安徽省2019年中考数学一轮复习 第二讲 空间与图形 第六章 圆 6.2 与圆有关的位置关系课件

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第六章圆6。

1圆的有关性质学用P64[过关演练］（40分钟80分)1.(2018·山东青岛）如图,点A，B，C,D在☉O上,∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是(D)A。

70°B。

55°C.35.5°D。

35°【解析】连接OB，∵点B是的中点,∴∠AOB=∠AOC=70°,由圆周角定理得∠D=∠AOB=35°.2.（2018·四川乐山）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就。

它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用。

书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小,以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?"译为:“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深1寸(ED=1寸),锯道长1尺(AB=1尺=10寸)，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是(C)A.13寸B。

20寸C。

26寸D.28寸【解析】设☉O的半径为r。

在Rt△ADO中，AD=5,OD=r-1，OA=r，则有r2=52+(r—1)2，解得r=13，故☉O的直径为26寸。

6.3与圆有关的计算[过关演练](30分钟75分)12倍,则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是(B)A.120°B.180°C.240°D.300°【解析】设母线长为R,底面半径为r,∴底面周长=2πr,底面积=πr2,侧面积=πrR,∵侧面积是底面积的2倍,∴2πr2=πrR,∴R=2r,设圆心角为n,则=2πr=πR,解得n=180°. 2.如图,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B.若OA=2,∠P=60°,则劣弧的长为(C)A. B.π C. D.【解析】∵PA,PB是☉O的切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP,∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-60°=120°,∴劣弧的长为.3.在矩形ABCD中,AB=16,如图所示裁出一扇形ABE,将扇形围成一个圆锥(AB和AE重合),则此圆锥的底面圆半径为(A)A.4B.16C.4D.8【解析】由题意知的长为=8π,即围成的圆锥的底面圆的周长为8π,则底面圆的半径为=4.4,ABCDEF为☉O的内接正六边形,AB=a,则图中阴影部分的面积是(B)A.a2B.a2C.a2D.a2【解析】∵正六边形的边长为a,∴☉O的半径为a,∴☉O的面积为π×a2=πa2,∵空白正六边形为六个边长为a的正三角形,∴每个三角形面积为×a×a×sin 60°=a2,∴正六边形面积为a2,∴阴影面积为a2.5.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=2,以BC的中点O为圆心分别与AB,AC相切于D,E两点,则的长为(B)A. B.C.πD.2π【解析】连接OD,OE,设半径为r.∵☉O分别与AB,AC相切于D,E两点,∴OE⊥AC,OD⊥AB,∴∠DOE=90°,OD∥AC,∵点O是BC的中点,∴OD是△ABC的中位线,∴OD=AC,∴AC=2r,同理可得AB=2r,∴AB=AC,∴∠B=45°,∵BC=2,由勾股定理可得AB=2,∴r=1,∴的长为.6.下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是(A)A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形【解析】正三角形的中心角的度数为360°÷3=120°,正方形的中心角的度数为360°÷4=90°,正五边形的中心角的度数为360°÷5=72°,正六边形的中心角的度数为360°÷6=60°.7.如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,分别以O,E为圆心,OA,ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分面积是(A)A.8-πB.C.3+πD.π【解析】作DH⊥AE于点H,∵∠AOB=90°,OA=3,OB=2,∴AB=,由旋转的性质可知OE=OB=2,DE=EF=AB=,∵∠OFE+∠FEO=∠OED+∠FEO=90°,∴∠OFE=∠OED,∴△DHE≌△EOF,∴DH=OE=2,阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积-扇形DEF的面积=×5×2+×2×3+=8-π.8,在圆心角为45°的扇形内有一正方形CDEF,其中点C,D在半径OA 上,点F在半径OB上,点E在上,则扇形与正方形的面积比是(B)A.3π∶8B.5π∶8C.π∶4D.π∶4【解析】连接OE,设正方形CDEF的边长为x,∴O D=2x,∴OE=x,∴S正方形=x2,S扇=πx2,∴S扇∶S正方形=5π∶8.9.如图,正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆,则B,E两点间的距离为8.【解析】连接BE,AE,∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BAF=∠AFE=120°,FA=FE,∴∠FAE=∠FEA=30°,∴∠BAE=90°,∴BE是正六边形ABCDEF的外接圆的直径,∵正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆,∴BE=8,即B,E两点间的距离为8.10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AB=2,将△ABC沿直线CB向右作无滑动滚动一次,则点C经过的路径长是.【解析】∵∠ACB=90°,∠A=60°,AB=2,∴∠ABC=30°,BC=3,由旋转得△A'BC'≌△ABC,∴∠C'BA'=30°,∴∠CBC'=150°,∴点C经过的路径长为.11.如图,点B,C把分成三等分,ED是☉O的切线,过点B,C分别作半径的垂线段,已知∠E=45°,半径OD=1,则图中阴影部分的面积是.【解析】∵ED是☉O的切线,∴∠EDO=90°,∵∠E=45°,∴∠EOD=45°,又∵点B,C把分成三等分,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=45°,∴S阴影=π·OD2-2××1×1-.12.如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点,AB=12,OP=6,则劣弧的长为8π.(结果保留π)【解析】连接OA,OB.∵大圆的弦AB是小圆的切线,∴OP⊥AB,根据垂径定理,得BP=AB=6.在Rt△OBP中,OB==12,tan ∠POB=,∴∠POB=60°.∵OA=OB,OP⊥AB,∴∠AOB=2∠POB=120°,∴劣弧的长为=8π.13,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设圆O的半径为1,若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积,则S=2.(结果保留根号)【解析】依照题意画出图象,如图所示.∵六边形ABCDEF为正六边形,∴△ABO为等边三角形,∵☉O的半径为1,∴OM=1,∴BM=AM=,∴AB=,∴S=6S△ABO=6××1=2.14.(8分,已知AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连接BC.(1)求证:AE=ED;(2)若AB=10,∠CBD=36°,求的长.解:(1)∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°,即OC⊥AD,∴AE=ED.(2)∵OC⊥AD,∴,∴∠ABC=∠CBD=36°,∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°,∴=2π.15.(10分1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门的右轴固定在门框上,通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图,已知轨道AB=120 cm,两扇活页门的宽OC=OB=60 cm,点B固定,当点C在AB上左右运动时,OC与OB的长度不变.(1)若∠OBC=50°,求AC的长;(2)当点C从点A向右运动60 cm时,求点O在此过程中运动的路径长.(结果保留小数点后一位,参考数据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.19,π取3.14)解:(1)作OH⊥BC于点H,∵OB=OC,∴BH=CH,在Rt△OBH中,∵cos ∠OBH=,∴BH=60·cos 50°=60×0.64=38.4,∴BC=2BH=2×38.4=76.8,∴AC=AB-BC=120-76.8=43.2(cm).(2)∵OB=OC=60,BC=60,∴△OBC为等边三角形,∴∠OBC=60°,∴当点C从点A向右运动60 cm时,点O在此过程中运动路径是以B点为圆心,BO为半径,圆心角为60°的弧,∴点O在此过程中运动的路径长为=20π≈62.8(cm).[名师预测]1.如图,用—个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升,滑轮上一点P旋转了108°,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了(C)A.π cmB.2π cmC.3π cmD.5π cm【解析】当滑轮上一点P旋转了108°时,重物上升的距离就是点P旋转的弧长,即为=3π(cm).2.如图,正方形ABCD内接于☉O,☉O的半径为2,以点A为圆心,以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积为(A)A.4π-4B.4π-8C.8π-4D.8π-8【解析】利用对称性可知:阴影部分的面积=扇形AEF的面积-△ABD的面积=×4×2=4π-4.3.已知圆的半径是2,则该圆的内接正六边形的面积是(C)A.3B.9C.18D.36【解析】如图,圆O的内接正六边形为ABCDEF,圆O的半径为2.连接OA,OB,过点O作OG⊥AB,垂足为G.∵OA=OB=2,∠AOB==60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=2.∵OG⊥AB,∴AG=AB=.在Rt△AOG中,根据勾股定理,得OG==3,∴S△AOB=AB×OG=×2×3=3.∴S六边形ABCDEF=6S△AOB=6×3=18.4.如图,在平行四边形ABCD中,AB<AD,∠D=30°,CD=4,以AB为直径的☉O交BC于点E,则阴影部分的面积为.【解析】连接OE,AE,∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=4,∠B=∠D=30°,∴AE=AB=2,BE==2,∵OA=OB=OE,∴∠B=∠OEB=30°,∴∠BOE=120°,∴S阴影=S扇形OBE-S△BOE=AE·BE=×2×2.5.如图,边长为1的菱形ABCD的两个顶点B,C恰好落在扇形AEF的上.若∠BAD=120°,则的长度等于.(结果保留π)【解析】连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,∴∠ABC=60°,∵AB=BC,∴△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60°,∴的长度为.6.如图,正方形ABCD内接于☉O,M为的中点,连接BM,CM.(1)求证:BM=CM;(2)当☉O的半径为2时,求的长.解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CD,∴,∵M为的中点,∴,∴,∴BM=CM.(2)连接OM,OB,OC.∵,∴∠BOM=∠COM,∵正方形ABCD内接于☉O,∴∠BOC==90°,∴∠BOM=135°.由弧长公式得的长为.7.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC于点F.(1)若☉O的半径为3,∠CDF=15°,求阴影部分的面积;(2)求证:DF是☉O的切线;(3)求证:∠EDF=∠DAC.解:(1)连接OE,过点O作OM⊥AC于点M,则∠AMO=90°,∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°,∵∠FDC=15°,∴∠C=180°-90°-15°=75°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=75°,∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=30°,∴OM=OA=×3=,AM=OM=,∵OA=OE,OM⊥AC,∴AE=2AM=3,∴∠BAC=∠AEO=30°,∴∠AOE=180°-30°-30°=120°,∴S阴影=S扇形AOE-S△AOE=×3=3π-.(2)连接OD,∵AB=AC,OB=OD,∴∠ABC=∠C,∠ABC=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴AC∥OD,∵DF⊥AC,∴DF⊥OD,∵OD是☉O的半径,∴DF是☉O的切线.(3)连接BE,∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°,∴BE⊥AC,∵DF⊥AC,∴BE∥DF,∴∠FDC=∠EBC,∵∠EBC=∠DAC,∴∠FDC=∠DAC,∵A,B,D,E四点共圆,∴∠DEF=∠ABC,∵∠ABC=∠C,∴∠DEC=∠C,∵DF⊥AC,∴∠EDF=∠FDC,∴∠EDF=∠DAC.8.如图,AB为☉O的直径,且AB=4,点C在半圆上,OC⊥AB,垂足为O,P为半圆上任意一点,过点P作PE⊥OC于点E,设△OPE的内心为M,连接OM,PM.(1)求∠OMP的度数;(2)当点P在半圆上从点B运动到点A时,求内心M所经过的路径长.解:(1)∵△OPE的内心为M,∴∠MOP=∠MOC,∠MPO=∠MPE,∴∠PMO=180°-∠MPO-∠MOP=180°-(∠EOP+∠OPE),∵PE⊥OC,即∠PEO=90°,∴∠OMP=180°-(∠EOP+∠OPE)=180°-(180°-90°)=135°.(2)如图,∵OP=OC,OM=OM,∠MOP=∠MOC,∴△OPM≌△OCM,∴∠CMO=∠PMO=135°,∴点M在以OC为弦,并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上().当点M在扇形BOC内时,过C,M,O三点作☉O',连O'C,O'O,在优弧CO上取点D,连接DC,DO,∵∠CMO=135°,∴∠CDO=180°-135°=45°,∴∠CO'O=90°,又∵OA=2 cm,∴O'O=OC=×2=,∴弧OMC的长=π(cm),同理:点M在扇形AOC内时,同①的方法得,弧ONC的长为π cm,所以内心M所经过的路径长为2×π=π cm.。

6.3与圆有关的计算[过关演练](30分钟75分)1.(xx·湖北天门)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是(B)A.120°B.180°C.240°D.300°【解析】设母线长为R,底面半径为r,∴底面周长=2πr,底面积=πr2,侧面积=πrR,∵侧面积是底面积的2倍,∴2πr2=πrR,∴R=2r,设圆心角为n,则=2πr=πR,解得n=180°.2.如图,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B.若OA=2,∠P=60°,则劣弧的长为(C)A. B.π C. D.【解析】∵PA,PB是☉O的切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP,∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-60°=120°,∴劣弧的长为.3.在矩形ABCD中,AB=16,如图所示裁出一扇形ABE,将扇形围成一个圆锥(AB和AE重合),则此圆锥的底面圆半径为(A)A.4B.16C.4D.8【解析】由题意知的长为=8π,即围成的圆锥的底面圆的周长为8π,则底面圆的半径为=4..(xx·四川资阳)如图,ABCDEF为☉O的内接正六边形,AB=a,则图中阴影部分的面积是(B)A.a2B.a2C.a2D.a2【解析】∵正六边形的边长为a,∴☉O的半径为a,∴☉O的面积为π×a2=πa2,∵空白正六边形为六个边长为a的正三角形,∴每个三角形面积为×a×a×sin 60°=a2,∴正六边形面积为a2,∴阴影面积为a2.5.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=2,以BC的中点O为圆心分别与AB,AC相切于D,E 两点,则的长为(B)A. B.C.πD.2π【解析】连接OD,OE,设半径为r.∵☉O分别与AB,AC相切于D,E两点,∴OE⊥AC,OD⊥AB,∴∠DOE=90°,OD∥AC,∵点O是BC的中点,∴OD是△ABC的中位线,∴OD=AC,∴AC=2r,同理可得AB=2r,∴AB=AC,∴∠B=45°,∵BC=2,由勾股定理可得AB=2,∴r=1,∴的长为.6.下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是(A)A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形【解析】正三角形的中心角的度数为360°÷3=120°,正方形的中心角的度数为360°÷4=90°,正五边形的中心角的度数为360°÷5=72°,正六边形的中心角的度数为360°÷6=60°.7.如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,分别以O,E为圆心,OA,ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分面积是(A)A.8-πB.C.3+πD.π【解析】作DH⊥AE于点H,∵∠AOB=90°,OA=3,OB=2,∴AB=,由旋转的性质可知OE=OB=2,DE=EF=AB=,∵∠OFE+∠FEO=∠OED+∠FEO=90°,∴∠OFE=∠OED,∴△DHE≌△EOF,∴DH=OE=2,阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积-扇形DEF的面积=×5×2+×2×3+=8-π.8.(xx·合肥模拟)如图,在圆心角为45°的扇形内有一正方形CDEF,其中点C,D在半径OA上,点F在半径OB上,点E在上,则扇形与正方形的面积比是(B)A.3π∶8B.5π∶8C.π∶4D.π∶4【解析】连接OE,设正方形CDEF的边长为x,∴O D=2x,∴OE=x,∴S正方形=x2,S扇=πx2,∴S扇∶S正方形=5π∶8.9.如图,正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆,则B,E两点间的距离为8.【解析】连接BE,AE,∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BAF=∠AFE=120°,FA=FE,∴∠FAE=∠FEA=30°,∴∠BAE=90°,∴BE是正六边形ABCDEF的外接圆的直径,∵正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆,∴BE=8,即B,E两点间的距离为8.10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AB=2,将△ABC沿直线CB向右作无滑动滚动一次,则点C经过的路径长是.【解析】∵∠ACB=90°,∠A=60°,AB=2,∴∠ABC=30°,BC=3,由旋转得△A'BC'≌△ABC,∴∠C'BA'=30°,∴∠CBC'=150°,∴点C经过的路径长为.11.如图,点B,C把分成三等分,ED是☉O的切线,过点B,C分别作半径的垂线段,已知∠E=45°,半径OD=1,则图中阴影部分的面积是.【解析】∵ED是☉O的切线,∴∠EDO=90°,∵∠E=45°,∴∠EOD=45°,又∵点B,C把分成三等分,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=45°,∴S阴影=π·OD2-2××1×1-.12.如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点,AB=12,OP=6,则劣弧的长为8π.(结果保留π)【解析】连接OA,OB.∵大圆的弦AB是小圆的切线,∴OP⊥AB,根据垂径定理,得BP=AB=6.在Rt△OBP中,OB==12,tan ∠POB=,∴∠POB=60°.∵OA=OB,OP⊥AB,∴∠AOB=2∠POB=120°,∴劣弧的长为=8π.13.(xx·四川宜宾)刘徽是中国古代卓越的数学家之一,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设圆O的半径为1,若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积,则S=2.(结果保留根号)【解析】依照题意画出图象,如图所示.∵六边形ABCDEF为正六边形,∴△ABO为等边三角形,∵☉O的半径为1,∴OM=1,∴BM=AM=,∴AB=,∴S=6S△ABO=6××1=2.14.(8分)(xx·浙江湖州)如图,已知AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连接BC.(1)求证:AE=ED;(2)若AB=10,∠CBD=36°,求的长.解:(1)∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°,即OC⊥AD,∴AE=ED.(2)∵OC⊥AD,∴,∴∠ABC=∠CBD=36°,∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°,∴=2π.15.(10分)(xx·江西)图1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门的右轴固定在门框上,通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图,已知轨道AB=120 cm,两扇活页门的宽OC=OB=60 cm,点B固定,当点C在AB上左右运动时,OC与OB 的长度不变.(1)若∠OBC=50°,求AC的长;(2)当点C从点A向右运动60 cm时,求点O在此过程中运动的路径长.(结果保留小数点后一位,参考数据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.19,π取3.14)解:(1)作OH⊥BC于点H,∵OB=OC,∴BH=CH,在Rt△OBH中,∵cos ∠OBH=,∴BH=60·cos 50°=60×0.64=38.4,∴BC=2BH=2×38.4=76.8,∴AC=AB-BC=120-76.8=43.2(cm).(2)∵OB=OC=60,BC=60,∴△OBC为等边三角形,∴∠OBC=60°,∴当点C从点A向右运动60 cm时,点O在此过程中运动路径是以B点为圆心,BO为半径,圆心角为60°的弧,∴点O在此过程中运动的路径长为=20π≈62.8(cm).[名师预测]1.如图,用—个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升,滑轮上一点P旋转了108°,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了(C)A.π cmB.2π cmC.3π cmD.5π cm【解析】当滑轮上一点P旋转了108°时,重物上升的距离就是点P旋转的弧长,即为=3π(cm).2.如图,正方形ABCD内接于☉O,☉O的半径为2,以点A为圆心,以AC长为半径画弧交AB 的延长线于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积为(A)A.4π-4B.4π-8C.8π-4D.8π-8【解析】利用对称性可知:阴影部分的面积=扇形AEF的面积-△ABD的面积=×4×2=4π-4.3.已知圆的半径是2,则该圆的内接正六边形的面积是(C)A.3B.9C.18D.36【解析】如图,圆O的内接正六边形为ABCDEF,圆O的半径为2.连接OA,OB,过点O作OG⊥AB,垂足为G.∵OA=OB=2,∠AOB==60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=2.∵OG⊥AB,∴AG=AB=.在Rt△AOG中,根据勾股定理,得OG==3,∴S△AOB=AB×OG=×2×3=3.∴S六边=6S△AOB=6×3=18.形ABCDEF4.如图,在平行四边形ABCD中,AB<AD,∠D=30°,CD=4,以AB为直径的☉O交BC于点E,则阴影部分的面积为.【解析】连接OE,AE,∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=4,∠B=∠D=30°,∴AE=AB=2,BE==2,∵OA=OB=OE,∴∠B=∠OEB=30°,∴∠BOE=120°,∴S阴影=S扇形OBE-S△=AE·BE=×2×2.BOE5.如图,边长为1的菱形ABCD的两个顶点B,C恰好落在扇形AEF的上.若∠BAD=120°,则的长度等于.(结果保留π)【解析】连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,∴∠ABC=60°,∵AB=BC,∴△ABC 为等边三角形,∴∠BAC=60°,∴的长度为.6.如图,正方形ABCD内接于☉O,M为的中点,连接BM,CM.(1)求证:BM=CM;(2)当☉O的半径为2时,求的长.解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CD,∴,∵M为的中点,∴,∴,∴BM=CM.(2)连接OM,OB,OC.∵,∴∠BOM=∠COM,∵正方形ABCD内接于☉O,∴∠BOC==90°,∴∠BOM=135°.由弧长公式得的长为.7.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC 于点F.(1)若☉O的半径为3,∠CDF=15°,求阴影部分的面积;(2)求证:DF是☉O的切线;(3)求证:∠EDF=∠DAC.解:(1)连接OE,过点O作OM⊥AC于点M,则∠AMO=90°,∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°,∵∠FDC=15°,∴∠C=180°-90°-15°=75°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=75°,∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=30°,∴OM=OA=×3=,AM=OM=,∵OA=OE,OM⊥AC,∴AE=2AM=3,∴∠BAC=∠AEO=30°,∴∠AOE=180°-30°-30°=120°,∴S阴影=S扇形AOE-S△AOE=×3=3π-.(2)连接OD,∵AB=AC,OB=OD,∴∠ABC=∠C,∠ABC=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴AC∥OD,∵DF⊥AC,∴DF⊥OD,∵OD是☉O的半径,∴DF是☉O的切线.(3)连接BE,∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°,∴BE⊥AC,∵DF⊥AC,∴BE∥DF,∴∠FDC=∠EBC,∵∠EBC=∠DAC,∴∠FDC=∠DAC,∵A,B,D,E四点共圆,∴∠DEF=∠ABC,∵∠ABC=∠C,∴∠DEC=∠C,∵DF⊥AC,∴∠EDF=∠FDC,∴∠EDF=∠DAC.8.如图,AB为☉O的直径,且AB=4,点C在半圆上,OC⊥AB,垂足为O,P为半圆上任意一点,过点P作PE⊥OC于点E,设△OPE的内心为M,连接OM,PM.(1)求∠OMP的度数;(2)当点P在半圆上从点B运动到点A时,求内心M所经过的路径长.解:(1)∵△OPE的内心为M,∴∠MOP=∠MOC,∠MPO=∠MPE,∴∠PMO=180°-∠MPO-∠MOP=180°-(∠EOP+∠OPE),∵PE⊥OC,即∠PEO=90°,∴∠OMP=180°-(∠EOP+∠OPE)=180°-(180°-90°)=135°.(2)如图,∵OP=OC,OM=OM,∠MOP=∠MOC,∴△OPM≌△OCM,∴∠CMO=∠PMO=135°,∴点M在以OC为弦,并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上().当点M在扇形BOC内时,过C,M,O三点作☉O',连O'C,O'O,在优弧CO上取点D,连接DC,DO,∵∠CMO=135°,∴∠CDO=180°-135°=45°,∴∠CO'O=90°,又∵OA=2 cm,∴O'O=OC=×2=,∴弧OMC的长=π(cm),同理:点M在扇形AOC内时,同①的方法得,弧ONC的长为π cm,所以内心M所经过的路径长为2×π=π cm.。

单元综合检测六圆(80分钟120分)一、选择题(每小题4分,满分32分)1.如图,☉O中,弦AB,CD相交于点P,∠A=42°,∠APD=77°,则∠B的大小是(B)A.34°B.35°C.43°D.44°【解析】∵∠D=∠A=42°,∴∠B=∠APD-∠D=35°.2.如图,已知在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC的度数为(B)A.30°B.35°C.45°D.70°【解析】连接OC,∵OA⊥BC,∴,∴∠AOC=∠AOB.∵∠AOB=70°,∴∠AOC=70°,∴∠ADC=∠AOC=35°.3.如图,若△ABC内接于半径为R的☉O,且∠A=60°,连接OB,OC,则边BC的长为(D)A.RB.RC.RD.R【解析】延长BO交☉O于点D,连接CD,∴∠BCD=90°,∠D=∠A=60°,∴∠CBD=30°,∵BD=2R,∴DC=R,∴BC=R.4.小颖同学在手工制作时,把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上,若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上,则圆的半径为(C)A.2 cmB.6 cmC.4 cmD.8 cm【解析】如图,☉O是等边△ABC的外接圆,连接OB,作OD⊥BC于点D,∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∵☉O是等边△ABC的外接圆,∴∠OBD=∠ABC=30°.∵OD⊥BC,∴BD=BC=6,∴OB=BD÷cos 30°=6÷=4(cm).5.如图,在半径为5的☉O中,弦AB=6,点C是优弧上一点(不与点A,B重合),则cos C的值为(B)A. B.C. D.【解析】连接OA,OB,过点O作OD⊥AB于点D,则BD=AB=3,∠BOD=∠AOB=∠C,在Rt△BOD中,OB=5,BD=3,∴OD=4,∴cos ∠BOD=,即cos C=.6.一个圆锥的高为3 cm,侧面展开图是一个半圆,则圆锥的侧面积是(A)A.6π cm2B.9π cm2C.6π cm2D.9π cm2【解析】设圆锥的底面圆的半径为r,母线长为l,由题意得2πr=πl,即l=2r,又∵r2+32=l2,解得r=,l=2,∴圆锥的侧面积是πrl=×2π=6π(cm2).7.如图,矩形ABCD中,G是BC的中点,过A,D,G三点的圆O与边AB,CD分别交于点E、点F,则下列说法:①AC与BD的交点是圆O的圆心;②AF与DE的交点是圆O的圆心;③BC与圆O相切.其中正确说法的个数是(C)A.0B.1C.2D.3【解析】连接DG,AG,作GH⊥AD于点H,连接OD,如图,∵G是BC的中点,∴AG=DG,∴GH垂直平分AD,∴点O在HG上,∵AD∥BC,∴HG⊥BC,∴BC与圆O相切;∵OG≠OH,∴点O不是HG的中点,∴圆心O不是AC与BD的交点;而四边形AEFD为☉O的内接矩形,∴AF与DE的交点是圆O的圆心.∴①错误,②③正确.8.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB经过点A(6,0),B(0,6),☉O的半径为2(O为坐标原点),P 是直线AB上的动点,过点P作☉O的一条切线PQ,Q为切点,则切线长PQ的最小值为(D)A. B.3C.3D.【解析】连接OQ,OP,在Rt△OPQ中,PQ=,∵OQ=2,当OP取最小值时,PQ最小.又∵OP≥3,∴PQ≥.二、填空题(每小题5分,满分20分)9.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,已知∠C=∠D,则AB与CD的位置关系是AB∥CD .【解析】∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,∴∠A+∠C=180°,又∵∠C=∠D,∴∠A+∠D=180°,∴AB ∥CD.10.如图,一个含有30°角的直角三角板ABC的直角边AC与☉O相切于点A,∠C=90°,∠B=30°,☉O 的直径为4,AB与☉O相交于点D,则AD的长为2.【解析】连接OA,过点O作OE⊥AD于点E,在Rt△OEA中,OA=2,∠OAE=30°,则AE=,AD=2.11.如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4,则S阴影=π.【解析】如图,连接OC,设AB与CD交于点E,∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∴CE=DE=CD=2.∵∠BCD=30°,∴∠DOE=60°.又∵∠DEO=90°,∠ODE=30°,∴△CEB≌△DEO(ASA),∴S△CEB=S△DEO,∴S阴影=S扇形BOD.∴sin ∠EOD=,∴OD=4.∴S阴影=S扇形BOD=π.12.如图,☉O的半径为2,弦BC=2,点A是优弧上一动点(不包括端点),△ABC的高BD,CE相交于点F,连接ED.下列四个结论:①∠A始终为60°;②当∠ABC=45°时,AE=EF;③当△ABC为锐角三角形时,ED=;④线段ED的垂直平分线必平分弦BC.其中正确的是①②③④.(把你认为正确结论的序号都填上)【解析】连接CO并延长交☉O于点G,连接BG,如图1.则有∠BGC=∠BAC.∵CG为☉O的直径,∴∠CBG=90°.∴sin ∠BGC=,∴∠BGC=60°,∴∠BAC=60°,∴①正确.如图2,∵∠ABC=45°,CE⊥AB,即∠BEC=90°,∴∠ECB=45°=∠EBC,∴EB=EC.∵CE⊥AB,BD⊥AC,∴∠BEC=∠BDC=90°.∴∠EBF+∠EFB=90°,∠DFC+∠DCF=90°.∵∠EFB=∠DFC,∴∠EBF=∠DCF.在△BEF和△CEA 中,∴△BEF≌△CEA,∴AE=EF,∴②正确.如图2,∵∠AEC=∠ADB=90°,∠A=∠A,∴△AEC∽△ADB.∴.∵∠A=∠A,∴△AED∽△ACB,∴.∵cos A==cos 60°=,∴,∴ED=BC=,∴③正确.取BC中点H,连接EH,DH,如图3和图4.∵∠BEC=∠CDB=90°,点H为BC的中点,∴EH=DH=BC.∴点H在线段DE的垂直平分线上,即线段ED的垂直平分线平分弦BC,∴④正确.三、解答题(满分68分)13.(13分)如图,AB是☉O的直径,过点B作☉O的切线BM,弦CD∥BM,交AB于点F,且,连接AC,AD,延长AD交BM于点E.(1)求证:△ACD是等边三角形;(2)连接OE,若DE=2,求OE的长.解:(1)∵BM是☉O的切线,AB为☉O直径,∴AB⊥BM,∵BM∥CD,∴AB垂直平分CD,∴AD=AC.∵,∴AD=DC,∴AD=CD=AC,∴△ACD是等边三角形.(2)∵△ACD是等边三角形,AB⊥DC,∴∠DAB=30°,连接BD,则BD⊥AD,易证∠EBD=∠DAB=30°,∵DE=2,∴BE=4,BD=2,AB=4,OB=2,在Rt△OBE中,OE==2.14.(15分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆交AC于点D,交BC于点E,延长AE至点F,使EF=AE,连接FB,FC.(1)求证:四边形ABFC是菱形;(2)若AD=7,BE=2,求半圆和菱形ABFC的面积.解:(1)∵AB是直径,∴∠AEB=90°,∴AE⊥BC,∵AB=AC,∴BE=CE,∵AE=EF,∴四边形ABFC是平行四边形,∵AC=AB,∴平行四边形ABFC是菱形.(2)设CD=x.连接BD.∵AB是直径,∴∠ADB=∠BDC=90°,∴AB2-AD2=CB2-CD2,∴(7+x)2-72=42-x2,解得x=1或x=-8(舍),∴AC=8,BD=,∴S菱形ABFC=AC·BD=8.∴S半圆=πr2=·π·42=8π.15.(20分)如图,在△ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆,与BC相切于点C,过点A 作AD⊥BO交BO的延长线于点D,且∠AOD=∠BAD.(1)求证:AB为☉O的切线;(2)若BC=6,tan ∠ABC=,求AD的长.解:(1)过点O作OE⊥AB于点E,∵AD⊥BO于点D,∴∠D=90°,∴∠BAD+∠ABD=90°,∠AOD+∠OAD=90°,∵∠AOD=∠BAD,∴∠ABD=∠OAD,又∵BC为☉O的切线,∴AC⊥BC,∴∠BCO=∠D=90°,∵∠BOC=∠AOD,∴∠OBC=∠OAD=∠ABD,在△BOC和△BOE中,∴△BOC≌△BOE(AAS),∴OE=OC,∵OE⊥AB,∴AB是☉O的切线.(2)∵∠ABC+∠BAC=90°,∠EOA+∠BAC=90°,∴∠EOA=∠ABC,∵tan ∠ABC=,BC=6,∴AC=BC·tan ∠ABC=8,则AB=10,由(1)知BE=BC=6,∴AE=4,∵tan ∠EOA=tan ∠ABC=,∴,∴OE=3,OB==3,∵∠ABD=∠OBC,∠D=∠ACB=90°,∴△ABD∽△OBC,∴,即,∴AD=2.16.(20分)如图,已知☉O的半径为2,AB为直径,CD为弦,AB与CD交于点M,将沿CD翻折后,点A与圆心O重合,延长OA到点P,使AP=OA,连接PC.(1)求CD的长.(2)求证:PC是☉O的切线.(3)点G为的中点,在PC延长线上有一动点Q,连接QG交AB于点E,交于点F(F与B,C不重合).问GE·GF是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,请说明理由.解:(1)连接OC,∵将沿CD翻折后,点A与圆心O重合,∴OM=OA=1,CD⊥OA,∵OC=2,∴CD=2CM=2=2.(2)∵AP=OA=2,AM=OM=1,CM=,又∵∠CMP=∠OMC=90°,∴PC==2,∵OC=2,PO=4,∴PC2+OC2=PO2,∴∠PCO=90°,∴PC是☉O的切线.(3)GE·GF是定值.理由:连接GA,AF,GB,∵点G为的中点,∴,∴∠BAG=∠AFG, ∵∠AGE=∠FGA,∴△AGE∽△FGA,∴,∴GE·GF=AG2,∵AB为直径,AB=4,∴∠BAG=∠ABG=45°,∴AG=2,∴GE·GF=AG2=8.。

中考数学一轮复习专题解析—圆的证明与计算复习目标1.了解圆的定义及点与圆的位置关系。

2.掌握圆的基本性质。

3.掌握圆中复杂证明及两圆位置关系中证明。

考点梳理一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作①O，线段OA叫做半径；①圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．①直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是①O的直径，直径是圆中最长的弦．①弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是①O中的弧，分别记作BC，BAC．①半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆．①劣弧：像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．①优弧：像BAC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．①同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．①弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．①等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．①等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中①AOB，①BOC是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中①BAC、①ACB都是圆周角．例1．已知：如图所示，在①O中，弦AB的中点为C，过点C的半径为OD．(1)若AB＝23，OC＝1，求CD的长；(2)若半径OD＝R，①AOB＝120°，求CD的长.【答案】解：①半径OD经过弦AB的中点C，①半径OD①AB．(1)①AB＝3AC＝BC3①OC＝1，由勾股定理得OA＝2．①CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD ＝1.(2)①OD①AB ，OA ＝OB ， ①①AOD ＝①BOD ．①①AOB ＝120°，①①AOC ＝60°． ①OC ＝OA·cos①AOC ＝OA·cos60°＝12R ， ①1122CD OD OC R R R =-=-=．二、圆的有关性质 1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合． 2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：在图中(1)直径CD ，(2)CD①AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径． 3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；①在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．①圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．例2．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，①O与AB相切于点D，求证：AC与①O相切．【答案】证明：连接OD，作OE①AC，垂足为E，连结OA．①AB与①O相切于点D，①OD①AB．①AB＝AC，OB＝OC，①①1＝①2，①OE＝OD．①OD为①O半径，①AC与①O相切．三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系如图所示．d表示点到圆心的距离，r为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．①过两点A、B的圆有无数个，如图所示．①经过在同一直线上的三点不能作圆．①不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．①圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是①O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过①O上的一点A；①OA①l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．①三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．3.三角形外心、内心有关知识比较4.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．①同心圆是内含的特殊情况．①圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．①“r1－r2”时，要特别注意，r1＞r2．四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360 n °．要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比． 3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形． 正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n nnn n S a r n P r ==．五、圆中的计算问题 1.弧长公式：180n Rl π=，其中l 为n°的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇．3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长．圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．1．（2022·四川省宜宾市第二中学校九年级）如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，1CE =，6AB =，则O 的半径为（ ）A．3B．4C．5D．无法确定【答案】C【分析】连接OA，由垂径定理得AE=3，设OA=OC=x，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．【详解】连接OA，①CD为O的直径，弦AB CD⊥，AB=3，①AE=12设OA=OC=x，则OE=x-1，①()222x x-+=，解得：x=5，13①O的半径为5．故选C．2．（2022·河南九年级期末）如图，AD为①O的直径，6cmAD=，DAC ABC∠=∠，则AC的长度为（）A．2B．22C．32D．33【答案】C【分析】连接CD，由圆周角定理可知90∠=∠可知AC CD=，由∠=︒，再根据DAC ABCACD勾股定理即可得出AC的长．【详解】解：连接CD，AD是O的直径，∴∠=︒，ACD90∠=∠，DAC ABC∠=∠，ABC ADC∴∠=∠，DAC ADC∴CD AC=，∴=，AC CD又222AC CD AD+=，22∴=，2AC ADAD=，6∴=AC故选：C．3．（2022·全国九年级课时练习）O的半径为10cm，弦//AB CD．若==，则AB和CD的距离为（）AB CD12cm,16cmA．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．2cm或10cm 【答案】C【分析】分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．构造直角三角形利用勾股定理求出即可．【详解】当弦AB和CD在圆心异侧时，如图1，过点O作OE①AB于点E，反向延长OE交CD于点F，连接OA，OC，①AB①CD，①OF①CD，①AB=12cm，CD=16cm，①AE=6cm，CF=8cm，①OA=OC=10cm，①在Rt①AOE中，由勾股定理可得；8EO cm，在Rt①COF中，由勾股定理可得：6OF===cm，①EF=OF+OE=8+6=14cm．当弦AB和CD在圆心同侧时，如图2，过点O作OF①CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，①AB①CD，①OE①AB，①AB=12cm，CD=16cm，①AE=6cm，CF=8cm，①OA=OC=5cm，在Rt①AOE中，由勾股定理可得：2222=-=-=cm，1068EO OA AE在Rt①COF中，由勾股定理可得：2222=-=-=cm，OF OC CF1086①EF=OE﹣OF=8﹣6=2cm；故选C．4．（2022·全国九年级课时练习）如图，在ABC中，10,8,6===，经过AB AC BC点C且与边AB相切的动圆与,CB CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（）A．42B．4.75C．5D．4.8【答案】D【分析】设EF的中点为O，①O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，则有OD①AB，由勾股定理逆定理知，ABC是直角三角形，OC+OD=EF，而OC+OD≥CD，只有当点O在CD上时，OC+OD=EF有最小值为CD的长，即当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知求出CD的长即可．【详解】解：设EF的中点为O，①O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，①10,8,6===，AB AC BC①AC2+BC2=AB2，①ABC 是直角三角形，①ACB =90°， ①EF 是①O 的直径， ①OC +OD =EF ， ①①O 与边AB 相切， ①OD ①AB ， ①OC +OD ≥CD ，即当点O 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高上时，OC +OD =EF 有最小值， 此时最小值为CD 的长， ①CD =864.810AC BC AB ⋅⨯==， ①EF 的最小值为4.8． 故选D ．5．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；①等弧所对的弦相等；①圆中90°的角所对的弦是直径；①相等的圆心角对的弧相等；①平分弦的直径垂直于弦；①任意三角形一定有一个外接圆．其中正确的有（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】根据直径的定义对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对①①进行判断；根据圆周角定理对①进行判断；根据垂径定理对①进行判断；根据三角形外接圆的定义对①进行判断． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦；故①正确，符合题意；①能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故①正确，符合题意； ①圆中90°的圆周角所对的弦是直径；故①错误，不符合题意；①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故①错误，不符合题意； ①平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；故①错误，不符合题意； ①任意三角形一定有一个外接圆；故①正确，符合题意； 其中正确的有①①①， 故选：B ．6．（2022·厦门海沧实验中学九年级开学考试）四边形ABCD 中，ACD △是边长为6的等边三角形，ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，则对角线BD 的长的取值范围是（ ） A ．33BD <≤+B ．36BD << C ．63BD <≤+D ．3BD <≤【答案】C 【分析】由①ABC 是以AC 为斜边的直角三角形可知点B 在以AC 为直径的圆上，然后结合点到圆上点的距离求出对角线BD 长度的取值范围． 【详解】①①ABC 是以AC 为斜边的直角三角形， ①点B 在以AC 为直径的圆上，如图中①O ，连接OD 并延长，交①O 于点E 和点B ，①等边①ACD的边长为6，①AC=BE=6，OB=OE=OA=OC=3，OD①AC，①①COD=90°，①OD=2222CD OC-=-=，6333①BD=OD+OB=333+，△是边长为6的等边三角形，ACD当B与,A C重合时，BD最小6=①对角线BD的长度的取值范围为6＜BD≤333+．故选：C．7．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC∠=︒，30Rt△中，90ACB∠=︒，3ABCAB=，将ABCRt△绕直角顶点C顺时针旋转，当点A的对应点A'落在AB边上时，停止转动，则点B经过的路径长为__．3【分析】首先根据勾股定理计算出BC 长，再根据等边三角形的判定和性质计算出60ACA ∠'=，进而可得60BCB ∠'=，然后再根据弧长公式可得答案．【详解】解：30B ∠=，3AB =，①ACB=90° ①1322AC AB ==，60A ∠=，①22332BC AB AC =-=AC A C ='，AA C ∴'是等边三角形， 60ACA ∴∠'=，60BCB ∴∠'=，∴弧长3360321802l ππ⋅⋅==， 故答案为：32π． 8．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，以AC 为直径做半圆交AB 于点D ，若1BC =，则图中阴影部分的面积为__．3π+【分析】连接OD ，CD ，根据圆周角定理得到90ADC ∠=︒，解直角三角形求得AC =CD OC OD =，32AD =，60COD ∠=︒，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接OD ，CD ，在ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒， ①9030A B ∠=︒-∠=︒， 又①1BC =， ①22BA BC ==，①AC =AC 为O 的直径，90ADC ∴∠=︒，12OA AC =，又①30A ∠=︒，12CD AC ∴==①32AD ， ①30A ∠=︒，260COD A ︒∴∠=∠=，∴阴影部分的面积()()ABC AOD AOD COD COD S S S S S S ∆∆=++--+△半圆扇形扇形 122ABC ACD COD S S S S ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭△△半圆扇形22601111321222360222ππ⎛⋅ =⨯⋅-+⨯⨯⎪⎝⎭38π+=， 故答案为：38π+．9．（2022·河南九年级期末）如图，在ABC 中，AB BC =，以AB 为直径的①O 交BC 于点D ，交AC 于点F ，过点C 作//CE AB ，且CAD CAE ∠=∠． （1）求证：AE 是①O 的切线； （2）若5AB =，4=AD ，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）利用平行线的性质，圆的性质和等腰三角形的性质，证明AEC △和ADC 全等即可得到结论；（2）由勾股定理求出2CD =，根据全等三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：AB BC =，BAC BCA ∴∠=∠，//CE AB ，BAC ACE ∴∠=∠，ACB ACE ∴∠=∠，在AEC △和ADC 中，CAD CAE AC ACACB ACE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ADC AEC ASA ∴≅△△，ADC E ∴∠=∠， AB 是O 的直径，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，90E ∴∠=︒，//AB CE ，180BAE E ∴∠+∠=︒，90BAE ∴∠=︒，AE ∴是O 的切线；（2）解：90ADB ∠=︒，5AB =，4=AD ，3BD ∴==，532CD BC BD ∴=-=-=，①ADC AEC ≅△△，2CE CD ∴==．10．（2022·安庆市第四中学九年级）如图，①O 是①ABC 的外接圆，FH 是①O 的切线，切点为F ，FH ①BC ，连结AF 交BC 于E ，①ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ．（1）求证：AF平分①BAC；（2）若EF＝4，DE＝3，求AD的长．【答案】（1）证明见详解；（2）AD =214．【分析】（1）连结OF，由FH是①O的切线，可得OF①FH，由FH∥BC，可得OF垂直平分BC，根据垂径定理可得BF FC=，根据圆周角性质可得①1=①2即可；（2）根据①ABC的平分线BD，可得①4=①3，可证①FDB=①FBD，可得BF=FD，再证①BFE①①AFB，根据性质可得BF AFFE BF=，再求BF=DF= 7，可求494FA=，即可求AD．【详解】（1）证明：连结OF，①FH是①O的切线，①OF①FH，①FH∥BC，①OF垂直平分BC，①BF FC=，①①1=①2，①AF平分①BAC，（2）解①①ABC 的平分线BD 交AF 于D ， ①①4=①3，①1=①2，①①1+①4=①2+①3，①①5=①2，①①1+①4=①5+①3 ，①①FDB =①FBD ，①BF =FD ，在①BFE 和①AFB 中，①①5=①2=①1，①AFB =①EFB ， ①①BFE ①①AFB ， ①BF AF FE BF=， ①2BF FE FA =⋅， ①2BF FA FE= ， ①BF =DF =EF +DE =7，①274944FA ==， ①AD=AF -DF =4974-=214．。