北航2012工程热力学补考试卷

宁波工程学院2011〜2012学年第二学期《工程热力学》课程期终考试卷（A）■I■iII号一、填空题（每格1分，共15分）[|1. 卡诺循环由两个可逆定温过程和两个可逆绝热过程组成。

2. 迈耶公式G-C v=R g适用于理想气体，是否定比热容不限。

3. 绝热过程P厂常数，k=C p/C v，适用于理想气体，定比热容。

4. 绝热系是与外界无热量交换的热力系。

I ---------i 5.热力系在不受外界影响的条件下，系统的状态能够始终保持不变，这种状态称为平衡: 状态。

姓 6.稳定流动系统能量方程式q dh vdp的适用条件是：稳定流动。

II7. 同一理想气体从同一初态分别经过定温压缩，绝热压缩和多变压缩 1 n k到达同一终压力，耗功最大的为绝热压缩过程，而耗功最小的为定温—压缩过程。

8. 卡诺机A工作在927C和T的两个热源间，卡诺机B工作在T和27C的两个热源间。

当此两个热机的热效率相等时，T热源的温度T= 600K。

9. 如图所示的容器，被一刚性壁分成两部分，环境压力为，压力表B的读数为40kPa，真空I计C的读数为30kPa，则容器两部分内气体绝对压力P1 _，p2 _。

■I10. 活塞式压气机由于存在余隙容积，压缩耗功不变，产气量减小，随比压增大，容积效: 率减小。

（填“增加”、“不变”或“减小”）级班1■II二、选择题（每题1分，共10分）■II1. 准静态过程，系统经过的所有状态都接近于D: A 初态B 、环境状态C、邻近状态D、平衡状态■I2. 有一机器可从单一热源吸收1000KJ热量，并输出1200KJ功，这台机器DI| A、违反第一定律E、违反第二定律C一个都不违反D两个都违反3. 若已知工质的绝对压力P=,大气压力P=，则测得压差A] A真空度为 B 、表压力MPaC真空度 D 、表压力MPaC 任何气体可逆绝热过程D 、理想气体可逆绝热过程贮有空气的绝热刚性密闭容器中，安装有电加热丝，通电后，如取空气为系统，则过程 中的能量关系有CA C >0 , A U >0 , W >0BC =0, A U >0 , W <0CQ >0 , △ U >0 , W =0 D C =0 , A U =0 , W =09. 一个橡皮气球在太阳下被照晒，气球在吸热过程中膨胀，气球内的压力正比于气球的容 积。

作业：思考题1－5，1－7；习题1－6。

S 1-5：何为平衡状态？平衡状态和均匀状态是否同一概念？平衡必须满足什么条件？系统不受外界影响的条件下，如果各部分的宏观状态参数不随时间变化，系统处于平衡状态。

平衡状态和均匀状态不是同一概念。

平衡状态强调不受外界影响＋状态参数不随时间变化；均匀状态强调的是状态参数不随空间变化，空间分布均匀。

举例：封闭刚性容器内的水和水蒸汽混合物，处于平衡状态，但不处于均匀状态。

平衡条件：力平衡、温度平衡、化学平衡－无势差。

注意：要讲清楚二者的区别，而不是简单的判断和给出定义描述。

S 1-7：可逆过程与平衡过程（内平衡过程）有何区别？造成不可逆的因素有哪些？可逆过程一定是平衡过程，平衡过程不一定是可逆过程；无耗散（无摩擦）的平衡过程是可逆过程。

造成不可逆的因素：胀缩时有力不平衡、传热有温差，运动有摩擦。

注意：要讲清楚二者的区别，而不是简单的判断和给出定义描述。

X 1－6： 解：1760 1.03323 1.01325atm mmHg at bar === 19.829.82/1.033239.504p at atm atm === 2 4.24 4.24/1.01325 4.185p bar atm atm ===745745/7600.98B mmHg atm atm === 19.5040.9810.484A p p B atm =+=+= 2B A p p p +=210.484 4.185 6.299B A p p p atm =-=-= 注意：2B p p B =+是错误的；“真空度”：v p B p =-，B 一般特指地面标准大气压，1B atm =，所以1v p atm <。

S2-5：功是过程量，而推挤功pv 却只取决于状态，怎么理解？热力学力里的功是广义功，体系作功的大小与过程经历的路径和条件有关，不同的过程即使起止状态相同，做功大小也不同，因此，功是过程量。

工程热力学》试卷及标准答案评分标准《工程热力学》试卷及标准答案第一部分选择题（共15分）一、单项选择题（本大题共15小题，每题只有一个正确答案，答对一题得1分，共15分）1、压力为10bar的气体通过渐缩喷管流入1bar的环境中，现将喷管尾部截去一段，其流速、流量变化为。

【】A.流速减小，流量不变B.流速不变，流量增加C.流速不变，流量不变D.流速减小，流量增大2、某制冷机在热源T1=300K，及冷源T2=250K之间工作，其制冷量为1000J,消耗功为250KJ，此制冷机是【】A.可逆的B.不可逆的C.不可能的D.可逆或不可逆的3、系统的总储存能为【】A.UB.U?pV2C.U?mc2f/2?mgzD.U?pV?mcf/2?mgz4、熵变计算式？s?cpIn（T2/T1）?RgIn（p2/p1）只适用于【】A.一切工质的可逆过程B.一切工质的不可逆过程C.理想气体的可逆过程D.理想气体的一切过程5、系统进行一个不可逆绝热膨胀过程后，欲使系统回复到初态，系统需要进行一个【】过程。

【】A.可逆绝热压缩B.不可逆绝热压缩C.边压缩边吸热D.边压缩边放热《工程热力学》试题第1页（共8页）6、混合气体的通用气体常数，【】。

【】A.与混合气体的成份有关B.与混合气体的质量有关C.与混合气体所处状态有关D.与混合气体的成份、质量及状态均无关系7、贮有空气的绝热刚性密闭容器中装有电热丝，通电后如取空气为系统，则【】A.Q>0,AU>0,W>0B.Q=0,AU>0,W>0C.Q>0,AU>0,W=0D.Q=O,△U=0，W=08、未饱和空气具有下列关系【】A.t>tw>tdB.t>td>tw.C.t=td=twD.t=tw>td9、绝热节流过程是【】过程。

【】A.定压B.定温C.定熵D.节流前后焓相等10、抽汽式热电循环的结果是【】A.提高循环热效率，提高热能利用率B.提高循环热效率，降低热能利用率C.降低循环热效率,提高热能利用率D.降低循环热效率，降低热能利用率11、一个橡皮气球在太阳下被照晒，气球在吸热过程中膨胀,气球内的压力正比于气球的容积,则气球内的气球进行的是【】A.定压过程B.多变过程C.定温过程D.定容过程12、气体的容积比热是指【】A.容积保持不变的比热。

北航2013-2014学年《工程热力学》考试试题一、简答题1.状态量（参数）与过程量有什么不同常用的状态参数哪些是可以直接测定的哪些是不可直接测定的2.写出状态参数中的一个直接测量量和一个不可测量量；写出与热力学第二定律有关的一个状态参数。

3.对于简单可压缩系统，系统与外界交换哪一种形式的功可逆时这种功如何计算。

交换的功为体积变化功。

可逆时4.定压、定温、绝热和定容四种典型的热力过程，其多变指数的值分别是多少5.试述膨胀功、技术功和流动功的意义及关系，并将可逆过程的膨胀功和技术功表示在p v图上。

6.热力学第一定律和第二定律的实质分别是什么写出各自的数学表达式。

7.对于简单可压缩系，系统只与外界交换哪一种形式的功可逆时这种功如何计算（写出表达式）8.试述可逆过程的特征及实现可逆过程的条件。

9.在稳定流动参量方程中，哪几项参量是机械能形式10.一个热力系统中熵的变化可分为哪两部分指出它们的正负号。

11.实际气体绝热节流后，它的温度如何变化12.采用两级活塞式压缩机将压力为0.1MPa的空气压缩至2.5MPa，中间压力为多少时耗功最少13.压气机高压比时为什么采用多级压缩中间冷却方式14.闭口系进行一放热过程，其熵是否一定减少15.热力系统熵变化有哪两种各代表什么物理意义16.第一类永动机是怎样的一种机器17.试画出朗肯循环的T-s图，并指明该循环是由哪些过程组成的，以及这些过程都是在什么设备内完成的。

它与蒸汽卡诺循环有什么不同18.提高蒸汽轮机动力循环热效率的措施有那些答：提高蒸汽初温初压、采用回热循环、抽汽回热循环、再热循环和热电联供循环等。

二、判断题（对的打“√”，错的打“×”，把正确答案填在下表上）1.气体吸热后一定膨胀，热力学能一定增加；（×）2.气体膨胀时一定对外作功；（×）3. 如果容器中气体压力保持不变，那么压力表的读数一定也保持不变；（ × ）4. 压力表读值发生变化,说明工质的热力状态也发生了变化。

工程热力学考试试卷一、名词解释1. 熵增原理；2. 可逆过程；3. 理想气体；4. 相对湿度；5. 定熵滞止。

二、判断题（下列各题，你认为正确的，请在题干的括号内打“√”，错的打“×”，每题2分，共20分）1. 压力表读值发生变化，说明工质的热力状态也发生了变化。

……………（ ）2. 湿空气的含湿量表示单位质量湿空气中含水蒸气质量的程度。

……………（ ）3. 气体常数与气体的种类及所处的状态均无关。

……………………………（ ）4. 理想气体从绝热容器中做自由膨胀，则理想气体的温度与压力变化的关系式为:k k P P T T 11212-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=………………………………………………………………（ ）5. 在T -S 图上可逆等压线的斜率比可逆等容线的斜率小。

…………………（ ）6. 活塞式压气机容积效率的大小与余隙容积和升压比都有关。

……………（ ）7. 活塞式压气机应采用冷却措施，使压缩过程接近等温过程。

………………（ ）8. 水的相图表明，水的冰点随压力升高而降低，沸点随压力升高而升高。

……（ ）9. 干饱和蒸汽进行可逆绝热膨胀后，必变为湿饱和蒸汽。

……………………（ ）10. 由于通常情况下水的凝固温度为0℃，故不可能存在0℃以下的水蒸气。

（ ）三、选择题（每小题2分，共20分）1. 饱和湿空气中干球温度t 、湿球温度t w 以及露点温度t d 具有下列关系（ ）A d w t t t >>；B w d t t t >>；C d w t t t ==；D d w t t t =>2. 渐缩喷管出口外界压力为绝对真空时（绝对真空的比容为∞），则质量流量（）：A等于0；B等于临界流量；C大于临界流量；D介于零和临界流量之间3. 理想气体的( )是两个相互独立的状态参数。

A.温度与热力学能B.温度与焓C.温度与熵 D.热力学能与焓4. 一股 4MPa，20℃质量为1kg的压缩空气流与另一股9MPa，20℃质量为 1kg 的压缩空气流混合，混合后的压缩空气流最大压力为（）。

2011—2012学年第1学期期末考试统一用答题册考试课程《工程热力学》班级学号姓名成绩2012年1月4日一、单选题（60分，每小题2分）1、温度是（）A、确定一个系统是否与其他系统处于热平衡态的物理量B、系统包含热量多少的度量C、过程量D、广延量2、理想气体温标（）A、不能由气体测温计实现B、在其测温范围内等于国际温标C、等于热力学温标D、是经验温标3、摄氏温标（）A、有两个基准点B、是由热力学温标定义的温标C、是经验温标D、在水的冰点与沸点无量测误差4、热量（）A、是系统包含内能多少的度量B、是物系间通过宏观运动发生互相作用传递的能量C、在理想状态之下可全部转换为功D、是热力过程中由于温差通过边界传递的能量5、有流体流过的开口系（）Ａ、处于非均匀非平衡的状态B、输出的功中不可能有容积功C、的质量总随时间变化D、必为非绝热系6、热力学平衡（）A、是指状态量不随时间变化的状态B、是指状态量空间分布均匀的状态C、包括了力平衡态、热平衡态、相平衡态、化学平衡态D、是指闭口系最终达到的状态7、关于可逆过程，错误的说法是：（）A、正向过程与逆向过程构成的循环功与循环热等于零B、系统与外界均可恢复原状而不留下任何影响C、为无耗散的准静态过程D、初终态相同时其过程的熵变小于不可逆过程的熵变8、热力学能（内能）：（）A 、是由系统压力温度与宏观位置决定的能B 、是微观粒子动势能的宏观体现C 、是由微观粒子之间的作用为决定的能D 、是由分子热运动决定的能9、方程t q h w =∆+（ ） A 、只能用于开口系 B 、只能用于不可逆过程 C 、只能用于可逆过程 D 、开口系闭口系都可适用10、闭口系能量方程Q E W =∆+中，设E 为内能、动能、重力势能的和，则W 可包括：（ ）A 、重力功、容积功、摩擦功等功B 、容积功、摩擦功、电功等功C 、重力功、容积功、电功等功D 、重力功、摩擦功、电功等功11、v q c dT pdv δ=+适用于（ ）A 、定压过程B 、准平衡过程C 、理想气体无耗散的准平衡过程D 、理想气体的定压过程12、焓是（ ）A 、系统动能与推动功的和B 、专用于表示进出开口系能量的物理量C 、是强度量D 、系统内能与压能之和13、技术功是（ ）A 、在单进出口稳定流开口系中等于工质对机器作的功和动势能之和B 、只有开口系才出现C 、在闭口系中等于过程功与流动功之和D 、在可逆过程中等于容积功14、定压比热（ ）A 、表示比体积一定时比焓随温度的变化率B 、是状态方程C 、是过程量D 、表示升高单位温度时系统总焓的增量15、理想气体的比热比（）A、是温度的函数B、等于定容比热除以定压比热C、在绝热可逆过程中必为常量D、是有量纲量16、水蒸气的饱和状态（）A、的压力与温度成反比关系B、的干度大于1C、指气液两相的平衡状态D、的压力与温度是独立变量17、范德瓦尔对应态方程（）A、是温度、压力、比体积为变量的方程B、是温度、压力、压缩因子为变量的方程C、与气体的种类无关D、是对比温度、对比压力、压缩因子为变量的方程18、与实际气体比较，理想气体的两个最大特点是什么？A、分子不占体积和分子间无作用力B、分子占有体积和压缩因子等于1C、压缩因子等于1和分子间有作用力D、分子不占体积和压缩因子大于119、理想气体多变过程（）A、可以近似表达理想气体所有过程B、包括不可逆过程C、的过程方程可以写成含有多变指数的统一形式D、包括变比热容定熵过程20、在压容图上，等温线（）A、的斜率为k p vB、比等熵线平缓C、熵等熵线陡D、的斜率为p v21、对于孤立系统，错误的表达是（）A、熵产等于熵变B、熵流等于0C、熵变必须大于等于0D、熵变小于022、对于闭口系微元过程，若系统的熵变小于0，则：（ ） A 、该过程可逆 B 、该过程不可逆 C 、必为吸热过程 D 、必为放热过程23、相同初终态参数条件之下，不可逆过程的（ ） A 、熵变一定大于可逆过程的熵变 B 、内能差一定等于可逆过程的内能差 C 、熵变一定小于可逆过程的熵变 D 、内能差一定小于可逆过程的内能差24、热力学能火用(),X U E （ ）A 、恒大于0B 、是状态量C 、的基准点可任选D 、系统变化至死态与外界交换的功25、湿空气（ ）A 、中的干空气必须视为混合物B 、不可视为理想气体的混合物C 、中的干空气和水蒸气的状态由分压定律确定D 、中的水蒸气不能视为理想气体26、湿空气的相对湿度100%ϕ=时，表明：（ ） A 、湿空气的饱和度达到最大值 B 、空气中只有水蒸气 C 、空气非常干燥D 、空气中的干空气处于饱和状态27、湿空气的状态可以由（ ）确定。

第一部分 选择题（共15分）一、单项选择题（本大题共15小题，每题只有一个正确答案，答对一题得1分，共15分）1、压力为10 bar 的气体通过渐缩喷管流入1 bar 的环境中，现将喷管尾部截去一段，其流速、流量变化为。

【 】 A.流速减小，流量不变 B.流速不变，流量增加 C.流速不变，流量不变 D.流速减小，流量增大2、某制冷机在热源T 1= 300K ，及冷源T 2= 250K 之间工作，其制冷量为1000 KJ ，消耗功为250 KJ ，此制冷机是 【 】A.可逆的B.不可逆的C.不可能的D.可逆或不可逆的 3、系统的总储存能为 【 】 A. U B. U pV +C. 2/2f U mc mgz ++D. 2/2f U pV mc mgz +++4、熵变计算式2121(/)(/)p g s c In T T R In p p ∆=-只适用于 【 】 A.一切工质的可逆过程 B.一切工质的不可逆过程 C.理想气体的可逆过程 D.理想气体的一切过程5、系统进行一个不可逆绝热膨胀过程后，欲使系统回复到初态，系统需要进行一个【】过程。

【】A.可逆绝热压缩B.不可逆绝热压缩C.边压缩边吸热D.边压缩边放热6、混合气体的通用气体常数，【】。

【】A.与混合气体的成份有关B.与混合气体的质量有关C.与混合气体所处状态有关D.与混合气体的成份、质量及状态均无关系7、贮有空气的绝热刚性密闭容器中装有电热丝，通电后如取空气为系统，则【】A.Q＞0，△U＞0，W＞0B.Q=0，△U＞0，W＞0C.Q＞0，△U＞0，W=0D.Q=0，△U=0，W=08、未饱和空气具有下列关系【】A.t＞t w＞t dB.t＞t d＞t w.C.t = t d = t wD.t = t w＞t d9、绝热节流过程是【】过程。

【】A.定压B.定温C.定熵D.节流前后焓相等10、抽汽式热电循环的结果是【】A.提高循环热效率，提高热能利用率B.提高循环热效率，降低热能利用率C.降低循环热效率，提高热能利用率D.降低循环热效率，降低热能利用率11、一个橡皮气球在太阳下被照晒，气球在吸热过程中膨胀，气球内的压力正比于气球的容积，则气球内的气球进行的是【】A.定压过程B.多变过程C.定温过程D.定容过程12、气体的容积比热是指【】A.容积保持不变的比热。

东北大学材料与冶金学院本科生考试试题考试科目：工程热力学考试班级：热能2010级考试时间：2012-01-11 试题种类：A卷（闭）第一题解：①新蒸汽的焓是3554.8kJ/kg ；②回热抽汽压力是8.592 MPa ，熵：s ＝6.5701kJ/(kgK)p ＝8.0 MPa ，t ＝440℃，h ＝3244.kJ/kg ，s ＝6.515kJ/(kgK)，v ＝0.03746 m 3/kg p ＝8.0 MPa ，t ＝460℃，h ＝3296.kJ/kg ，s ＝6.588kJ/(kgK)，v ＝0.03894 m 3/kg ∴ p ＝8.0MPa ，t ＝455.10℃，h ＝3283.249kJ/kg ，s ＝6.5701kJ/(kgK )p ＝9.0 MPa ，t ＝440℃，h ＝3227.kJ/kg ，s ＝6.443kJ/(kgK)，v ＝0.03286 m 3/kg p ＝9.0 MPa ，t ＝460℃，h ＝3281.kJ/kg ，s ＝6.518kJ/(kgK)，v ＝0.03421 m 3/kg p ＝9.0 MPa ，t ＝480℃，h ＝3334.kJ/kg ，s ＝6.589kJ/(kgK)，v ＝0.03552 m 3/kg ∴ p ＝9.0 MPa ，t ＝474.68℃，h ＝3319.9.kJ/kg ，s ＝6. 6.5701kJ/(kgK) ∴ p ＝8.592 MPa ，t ＝466.69℃，h ＝3304.94kJ/kg ，s ＝6.5701kJ/(kgK )压力＝8.592MPa 、温度=466.69℃和焓＝3304.94kJ/kg③p ＝0.005MPa ，t s ＝32.9℃，h'＝137.77kJ/kg ，s'＝0.4762kJ/(kgK)，h"＝2561.2kJ/kg ，s"＝8.3952kJ/(kgK)，s ＝6.5701kJ/(kgK )∴ x ＝(6.5701-0.4762)/(8.3952-0.4762)＝0.76952 排汽焓是h ＝(1-0.76952)×137.77+0.76952×2561.2＝2002.65kJ/kg ⑦给水泵出口压力18MPa ，出口熵0.4762 kJ/(kgK) 出口焓＝()0.1424309.04762.04309.05651.00.1423.183+---＝155.94 kJ/kg水泵耗功＝156.26–137.77＝18.49 kJ/kg ④回热器能量平衡回热器出口焓1334.6 kJ/kg ，回热器进口水焓155.94 kJ/kg ，回热器进口汽焓3304.94kJ/kg1334.6＝3304.94α+155.94(1–α) ∴ α＝94155********15561334....--＝0.374296⑤ ()()61334835547713765200211t ....----=αη＝47.44％⑥ 9415583554771376520021....---=t η＝45.13％第二题解：2-3为吸热过程，4-1为放热过程。

北京航空航天大学2011－2012 学年第二学期期末考试《工科数学分析(II) 》试卷班号学号姓名成绩题号一二三四五六七八总分成绩阅卷人校对人2012年6月18日一． 计算题。

（35）1. 计算向量场32()()3A x z i x yz j xy k =-++-的旋度.解:2232(6)(13)33ij krotA xy y i y j x k x y z x z x yz xy ∂∂∂==--+-++∂∂∂-+-建议评分标准：如答案对，给5分，如果答案不对，旋度计算公式2分，三个分量各1分.2. 通过改变积分次序计算累次积分221210122y x x y y dye dx dye dx +蝌蝌.解:22221211211221(1)2y x x x x x y y xdye dx dye dx dxe dy xe dx e +===-蝌蝌蝌?建议评分标准：改变积分次序3分，结果2分3. 计算二重积分2222sin()Dx y dxdy a b +⎰⎰，其中2222{(,)|1 0}x y D x y y a b =+≤≥，且. 解：取广义极坐标变换cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩，则(,)(,)x y abr r θ∂=∂. 在广义极坐标系下，积分区域D 为{(,)|01,0}r r θθπ≤≤≤≤，因此原式=120sin (1cos1)2d abr r dr ab ππθ=-⎰⎰建议评分标准：广义极坐标变换2分，雅各比行列式1分，积分区域1分，结果1分.4. 求极限2222222331lim cos()x y z xyzr x y z r x y z edxdydz r ++++→++≤-+⎰⎰⎰.解：由积分中值定理，存在(,,),ξης 2222r ξης++≤，使得22222222223334cos()cos()3xy z xyzx y z r x y z e dxdydz r e ξηςξηςπξης++++++++≤-+=-+⎰⎰⎰因此，原式=2223044lim cos()33r e ξηςξηςπξηςπ++++→-+=.建议评分标准：积分中值定理3分，结果2分.5. 利用对称性计算三重积分2(cos())Vz x xy dxdydz +⎰⎰⎰，其中22222{(,,)|2,}V x y z x y z z x y =++≤≥+.解：由于积分区域V 关于yoz 平面对称，cos()x xy 为关于x 的奇函数，因此cos()0V x xy dxdydz =⎰⎰⎰. 下面计算2V z dxdydz ⎰⎰⎰，采用球极坐标系sin cos sin sin cosx r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，则此时2(,,)||sin (,,)x y z r r ϕϕθ∂=∂，被积区域V 为{(,,)|0,02,02}4r r πϕθϕθπ≤≤≤≤≤≤，因此原式=2222244cos sin (221)15d d r r dr πππϕθϕϕ=-⎰⎰⎰.建议评分标准：对称性2分，计算过程2分，结果1分.6. 利用对称性计算第一型曲面积分222xy yz zx dS x y z ∑++++⎰⎰，∑为球面2221x y z ++=.解：由于∑关于xoy 平面对称，222yz zx x y z +++为z 的奇函数，因此222=0yz zx dS x y z ∑+++⎰⎰，又由于∑关于xoz 平面对称，222xyx y z++为y 的奇函数，因此222=0xy dS x y z∑++⎰⎰，因此222=0xy yz zx dS x y z∑++++⎰⎰. (建议评分标准：过程及答案正确5分)7. 计算第二型曲面积分xydydz ∑⎰⎰，∑为221z x y z =+=与围成区域边界的外侧. 解法一：∑是一个封闭曲面，设∑所围区域为V ，则由Gauss 公式知0Vxydydz ydxdydz ∑==⎰⎰⎰⎰⎰.其中只需注意到V 是关于xoz 平面对称的，被积函数y 是关于变量y 的奇函数.建议评分标准：高斯公式3分，计算及结果2分.解法二：设221{(,,)|,01}x y z z x y z ∑==+≤≤，指向下侧，222{(,,)|1,1}x y z z x y ∑==+≤，指向上侧，22{(,)|1}xy D x y x y =+≤，则由对称性12=(2)20xyxyD D xydydz xy x dxdy xydxdy ∑-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而 2=0xydydz ∑⎰⎰，因此=0xydydz ∑⎰⎰.建议评分标准：第一块曲面积分3分，第二块2分.二． （15）计算下面问题1) 利用格林公式计算椭圆盘22222x xy y ε++≤（0ε>）的面积； 2) 计算第二型曲线积分22,22L xdy ydxx xy y -++⎰其中L 为包围原点的一条光滑封闭曲线，方向为逆时针.解：1）.222222=()x xy y x y y ++++，由此我们可以给出椭圆222:22L x xy y ε++=的一个参数方程c o s ,s i n x y y εθεθ+==，即c o s s i n, 02s i nx y εθεθθπεθ=-⎧≤≤⎨=⎩,因此椭圆盘22222x xy y ε++≤的面积为22011[(cos sin )(cos )sin (sin cos )]22Lxdy ydx d πεθεθεθεθεθεθθπε-=----=⎰⎰. 2).记22(,)22y P x y x xy y -=++，22(,)22xQ x y x xy y =++，容易验证22222222(0)(22)Q P y x x y x y x xy y ∂∂-==+≠∂∂++时. 为使用Green 公式，做辅助曲线222:22L x xy y εε++=，其中ε充分小使得L ε位于L 所包围的区域内部， L ε取定向为逆时针. 设L 包围区域为V ，L ε包围区域为V ε, 由Green 公式易知\()0L L V V Q PPdx Qdy dxdy x yεε-∂∂-=-=∂∂⎰⎰⎰， 因此22122LL L V xdy ydxPdx Qdy Pdx Qdy dxdy εεεπεε--=-===⎰⎰⎰⎰⎰，其中倒数第一个等式使用了1)的结论.建议评分标准：第1小题6分，第二小题9分，其中两个偏导数3分，辅助曲线3分，答案3分.三． （10）利用高斯公式计算第二型曲面积分()2z y dzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为()2201z x y z =+≤≤(0z ≥)，指向上侧.解: 作辅助曲面'22{(,,)|1,1}x y z z x y ∑==+≤，指向上侧，则∑与'∑构成一个封闭曲面，记它们所围区域为V . 则由Gauss 公式()'221100323332Vx y zz y dzdx zdxdy dxdydz dz dxdy zdz ππ∑-∑+≤++====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 而()'2z y dzdx zdxdy ∑++⎰⎰=2211x y dxdy π+≤=⎰⎰，因此()3222z y dzdx zdxdy πππ∑++=-=-⎰⎰.建议评分标准：做辅助曲面3分，高斯公式3分，剩余两个计算各2分.四． （10）计算第二型曲面积分[2(,,)][2(,,)]2yf x y z x dydz xf x y z y dzdx zdxdy ∑++-++⎰⎰，其中(,,)f x y z 为连续函数，∑为曲面221x y z ++=在第一卦限的部分，指向上侧.解：∑投影到x o y 平面为22{(,)|1,0,0}xy D x y x y x y =+≤≥≥. ∑的表达式为221z x y =--，(,)xy x y D ∈. 因此22 [2(,,)][2(,,)]2[(2(,,))(2)(2(,,))(2)222]22xyxyD D yf x y z x dydz xf x y z y dzdx zdxdyyf x y z x x xf x y z y y x y dxdydxdyπ∑++-++=++-++--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰建议评分标准：投影到xoy 平面4分，公式正确4分，最后的计算2分 五． （15）利用斯托克斯公式计算222222(+z )d ()d (+y )d Cy x x z y x z +++òÑ,其中C 为曲面2222x y z bx ++=（0,0z b ≥>）与222x y ax += (0b a >>)的交线，若从 z 轴正向看去，C 为逆时针方向.解：设C 在球面2222x y z b x ++=上所围的区域为Γ，Γ取上侧. Γ的表达式为：222()z b x b y =---，22(,){(,)|2}xy x y D x y x y ax ∈=+≤. 由Stokes 公式知222222()d ()d ()d (22)(22)(22)=[(22)()(22)()(22)][(22)()(22)()(22)]2[2]22xyxyxy xyCxyD D D D y z x x z y x y z y z dydz z x dzdx x y dxdy y z z z x z x y dxdyx b yy z z x x y dxdyz z ybb dxdy zbdxdyp G+++++=-+-+---+--+--=-+-+-=+==ò蝌蝌蝌蝌蝌Ñ2a b建议评分标准：斯托克斯公式7分，剩余计算8分. 六． （15）设函数()(),f x g x 具有2阶连续导数,并且积分()()()()2(+2e +2)d 2()d 0x Cy f x y yg x x yg x f x y ++=⎰对平面上任一条封闭曲线C 成立. 求()(),f x g x .解：由积分与路径无关的等价条件知：()()()()2[2()]=[+2e +2]x yg x f x y f x y yg x x y∂∂+∂∂，因此()(),f x g x 应满足2'()2'()2()22()x yg x f x yf x e g x +=++，因此'()()g x f x =，'()()x f x e g x =+成立, 由'()''()f x g x =得''()()x g x e g x =+，解微分方程得121()2x x x g x xe C e C e -=++，1211()'()22x x x x f x g x xe e C e C e -==++-. 建议评分标准：积分与路径无关7分，得到两个常微分方程3分，求解5分.七． （10）附加题（以下二题任选其一）：1． 已知平面区域{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤，L 为D 的正向边界，()f x 为[0,1]上的连续函数，证明： （1）()()()();f y f x f y f x LLxe dy ye dx xe dy ye dx ---=-⎰⎰（2）()()2f y f x Lxe dy ye dx --≥⎰.证明：1). 由Green 公式知()()()()()f y f x f y f x LDxe dy ye dx e e dxdy ---=+⎰⎰⎰,()()()()()f y f x f y f x LDxe dy ye dx e e dxdy ---=+⎰⎰⎰,又由于D 关于直线y x =对称，有()()()()()()f y f x f x f y DDee dxdy e e dxdy --+=+⎰⎰⎰⎰，因此()()()()f y f x f y f x LLxe dy ye dx xe dy ye dx ---=-⎰⎰成立.2）. 由1）的结论()()()()()()()()()()1(()())21 =()21422f y f x f y f x f x f y L DD f y f y f x f x DDxe dy ye dx e e dxdy e e dxdy e e e e dxdy dxdy ------=++++++≥=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰建议评分标准：第一小题6分，用了格林公式4分，对称性部分2分，第二小题4分.2．设(,)f x y 是2R 上的连续可微函数，且对圆221x y +=上的任一点均有(,)0f x y =，求极限2222201limx y r r x y xf yf dxdy x y →+≤+≤++⎰⎰.解法一：我们采用极坐标变换cos ,sin x y ρθρθ==，设(,)(c o s ,s i n )z f x y f ρθρθ==，则易知x yxf yf z ρρ+∂=∂. 因此 222212200121200002000001limlim lim lim (cos ,sin )(cos ,sin )=lim (cos ,sin )lim 2(cos ,sin )2(0,0).x y rr r r x y rr r r r xf yf z dxdy d d x y zd d f f r r d f r r d f r r f ππππθρρρρθρθθθθθρθθθπθθπ→+→+≤+≤→+→+→+→++∂=+∂∂==-∂-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解法二：记L 为单位圆周221x y +=，方向为逆时针，r L 为圆周222x y r +=，方向为顺时针. 则由Green 公式，2222222221(,)(,)rx y L L r x y xf yf x yf x y dy f x y dx dxdy x y x y x y +≤+≤+-=+++⎰⎰⎰，又由于在L 上均有(,)0f x y =，因此2222(,)(,)0Lx yf x y dy f x y dx x y x y-=++⎰，因此 222221002222(,)(,)(,)2(,)rrx y r x y L L xf yf dxdyx y x yf x y dy f x y dx f x y ds f x y x y x y π≤+≤++=-=-=-++⎰⎰⎰⎰其中00(,)r x y L ∈. 因此2220022001limlim 2(,)2(0,0).x y r r r x y xf yf dxdy f x y f x y ππ→+→+≤+≤+=-=-+⎰⎰建议评分标准：使用格林公式4分（对应计算了f 对r 的偏导数），将积分式化为Lr 上的积分4分，答案2分.。