.OB于点C,D（2）画一条射线PO.以点P为圆心.OC长为半径画弧.交PO于点C′（3）以P为圆心.CD长为半径画弧.与第（2）步中所画的弧相交于点D′（4）过点P、P画射线PB′.则∠B′PO=∠BOC三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线3.作一个角的平分线（1）以点 O 为圆心.适当长为半径画弧.交 OA 于点 M.交 OB 于点 N．（2）分别以点M、N 为圆心.大于MN21的长为半径画弧.两弧在∠AOB 的内部交于点 C．（3）画出射线OC .射线 OC 即为所求点在直•广元）观察下列作图痕迹A．B．C．D．【答案】Ｃ【解答】解：根据基本作图.A、D选项中为过C点作AB的垂线.B选项作AB的垂直平分线得到AB边上的中线CD.C选项作CD平分∠ACB．故选：C．2．（2021秋•广州期中）如图.在△ABC中.以A为圆心.任意长为半径画弧.分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心.大于MN的长为半径画弧.两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（）A．AD+BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心C．∠BAD＝∠CAD D．AD是三角形的高【答案】C【解答】解：由题可知AD是∠BAC的角平分线.∴∠BAD＝∠CAD．故选：C．3．（2021•济宁）如图.已知△ABC．（1）以点A为圆心.以适当长为半径画弧.交AC于点M.交AB于点N．（2）分别以M.N为圆心.以大于MN的长为半径画弧.两弧在∠BAC的内部相交于点P．（3）作射线AP交BC于点D．（4）分别以A.D为圆心.以大于AD的长为半径画弧.两弧相交于G.H两点．（5）作直线GH.交AC.AB分别于点E.F．依据以上作图.若AF＝2.CE＝3.BD＝.则CD的长是（）A．B．1C．D．4【答案】C【解答】解：由作法得AD平分∠BAC.EF垂直平分AD.∴∠EAD＝∠F AD.EA＝ED.F A＝FD.∵EA＝ED.∴∠EAD＝∠EDA.∴∠F AD＝∠EDA.∴DE∥AF.同理可得AE∥DF.∴四边形AEDF为平行四边形.而EA＝ED.∴四边形AEDF为菱形.∴AE＝AF＝2.∵DE∥AB.∴＝.即＝.∴CD＝．故选：C．4．（2021秋•开封期末）已知线段AB如图所示.延长AB至C.使BC＝AB.反向延长AB 至D.使AD＝BC．点M是CD的中点.点N是AD的中点．（1）依题意补全图形；（2）若AB长为10.求线段MN的长度．【答案】略【解答】解：（1）如图.（2）∵BC＝AD＝AB＝10.∴DC＝30.∵点M是CD的中点.∴DM＝CD＝15.∵点N是AD的中点.∴DN＝AD＝5.∴MN＝DM﹣DN＝15﹣5＝10.答：线段MN的长度为10．5．（2022•雨花区校级开学）下面是小华设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．已知：△ABC.求作：△ABC的边BC上的高AD．作法：①以点A为圆心.适当长为半径画弧.交直线BC于点M.N；②分别以点M.N为圆心.以大于MN的长为半径画弧.两弧相交于点P；③作直线AP交BC于点D.则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．根据小华设计的尺规作图过程：（1）AP是线段MN的；（2）证明AD是△ABC的高．【答案】（1）垂直平分线（2）略【解答】（1）解：由作法得AP为线段MN的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；（2）证明：∵AM＝AN.PM＝PN.∴A点和P点在MN的垂直平分线上.∴即AP垂直平分MN.即AD是△ABC的高．6．（2021•烟台）如图.已知Rt△ABC中.∠C＝90°．（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法.保留作图痕迹）．①作∠BAC的角平分线AD.交BC于点D；②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；③以点O为圆心.以OD长为半径画圆.交边AB于点M．（2）在（1）的条件下.求证：BC是⊙O的切线；（3）若AM＝4BM.AC＝10.求⊙O的半径．【答案】略【解答】解：（1）如图所示.①以A为圆心.以任意长度为半径画弧.与AC、AB相交.再以两个交点为圆心.以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC内部一点.将点A与它连接并延长.与BC交于点D.则AD为∠BAC的平分线；②分别以点A、点D为圆心.以大于AD长度为半径画圆.将两圆交点连接.则EF为AD的垂直平分线.EF与AB交于点O；③如图.⊙O与AB交于点M；（2）证明：∵EF是AD的垂直平分线.且点O在EF上.∴∠OAD＝∠ODA.∵AD是∠BAC的平分线.∴∠OAD＝∠CAD.∴∠ODA＝∠CAD.∴OD∥AC.∵AC⊥BC.∴OD⊥BC.故BC是⊙O的切线．（3）根据题意可知OM＝OA＝OD＝AM.AM＝4BM.∴OM＝2BM.BO＝3BM.AB＝5BM.∴＝＝.由（2）可知Rt△BOD与Rt△BAC有公共角∠B.∴Rt△BOD∽Rt△BAC.∴＝.即＝.解得DO＝6.故⊙O的半径为6．1．（2021秋•盱眙县期末）如图.在Rt△ABC中.∠C＝90°.以顶点A为圆心.适当长为半径画圆弧.分别交AB、AC于点D、E.再分别以点D、E为圆心.大于DE长为半径画圆弧.两弧交于点F.作射线AF交边BC于点G．若CG＝4.AB＝10.则△ABG的面积是（）A．10B．20C．30D．40【答案】B【解答】解：如图.过点G作GH⊥AB于点H.由作图过程可知：AG平分∠BAC.∵∠C＝90°.∴GC⊥AC.∴GH＝GC＝4.∴△ABG的面积＝AB•GH＝10×4＝20．故选：B．2．（2021秋•宁波期末）如图.在Rt△ABC中.∠B＝90°.分别以A.C为圆心.大于AC长为半径作弧.两弧相交于点M.N.作直线MN.与AC.BC分别交于D.E.连结AE.若AB＝6.AC＝10.则△ABE的周长为（）A．13B．14C．15D．16【答案】B【解答】解：由作法得ED垂直平分AC.∴EA＝EC.在Rt△ABC中.BC＝＝＝8.∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BE+CE＝AB+BC＝6+8＝14．故选：B．3．（2021秋•定西期末）下列选项中的尺规作图.能推出P A＝PC的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵P A＝PC.∴P点为AC的垂直平分线的上的点．故选：B．4．（2021秋•郧阳区期末）如图为用直尺和圆规作一个角等于已知角.那么能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是运用了我们学习的全等三角形判定（）A．角角边B．边角边C．角边角D．边边边【答案】D【解答】解：由作法得OD＝OC＝OC′＝OD′.CD＝C′D′.则可根据“SSS”可判定△OCD≌△OC′D′.所以∠A′O′B′＝∠AOB．故选：D．5．（2021秋•朝阳区校级期末）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.分别以点B和点C 为圆心.大于BC的长为半径作弧.两弧相交于D、E两点.作直线DE交AB于点F.交BC与点G.连接CF.若AC＝3.CG＝2.则CF的长为．【答案】【解答】解：由作图可知.DE垂直平分线段BC.∴CG＝GB＝2.FG⊥CB.∴∠FGB＝∠ACB＝90°.∴FG∥AC.∵CG＝GB.∴AF＝FB.∴FG＝AC＝.∵∠FGC＝90°.∴CF＝＝＝.故答案为．1．（2021•阿坝州）如图.在△ABC中.∠BAC＝70°.∠C＝40°.分别以点A和点C为圆心.大于AC的长为半径画弧.两弧相交于点M.N.作直线MN交BC于点D.连接AD.则∠BAD的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】A【解答】解：由作图可知.直线MN是线段AC的垂直平分线.∴DA＝DC.∴∠DAC＝∠C＝40°．∵∠BAC＝70°.∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°﹣40°＝30°．故选：A．2．（2021•百色）如图.在⊙O中.尺规作图的部分作法如下：（1）分别以弦AB的端点A、B为圆心.适当等长为半径画弧.使两弧相交于点M；（2）作直线OM交AB于点N．若OB＝10.AB＝16.则tan B等于（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图.连接OA.∴OA＝OB.根据作图过程可知：OM是AB的垂直平分线.∴AN＝BN＝AB＝8.在Rt△OBN中.OB＝10.BN＝8.根据勾股定理.得ON＝＝6.∴tan B＝＝＝．故选：B．3．（2021•黄石）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.按以下步骤作图：①以B为圆心.任意长为半径作弧.分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心.以大于MN 的长为半径作弧.两弧相交于点P；③作射线BP.交边AC于D点．若AB＝10.BC＝6.则线段CD的长为（）A．3B．C．D．【答案】A【解答】解：由作法得BD平分∠ABC.过D点作DE⊥AB于E.如图.则DE＝DC.在Rt△ABC中.AC＝＝＝8.∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC.∴•DE×10+•CD×6＝×6×8.即5CD+3CD＝24.∴CD＝3．故选：A．4．（2021•铜仁市）如图.在Rt△ABC中.∠C＝90°.AB＝10.BC＝8.按下列步骤作图：步骤1：以点A为圆心.小于AC的长为半径作弧分别交AC、AB于点D、E．步骤2：分别以点D、E为圆心.大于DE的长为半径作弧.两弧交于点M．步骤3：作射线AM交BC于点F．则AF的长为（）A．6B．3C．4D．6【答案】B【解答】解：由作法得AF平分∠BAC.过F点作FH⊥AB于H.如图.∵AF平分∠BAC.FH⊥AB.FC⊥AC.∴FH＝FC.在△ABC中.∵∠C＝90°.AB＝10.BC＝8.∴AC＝＝6.设CF＝x.则FH＝x.∵S△ABF+S△ACF＝S△ABC.∴×10•x+×6•x＝×6×8.解得x＝3.在Rt△ACF中.AF＝＝＝3．故选：B．5．（2021•永州）如图.在△ABC中.AB＝AC.分别以点A.B为圆心.大于AB的长为半径画弧.两弧相交于点M和点N.作直线MN分别交BC、AB于点D和点E.若∠B＝50°.则∠CAD的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】A【解答】解：由作法得MN垂直平分AB.∴DA＝DB.∴∠DAB＝∠B＝50°.∵AB＝AC.∴∠C＝∠B＝50°.∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°.∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝80°﹣50°＝30°．故选：A．6．（2021•长春）在△ABC中.∠BAC＝90°.AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D.使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线.推不出△ADC是等腰三角形.本选项符合题意．B、由作图可知CA＝CD.△ADC是等腰三角形.本选项不符合题意．C、由作图可知DA＝CD.△ADC是等腰三角形.本选项不符合题意．D、由作图可知DA＝CD.△ADC是等腰三角形.本选项不符合题意．故选：A．7．（2021•贵阳）如图.已知线段AB＝6.利用尺规作AB的垂直平分线.步骤如下：①分别以点A.B为圆心.以b的长为半径作弧.两弧相交于点C和D．②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．则b的长可能是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解答】解：根据题意得b＞AB.即b＞3.故选：D．8．（2021•荆州）如图.在△ABC中.AB＝AC.∠A＝40°.点D.P分别是图中所作直线和射线与AB.CD的交点．根据图中尺规作图痕迹推断.以下结论错误的是（）A．AD＝CD B．∠ABP＝∠CBP C．∠BPC＝115°D．∠PBC＝∠A 【答案】D【解答】解：由作图可知.点D在AC的垂直平分线上.∴DA＝DC.故选项A正确.∴∠A＝∠ACD＝40°.由作图可知.BP平分∠ABC.∴∠ABP＝∠CBP.故选项B正确.∵AB＝AC.∠A＝40°.∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°.∵∠PBC＝∠ABC＝35°.∠PCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°.∴∠BPC＝180°﹣35°﹣30°＝115°.故选项C正确.若∠PBC＝∠A.则∠A＝36°.显然不符合题意．故选：D．1．（2021•广陵区二模）用直尺和圆规作已知角∠AOB的平分线的作法如图.能得出∠AOC＝∠BOC的依据是（）A．（SAS）B．（SSS）C．（AAS）D．（ASA）【答案】B【解答】解：由作图可知.OD＝OE.PD＝PE.在△OPD和△OPE中..∴△OPD≌△OPE（SSS）.∴∠AOC＝∠BOC.故选：B．2．（2021•河南模拟）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AC＝BC＝2．按以下步骤作图：①以点A为圆心.适当长度为半径作弧.分别交AC.AB于M.N两点；②分别以点M.N为圆心.大于MN的长为半径作弧.两弧相交于点P；③作射线AP.交BC于点E．则EC的长为（）A．B．1C．D．【答案】C【解答】解：由作法得AP平分∠BAC.作EH⊥AB于H.如图.∵AE为角平分线.EC⊥AC.EH⊥AB.∴EC＝EH.∵∠ACB＝90°.AC＝BC＝2.∴∠B＝45°.AB＝BC.∴△BEH为等腰直角三角形.∴BH＝EH＝BE.设EH＝x.则BH＝EC＝x.BE＝x.∴x+x＝2.∴x＝2﹣2.∴EC＝2﹣2.故选：C．3．（2021•高阳县模拟）如图.已知∠MAN＝60°.AB＝6．依据尺规作图的痕迹可求出BD的长为（）A．2B．3C．3D．6【答案】B【解答】解：由题意.AB＝AC.∠BAC＝60°.∴△ABC是等边三角形.∴AB＝BC＝AC＝6.∵AD平分∠BAC.∴AD⊥BC.BD＝CD＝3.故选：B．4．（2021•范县模拟）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AC＝2BC.分别以点A和B为圆心.以大于AB的长为半径作弧.两弧相交于点M和N.作直线MN.交AC于点E.连接BE.若CE＝3.则BE的长为（）A．5B．4C．3D．6【答案】A【解答】解：解：由作图可知.MN垂直平分线段AB.∴AE＝EB.设AE＝EB＝x.∵EC＝3.AC＝2BC.∴BC＝（x+3）.在Rt△BCE中.∵BE2＝BC2+EC2.∴x2＝32+[（x+3）]2.解得.x＝5或﹣3（舍弃）.∴BE＝5.故选：A．5．（2021•开平区一模）用尺规作图作直线l的一条垂线.下面是甲.乙两个同学作图描述：甲：如图1.在直线l上任取一点C.以C为圆心任意长为半径画弧.与直线l相交于点A、B两点.再分别以A、B为圆心以大于长为半径画弧.两弧相交于点D.作直线CD 即为所求．乙：如图2在直线l上任取两点M.N作线段MN的垂直平分线．下面说法正确的是（）A．甲对.乙不对B．乙对甲不对C．甲乙都对D．甲乙都不对【答案】C【解答】解：根据过一点作已知直线的垂线的方法可知：甲正确；根据作已知线段的垂直平分线的方法可知：乙正确．所以甲乙都对．故选：C．6．（2021•莲都区校级模拟）下列三幅图都是“作已知三角形的高”的尺规作图过程.其中作图正确的是（）A．（1）（2）（3）B．（1）（2）C．（1）（3）D．（2）（3）【答案】A【解答】解：图（1）和图（2）中.由“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”可知.AJ垂直平分GH.BC垂直平分AK.故作图正确；图（3）中.依据“直径所对的圆周角等于90°”可知.BC所对的圆周角为直角.故作图正确；故选：A．7．（2021•马山县模拟）如图.已知AB＝AC.AB＝5.BC＝3.以A.B两点为圆心.大于AB 的长为半径画弧.两弧相交于点M.N.连接MN与AC相交于点D.则△BDC的周长为（）A．10B．8C．11D．13【答案】B【解答】解：由作法得MN垂直平分AB.∴DA＝DB.∴△BDC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝AB+BC＝5+3＝8．故选：B．8．（2021•平泉市一模）如图.已知直线AB和AB外一点C.用尺规过点C作AB的垂线．步骤如下：第一步：任意取一点K.使点K和点C在AB的两旁；第二步：以C为圆心.以a为半径画弧.交直线AB于点D.E；第三步：分别以D.E为圆心.以b为半径画弧.两弧交于点F；第四步：画直线CF．直线CF即为所求．下列正确的是（）A．a.b均无限制B．a＝CK.b＞DE的长C．a有最小限制.b无限制D．a≥CK.b＜DE的长【答案】B【解答】解：由作图可知.a＝CK.b＞DE的长.故选：B．9．（2021•河北一模）嘉淇在用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下：已知：∠AOB求作：∠A'O'B'.使∠A'O'B'＝∠AOB．作法：（1）如图.以点O为圆心.m为半径画弧.分别交OA.OB于点C.D；（2）画一条射线O'A'.以点O'为圆心.n为半径画弧.交O'A'于点C'；（3）以点C'为圆心.p为半径画弧.与第（2）步中所画的弧相交于点D'；（4）过点D'画射线O'B'.则∠A'O'B'＝∠AOB．下列说法正确的是（）A．m＝p＞0B．n＝p＞0C．D．m＝n＞0【答案】D【解答】解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′.CD＝C′D′.则m＝n＞0．故选：D．10．（2021•定兴县一模）如图.在Rt△ABC中.∠C＝90°.以顶点A为圆心.适当长为半径画弧.分别交AC.AB于点M.N.再分别以点M.N为圆心.大于MN长为半径画弧.两弧交于点P.作射线AP交边BC于点D.若CD＝2.AB＝7.则△ABD的面积是（）A．7B．30C．14D．60【答案】A【解答】解：如图.过点D作DH⊥AB于H．∵AP平分∠CAB.DC⊥AC.DH⊥AB.∴DC＝DH＝2.∴S△ABD＝×7×2＝7.故选：A．。
中考尺规作图专题复习（含答案）尺规作图定义：用无刻度的直尺和圆规画图，中考中常见画的图是线段的垂线，垂直平分线， 角平分线、画等长的线段，画等角。
1. 直线垂线的画法：【分析】：以点 C 为圆心，任意长为半径画弧交直线与A ，B 两点，再分别以点 A ， B 为圆心，大于1AB 的长为半径画圆弧，分别交直线l 两侧于点 M ，N ，2连接 MN ，则 MN 即为所求的垂线2. 线段垂直平分线的画法【分析】：作法如下：分别以点 A ，B 为圆心，大于1AB 的长为半径画圆弧，2分别交直线 AB 两侧于点 C ，D ，连接 CD ，则 CD 即为所求的线段 AB 的垂直平分 线.3. 角平分线的画法【分析】 1. 选角顶点 O 为圆心， 任意长为半径画圆， 分别交角两边 A ，B 点， 再分别以 A ， B 为圆心，大于 1AB 的长为半径画圆弧，交H 点，连接 ，并延2OH长，则射线 OH 即为所求的角平分线 .4. 等长的线段的画法直接用圆规量取即可。
5. 等角的画法【分析】以 O 为圆心，任意长为半径画圆，交原角的两边为A,B 两点，连接 AB ；画一条射线 l ，以上面的那个半径为半径，l 的顶点 K 为圆心画圆，交l与L，以 L 为圆心， AB为半径画圆，交以 K 为圆心， KL 为半径的圆与 M点，连接KM，则角 LKM即为所求 .备注： 1. 尺规作图时，直尺主要用作画直线，射线，圆规主要用作截取相等线段和画弧；2.求作一个三角形，其实质是依据三角形全等的基本事实或判定定理来进行的；3.当作图要满足多个要求时，应逐个满足，取公共部分.例题讲解例题 1. 已知线段 a，求作△ ABC，使 AB=BC=AC=a.解：作法如下 :①作线段 BC=a；（先作射线 BD，BD截取 BC=a） . ②分别以 B、 C 为圆心，以 a 半径画弧，两弧交于点 A；③连接AB、 AC.则△ ABC要求作三角形 .例 2. 已知线段 a 和∠α，求作△ ABC，使 AB=AC=a，∠ A=∠α .解：作法如下：①作∠ MAN=∠α；②以点 A 为圆心， a 为半径画弧，分别交射线③连接 B， C.△ ABC即为所求作三角形. AM， AN于点B， C.例3.( 深圳中考 ) 如图，已知△ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得 PA＋PC＝ BC，则下列选项中，正确的是( D)【解析】由题意知，做出AB的垂直平分线和BC的交点即可。
尺规作图尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段 a . 求作：线段AB，使AB = a . 作法：①作射线AP ；②在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。
题目二：作已知线段的中点。
已知：如图，线段MN. 求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）作法：①分别以M、N 为圆心，大于1/2MN 的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q ；②连接PQ 交MN 于O ．则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。
（试问：PQ 与ＭＮ有何关系？）题目三：作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB ，求作：射线OP, 使∠ AOP ＝∠ BOP （即OP 平分∠ AOB ）作法：①以O 为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA ，OB 于M，N；②分别以M 、Ｎ为圆心，大于1/2MN 的相同线段为半径画弧，两弧交∠ AOB 内于Ｐ；③作射线OP。
则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。
题目四：作一个角等于已知角。
（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）题目五：已知三边作三角形。
已知：如图，线段a，b，c.求作：△ ABC ，使AB = c ，AC = b ，BC = a. 作法：① 作线段AB = c ；② 以 A 为圆心 b 为半径作弧，以 B 为圆心a 为半径作弧与前弧相交于C；③连接AC ，BC 。
则△ABC 就是所求作的三角形。
题目六：已知两边及夹角作三角形。
已知：如图，线段m ，n, ∠ . 求作：△ABC，使∠A= ∠ ，AB=m ，AC=n. 作法：① 作∠ A= ∠ ；② 在AB 上截取AB=m ,AC=n ；③连接BC 。
则△ABC 就是所求作的三角形。
题目七：已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠ ，∠ ，线段m .求作：△ABC，使∠A= ∠，∠ B= ∠,AB=m.作法：① 作线段AB=m ；② 在AB 的同旁作∠ A= ∠ ，作∠ B=∠∠A 与∠B 的另一边相交于C则△ABC 就是所求作的图形（三角形）一、尺规基本作图归纳1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作角的平分线；4、作线段的中垂线；5、已知三边 ,两边和其夹角或两角和其夹边作三角形 ;6、已知底边和底边上的高作等腰三角形；7、过直线上一点作直线的垂线；8、过直线外一点作直线的垂线 .例题：1、如图 ,有一破残的轮片 ,现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件 ,请你根据所学的有关知识 ,设计一种方案 ,确定这个圆形零件的半径 .2、 如图:107国道OA 和320国道 OB 在某市相交于点 O,在∠AOB 的内部有工厂 C 和D,现要修建一个货站 P,使P 到OA 、 OB 的距离相等且 PC=PD, 用尺规作出货站 P 的位置 （不写作法 ,保留作图痕迹 ,写出结论 ）3、要求到三条公路的距离相等，问满足要求的加油站地址有几种情况？A公路两两个加油站，6、过直线外一点 A 作圆 O的切线4、过点 C 作一条线平行于 AB ；5、过不在同一直线上的三点 A 、 B 、C 作圆 O ；二、几何画图 ：1、只利用一把有刻度的直尺 ,用度量的方法 ,按下列要求画图 : 1）画等腰三角形 ABC 的对称轴 : 2）画∠ AOB 的对称轴2、有一个未知圆心的圆形工件 .现只允许用一块三角板（注：不允许用三角板上的刻度）画出该工件表面上的一条直径并定出圆心 .要求在图上保留画图痕迹，写出画法 .3、某校有一个正方形的花坛，现要将它分成形状和面积都相同的四块种上不同颜色的花卉，请你帮助设计至少三种不同的 方案，分别画在下面正方形图形上（用尺规作图或画图均可，但要尽可能准确些、美观些） ．4、某村一块若干亩土地的图形是Δ ABC ，现决定把这块土地平均分给四位 “花农”种植，请你帮他们分一分，提供至少两种 分法。
2025年中考数学考点分类专题归纳尺规作图1、定义（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．2、基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．3、复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．4、应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．1．（2024•鄂尔多斯）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则下列说法错误的是（）A．∠ABC＝60°B．S△ABE＝2S△ADEC．若AB＝4，则BE D．sin∠CBE2．（2024•河南）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（）A．（1，2）B．（，2）C．（3，2）D．（2，2）3．（2024•郴州）如图，∠AOB＝60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM＝6，则M点到OB的距离为（）A．6 B．2 C．3 D．4．（2024•宜昌）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（）A．B．C．D．5．（2024•襄阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm6．（2024•潍坊）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；（3）连接BD，BC．下列说法不正确的是（）A．∠CBD＝30°B．S△BDC AB2C．点C是△ABD的外心D．sin2A+cos2D＝17．（2024•台州）如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）A．B．1 C．D．8．（2024•巴中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，与AB，BC分别交于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线BP交AC于点F；④过点F作FG⊥AB于点G．下列结论正确的是（）A．CF＝FG B．AF＝AG C．AF＝CF D．AG＝FG9．（2024•昆明）如图，点A在双曲线y═（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F （0，2），连接AC．若AC＝1，则k的值为（）A．2 B．C．D．10．（2024•安顺）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．11．（2024•湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是（）A．r B．（1）r C．（1）r D．r12．（2024•益阳）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3．按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF．AE交BF于点O，连接OC，则OC＝_______．13．（2024•抚顺）如图，▱ABCD中，AB＝7，BC＝3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是____．14．（2024•葫芦岛）如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若∠MON＝60°，EF＝1，则OA＝_______．15．（2024•山西）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB＝2，∠ABP＝60°，则线段AF的长为_______．16．（2024•东营）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD＝3，AC＝10，则△ACD的面积是____．17．（2024•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是__．18．（2024•南京）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC＝10cm，则DE＝___cm．19．（2024•赤峰）如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C＝∠DAC．（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．20．（2024•攀枝花）已知△ABC中，∠A＝90°．（1）请在图1中作出BC边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图2，设BC边上的中线为AD，求证：BC＝2AD．21．（2024•牡丹江）在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝1．以AD为腰作等腰△ADE，使∠ADE＝90°，过点E作EF⊥DC交直线CD于点F．请画出图形，并直接写出AF的长．22．（2024•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠C＝90°，AB＝a．23．（2024•北京）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝____，CB＝____，∴PQ∥l（__________）（填推理的依据）．24．（2024•孝感）如图，△ABC中，AB＝AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；③连接PB，PC．请你观察图形解答下列问题：（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是__________；（2）若∠ABC＝70°，求∠BPC的度数．25．（2024•陇南）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°．（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．26．（2024•青岛）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．27．（2024•广安）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．（4）画一个一边长为2，面积为6的等腰三角形．28．（2024•河南）如图，反比例函数y（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②矩形的面积等于k的值．29．（2024•湖北）图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．（1）在图①中，画出∠MON的平分线OP；（2）在图②中，画一个Rt△ABC，使点C在格点上．30．（2024•宁波）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．31．（2024•济宁）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒EF；③T型尺（CD所在的直线垂直平分线段AB）．（1）在图1中，请你画出用T形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”如果测得MN＝10m，请你求出这个环形花坛的面积．32．（2024•金华）如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1，点A在格点（小正方形的顶点）上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．。
考点名称：尺规作图【学习目标】1．了解什么是尺规作图．2．学会用尺规作图法完成下列五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段；(2)画一个角等于已知角；(3)画线段的垂直平分线；(4)过已知点画已知直线的垂线；(5)画角平分线．3．了解五种基本作图的理由．4．学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程．5．学会利用基本作图画三角形等较简单的图形．6．通过画图认识图形的本质，体会图形的内在美．【基础知识精讲】1．尺规作图：①定义：限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图．注意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛．②步骤：(1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；(2)分析作图的方法和过程；(3)用直尺和圆规进行作图； (4)写出作法步骤，即作法。
（根据题目要求来定是否需要写出作法）2．尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图．任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种.3．基本作图共有五种：(1)画一条线段等于已知线段．如图24-4-1，已知线段DE．求作：一条线段等于已知线段．作法：①先画射线AB．②然后用圆规在射线AB上截取AC＝MN．线段AC就是所要作的线段．(2)作一个角等于已知角．如图24-4-2，已知∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：①作射线O′A′；②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′．④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′．⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．(3)作线段的垂直平分线．如图24-4-3，已知线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．注意：直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点．(4)经过一点作已知直线的垂线．a．经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图24-4-4．已知：直线AB和AB上一点C，求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：作平角ACB的平分线CF．直线CF就是所求的垂线，如图24-4-4．b．经过已知直线外一点作这条直线的垂线．如图24-4-5，已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：①任意取一点K，使K和C在AB的两旁．②以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．③分别以D和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F．④作直线CF．直线CF就是所求的垂线．注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决．(5)平分已知角．如图24-4-6，已知∠AOB．求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE．②分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．③作射线OC．OC就是所求的射线．注意：以上五种基本作图是尺规作图的基础，一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，同学扪要高度重视，努力把这部分内容学习好．通过这一节的学习，同学们要掌握下列作图语言：(1)过点×和点×画射线××，或画射线××．(2)在射线××上截取××＝××．(3)以点×为圆心，××为半径画弧．(4)以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×．(5)分别以点×，点×为圆心，以××，××为半径作弧，两弧相交于点×．(6)在射线××上依次截取××＝××＝××．(7)在∠×××的外部或内部画∠×××＝∠×××．注意：学过基本作图后，在作较复杂图时，属于基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．如：(1)画线段××＝××．(2)画∠×××＝∠×××．(3)画××平分∠×××，或画∠×××的角平分线．(4)过点×画××⊥××，垂足为点×．(5)作线段××的垂直平分线××，等等．但要注意保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，不能因为作法的叙述省略而作图就不按程序操作，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理．【经典例题精讲】例1已知两边及其夹角，求作三角形．如图24-4-7，已知：∠α，线段a、b，求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．作法：①作∠MAN＝∠α．②在射线AM、AN上分别作线段AB＝a，AC＝b．③连结BC．如图24-4-8，△ABC即为所求作的三角形．注意：一般几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法，比较复杂的作图题，在作图之前可根据需要作一些分析．例2如图24-4-9，已知底边a，底边上的高h，求作等腰三角形．已知线段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h．分析：可先作出底边BC，根据等腰三角形的三线合一的性质，可再作出BC的垂直平分线，从而作出BC边上的高AD，分别连结AB和AC，即可作出等腰△ABC来．作法：(1)作线段BC＝a．(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D．(3)在MN上截取DA，使DA＝h．(4)连结AB、AC．如图24-4-10，△ABC即为所求的等腰三角形．例3已知三角形的一边及这边上的中线和高，作三角形．如图24-4-11，已知线段a，m，h(m>h)．求作：△ABC使它的一边等于a，这边上的中线和高分别等于m和h(m>h)．分析：如图24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中线AD＝m，高AE＝h，在△AED中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此这个Rt△AED可以作出来(△AED为奠基三角形)．当Rt△AED作出后，由的关系可作出点B和点C，于是△ABC即可得到．作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m．(2)延长ED到B，使．(3)在DE或BE的延长线上取．(4)连结AB、AC．则△ABC即为所求作的三角形．注意：因为三角形中，一边上的高不能大于这边上的中线，所以如果h>m，作图题无解；若m＝h，则作出的图形为等腰三角形．例4如图24-4-13，已知线段a．求作：菱形ABCD，使其半周长为a，两邻角之比为1∶2．分析：因为菱形四边相等，“半周长为a”就是菱形边长为，为此首先要将线段a等分，又因为菱形对边平行，则同旁内角互补，由“邻角之比为1∶2”可知，菱形较小内角为60°，则菱形较短对角线将菱形分成两个全等的等边三角形．所以作图时只要作出两个有公共边的等边三角形，则得到的四边形即为所求的菱形ABCD．作法：(1)作线段a的垂直平分线，等分线段a．(2)作线段AC，使．(3)分别以A、C为圆心，为半径，在AC的两侧画弧，两弧分别交于B，D．(4)分别连结AB、BC、CD、DA得到四边形ABCD，则四边形ABCD为所求作的菱形(如图24-4-14)．注意：这种通过先画三角形，然后再画出全部图形的方法即为“三角形奠基法”．例5如图24-4-15，已知∠AOB和C、D两点．求作一点P，使PC＝PD，且使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．分析：要使PC＝PD，则点P在CD的垂直平分线上，要使点P到∠AOB的两边距离相等，则P应在∠AOB的角平分线上，那么满足题设的P点就是垂直平分线与角平分线的交点了．作法：(1)连结CD．(2)作线段CD的中垂线l．(3)作∠AOB的角平分线OM，交l于点P，P点为所求．注意：这类定点问题应需确定两线，两直线的交点即为定点，当然这两直线应分别满足题目的不同要求．【中考考点】例6 (2000·安徽省)如图24-4-16，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A．一处 B．二处C．三处 D．四处分析：到直线距离相等的点在相交所构成的角的平分线上，可利用作角平分线的方法找到这些点．解：分别作相交所构成的角平分线，共可作出六条，三条角平分线相交的交点共有四个．答案：D．注意：本题应用了角平分线的性质，在具体作图时，不可只作出位于中心位置的一处，而要全面考虑其他满足条件的点．例7 (2002·陕西省)如图24-4-17，△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，工人师傅要把它加工成—个正方形零件，使C为正方形的—个顶点，其他三个顶点分别在AB、BC、AC边上．(1)试协助工人师傅用尺规画出裁割线(不写作法，保留作图痕迹)；(2)工人师傅测得AC＝80 cm，BC＝120cm，请帮助工人师傅算出按(1)题所画裁割线加工成的正方形零件的边长．解：(1)作∠ACB的平分线与AB的交点E即为正方形—顶点，作CE线段的中垂线HK 与AC、BC的交点F、D即为所作正方形另两个顶点，如图24-4-17．(2)设这个正方形零件的边长为x cm，∵DE∥AC，∴，∴．∴x＝48．答：这个正方形零件的边长为48cm．注意：本题是几何作图和几何计算相结合题目，要求读者对基本作图务必掌握，同时对作出图形的性质要清楚．例8 (2002·山西省)如图24-4-18①，有一破残的轮片(不小于半个轮)，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你根据所学的有关知识，设计两种方案，确定这个圆形零件的半径．分析：欲确定这个圆形零件的半径，可以借助三角板，T形尺或尺规作图均可，图②中是这个零件的半径，图③中OB是这个零件半径．解：如图24-4-18②③所示．【常见错误分析】例9如图24-4-19，已知线段a、b、h．求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的高AD＝h．并回答问题，你作出的三角形唯一吗？从中你可以得到什么结论呢？错解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直线CD上截取CB＝a．如图24-4-20，则△ABC就是所求作的三角形．(2)作出的三角形唯一．(3)得出结论：有两边及一边上的高对应相等的两三角形全等．误区分析：本题错解在于忽略了三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形的外部．正解：如图24-4-21，作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．②在直线CD上截取CB＝a(在点C的两侧)．则△ABC，△AB′C都是所求作三角形．(2)作出的三角形不唯一．(3)得出结论有两边及—边上的高对应相等的两三角形不一定全等．注意：与三角形的高有关的题目应慎之又慎．【学习方法指导】学习基本作图，主要是运用观察法，通过具体的操作，了解各种基本作图的步骤，掌握作图语言．【规律总结】画复杂的图形时，如一时找不到作法，—般是先画出一个符合所设条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．有时，也可以根据已知条件和基本作图，先作局部三角形，再以此为基础，根据有关条件画出其余部分，从而完成全图，这种方法称为三角形奠基法．拓展： 1．利用基本作图作三角形：(1)已知三边作三角形； (2)已知两边及其夹角作三角形； (3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；（5）已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图：(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)． (2)作三角形的内切圆．（3）作圆的内接正方形和正六边形．附件：尺规作图简史：“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性.古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是无理数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.•。
初中尺规作图+数学尺规典型案例复习+历年中考尺规例题基本作图示范：1、作一条线段,等于已知线段;已知线段MN。
求作：一条线段等于已知线段.作法：图先画射线AB,然后用圆规在射线AB上截取AC= MN.线段AC就是所要作的线段.2、作一个角等于已知角。
(其理论依据为“SSS”理);作法：①作射线0'A‘;②以点0为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C,交OB于D;③以点0'为圆心，以OC长为半径作弧，交0'A'于C‘;④以点C'为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D‘;⑤经过点D'作射线0'B'，∠A' 0'B'就是所求的角. 连结CD、C'D'，由作法可知△C'O'D≌△COD(SSS)∴∠C'O'D'=∠COD(全等三角形对应角相等)．即∠A'O'B'=∠AOB．3、作已知角的平分线(其理论依据为“SSS”公理);已知∠AOB,求作：射线OC,使∠AOC= ∠BOC.作法：①在OA和OB上，分别截取OD. OE.②分别以D.E为圆心，大于DE 的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；③作射线OC.OC就是所求的射线.连结CD、CE，由作法可知△ODC≌△OEC(SSS)∴∠COD=∠COE(全等三角形的对应角相等)．即∠AOC=∠BOC．4、经过一点(点在直线上或点在直线外)作已知直线的垂线;a.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB上一点C,求作：AB的垂线，使它经过点C.第一步:作平角ACB的平分线CD;第二步:反向延长射线CD.作法：作平角ACB的平分线CF,直线CF就是所求的垂线.b.经过已知直线外一点作这条直线的垂线.作法：①任意取一点K,使K和C在AB的两旁;②以C为圆心,CK长为半径作弧，交AB于点D和E;③分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F.④作直线CF.直线CF就是所求的垂线，注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决.典型例题分析历年中考好题精选题目练习。
完整版)中考数学尺规作图专题复习(含答案)尺规作图是用无刻度的直尺和圆规画图的方法，常见的作图包括线段的垂线、垂直平分线、角平分线、等长线段和等角。
以下是各种作图的具体方法：1.直线垂线的画法：以点C为圆心，任意长为半径画弧交直线与A、B两点，再以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，分别交直线l两侧于点M、N，连接MN，即可得到所求的垂线。
2.线段垂直平分线的画法：以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，分别交直线AB两侧于点C、D，连接CD，即可得到线段AB的垂直平分线。
3.角平分线的画法：以角顶点O为圆心，任意长为半径画圆，分别交角两边A、B点，再以A、B为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，交点为H，连接OH并延长，即可得到所求的角平分线。
4.等长的线段的画法：直接用圆规量取即可。
5.等角的画法：以O为圆心，任意长为半径画圆，交原角的两边为A、B两点，连接AB；画一条射线l，以上面的半径为半径，l的顶点K为圆心画圆，交l与L，以L为圆心，AB为半径画圆，交以K为圆心，KL为半径的圆与M点，连接KM，则角LKM即为所求。
需要注意的是，直尺主要用于画直线和射线，圆规主要用于截取相等线段和画弧。
在作图时，如果有多个要求，应逐个满足并取公共部分。
例如，对于要求作一个三角形的问题，可以根据三角形全等的基本事实或判定定理来进行作图。
以下是例题解析：例题1：已知线段a，求作△ABC，使AB=BC=AC=a。
作法如下：1.作线段BC=a；2.分别以B、C为圆心，以a半径画弧，两弧交于点A；3.连接AB、AC。
例题2：已知线段a和∠α，求作△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α。
作法如下：1.作∠XXX∠α；2.以点A为圆心，a为半径画弧，分别交射线AM、AN 于点B、C；3.连接B、C。
例题3：已知△ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC 上取一点P，使得PA+PC=BC。
作法如下：作出AB的垂直平分线，与BC交于点P。
中考数学尺规作图初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线几种常见的尺规作图方法：⑴轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？【例2】在平面直角坐标系中，点A的坐标是(4，0)，O是坐标原点，在直线3∆y x=+上求一点P，使AOP 是等腰三角形，这样的P点有几个？【例3】设OO⊙外切.⊙及'⊙与'O⊙相离，半径分别为R与'R，求作半径为r的圆，使其与Or⑵代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【例5】求作一正方形，使其面积等于已知ABC∆的面积.【例6】 在已知直线l 上求作一点M ，使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .arO l⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例7】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.cba变式：如图，在△A B C 中，∠B AC ＝60°，∠A B C ＝90°，直线l 1∥l 2∥l 3，l 1与l 2之间距离是1，l 2与l 3之间距离是2．且l 1，l 2，l 3分别经过点A ，B ，C ，则边AC 的长为________．【例8】 已知：如图，P 为AOB ∠角平分线OM 上一点.求作：PCD ∆，使得90P ∠=︒，PC PD =，且C 在OA 上，D 在OB 上.O⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例9】 已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.CBA⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.【例11】 如图：五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.⑴ 请你作一条直线l ，使直线l 平分五边形ABCDE 的面积； ⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.FED CBA【例12】 如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点． 某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S SS S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．⑴ 研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2)，则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗？为什么？⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？⑶ 研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF CE ∥，交AC 于点F ，连接EF (如图3)，则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由． ⑷ 如图4，点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线．请你画一条ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点．历年考题：1、如图，已知矩形ABCD ，AB=4，BC=5，请用尺规作图画出符合要求的图形，并标注必要的字母及结论（保留痕迹）（1）在图1的矩形中画出面积最大的菱形。
专题32尺规作图问题专题知识回顾1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法.尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。
2.尺规作图的五种基本情况：(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)作已知线段的垂直平分线；(4)作已知角的角平分线；(5)过一点作已知直线的垂线。
3.对尺规作图题解法：写出已知，求作，作法(不要求写出证明过程)并能给出合情推理。
4.中考要求：(1)能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.(2)能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形^(3)能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆^(4) 了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明) ^专题典型题考法及解析【例题1】(2019?胡南长沙) 如图，RHABC中，/ C= 90°, / B= 30°,分别以点A和点B为圆心,于§AB的长为半径作弧，两弧相交于M N两点，作直线MN交BC于点D,连接AD则/ CAM度数是( ^^1(2)根据/ DBF= / ABID- / ABF 计算即可。
••・四边形ABC 虚菱形,C. 45D. 60°【解析】根据内角和定理求得/ BAC= 60° ,由中垂线性质知 DA= DB 即/DAB= / B= 30 在△ABC43, / B= 30 , / C= 90 ,/ BAC= 180 - / B- / C= 60 ,由作图可知MN 为AB 的中垂线，DA= DB・ ./ DAB= / B= 30° ,・ ./ CAD= / BAG / DAB= 30° 。
,从而得出答案.【例题2】（2019山东枣庄）如图，BD 是菱形ABCD 勺对角线，/ CBD= 75（1）请用尺规作图法，作 AB 的垂直平分线 EF,垂足为E,交AD 于F;（不要求写作法, 保留作图痕迹）【解析】（1）分别以A .B 为圆心，大于 L AB 长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可。
