定积分中微元法及其应用研究

第一节_定积分的微元法(大专)

定积分是高等数学中的一个重要概念，它是微积分学的基础。定积分的微元法是定积分的一种重要解法方法。

定积分的定义是：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义，并且在该区间内是有界的，那么将该区间分成许多小区间，每个小区间长度为 $ \triangle x $，并在每个小区间内任取一点 $x_i$，则当小区间宽度趋近于 0 时，Riemann和 $\sum f(x_i)

\triangle x$ 的极限称为函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记作 $\int_a^b f(x)

dx$。

定积分的微元法可以简化定积分的求解过程，实现求解和计算的快速精确。

定积分的微元法公式是：

$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\max\limits_{i=1}^{n} \triangle x_i \to 0}

\sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_i) \triangle x_i \approx \sum\limits_{i=1}^{n} f(x_i)

\triangle x$$

其中，$n$ 为区间 $[a,b]$ 被分成的小区间的数量，$\triangle x_i$ 为每个小区间的宽度，$\xi_i$ 为每个小区间中任意一个点的值，$x_i$ 是每个小区间的左端点。

根据定积分的微元法公式，我们可以将要求解的区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间，记作 $[x_0,x_1], [x_1,x_2], …, [x_{n-1},x_n]$。在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 中取一点 $x_i$，则定积分的值可以近似表示为：

$$\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \triangle x_i$$

——　墨　

蒙特卡洛计算方法及其在定积分求解中的应用　

车金星　

（南昌　：程学院理学系，江西南昌　３３００９９）　

摘要：蒙特卡洛数学计算方法是一种新型的计算方法，　本文介绍了蒙特卡洛数学计算方法的历史起源及其原理。并对　

它在积分求解中的应用进行了分析．　

关键词：蒙特卡洛　随机数积分求解计算方法　

蒙特卡洛（Ｍｏｎｔｅ　Ｃａｒｌｏ）方法是二十世纪四十年代中期提　

出的，一方面它的提出是科学技术发展和电子计算机发明的　必然产物，另一方面它是以概率统计理论为指导的一类新型　

计算方法，目前它已成为非常重要的数值计算方法．　

一、蒙特卡洛计算方法原理　

与蒙特卡洛方法相反的一类方法称为确定性计算方法，确定　

性计算方法是按照规定的算法步骤执行　每次得到的结果一定是　

相同的＿ｌ＿．与此不同，蒙特卡洛方法建立在随机理论的基础上，利　

用概率论中的大数定律稳定性理论进行运算．所以蒙特卡洛方法　

是一种大数收敛的概率计算方法，它依据概率知识建立模型、借助　现代计算机技术来实现算法．大量随机仿真形成真实值的逼近．　

二、蒙特卡洛计算方法在定积分中的应用　

根据覃永昼在“在数学分析课程的概念教学中渗透数学　

建模思想”一文中对定积分定义的图解解析　］，我们可以很清　晰地看出定积分的意义就是指被积函数在积分区间的面积代　

数和．但是由于被积函数的多样性，导致其在积分区间上的取　

值大小不一．无法按照规则的图形来求解面积．下面我们利用　

蒙特卡洛计算方法将其转化为规则图形来计算ｌ３．　

假定我们要计算如下定积分：　

Ｉｆｆ（ｘ）ｄｘ　

我们用蒙特卡洛计算方法按以下步骤即可计算其结果：　

（１）在区间［／３，，ｂ］上利用计算机均匀产生ｎ个随机数ｘ　，　ｘ２，…，ｘ　，这个可以在ＭＡＴＬＡＢ软件用ｕｎｉｆｒｎｄ命令实现Ｈ　．　

（２）计算每个随机数相应的被积函数值：ｆ（Ｘ。），ｆ（Ｘ：），　

…。ｆ（Ｘ　）．　

∑ｆ（ｘ　）　（３）计算被积函数值平均值：　一．　ｉｔＩ　ｈ　（４）计算定积分蒙特卡洛计算方法值：Ｊ’ｆ（ｘ）ｄｘ一　

第六章 定积分的应用

§6-1 微元法

用定积分解决已知变化率求总量问题的过程.

若某量在[a，b]上的变化率f(x)，求它在[a，b]上的总累积量S：

因为分割区间、取i都要求有任意性，求和、求极限又是固定模式，故可简述过程：

在微段[x，x+x]上，S累积的微量S，代之以微分dS=f(x)dx，(dx=x)，则还可简化成：

再简化一下，则变成：

用以上所表示的形式，来解决求累积总量的方法，称为微元法，dS称为微元．

以求曲边梯形面积A问题为例，用微元法就可以简写成这样：任取微段[x，x+dx]，曲边梯形在此微段部分的面积微元dA=f(x)dx，所以A=badxxf

)(．

§6－2定积分在几何中的应用

一、平面图形的面积

1. 直角坐标系下平面图形的面积

(1)X－型与Y－型平面图形的面积

把由直线x=a，x=b(a

化整为微

[a,b]=niiixx11],[

xi=xi-xi-1 微量近似

Sif(i)xi

i[xi-1,xi] 积微为整

Sniiixf1)( 极限求精

S=0||||limxniiixf1)(

=badxxf

)(

分割区间,任取

一微段[x,x+x] 在微段[x,x+x]

中微量近似

Sf()x 近似累积总量

Sxf)( 实际累积总量

S=badxxf

)(

在[a,b]上任取

一微段[x,x+dx] 在微段[x,x+dx]上 S的累积微量 dS=f(x)dx 累积总量 S=badxxf

)(

若在[a,b]的微段[x,x+dx]上，

S累积的微量是dS=f(x)dx S=badxxf

)(

x y

O x x+dx S y=f(x)

微元法在利用定积分解决实际问题中所起的作用

张志军

一、能利用定积分来解决的实际问题有什么特点？

能利用定积分来解决的实际问题，总可归结为求一个确定在某一区间上且一般来说在上非均匀分布的量。这个量有以下两个特点：

1、 对区间具有可加性

设是与变量的变化区间有关的待求量，在内任意插入分点

，把分成个小区间，相应地量也被分成个部分量，那么等于这些部分量的和，即

2、 能找出部分量的近似表达式

如果对每个部分量可以找到如下形式的近似值

，

其中为上的连续函数，那么待求量的近似值为

我们要求的是的精确值，而用的近似值累加，其误差也将累加，所以就要求累加的误差能随所有而趋于零。因此，希望相应于任一长为的小区间的部分量都满足表达式：

且当时，（并与无关）。这样我们可以证明量即可用定积分来计算

二、如何理解和运用微元法来解决可化为定积分的实际问题？

微元法也成为元素法，它是用来化实际问题为定积分问题的一种简便方法，也是物理学、力学和工程技术上普遍采用的方法。如问题一所述，可化为定积分来计算的待求量有两个特点，对区间的可加性这一特点，是容易看出来的，因此，关键在于另一特点，即找任仪部分量的表达式： （1）

然而，人们往往根据问题的几何或物理的特征，自然地将注意力集中于去找这一项上。但不能忘记，这一项与之差，当时，应是比高阶的无穷小量，借用微分的记号，将这项记为 （2）

这个量称为待求量的微元或元素。用定积分来解决实际问题的关键就在于求出微元。

若连续，我们由（1）式即知，（2）式表示的微元实际上是的微分，因为在区间上的待求量为 ，

故。因此，要求出在区间上的待求量，先要求出的微分。然后把在上积分，即可求出，这就是所谓微元法或元素法。