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1一 选择题（6题×4分）1． 和矩阵1001M ⎛⎫=⎪-⎝⎭正交相似的矩阵是（ ）。
A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110B. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011C. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111D. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0110 2. 实数域上阶实对称阵按合同关系分类, 共有( )类A. n +1B.2)1(nn - C.2)1(nn + D.2)2)(1(++n n3. 设*V 是数域F 上三维线性空间V 的对偶空间. 123,,v v v 是V 的一组基, ***123,,v v v 是其对偶基, 则V 中基12233,,v v v v v --的对偶基是( )A. *3*2*2*1*1*3,,v v v v v v +++B. *3*2*1*2*1*1,,v v v v v v +++C. *3*3*2*2*1,,v v v v v --D. *1*2*3*2*2,,v v v v v -+4. 设21,V V 是n 维欧氏空间V 的子空间, ϕ是正交变换, 则下列命题中正确的有( )项.① 若21V V ⊆，则⊥⊥⊆21V V② 若⊥⊥=21V V ，则21V V =③ 若1V 是ϕ不变子空间，则⊥1V 也是ϕ不变子空间 ④ 11)V (V =⊥⊥A. 1B. 2C. 3D. 45. 设,ϕψ是n 维欧氏空间V 的线性变换, **,ϕψ分别是,ϕψ的伴随变换, 则下列命题中错误的是( ).①ϕ是单的线性变换，则*ϕ是满的线性变换 ②*Im dim Im dim ϕϕ=③)),(()),((*αβϕβαϕ=,对任意的V ∈βα, ④ϕ是同构变换,则*ϕ也是同构变换 A. 0B. 1C. 2D. 36． 已知二次型222123123121323(,,)()444f x x x a x x x x x x x x x =+++++经正交变换X = TY 化为标准形21231(,,)6f y y y y =，则( )a =.A. 0B. 2C. 4D. 62二 填空题(6题×4分)1. 在欧氏空间3R (标准内积)中, 设(2,2,0),(1,2,3)αβ==, 则β的长度是( ), α与β的距离是( ), α与β的夹角是( ).2. 设V 是数域K 上n 维线性空间, 则线性映射()v η= ( )，V ∈∀v ，导出了线性空间的同构**)(V V ≅.3. 三阶正交矩阵在正交相似下的所有可能的标准形是( ).4. 设,A C 为n 阶对称阵，且⎪⎪⎭⎫⎝⎛'C B B A 为正定阵, 则以B A B C 1-'-为相伴阵的二次型为( )型.5. 当t 取值范围为( )时, 二次型22212312323(,,)232f x x x x x x tx x =+++是正定型. 6. 设二次型(,,)f x y z xy yz zx =++, 则与f 相伴矩阵是( ), f 的正惯性指数是( ),f 的符号差是( ).三 (15分)设实数域上3阶方阵022244243A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭, 求正交矩阵T , 使'T AT 为对角阵, 并写出该对角阵. 四 (10分)设A 是m n ⨯阶阵, λ＞0, 证明'n I A A λ+是正定阵.五 (15分)设ϕ是n 维欧氏空间V 的对称变换, V ∈α,且1α=。
08-09学年第一学期厦门大学?高等代数?期末试卷 厦门大学?高等代数?课程试卷数学科学学院各系2021年级各专业信息科学与技术学院 计算机科学 系2021年级CST 专业特别说明：答案写在答题纸上一、单项选择题〔32分.共8题,每题4分〕以下说法错误的选项是___B____.假设向量组1,2,3线性无关，那么其中任意两个向量线性无关；B ) 假设向量组1, 2,3 中任意两个向量线性无关，那么1,2,3线性无关；C) 向量组 1 2,2 3,3 1线性相关；D) 假设向量组1,2,3 线性无关，那么1, 1 2, 123线性无关.2. 设n 维列向量1,2,...,m (m n)线性无关,那么n 维列向量1,2,...,m线性无关的充要条件是___D____.A) 向量组 1,2,..., m 可由向量组1, 2,..., m 线性表示；B) 向量组 1, 2,..., m 可由向量组 1,2,..., m 线性表示；C) 向量组 1,2,..., m 与向量组 1, 2,...,m 等价；D)矩阵A (1, 2,..., m )与矩阵B (1, 2,..., m )相抵. 3.设线性方程组 Ax 0的解都是线性方程组 Bx 0的解，那么__C__.A)r(A) r(B)；B)r(A) r(B)；C)r(A) r(B)；D)r(A) r(B).4. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵 A * 0，非齐次线性方程组 Ax b 有无穷多组解，那么对应的齐次线性方程组Ax 0的根底解系__B__.A)不存在； B)仅含一个非零解向量；C)含有两个线性无关的解向量； D)含有三个线性无关的解向量 .以下子集能构成R 22的子空间的是___B____.A)122 } ；B)V2{A|tr(A)0,AR 22}；V{A||A|0,AR108-09学年第一学期厦门大学?高等代数?期末试卷C)V 3 {A|A 2A,A R 22}；D)V 4 {A|A A 或 A,A R 22}.6.设V 是数域K 上的线性空间,V 上的线性变换在基 1,2,...,n 下的矩阵为A 且|A|2，假设在基 n ,n1,...,1下的矩阵为B,那么|B|___B___.A)2n；B)2； C)1； D)不能确定.27.设V 是n 维向量空间， 和 是V 上的线性变换，那么 dimImdimIm的充分必要条件是_____D ___.A) 和都是可逆变换； B)Ker=Ker ；C)Im Im ；D) 和 在任一组基下的表示矩阵的秩相同.8. 设 是线性空间 V 到U 的同构映射,那么以下命题中正确的有 ___D___个.(Ⅰ) 为可逆线性映射；(Ⅱ)假设W 是V 的s 维子空间,那么(W )是U 的s 维子空间；(Ⅲ) 在给定基下的表示矩阵为可逆阵；(Ⅳ)假设V=V 1 V 2,那么(V 1V 2)(V 1)(V 2).A)1B)2C)3D)4二、填空题〔32分.共8题,每题4分〕1 0 0 3假设矩阵A( 1,2,3,0 0 2 4 1,2,3,4的1. 4)经过行初等变换化为1 0 ,那么向量组0 50 0一个极大无关组是1,2,3,其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为4315223.2. 设3 维向量空间的一组基为1(1,1,0),2(1,0,1),3(0,1,1)，那么向量 (2,0,0) 在这组基1下的坐标为1.13. 设V 1，V 2均为线性空间 V 的子空间，那么 L(V 1 V 2)V 1 V 2.208-09学年第一学期厦门大学?高等代数?期末试卷4. 数域K 上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是 _3_.而E 12E 21,E13E 31,E 23E 32是它的一组基.5. K 12上的线性变换定义如下：((a,b))(0,a)，那么Ker={(0,a)|aK}.Im={(0,a)|aK}.6. 设是数域K 上n 维线性空间 V 到m 维线性空间U 的线性映射, 那么为满射的充分必要条件是对任意 U,存在V,使得();Im U;dimImm;.〔请写出两个〕dimKer nm;在任意基下的矩阵都是行满秩的 ; 在某个基下的矩阵是行满秩的 〔.其中任两个均可〕7. 设1,2,...,n 和1, 2,..., n 是线性空间 V 的两组基，从 1,2,..., n到1,2,...,n 的过渡矩阵为P .假设 是V 上的线性变换且 (i ) i, i1,2,...,n ，那么 在基1, 2,..., n 下的表示矩阵是_P_.8. 设是线性空间V 上的线性变换，在基1, 2,...,n 下的表示矩阵为 A B ，其中A 为rr 矩C阵，那么存在V 的一个非平凡-不变子空间L(1,,r ).三、(8 分)设线性空间V 的向量组1,2,..., m 线性无关，V ，考虑向量组,1,2,...,m .求证：或者该向量组线性无关，或者 可由 1,2,...,m 线性表示.证明：假设,1,,m 线性相关，那么存在不全为0的数k 0,k 1,,k m 使得k 0+k 11+k mm0．我们断言，k 0 0．事实上，假设k 0=0，那么k 11+k mm 0．由1, 2,...,m 线性无关知k 1==k m =0．于是，k 0=k 1==k m =0．这与k 0,k 1, ,k m 不全为０相矛盾．因此，k 00．此时，k 1 k m m ．1k 0k 0从而，或者该向量组线性无关，或者可由1, 2,..., m 线性表示．四、(10分)设V 1,V 2分别是数域K 上的齐次线性方程组x 1x 2x n 与x 1x 2x n 0的解空间.证明K n1V 1V 2.3a1证明：法一：一方面，a2V1V2，有a1a2a n，那么a1a2a n0．故a1a2a n0a nV1V20．n n n na1a i a ia1a i a i i1a i1i1a i1n1n n1na2K n1，存在a2另一方面，V1,V2，使得＝＋n n n na a i a i a n a i a ini1i1i1i1a n a nn n n n 即K n1V1V2．因此，K n1V1V2．a1法二：一方面，a2a1a2a n，那么a1a2a n0．故V1V20．V1V2，有a2a1a n0a n11000另一方面，由于V1为方程组Ax0的解空间，其中A 01100，V2为方程组00011(n1)nBx0的解空间，其中B(1,1,,1)1n，所以dimV11,dimV2n1．故dimV1dimV2dimK n1．从而，K n1V1V2．11000法三：一方面，由于V1为方程组Ax0的解空间，其中A 01100，V2为方00011(n1)n程组Bx0的解空间，其中B(1,1,,1)1n，所以dimV11,dimV2n1．故dimV1dimV2dimK n1．4nnnna 1a ia ia 1a ia ii1i1i 1i1na 1na 1a 2Kn1，存在na 2n另一方面，V 1,V 2，使得＝＋nnnna na ia ia na ia ii1i1i 1i1n a nna nnn即K n1V 1 V 2．因此，K n1V 1V 2．五、(10分)设AK mn .证明：r(A)r 的充分必要条件是存在BK mr，CK rn ，使得r(B)r(C)r 且ABC .证明： 充分性： 由于BK mr ，C K rn 满足r(B)r(C)r 且ABC ，所以rr(B)r(C)rr(A)r(BC)r(B)r故r(A)r ．必要性： 由于r(A)r，所以存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q 使得AI r 0PQ ．令BPI r ,C(I r ,0)Q，那么BK mr ，CKrn满足r(B)r(C)r 且ABC ．六、(8分)设V,U,W 是有限维线性空间，:V U ，:WU 是线性映射.求证：存在线性映射:VW 使得的充分必要条件是 Im Im .证明： 充分性： 法一：取V 的一组基 1,2,, n ，由于ImIm，所以(i ) Im，1 in ，即存在iW 使得(i )(i )．定义线性映射:V W 满足(i )i,1in ，那么(i ) (i )( i ), 1 in ．因此，．法二：取V 的一组基1,2,,n ，U 的一组基1,2,,m ，W 的一组基1,2,,s ．设(1,2, ,n ) (1,2, ,m )A mn(1,2,,s )(1,2,,m )B ms5其中A(1,2,,n ),B(1,2, ,s )．由于ImIm ，所以L(1,2,s,n)L1(,2 ,s ，, 即)1 jn, jciji ．取i1C(c ij )s n ，那么A BC ．定义线性映射:V W 满足 (1, 2,, n )(1,2,, s )C ，那么.必要性： 对任意 Im，存在V 使得( )．由于，所以( )(())Im从而，ImIm．附加题:(本局部不计入总分)设V,U,W是有限维线性空间且dimVdimW ，:V U ， :W U 是线性映射.证明：存在可逆线性映射:V W 使得的充分必要条件是 ImIm.证明：充分性：法一：由于dimVdWim 且Im Im ，所以由维数公式知：dimKerdimKe ．r 取Ker的一组基1,2,,r ；Ker 的一组基1,2,, r ，将其扩充为V的一组基1,2,,r ,r1, n ，那么(r1),(n )是Im的一组基．由于Im Im ，所以(r 1),( n )是Im的一组基．设(i )( i ), r 1 i n ，由于 (r1), , (n )线性无关，所以r1,,n 线性无关．我们断言， 1, 2, ,r ,r1,,n 线性无关．事实上，假设k 11k 22krrk r1r 1knn0，那么将作用于上式得k r1(r1) k n (n )0．由于(r1), ,(n )线性无关，所以k r1k n 0．于是k 11 k 22k r r ＝０．又1, 2, , r 是Ker的一组基，故k 1k r从而，1, 2,,r ,r1,,n 线性无关．注意到dimW n ，故1,2,,r ,r1,,n 是W 的一组基．定义线性映射 :V W 满足(i )i ,1 i n ．由于1,2,,n 是V 的一组基，1,2,,n 是W的一组基，故 可逆．又(i )( i)( i ), 1i n ，从而．法二：取V 的一组基1,2,, n ，U 的一组基1,2,,s ，W 的一组基1, 2,, n ．设(1,2, ,n )(1,2,,s )A sn6(1,2,,n)(1,2,,s)B sn且dimIm dimIm r，那么r(A)r(B)r．于是，存在n阶可逆矩阵P,Q使得AP(A1,0), BQ(B1,0)，其中A1,B1K sr列满秩．由于Im Im，所以同上题证明可知存在n阶矩阵C使得A BC，那么(A1,0)AP BQ(Q1CP)．设Q1CP X11X12，其中X11是r阶方阵，那么X21X22(A1,0)(B1,0)X11X12．从而，A1B1X11．又A1列满秩，所以存在A2K rs使得A2A1I r．于X21X22是，I r A2A1(A2B1)X11，即X11是可逆矩阵．因此，存在可逆矩阵X Q X110P1使得0I n rBX BQ X110P1(B1,0)X110P1B1X11,0P1(A1,0)P1A0I nr0I nr定义线性映射:V W满足(1,2,,n)(1,2,,n)X由于X可逆且ABX，故可逆且．必要性：由于，所以同上题证明可知Im Im．又由:V W可逆可知1，所以Im Im．从而，Im Im．7。
一、填空题（每小题2分，共10分）1．多项式22009320101()(2)()2f x x x =+-的常数项为 。
2．设,,a b c 是方程30x px q ++=的三个根，则a bcb c a c a b = 。
3．线性方程组m n A x b ⨯=有无穷多解的充要条件是______________________。
4．设矩阵123012001A ---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭＝，则1A -的秩为 。
5．设实二次型123(,,)f x x x 的矩阵是111t ⎛⎫⎪⎝⎭，则123(,,)f x x x 是正定二次型的充要条件是 。
二、单选题（每小题2分，共10分）1．实数域上次数大于1的多项式()f x 有一实根是()f x 在实数域上可约的（ ）。
a) 必要非充分条件 b) 充分必要条件 c) 充分非必要条件 d) 既非充分又非必要条件2．行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则332313322212312111a a a a a a a a a =（ ）。
a) d - b) d c) 0 d) 不确定3．λ=（ ），非齐次线性方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解。
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 4．若矩阵A 满足20A A E ++=，则9A =（ ）。
a) A b) A - c) E d) 05．矩阵（ ）合同与200010005-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 。
a) 4000100010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭b) 300020005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭c) 100010001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭d) 200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三、判断题（每小题2分，共10分）1．若()()()h x f x g x ，则()()h x f x 或()()h x g x 。
2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一、填空（共40分，每小题4分）1.向量空间n P 的子空间12112{(,,,,0)0,}n k W x x x x x x P -=+=∈的维数为____________,它的一组基为__________________．2.已知111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2125312A a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量，则_______,_______a b ==特征向量α对应的特征值0___________λ=．3.k 满足___________时，二次型22212312132(1)22f x x k x kx x x x =--+---是负定的。
4.设矩阵20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与10002000B y -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则_________,________x y ==．5.在空间[]n P x 中，设变换σ为()(1)()f x f x f x →+-，则σ在基0(1)(1)1,(1,2,1)!i x x x i i n i εε--+===-下的矩阵为____________________．6.相似矩阵的特征值__________.7.向量)1,3,2,4(),4,3,2,1(==βα,则内积=),(βα___________. 8.若A 是实对称矩阵,则 A 的特征值为____________.9.n 元实二次型),,,(21n x x x f 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于___________________.10.对于线性空间V 中向量)1(,,,21≥r r ααα ,若在数域P 中有r 个不全为零的数r k k k ,,,21 ,使02211=+++r r k k k ααα ,则向量r ααα,,,21 称为_________.二、（15分）设V 是实数域上由矩阵A 的全体实系数多项式组成的空间，其中2100100,200A ωωω⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,求V 的维数和一组基.三、（15分）用非退化线性替换化二次型22212312132322448x x x x x x x x x ---++为标准形.四、（15分）在4P 中，求由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵，并求向量ξ在基1234,,,ηηηη下的坐标，设(1,0,1,0)ξ=1234(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)εεεε=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩； 1234(2,1,1,1)(0,3,1,0)(5,3,2,1)(6,6,1,3)ηηηη=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩.五、（15分）设1234,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换σ在这组基下的矩阵为1021121312552212⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪--⎝⎭ 1）求σ在基11242234334442,3,,2ηεεεηεεεηεεηε=-+=--=+=下的矩阵； 2）求σ的核与值域.2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A 答案一、填空（共40分，每小题4分）1、向量空间n P 的子空间12112{(,,,,0)0,}n k W x x x x x x P -=+=∈的维数为__2n -__________,它的一组基为122(1,1,0,,0,0),(0,0,1,,0,0),,(0,0,0,,1,0)n εεε-=-==_。
一、填空题（每小题4分，共24分）1．设四阶方阵234234(,,,), (,,,)A r r r B r r r αβ==，其中234,,,,r r r αβ均为四维列向量，且||4, ||1A B ==-，则|2|A B +=2．n 阶方阵A 满足2330A A E -+=，则1(4)A E -+=3．向量组 1(1,3,5,1)T α=-，2(2,1,3,4)T α=--，3(5,1,1,7)T α=-和4(7,7,9,1)T α=的一个极大无关组是 。
4．已知四元线性方程组Ax b =的三个解为123,,ξξξ，且1(1,2,3,4)T ξ=，23(3,5,7,9)T ξξ+=，()3R A =，则方程组的通解是 。
5．设x z A y x z y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A = 。
6．设二次型2222f x xy yz z =+-+，则其对应的矩阵A 的正特征值有 个。
二、单项选择题（每小题4分，共24分）1．若行列式10012010001x x x xx x =，则x =( )。
A ．1；B ．–1;C ．1±;D ．2±2．设矩阵111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中0,0, ,1,2,,i j a b i j n ≠≠=，则()R A 为（ ） A. 1； B ．2； C ．n ； D ．无法确定。
厦门大学《 线性代数 》课程试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业主考教师：线性代数教学组 试卷类型：（A 卷）3．向量组1234,,,αααα线性无关，则线性无关的是（ ）。
A ．12233441, , , αααααααα++++；B ．12233441, , , αααααααα----；C ．12233441, , , αααααααα+++-；D ．12233441, , , αααααααα++--。
一、单选题（32 分. 共8 题, 每题4 分）1) 设b 为3 维行向量，V ={(x1 , x2 , x3 ) | ( x1 , x2 , x3 ) =b}，则。
CA) 对任意的b ，V 均是线性空间；B) 对任意的b ，V 均不是线性空间；C) 只有当b = 0 时，V 是线性空间；D) 只有当b σ 0 时，V 是线性空间。
2)已知向量组I：α1 ,α2 ,...,αs 可以由向量组II：⎭1 , ⎭2 ,..., ⎭t 线性表示，则下列叙述正确的是。
AA)若向量组I 线性无关，则s t ；B) 若向量组I 线性相关，则s >t ；C) 若向量组II 线性无关，则s t ；D) 若向量组II 线性相关，则s >t 。
3)设非齐次线性方程组AX =⎭中未定元个数为n，方程个数为m，系数矩阵A 的秩为r，则。
DA)当r <n 时，方程组AX =⎭有无穷多解；B) 当r =n 时，方程组AX =⎭有唯一解；C) 当r <m 时，方程组AX =⎭有解；D) 当r =m 时，方程组AX =⎭有解。
4)设A 是m ⨯n 阶矩阵，B 是n ⨯m 阶矩阵，且AB =I ，则。
AA) r( A) =m, r(B) =m ；B) r( A) =m, r(B) =n ；C) r( A) =n, r(B) =m；D) r( A) =n, r(B) =n 。
5)设K 上3 维线性空间V 上的线性变换ϕ在基⋂,⋂{1 1 1,⋂ 下的表示矩阵是|1 0 1| ，则ϕ 在基⋂1 , 2⋂2 ,⋂3 下的表示矩阵是 。
C1 2 3|||1 1 1|{1 2 1112222{ 1 11| | |2|| || 2 |A) |2 0 2 |；B) | 11 10 1 |；C) |10 1 ；D)|2 0 2 |。
|1 2 1 || 1 | 2|1 2 1 || 1 |26)设ϕ是V 到U 的线性映射，dim V =n, dim U =m 。
数学与应用数学专业本科期末考试试卷（A ）课程名称： 高等代数 任课教师： 考试时间： 120 分钟 考试性质（学生填写“√”）：正常考试（ ）缓考补考（ ）重修（ ）提前修读（ ）一、填空题（每小题2分）1. 设n x f =∂))((, 且)()(x f x g , )()(x g x f , 则))((x g ∂=_________．2. 在数域P 上有根, 但是在P 上不可约的多项式是__________多项式．3. )(x f 是首项系数为1的实系数三次多项式. 若0)()3(==i f f , 则)(x f =_________________．4. 在行列式55511511a a a a 中, 含有32a 且带有负号的项共有_________项．5. 在行列式1314021b a -中, b 的代数余子式为-24, 则a =________．6. 当矩阵A=______时, 秩A=0.7. 已知A 为三阶矩阵, 且A =1, 则A 2-=_________．8. 向量组{k ααα,,,21 }和{m βββ,,,21 }的秩分别是s 和t , 则{k αα,,1 ,m ββ,,1 }的秩r 与s ,t 适合关系式____________．9. 设A 为n 阶方阵, X 1, X 2均为方程组AX=B 的解, 且21X X ≠, 则A =____．10. 设A, B 都是三阶方阵, 秩A=3, 秩B=2, 则秩(AB)=____________．二、单选题（每小题2分））.(A) S 1={Z n m mn ∈,2}; (B) S 2={Z b a bi a ∈+,};(C) S 3={Z z nz ∈}; (D) S 4={Q b a b a ∈+,2}．2. 设0)(≠x f , 且)())(),((x d x g x f =, )()()()()(x d x v x g x u x f =+, 则错误的结．．．．论．是( ). (A) 1))()(,)()((=x d x g x d x f ; (B) )())(),((x d x v x u =; (C) )())(),()((x d x g x g x f =+; (D) )())(),((m m m x d x g x f =．3. 设行列式D 1=333231232221131211a a a a a a a a a , D 2=313233212223111213a a a a a a a a a ,则下面结论正确的有( ). (A)D 2=－D 1； (B)D 2=0； (C)D 2与D 1无关； (D)D 2=D 1．4. )(x f =xx x x x111123111212-中 4x 的系数为（ ）(A) 1, (B) 2, (C) 0, (D) 3．5. 22)13)()(1()(--+=x i x x x f 在复数域上的标准分解式是（ ）(A)22)13)()(1(--+x i x x ; (B) 22)13())((--+x i x i x ;(C)22)31())((--+x i x i x ; (D) 22)31())((9--+x i x i x ．6．若r ααα,,,21 是线性无关的向量组, 则r r k k k ααα,,,2211 也线性无关的条件是（ ）(A) r k k k ,,,21 不全为零, (B) r k k k ,,,21 全为零, (C) r k k k ,,,21 全不为零, (D)以上结论都错．7. 在一个含有n 个未知数m 个方程的线性方程组中，若方程组有解，则（ ） (A) m ＞n ； (B) m ＜n ； (C) m =n ； (D)与m ,n 的大小无关． 8. 若矩阵A 的秩为r ，则（ ）(A)A 有r 阶非零子式； (B)A 有r 阶非零子式且任意r +1阶子式为0； (C)A 的任意r +1阶子式为0； (D)A 的r 阶子式都不等于0． 9. 下列矩阵中( )不是初等矩阵(A)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001; (B)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010100; (C)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001; (D)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101．10. 若数域P 上三元齐次线性方程组0=AX 的基础解系中仅含有一个向量,则其系数矩阵的秩是( )(A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3．三、判断正误（每小题2分）1. 若)()()(21x f x f x g +, 且)()()(21x f x f x g -, 则)()(1x f x g ,且)()(2x f x g .( )2. 若n 级行列式D ≠0, 则D 的n-1阶子式不全为零. ( )3. 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵. ( )4. 若A,B 均为n 阶可逆矩阵, 则A+B 也是n 阶可逆矩阵． ( )5. 等价的向量组含有相同个数的向量． ( ) 四、计算题（第1、2小题每题10分，第3小题15分）1. 计算n 阶行列式nnna a a a a a a a a a a a +++111321321321．2. 设111111022110110211X --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求矩阵X ．3. 用导出组的基础解系表出线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++-=---+=-++=+-++55493123236232335432154321432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解.五、证明题（第1小题7分，第2小题8分）1. 设P[x]的多项式)(x f 与不可约多项式)(x p 有一个公共根, 则)()(x f x p ．2. 若方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++++++11212111221111212111n n n n n n n n nn n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 有解, 则行列式111111111+++n nn n n nnn n b a a b a a b a a=0．。
06-07学年第三学期厦门大学数学科学学院《高等代数》期末试卷注意：所有答案请写在答题纸上一 选择题（8题×4分）1．设A 是n 阶对称正定阵，则12n A A I -+-是___ _。
A. 正定阵B. 半正定阵C. 负定阵D. 半负定阵2． 设A 是n 阶非零实对称阵，则A 是半正定阵的充要条件是___ _。
A. A 的所有k 阶子式非负（1k n ≤≤）B. 存在n 阶非零矩阵B ，使得A B B '=C. 对元素全不为零的向量x ，总有0x Ax '≥D. 存在非零向量x ，使得0x Ax '≥3．设1212(,),(,)a a b b αβ==是二维行空间2R 中的任意两个向量，则2R 对以___ _为规定的内积构成欧氏空间。
A. 1221(,)a b a b αβ=+B. 1122(,)a b a b αβ=-C. 1122(,)35a b a b αβ=+D. 1122(,)1a b a b αβ=++ 4．设12,V V 是欧氏空间V 的子空间，12,⊥⊥V V 分别是12,V V 的正交补空间，则下列叙述中错误的是___ _。
A. 1212)⊥⊥⊥+=(V V V V IB. 1212)⊥⊥⊥=+(V V V V IC. 若12⊕V=V V ，则21⊥=V VD. 若21⊆V V ，则12⊥⊥⊆V V 5．设,A B 是n 阶矩阵，则下列叙述中错误的是___ _。
A. 若,A B 是正交阵，则AB 也是正交阵B. 若,A B 是正定阵，则A B +也是正定阵C. 若,A B 是正交阵，则B AB '也是正交阵D. 若,A B 是正定阵，则1B AB -也是正定阵 6．设,A B 是n 阶实对称阵，则下列说法正确的有___ _个。
①,A B 的特征值相同的充要条件是,A B 相似 ②,A B 的特征值相同的充要条件是,A B 正交相似③,A B 的特征值相同的充要条件是,A B 合同 ④,A B 的特征值相同的充要条件是,A B 相抵A. 1B. 2C. 3D. 4厦门大学《高等代数》课程试卷数学科学学院 所有 系2007年级 各 专业 主考教师：杜妮、林鹭试卷类型：（A 卷）2008.7.227．设,A B 是n 阶实对称阵，则,A B 满足___ _时，,A B 必相似。
1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。
4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。
5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。
1011学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷厦门大学《高等代数》课程试卷数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型：（A 卷）2011.1.13一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）1)设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。
CA) 对任意的b ，V 均是线性空间； B) 对任意的b ，V 均不是线性空间； C) 只有当 0 b = 时，V 是线性空间； D) 只有当 0 b ¹ 时，V 是线性空间。
2) 已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。
AA) 若向量组 I 线性无关，则s t £ ； B) 若向量组 I 线性相关，则s t > ； C) 若向量组 II 线性无关，则s t £ ； D) 若向量组 II 线性相关，则s t > 。
3) 设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。
DA) 当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解； C) 当r m < 时，方程组AX b = 有解； D) 当r m = 时，方程组AX b = 有解。
4)设 A 是m n ´ 阶矩阵，B 是n m ´ 阶矩阵，且AB I = ，则____。
AA) (),() r A m r B m == ； B) (),() r A m r B n == ； C) (),() r A n r B m == ；D) (),() r A n r B n == 。
5)设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 æöç÷ç÷ ç÷ èø，则j 在基123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。
数学系《高等代数》期末考试试卷年级 专业 学号 姓名注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。
；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分） 1．向量空间一定含有无穷多个向量. ( )2．若向量空间V 的维数2dim ≤V ,则V 没有真子空间. ( )3. n 维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( )4．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组. ( )5．每一个线性变换都有本征值. ( )6．若向量ξ是线性变换σ的属于本征值λ的本征向量，则由ξ生成的子空间 为σ的不变子空间. ( )7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换. ( )8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩. ( )9. 若两个n 阶实对称矩阵B A ,均正定,则它们的和B A +也正定. ( )号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分）1. 下列命题不正确的是 ( ).A. 若向量组},,,{21r ααα 线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量组也线性无关；B. 若向量组},,,{21r ααα 线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合；C.若向量组},,,{21r ααα 线性无关，且每一i α可由向量},,,{21s βββ 线装订线性表示，则s r ≤；D. )0(>n n 维向量空间的任意两个基彼此等价.2. 下列关于同构的命题中，错误的是( ).A ．向量空间V 的可逆线性变换是V 到V 的同构映射；B ．数域F 上的n 维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域F 上的所有n 阶矩阵所成向量空间同构；C ．若σ是数域F 上向量空间V 到W 的同构映射，则1-σ是W 到V 的同构映射；D ．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构.3．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角矩阵相似的 ( ).A ．充分而非必要条件；B ．必要而非充分条件；C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．4．二次型⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21213211312),(),,(x x x x x x x q 的矩阵是( ). A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1312； B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1112；C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000013013；D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000110125.实二次型Ax x x x x q '=),,(321正定的充分且必要条件是 ( ).A ．0>A ；B ．秩为3；C ．A 合同于三阶单位矩阵；D ．对某一,0),,(321≠'=x x x x 有0>'Ax x .1. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间，它的一个基是________.2. 设},,2,1,),,,{(21n i F x x x x F i n n =∈=是数域F 上n 元行空间，对任意n n F x x x ∈),,,(21 ，定义),,,,0,0()),,,((22121-=n n x x x x x x σ，则σ是一个线性变换，且σ的核)(σKer 的维数等于______.3. 若A 是一个正交矩阵，则2A 的行列式2A =________.4. 在欧氏空间3R 中向量)0,0,1(1=α与)0,1,0(2=α的夹角θ=______.5. 实数域Ｒ上5元二次型可分为_______类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价.42分）1．求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=+++=+++033450220230432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=230120001A ,求A 的特征根及对应的特征向量.问A 是否可以对角化？若可以，则求一可逆矩阵T ，使AT T 1-为对角形.3． 写出3元二次型32213214),,(x x x x x x x q +=的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为只含变量的平方项.五．证明题（每小题10分，共20分）1．设21,λλ为n 阶矩阵A 的属于不同特征根，21,ξξ分别是A 的属于21,λλ的特征向量，证明21ξξ+不是A 的特征向量.2．设σ是n 维欧氏空间V 的正交变换，且ισ=2为单位变换，A 是σ关于V 的某一规范正交基的矩阵，证明A 为对称矩阵．数学系《高等代数》期末考试试卷（A 卷）年级 专业 学号 姓名 注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。
2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷B1专业： 考试日期： 所需时间：120分钟 总分：100分 闭卷一、选择题（5分×5）1设A 为型矩阵，B 为型矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若AB=E ，则（ ）AA 、秩r(A)=m, 秩r(B)=mB 、秩r(A)=m, 秩r(B)=nC 、秩r(A)=n, 秩r(B)=mD 、秩r(A)=n, 秩r(B)=n2设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是（A ）.（A ） 122331,,αααααα---； （B ） 122331,,αααααα+++； （C ） 1223312,2,2αααααα---； （D ） 1223312,2,2αααααα+++.3线性方程组Ax b =的系数矩阵式45⨯矩阵，且A 的行向量线性无关，则错误的命题是（ D ）.(A) 齐次方程组0TA x =只有零解； （B ）齐次方程组0T A Ax =必有非零解； (C) 对任意的b ，方程组Ax b =必有无穷多解； (D) 对任意的b ，方程组TA x b =必有唯一解.4 设102011101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 满足2AB A B E =--，则()B E -=.B（A ）17；（B ）97-；（C ）97；（D ）1-.5 设,A B 是满足0AB =的任意两个非零矩阵，则（ A ）. （A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组必线性相关； （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组必线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组必线性相关； （D ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组必线性相关.二、填空题 （5分×5）6 设A 为3阶矩阵，2A =-，把A 按行分块为123A A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则行列式312123___.A A A A -= ——67设1231212011311042025kA ⎛⎫⎪- ⎪⎪=⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，且A 得秩为3，k =___1___.8 设()1,,(1,,,)Ti i in a a i r r n α==<是n 维实向量，且1,,r αα线性无关，已知()1,,T n b b β=是线性方程组11110n r rn a a x a a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭的非零解，判断向量组1,,,r ααβ的线性相关性.___________【解】根据定义来判断.设()1,,,0r s ααβ=，这里()11,,Tr s s s +=.由题意，0T i αβ=，则0T i βα=.由()1,,,0r s ααβ=得()1110T r r r s s s βααβ++++=，即()1110T T T r r r s s s βαβαββ++++=.所以10T r s ββ+=，10r s +=.又因为1,,r αα线性无关，10r s s ===.所以向量组1,,,r ααβ的线性无相关.院系：—————— 专业班级：——————— 姓名：——————— 学号：——————装 订 线9 判断二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定_______.【解】f 所对应的矩阵为524212425-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，它的顺序主子式5245250,0,2120.21425->>->--所以 f 正定.10已知平面上三条不同直线的方程分别为230,230,ax by c bx cy a ++=++=230,cx ay b ++=试证明这三条直线交于一点的充要条件是0a b c ++=.三、解答题. （10分×5）11设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100x b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（1） 证明行列式(1)nA n a =+；（2） 当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ； （3） 当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．【解】（1） 方法一：数学归纳法证明(1)nn D n a =+．1k =时，12D a =，假设1k n ≤-时，(1)kk D n a =+．则当k n =时，21221222(1)(1).n n n n n n D aD a D ana a n a n a ----=-=--=+方法二：递推法．由2122n n n D aD a D --=-，得到211212222321()()().n n n n n n n nn n D aD aD a D a D aD a D aD aD aD a ---------=-=-=-==-=所以，()122221212(2)(1)(1).n n n n n n nn n n nD a a a aD a a D n a aD n a aD n a -----=++=+==-+=-+=+（2） 当0a ≠时，0n D ≠，方程组有唯一解．11(1)(1)n nna nx n a n a-==++． （3） 当0a =时，()1r A n =-，(|)1r A b n =-，所以方程组有无穷多解，通解为01100000x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．12246123__4812n A A -⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭已知，则.【解】()()()()212123422212312381238444(8)n n A A A A A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-1，故111，所以。
厦门大学2007至2008学年第二学期高等代数期末考试试题 AA.（2向二坷為+曲勾B.C.（30 二 +方也D.设％勺是欧氏空间V 的子空间， *用分别是（2沟二竝+业+1叙述中错误的是___亠厦门大学《高等代数》课程试卷数学科学学院 所有系2007年级 距专业 主孝教师：社規，林鹫试卷类型:（A 春）2BD8.7J2注意：所有答案请写在答题纸上选择题（8题X 4 分）1.设/是n 阶对称正定阵，贝U 虫+川一弘是___ _A. /的所有k 阶子式非负（）B.存在n 阶非零矩阵5，使得C.对元素全不为零的向量X ,总有 仏丸D.存在非零向量X ,使得3.设& =（知对后 傀对）是二维行空间W 中的任意两个向量，则W 对以 为规定的内积构成欧氏空间。
B.半正定阵C.负定阵 A.正定阵负定阵2.设卫是n 阶非零实对称阵，则/是半正定阵的充要条件是D.半4. %勺的正交补空间，则下列C.若“耳矶，则哄叶5 .设儿5是n 阶矩阵，贝U 下列叙述中错误的是 _____ 。
A.若AS 是正交阵，则45也是正交阵B.若AS 是正定阵，则A+B 也是正定阵C.若虫』是正交阵，则B'^AB 也是正交阵D.若扎5是正定阵，则沪療也 是正定阵6.设 儿5■是 n 阶实对称阵，则下列说法正确的有___ _个。
扎5相似 ②虫』的特征值相同的充要条件是AB 正交相似件是4,5相抵7.设是n 阶实对称阵，则』/满足 ____________ 寸，必相似。
A. 蚀U ）二旳⑷，其中讪分别为虫』B. 加）=加），其中加）=加）分别为几』的特征多项式C. F （虫）二他，且乂的正惯性指数等于刃的正惯性指数D. |/冃引，且丄的正惯性指数等于5的正惯性指数8 .设卩是n 维欧氏空间V 上的自伴随算子，贝U 下列说法正确的有 ___ _个。
①卩在V 的任意一组基下的表示矩阵是实对称阵 ②卩在V 的任意一组标准正交基下的表示矩阵是实对称阵 ③卩在V 的某组基下的表示矩阵是对角阵④卩在V 的某组标准正交基下的表示矩阵是对角阵D.若EuV],则Wc 盼①虫』的特征值相同的充要条件是 ③的特征值相同的充要条件是虫』合同 ④的特征值相同的充要条A. 1B. 2C. 3D.的极小多项式二填空题（8题X 4分）设/是实对称阵，且川机，则/= __________ 0 写出实对称阵丄是正定的三个充要条件充要条件是用Gram-Schmit 正交化方法求由厶=（1丄1，1）占=（-144广1）占二（4,-2厂2』）所张成的子空间的一组标准正交基（取标准内积）设坷吗角 是三维欧氏空间V 的一组基，其度量矩阵为 量，则 ||0||二设Y1用是n 维欧氏空间V 的子空间，且V&E ，则dimVi+dimVf （选择 <,<>,>）0设虫』是n 阶正交阵，若MI + I 月4° 设乂是2阶正交阵，则乂必形如（8分）于1的两个特征向量。
厦门大学《高等代数》课程试卷数学科学学院 各 系 2008 年级 各 专业信息科学与技术学院 计算机科学 系 2008 年级 CST 专业特别说明：答案写在答题纸上一、 单选题（32分. 共8题, 每题4分）1.下列说法错误的是___B____.A) 若向量组123,,ααα线性无关，则其中任意两个向量线性无关； B) 若向量组123,,ααα中任意两个向量线性无关，则123,,ααα线性无关； C) 向量组122331,,αααααα---线性相关；D) 若向量组123,,ααα线性无关，则112123,,αααααα+++线性无关.2. 设n 维列向量12,,...,m ααα()m n <线性无关, 则n 维列向量12,,...,m βββ线性无关的充要条件是___D____.A) 向量组12,,...,m ααα可由向量组12,,...,m βββ线性表示； B) 向量组12,,...,m βββ可由向量组12,,...,m ααα线性表示； C) 向量组12,,...,m ααα与向量组12,,...,m βββ等价； D) 矩阵12(,,...,)m A ααα=与矩阵12(,,...,)m B βββ=相抵. 3.设线性方程组0Ax =的解都是线性方程组0Bx =的解，则__C__.A) ()()r A r B <； B) ()()r A r B >； C) ()()r A r B ≥；D) ()()r A r B ≤.4.设n 阶方阵A 的伴随矩阵*0A ≠，非齐次线性方程组Ax b =有无穷多组解，则对应的齐次线性方程组0Ax =的基础解系__ B __. A) 不存在；B) 仅含一个非零解向量；C) 含有两个线性无关的解向量； D) 含有三个线性无关的解向量. 5.下列子集能构成22R⨯的子空间的是___B____.A) 221{|||0,}V A A A R ⨯==∈；B) 222{|()0,}V A tr A A R ⨯==∈；C) 2223{|,}V A A A A R ⨯==∈；D) 224{|,}V A A A A A R ⨯'==-∈或.6.设V 是数域K 上的线性空间, V 上的线性变换ϕ在基12,,...,n ααα下的矩阵为A 且||2A =，若ϕ在基11,,...,n n ααα-下的矩阵为B , 则||B =A) 2n ；B) 2； C)12； D) 不能确定.7.设V 是n 维向量空间，ϕ和ψ是V 上的线性变换，则dimIm dimIm ϕψ=的充分必要条件是A)ϕ和ψ都是可逆变换； B) Ker ϕ=Ker ψ；C) Im Im ϕψ=； D) ϕ和ψ在任一组基下的表示矩阵的秩相同.8.设ϕ是线性空间V 到U 的同构映射,则下列命题中正确的有个. (Ⅰ)ϕ为可逆线性映射；(Ⅱ) 若W 是V 的s 维子空间, 则()ϕW 是U 的s 维子空间； (Ⅲ)ϕ在给定基下的表示矩阵为可逆阵；(Ⅳ) 若12V=V V ⊕, 则1212)))ϕϕϕ⊕=⊕(V V (V (V . A) 1B) 2C) 3D) 4二、 填空题（32分. 共8题,每题4分）1. 若矩阵1234(,,,)A αααα=经过行初等变换化为1003002401050000-⎛⎫⎪⎪⎪-⎪⎝⎭, 那么向量组1234,,,αααα的一个极大无关组是其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为.2. 设3维向量空间的一组基为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)ααα===，则向量(2,0,0)β=在这组基.3. 设1V ，2V 均为线性空间V 的子空间，则12()L V V ⋃=4. 数域K 上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是的一组基.5. 已知12K ⨯上的线性变换ϕ定义如下：((,))(0,)a b a ϕ=-，则Ker ϕ=Im ϕ6. 设ϕ是数域K 上n 维线性空间V 到m 维线性空间U 的线性映射, 则ϕ为满射的充分必要条件是（请写出两个）7. 设12,,...,n ααα和12,,...,n βββ是线性空间V 的两组基，从12,,...,n ααα到12,,...,n βββ的过渡矩阵为P . 若ϕ是V 上的线性变换且,()i i ϕαβ=1,2,...,i n =，则ϕ在基12,,...,n βββ下的表示矩阵是8. 设ϕ是线性空间V上的线性变换，ϕ在基12,,...,n ααα下的表示矩阵为0A B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中A 为r r ⨯矩阵，则存在V 的一个非平凡ϕ-三、(8分) 设线性空间V 的向量组12,,...,m ααα线性无关，V β∈，考虑向量组12,,,...,m βααα.求证：或者该向量组线性无关，或者β可由12,,...,m ααα线性表示.证明： 若1,,,m βααL 线性相关，则存在不全为0的数01k ,k ,,k m L 使得011k +k +k 0m m βαα+=L ．我们断言，0k 0≠．事实上，若0k =0，则11k +k 0m m αα+=L ．由12,,...,m ααα线性无关知1m k ==k =0L ．于四、(10分) 设1V ,2V 分别是数域K 上的齐次线性方程组12n x x x ===L 与120n x x x +++=L 的解空间. 证明112n KV V ⨯=⊕.证明：法一：一方面，∀1212naaV Va⎛⎫⎪⎪∈⋂⎪⎪⎝⎭M，有1212nna a aa a a===⎧⎨+++=⎩LL，则12na a a====L．故五、(10分) 设m n A K ⨯∈. 证明：()r A r =的充分必要条件是存在m r B K ⨯∈，r n C K ⨯∈，使得()()r B r C r ==且A BC =.证明： 充分性： 由于m rB K⨯∈，r nC K⨯∈满足()()r B r C r ==且A BC =，所以()()()()()r r B r C r r A r BC r B r =+-≤=≤=故()r A r =．必要性： 由于()r A r =，所以存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q 使得000rI A P Q ⎛⎫=⎪⎝⎭．令,(,0)0r r I B P C I Q ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则m r B K ⨯∈，r n C K ⨯∈满足()()r B r C r ==且A BC =．六、(8分) 设V , U, W 是有限维线性空间，:V U ϕ→，:W U ψ→是线性映射. 求证：存在线性映射:V W σ→使得ϕψσ=的充分必要条件是Im Im ϕψ⊆.证明： 充分性： 法一：取V 的一组基12,,,n αααL ，由于Im Im ϕψ⊆，所以()Im i ϕαψ∈，1i n ∀≤≤，即存在i W β∈使得()()i i ϕαψβ=．定义线性映射:V W σ→满足(),1i i i n σαβ=∀≤≤，则()()(),1i i i i n ψσαψβϕα==∀≤≤．因此，ψσϕ=．法二：取V 的一组基12,,,n ξξξL ，U 的一组基12,,,m ηηηL ，W 的一组基12,,,s γγγL ．设1212(,,,)(,,,)n m m n A ϕξξξηηη⨯=L L1212(,,,)(,,,)s m m s B ψγγγηηη⨯=L L其中1212(,,,),(,,,)n s A B αααβββ==L L ．由于Im Im ϕψ⊆，所以1212(,,,)(,,,)n s L L αααβββ⊆L L ，即11,sj ij ii j n c αβ=∀≤≤=∑．取()ij s n C c ⨯=，则A BC =．定义线性映射:V W σ→满足1212(,,,)(,,,)n s C σξξξγγγ=L L ，则ϕψσ=.必要性： 对任意Im βϕ∈，存在V α∈使得()βϕα=．由于ϕψσ=，所以()βϕα=(())Im ψϕαψ=∈ 从而，Im Im ϕψ⊆．附加题: (本部分不计入总分)设V , U, W 是有限维线性空间且dim dim V W =，:V U ϕ→，:W U ψ→是线性映射. 证明：存在可逆线性映射:V W σ→使得ϕψσ=的充分必要条件是Im Im ϕψ=.证明： 充分性：法一：由于dim dim V W =且Im Im ϕψ=，所以由维数公式知：dim dim Ker Ker ϕψ=．取Ker ψ的一组基12,,,r ηηηL ；Ker ϕ的一组基12,,,r ξξξL ，将其扩充为V的一组基121,,,,,r r n ξξξξξ+L L ，则1(),()r n ϕξϕξ+L 是Im ϕ的一组基．由于Im Im ϕψ=，所以1(),()r n ϕξϕξ+L 是Im ψ的一组基．设()(),1i i r i n ϕξψη=∀+≤≤，由于1(),,()r n ψηψη+L 线性无关，所以1,,r n ηη+L 线性无关．我们断言，121,,,,,,r r n ηηηηη+L L 线性无关．事实上，若1122110r r r r n n k k k k k ηηηηη++++++++=L L ，则将ψ作用于上式得11()()0r r n n k k ψηψη++++=L ．由于1(),,()r n ψηψη+L 线性无关，所以10r n k k +===L ．于是1122r r k k k ηηη+++L ＝０．又12,,,r ηηηL 是Ker ψ的一组基，故10r k k ===L从而，121,,,,,,r r n ηηηηη+L L 线性无关．注意到dim W n =，故121,,,,,,r r n ηηηηη+L L 是W 的一组基． 定义线性映射:V W σ→满足(),1i i i n σξη=∀≤≤．由于12,,,n ξξξL 是V 的一组基，12,,,n ηηηL 是W 的一组基，故σ可逆．又()()(),1i i i i n ψσξψηϕξ==∀≤≤，从而ϕψσ=．法二： 取V 的一组基12,,,n ξξξL ，U 的一组基12,,,s γγγL ，W 的一组基12,,,n ηηηL ．设1212(,,,)(,,,)n s s n A ϕξξξγγγ⨯=L L1212(,,,)(,,,)n s s n B ψηηηγγγ⨯=L L且dimIm dimIm r ϕψ==，则()()r A r B r ==．于是，存在n 阶可逆矩阵,P Q 使得1(,0),AP A =1(,0)BQ B =，其中11,s r A B K ⨯∈列满秩．由于Im Im ϕψ=，所以同上题证明可知存在n 阶矩阵C 使得A BC =，则11(,0)()A AP BQ Q CP -==．设111212122X X Q CP X X -⎛⎫=⎪⎝⎭，其中11X 是r 阶方阵，则1112112122(,0)(,0)XX A B X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭．从而，1111A B X =．又1A 列满秩，所以存在2r sA K ⨯∈使得21r A A I =．于是，212111()r I A A AB X ==，即11X 是可逆矩阵．因此，存在可逆矩阵11100n r X X Q P I --⎛⎫=⎪⎝⎭使得()111111111111100(,0),0(,0)00n r n r X X BX BQ P B P B X P A P A I I ------⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭定义线性映射:V W σ→满足1212(,,,)(,,,)n n X σξξξηηη=L L由于X 可逆且A BX =，故σ可逆且ϕψσ=．必要性： 由于ϕψσ=，所以同上题证明可知Im Im ϕψ⊆．又由:V W σ→可逆可知1ψϕσ-=，所以Im Im ψϕ⊆．从而，Im Im ϕψ=．。
1 12 2 2 2 1 1厦门大学《高等代数》期末考试试卷（真题归纳）一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）1)设b 为 3 维行向量， V = {(x 1 , x 2 , x 3 ) | ( x 1 , x 2 , x 3 ) = b }，则。
CA) 对任意的b ，V 均是线性空间； B) 对任意的b ，V 均不是线性空间； C) 只有当b = 0 时，V 是线性空间； D) 只有当b σ 0 时，V 是线性空间。
2)已知向量组 I ：α1 ,α2 ,...,α s 可以由向量组 II ： ⎭1 , ⎭2 ,..., ⎭t 线性表示，则下列叙述正确的是。
AA) 若向量组 I 线性无关，则s t ； B) 若向量组 I 线性相关，则s > t ； C) 若向量组 II 线性无关，则s t ；D) 若向量组 II 线性相关，则s > t 。
3)设非齐次线性方程组 AX = ⎭ 中未定元个数为 n ，方程个数为 m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则。
DA) 当 r < n 时，方程组 AX = ⎭ 有无穷多解； B) 当r = n 时，方程组 AX = ⎭ 有唯一解；C) 当r < m 时，方程组 AX = ⎭ 有解； D) 当r = m 时，方程组 AX = ⎭ 有解。
4)设 A 是m ⨯ n 阶矩阵， B 是 n ⨯ m 阶矩阵，且 AB = I ，则。
AA) r ( A ) = m , r (B ) = m ；B) r ( A ) = m , r (B ) = n ；C) r ( A ) = n , r (B ) = m ；D) r ( A ) = n , r (B ) = n 。
5)设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换ϕ 在基⋂ ,⋂ {1 1 1 ,⋂ 下的表示矩阵是|1 0 1|，则ϕ 在基⋂1 , 2⋂2 ,⋂3 下的表示矩阵是 。
C1 2 3| | |1 1 1|{ 1 2 1{ 1 1 1{ 1 2 1{ 1 1 1| | | 2 || | | 2 | A) | 2 0 2 | ；B) | 0 1 | ； C) | 10 1 | ； D) | 2 0 2 | 。
2020-2021学年第一学期 高等数学期末考试厦门大学2020年第1学期高等数学期末考试试卷2020-2021学年第1 学期 考试科目：高等数学A Ⅰ考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．0sin 5lim 2x xx →= 。
2．曲线2x xe e y -+=在点(0,1)处的曲率是 。
3．设()f x 可导，[]ln ()y f x =，则dy =。
4．不定积分⎰=。
5．反常积分60x e dx +∞-⎰= 。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.函数的图形如图示，则（）.A.是该函数的一个极小值点，且为最小值点B.是该函数的一个极小值点，但不是为最小值点C.是该函数的一个极大值点D.不是该函数的一个极值点2.若函数有一个原函数，则不定积分（）.A.B.C.D.3.若定积分（）.A.B.C.D.4.定积分A.B.C.D.5.曲线的凸区间是（）．2020-2021学年第一学期 高等数学期末考试A.B.C.D.三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1. 计算极限.2. dxt A dy t A t f y e x t f t f t f )()()(cos 0)()(2)(=⎪⎩⎪⎨⎧==≠'使试求若可微且设.3. 设在[a ，b ]上连续，且，试求出。
4．求极限 011lim 1x x xe x →+⎛⎫- ⎪-⎝⎭.5．求6．计算定积分1ln ex xdx ⎰。
7．设dt t tx f x ⎰=21sin )(，计算dx x xf ⎰10)( 10(1)lim x x x ex →+-)(x f ],[)()()(b a x dt t f t x x F xa ∈-=⎰)(x F ''3cos .sin xx dx x ⎰.四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 明不等式：当0x >时，3sin 6x x x >-。
