山西省太原市2020届高三数学模拟试题(一)理(含解析)

太原市2020年高三年级模拟试题（一）

数学试卷（理工类）

一、选择题。

1.已知集合，，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

对集合化简，求出.

【详解】，，

，故本题选A.

【点睛】本题考查了集合的交集运算,本题的关键是对数不等式要解正确，不要忘记对数函数的真数要大于零.

2.已知复数满足（为虚数单位），则（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

运用复数的除法运算法则，直接求出.

【详解】，故本题选C.

【点睛】本题考查复数的除法运算.

3.下列命题中的真命题是（ ）

A. 若，则向量与的夹角为钝角

B. 若，则

C. 若命题“是真命题”，则命题“是真命题”

D. 命题“，”的否定是“，”

【答案】D 【解析】

【分析】

对于选项A：当时，向量与的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为真命题；对于选项B:要注意成立时，这个特殊情况， 对此可以判断是否为真命题；对于选项C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，不能确定是真命题；

对于选项D：含有特称量词命题否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题。

【详解】选项A：是钝角或平角，所以选项A是假命题；

选项B:或者，所以选项B是假命题；

选项C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，只有当都是真命题时，才是真命题，所以选项C是假命题；

选项D;根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，这一原则，“，”的否定是“，”是真命题，故本题选D.

【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题.

4.已知，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

用二倍角的正弦公式和诱导公式，对所求的式子进行化简，根据题目特点，用

，构造出关于的双齐式，进行求解。

【详解】，因为，

所以，

原式故本题选B。

【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式及诱导公式。重点考查了同角三角函数之间的关系。

5.已知函数在处的切线经过原点，则实数（ ）

A. B. C. 1 D. 0

【答案】A 【解析】

【分析】

对函数求导，求出切线的斜率，利用点斜式写出直线方程，把原点的坐标代入，求出的值，最后求出的值。

【详解】，

把（0，0）代入方程中，， =，故本题选A。

【点睛】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程。

6.已知等比数列满足，则（ ）

A. 5 B. -5 C. 7 D. -7

【答案】D

【解析】

【分析】

根据等比数列的性质，可以求出的值，连同已知，可以求出

的值，进而求出首项和公比，分类求出的值。

详解】等比数列有，而，

联立组成方程组，或，设公比为

当时，解得，

当时，解得，，故本题选D。

【点睛】本题考查了等比数列的性质、通项公式。

7.下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）

A. 12 B. 15 C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高为5，求出底面积，用棱锥的体积公式求出体积。

【详解】由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高为5. 底面四边形可以分割成二个三角形，面积，

体积，故本题选D。

【点睛】本题考查了通过三视图识别几何体的形状求其体积。

8.在平面区域，内任取一点，则存在，使得点的坐标满足的概率为（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出平面区域的面积，找到的成立条件，利用几何概型的公式求解。

【详解】画出平面区域图中边界及内部是所表示的平面区域，

如下图所示：

，

它表示在已知平面区域内，圆心(2,0)，半径为的圆外（包括圆周），如上图所示：

解方程组：，，

在已知平面区域内，圆心(2,0)，半径为的圆内（包括圆周）的面积为，

所求的概率，故本题选A。

【点睛】本题考查了几何概型,解决本题的关键是对存在，使得点的坐标满足，这句话的理解。

9.已知数列的前项和满足，则（ ）

A. 196 B. 200 C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

已知递推公式再递推一步，得到两个递推公式，相减，对这个式子分类讨论，求出需要的项，然后求值。

【详解】（1） 当时，（2），

（1）-（2）得;,

当为偶数时，，当时，，

当为奇数时，，时，

。

【点睛】本题考查了数列的递推公式,重点考查了分类讨论思想。

10.已知双曲线的左右焦点分别为，，斜率为2直线过点与双曲线在第二象限相交于点，若，则双曲线的离心率是（ ）

A. B. C. 2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由，可知是直角三角形，且,斜率为2直线过点与双曲线在第二象限相交于点,所以，在中，利用同角的三角函数之间的关系，求出的值，然后求出的值，利用双曲线的定义，可求出曲线的离心率。

【详解】因为，所以直角三角形，且,由意可知，所以有，

，由双曲线定义可知：

，故本题B。

【点睛】本题考查了双曲线的定义以及离心率。

11.已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先对对数换元，然后构造函数，结合已知，判断构造的函数的单调性，最后求出不等式的解集。

【详解】令,构造函数

， 由已知可知：，所以是上的减函数，

当时，，，

所以当时，成立，

也就当时，成立，故本题选A。

【点睛】本题考查了通过构造函数，利用导数求不等式解集的问题。关键是换元法、构造函数法。

12.已知函数（，）满足，，且在上是单调函数，则的值可能是（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】C

【解析】

【分析】

通过给出的等式，可以判断出函数的对称性，进而能求出周期，结合选项，作出判断。

【详解】函数满足，所以函数关于对称，同时又满足，所以函数又关于对称，设周期为,

,而显然是奇数，

当=3时，，关于对称，

而，，

，显然不单调；

当=5时，，关于对称，

，而，，，

，显然单调，故本题选C

【点睛】本题考查了正弦函数的对称性、周期,熟记推到周期和对称轴的表达式是关键.

二、填空题。

13.抛物线的准线方程为_______.

【答案】

【解析】

由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2P=1，

∴其准线方程是y=，。

故答案为：。

14.已知的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为_______.

【答案】15

【解析】

【分析】

令，可以求出，利用二项展开式的通项公式，求出常数项。

【详解】已知的展开式的所有项的系数和为64，令，得，

二项展开式的通项公式为，令，

所以常数项为。

【点睛】本题考查了二项展开式中所有项系数和公式。重点考查了二项展开式中的常数项。

15.如图，正方体的棱长为4，点在棱上，且，是面内的正方形，且，是面内的动点，且到平面的距离等于线段的长，则线段长度的最小值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

过作,连接,则,当最小时，最小，利用空间直角坐标系，求出的表达式，求出最小值，最后求出长度的最小值。

【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系：

过作,连接,则,当最小时，最小。

因为到平面的距离等于线段的长，

所以时，有最小值6，所以的最小值为22，.

【点睛】本题考查了空间直角坐标系的应用问题。

16.已知函数，，其中，若恒成立，则当取最小值时， ______.

【答案】1 【解析】

【分析】

把不等式变形为：，因此可以考虑直线与相切的情况。设出切点的坐标为，根据导数的几何意义，得出的方程，构造函数，利用导数，求出的最小值，也就能求出的值。

【详解】由，可得，设直线与相切于点，，，

所以有，，设，

构造函数，，

所以当时，有最小值，也就有当时，有最小值，此时

所以.

【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,解决本题的关键是转化为函数问题，利用导数得出最值.

三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.如图，已知的内角，，的对边分别是，，，且，点是的中点，，交于点，且，.

（1）求；

（2）求的面积.

【答案】(1) (2)

【解析】

【分析】

（1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出。

（2）根据已知条件可以确定，并求出它们的表达式，在中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出，的大小，最后求出面积。

【详解】解（1），由得，

由余弦定理得，

，:

（2）连接，如下图：是的中点，，，

，

在中，由正弦定理得，