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安徽省2019年中考数学一轮复习第二讲空间与图形第六章圆6.1 圆的有关性质测试编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（安徽省2019年中考数学一轮复习第二讲空间与图形第六章圆6.1 圆的有关性质测试）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第六章圆6。
1圆的有关性质学用P64[过关演练］（40分钟80分)1.(2018·山东青岛）如图,点A，B，C,D在☉O上,∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是(D)A。
70°B。
55°C.35.5°D。
35°【解析】连接OB，∵点B是的中点,∴∠AOB=∠AOC=70°,由圆周角定理得∠D=∠AOB=35°.2.（2018·四川乐山）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就。
它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用。
书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小,以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?"译为:“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深1寸(ED=1寸),锯道长1尺(AB=1尺=10寸)，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是(C)A.13寸B。
20寸C。
26寸D.28寸【解析】设☉O的半径为r。
在Rt△ADO中，AD=5,OD=r-1，OA=r，则有r2=52+(r—1)2，解得r=13，故☉O的直径为26寸。
6.3与圆有关的计算[过关演练](30分钟75分)12倍,则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是(B)A.120°B.180°C.240°D.300°【解析】设母线长为R,底面半径为r,∴底面周长=2πr,底面积=πr2,侧面积=πrR,∵侧面积是底面积的2倍,∴2πr2=πrR,∴R=2r,设圆心角为n,则=2πr=πR,解得n=180°. 2.如图,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B.若OA=2,∠P=60°,则劣弧的长为(C)A. B.π C. D.【解析】∵PA,PB是☉O的切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP,∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-60°=120°,∴劣弧的长为.3.在矩形ABCD中,AB=16,如图所示裁出一扇形ABE,将扇形围成一个圆锥(AB和AE重合),则此圆锥的底面圆半径为(A)A.4B.16C.4D.8【解析】由题意知的长为=8π,即围成的圆锥的底面圆的周长为8π,则底面圆的半径为=4.4,ABCDEF为☉O的内接正六边形,AB=a,则图中阴影部分的面积是(B)A.a2B.a2C.a2D.a2【解析】∵正六边形的边长为a,∴☉O的半径为a,∴☉O的面积为π×a2=πa2,∵空白正六边形为六个边长为a的正三角形,∴每个三角形面积为×a×a×sin 60°=a2,∴正六边形面积为a2,∴阴影面积为a2.5.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=2,以BC的中点O为圆心分别与AB,AC相切于D,E两点,则的长为(B)A. B.C.πD.2π【解析】连接OD,OE,设半径为r.∵☉O分别与AB,AC相切于D,E两点,∴OE⊥AC,OD⊥AB,∴∠DOE=90°,OD∥AC,∵点O是BC的中点,∴OD是△ABC的中位线,∴OD=AC,∴AC=2r,同理可得AB=2r,∴AB=AC,∴∠B=45°,∵BC=2,由勾股定理可得AB=2,∴r=1,∴的长为.6.下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是(A)A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形【解析】正三角形的中心角的度数为360°÷3=120°,正方形的中心角的度数为360°÷4=90°,正五边形的中心角的度数为360°÷5=72°,正六边形的中心角的度数为360°÷6=60°.7.如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,分别以O,E为圆心,OA,ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分面积是(A)A.8-πB.C.3+πD.π【解析】作DH⊥AE于点H,∵∠AOB=90°,OA=3,OB=2,∴AB=,由旋转的性质可知OE=OB=2,DE=EF=AB=,∵∠OFE+∠FEO=∠OED+∠FEO=90°,∴∠OFE=∠OED,∴△DHE≌△EOF,∴DH=OE=2,阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积-扇形DEF的面积=×5×2+×2×3+=8-π.8,在圆心角为45°的扇形内有一正方形CDEF,其中点C,D在半径OA 上,点F在半径OB上,点E在上,则扇形与正方形的面积比是(B)A.3π∶8B.5π∶8C.π∶4D.π∶4【解析】连接OE,设正方形CDEF的边长为x,∴O D=2x,∴OE=x,∴S正方形=x2,S扇=πx2,∴S扇∶S正方形=5π∶8.9.如图,正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆,则B,E两点间的距离为8.【解析】连接BE,AE,∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BAF=∠AFE=120°,FA=FE,∴∠FAE=∠FEA=30°,∴∠BAE=90°,∴BE是正六边形ABCDEF的外接圆的直径,∵正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆,∴BE=8,即B,E两点间的距离为8.10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AB=2,将△ABC沿直线CB向右作无滑动滚动一次,则点C经过的路径长是.【解析】∵∠ACB=90°,∠A=60°,AB=2,∴∠ABC=30°,BC=3,由旋转得△A'BC'≌△ABC,∴∠C'BA'=30°,∴∠CBC'=150°,∴点C经过的路径长为.11.如图,点B,C把分成三等分,ED是☉O的切线,过点B,C分别作半径的垂线段,已知∠E=45°,半径OD=1,则图中阴影部分的面积是.【解析】∵ED是☉O的切线,∴∠EDO=90°,∵∠E=45°,∴∠EOD=45°,又∵点B,C把分成三等分,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=45°,∴S阴影=π·OD2-2××1×1-.12.如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点,AB=12,OP=6,则劣弧的长为8π.(结果保留π)【解析】连接OA,OB.∵大圆的弦AB是小圆的切线,∴OP⊥AB,根据垂径定理,得BP=AB=6.在Rt△OBP中,OB==12,tan ∠POB=,∴∠POB=60°.∵OA=OB,OP⊥AB,∴∠AOB=2∠POB=120°,∴劣弧的长为=8π.13,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设圆O的半径为1,若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积,则S=2.(结果保留根号)【解析】依照题意画出图象,如图所示.∵六边形ABCDEF为正六边形,∴△ABO为等边三角形,∵☉O的半径为1,∴OM=1,∴BM=AM=,∴AB=,∴S=6S△ABO=6××1=2.14.(8分,已知AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连接BC.(1)求证:AE=ED;(2)若AB=10,∠CBD=36°,求的长.解:(1)∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°,即OC⊥AD,∴AE=ED.(2)∵OC⊥AD,∴,∴∠ABC=∠CBD=36°,∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°,∴=2π.15.(10分1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门的右轴固定在门框上,通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图,已知轨道AB=120 cm,两扇活页门的宽OC=OB=60 cm,点B固定,当点C在AB上左右运动时,OC与OB的长度不变.(1)若∠OBC=50°,求AC的长;(2)当点C从点A向右运动60 cm时,求点O在此过程中运动的路径长.(结果保留小数点后一位,参考数据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.19,π取3.14)解:(1)作OH⊥BC于点H,∵OB=OC,∴BH=CH,在Rt△OBH中,∵cos ∠OBH=,∴BH=60·cos 50°=60×0.64=38.4,∴BC=2BH=2×38.4=76.8,∴AC=AB-BC=120-76.8=43.2(cm).(2)∵OB=OC=60,BC=60,∴△OBC为等边三角形,∴∠OBC=60°,∴当点C从点A向右运动60 cm时,点O在此过程中运动路径是以B点为圆心,BO为半径,圆心角为60°的弧,∴点O在此过程中运动的路径长为=20π≈62.8(cm).[名师预测]1.如图,用—个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升,滑轮上一点P旋转了108°,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了(C)A.π cmB.2π cmC.3π cmD.5π cm【解析】当滑轮上一点P旋转了108°时,重物上升的距离就是点P旋转的弧长,即为=3π(cm).2.如图,正方形ABCD内接于☉O,☉O的半径为2,以点A为圆心,以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积为(A)A.4π-4B.4π-8C.8π-4D.8π-8【解析】利用对称性可知:阴影部分的面积=扇形AEF的面积-△ABD的面积=×4×2=4π-4.3.已知圆的半径是2,则该圆的内接正六边形的面积是(C)A.3B.9C.18D.36【解析】如图,圆O的内接正六边形为ABCDEF,圆O的半径为2.连接OA,OB,过点O作OG⊥AB,垂足为G.∵OA=OB=2,∠AOB==60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=2.∵OG⊥AB,∴AG=AB=.在Rt△AOG中,根据勾股定理,得OG==3,∴S△AOB=AB×OG=×2×3=3.∴S六边形ABCDEF=6S△AOB=6×3=18.4.如图,在平行四边形ABCD中,AB<AD,∠D=30°,CD=4,以AB为直径的☉O交BC于点E,则阴影部分的面积为.【解析】连接OE,AE,∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=4,∠B=∠D=30°,∴AE=AB=2,BE==2,∵OA=OB=OE,∴∠B=∠OEB=30°,∴∠BOE=120°,∴S阴影=S扇形OBE-S△BOE=AE·BE=×2×2.5.如图,边长为1的菱形ABCD的两个顶点B,C恰好落在扇形AEF的上.若∠BAD=120°,则的长度等于.(结果保留π)【解析】连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,∴∠ABC=60°,∵AB=BC,∴△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60°,∴的长度为.6.如图,正方形ABCD内接于☉O,M为的中点,连接BM,CM.(1)求证:BM=CM;(2)当☉O的半径为2时,求的长.解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CD,∴,∵M为的中点,∴,∴,∴BM=CM.(2)连接OM,OB,OC.∵,∴∠BOM=∠COM,∵正方形ABCD内接于☉O,∴∠BOC==90°,∴∠BOM=135°.由弧长公式得的长为.7.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC于点F.(1)若☉O的半径为3,∠CDF=15°,求阴影部分的面积;(2)求证:DF是☉O的切线;(3)求证:∠EDF=∠DAC.解:(1)连接OE,过点O作OM⊥AC于点M,则∠AMO=90°,∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°,∵∠FDC=15°,∴∠C=180°-90°-15°=75°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=75°,∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=30°,∴OM=OA=×3=,AM=OM=,∵OA=OE,OM⊥AC,∴AE=2AM=3,∴∠BAC=∠AEO=30°,∴∠AOE=180°-30°-30°=120°,∴S阴影=S扇形AOE-S△AOE=×3=3π-.(2)连接OD,∵AB=AC,OB=OD,∴∠ABC=∠C,∠ABC=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴AC∥OD,∵DF⊥AC,∴DF⊥OD,∵OD是☉O的半径,∴DF是☉O的切线.(3)连接BE,∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°,∴BE⊥AC,∵DF⊥AC,∴BE∥DF,∴∠FDC=∠EBC,∵∠EBC=∠DAC,∴∠FDC=∠DAC,∵A,B,D,E四点共圆,∴∠DEF=∠ABC,∵∠ABC=∠C,∴∠DEC=∠C,∵DF⊥AC,∴∠EDF=∠FDC,∴∠EDF=∠DAC.8.如图,AB为☉O的直径,且AB=4,点C在半圆上,OC⊥AB,垂足为O,P为半圆上任意一点,过点P作PE⊥OC于点E,设△OPE的内心为M,连接OM,PM.(1)求∠OMP的度数;(2)当点P在半圆上从点B运动到点A时,求内心M所经过的路径长.解:(1)∵△OPE的内心为M,∴∠MOP=∠MOC,∠MPO=∠MPE,∴∠PMO=180°-∠MPO-∠MOP=180°-(∠EOP+∠OPE),∵PE⊥OC,即∠PEO=90°,∴∠OMP=180°-(∠EOP+∠OPE)=180°-(180°-90°)=135°.(2)如图,∵OP=OC,OM=OM,∠MOP=∠MOC,∴△OPM≌△OCM,∴∠CMO=∠PMO=135°,∴点M在以OC为弦,并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上().当点M在扇形BOC内时,过C,M,O三点作☉O',连O'C,O'O,在优弧CO上取点D,连接DC,DO,∵∠CMO=135°,∴∠CDO=180°-135°=45°,∴∠CO'O=90°,又∵OA=2 cm,∴O'O=OC=×2=,∴弧OMC的长=π(cm),同理:点M在扇形AOC内时,同①的方法得,弧ONC的长为π cm,所以内心M所经过的路径长为2×π=π cm.。
6.3与圆有关的计算[过关演练](30分钟75分)1.(xx·湖北天门)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是(B)A.120°B.180°C.240°D.300°【解析】设母线长为R,底面半径为r,∴底面周长=2πr,底面积=πr2,侧面积=πrR,∵侧面积是底面积的2倍,∴2πr2=πrR,∴R=2r,设圆心角为n,则=2πr=πR,解得n=180°.2.如图,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B.若OA=2,∠P=60°,则劣弧的长为(C)A. B.π C. D.【解析】∵PA,PB是☉O的切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP,∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-60°=120°,∴劣弧的长为.3.在矩形ABCD中,AB=16,如图所示裁出一扇形ABE,将扇形围成一个圆锥(AB和AE重合),则此圆锥的底面圆半径为(A)A.4B.16C.4D.8【解析】由题意知的长为=8π,即围成的圆锥的底面圆的周长为8π,则底面圆的半径为=4..(xx·四川资阳)如图,ABCDEF为☉O的内接正六边形,AB=a,则图中阴影部分的面积是(B)A.a2B.a2C.a2D.a2【解析】∵正六边形的边长为a,∴☉O的半径为a,∴☉O的面积为π×a2=πa2,∵空白正六边形为六个边长为a的正三角形,∴每个三角形面积为×a×a×sin 60°=a2,∴正六边形面积为a2,∴阴影面积为a2.5.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=2,以BC的中点O为圆心分别与AB,AC相切于D,E 两点,则的长为(B)A. B.C.πD.2π【解析】连接OD,OE,设半径为r.∵☉O分别与AB,AC相切于D,E两点,∴OE⊥AC,OD⊥AB,∴∠DOE=90°,OD∥AC,∵点O是BC的中点,∴OD是△ABC的中位线,∴OD=AC,∴AC=2r,同理可得AB=2r,∴AB=AC,∴∠B=45°,∵BC=2,由勾股定理可得AB=2,∴r=1,∴的长为.6.下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是(A)A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形【解析】正三角形的中心角的度数为360°÷3=120°,正方形的中心角的度数为360°÷4=90°,正五边形的中心角的度数为360°÷5=72°,正六边形的中心角的度数为360°÷6=60°.7.如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,分别以O,E为圆心,OA,ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分面积是(A)A.8-πB.C.3+πD.π【解析】作DH⊥AE于点H,∵∠AOB=90°,OA=3,OB=2,∴AB=,由旋转的性质可知OE=OB=2,DE=EF=AB=,∵∠OFE+∠FEO=∠OED+∠FEO=90°,∴∠OFE=∠OED,∴△DHE≌△EOF,∴DH=OE=2,阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积-扇形DEF的面积=×5×2+×2×3+=8-π.8.(xx·合肥模拟)如图,在圆心角为45°的扇形内有一正方形CDEF,其中点C,D在半径OA上,点F在半径OB上,点E在上,则扇形与正方形的面积比是(B)A.3π∶8B.5π∶8C.π∶4D.π∶4【解析】连接OE,设正方形CDEF的边长为x,∴O D=2x,∴OE=x,∴S正方形=x2,S扇=πx2,∴S扇∶S正方形=5π∶8.9.如图,正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆,则B,E两点间的距离为8.【解析】连接BE,AE,∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BAF=∠AFE=120°,FA=FE,∴∠FAE=∠FEA=30°,∴∠BAE=90°,∴BE是正六边形ABCDEF的外接圆的直径,∵正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆,∴BE=8,即B,E两点间的距离为8.10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AB=2,将△ABC沿直线CB向右作无滑动滚动一次,则点C经过的路径长是.【解析】∵∠ACB=90°,∠A=60°,AB=2,∴∠ABC=30°,BC=3,由旋转得△A'BC'≌△ABC,∴∠C'BA'=30°,∴∠CBC'=150°,∴点C经过的路径长为.11.如图,点B,C把分成三等分,ED是☉O的切线,过点B,C分别作半径的垂线段,已知∠E=45°,半径OD=1,则图中阴影部分的面积是.【解析】∵ED是☉O的切线,∴∠EDO=90°,∵∠E=45°,∴∠EOD=45°,又∵点B,C把分成三等分,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=45°,∴S阴影=π·OD2-2××1×1-.12.如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点,AB=12,OP=6,则劣弧的长为8π.(结果保留π)【解析】连接OA,OB.∵大圆的弦AB是小圆的切线,∴OP⊥AB,根据垂径定理,得BP=AB=6.在Rt△OBP中,OB==12,tan ∠POB=,∴∠POB=60°.∵OA=OB,OP⊥AB,∴∠AOB=2∠POB=120°,∴劣弧的长为=8π.13.(xx·四川宜宾)刘徽是中国古代卓越的数学家之一,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设圆O的半径为1,若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积,则S=2.(结果保留根号)【解析】依照题意画出图象,如图所示.∵六边形ABCDEF为正六边形,∴△ABO为等边三角形,∵☉O的半径为1,∴OM=1,∴BM=AM=,∴AB=,∴S=6S△ABO=6××1=2.14.(8分)(xx·浙江湖州)如图,已知AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连接BC.(1)求证:AE=ED;(2)若AB=10,∠CBD=36°,求的长.解:(1)∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°,即OC⊥AD,∴AE=ED.(2)∵OC⊥AD,∴,∴∠ABC=∠CBD=36°,∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°,∴=2π.15.(10分)(xx·江西)图1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门的右轴固定在门框上,通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图,已知轨道AB=120 cm,两扇活页门的宽OC=OB=60 cm,点B固定,当点C在AB上左右运动时,OC与OB 的长度不变.(1)若∠OBC=50°,求AC的长;(2)当点C从点A向右运动60 cm时,求点O在此过程中运动的路径长.(结果保留小数点后一位,参考数据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.19,π取3.14)解:(1)作OH⊥BC于点H,∵OB=OC,∴BH=CH,在Rt△OBH中,∵cos ∠OBH=,∴BH=60·cos 50°=60×0.64=38.4,∴BC=2BH=2×38.4=76.8,∴AC=AB-BC=120-76.8=43.2(cm).(2)∵OB=OC=60,BC=60,∴△OBC为等边三角形,∴∠OBC=60°,∴当点C从点A向右运动60 cm时,点O在此过程中运动路径是以B点为圆心,BO为半径,圆心角为60°的弧,∴点O在此过程中运动的路径长为=20π≈62.8(cm).[名师预测]1.如图,用—个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升,滑轮上一点P旋转了108°,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了(C)A.π cmB.2π cmC.3π cmD.5π cm【解析】当滑轮上一点P旋转了108°时,重物上升的距离就是点P旋转的弧长,即为=3π(cm).2.如图,正方形ABCD内接于☉O,☉O的半径为2,以点A为圆心,以AC长为半径画弧交AB 的延长线于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积为(A)A.4π-4B.4π-8C.8π-4D.8π-8【解析】利用对称性可知:阴影部分的面积=扇形AEF的面积-△ABD的面积=×4×2=4π-4.3.已知圆的半径是2,则该圆的内接正六边形的面积是(C)A.3B.9C.18D.36【解析】如图,圆O的内接正六边形为ABCDEF,圆O的半径为2.连接OA,OB,过点O作OG⊥AB,垂足为G.∵OA=OB=2,∠AOB==60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=2.∵OG⊥AB,∴AG=AB=.在Rt△AOG中,根据勾股定理,得OG==3,∴S△AOB=AB×OG=×2×3=3.∴S六边=6S△AOB=6×3=18.形ABCDEF4.如图,在平行四边形ABCD中,AB<AD,∠D=30°,CD=4,以AB为直径的☉O交BC于点E,则阴影部分的面积为.【解析】连接OE,AE,∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=4,∠B=∠D=30°,∴AE=AB=2,BE==2,∵OA=OB=OE,∴∠B=∠OEB=30°,∴∠BOE=120°,∴S阴影=S扇形OBE-S△=AE·BE=×2×2.BOE5.如图,边长为1的菱形ABCD的两个顶点B,C恰好落在扇形AEF的上.若∠BAD=120°,则的长度等于.(结果保留π)【解析】连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,∴∠ABC=60°,∵AB=BC,∴△ABC 为等边三角形,∴∠BAC=60°,∴的长度为.6.如图,正方形ABCD内接于☉O,M为的中点,连接BM,CM.(1)求证:BM=CM;(2)当☉O的半径为2时,求的长.解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CD,∴,∵M为的中点,∴,∴,∴BM=CM.(2)连接OM,OB,OC.∵,∴∠BOM=∠COM,∵正方形ABCD内接于☉O,∴∠BOC==90°,∴∠BOM=135°.由弧长公式得的长为.7.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC 于点F.(1)若☉O的半径为3,∠CDF=15°,求阴影部分的面积;(2)求证:DF是☉O的切线;(3)求证:∠EDF=∠DAC.解:(1)连接OE,过点O作OM⊥AC于点M,则∠AMO=90°,∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°,∵∠FDC=15°,∴∠C=180°-90°-15°=75°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=75°,∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=30°,∴OM=OA=×3=,AM=OM=,∵OA=OE,OM⊥AC,∴AE=2AM=3,∴∠BAC=∠AEO=30°,∴∠AOE=180°-30°-30°=120°,∴S阴影=S扇形AOE-S△AOE=×3=3π-.(2)连接OD,∵AB=AC,OB=OD,∴∠ABC=∠C,∠ABC=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴AC∥OD,∵DF⊥AC,∴DF⊥OD,∵OD是☉O的半径,∴DF是☉O的切线.(3)连接BE,∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°,∴BE⊥AC,∵DF⊥AC,∴BE∥DF,∴∠FDC=∠EBC,∵∠EBC=∠DAC,∴∠FDC=∠DAC,∵A,B,D,E四点共圆,∴∠DEF=∠ABC,∵∠ABC=∠C,∴∠DEC=∠C,∵DF⊥AC,∴∠EDF=∠FDC,∴∠EDF=∠DAC.8.如图,AB为☉O的直径,且AB=4,点C在半圆上,OC⊥AB,垂足为O,P为半圆上任意一点,过点P作PE⊥OC于点E,设△OPE的内心为M,连接OM,PM.(1)求∠OMP的度数;(2)当点P在半圆上从点B运动到点A时,求内心M所经过的路径长.解:(1)∵△OPE的内心为M,∴∠MOP=∠MOC,∠MPO=∠MPE,∴∠PMO=180°-∠MPO-∠MOP=180°-(∠EOP+∠OPE),∵PE⊥OC,即∠PEO=90°,∴∠OMP=180°-(∠EOP+∠OPE)=180°-(180°-90°)=135°.(2)如图,∵OP=OC,OM=OM,∠MOP=∠MOC,∴△OPM≌△OCM,∴∠CMO=∠PMO=135°,∴点M在以OC为弦,并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上().当点M在扇形BOC内时,过C,M,O三点作☉O',连O'C,O'O,在优弧CO上取点D,连接DC,DO,∵∠CMO=135°,∴∠CDO=180°-135°=45°,∴∠CO'O=90°,又∵OA=2 cm,∴O'O=OC=×2=,∴弧OMC的长=π(cm),同理:点M在扇形AOC内时,同①的方法得,弧ONC的长为π cm,所以内心M所经过的路径长为2×π=π cm.。
