立方和公式

立方和与立方差公式(一)

铅山三中 俞旭安

教学目标 1使学生理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算； 2注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力.

教学重点和难点

重点：公式的推导.

难点：公式的正确运用.

课堂教学过程设计

一、从学生原有认知结构提出问题

前面我们学习了哪些乘法公式?并用语言叙述，公式中的字母可以表示什么?

(公式1：(a+b)(a-b)＝a2-b2，公式2：(a±b)＝a2±2ab+b2，公式中的字母可以表示数、单项式，也可以表示多项式语言叙述略)

二、师生共同研究立方和与立方差公式

提问：对于(a+b)(a2-ab+b2)，(a-b)(a2+ab+b2)这两个算式，能否用学过的公式进行计算呢?(不能)那么用什么方法进行计算呢?(多项式乘以多项式法则) 请两位同学板演计算过程，其他同学在练习本上计算

(a+b)(a2-ab+b2)

＝a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3

＝a3+b3

(a-b)(a2+ab+b2)

＝a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3

＝a3-b3

根据学生的板演提问： 1这两道多项式乘法计算的算式有什么特点?

(都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，而且是立方的形式) 2二项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项?(6项)为什么这里的结果只有2项?(同类项合并) 3比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同?

(乘积项不一样完全平方公式的乘积项还有一个2倍，这里仅相乘) 4等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系?

(左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的积) 5比较这两个等式的异同

(两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式中只有一个负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同)

根据这两个等式具有简洁、对称、便于记忆的特点，我们可以把它们作为公式用于今后的运算，并让学生给两个公式起个名字 让学生看书，并让学生用语言叙述公式

[文件] sxcdja0025.doc

[科目] 数学

[年级] 初一

[章节]

[关键词] 立方和/立方差

[标题] 立方和与立方差公式(一)

[内容]

立方和与立方差公式(一)

教学目标 1使学生理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算； 2注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力.

教学重点和难点

重点：公式的推导.

难点：公式的正确运用.

课堂教学过程设计

一、从学生原有认知结构提出问题

前面我们学习了哪些乘法公式?并用语言叙述，公式中的字母可以表示什么?

(公式1：(a+b)(a-b)＝a2-b2，公式2：(a±b)＝a2±2ab+b2，公式中的字母可以表示数、单项式，也可以表示多项式语言叙述略)

二、师生共同研究立方和与立方差公式

提问：对于(a+b)(a2-ab+b2)，(a-b)(a2+ab+b2)这两个算式，能否用学过的公式进行计算呢?(不能)那么用什么方法进行计算呢?(多项式乘以多项式法则) 请两位同学板演计算过程，其他同学在练习本上计算

(a+b)(a2-ab+b2)

＝a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3

＝a3+b3

(a-b)(a2+ab+b2)

＝a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3

＝a3-b3

根据学生的板演提问： 1这两道多项式乘法计算的算式有什么特点?

(都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，而且是立方的形式) 2二项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项?(6项)为什么这里的结果只有2项?(同类项合并) 3比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同?

(乘积项不一样完全平方公式的乘积项还有一个2倍，这里仅相乘) 4等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系?

(左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的积) 5比较这两个等式的异同

(两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左边的两个因式中只有一个负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同)

两个数的立方和公式

本文介绍了两个数的立方和公式，旨在让读者了解如何通过计算来求解立方和。

一、什么是立方和

1. 立方和是指两个数的立方的和，也称为幂和。

2. 数学定义：如果两个正整数a和b的立方和定义为(a^3+b^3)，那么数学定义为：立方和为a^3+b^3。

二、立方和计算公式

1. 一般公式：两个正整数a和b的立方和为(a^3+b^3)，其公式可以表示为：(a+b)(a^2-ab+b^2)。

2. 三角形公式：当a和b两个正整数构成一个等边三角形时，其立方和可以表示为：(a^2+b^2)^3。

三、立方和的应用

1. 求某数的立方：对于一个正整数a，要计算它的立方，可以求出一个其立方和是：a^3+b^3之和，其中b为任意正整数，就可以求出a的立方。

2. 几何应用：由于立方和的特性，可以用来计算三角形的内接圆的半径，以及三角形的外接圆的半径。

四、立方和的性质

1. 交换律：a^3+b^3=(b^3)+a^3；

2. 结合律：设有a、b、c三个数，则有(a+b+c)＾3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3bac。

3. 分配律：设有a、b两个数，则有(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)。

总之，本文主要介绍了两个数的立方和公式，以及它的应用。两个数的立方和公式有一般公式和三角形公式，分别为(a + b)(a^2 – ab + b^2)和(a^2 + b^2)^3，它的应用包括求某数的立方、几何应用等。另外，立方和还具有交换律、结合律和分配律的性质。

鸡西市第十九中学初三数学组

1 鸡西市第十九中学学案

班级 姓名

学科 数学 课题 “十字相乘”法分解因式 课型 新课

时间 2013年 月 日 人教版 八年级上

学习目标 理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算；

注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力.

重点

难点 公式的推导.

公式的正确运用.

学习内容

【乘法公式的立方和与立方差】

我们根据多项式乘以多项式bnbmanamnmba))((，计算：2(2)(24)xxx )124)(12(2xxx

22()()abaabb ))((22yxyxyx

22()()abaabb= 322223aababababb= 33ab

因此，得到立方和公式：22()()abaabb= 33ab ①

我们再来计算：

)42)(2(2xxx 2(21)(421)xxx

))((22bababa ))((22yxyxyx

))((22bababa= 322223babbababaa= 33ba 鸡西市第十九中学初三数学组

2 因此，得到立方差公式：))((22bababa= 33ba ②

其实，只要把公式1中的b以b代入，即可得公式②。

【练习】

运用立方和与立方差公式计算：

(y+3)(y2-3y+9)； (c+5)(25-5c+c2)；

(2x-5)(4x2+25+10x)； (32a-21b)(94a2+31ab+41b2)；

（1）项数特征：两项乘三项→积为二项，

（2）符号特征：二项的因式若两项都为"+"，则三项的因式符号为+，-，+，积的符号与二项因式的符号相同，