2.1比0小得数(1)

2．1 等式性质与不等式性质考点学习目标核心素养不等关系的表示会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系数学建模数(式)大小比较会运用作差法比较两个数或式的大小逻辑推理不等式的性质掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题逻辑推理问题导学预习教材P37－P42，并思考以下问题：1．如何比较两个实数的大小？2．等式的基本性质有哪些？3．不等式的基本性质有哪些？1．比较实数a，b的大小(1)文字叙述如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反过来也对．(2)符号表示a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.■名师点拨符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．2．常用的不等式的基本性质性质1 a>b⇔b<a；性质2 a>b，b>c⇒a>c；性质3 如果a>b，那么a＋c>b＋c；性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc；性质5 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d；性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；性质7 如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．■名师点拨对不等式性质的五点说明(1)性质1和性质2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识．(2)性质3(即可加性)的依据是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”．(3)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”．(4)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．(5)性质6和性质7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2.( )(2)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( )(3)若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．( )(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.( )答案：(1)×(2)√(3)√(4)×某工厂在招标会上，购得甲材料x吨，乙材料y吨，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120吨，则x，y应满足的不等关系是( )A．x＋y>120 B．x＋y<120C．x＋y≥120 D．x＋y≤120答案：C已知a>b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是( ) A．ad＞bc B．ac＞bdC．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d解析：选D.令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A，B，C.由不等式的性质5知，D 一定成立．若x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则M与N的大小关系为________．解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)，又因为x<1，所以x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所以M>N.答案：M>N用不等式(组)表示不等关系(1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工x 个，求解此问题需要构建的不等关系式为________．(2)用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于110 m 2，靠墙的一边长为x m ．试用不等式表示其中的不等关系．【解】 (1)因为该车工3天后平均每天需加工x 个零件，加工(15－3)天共加工12x 个零件，15天里共加工(3×24＋12x )个零件，则3×24＋12x >408.故填72＋12x ＞408.(2)由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，所以0<x ≤18，这时菜园的另一条边长为30－x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2(m)．因此菜园面积S ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2，依题意有S ≥110，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥110，故该题中的不等关系可用不等式表示为 ⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥110.1．本例(2)中，若矩形的长、宽都不能超过11 m ，对面积没有要求，则x 应满足的不等关系是什么？解：因为矩形的另一边15－x2≤11，所以x ≥8，又0<x ≤18，且x ≤11，所以8≤x ≤11.2．本例(2)中，若要求x ∈N ，则x 可以取哪些值？解：函数S ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2的对称轴方程为x ＝15，令S ≥110，x ∈N ，经检验当x ＝13，14，15，16，17时S ≥110.利用不等式表示不等关系时的注意点(1)必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用不等式来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示．(2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．1．某厂技术科组织工人参加某项技能测试，某职工参加完测试后对自己的成绩进行了如下估计：理论考试成绩x 超过85分，技能操作成绩y 不低于90分，答辩面试成绩z 高于95分，用不等式组表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x >85y ≥90z ≥95 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥85y >90z >95 C.⎩⎪⎨⎪⎧x >85y ≥90z >95D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥85y >90z ≥95解析：选C.x 超过85分表示为x >85，y 不低于90分表示为y ≥90，z 高于95分，表示为z >95，故选C.2．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t 应满足的关系式是________．解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t <28 000. 答案：4.5t <28 000数(式)大小的比较(1)比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小．(2)已知a ≥1，试比较M ＝a ＋1－a 和N ＝a －a －1的大小． 【解】 (1)3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1) ＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(3x 2＋1)(x －1)．当x ≤1时，有x －1≤0，而3x 2＋1>0.所以(3x 2＋1)(x －1)≤0，所以3x 3≤3x 2－x ＋1. 当x >1时，(3x 2＋1)(x －1)>0， 所以3x 3>3x 2－x ＋1. (2)因为a ≥1，所以M ＝a ＋1－a >0，N ＝a －a －1>0. 所以MN＝a ＋1－a a －a －1＝a ＋a －1a ＋1＋a.因为a ＋1＋a >a ＋a －1>0， 所以M N<1，所以M <N .利用作差法比较大小的四个步骤(1)作差：对要比较大小的两个式子作差．(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形．(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号． (4)作出结论．[注意] 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．1．若x ∈R ，y ∈R ，则( ) A ．x 2＋y 2>2xy －1 B ．x 2＋y 2＝2xy －1 C ．x 2＋y 2<2xy －1D ．x 2＋y 2≤2xy －1解析：选A.因为x 2＋y 2－(2xy －1)＝x 2－2xy ＋y 2＋1＝(x －y )2＋1>0，所以x 2＋y 2>2xy －1，故选A.2．已知x >y >0，试比较x 3－2y 3与xy 2－2x 2y 的大小．解：由题意，知(x 3－2y 3)－(xy 2－2x 2y )＝x 3－xy 2＋2x 2y －2y 3＝x (x 2－y 2)＋2y (x 2－y 2)＝(x 2－y 2)(x ＋2y )＝(x －y )(x ＋y )(x ＋2y )，因为x >y >0，所以x －y >0，x ＋y >0，x ＋2y >0， 所以(x 3－2y 3)－(xy 2－2x 2y )>0，即x 3－2y 3>xy 2－2x 2y . 3．比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．解因为5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，所以5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取到等号．不等式的基本性质(1)对于实数a ，b ，c ，有下列说法： ①若a >b ，则ac <bc ； ②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a <b <0，则a 2>ab >b 2； 其中正确的是________(填序号)． (2)若c >a >b >0，求证：ac －a >bc －b.【解】 (1)①中，c 的正、负或是否为0未知，因而判断ac 与bc 的大小缺乏依据，故①不正确．②中，由ac 2>bc 2，知c ≠0，故c 2>0，所以a >b 成立，故②正确．③中，⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，a <0⇒a 2>ab ，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ，b <0⇒ab >b 2，所以a 2>ab >b 2，故③正确．故填②③.(2)证明：因为a >b >0⇒－a <－b ⇒c －a <c －b . 因为c >a ，所以c －a >0，所以0<c －a <c －b . 上式两边同乘1（c －a ）（c －b ），得1c －a >1c －b >0.又因为a >b >0，所以ac －a >bc －b.利用不等式的性质证明不等式的方法(1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证． (2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．1．给出下列命题： ①a >b ⇒a 2>b 2； ②a 2>b 2⇒a >b ；③a >b ⇒b a<1；④a >b ⇒1a <1b.其中正确的命题个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A.由性质7可知，只有当a >b >0时，a 2>b 2才成立，故①②都错误； 对于③，只有当a >0且a >b 时，b a<1才成立，故③错误； 当a >0，b <0时，1a ＞1b，故④错误．2．已知a >b >0，求证：a b >b a. 证明：因为a >b >0，所以a >b >0.①又因为a >b >0，两边同乘正数1ab，得1b >1a>0.② ①②两式相乘，得a b >b a.利用不等式性质求代数式的取值范围已知－1<x <4，2<y <3.(1)求x －y 的取值范围； (2)求3x ＋2y 的取值范围．【解】 (1)因为－1<x <4，2<y <3，所以－3<－y <－2，所以－4<x －y <2. (2)由－1<x <4，2<y <3，得－3<3x <12，4<2y <6，所以1<3x ＋2y <18.1．若将本例条件改为－1<x <y <3，求x －y 的取值范围． 解：因为－1<x <3，－1<y <3， 所以－3＜－y <1，所以－4<x －y <4. 又因为x <y ，所以x －y <0，所以－4<x －y <0.2．若将本例条件改为－1<x ＋y <4，2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围． 解：设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12. 即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又因为－1<x ＋y <4，2<x －y <3， 所以－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<32，所以－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232.利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．[注意] 求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．1．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β＜0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1解析：选A.由－1<α<1，－1<β<1， 得－1<－β<1， 所以－2<α－β<2.又因为α<β，故－2<α－β<0.2．已知12<a <60，15＜b <36，求a －b 与ab的取值范围． 解：因为15<b <36，所以－36<－b <－15， 所以12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45. 因为136<1b <115，所以1236<a b <6015，所以13<a b<4.1．已知b <2a ，3d <c ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．2a －c >b －3d B ．2ac >3bd C ．2a ＋c >b ＋3dD ．2a ＋3d >b ＋c解析：选C.由于b <2a ，3d <c ，则由不等式的性质得b ＋3d <2a ＋c ，故选C. 2．已知0<a 1<1，0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．M ≥N解析：选B.因为0<a 1<1，0<a 2<1，所以－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，所以M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，所以M >N ，故选B.3．已知a ，b 为实数，且a ≠b ，a ＜0，则a ________2b －b 2a .(填“＞”“＜”或“＝”)解析：因为a ≠b ，a ＜0，所以a －⎝⎛⎭⎪⎫2b －b 2a ＝（a －b ）2a ＜0，所以a ＜2b －b 2a . 答案：＜4．已知a ，b ∈R ，x ＝a 3－b ，y ＝a 2b －a ，试比较x 与y 的大小． 解：因为x －y ＝a 3－b －a 2b ＋a ＝a 2(a －b )＋a －b ＝(a －b )(a 2＋1)， 所以当a >b 时，x －y >0，所以x >y ； 当a ＝b 时，x －y ＝0，所以x ＝y ； 当a <b 时，x －y <0，所以x <y .[A 基础达标]1．高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h ，行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示为( )A ．v ≤120 km/h 或d ≥10 mB ．⎩⎪⎨⎪⎧v ≤120 km/h d ≥10 m C ．v ≤120 km/h D ．d ≥10 m解析：选B.依据题意直接将条件中的不等关系转化为不等式，即为v ≤120 km/h ，d ≥10 m.2．下列说法正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若1a >1b，则a <bC ．若b >c ，则|a |b ≥|a |cD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：选C.A 项：a ，b ，c ，d 的符号不确定，故无法判断；B 项：不知道ab 的符号，无法确定a ，b 的大小；C 项：|a |≥0，所以|a |b ≥|a |c 成立；D 项：同向不等式不能相减．3．若y 1＝3x 2－x ＋1，y 2＝2x 2＋x －1，则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1<y 2 B ．y 1＝y 2C ．y 1>y 2D ．随x 值变化而变化解析：选C.y 1－y 2＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1) ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0， 所以y 1>y 2.故选C.4．已知a >b >0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB ．a ＋1a ≥b ＋1bC ．b a >b ＋1a ＋1D ．b －1b>a －1a解析：选A.因为a >b >0，所以1b >1a>0，所以a ＋1b >b ＋1a，故选A.5．设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．ab >bc B ．ac >bc C ．ab >acD ．a |b |>c |b |解析：选C.因为a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0， 所以a >0，c <0，b 可正、可负、可为零．由b >c ，a >0知，ab >ac . 故选C.6．给出四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推得1a <1b成立的是________．解析：1a <1b ⇔b －a ab<0，所以①②④能使它成立．答案：①②④7．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过 2 200 km ，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．解析：①原来每天行驶x km ，现在每天行驶(x ＋19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km ”，写成不等式为8(x ＋19)>2 200. ②若每天行驶(x －12)km ，则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”， 写成不等式为8x >9(x －12)． 答案：8(x ＋19)>2 200 8x >9(x －12)8．已知三个不等式①ab >0；②c a >db；③bc >ad .若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．解析：①②⇒③，③①⇒②.(证明略) 由②得bc －adab>0，又由③得bc －ad >0.所以ab >0⇒①.所以可以组成3个正确命题． 答案：39．已知a ，b ∈R ，a ＋b >0，试比较a 3＋b 3与ab 2＋a 2b 的大小． 解：因为a ＋b >0，(a －b )2≥0，所以a 3＋b 3－ab 2－a 2b ＝a 3－a 2b ＋b 3－ab 2＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )(a －b )(a ＋b )＝(a －b )2(a ＋b )≥0，所以a 3＋b 3≥ab 2＋a 2b .10．已知－2<a ≤3，1≤b <2，试求下列代数式的取值范围． (1)|a |；(2)a ＋b ；(3)a －b ；(4)2a －3b . 解：(1)|a |∈[0，3]． (2)－1<a ＋b <5.(3)依题意得－2<a ≤3，－2<－b ≤－1， 相加得－4<a －b ≤2；(4)由－2<a ≤3得－4<2a ≤6，①由1≤b <2得－6<－3b ≤－3，②由①＋②得，－10<2a －3b ≤3.[B 能力提升]11．(2019·河南省实验中学月考)若1a <1b<0，则下列结论中不正确的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b | 解析：选D.因为1a <1b<0，所以b <a <0，所以b 2>a 2，ab <b 2，a ＋b <0，所以A ，B ，C 均正确，因为b <a <0，所以|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 错误，故选D.12．若α、β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是( ) A ．－π<2α－β<0B ．－π<2α－β<πC ．－3π2<2α－β<π2D ．0<2α－β<π解析：选C.由－π2<α<β<π2，得－π<α－β<0，又－π2<α<π2，所以－32π<α＋(α－β)<π2，即－32π<2α－β<π2.13．已知0<a <b 且a ＋b ＝1，试比较：(1)a 2＋b 2与b 的大小；(2)2ab 与12的大小． 解：(1)因为0<a <b 且a ＋b ＝1，所以0<a <12<b ， 则a 2＋b 2－b ＝a 2＋b (b －1)＝a 2－ab ＝a (a －b )<0，所以a 2＋b 2<b .(2)因为2ab －12＝2a (1－a )－12＝－2a 2＋2a －12＝－2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a ＋14＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122<0， 所以2ab <12. 14．若bc －ad ≥0，bd ＞0，求证：a ＋b b ≤c ＋d d. 证明：⎩⎪⎨⎪⎧bc －ad ≥0⇒bc ≥ad bd >0⇒1bd >0⇒c d ≥a b ⇒c d ＋1≥a b ＋1⇒c ＋d d ≥a ＋b b ⇒a ＋b b ≤c ＋d d . [C 拓展探究]15．某种商品计划提价，现有四种方案：方案(Ⅰ)先提价m %，再提价n %；方案(Ⅱ)先提价n %，再提价m %；方案(Ⅲ)分两次提价，每次提价⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2%；方案(Ⅳ)一次性提价(m ＋n )%.已知m >n >0，那么四种提价方案中，提价最多的是哪种方案？解：依题意，设单价为1，那么方案(Ⅰ)提价后的价格是1×(1＋m %)(1＋n %)＝1＋(m ＋n )%＋m %·n %；方案(Ⅱ)提价后的价格是1×(1＋n %)(1＋m %)＝1＋(m ＋n )%＋m %·n %；方案(Ⅲ)提价后的价格是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2%2＝1＋(m ＋n )%＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2%2； 方案(Ⅳ)提价后的价格是1＋(m ＋n )%.所以只要比较m %·n %与⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2%2的大小即可． 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2%2－m %·n %＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2%2≥0， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2%2≥m %·n %. 又因为m >n >0，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2%2>m %·n %. 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2%2>(1＋m %)·(1＋n %)， 因此，方案(Ⅲ)提价最多．。

（常考题）新人教版小学数学三年级下册第七单元《小数的初步认识》单元检测题（包含答案解析）(1)一、选择题1．姐姐买辅导书花了14.5元，买练习本花了1.4元，姐姐一共花了（）。

A. 15.9元B. 14.9元C. 15.09元2．一个游泳圈10.5元，买两个游泳圈需要（）元。

A. 21B. 20.10C. 20.53．三年级4名学生100米跑的成绩如表：姓名赵军钱进孙兵李冬成绩/秒19.118.919.818.6A. 赵军B. 钱进C. 孙兵D. 李冬4．在100米短跑比赛中，小芳用了18.7秒，小英用了19.1秒，（）跑得快。

A. 小英B. 小芳C. 无法判断5．5.6＞□.5，方框里可以填（）个数。

A. 4B. 5C. 66．在100米赛跑中，小明成绩是11.2秒，晓东成绩是10.9秒，他们的成绩（）。

A. 小明好B. 晓东好C. 无法比较7．百米赛跑，小明跑了15.3秒，小智跑了15.8秒，小慧跑了16.1秒，（）最快．A. 小明B. 小智C. 小慧8．5－2.7=( )A. 4.3B. 1.3C. 2.3D. 3.3 9．23.5＋79.8＋16.5=( )A. 103.3B. 30C. 40.4D. 119.8 10．张工程师买了两本科技书，一本书的价格是28.5元，另一本的书价是14.4元．他付给营业员50元，应找回（）A. 42.9元B. 21.5元C. 7.1元D. 8.1元11．4－0.4=（）A. 0.6B. 2C. 2.9D. 3.6 12．2.8－0.8=（）A. 0.6B. 2C. 2.9D. 3.6二、填空题13．星期天，妈妈用3.2元买了一包饼干，用4.5元买了一袋薯片，妈妈一共花了________元，薯片比饼干贵________元。

14．下面是淘气家1、2月份的水费和电费支出情况，把表格填完整。

1月2月合计水费/元41.830.5________电费/元________95.1180.3合计/元________________________15．比较大小。

人教版小学五年级上册数学全册一课一练汇编人教版小学五年级上册数学一课一练全册汇编目录1.1 小数乘整数1.2 小数乘小数(一)1.3 小数乘小数(二)1.4 积的近似数1.5 连乘乘加乘减1.6 整数乘法运算定律推广到小数2.1 小数除以整数(一)2.2 小数除以整数(二)2.3 一个数除以小数(一)2.4 一个数除以小数(二)2.5 商的近似数2.6 循环小数2.7 解决问题(一)2.8 解决问题(二)4.1 用字母表示数(一)4.2 用字母表示数(二)4.3 方程的意义4.4 解方程4.5 列方程解应用题4.6 稍复杂的方程(一)4.7 稍复杂的方程(二)4.8 稍复杂的方程(三)5.1 平行四边形的面积5.2 三角形的面积5.3 梯形的面积5.4 组合图形的面积6.1 统计与可能性6.2 中位数及平均数7 数学广角1.小数乘整数年班姓名一、认真思考填一填。

12.5+2.5+2.5=( )×( )。

4.8×4=( )+( )+( )+( )。

20.57×6的积是( )位小数。

3.把15.6的小数点去掉后,原来的数就扩大到它的( )倍。

40.52扩大( )倍是52。

86缩小为原来的( )是0.086。

5.2.45×16可以转化成245×16,计算后把所得的积缩小到它的( )。

6.一本《成语接龙》14.8元,买2本应付( )元。

二、火眼金睛判一判。

(对的打“√”,错的打“×” )1. 一个因数扩大10倍,另一个因数不变,积也扩大10倍。

( )2. 7.35×4的积是一位小数。

( )3. 5.47×6可以转化成547×6,积的大小不变。

( )4. 4.8×3表示3个4.8的和是多少,也表示4.8的3倍是多少。

( )5.2.5×5与5×2.5的结果相同,读法也相同。

( )三、聚精会神算一算。

2023－2024学年五年级上学期期中数学试卷一、冷静思考，正确填空。

（每空1分，共23分。

）1. 用小数乘加、乘减解决分段收费问题。

某停车场规定，2小时以内（含2小时）收费5元，每增加1小时加收1元（不足1小时按1小时计算），爸爸停车4.5小时，4.5小时不够5小时，按（）小时计算，前2小时收费（）元，后面（）小时，每小时加收（）元，一共收费（）元。

2. 3.25×（）＝325。

3. 计算8.24×0.6时，先计算824×6＝（），再数出因数中共有（）位小数，再点上小数点。

4. 一种茶叶每千克售价58.6元，买0.5千克要付（）元。

5. 根据第一行的积，写出其他各行的积。

6. 小军和小红看了同一场电影，小军的座位是4排5号，用数对表示为（5，4）。

小红的座位用数对表示为（7，6），那么小红的座位是（）排（）号。

7. 用简便形式写出下面的循环小数，再写出近似值（保留三位小数）2.666…＝______≈_____5.207207…＝______≈_____0.0103103…＝_____≈_____。

8. 做一条短裙需要0.4米的布，一段5米长的布可以做_____条短裙。

9. 小娟在计算一道数学题目时，将除数2.81中的小数点看丢了，结果是11.52，那么正确的计算结果应该是______。

10. 3÷111的商用循环小数表示是_____，保留两位小数是_______。

二、考考你的判断力。

（对的在括号里打“√”，错的打“×”，5分。

）11. 整数加法的运算律对分数加法同样适用。

（）12. 一个数乘小数，积一定大于这个数．（）13. 两个因数的积保留两位小数约是6.37，它的准确值可能是6.365。

（）14. 2.1595959是循环小数。

（）。

15. 27＋29＋71＝27＋100．（）三、反复比较，慎重选择。

（每题1分，共6分。

）16. 4.2与2.4的和乘它们的差，积是（）。

苏教版七年级数学上册知识点总结第一章有理数1.1 正数和负数⒈正数和负数的概念负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。

（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。

所以省略“+”的正数的符号是正号。

2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃3.0表示的意义⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

（3）0表示一个确切的量。

如：0℃以及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则0米就表示海平面。

1.2 有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

3，整数也能化成分数，也是有理数注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数0 正有理数负整数正分数有理数有理数0（0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数3.数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

一、选择题1．三年级4名学生100米跑的成绩如表：姓名赵军钱进孙兵李冬成绩/秒19.118.919.818.6获得第一名的同学是（）A. 赵军B. 钱进C. 孙兵D. 李冬2．磨面机每小时磨面粉0.9吨，照这样计算，1.2小时磨面粉的量（）0.9吨。

A. 等于B. 大于C. 小于D. 可能大于也可能小于3．50米赛跑中张辉用了8.2秒，高林用了8.4秒，范刚用了8.8秒，王涛用了8.6秒，他们中成绩最好的是（）。

A. 张辉B. 高林C. 范刚D. 王涛4．在学校春季田径运动会中年级组男子50米跑决赛中，6名选手的成绩统计如下：姓名张帆李明刘军黄涛王朝周博成绩/秒8.28.88.98.18.68.4分别获得冠、亚、季军的3位选手依次是（）。

A. 刘军、李明、王朝B. 黄涛、张帆、王朝C. 黄涛、张帆、周博5．在100米赛跑中，小明成绩是11.2秒，晓东成绩是10.9秒，他们的成绩（）。

A. 小明好B. 晓东好C. 无法比较6．大于4.9而小于5.2的小数有（）。

A. 0个B. 2个C. 无数个7．70－29.6－10.4=( )A. 103.3B. 30C. 40.4D. 119.8 8．9.2－6=（）A. 8.4B. 4.8C. 3.2D. 0.85 9．2.8－0.8=（）A. 0.6B. 2C. 2.9D. 3.6 10．一个游泳圈10.5元，买两个游泳圈需要（）元。

A. 21B. 20.10C. 20.511．在100米短跑比赛中，小刚跑了16.5秒，小军跑了16.9秒，小明跑了15.6秒，小林跑了17.1秒，（）跑得最快．A. 小刚B. 小军C. 小明D. 小林12．大于0.5而小于0.6的数有（）A. 无数个B. 没有C. 1个D. 9个13．百米赛跑，小明跑了15.3秒，小智跑了15.8秒，小慧跑了16.1秒，（）最快．A. 小明 B. 小智 C. 小慧14．大于5.3而小于5.5的一位小数有（）个。

2022秋人教版数学五年级上册期中考试测试卷及答案（一）一、填空（每空1分，共25分）1、3.26×2.8的积是（）位小数，5.24的1.02倍是（）。

2、1.26868…是（）小数，它的循环节是（），可以简写成（）。

3、一个两位小数“四舍五入”后约是7.5，这个小数最大是（），最小是（）。

4、一支钢笔的单价是7.8元，老师买了n只这样的钢笔，应付（）元，50元最多可以买这样的钢笔（）支。

5、在小数除法中，要把（）化成整数再除。

6、根据2784÷32=87，可以推算出下列各题结果。

3.2×0.87=（），27.84÷3.2=（）2784÷3200=（）7、在○里填上“﹥”、“﹤”或“=”。

5.6×1.02○5.6 1.26÷0.98○1.26×0.985.6÷1.02○5.678.5×0.99○78.5×（1-0.01）8、抽奖箱中有5个黑球、2个红球和3个黄球，抽到（）可能能性大，抽到（）的可能性小。

9、小军坐在教室的第3列第4行，用数对（，）表示，明明坐在小军正后方的第一个位置上,明明的位置用数对表示是(，)；那么，明明坐在第（）列第（）行。

10 、1.25小时=（）分0.6分（）秒二、判断（每题1分，共5分）1、a×1.25一定大于a×0.95 。

（）2、求近似数的方法有“四舍五入”法、“进一法”和“去尾法”等。

（）3、两个小数相乘积一定是小数。

（）4、5.666…与0.060606都是循环小数。

（）5、计算小数除法时，商的小数点和被除数的个位对齐。

（）三、慎重选择（每题2分，共10分）1、6.8×101=6.8×100+6.8是运用了（）A、乘法交换律B、乘法结合律C、乘法分配律D、加法结合律2、13.6÷2.6当商是5时，余数是（）A、6B、0.6C、0.06D、0.0063、如果甲×1.1=乙÷1.1（甲、乙≠0）那么A、甲=乙B、甲﹥乙C、甲﹤乙D、无法确定4、盒子里有5个黑球，3个黄球，2个绿球，任意拿出6个，一定有一个（）。

2024年高考数学试题（新课标I 卷）一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.已知集合A =x |-5<x 3<5 ，B ={-3,-1,0,2,3}，则A ∩B =A.{-1,0} B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}【答案】A【解析】A =(-35,35)⇒A ∩B ={-1,0}，选A.2.若zz -1=1+i ，则z =A.-1-i B.-1+iC.1-iD.1+i【答案】C【解析】z z -1=1+i ⇒z =1+i i =1-i ，选C.3.已知向量a =0,1 ，b =2,x ，若b ⊥b -4a ，则x =A.-2 B.-1C.1D.2【答案】D【解析】b ⊥b -4a ⇒2×2+x (x -4)=0⇒x =2，选D.4.已知cos α+β =m ，tan αtan β=2，则cos α-β =A.-3m B.-m3C.m 3D.3m【答案】A【解析】αcos βcos -αsin βsin =m ，αsin βsin =2αcos βcos ⇒αcos βcos =-m ，αsin βsin =-2m ，所以cos α-β =αcos βcos +αsin βsin =-3m ，选A.5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为A.23π B.33πC.63πD.93π【答案】B【解析】如图所示，h =3，圆锥母线长l =r 2+3，h h rrl由题知23πr =πr r 2+3⇒r =3⇒V 锥=13×π×32×3=33π．选B.6.已知函数f x =-x 2-2ax -a ,x <0,e x +ln x +1 ,x ≥0 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A.(-∞,0]B.-1,0C.-1,1D.[0,+∞)【答案】B 【解析】由题知-a ≥0,-a ≤1⇒-1≤a ≤0，选B.7.当x ∈0,2π 时，曲线y =sin x 与y =2sin (3x -π6)的交点个数为A.3 B.4C.6D.8【答案】C【解析】作出两个函数的图象，2π3π2ππ2Oxy 由图知，两个函数的交点个数为6，选C.【总结】五点作图法，处理作图，好像没有其他解法.8.已知函数f x 的定义域为R ，f x >f x -1 +f x -2 ，且当x <3时，f x =x ，则下列结论中一定正确的是A.f 10 >100 B.f 20 >1000C.f 10 <1000D.f 20 <10000【答案】B【解析】由已知得f (1)=1，f (2)=2，思路一：常规推理+计算因为f x >f x -1 +f x -2 ，所以f (3)>3，f (4)>5，f (5)>8，f (6)>13，f (7)>21，f (8)>34，f (9)>55，f (10)>89，f (11)>144，f (12)>233，f (13)>377，f (14)>610，f (15)>987，f (16)>1597，f (17)>2584，f (18)>4181，f (19)>6765，f (20)>10946，⋯，所以f (20)>f (19)>⋯>f (16)>1000，选B.思路二：推理+估算由题知，当x >3时，f (x )上不封顶，C ，D 错误；f (3)>3，f (4)>5，f (5)>8，f (6)>13，f (7)>21，f (8)>34，f (9)>55，f (10)>89，当x >4时，f (x )>f x -1 +f x -2 >2f (x -2)，所以f (20)>2f (18)>22f (16)>⋯>25f (10)>1000，A 错误，B 正确；故选B.【总结】需要耐心的计算.二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1，样本方差s 2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布N 1.8,0.12 ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布x ,s 2，则(若随机变量Z 服从正态分布N μ,σ2 ，则P Z <μ+σ ≈0.8413)A.P X >2 >0.2 B.P X >2 <0.5C.P Y >2 >0.5 D.P Y >2 <0.8【答案】BC【解析】画个图，对于X ：μ=1.8，σ=0.1；对于Y ：μ=2.1，σ=0.1，1.81.7 1.92.12.0 2.22.0由题知P (X <1.9)=0.8413，所以P (X >2)<P (x >1.9)=0.1587<0.2<0.5，A 错误，B 正确；因为P (Y <2.2)=0.8413，所以P Y >2 =P Y <2.2 =0.8413>0.8>0.5，C 正确，D 错误；故选BC.10.设函数f x =x -1 2x -4 ，则A.x =3是f x 的极小值点B.当0<x <1时，f x <f x 2C.当1<x <2时，-4<f 2x -1 <0D.当-1<x <0时，f 2-x >f x【答案】ACD【解析】f '(x )=2(x -1)(x -4)+(x -1)2=3(x -1)(x -3)，作出f (x )的图象如图所示，x =1x =3所以x =1是f x 的极大值点，x =3是f x 的极小值点，A 正确；当0<x <1时，f (x )在(0,1)↗，因为x >x 2，所以f (x )>f (x 2)，B 错误；当1<x <2时，t =2x -1∈(1,3)，因为f (t )在(1,3)↘，所以f (t )∈(-4，0)，即-4<f 2x -1 <0，C 正确；当-1<x <0时，x -1<0，f 2-x -f x =(x -1)2(-2-x )-x -1 2x -4 =-2(x -1)3>0，所以f 2-x >f x ，D 正确；综上，选ACD.【总结】选项B 用了单调性法，选项C 转化为值域，选项D 用了最常见的作差法.11.造型Ժ可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于-2，到点F 2,0 的距离与到定直线x =a a <0 的距离之积为4，则OxyFA.a =-2B.点22,0 在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x 0,y 0 在C 上时，y 0≤4x 0+2【答案】ABD 【解析】如图所示，OxyFx =aP对于A ，由题知，O 到点F 的距离等于与到定直线x =a a <0 的距离之积为4，所以(-a )∙2=4，解得a =-2，A 正确；对于B ，设点P (x ,y )是曲线C 上任意一点，则(x +2)(x -2)2+y 2=4，即(x -2)2+y 2=(4x +2)2，因为(22-2)2=(422+2)2，所以点22,0 在C 上，B 正确；对于C ，因为y 2=(4x +2)2-(x -2)2，记f (x )=(4x +2)2-(x -2)2，x >0，所以f '(x )=-32(x +2)3-2(x -2)=2[-16(x +2)3+2-x ]，发现f (2)=1，f '(2)=-12<0，所以存在0<x 1<2，使得当x ∈(x 1,2)时，f '(x )<0，所以f (x )在(x 1,2)↘，所以f (x )>f (2)=1，即f (x )的最大值一定大于1，C 错误；对于D ，y 02=(4x 0+2)2-(x 0-2)2≤(4x 0+2)2，所以y 0≤4x 0+2，D 正确；综上，选ABD.【总结】本题相对要难一点，选出来一个答案不难.三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2作平行于y 轴的直线交C 于A ,B两点，若F 1A =13，AB =10，则C 的离心率为.【答案】32【解析】由题知|F 1F 2|=2c =12,F 2A =b 2a =5,c 2=a 2+b2 ，解得a =4,b =25,c =6，所以C 的离心率e =c a =32.13.若曲线y =e x +x 在点0,1 处的切线也是曲线y =ln x +1 +a 的切线，则a =.【答案】2ln 【解析】设f (x )=e x +x ，g (x )=ln x +1 +a ，则f '(x )=e x +1，g '(x )=1x +1，即f '(0)=2，所以f (x )在(0,1)处的切线方程为l ：y -1=2(x -0)，即y =2x +1，设l 与g (x )相切于点A (x 0,(x 0+1)ln +a )，则g '(x 0)=1x 0+1=2，解得x 0=-12，所以(-12+1)ln +a =0，解得a =2ln .14.甲乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上的数字大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用)，则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.【答案】12【解析】因为甲出1一定输，要使甲的总分不小于2，则甲得3分或得2分.第一类：甲得3分只有一种可能：1-8，3-2，5-4，7-6.第二类：甲得2分（1）甲出3和出5赢，其余输，共1种：3-2，5-4，1-6，7-8；（2）甲出3和出7赢，其余输，共3种：3-2，7-6，1-4，5-8；3-2，7-4，1-6，5-8；3-2，7-4，1-8，5-6；（3）甲出5和出7赢，其余输，共7种：5-4，7-6，1-2，3-8；5-4，7-2，1-6，3-8；5-4，7-2，1-8，3-6；5-2，7-6，1-4，3-8；5-2，7-6，1-8，3-4；5-2，7-4，1-6，3-8；5-2，7-4，1-8，3-6；所以甲的总得分不小于2的共有12种可能，所以所求的概率p =12A 44=12.四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知sin C =2cos B ，a 2+b 2-c 2=2ab .（1）求B ；（2）若△ABC 的面积为3+3，求c .【答案】（1）B =π3；（2）2 2.【解析】（1）因为a 2+b 2-c 2=2ab ，所以C cos =a 2+b 2-c 22ab =2ab 2ab=22，因为0<C <π，所以C =π4，又sin C =2cos B ，所以22=2B cos ，即B cos =12，因为0<B <π，所以B =π3.（2）方法一：由（1）知A =π-B -C =5π12，所以A sin =(π6+π4)sin =6+24，因为a A sin =b B sin =cCsin =k >0，所以S =12ac B sin =12k 2A sin B sin C sin =12k 2∙6+24∙32∙22=3+3，所以k 2=16，即k =4，所以c =k C sin =4×22=2 2.16.(15分)已知A 0,3 和P (3,32)为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上两点.（1）求椭圆C 的离心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9,求直线l 的方程.【答案】（1）12；（2）x -2y =0或3x -2y -6=0.【解析】（1）由题知b =3,9a 2+94b2=1，解得a =23,b =3 ，所以c =a 2-b 2=3，所以椭圆C的离心率e=ca=12.（2）由（1）知，椭圆C的方程为x212+y29=1.O xyPABD当直线l的斜率不存在时，B(3,-32)，此时S=92，不满足题意；当直线l的斜率存在时，设l：y=k(x-3)+3 2，代入x212+y29=1，整理得(3+4k2)x2-8k(3k-32)x+36k2-36k-27=0，设B(x1,y1)，由韦达定理得3+x1=8k(3k-32)3+4k2,3x1=36k2-36k-273+4k2所以|BP|=1+k2|x1-3|=1+k2(8k(3k-32)3+4k2)2-364k2-4k-33+4k2=43k2+13k2+9k+2744k2+3，点A到直线PB的距离h2=|3k+32|k2+1，所以△ABP的面积S=12|BP|∙h2=|3k+32|k2+1=9，解得k=12或32，所以直线l的方程为y=12x或y=32x-3.综上，直线l的方程为x-2y=0或3x-2y-6=0.17.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，P A=AC=2，BC=1，AB=3.（1）若AD⊥PB，证明:AD⎳平面PBC；（2）若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为427，求AD.AB CDP 【答案】（1）略；（2）3.【解析】（1）证明：因为P A ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以P A ⊥BC ，P A ⊥AD ，因为AC =2，BC =1，AB =3，所以AB 2+BC 2=AC 2，即AB ⊥BC ，又P A ∩AB =A ，P A ,AB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ，因为PB ⊥AD ，P A ∩PB =P ，P A ,PB ⊂平面P AB ，所以AD ⊥平面P AB ，所以AD ⎳BC ，因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AD ⎳平面PBC .（2）过D 作DQ ⊥平面ABCD ，以DA ,DC ,DQ 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ，A BCDPz xyQ设DA =a ，DC =b ，则D (0,0,0)，A (a ,0,0)，C (0,b ,0)，P (a ,0,2)，且a 2+b 2=4，①所以AC =(-a ,b ,0)，AP =(0,0,2)，DC =(0,b ,0)，DP =(a ,0,2)，设平面APC 的一个法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1)，则AC∙n 1=0,AP ∙n 1=0 ，即-ax 1+by 1=0,2z 1=0 ，令x 1=b ，则n 1=(b ,a ,0)，设平面PCD 的一个法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2)，则DC∙n 2=0,DP ∙n 2=0 ，即by 2=0,ax 1+2z 1=0 ，令x 1=2，则n 2=(2,0,-a )，所以‹n 1,n 2›cos =n 1∙n 2|n 1||n 2|=2ba 2+b 2a 2+4=ba 2+4，设二面角A -CP -D 的平面角为θ，则θsin =427，所以|θcos |=|‹n 1,n 2›cos |=b a 2+4=17，即7b 2=a 2+4，②由①②得a =3,b =1，所以AD =a = 3.【总结】本题建系可以设两个变量，也可以设一个变量，注意运算.18.(17分)已知函数f x =lnx2-x+ax +b x -1 3.（1）若b =0，且f x ≥0，求a 的最小值；（2）证明:曲线y =f x 是中心对称图形；（3）若f x >-2当且仅当1<x <2，求b 的取值范围.【答案】（1）-2；（2）略；（3）[-23,+∞).【解析】（1）由x2-x>0，得0<x <2，所以f (x )的定义域为(0,2)，当b =0时，f (x )=ln x 2-x +ax ，f '(x )=1x +12-x +a ≥0，因为1x +12-x ≥(1+1)2x +2-x =2，当且仅当x =1时取等号，所以f '(x )min =2+a ≥0，解得a ≥-2，所以a 的最小值为-2；（2）发现f (1)=a ，猜测f (x )关于(1,a )对称，下面尝试证明此结论，因为f (1+x )+f (1-x )=ln 1+x 1-x +a (1+x )+bx 3+ln 1-x1+x+a (1-x )+b -x 3=2a ，所以f (x )关于(1,a )对称.（3）当且仅当1<x <2时f (x )>-2，则f (1)=a =-2，所以f (x )=ln x2-x-2x +b x -1 3，f '(x )=1x +12-x -2+3b (x -1)2=(x -1)22(2-x )+3b (x -1)2=(x -1)2[2x (2-x )+3b ]~2x (2-x )+3b ，发现f '(1)=2+3b ≥0，则b ≥-23，当b ≥-23时，2x (2-x )+3b ≥2x (2-x )-2=2(x -1)22(2-x )≥0，即f '(x )≥0，所以f (x )在(0,2)↗，因为f (1)=-2，所以f (x )>-2=f (1)⇔1<x <2，符合题意；当b <-23时，则2x (2-x )∈[2,+∞)，f '(x )∈[3b +2,+∞)，存在1<x 1<2，使得当x ∈(1,x 1)时，f '(x )<0，f (x )在(1,x 1)↘，所以f (x )<f (1)=-2，不符合题意；综上，实数b 的取值范围是[-23,+∞).19.(17分)设m 为正整数，数列a 1,a 2,⋯,a 4m +2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i 和a j i <j后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a 1,a 2,⋯,a 4m +2是i ,j -可分数列.（1）写出所有的i ,j ,1≤i <j ≤6，使得数列a 1,a 2,⋯,a 6是i ,j -可分数列；（2）当m ≥3时，证明:数列a 1,a 2,⋯,a 4m +2是2,13 -可分数列；（3）从1,2,⋯,4m +2中一次任取两个数i 和j i <j ，记数列a 1,a 2,⋯,a 4m +2是i ,j -可分数列的概率为P m ，证明:P m >18.【答案】（1）(1,2)，(5,6)，(1,6)；（2）略；（3）略.【解析】（1）对于特殊的情况，我们不难分析出来，要么一边删除2个，要么两边各删除1个，所以满足题意的(i ,j )为：(1,2)，(5,6)，(1,6).（2）下标和项是成等差的充要条件，即m ,n ,k 成等差⇔a m ,a n ,a k 成等差（证明略）.首先我们证明，当m =3时成立，那么m ≥3时都会成立.当m =3时，4m +2=14，那么当m >3时，整个{a n }可以拆成两段，为1≤n ≤14和n >14，不管m 取值如何，都有4m -12个数，也就是可以分成m -3组，而这m -3组只要按照原来的顺序依次分组，显然都是等差数列.如：m =6，前面14个按照m =3分组，后面的按照顺序，每4个一组，显然这样分满足题意.下面证明m =3时成立，可以采用列举法，只要有一种方法成立就行，去掉i =2,j =13，可以分为{1,4,7,10}，{5,8,11,14}，{3,6,9,12}这三组，满足题意.（3）设在给定m 的情况下，(i ,j )的组数为b m ，当m 变成m +1时，数列就变成了a 1,a 2,a 3,a 4,a 5，⋯，a 4m +2,a 4m +3,a 4m +4,a 4m +5,a 4m +6，这里可以分成3组，前4个一组即{a 1,a 2,a 3,a 4}，中间的一组，后4个一组即{a 4m +3,a 4m +4,a 4m +5,a 4m +6}，此时我们要在这里面删除2个数，那么会有以下几种情况：一、两个都在中间中间有4m -2个数，且为等差数列，删除2个的话，总数为b m -1种；二、一个在第一组，一个在中间组或两个都在第一组第一组和中间组连起来，会变成4m +2个数的等差数列，这里面总共有b m 种方法，但是要去掉两个都在中间的情况，共有b m -b m -1种；三、一个在中间组，一个在最后一组，或者都在最后一组和上面一样，也是共有b m -b m -1种；四、一个在第一组，一个在最后一组此时，将a 1,a 4m +6同时删除是肯定可以的，这算一种；然后，从（2）的结果来看，把a 2,a 4m +5同时删除也是可以的，因为m =3成立之后，当m >3时，只是相当于往中间加了4个连续的等差数而已，其它是不变的，这也算一种.综上，就会有b m +1≥b m -1+2(b m -b m -1)+2=2b m -b m -1+2，因为b 0=0,b 1=3，所以b m ≥m 2+2m ，如果你是随便删除，总共有C 24m +2=8m 2+6m +1种，所以P m =b m C 24m +2≥m 2+2m 8m 2+6m +1>18.。

一年级最小的一位数是01、最小的一位数是0还是1？这个问题在很长一段时间存在争论。

先来看看《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”的叙述：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。

例如“2”是含有一个数位的数，叫做一位数；“30”是含有两个数位的数，叫做两位数；“405”是含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。

再来听听专家的说明：在自然数的理论中，对“几位数”是这样定义的，“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数；只用两个数字（其中左边第一个数字为有效数字）表示的数，叫做两位数……所以，在一个数中，数字的个数是几（其中最左边第一个数字为有效数字），这个数就叫几位数。

这里所谓的最大位数和最小位数通常是在非零自然数的范围内研究的。

所以有9个个位数，分别是:1，2，3，4，5，6，7，8，9。

0不是最小的一位数。

2、为什么0也是自然数？课标教材对“０也是自然数”的规定，颠覆了人们对自然数的传统认识。

于此，中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说：国际上对自然数的定义一直都有不同的说法，以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为0不是自然数。

2000年教-育-部主持召开教材改编会议时，已明确提出将0归为自然数。

这次改版也是与国际惯例接轨。

从教学实践层面来说，将“０”规定为“自然数”也有着积极的现实意义。

2.1 “0”作为自然数的“好处”。

众所周知，数学中的集合被分为有限集合和无限集合两类。

有限集合是含有有限个元素的集合，像某班学生的集合。

无限集合是含有的元素个数是非有限的集合，如分数的集合。

因为自然数具有“基数”的性质，因此用自然数来描述有限集合中元素的个数是很自然的。

但在有限集合中，有一个最主要也是最基本的集合，叫空集｛｝，元素个数为0。

如果不把0作为自然数，那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示了。